Bu videoda eyni alqoritmdən istifadə edərək həll olunan xətti tənliklərin bütün dəstini təhlil edəcəyik - buna görə də onlar ən sadə adlanırlar.
Əvvəlcə müəyyən edək: xətti tənlik nədir və hansı ən sadə adlanır?
Xətti tənlik yalnız bir dəyişənin və yalnız birinci dərəcənin olduğu bir tənlikdir.
Ən sadə tənlik tikinti deməkdir:
Bütün digər xətti tənliklər alqoritmdən istifadə edərək ən sadəyə endirilir:
- Əgər varsa, mötərizələri genişləndirin;
- Tərkibində dəyişən olan şərtləri bərabər işarəsinin bir tərəfinə, dəyişəni olmayan şərtləri isə digər tərəfə köçürün;
- Bərabər işarənin soluna və sağına oxşar terminlər verin;
- Yaranan tənliyi $x$ dəyişəninin əmsalına bölün.
Əlbəttə ki, bu alqoritm həmişə kömək etmir. Fakt budur ki, bəzən bütün bu maxinasiyalardan sonra $x$ dəyişəninin əmsalı sıfıra bərabər olur. Bu vəziyyətdə iki seçim mümkündür:
- Tənliyin heç bir həlli yoxdur. Məsələn, $0\cdot x=8$ kimi bir şey çıxdıqda, yəni. solda sıfır, sağda isə sıfırdan başqa bir ədəddir. Aşağıdakı videoda bu vəziyyətin mümkün olmasının bir neçə səbəbini nəzərdən keçirəcəyik.
- Həll bütün rəqəmlərdir. Bunun mümkün olduğu yeganə hal tənliyin $0\cdot x=0$ konstruksiyasına endirilməsidir. Tamamilə məntiqlidir ki, hansı $x$-ı əvəz etsək də, yenə də “sıfır sıfıra bərabərdir” çıxacaq, yəni. düzgün ədədi bərabərlik.
İndi gəlin bütün bunların real həyat nümunələrindən istifadə edərək necə işlədiyini görək.
Tənliklərin həlli nümunələri
Bu gün biz xətti tənliklərlə və yalnız ən sadələri ilə məşğul oluruq. Ümumiyyətlə, xətti tənlik tam bir dəyişəni ehtiva edən hər hansı bərabərlik deməkdir və o, yalnız birinci dərəcəyə qədər gedir.
Bu cür tikintilər təxminən eyni şəkildə həll olunur:
- Hər şeydən əvvəl, əgər varsa, mötərizələri genişləndirməlisiniz (son nümunəmizdə olduğu kimi);
- Sonra oxşar birləşdirin
- Nəhayət, dəyişəni təcrid edin, yəni. dəyişənlə əlaqəli hər şeyi - onun daxil olduğu terminləri - bir tərəfə, onsuz qalan hər şeyi digər tərəfə köçürün.
Sonra, bir qayda olaraq, yaranan bərabərliyin hər tərəfində oxşar olanları verməlisiniz və bundan sonra "x" əmsalına bölmək qalır və son cavabı alacağıq.
Teorik olaraq, bu gözəl və sadə görünür, lakin praktikada hətta təcrübəli orta məktəb tələbələri kifayət qədər sadə xətti tənliklərdə təhqiredici səhvlər edə bilərlər. Tipik olaraq, ya mötərizələri açarkən, ya da "artıları" və "mənfiləri" hesablayarkən səhvlər edilir.
Bundan əlavə, belə olur ki, xətti tənliyin heç bir həlli yoxdur və ya həll bütün ədəd xəttidir, yəni. istənilən nömrə. Bu incəliklərə bugünkü dərsimizdə baxacağıq. Ancaq artıq başa düşdüyünüz kimi, biz başlayacağıq sadə tapşırıqlar.
Sadə xətti tənliklərin həlli sxemi
Əvvəlcə icazə verin, ən sadə xətti tənliklərin həlli üçün bütün sxemi bir daha yazım:
- Mötərizələr varsa, genişləndirin.
- Dəyişənləri təcrid edirik, yəni. İçərisində "X" olan hər şeyi bir tərəfə, "X" olmayan hər şeyi digər tərəfə keçiririk.
- Oxşar terminləri təqdim edirik.
- Hər şeyi "x" əmsalı ilə bölürük.
Əlbəttə ki, bu sxem həmişə işləmir;
Sadə xətti tənliklərin real nümunələrinin həlli
Tapşırıq №1
İlk addım bizdən mötərizələri açmağı tələb edir. Lakin onlar bu nümunədə deyillər, ona görə də bu addımı atlayırıq. İkinci mərhələdə dəyişənləri təcrid etməliyik. Diqqət yetirin: söhbət yalnız fərdi şərtlərdən gedir. Onu yazaq:
Biz solda və sağda oxşar şərtləri təqdim edirik, lakin bu, artıq burada edilib. Beləliklə, dördüncü addıma keçirik: əmsala bölün:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Beləliklə, cavabı aldıq.
Tapşırıq № 2
Bu problemdə mötərizələri görə bilərik, ona görə də onları genişləndirək:
Həm solda, həm də sağda təxminən eyni dizaynı görürük, amma alqoritmə uyğun hərəkət edək, yəni. dəyişənlərin ayrılması:
Budur bəzi oxşarlar:
Bu hansı köklərə əsaslanır? Cavab: istənilən üçün. Buna görə də yaza bilərik ki, $x$ istənilən ədəddir.
Tapşırıq №3
Üçüncü xətti tənlik daha maraqlıdır:
\[\sol(6-x \sağ)+\sol(12+x \sağ)-\sol(3-2x \sağ)=15\]
Burada bir neçə mötərizə var, lakin onlar heç bir şeylə vurulmur, sadəcə olaraq müxtəlif işarələrdən əvvəl gəlirlər. Gəlin onları parçalayaq:
Artıq bizə məlum olan ikinci addımı yerinə yetiririk:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Riyaziyyatı edək:
Son addımı yerinə yetiririk - hər şeyi "x" əmsalına bölün:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Xətti tənlikləri həll edərkən yadda saxlamaq lazım olanlar
Əgər çox sadə tapşırıqlara məhəl qoymuruqsa, aşağıdakıları demək istərdim:
- Yuxarıda dediyim kimi, hər xətti tənliyin həlli yoxdur - bəzən sadəcə köklər olmur;
- Köklər olsa belə, onların arasında sıfır ola bilər - bunda qəbahət yoxdur.
