Müxtəlif yollarla Pifaqor teoreminin sübutu
9 "A" sinif şagirdi
Bələdiyyə təhsil müəssisəsi 8 saylı tam orta məktəb
Elmi məsləhətçi:
riyaziyyat müəllimi,
Bələdiyyə təhsil müəssisəsi 8 saylı tam orta məktəb
İncəsənət. Novorozhdestvenskaya
Krasnodar bölgəsi.
İncəsənət. Novorozhdestvenskaya
ANNOTASİYA.
Pifaqor teoremi haqlı olaraq həndəsə kursunda ən vacib hesab olunur və diqqətə layiqdir. Bir çox həndəsi məsələlərin həlli üçün əsas, gələcəkdə nəzəri və praktiki həndəsə kurslarının öyrənilməsi üçün əsasdır. Teorem görünüşü və sübut üsulları ilə bağlı zəngin tarixi materialla əhatə olunmuşdur. Həndəsənin inkişaf tarixinin öyrənilməsi bu fənnə məhəbbət aşılayır, idrak marağının, ümumi mədəniyyətin və yaradıcılığın inkişafına kömək edir, həmçinin tədqiqat bacarıqlarını inkişaf etdirir.
Axtarış fəaliyyəti nəticəsində Pifaqor teoreminin sübutu üzrə bilikləri artırmaq və ümumiləşdirmək olan işin məqsədinə nail olundu. Məktəb dərsliyinin səhifələrindən kənara çıxaraq, müxtəlif sübut üsullarını tapmaq və nəzərdən keçirmək, mövzu ilə bağlı bilikləri dərinləşdirmək mümkün idi.
Toplanmış material bizi daha da inandırır ki, Pifaqor teoremi həndəsənin böyük teoremidir və çox böyük nəzəri və praktiki əhəmiyyətə malikdir.
Giriş. Tarixi istinad 5 Əsas hissə 8
3. Nəticə 19
4. İstifadə olunmuş ədəbiyyat 20
1. GİRİŞ. TARİXİ ARAYIŞ.
Həqiqətin mahiyyəti odur ki, o bizim üçün əbədidir,
Ən azı bir dəfə onun fikirlərində işığı görəndə,
Və uzun illərdən sonra Pifaqor teoremi
Bizim üçün, onun üçün isə bu, danılmazdır, qüsursuzdur.
Sevinmək üçün Pifaqor tanrılara and içdi:
Sonsuz hikmətə toxunmaq üçün,
Əbədi olanlar sayəsində yüz buğa kəsdi;
Qurbanın ardınca dualar oxudu və həmd etdi.
O vaxtdan bəri öküzlər qoxusunu duyanda itələyirlər,
Bu iz insanları yenidən yeni həqiqətə aparır,
Onlar hiddətlə qışqırırlar, ona görə də qulaq asmağın mənası yoxdur,
Belə Pifaqorlar onlara əbədi olaraq qorxu saldı.
Yeni həqiqətə müqavimət göstərməkdə aciz olan öküzlər,
Nə qalır? - Sadəcə gözlərini yummaq, uğultu, titrəmək.
Pifaqorun öz teoremini necə sübut etdiyi məlum deyil. Dəqiq olan odur ki, o, onu Misir elminin güclü təsiri altında kəşf edib. Pifaqor teoreminin xüsusi halı - tərəfləri 3, 4 və 5 olan üçbucağın xassələri piramidaları inşa edənlərə Pifaqorun doğulmasından çox-çox əvvəl məlum idi və o, özü də 20 ildən çox Misir kahinlərindən öyrənmişdir. Pifaqorun məşhur teoremini sübut edərək tanrılara bir öküz, digər mənbələrə görə isə hətta 100 öküz qurban verdiyini söyləyən bir əfsanə qorunub saxlanılmışdır. Lakin bu, Pifaqorun əxlaqi və dini baxışları haqqında məlumatlarla ziddiyyət təşkil edir. Ədəbi mənbələrdə oxuya bilərsiniz ki, o, “heyvanları öldürməyi belə, onlarla qidalanmağı da qadağan edib, çünki heyvanların da bizim kimi ruhu var”. Pifaqor yalnız bal, çörək, tərəvəz və bəzən balıq yeyirdi. Bütün bunlarla əlaqədar olaraq, aşağıdakı qeydi daha inandırıcı hesab etmək olar: “... hətta düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın ayaqlara uyğun gəldiyini aşkar etdikdə belə, buğda xəmirindən hazırlanmış bir öküzü qurban verdi”.
Pifaqor teoreminin populyarlığı o qədər böyükdür ki, onun sübutlarına hətta bədii ədəbiyyatda, məsələn, məşhur ingilis yazıçısı Hakslinin “Gənc Arximed” hekayəsində rast gəlinir. Eyni Sübut, lakin ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın xüsusi halı üçün Platonun “Meno” dialoqunda verilmişdir.
"Ev" nağılı.
“Uzaq, uzaq, hətta təyyarələrin belə uçmadığı yer həndəsə ölkəsidir. Bu qeyri-adi ölkədə bir heyrətamiz şəhər var idi - Teorem şəhəri. Bir gün bu şəhərə gəldim gözəl qız Hipotenuz adlanır. O, otaq icarəyə götürməyə çalışsa da, hara müraciət etməsindən asılı olmayaraq, rədd cavabı alıb. Nəhayət o, bərbad evə yaxınlaşıb qapını döydü. Özünü Düz Bucaq adlandıran bir adam onun üzünə qapını açdı və o, Hipotenuzanı onunla yaşamağa dəvət etdi. Hipotenuz Sağ Bucaq və Katetes adlı iki gənc oğlunun yaşadığı evdə qaldı. O vaxtdan bəri, Düz Bucaq evində həyat yeni bir şəkildə dəyişdi. Hipotenuz pəncərəyə çiçəklər əkdi və ön bağçaya qırmızı qızılgüllər əkdi. Ev düz üçbucaq şəklini aldı. Hər iki ayaq hipotenuzu çox bəyəndi və ondan evlərində əbədi qalmasını istədi. Axşamlar bu mehriban ailə ailə masasına toplaşır. Bəzən Düz Bucaq uşaqları ilə gizlənqaç oynayır. Çox vaxt o, baxmaq məcburiyyətindədir və Hipotenuz o qədər məharətlə gizlənir ki, onu tapmaq çox çətin ola bilər. Bir gün, oynayarkən, Right Angle maraqlı bir xüsusiyyət gördü: əgər ayaqları tapmağı bacarırsa, hipotenuzu tapmaq çətin deyil. Beləliklə, Düz Bucaq bu nümunədən istifadə edir, deməliyəm ki, çox uğurla istifadə edir. Pifaqor teoremi bu düzbucaqlı üçbucağın xassəsinə əsaslanır”.
(A. Okunevin “Dərs üçün təşəkkür edirəm, uşaqlar” kitabından).
Teoremin yumoristik formalaşdırılması:
Əgər bizə üçbucaq verilsə
Və düz bucaqla,
Bu hipotenuzanın kvadratıdır
Biz həmişə asanlıqla tapa bilərik:
Ayaqları kvadrat edirik,
Güclərin cəmini tapırıq -
Və belə sadə bir şəkildə
Nəticəyə gələcəyik.