Sıfır digərləri ilə eyni rəqəmdir, heç bir şəkildə ona qarşı ayrı-seçkilik etməməlisiniz və ya sıfır alsanız, səhv bir şey etdiyinizi düşünməməlisiniz.
Başqa bir xüsusiyyət mötərizənin açılması ilə bağlıdır. Diqqət edin: onların qarşısında "mənfi" olduqda, onu çıxarırıq, lakin mötərizədə işarələri dəyişdiririk əks. Və sonra standart alqoritmlərdən istifadə edərək onu aça bilərik: yuxarıdakı hesablamalarda gördüklərimizi alacağıq.
Bu sadə həqiqəti başa düşmək, orta məktəbdə belə şeylər etmək adi bir şey kimi qəbul edilərkən, axmaq və incidəcək səhvlərdən qaçmağa kömək edəcək.
Mürəkkəb xətti tənliklərin həlli
Daha mürəkkəb tənliklərə keçək. İndi konstruksiyalar daha mürəkkəbləşəcək və müxtəlif çevrilmələri yerinə yetirərkən kvadrat funksiya meydana çıxacaq. Bununla belə, bundan qorxmamalıyıq, çünki müəllifin planına uyğun olaraq xətti tənliyi həll ediriksə, çevrilmə prosesində kvadrat funksiyası olan bütün monomiallar mütləq ləğv ediləcəkdir.
Nümunə № 1
Aydındır ki, ilk addım mötərizələri açmaqdır. Bunu çox diqqətlə edək:
İndi məxfiliyə nəzər salaq:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Budur bəzi oxşarlar:
Aydındır ki, bu tənliyin həlli yoxdur, ona görə də bunu cavabda yazacağıq:
\[\varnothing\]
ya da kökləri yoxdur.
Nümunə № 2
Eyni hərəkətləri edirik. İlk addım:
Dəyişən ilə hər şeyi sola, onsuz isə sağa keçirək:
Budur bəzi oxşarlar:
Aydındır ki, bu xətti tənliyin həlli yoxdur, ona görə də onu bu şəkildə yazacağıq:
\[\varnothing\],
ya da kökləri yoxdur.
Həllin nüansları
Hər iki tənlik tamamilə həll olunur. Bu iki ifadədən nümunə götürərək bir daha əmin olduq ki, hətta ən sadə xətti tənliklərdə belə hər şey o qədər də sadə olmaya bilər: ya bir, ya heç biri, ya da sonsuz sayda kök ola bilər. Bizim vəziyyətimizdə iki tənliyi nəzərdən keçirdik, hər ikisinin sadəcə kökləri yoxdur.
Amma diqqətinizi başqa bir fakta cəlb etmək istərdim: mötərizələrlə necə işləmək və qarşısında mənfi işarə varsa, onları necə açmaq olar. Bu ifadəni nəzərdən keçirin:
Açmadan əvvəl hər şeyi "X" ilə vurmalısınız. Diqqət edin: çoxalır hər bir fərdi termin. İçəridə iki termin var - müvafiq olaraq, iki şərt və vurulur.
Və yalnız bu elementar görünən, lakin çox vacib və təhlükəli çevrilmələr tamamlandıqdan sonra, mötərizəni ondan sonra mənfi işarənin olması baxımından aça bilərsiniz. Bəli, bəli: yalnız indi, çevrilmələr başa çatdıqda, mötərizələrin qarşısında mənfi işarənin olduğunu xatırlayırıq, yəni aşağıda hər şey sadəcə işarələri dəyişir. Eyni zamanda, mötərizələr özləri yox olur və ən əsası, ön "mənfi" də yox olur.
İkinci tənliklə də eyni şeyi edirik:
Təsadüfi deyil ki, bu kiçik, əhəmiyyətsiz görünən faktlara diqqət yetirirəm. Çünki tənliklərin həlli həmişə elementar çevrilmələrin ardıcıllığıdır, burada sadə hərəkətləri aydın və bacarıqla yerinə yetirə bilməmək orta məktəb şagirdlərinin mənim yanıma gələrək belə sadə tənlikləri həll etməyi yenidən öyrənməsinə gətirib çıxarır.
Təbii ki, gün gələcək ki, siz bu bacarıqları avtomatlaşdıra biləcəksiniz. Artıq hər dəfə bu qədər transformasiya etmək məcburiyyətində qalmayacaqsınız, hər şeyi bir sətirə yazacaqsınız; Ancaq yeni öyrənərkən, hər bir hərəkəti ayrıca yazmalısınız.
Daha mürəkkəb xətti tənliklərin həlli
İndi həll edəcəyimiz şeyi çətin ki, ən sadə tapşırıq adlandırmaq olar, amma məna eyni olaraq qalır.
Tapşırıq №1
\[\sol(7x+1 \sağ)\left(3x-1 \sağ)-21((x)^(2))=3\]
Birinci hissədəki bütün elementləri çoxaldaq:
Bir az məxfilik edək:
Budur bəzi oxşarlar:
Son addımı tamamlayaq:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Son cavabımız budur. Və həll prosesində kvadrat funksiyalı əmsallarımız olmasına baxmayaraq, onlar bir-birini ləğv etdilər, bu da tənliyi kvadrat deyil, xətti edir.
Tapşırıq № 2
\[\sol(1-4x \sağ)\sol(1-3x \sağ)=6x\sol(2x-1 \sağ)\]
Gəlin ilk addımı diqqətlə yerinə yetirək: birinci mötərizədən hər bir elementi ikincidən hər bir elementə vurun. Dəyişikliklərdən sonra cəmi dörd yeni termin olmalıdır:
İndi hər bir termində çoxalmanı diqqətlə yerinə yetirək:
“X” olan şərtləri sola, olmayanları isə sağa köçürək:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Budur oxşar terminlər:
Yenə yekun cavabı aldıq.