10-cu sinifdə cəbri və təhlilin və həndəsənin başlanğıclarını öyrənərkən əmin oldum ki, 8-ci sinifdə müzakirə olunan Pifaqor teoreminin isbat üsulu ilə yanaşı, başqa sübut üsulları da mövcuddur. Onları diqqətinizə təqdim edirəm.
2. ƏSAS HİSSƏ.
Teorem. Düzbucaqlı üçbucaqda kvadrat var
Hipotenuza ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir.
1 ÜSUL.
Çoxbucaqlıların sahələrinin xassələrindən istifadə edərək, düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayaqları arasında əlamətdar əlaqə quracağıq.
Sübut.
a, c və hipotenuza ilə(Şəkil 1, a).
Gəlin bunu sübut edək c²=a²+b².
Sübut.
Gəlin üçbucağı tərəfi olan kvadrata düzəldək a + bşəkildə göstərildiyi kimi. 1, b. Bu kvadratın S sahəsi (a + b)²-dir. Digər tərəfdən, bu kvadrat hər birinin sahəsi ½ olan dörd bərabər düzbucaqlı üçbucaqdan ibarətdir. ay , və tərəfi olan kvadrat ilə, buna görə də S = 4 * ½ aw + s² = 2aw + s².
Beləliklə,
(a + b)² = 2 aw + s²,
c²=a²+b².
Teorem sübut edilmişdir.
2 METOD.
“Oxşar üçbucaqlar” mövzusunu öyrəndikdən sonra bildim ki, üçbucaqların oxşarlığını Pifaqor teoreminin sübutuna tətbiq edə bilərsiniz. Məhz, düzbucaqlı üçbucağın ayağının hipotenuza və ayaq ilə təpədən çəkilmiş hündürlük arasında yerləşən hipotenuzanın seqmentinə mütənasib orta qiymət olduğu ifadəsini istifadə etdim. düz bucaq.
Düzbucaqlı C, CD – hündürlüyü olan düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək (şək. 2). Gəlin bunu sübut edək AC² +NE² = AB²
.
Sübut.
Düzbucaqlı üçbucağın ayağı ilə bağlı ifadəyə əsasən:
AC =, SV =.
Gəlin kvadratı götürək və alınan bərabərlikləri əlavə edək:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), burada AD+DB=AB, onda
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Sübut tamdır.
3 METOD.
Pifaqor teoremini sübut etmək üçün düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının kosinusunun tərifini tətbiq etmək olar. Şəkilə baxaq. 3.
Sübut:
Düzbucaqlı C olan verilmiş düzbucaqlı ABC olsun. Düzgün C bucağının təpəsindən CD hündürlüyünü çəkək.
Bucağın kosinusunun tərifinə görə:
cos A = AD/AC = AC/AB. Beləliklə, AB * AD = AC²
Eynilə,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Beləliklə, AB * BD = BC².
Əldə edilən bərabərlikləri terminə görə əlavə edərək və AD + DB = AB olduğunu qeyd edərək, əldə edirik:
AC² + günəş² = AB (AD + DB) = AB²
Sübut tamdır.
4 METOD.
“Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqələr” mövzusunu öyrənərək düşünürəm ki, Pifaqor teoremini başqa cür də sübut etmək olar.
Ayaqları olan düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək a, c və hipotenuza ilə. (şək. 4).
Gəlin bunu sübut edək c²=a²+b².
Sübut.
günah B= yüksək keyfiyyət ; cos B= a/c , onda əldə edilən bərabərliklərin kvadratını alırıq:
günah² B= in²/s²; cos² IN= a²/c².
Onları əlavə edərək, əldə edirik:
günah² IN+ cos² B=в²/с²+ а²/с², burada günah² IN+ cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², buna görə də,
c²= a² + b².
Sübut tamdır.
5 METOD.
Bu sübut ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların kəsilməsinə (şək. 5) və nəticədə yaranan hissələrin hipotenuza üzərində qurulmuş kvadrata yerləşdirilməsinə əsaslanır.
6 ÜSUL.
Yan tərəfdə sübut üçün Günəş qururuq BCD ABC(Şəkil 6). Bilirik ki, oxşar fiqurların sahələri onların oxşar xətti ölçülərinin kvadratları kimi əlaqələndirilir:
Birinci bərabərlikdən ikincini çıxarsaq, alırıq
c2 = a2 + b2.
Sübut tamdır.
7 ÜSUL.
verilmiş(Şəkil 7):
ABC,= 90° , günəş= a, AC=b, AB = c.
Sübut edin:c2 = a2 +b2.
Sübut.
Ayağına icazə verin b A. Seqmentə davam edək NE nöqtə başına IN və üçbucaq qurun BMD belə ki, xal M Və A düz xəttin bir tərəfində uzanın CD və bundan başqa, BD =b, BDM= 90°, DM= a, onda BMD= ABC iki tərəfdən və onların arasındakı bucaq. A nöqtələri və M seqmentlərlə əlaqə qurur AM. bizdə var M.D. CD Və A.C. CD, düzdür deməkdir AC xəttinə paralel M.D.Çünki M.D.< АС, sonra düz CD Və A.M. paralel deyil. Buna görə də, AMDC- düzbucaqlı trapesiya.
Düzbucaqlı ABC üçbucaqlarında və BMD 1 + 2 = 90 ° və 3 + 4 = 90 °, lakin = = olduğundan, 3 + 2 = 90 °; Sonra AVM=180° - 90° = 90°. Trapezoid olduğu ortaya çıxdı AMDCüç üst-üstə düşməyən düzbucaqlı üçbucağa, sonra isə sahə aksiomlarına bölünür
(a+b)(a+b)
Bərabərsizliyin bütün şərtlərini -ə bölsək, alarıq
Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Sübut tamdır.
8 METOD.
Bu üsul düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzuna və ayaqlarına əsaslanır ABC. O, müvafiq kvadratlar qurur və hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların cəminə bərabər olduğunu sübut edir (şək. 8).
Sübut.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, O deməkdir ki, FBC = DBA.
Beləliklə, FBC=ABD(iki tərəfdən və aralarındakı bucaq).
2) 
,
burada AL DE, çünki BD ümumi bazadır, DL-ümumi hündürlük.
3) 
, FB bir təməl olduğundan, AB- ümumi hündürlük.
4) 
5) Eynilə bunu sübut etmək olar 
6) Termini terminə görə əlavə edərək, əldə edirik:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Sübut tamdır.
9 ÜSUL.
Sübut.
1) Qoy ABDE- tərəfi düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasına bərabər olan kvadrat (şəkil 9). ABC= s, BC = a, AC =b).
2) Qoy DK B.C. Və DK = günəş,çünki 1 + 2 = 90 ° (düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqları kimi), 3 + 2 = 90 ° (kvadratın bucağı kimi), AB= BD(kvadratın tərəfləri).
O deməkdir ki, ABC= BDK(hipotenuza və iti bucaqla).
3) Qoy EL D.K., A.M. E.L. Asanlıqla sübut edilə bilər ki, ABC = BDK = DEL = EAM (ayaqları ilə A Və b). Sonra KS= SANTİMETR= M.L.= L.K.= A -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),ilə2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Sübut tamdır.
10 METOD.
Sübut zarafatla "Pifaqor şalvarı" adlanan fiqurda həyata keçirilə bilər (şək. 10). Onun ideyası tərəflər üzərində qurulmuş kvadratları birlikdə hipotenuzun kvadratını təşkil edən bərabər üçbucaqlara çevirməkdir.
ABC oxla göstərildiyi kimi hərəkət etdirin və o, mövqe tutur KDN. Fiqurun qalan hissəsi AKDCB kvadratın bərabər sahəsi AKDC bu paraleloqramdır AKNB.
Paraleloqram modeli hazırlanmışdır AKNB. Paraleloqramı işin məzmununda təsvir edildiyi kimi yenidən düzəldirik. Paraleloqramın bərabər sahəli üçbucağa çevrilməsini göstərmək üçün şagirdlərin gözləri qarşısında model üzərində üçbucağı kəsib aşağıya aparırıq. Beləliklə, kvadratın sahəsi AKDC düzbucaqlının sahəsinə bərabər olduğu ortaya çıxdı. Eynilə, kvadratın sahəsini düzbucaqlının sahəsinə çeviririk.
Ayağın üzərində qurulmuş bir kvadrat üçün bir transformasiya edək A(Şəkil 11,a):
a) kvadrat bərabər paraleloqrama çevrilir (şək. 11.6):
b) paraleloqram dörddəbir fırlanır (şək. 12):
c) paraleloqram bərabər düzbucaqlıya çevrilir (şək. 13): 11 METOD.
Sübut:
PCL- düz (şək. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Sübut bitdi .
12 METOD.
düyü. Şəkil 15-də Pifaqor teoreminin başqa bir orijinal sübutu göstərilir.
Burada: düz C bucağı olan ABC üçbucağı; xətt seqmenti B.F. perpendikulyar NE və ona bərabər olan seqment OLUN perpendikulyar AB və ona bərabər olan seqment AD perpendikulyar AC və ona bərabərdir; xal F, C,D eyni xəttə aiddir; dördbucaqlılar ADFB Və ASVEölçüsünə bərabərdir, çünki ABF = ECB;üçbucaqlar ADF Və ACE bərabər ölçüdə; hər iki bərabər dördbucaqlıdan ortaq üçbucağı çıxarın ABC, alırıq
, c2 = a2 +
b2.
Sübut tamdır.
13 METOD.
Verilmiş düzbucaqlı üçbucağın sahəsi bir tərəfdən bərabərdir ,
başqası ilə, ,
3. NƏTİCƏ.
Axtarış fəaliyyəti nəticəsində işin məqsədinə nail olundu ki, bu da Pifaqor teoreminin sübutu üzrə bilikləri artırmaq və ümumiləşdirmək idi. Məktəb dərsliyinin vərəqlərindən kənara çıxaraq, bunu sübut etməyin və mövzu üzrə biliklərin dərinləşdirilməsinin müxtəlif yollarını tapmaq və nəzərdən keçirmək mümkün idi.
Topladığım materiallar məni daha da inandırır ki, Pifaqor teoremi həndəsənin böyük teoremidir və çox böyük nəzəri və praktiki əhəmiyyətə malikdir. Sonda demək istərdim: Pifaqor üçlü teoreminin populyarlığının səbəbi onun gözəlliyi, sadəliyi və əhəmiyyətidir!
4. İSTİFADƏ OLUNAN ƏDƏBİYYAT.
1. Əyləncəli cəbr. . Moskva "Elm", 1978.
2. “Birinci sentyabr” qəzetinə həftəlik tədris-metodiki əlavə, 24/2001.
3. Həndəsə 7-9. və s.
4. Həndəsə 7-9. və s.
(Berlin muzeyinin 6619 papirusuna görə). Kantorun fikrincə, harpedonaptlar və ya “ip dartıcılar” tərəfləri 3, 4 və 5 olan düz üçbucaqlardan istifadə edərək düzgün bucaqlar düzəldirdilər.
Onların tikinti üsulunu təkrarlamaq çox asandır. 12 m uzunluğunda bir ip götürək və ona bir ucundan 3 m, digərindən 4 metr məsafədə rəngli bir zolaq bağlayaq. Düzgün bucaq 3 və 4 metr uzunluğunda tərəflər arasında olacaq. Harpedonaptlara etiraz etmək olar ki, onların tikinti metodu, məsələn, bütün dülgərlərin istifadə etdiyi taxta kvadratdan istifadə edilərsə, artıq olur. Həqiqətən, belə bir alətin tapıldığı Misir rəsmləri məlumdur, məsələn, dülgərlik atelyesini təsvir edən rəsmlər.
Babillilər arasında Pifaqor teoremi haqqında bir qədər daha çox şey məlumdur. Hammurabi dövrünə, yəni eramızdan əvvəl 2000-ci ilə aid bir mətndə. e. , düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasının təxmini hesablanması verilmişdir. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, Mesopotamiyada ən azı bəzi hallarda düzbucaqlı üçbucaqlarla hesablamalar apara biliblər. Van der Waerden (Hollandiya riyaziyyatçısı) bir tərəfdən Misir və Babil riyaziyyatı haqqında mövcud bilik səviyyəsinə, digər tərəfdən isə yunan mənbələrinin tənqidi araşdırmasına əsaslanaraq belə nəticəyə gəldi ki, hipotenuzanın kvadratı haqqında teorem Hindistanda eramızdan əvvəl 18-ci əsrdə məlum idi. e.
Təxminən eramızdan əvvəl 400-cü il. Eramızdan əvvəl, Prokla görə, Platon cəbr və həndəsəni birləşdirən Pifaqor üçlüyü tapmaq üçün bir üsul verdi. Təxminən eramızdan əvvəl 300-cü il. e. Pifaqor teoreminin ən qədim aksiomatik sübutu Evklidin Elementlərində ortaya çıxdı.
Tərkiblər
Həndəsi formalaşdırma:
Teorem əvvəlcə aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir:
Cəbri formula:
Yəni, üçbucağın hipotenuzunun uzunluğunu , ayaqlarının uzunluğunu isə və ilə ifadə etmək:
Teoremin hər iki tənzimləməsi ekvivalentdir, lakin ikinci tərtib daha elementardır, o, sahə anlayışını tələb etmir; Yəni, ikinci ifadəni sahə haqqında heç nə bilmədən və yalnız düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını ölçməklə yoxlanıla bilər.
Pifaqor teoreminin əksinə:
Sübut
Aktiv Bu an Elmi ədəbiyyatda bu teoremin 367 sübutu qeydə alınmışdır. Yəqin ki, Pifaqor teoremi bu qədər təsir edici sayda sübuta malik yeganə teoremdir. Bu cür müxtəlifliyi ancaq teoremin həndəsə üçün əsas əhəmiyyəti ilə izah etmək olar.
Əlbəttə ki, konseptual olaraq onların hamısını az sayda siniflərə bölmək olar. Onlardan ən məşhurları: sahə üsulu ilə sübutlar, aksiomatik və ekzotik sübutlar (məsələn, diferensial tənliklər).
Bənzər üçbucaqlar vasitəsilə
Cəbri tərtibin aşağıdakı sübutu bilavasitə aksiomalardan qurulmuş sübutların ən sadəsidir. Xüsusilə, fiqurun sahəsi anlayışından istifadə etmir.