Həllin nüansları
Bu iki tənliklə bağlı ən vacib qeyd aşağıdakılardır: birdən çox termini ehtiva edən mötərizələri çoxaltmağa başlayan kimi bu, aşağıdakı qaydaya uyğun olaraq həyata keçirilir: birinci həddi birincidən götürürük və hər bir elementlə çoxalırıq. ikinci; onda birincidən ikinci elementi götürürük və eyni şəkildə ikincinin hər bir elementi ilə çoxalırıq. Nəticədə dörd müddətimiz olacaq.
Cəbri cəmi haqqında
Bu son misalla mən tələbələrə cəbri cəminin nə olduğunu xatırlatmaq istərdim. Klassik riyaziyyatda 1-7$ dedikdə sadə konstruksiya nəzərdə tutulur: birdən yeddi çıxın. Cəbrdə biz bununla aşağıdakıları nəzərdə tuturuq: “bir” rəqəminə başqa bir rəqəm, yəni “mənfi yeddi” əlavə edirik. Cəbri cəmi adi arifmetik cəmdən belə fərqlənir.
Bütün çevrilmələri, hər bir əlavə və vurmanı yerinə yetirərkən yuxarıda təsvir edilənlərə bənzər konstruksiyalar görməyə başlayan kimi, polinomlar və tənliklərlə işləyərkən cəbrdə heç bir probleminiz olmayacaq.
Nəhayət, indi baxdığımızdan daha mürəkkəb olacaq bir neçə nümunəyə baxaq və onları həll etmək üçün standart alqoritmimizi bir qədər genişləndirməli olacağıq.
Kəsrlərlə tənliklərin həlli
Bu cür vəzifələri həll etmək üçün alqoritmimizə daha bir addım əlavə etməli olacağıq. Ancaq əvvəlcə alqoritmimizi xatırlatmağa icazə verin:
- Mötərizələri açın.
- Ayrı-ayrı dəyişənlər.
- Bənzərlərini gətirin.
- Nisbətə bölün.
Təəssüf ki, bu gözəl alqoritm, bütün effektivliyinə baxmayaraq, qarşımızda fraksiyalar olduqda tamamilə uyğun deyil. Aşağıda görəcəyimiz şeydə hər iki tənlikdə həm solda, həm də sağda kəsrimiz var.
Bu vəziyyətdə necə işləmək olar? Bəli, çox sadədir! Bunu etmək üçün alqoritmə daha bir addım əlavə etməlisiniz, bu həm ilk hərəkətdən əvvəl, həm də sonra edilə bilər, yəni fraksiyalardan xilas olmaq. Beləliklə, alqoritm aşağıdakı kimi olacaq:
- Fraksiyalardan qurtulun.
- Mötərizələri açın.
- Ayrı-ayrı dəyişənlər.
- Bənzərlərini gətirin.
- Nisbətə bölün.
“Kəsrlərdən qurtulmaq” nə deməkdir? Və nə üçün bunu həm ilk standart addımdan sonra, həm də ondan əvvəl etmək olar? Əslində, bizim vəziyyətimizdə, bütün fraksiyalar məxrəcində ədədidir, yəni. Hər yerdə məxrəc sadəcə bir rəqəmdir. Ona görə də tənliyin hər iki tərəfini bu ədədə vursaq, kəsrlərdən xilas olarıq.
Nümunə № 1
\[\frac(\left(2x+1 \sağ)\left(2x-3 \sağ))(4)=((x)^(2))-1\]
Bu tənlikdəki kəsrlərdən xilas olaq:
\[\frac(\left(2x+1 \sağ)\left(2x-3 \sağ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \sağ)\cdot 4\]
Xahiş edirik unutmayın: hər şey bir dəfə "dörd" ilə vurulur, yəni. sırf iki mötərizənin olması o demək deyil ki, hər birini “dörd”ə vurmalısan. Gəlin yazaq:
\[\left(2x+1 \sağ)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \sağ)\cdot 4\]
İndi genişləndirək:
Dəyişənləri xaric edirik:
Oxşar terminlərin ixtisarını həyata keçiririk:
\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Aldıq son qərar, keçək ikinci tənliyə.
Nümunə № 2
\[\frac(\left(1-x \sağ)\left(1+5x \sağ))(5)+(x)^(2))=1\]
Burada bütün eyni hərəkətləri edirik:
\[\frac(\left(1-x \sağ)\left(1+5x \sağ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem həll olunur.
Əslində, bu gün sizə demək istədiyim tək şey budur.
Əsas məqamlar
Əsas tapıntılar bunlardır:
- Xətti tənliklərin həlli alqoritmini bilmək.
- Mötərizələri açmaq bacarığı.
- Görsəniz narahat olmayın kvadratik funksiyalar, çox güman ki, sonrakı çevrilmə prosesində onlar azalacaq.
- Xətti tənliklərdə üç növ kök var, hətta ən sadələri də: bir tək kök, bütün say xətti kökdür və kök yoxdur.
Ümid edirəm ki, bu dərs bütün riyaziyyatı daha yaxşı başa düşmək üçün sadə, lakin çox vacib bir mövzunu mənimsəməyə kömək edəcək. Bir şey aydın deyilsə, sayta daxil olun və orada təqdim olunan nümunələri həll edin. İzləmədə qalın, sizi daha çox maraqlı şeylər gözləyir!
Xətti tənliklər. Həll, nümunələr.
Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox ..." olanlar üçün)
Xətti tənliklər.
Xətti tənliklər- məktəb riyaziyyatında ən çətin mövzu deyil. Ancaq orada bəzi fəndlər var ki, hətta təlim keçmiş tələbəni də çaşdıra bilər. Gəlin bunu anlayaq?)
Tipik olaraq xətti tənlik formanın tənliyi kimi müəyyən edilir:
balta + b = 0 Harada a və b- istənilən nömrələr.
2x + 7 = 0. Burada a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Burada a=0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Burada a=12, b=1/2
Mürəkkəb bir şey yoxdur, elə deyilmi? Xüsusilə sözləri görmürsənsə: "burada a və b istənilən ədəddir"... Əgər fikirləşirsinizsə və ehtiyatsızlıqla bu barədə düşünürsünüzsə?) Axı, əgər a=0, b=0(hər hansı bir rəqəm mümkündür?), onda gülməli bir ifadə alırıq:
Ancaq bu, hamısı deyil! Əgər desək, a=0, A b=5, Bunun tamamilə qeyri-adi bir şey olduğu ortaya çıxır:
Hansı ki, bezdirici və riyaziyyata inamı sarsıdan, bəli...) Xüsusilə də imtahanlar zamanı. Ancaq bu qəribə ifadələrdən X-i də tapmaq lazımdır! Hansı ki, ümumiyyətlə yoxdur. Və təəccüblüdür ki, bu X tapmaq çox asandır. Bunu etməyi öyrənəcəyik. Bu dərsdə.
Xətti tənliyi görünüşünə görə necə tanımaq olar? Nədən asılıdır görünüş.) İş ondadır ki, təkcə formalı tənliklərə xətti tənliklər deyilmir balta + b = 0 , həm də çevrilmə və sadələşdirmə yolu ilə bu formaya endirilə bilən hər hansı tənliklər. Və kim bilir ki, enir ya yox?)
Xətti tənlik bəzi hallarda aydın şəkildə tanınır. Tutaq ki, əgər bizdə yalnız birinci dərəcəli bilinməyənlər və ədədlər olan bir tənlik varsa. Və tənlikdə yoxdur kəsrlərə bölünür naməlum , vacibdir! Və bölmə nömrə, və ya ədədi fraksiya - xoş gəlmisiniz! Misal üçün:
Bu xətti tənlikdir. Burada kəsrlər var, lakin kvadratda, kubda və s.-də x yoxdur, məxrəclərdə isə x yoxdur, yəni. Yox x-ə bölmə. Və burada tənlik var
xətti adlandırmaq olmaz. Burada X-lərin hamısı birinci dərəcədədir, lakin var x ilə ifadə ilə bölmə. Sadələşdirmə və çevrilmələrdən sonra xətti tənlik, kvadrat tənlik və ya istədiyiniz hər şeyi əldə edə bilərsiniz.
Belə çıxır ki, hansısa mürəkkəb misalda xətti tənliyi demək olar ki, həll etməyincə onu tanımaq mümkün deyil. Bu üzücüdür. Ancaq tapşırıqlarda, bir qayda olaraq, tənliyin forması haqqında soruşmurlar, elə deyilmi? Tapşırıqlar tənliklər tələb edir qərar ver. Bu məni xoşbəxt edir.)
Xətti tənliklərin həlli. Nümunələr.
Xətti tənliklərin bütün həlli tənliklərin eyni çevrilmələrindən ibarətdir. Yeri gəlmişkən, bu transformasiyalar (onlardan ikisi!) həllərin əsasını təşkil edir riyaziyyatın bütün tənlikləri. Başqa sözlə, həll yolu hər hansı tənlik məhz bu çevrilmələrlə başlayır. Xətti tənliklər vəziyyətində o (həlli) bu çevrilmələrə əsaslanır və tam cavabla bitir. Linki izləməyin mənası var, eləmi?) Üstəlik orada xətti tənliklərin həlli nümunələri də var.
Əvvəlcə ən sadə nümunəyə baxaq. Heç bir tələ olmadan. Tutaq ki, bu tənliyi həll etməliyik.
x - 3 = 2 - 4x
Bu xətti tənlikdir. X-lərin hamısı birinci gücdədir, X-ə bölmə yoxdur. Amma əslində bunun hansı tənlik olmasının bizim üçün heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Biz bunu həll etməliyik. Buradakı sxem sadədir. Tənliyin sol tərəfində X olan hər şeyi, sağda X (rəqəmlər) olmayan hər şeyi toplayın.
Bunu etmək üçün köçürməlisiniz - 4x in sol tərəf, işarənin dəyişməsi ilə, əlbəttə ki, və - 3 - sağa. Yeri gəlmişkən, bu tənliklərin ilk eyni çevrilməsi. Təəccübləndiniz? Bu o deməkdir ki, siz linki izləməmisiniz, amma boş yerə...) Alırıq:
x + 4x = 2 + 3
Budur oxşarları, nəzərə alırıq:
Tam xoşbəxtlik üçün bizə nə lazımdır? Bəli, solda təmiz X var! Beş yoldadır. Köməyi ilə beşdən qurtulmaq tənliklərin ikinci eyni çevrilməsi. Yəni tənliyin hər iki tərəfini 5-ə bölürük. Hazır cavab alırıq:
Əlbəttə ki, elementar bir nümunə. Bu isinmək üçündür.) Çox aydın deyil ki, niyə burada eyni dəyişiklikləri xatırladım? TAMAM. Gəlin öküzün buynuzundan tutaq.) Gəlin daha möhkəm bir şeyə qərar verək.
Məsələn, tənlik belədir:
Haradan başlayaq? X ilə - sola, X olmadan - sağa? Belə də ola bilər. Uzun bir yolda kiçik addımlar. Və ya dərhal, universal və güclü şəkildə. Əlbəttə ki, arsenalınızda tənliklərin eyni çevrilmələri varsa.
Sizə əsas sual verirəm: Bu tənlikdə ən çox nəyi bəyənmirsiniz?
100 nəfərdən 95-i cavab verəcək: fraksiyalar ! Cavab düzgündür. Elə isə gəlin onlardan qurtulaq. Buna görə də, biz dərhal başlayırıq ikinci şəxsiyyət çevrilməsi. Məxrəcin tam kiçilməsi üçün soldakı kəsri nəyə vurmaq lazımdır? Düzdür, 3-də. Bəs sağda? 4 ilə. Amma riyaziyyat bizə hər iki tərəfi vurmağa imkan verir eyni nömrə. Necə çıxa bilərik? Gəlin hər iki tərəfi 12-yə vuraq! Bunlar. ortaq məxrəcə. Sonra həm üç, həm də dörd azalacaq. Unutmayın ki, hər bir hissəni çoxaltmalısınız bütövlükdə. İlk addımın necə göründüyü budur:
Mötərizənin genişləndirilməsi:
Qeyd! Hesablayıcı (x+2) Mötərizədə qoydum! Bunun səbəbi kəsrləri vurarkən bütün payın vurulmasıdır! İndi fraksiyaları azalda bilərsiniz:
Qalan mötərizələri genişləndirin:
Nümunə deyil, saf həzz!) İndi isə gələn sehri xatırlayaq kiçik siniflər: X ilə - sola, X olmadan - sağa! Və bu çevrilməni tətbiq edin:
Budur bəzi oxşarlar:
Və hər iki hissəni 25-ə bölün, yəni. ikinci çevrilməni yenidən tətbiq edin:
Hamısı budur. Cavab: X=0,16
Diqqət yetirin: orijinal çaşdırıcı tənliyi gözəl forma gətirmək üçün iki (yalnız iki!) şəxsiyyət çevrilmələri– işarənin dəyişməsi ilə sola-sağa tərcümə və tənliyin eyni ədədə vurma-bölməsi. Bu universal bir üsuldur! Bu şəkildə işləyəcəyik hər hansı tənliklər! Tamamilə hər kəs. Buna görə də bu eyni çevrilmələri hər zaman yorucu bir şəkildə təkrar edirəm.)