Qoy ABC düz bucaqlı düzbucaqlı üçbucaq var C. Gəlin hündürlüyü ondan çəkək C və onun əsasını ilə işarələyin H. Üçbucaq ACHüçbucağa bənzəyir ABC iki küncdə. Eynilə, üçbucaq CBH oxşar ABC. Qeydi təqdim etməklə
alırıq
Nə ekvivalentdir
Əlavə etsək, əldə edirik
, sübut edilməli olan budurSahə metodundan istifadə edərək sübutlar
Aşağıdakı sübutlar, görünən sadəliyinə baxmayaraq, heç də o qədər də sadə deyil. Onların hamısı sahənin xüsusiyyətlərindən istifadə edir, bunun sübutu Pifaqor teoreminin özünün sübutundan daha mürəkkəbdir.
Ekviplementarlıq vasitəsilə sübut
- Şəkil 1-də göstərildiyi kimi dörd bərabər düzbucaqlı üçbucağı təşkil edək.
- Yanları olan dördbucaqlı c kvadratdır, çünki iki iti bucağın cəmi 90°, düz bucaq isə 180°-dir.
- Bütün fiqurun sahəsi bir tərəfdən tərəfi (a + b) olan kvadratın sahəsinə, digər tərəfdən isə dörd üçbucağın sahələrinin cəminə bərabərdir. daxili kvadratın sahəsi.
Q.E.D.
Evklidin sübutu
Evklidin sübutunun ideyası belədir: hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın yarısının ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların yarım sahələrinin cəminə, sonra isə onun sahələrinə bərabər olduğunu sübut etməyə çalışaq. böyük və iki kiçik kvadrat bərabərdir.
Soldakı rəsmə baxaq. Onun üzərində düzbucaqlı üçbucağın tərəflərində kvadratlar qurduq və AB hipotenuzasına perpendikulyar olan C düzgün bucağının təpəsindən s şüası çəkdik, o, hipotenuza üzərində qurulmuş ABİK kvadratını iki düzbucaqlıya - BHJI və HAKJ-ə kəsir, müvafiq olaraq. Belə çıxır ki, bu düzbucaqlıların sahələri uyğun ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinə tam bərabərdir.
DECA kvadratının sahəsinin AHJK düzbucağının sahəsinə bərabər olduğunu sübut etməyə çalışaq. verilmiş düzbucaqlı verilmiş düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir. Bu, üçbucağın sahəsini baza və hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi təyin etməyin nəticəsidir. Bu müşahidədən belə çıxır ki, ACK üçbucağının sahəsi AHK üçbucağının sahəsinə bərabərdir (şəkildə göstərilmir), bu da öz növbəsində AHJK düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir.
İndi sübut edək ki, ACK üçbucağının sahəsi də DECA kvadratının sahəsinin yarısına bərabərdir. Bunun üçün edilməli olan yeganə şey ACK və BDA üçbucaqlarının bərabərliyini sübut etməkdir (çünki BDA üçbucağının sahəsi yuxarıdakı xüsusiyyətə görə kvadratın sahəsinin yarısına bərabərdir). Bu bərabərlik göz qabağındadır: üçbucaqlar hər iki tərəfdən bərabərdir və aralarındakı bucaq. Məhz - AB=AK, AD=AC - CAK və BAD bucaqlarının bərabərliyini hərəkət üsulu ilə sübut etmək asandır: biz CAK üçbucağını saat əqrəbinin əksinə 90° fırladırıq, onda aydın olur ki, iki üçbucağın müvafiq tərəfləri sual üst-üstə düşəcək (kvadratın təpəsindəki bucaq 90° olduğuna görə).
BCFG kvadratının və BHJI düzbucağının sahələrinin bərabərliyinin əsaslandırılması tamamilə oxşardır.
Beləliklə, hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsinin ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrindən ibarət olduğunu sübut etdik. Bu sübutun arxasındakı fikir yuxarıdakı animasiya ilə daha da aydınlaşdırılır.
Leonardo da Vinçinin sübutu
Sübutun əsas elementləri simmetriya və hərəkətdir.
Rəsmi nəzərdən keçirək, simmetriyadan göründüyü kimi, seqment kvadratı iki eyni hissəyə kəsir (çünki üçbucaqlar tikintidə bərabərdir).
Nöqtə ətrafında saat əqrəbinin əksinə 90 dərəcə fırlanmadan istifadə edərək, kölgəli fiqurların bərabərliyini görürük və.
İndi aydın oldu ki, kölgələdiyimiz fiqurun sahəsi kiçik kvadratların (ayaqlar üzərində qurulmuş) sahələrinin yarısının və orijinal üçbucağın sahəsinin cəminə bərabərdir. Digər tərəfdən, bu, böyük kvadratın (hipotenuza üzərində qurulmuş) sahəsinin yarısına və orijinal üçbucağın sahəsinə bərabərdir. Beləliklə, kiçik kvadratların sahələrinin cəminin yarısı böyük kvadratın sahəsinin yarısına bərabərdir və buna görə də ayaqları üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəmi, üzərində qurulmuş kvadratın sahəsinə bərabərdir. hipotenuz.
Sonsuz kiçik üsulla sübut
Diferensial tənliklərdən istifadə edərək aşağıdakı sübut çox vaxt 20-ci əsrin birinci yarısında yaşamış məşhur ingilis riyaziyyatçısı Hardiyə aid edilir.
Şəkildə göstərilən rəsmə baxaraq və tərəfdəki dəyişikliyi müşahidə edin a, sonsuz kiçik yan artımlar üçün aşağıdakı əlaqəni yaza bilərik ilə Və a(üçbucaq oxşarlığından istifadə etməklə):
Dəyişənlərin ayrılması metodundan istifadə edərək tapırıq
Daha çox ümumi ifadə hər iki ayağın artımları halında hipotenuzu dəyişdirmək
Bu tənliyi inteqral edərək və ilkin şərtlərdən istifadə edərək əldə edirik
Beləliklə, istədiyimiz cavaba çatırıq
Göründüyü kimi, son düsturdakı kvadratik asılılıq üçbucağın tərəfləri və artımlar arasındakı xətti mütənasibliyə görə görünür, cəmi isə müxtəlif ayaqların artımından müstəqil töhfələrlə əlaqələndirilir.
Ayaqlardan birinin böyüməsini hiss etsək, daha sadə bir sübut əldə edilə bilər (in bu halda ayaq). Sonra inteqrasiya sabiti üçün əldə edirik
Variasiya və ümumiləşdirmələr
Üç tərəfdən oxşar həndəsi fiqurlar
Bənzər üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə, yaşıl formaların sahəsi A + B = mavi C sahəsi
Bənzər düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edən Pifaqor teoremi
Evklid öz işində Pifaqor teoremini ümumiləşdirdi Başlanğıclar, yanlardakı kvadratların sahələrini oxşar həndəsi fiqurların sahələrinə qədər genişləndirmək:
Bənzər qurursanız həndəsi fiqurlar(Evklid həndəsəsinə baxın) düzbucaqlı üçbucağın tərəflərində, onda iki kiçik fiqurun cəmi daha böyük fiqurun sahəsinə bərabər olacaqdır.
Bu ümumiləşdirmənin əsas ideyası ondan ibarətdir ki, belə bir həndəsi fiqurun sahəsi onun istənilən xətti ölçülərinin kvadratına və xüsusən də hər hansı tərəfin uzunluğunun kvadratına mütənasibdir. Buna görə də, sahələri olan oxşar rəqəmlər üçün A, B Və C uzunluğu ilə yanlarda tikilir a, b Və c, bizdə:
Lakin, Pifaqor teoreminə görə, a 2 + b 2 = c 2 sonra A + B = C.