Gördüyünüz kimi xətti tənliklərin həlli prinsipi sadədir. Tənliyi götürürük və cavabı alana qədər eyni çevrilmələrdən istifadə edərək onu sadələşdiririk. Burada əsas problemlər həll prinsipində deyil, hesablamalardadır.
Amma... Ən elementar xətti tənliklərin həlli prosesində elə sürprizlər olur ki, onlar sizi güclü stupora sürükləyə bilərlər...) Xoşbəxtlikdən, yalnız iki belə sürpriz ola bilər. Gəlin onları xüsusi hallar adlandıraq.
Xətti tənliklərin həllində xüsusi hallar.
İlk sürpriz.
Tutaq ki, çox sadə bir tənliklə rastlaşırsınız, buna bənzər bir şey:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Bir az darıxırıq, X ilə sola, X olmadan - sağa keçirik... İşarənin dəyişməsi ilə hər şey mükəmməldir... Alırıq:
2x-5x+3x=5-2-3
Biz sayırıq və... oops!!! Biz əldə edirik:
Bu bərabərlik özlüyündə mübahisəli deyil. Sıfır həqiqətən sıfırdır. Ancaq X yoxdur! Və cavabda yazmalıyıq, x nəyə bərabərdir?Əks halda, həll sayılmır, hə...) Çıxmaz?
Sakit ol! Belə şübhəli hallarda ən ümumi qaydalar sizi xilas edəcək. Tənlikləri necə həll etmək olar? Tənliyi həll etmək nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, əvəz edildikdə x-in bütün dəyərlərini tapın orijinal tənlik, bizə həqiqi bərabərlik verəcəkdir.
Amma bizdə həqiqi bərabərlik var artıq baş verdi! 0=0, nə qədər dəqiqdir?! Bunun nə x-də baş verdiyini anlamaq qalır. X-in hansı dəyərləri ilə əvəz edilə bilər orijinal tənlik əgər bu x-lərdirsə onlar yenə də sıfıra endiriləcəkmi? Hadi?)
Bəli!!! X hərfləri əvəz edilə bilər hər hansı! Hansılarını istəyirsən? Ən azı 5, ən azı 0,05, ən azı -220. Onlar hələ də kiçiləcəklər. Mənə inanmırsınızsa, yoxlaya bilərsiniz.) X-in istənilən dəyərini daxil edin orijinal tənlik və hesablama. Hər zaman təmiz həqiqəti əldə edəcəksiniz: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 və s.
Cavabınız budur: x - istənilən ədəd.
Cavab müxtəlif riyazi simvollarla yazıla bilər, mahiyyət dəyişmir. Bu tamamilə düzgün və dolğun cavabdır.
İkinci sürpriz.
Gəlin eyni elementar xətti tənliyi götürək və onda yalnız bir ədədi dəyişək. Qərar verəcəyimiz budur:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Eyni eyni dəyişikliklərdən sonra biz maraqlı bir şey əldə edirik:
Bunun kimi. Xətti tənliyi həll etdik və qəribə bərabərlik əldə etdik. Danışan riyazi dil, aldıq saxta bərabərlik. Və danışan sadə dildə, Bu doğru deyil. Rave. Ancaq buna baxmayaraq, bu cəfəngiyat tənliyin düzgün həlli üçün çox yaxşı bir səbəbdir.)
Yenə əsaslanaraq düşünürük ümumi qaydalar. Orijinal tənliyə əvəz edilən x bizə nə verəcəkdir doğru bərabərlik? Bəli, heç biri! Belə X yoxdur. Nə qoysan da, hər şey azalacaq, yalnız cəfəngiyyat qalacaq.)
Cavabınız budur: həll yolları yoxdur.
Bu da tam tam cavabdır. Riyaziyyatda belə cavablara tez-tez rast gəlinir.
Bunun kimi. İndi ümid edirəm ki, hər hansı (yalnız xətti deyil) tənliyin həlli prosesində X-in yoxa çıxması sizi qətiyyən çaşdırmayacaq. Bu artıq tanış məsələdir.)
İndi xətti tənliklərdəki bütün tələlərlə məşğul olduğumuz üçün onları həll etməyin mənası var.
Bu saytı bəyənirsinizsə...
Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)
Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)
Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.
Bu dərsdə xətti tənliklər sisteminin həlli üsullarına baxacağıq. Ali riyaziyyat kursunda xətti tənliklər sistemlərinin həm ayrı-ayrı tapşırıqlar şəklində, məsələn, “Sistemi Kramer düsturlarından istifadə edərək həll etmək” və digər məsələlərin həlli zamanı həll edilməsi tələb olunur. Xətti tənliklər sistemləri ilə ali riyaziyyatın demək olar ki, bütün sahələrində məşğul olmaq lazımdır.
Birincisi, bir az nəzəriyyə. Nə içində bu halda"xətti" riyazi sözünü ifadə edir? Bu o deməkdir ki, sistemin tənlikləri Hamısı dəyişənlər daxildir birinci dərəcədə: kimi heç bir zərif şey olmadan 
yalnız riyaziyyat olimpiadalarının iştirakçılarının sevindiyi və s.
Ali riyaziyyatda dəyişənləri ifadə etmək üçün təkcə uşaqlıqdan tanış olan hərflərdən istifadə edilmir.
Kifayət qədər populyar bir seçim indeksləri olan dəyişənlərdir: .