Əksinə, əgər bunu sübut edə bilsək A + B = C Pifaqor teoremindən istifadə etmədən üç oxşar həndəsi fiqur üçün, əks istiqamətdə hərəkət edərək teoremin özünü sübut edə bilərik. Məsələn, başlanğıc mərkəzi üçbucaq üçbucaq kimi yenidən istifadə edilə bilər C hipotenuzda və iki oxşar düzbucaqlı ( A Və B), mərkəzi üçbucağın hündürlüyünə bölünməsi nəticəsində yaranan digər iki tərəfdə tikilmişdir. İki kiçik üçbucağın sahələrinin cəmi üçüncünün sahəsinə bərabərdir, beləliklə A + B = C və əvvəlki sübutu yerinə yetirərək tərs qaydada, a 2 + b 2 = c 2 Pifaqor teoremini alırıq.
Kosinus teoremi
Pifaqor teoremi belədir xüsusi hal ixtiyari üçbucaqda tərəflərin uzunluqlarını əlaqələndirən kosinusların daha ümumi teoremi:
burada θ tərəflər arasındakı bucaqdır a Və b.
Əgər θ 90 dərəcədirsə, cos θ = 0 və düstur adi Pifaqor teoreminə qədər sadələşir.
Pulsuz üçbucaq
Tərəfləri olan ixtiyari üçbucağın istənilən seçilmiş küncünə a, b, cİkitərəfli üçbucağı elə daxil edək ki, onun θ əsasındakı bərabər bucaqlar seçilmiş bucağa bərabər olsun. Fərz edək ki, seçilmiş bucaq θ təyin olunmuş tərəfin qarşısında yerləşir c. Nəticədə yan tərəfə qarşı yerləşən θ bucağı olan ABD üçbucağı əldə etdik a və partiyalar r. İkinci üçbucaq tərəfin əksinə yerləşən θ bucağı ilə əmələ gəlir b və partiyalar ilə uzunluq s, şəkildə göstərildiyi kimi. Sabit ibn Qurra bu üç üçbucağın tərəflərinin bir-birinə bağlı olduğunu iddia etmişdir:
θ bucağı π/2-yə yaxınlaşdıqca, ikitərəfli üçbucağın əsası kiçilir və hər iki tərəf r və s bir-birini getdikcə daha az üst-üstə düşür. θ = π/2 olduqda, AİB düzbucaqlı üçbucaq olur, r + s = c və biz ilkin Pifaqor teoremini əldə edirik.
Arqumentlərdən birini nəzərdən keçirək. ABC üçbucağı ABD üçbucağı ilə eyni bucaqlara malikdir, lakin tərs qaydada. (İki üçbucaq var ümumi bucaq B təpəsində, hər ikisinin θ bucağı var və həmçinin üçbucağın bucaqlarının cəminə görə eyni üçüncü bucağa malikdir) Müvafiq olaraq, ABC aşağı şəkildə göstərildiyi kimi DBA üçbucağının ABD əks olunmasına bənzəyir. Qarşı tərəflərlə θ bucağına bitişik olanlar arasındakı əlaqəni yazaq,
Həmçinin başqa bir üçbucağın əksi,
Gəlin kəsrləri çoxaldaq və bu iki nisbəti əlavə edək:
Q.E.D.
Paraleloqramlar vasitəsilə ixtiyari üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə
İxtiyari üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə,
yaşıl sahə sahə = sahə mavi
Yuxarıdakı şəkildəki tezisin sübutu
Kvadratların əvəzinə üç tərəfdən paraleloqramlardan istifadə etməklə düz olmayan üçbucaqlar üçün əlavə ümumiləşdirmə aparaq. (kvadratlar xüsusi haldır.) Üst rəqəm göstərir ki, kəskin üçbucaq üçün uzun tərəfdəki paraleloqramın sahəsi digər iki tərəfdəki paraleloqramların cəminə bərabərdir, bir şərtlə ki, uzun tərəfdəki paraleloqram tərəfi şəkildə göstərildiyi kimi qurulur (oxlarla göstərilən ölçülər eynidir və aşağı paraleloqramın tərəflərini müəyyənləşdirir). Kvadratların paraleloqramlarla bu şəkildə dəyişdirilməsi eramızın 4-cü ilində İsgəndəriyyəli Pappus tərəfindən tərtib edildiyi güman edilən Pifaqorun ilkin teoreminə açıq-aydın bənzəyir. e.
Aşağıdakı rəqəm sübutun gedişatını göstərir. Üçbucağın sol tərəfinə baxaq. Sol yaşıl paraleloqram eyni sahəyə malikdir sol tərəf mavi paraleloqram, çünki onların əsası eynidir b və hündürlük h. Həmçinin, sol yaşıl paraleloqram yuxarıdakı şəkildəki sol yaşıl paraleloqramla eyni sahəyə malikdir, çünki onlar ümumi bazanı (yuxarıda) bölüşürlər. sol tərəfüçbucağın) və üçbucağın həmin tərəfinə perpendikulyar olan ümumi hündürlüyü. Üçbucağın sağ tərəfi üçün oxşar mülahizələrdən istifadə edərək, aşağı paraleloqramın iki yaşıl paraleloqramla eyni sahəyə malik olduğunu sübut edəcəyik.
Kompleks ədədlər
Pifaqor teoremi Kartezyen koordinat sistemində iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmaq üçün istifadə olunur və bu teorem bütün həqiqi koordinatlar üçün etibarlıdır: məsafə s iki nöqtə arasında ( a, b) Və ( c,d) bərabərdir
Kompleks ədədlər həqiqi komponentləri olan vektorlar kimi qəbul edilərsə, düsturla bağlı heç bir problem yoxdur x + mən y = (x, y). . Məsələn, məsafə s 0 + 1 arasında i və 1 + 0 i vektorun modulu kimi hesablanır (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), və ya
Bununla belə, mürəkkəb koordinatları olan vektorlarla əməliyyatlar üçün Pifaqor düsturunda bəzi təkmilləşdirmələr etmək lazımdır. ilə nöqtələr arasındakı məsafə mürəkkəb ədədlər (a, b) Və ( c, d); a, b, c, Və d bütün kompleksi istifadə edərək formalaşdıraq mütləq dəyərlər. Məsafə s vektor fərqinə əsaslanır (a − c, b − d) aşağıdakı formada: fərq qoysun a − c = səh+i q, Harada səh- fərqin real hissəsi, q xəyali hissədir və i = √(−1). Eynilə, qoy b − d = r+i s. Sonra:
üçün kompleks qoşa sayı haradadır. Məsələn, nöqtələr arasındakı məsafə (a, b) = (0, 1) Və (c, d) = (i, 0) , fərqi hesablayaq (a − c, b − d) = (−i, 1) və mürəkkəb birləşmələr istifadə edilməsəydi, nəticə 0 olardı. Buna görə də, təkmilləşdirilmiş düsturdan istifadə edərək, əldə edirik
Modul aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
Stereometriya
Üçölçülü fəza üçün Pifaqor teoreminin əhəmiyyətli ümumiləşdirilməsi J.-P-nin adını daşıyan de Qoy teoremidir. de Gois: əgər tetraedrin düzgün bucağı varsa (kubdakı kimi), onda düzgün bucağa qarşı olan üzün sahəsinin kvadratı digər üç üzün sahələrinin kvadratlarının cəminə bərabərdir. Bu qənaəti belə ümumiləşdirmək olar” n-ölçülü Pifaqor teoremi":
Pifaqor teoremi üçölçülü məkan diaqonal AD-ni üç tərəfə birləşdirir.
Başqa bir ümumiləşdirmə: Pifaqor teoremini stereometriyaya aşağıdakı formada tətbiq etmək olar. Şəkildə göstərildiyi kimi düzbucaqlı paralelepipedi nəzərdən keçirək. Pifaqor teoremindən istifadə edərək BD diaqonalının uzunluğunu tapaq:
burada üç tərəf düzbucaqlı üçbucaq yaradır. AD diaqonalının uzunluğunu tapmaq üçün üfüqi diaqonal BD və şaquli kənar AB-dən istifadə edirik, bunun üçün yenidən Pifaqor teoremindən istifadə edirik:
və ya hər şeyi bir tənliklə yazsaq:
Bu nəticə vektorun böyüklüyünü təyin etmək üçün üçölçülü ifadədir v(diaqonal AD), onun perpendikulyar komponentləri ilə ifadə edilir ( v k ) (üç qarşılıqlı perpendikulyar tərəf):
Bu tənliyi çoxölçülü fəza üçün Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi kimi qəbul etmək olar. Bununla belə, nəticə əslində Pifaqor teoreminin ardıcıl perpendikulyar müstəvilərdə düzbucaqlı üçbucaqlar ardıcıllığına təkrar tətbiqindən başqa bir şey deyil.
Vektor məkanı
Ortoqonal vektorlar sistemi vəziyyətində bərabərlik var ki, bu da Pifaqor teoremi adlanır:
Əgər - bunlar vektorun koordinat oxlarına proyeksiyalarıdırsa, onda bu düstur Evklid məsafəsi ilə üst-üstə düşür - və vektorun uzunluğunun onun komponentlərinin kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabər olduğunu bildirir.
Sonsuz vektorlar sistemi halında bu bərabərliyin analoqu Parseval bərabərliyi adlanır.
Qeyri-Evklid həndəsəsi
Pifaqor teoremi Evklid həndəsəsinin aksiomlarından götürülüb və əslində yuxarıda yazıldığı formada qeyri-Evklid həndəsəsi üçün keçərli deyil. (Yəni Pifaqor teoreminin Evklidin paralellik postulatına bir növ ekvivalent olduğu ortaya çıxır) Başqa sözlə, qeyri-Evklid həndəsəsində üçbucağın tərəfləri arasında əlaqə mütləq Pifaqor teoremindən fərqli formada olacaqdır. Məsələn, sferik həndəsədə düzbucaqlı üçbucağın hər üç tərəfi (məsələn a, b Və c Vahid kürəsinin oktantı (səkkizinci hissəsi) məhdudlaşdıran π/2 uzunluğa malikdir, bu da Pifaqor teoreminə ziddir, çünki a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Burada qeyri-Evklid həndəsəsinin iki halını - sferik və hiperbolik həndəsəni nəzərdən keçirək; hər iki halda, düz üçbucaqlar üçün Evklid fəzasına gəldikdə, Pifaqor teoremini əvəz edən nəticə kosinus teoremindən irəli gəlir.
Bununla belə, üçbucağın düzbucaqlı olması tələbi üçbucağın iki bucağının cəminin üçüncüyə bərabər olması şərti ilə əvəz edilərsə, Pifaqor teoremi hiperbolik və elliptik həndəsə üçün etibarlı olaraq qalır. A+B = C. Sonra tərəflər arasındakı əlaqə belə görünür: diametrli dairələrin sahələrinin cəmi a Və b diametrli bir dairənin sahəsinə bərabərdir c.
Sferik həndəsə
Radiuslu kürə üzərində istənilən düzbucaqlı üçbucaq üçün R(məsələn, üçbucaqda γ bucağı düzdürsə) tərəfləri ilə a, b, c Tərəflər arasında münasibətlər belə görünəcək:
Bu bərabərlik kimi əldə edilə bilər xüsusi hal bütün sferik üçbucaqlar üçün etibarlı olan sferik kosinus teoremi:
burada cosh hiperbolik kosinusdur. Bu düstur bütün üçbucaqlar üçün keçərli olan hiperbolik kosinus teoreminin xüsusi halıdır:
burada γ təpəsi tərəfə əks olan bucaqdır c.
Harada g ij metrik tensor adlanır. Bu mövqe funksiyası ola bilər. Belə əyri xətti fəzalara Rieman həndəsəsi daxildir ümumi nümunə. Bu formula əyrixətti koordinatlardan istifadə edərkən Evklid məkanı üçün də uyğundur. Məsələn, qütb koordinatları üçün:
Vektor rəsm
Pifaqor teoremi vektor məhsulunun böyüklüyünün iki ifadəsini birləşdirir. Çarpaz məhsulu təyin etmək üçün bir yanaşma onun tənliyi təmin etməsini tələb edir:
bu düstur nöqtə məhsulundan istifadə edir. Sağ tərəf tənliyinə Qram determinantı deyilir a Və b, bu iki vektorun yaratdığı paraleloqramın sahəsinə bərabərdir. Bu tələbə, eləcə də vektor məhsulunun onun komponentlərinə perpendikulyar olması tələbinə əsaslanaraq a Və b buradan belə nəticə çıxır ki, 0 və 1 ölçülü fəzanın əhəmiyyətsiz halları istisna olmaqla, çarpaz məhsul yalnız üç və yeddi ölçüdə müəyyən edilir. Bucağın tərifindən istifadə edirik n-ölçülü fəza:
Çarpaz məhsulun bu xüsusiyyəti onun böyüklüyünü aşağıdakı kimi verir:
Pifaqorun əsas triqonometrik şəxsiyyəti vasitəsilə biz onun dəyərini yazmağın başqa bir formasını əldə edirik:
Çarpaz məhsulu təyin etmək üçün alternativ yanaşma onun böyüklüyü üçün ifadədən istifadə etməkdir. Sonra tərs qaydada düşünərək, skalyar məhsulla əlaqə əldə edirik:
həmçinin bax
Qeydlər
- Tarix mövzusu: Babil riyaziyyatında Pifaqor teoremi
- ( , s. 351) səh 351
- ( , I cild, səh. 144)
- Müzakirə tarixi faktlar(, s. 351) s. 351-də verilmişdir
- Kurt Von Fritz (aprel, 1945). "Metapontumlu Hippas tərəfindən ölçülməzliyin kəşfi". Riyaziyyat Salnamələri, İkinci Seriya(Riyaziyyat Salnamələri) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, "Düyünlərlə hekayə", M., Mir, 1985, səh. 7
- Asger Aaboe Riyaziyyatın erkən tarixindən epizodlar. - Amerika Riyaziyyat Assosiasiyası, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
- Python Təklifi Elisha Scott Loomis tərəfindən
- Evklidin Elementlər: Kitab VI, Təklif VI 31: “Düz bucaqlı üçbucaqlarda, düz bucağa daxil olan tərəfdəki fiqur, düz bucağı olan tərəflərdəki oxşar və oxşar şəkildə təsvir edilmiş fiqurlara bərabərdir.”