Və ya ilk hərflər Latın əlifbası, kiçik və böyük:
Yunan hərflərini tapmaq o qədər də nadir deyil: – çoxlarına “alfa, beta, qamma” kimi tanınır. Həm də indeksləri olan bir dəst, deyək ki, “mu” hərfi ilə:
Bu və ya digər hərflərin istifadəsi xətti tənliklər sistemi ilə qarşılaşdığımız ali riyaziyyat bölməsindən asılıdır. Beləliklə, məsələn, inteqralların həlli zamanı rast gəlinən xətti tənliklər sistemlərində, diferensial tənliklər Qeydlərdən istifadə etmək ənənəvi haldır
Lakin dəyişənlərin necə təyin olunmasından asılı olmayaraq, xətti tənliklər sisteminin həlli prinsipləri, üsulları və üsulları dəyişmir. Belə ki, kimi qorxulu bir şeylə rastlaşsanız, qorxu içində problem kitabını bağlamağa tələsməyin, axırda əvəzinə günəşi, yerinə quşu, yerinə üz (müəllim) çəkə bilərsiniz. Və nə qədər gülməli görünsə də, bu qeydlərlə xətti tənliklər sistemi də həll edilə bilər.
Mən məqalənin kifayət qədər uzun olacağını hiss edirəm, buna görə kiçik bir məzmun cədvəli. Beləliklə, ardıcıl "debrifinq" belə olacaq:
– Əvəzetmə üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həlli (“ məktəb üsulu»)
;
– Sistem tənliklərinin müddətli əlavə (çıxma) yolu ilə sistemin həlli;
– Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemin həlli;
– Tərs matrisdən istifadə edərək sistemin həlli;
– Qauss metodundan istifadə edərək sistemin həlli.
Hər kəs xətti tənliklər sistemləri ilə məktəb riyaziyyat kurslarından tanışdır. Əsasən, təkrarla başlayırıq.
Əvəzetmə üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həlli
Bu üsul“məktəb üsulu” və ya naməlumların aradan qaldırılması metodu da adlandırıla bilər. Obrazlı desək, onu “yarımçıq Qauss metodu” da adlandırmaq olar.
Misal 1
Burada bizə iki naməlumlu iki tənlik sistemi verilmişdir. Qeyd edək ki, sərbəst şərtlər (5 və 7 nömrələri) tənliyin sol tərəfində yerləşir. Ümumiyyətlə, onların harada, solda və ya sağda olmasının fərqi yoxdur, sadəcə olaraq ali riyaziyyatın problemlərində onlar çox vaxt belə yerləşirlər. Və belə bir qeyd çaşqınlığa səbəb olmamalıdır, lazım olduqda, sistem həmişə "hər zamankı kimi" yazıla bilər: . Unutmayın ki, termini hissədən hissəyə köçürərkən onun işarəsini dəyişmək lazımdır.
Xətti tənliklər sistemini həll etmək nə deməkdir? Tənliklər sisteminin həlli onun bir çox həllini tapmaq deməkdir. Sistemin həlli ona daxil olan bütün dəyişənlərin dəyərlərinin məcmusudur, sistemin HƏR tənliyini həqiqi bərabərliyə çevirən. Bundan əlavə, sistem ola bilər uyğunsuz (heç bir həll yolu yoxdur).Narahat olmayın, elədir ümumi tərif=) Hər bir s-we tənliyini təmin edən yalnız bir “x” dəyərinə və bir “y” dəyərinə sahib olacağıq.
Mövcuddur qrafik metod sinifdə tapıla bilən sistemin həlli Xəttlə bağlı ən sadə problemlər. Orada danışdım həndəsi olaraq iki naməlumlu iki xətti tənlik sistemləri. Amma indi bu cəbr dövrüdür və rəqəmlər-rəqəmlər, hərəkətlər-hərəkətlər.
Gəlin qərar verək: birinci tənlikdən ifadə edirik:
Əldə olunan ifadəni ikinci tənliyə əvəz edirik:
Mötərizələr açırıq, oxşar şərtlər əlavə edirik və dəyəri tapırıq: 
Sonra nə üçün rəqs etdiyimizi xatırlayırıq:
Biz artıq dəyəri bilirik, qalan yalnız tapmaqdır:
Cavab verin:
HƏR HƏR TƏNLİKLƏR SİSTEMİ HƏR ÜZRƏ HƏLLİNDƏN sonra, yoxlamağı şiddətlə tövsiyə edirəm (şifahi, qaralama və ya kalkulyatorda). Xoşbəxtlikdən, bu asanlıqla və tez edilir.
1) Tapılan cavabı birinci tənliyə əvəz edin:
– düzgün bərabərlik əldə edilir.
2) Tapılan cavabı ikinci tənliyə əvəz edin: 
– düzgün bərabərlik əldə edilir.
Və ya daha sadə desək, “hər şey birləşdi”
Nəzərdən keçirilən həll üsulu yeganə deyil, ilk tənlikdən ifadə etmək mümkün deyildi;
Siz bunun əksini edə bilərsiniz - ikinci tənlikdən bir şey ifadə edin və onu birinci tənliyə əvəz edin. Yeri gəlmişkən, qeyd edək ki, dörd üsuldan ən əlverişsizi ikinci tənlikdən ifadə etməkdir:
Nəticə fraksiyalardır, bəs niyə? Daha rasional həll yolu var.
Ancaq bəzi hallarda hələ də fraksiya olmadan edə bilməzsiniz. Bununla əlaqədar olaraq ifadəni NECƏ yazdığıma diqqətinizi çəkmək istəyirəm. Belə deyil: və heç bir halda belə deyil: 
.
Əgər ali riyaziyyatla məşğul olursunuzsa kəsr ədədlər, sonra bütün hesablamaları adi düzgün olmayan fraksiyalarda aparmağa çalışın.
Dəqiq, və ya yox!
Vergül yalnız bəzən istifadə edilə bilər, xüsusən də bu, hansısa problemə son cavabdırsa və bu nömrə ilə əlavə hərəkətlər etmək lazım deyil.