- Lawrence S. Leff istinad edilən əsər. - Barron Təhsil Seriyası - S. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi // Riyaziyyatda möhtəşəm məqamlar (1650-ci ilə qədər). - Amerika Riyaziyyat Assosiasiyası, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
- Tabit ibn Qorra (tam adı Sabit ibn Qurra ibn Mərvan Əl-Səbi əl-Hərrani) (miladi 826-901) Bağdadda yaşayan, Evklidin Elementləri və digər riyazi mövzularda geniş yazan bir həkim idi.
- Aydın Sayılı (Mart 1960). “Sabit ibn Qurranın Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi”. Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sallyİş 2.10 (ii) // İstinad edilən iş. - S. 62. - ISBN 0821844032
- Belə bir tikintinin təfərrüatları üçün baxın George JenningsŞəkil 1.32: Ümumiləşdirilmiş Pifaqor teoremi // Tətbiqlərlə müasir həndəsə: 150 rəqəmlə. - 3-cü. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy Maddə C: İxtiyari üçün norma n-tuple ... // Analizlərə giriş. - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Həmçinin 47-50-ci səhifələrə baxın.
- Alfred Grey, Elza Abbena, Simon Salamon Mathematica ilə əyrilərin və səthlərin müasir diferensial həndəsəsi. - 3-cü. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Matris analizi. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking istinad edilən əsər. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein CRC qısa riyaziyyat ensiklopediyası. - 2-ci. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Kvadrat kökləri və irrasional tənlikləri (kök işarəsi altında naməlum olan bərabərlikləri) necə həll etməyi öyrənməyə ilk dəfə başladığınız zaman, yəqin ki, onların praktik istifadəsindən ilk zövq almısınız. Çıxarma qabiliyyəti Kvadrat kökədədlərdən də Pifaqor teoremindən istifadə edərək məsələləri həll etmək lazımdır. Bu teorem istənilən düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını əlaqələndirir.
Düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının uzunluqları (düz bucaq altında birləşən iki tərəf) və hərfləri ilə, hipotenuzanın uzunluğu (düz bucağın qarşısında yerləşən üçbucağın ən uzun tərəfi) ilə təyin olunsun. məktub. Sonra müvafiq uzunluqlar aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir:
Bu tənlik düzbucaqlı üçbucağın digər iki tərəfinin uzunluğu məlum olduqda onun tərəfinin uzunluğunu tapmağa imkan verir. Bundan əlavə, hər üç tərəfin uzunluğunun əvvəlcədən məlum olması şərti ilə sözügedən üçbucağın düzbucaqlı olub-olmadığını müəyyən etməyə imkan verir.
Pifaqor teoremindən istifadə edərək məsələlərin həlli
Materialı möhkəmləndirmək üçün Pifaqor teoremindən istifadə edərək aşağıdakı məsələləri həll edəcəyik.
Beləliklə, verilmişdir:
- Ayaqlardan birinin uzunluğu 48, hipotenuzası 80-dir.
- Ayağın uzunluğu 84, hipotenuzası 91-dir.
Həll yoluna keçək:
a) Verilənləri yuxarıdakı tənliyə əvəz etmək aşağıdakı nəticələri verir:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 və ya b = -64
Üçbucağın tərəfinin uzunluğunu ifadə etmək mümkün olmadığı üçün mənfi rəqəm, ikinci seçim avtomatik olaraq ləğv edilir.
Birinci şəkilə cavab: b = 64.
b) İkinci üçbucağın ayağının uzunluğu eyni şəkildə tapılır:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 və ya b = -35
Əvvəlki halda olduğu kimi, mənfi qərar ləğv edilir.
İkinci şəkilə cavab: b = 35
Bizə verilir:
- Üçbucağın kiçik tərəflərinin uzunluqları müvafiq olaraq 45 və 55, böyük tərəfləri isə 75-dir.
- Üçbucağın kiçik tərəflərinin uzunluqları müvafiq olaraq 28 və 45, böyük tərəfləri isə 53-dür.
Problemi həll edək:
a) Verilmiş üçbucağın qısa tərəflərinin uzunluqlarının kvadratlarının cəminin böyükünün uzunluğunun kvadratına bərabər olub olmadığını yoxlamaq lazımdır:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Buna görə də birinci üçbucaq düzbucaqlı üçbucaq deyil.
b) Eyni əməliyyat həyata keçirilir:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Deməli, ikinci üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır.
Əvvəlcə (-2, -3) və (5, -2) koordinatları olan nöqtələrin yaratdığı ən böyük seqmentin uzunluğunu tapaq. Bunun üçün istifadə edirik tanınmış formula Düzbucaqlı koordinat sistemində nöqtələr arasındakı məsafəni tapmaq üçün:
Eynilə, (-2, -3) və (2, 1) koordinatları olan nöqtələr arasında yerləşən seqmentin uzunluğunu tapırıq:
Nəhayət, (2, 1) və (5, -2) koordinatları olan nöqtələr arasındakı seqmentin uzunluğunu müəyyənləşdiririk:
Bərabərlik olduğu üçün:
onda müvafiq üçbucaq düzbucaqlıdır.
Beləliklə, məsələnin cavabını tərtib edə bilərik: ən qısa uzunluğa malik tərəflərin kvadratlarının cəmi ən uzun tərəfin kvadratına bərabər olduğundan, nöqtələr düzbucaqlı üçbucağın təpələridir.
Kabelin uzunluğunu tapmaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə edilə bilən əsas (ciddi üfüqi), tıxac (ciddi şaquli olaraq yerləşir) və kabel (diaqonal olaraq uzanan) müvafiq olaraq düzbucaqlı üçbucaq təşkil edir:
Beləliklə, kabelin uzunluğu təxminən 3,6 metr olacaq.
Verilmişdir: R nöqtəsindən P nöqtəsinə (üçbucağın ayağı) məsafə 24, R nöqtəsindən Q nöqtəsinə (hipotenuza) 26-dır.
Beləliklə, gəlin Vitaya problemi həll etməyə kömək edək. Şəkildə göstərilən üçbucağın tərəfləri düzbucaqlı üçbucaq yaratmalı olduğundan, üçüncü tərəfin uzunluğunu tapmaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə edə bilərsiniz:
Belə ki, gölməçənin eni 10 metrdir.
Sergey Valerieviç
Pifaqor teoremi- əlaqəni quran Evklid həndəsəsinin əsas teoremlərindən biri
düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasında.
Onun adını daşıyan yunan riyaziyyatçısı Pifaqor tərəfindən sübut olunduğu güman edilir.
Pifaqor teoreminin həndəsi formalaşdırılması.
Teorem əvvəlcə aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir:
Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi kvadratların sahələrinin cəminə bərabərdir,
ayaqları üzərində qurulmuşdur.
Pifaqor teoreminin cəbri formalaşdırılması.
Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın uzunluğunun kvadratı ayaqların uzunluqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir.
Yəni, üçbucağın hipotenuzunun uzunluğunu ilə işarələmək c, və vasitəsilə ayaqların uzunluqları a Və b:
Hər iki formula Pifaqor teoremi ekvivalentdir, lakin ikinci formula daha elementardır, yox
sahə anlayışını tələb edir. Yəni, ikinci ifadəni ərazi və heç bir şey bilmədən yoxlamaq olar
düzbucaqlı üçbucağın yalnız tərəflərinin uzunluqlarını ölçməklə.
Pifaqor teoremini tərsinə çevirin.
Üçbucağın bir tərəfinin kvadratı digər iki tərəfin kvadratlarının cəminə bərabərdirsə, onda
düz üçbucaq.