Yəqin ki, bir çox oxucu “bunu niyə edirsən? ətraflı izahat, korreksiya sinfinə gəldikdə isə hər şey aydındır.” Belə bir şey yoxdur, çox sadə görünür məktəb nümunəsi, və nə qədər çox vacib nəticələr! Budur, başqa biri:
İstənilən tapşırığı ən rasional şəkildə yerinə yetirməyə çalışmalısınız. Yalnız ona görə ki, bu, vaxta və əsəblərə qənaət edir, həm də səhv etmək ehtimalını azaldır.
Əgər ali riyaziyyatda bir məsələdə iki naməlumlu iki xətti tənlik sisteminə rast gəlsəniz, onda siz həmişə əvəzetmə metodundan istifadə edə bilərsiniz (sistemin başqa üsulla həll edilməsi lazım olduğu göstərilməyibsə, heç bir müəllim olmayacaq). Düşünürsən ki, sən əmicisən və "məktəb metodundan" istifadə etdiyinə görə qiymətinizi azaldacaqsınız "
Üstəlik, bəzi hallarda daha çox dəyişənlərlə əvəzetmə metodundan istifadə etmək məqsədəuyğundur.
Misal 2
Üç naməlum xətti olan tənliklər sistemini həll edin
Bənzər bir tənlik sistemi tez-tez sözdə metoddan istifadə edərkən yaranır qeyri-müəyyən əmsallar kəsr rasional funksiyasının inteqralını tapdıqda. Sözügedən sistem mənim tərəfimdən oradan götürülüb.
İnteqralı taparkən məqsəd budur sürətliəmsalların dəyərlərini tapın və Kramerin düsturlarına, metoduna müraciət etməyin tərs matris və s. Ona görə də bu halda əvəzetmə üsulu uyğun gəlir.
Hər hansı bir tənlik sistemi verildikdə, ilk növbədə onu müəyyən etmək lazımdır ki, onu DƏRHAL bir şəkildə sadələşdirmək mümkündürmü? Sistemin tənliklərini təhlil edərək, sistemin ikinci tənliyini 2-yə bölmək olar ki, bunu edirik:
İstinad: riyazi işarə “bundan belə çıxır” mənasını verir və tez-tez məsələnin həllində istifadə olunur.
İndi tənlikləri təhlil edək, bəzi dəyişənləri digərləri ilə ifadə edək; Hansı tənliyi seçməliyəm? Yəqin ki, bu məqsəd üçün ən asan yolun sistemin ilk tənliyini götürmək olduğunu təxmin etdiniz:
Burada hansı dəyişəni ifadə etməkdən asılı olmayaraq, bir və ya .
Sonra üçün ifadəsini sistemin ikinci və üçüncü tənliklərində əvəz edirik: 
Mötərizələr açırıq və oxşar şərtləri təqdim edirik: 
Üçüncü tənliyi 2-yə bölün: 
İkinci tənlikdən ifadə edirik və üçüncü tənliyə əvəz edirik:
Demək olar ki, hər şey hazırdır, üçüncü tənlikdən tapırıq:
İkinci tənlikdən: 
Birinci tənlikdən:
Yoxlayın: Dəyişənlərin tapılmış dəyərlərini sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində əvəz edin:
1)
2)
3)
Tənliklərin müvafiq sağ tərəfləri alınır, beləliklə həll düzgün tapılır.
Misal 3
4 naməlum xətti olan tənliklər sistemini həll edin
Bu bir nümunədir müstəqil qərar(Cavab dərsin sonunda verilir).
Sistemin sistem tənliklərinin müddət üzrə toplanması (çıxılması) yolu ilə həlli
Xətti tənliklər sistemlərini həll edərkən "məktəb metodu" ndan deyil, sistemin tənliklərinə müddətli əlavə (çıxma) üsulundan istifadə etməyə çalışmaq lazımdır. Niyə? Bu, vaxta qənaət edir və hesablamaları asanlaşdırır, lakin indi hər şey daha aydın olacaq.
Misal 4
Xətti tənliklər sistemini həll edin: 
İlk nümunədəki kimi eyni sistemi götürdüm.
Tənliklər sistemini təhlil edərkən dəyişənin əmsallarının böyüklüyünə görə eyni və işarəsinə görə əks olduğunu görürük (–1 və 1). Belə bir vəziyyətdə, tənliklərə terminlər əlavə edilə bilər: 
Qırmızı ilə dairəvi hərəkətlər MENTAL olaraq yerinə yetirilir.
Gördüyünüz kimi, termin-müddət əlavə edilməsi nəticəsində dəyişəni itirdik. Bu, əslində budur metodun mahiyyəti dəyişənlərdən birindən xilas olmaqdır.
Xətti tənliklər məktəb riyaziyyatında kifayət qədər zərərsiz və başa düşülən mövzudur. Ancaq qəribə də olsa, xətti tənlikləri həll edərkən gözlənilməz səhvlərin sayı digər mövzulara nisbətən bir qədər azdır - kvadrat tənliklər, loqarifmlər, triqonometriya və s. Əksər səhvlərin səbəbləri tənliklərin banal eyni çevrilmələridir. Əvvəla, bu, terminləri tənliyin bir hissəsindən digərinə köçürərkən işarələrdəki çaşqınlıq, həmçinin fraksiya və kəsr əmsalları ilə işləyərkən səhvlərdir. Hə hə! Kəsrlər xətti tənliklərdə də görünür! Ətrafda. Aşağıda bu cür pis tənlikləri mütləq təhlil edəcəyik.)
Yaxşı, gəlin pişiyi quyruğundan çəkməyək və onu anlamağa başlayaq, elə deyilmi? Sonra oxuyub araşdırırıq.)
Xətti tənlik nədir? Nümunələr.
Tipik olaraq xətti tənlik belə görünür:
balta + b = 0,
Burada a və b istənilən ədəddir. İstənilən növ: tam ədədlər, kəsrlər, mənfi, irrasional - hər hansı bir ola bilər!
Misal üçün:
7x + 1 = 0 (burada a = 7, b = 1)
x – 3 = 0 (burada a = 1, b = -3)
x/2 – 1,1 = 0 (burada a = 1/2, b = -1,1)
Ümumiyyətlə, başa düşürsən, inşallah.) Hər şey nağıldakı kimi sadədir. Hələlik... Bəs ax+b=0 ümumi qeydinə yaxından nəzər salıb bir az fikirləşsəniz? Axı, a və b istənilən nömrələr! Və əgər, deyək ki, a = 0 və b = 0 varsa (istənilən rəqəmləri götürə bilərsiniz!), onda nə əldə edəcəyik?