Və ya başqa sözlə:
Müsbət ədədlərin hər üçlüyü üçün a, b Və c, belə
ayaqları olan düzbucaqlı üçbucaq var a Və b və hipotenuza c.
İkitərəfli üçbucaq üçün Pifaqor teoremi.
Bərabər üçbucaq üçün Pifaqor teoremi.
Pifaqor teoreminin sübutları.
Hazırda elmi ədəbiyyatda bu teoremin 367 sübutu qeydə alınıb. Yəqin ki, teoremdir
Pifaqor belə təsirli sayda sübuta malik yeganə teoremdir. Belə müxtəliflik
yalnız teoremin həndəsə üçün əsas əhəmiyyəti ilə izah oluna bilər.
Əlbəttə ki, konseptual olaraq onların hamısını az sayda siniflərə bölmək olar. Onlardan ən məşhurları:
sübut sahə üsulu, aksiomatik Və ekzotik dəlil(Misal üçün,
istifadə etməklə diferensial tənliklər).
1. Oxşar üçbucaqlardan istifadə etməklə Pifaqor teoreminin sübutu.
Cəbri tərtibin aşağıdakı sübutu qurulmuş sübutların ən sadəsidir
bilavasitə aksiomalardan. Xüsusilə, fiqurun sahəsi anlayışından istifadə etmir.
Qoy ABC düz bucaqlı düzbucaqlı üçbucaq var C. Gəlin hündürlüyü ondan çəkək C və işarə edir
vasitəsilə onun təməli qoyulur H.
Üçbucaq ACHüçbucağa bənzəyir AB C iki küncdə. Eynilə, üçbucaq CBH oxşar ABC.
Qeydi təqdim etməklə:
alırıq:
,
uyğun gəlir -
Qatlanmış a 2 və b 2, alırıq:
və ya sübut edilməli olan budur.
2. Sahə üsulu ilə Pifaqor teoreminin isbatı.
Aşağıdakı sübutlar, görünən sadəliyinə baxmayaraq, heç də o qədər də sadə deyil. Onların hamısı
isbatları Pifaqor teoreminin özünün sübutundan daha mürəkkəb olan sahənin xassələrindən istifadə edin.
- Ekviplementarlıq vasitəsilə sübut.
Gəlin dörd bərabər düzbucaqlı təşkil edək
şəkildə göstərildiyi kimi üçbucaq
sağda.
Yanları olan dördbucaqlı c- kvadrat,
iki iti bucağın cəmi 90° olduğundan və
açılmamış bucaq - 180 °.
Bütün fiqurun sahəsi bərabərdir, bir tərəfdən,
tərəfi olan kvadratın sahəsi ( a+b), digər tərəfdən isə dörd üçbucağın sahələrinin cəmi və
Q.E.D.
3. Pifaqor teoreminin sonsuz kiçik metodu ilə sübutu.
Şəkildə göstərilən rəsmə baxaraq və
tərəfin dəyişməsini izləyira, Biz bacarırıq
sonsuz üçün aşağıdakı əlaqəni yazın
kiçik yan artımlarilə Və a(oxşarlıqdan istifadə etməklə
üçbucaqlar):
Dəyişən ayırma metodundan istifadə edərək, tapırıq:
Hər iki tərəfdən artımlar halında hipotenuzanın dəyişməsi üçün daha ümumi ifadə:
Bu tənliyi inteqral edərək və ilkin şərtlərdən istifadə edərək əldə edirik:
Beləliklə, istədiyimiz cavaba gəlirik:
Göründüyü kimi, son düsturdakı kvadratik asılılıq xəttinə görə görünür
üçbucağın tərəfləri ilə artımlar arasında mütənasiblik, cəmi isə müstəqil
müxtəlif ayaqların artımından töhfələr.
Ayaqlardan birində artım yaşanmadığını fərz etsək daha sadə bir sübut əldə etmək olar
(bu halda ayaq b). Sonra inteqrasiya sabiti üçün əldə edirik:
Pifaqor teoremi
Eynilə, CBH üçbucağı ABC-yə bənzəyir. Qeydi təqdim etməklə 
1. Şəkildə göstərildiyi kimi dörd bərabər düzbucaqlı üçbucağı qoyun. 
Evklidin sübutunun ideyası belədir: hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın yarısının ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların yarım sahələrinin cəminə, sonra isə onun sahələrinə bərabər olduğunu sübut etməyə çalışaq. böyük və iki kiçik kvadrat bərabərdir. Soldakı rəsmə baxaq. Onun üzərində düzbucaqlı üçbucağın tərəflərində kvadratlar qurduq və AB hipotenuzasına perpendikulyar olan C düzgün bucağının təpəsindən s şüası çəkdik, o, hipotenuza üzərində qurulmuş ABİK kvadratını iki düzbucaqlıya - BHJI və HAKJ-ə kəsir, müvafiq olaraq. Belə çıxır ki, bu düzbucaqlıların sahələri uyğun ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinə tam bərabərdir. DECA kvadratının sahəsinin AHJK düzbucağının sahəsinə bərabər olduğunu sübut etməyə çalışaq. verilmiş düzbucaqlı verilmiş düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir. Bu, üçbucağın sahəsini baza və hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi təyin etməyin nəticəsidir. Bu müşahidədən belə çıxır ki, ACK üçbucağının sahəsi AHK üçbucağının sahəsinə bərabərdir (şəkildə göstərilmir), bu da öz növbəsində AHJK düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir. İndi sübut edək ki, ACK üçbucağının sahəsi də DECA kvadratının sahəsinin yarısına bərabərdir. Bunun üçün edilməli olan yeganə şey ACK və BDA üçbucaqlarının bərabərliyini sübut etməkdir (çünki BDA üçbucağının sahəsi yuxarıdakı xüsusiyyətə görə kvadratın sahəsinin yarısına bərabərdir). Bu bərabərlik göz qabağındadır, üçbucaqlar hər iki tərəfdən bərabərdir və aralarındakı bucaq. Məhz - AB=AK,AD=AC - CAK və BAD bucaqlarının bərabərliyini hərəkət üsulu ilə sübut etmək asandır: biz CAK üçbucağını saat əqrəbinin əksinə 90° fırladırıq, onda aydın olur ki, iki üçbucağın müvafiq tərəfləri sual üst-üstə düşəcək (kvadratın təpəsindəki bucaq 90° olduğuna görə). BCFG kvadratının və BHJI düzbucağının sahələrinin bərabərliyinin əsaslandırılması tamamilə oxşardır. Beləliklə, hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsinin ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrindən ibarət olduğunu sübut etdik. 
Rəsmi nəzərdən keçirək, simmetriyadan göründüyü kimi, CI seqmenti ABHJ kvadratını iki eyni hissəyə kəsir (çünki ABC və JHI üçbucaqları konstruksiyaya görə bərabərdir). Saat əqrəbinin əksi istiqamətində 90 dərəcə fırlanmadan istifadə edərək biz kölgələnmiş CAJI və GDAB rəqəmlərinin bərabərliyini görürük. İndi aydın oldu ki, kölgələdiyimiz fiqurun sahəsi ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların yarısının və orijinal üçbucağın sahəsinin cəminə bərabərdir. Digər tərəfdən, hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsinin yarısına, üstəgəl orijinal üçbucağın sahəsinə bərabərdir. Sübutda son addım oxucunun ixtiyarına verilir.