0 = 0
Amma bütün əyləncə bu deyil! Bəs, deyək ki, a = 0, b = -10 olarsa? Sonra bir növ cəfəngiyat olduğu ortaya çıxır:
0 = 10.
Hansı ki, çox, çox bezdiricidir və riyaziyyata tər və qanla qazanılan inamı sarsıdır... Xüsusən də testlər və imtahanlar zamanı. Ancaq bu anlaşılmaz və qəribə bərabərliklərdən X-i də tapmaq lazımdır! Hansı ki, ümumiyyətlə yoxdur! Və burada, hətta yaxşı hazırlanmış tələbələr də bəzən stupor deyilən şeyə düşə bilər ... Amma narahat olmayın! Bu dərsdə biz də bütün bu cür sürprizlərə baxacağıq. Və biz də belə bərabərliklərdən mütləq X tapacağıq.) Üstəlik, bu eyni X-i çox, çox sadə tapmaq olar. Hə hə! Təəccüblü amma doğrudur.)
Tamam, bu başa düşüləndir. Bəs tapşırığın görünüşünə görə onun başqa bir tənlik deyil, xətti tənlik olduğunu necə deyə bilərsiniz? Təəssüf ki, tənliyin növünü yalnız görünüşü ilə tanımaq həmişə mümkün deyil. Məsələ burasındadır ki, təkcə ax + b = 0 formalı tənliklər deyil, həm də bu və ya digər şəkildə eyni çevrilmələrlə bu formaya endirilə bilən hər hansı digər tənliklər xətti adlanır. Bunun əlavə olub olmadığını necə bilirsiniz? Məsələni çətinliklə həll edə bilməyənə qədər - demək olar ki, heç də yox. Bu üzücüdür. Ancaq bəzi tənlik növləri üçün bir baxışla onun xətti olub olmadığını dərhal əminliklə deyə bilərsiniz.
Bunun üçün hər hansı xətti tənliyin ümumi quruluşuna bir daha nəzər salaq:
balta + b = 0
Diqqət edin: xətti tənlikdə Həmişə yalnız x dəyişəni mövcuddur birinci dərəcədə və bəzi rəqəmlər! Hamısı budur! Başqa heçnə. Eyni zamanda, kvadratda, kubda, kök altında, loqarifmin altında və digər ekzotik şeylərdə X yoxdur. Və (ən əsası!) heç bir fraksiya yoxdur məxrəclərdə X ilə! Amma məxrəclərdə və ya bölmədə ədədləri olan kəsrlər nömrə başına- asanlıqla!
Misal üçün:
Bu xətti tənlikdir. Tənlik yalnız X-dən birinci gücə və rəqəmlərə malikdir. Və daha yüksək güclərdə X yoxdur - kvadrat, kub və s. Bəli, burada kəsrlər var, lakin eyni zamanda kəsrlərin məxrəcləri ehtiva edir yalnız rəqəmlər. Yəni - iki və üç. Başqa sözlə, yoxdur x-ə bölmə.
Və burada tənlik var
Artıq onu xətti adlandırmaq olmaz, baxmayaraq ki, burada da birinci dərəcəyə yalnız rəqəmlər və X var. Çünki başqa şeylərlə yanaşı, kəsrlər də var məxrəclərdə X ilə. Sadələşdirmələr və çevrilmələrdən sonra belə bir tənlik hər hansı bir şeyə çevrilə bilər: xətti, kvadratik - hər şey.
Xətti tənlikləri necə həll etmək olar? Nümunələr.
Beləliklə, xətti tənlikləri necə həll edirsiniz? Oxuyun və təəccüblənin.) Xətti tənliklərin bütün həlli yalnız iki əsas şeyə əsaslanır. Gəlin onları sadalayaq.
1) Riyaziyyatın elementar hərəkətləri və qaydaları toplusu.
Bunlar mötərizədən istifadə etmək, mötərizə açmaq, kəsrlərlə işləmək, mənfi ədədlərlə işləmək, vurma cədvəlləri və s. Bu bilik və bacarıqlar təkcə xətti tənliklərin həlli üçün deyil, ümumilikdə bütün riyaziyyat üçün lazımdır. Bununla bağlı probleminiz varsa, aşağı sinifləri xatırlayın. Əks halda çətin anlar yaşayarsınız...
2)
Onlardan yalnız ikisi var. Hə hə! Üstəlik, bu çox əsas şəxsiyyət çevrilmələri təkcə xətti deyil, ümumiyyətlə istənilən riyazi tənliklərin həllinin əsasını təşkil edir! Bir sözlə, hər hansı digər tənliyin həlli - kvadratik, loqarifmik, triqonometrik, irrasional və s. – bir qayda olaraq, bu çox əsas transformasiyalarla başlayır. Lakin xətti tənliklərin həlli, əslində, onlarla (çevirmələrlə) başa çatır. Hazır cavab).
Düşünürəm ki, nümunələrə baxmağa başlamağın vaxtıdır.
Başlamaq üçün, istiləşmə kimi bəzi əsas şeylərə baxaq. Heç bir fraksiya və ya digər zənglər və fitlər olmadan. Məsələn, bu tənlik:
x – 2 = 4 – 5x
Bu klassik xətti tənlikdir. Bütün X-lər ən çox birinci gücdədir və heç bir yerdə X-ə bölmə yoxdur. Bu cür tənliklərdə həll sxemi həmişə eyni və olduqca sadədir: X-li bütün şərtlər solda, X-siz bütün şərtlər (yəni rəqəmlər) sağda toplanmalıdır. Beləliklə, yığmağa başlayaq.
Bunun üçün biz ilk şəxsiyyət transformasiyasını işə salırıq. Biz sola -5x, sağa -2 hərəkət etməliyik. İşarə dəyişikliyi ilə, əlbəttə.) Beləliklə, köçürürük:
x + 5x = 4 + 2
Buyurunuz. Döyüşün yarısı başa çatdı: X-lər bir yığın halına toplandı, nömrələr də. İndi oxşarları solda təqdim edirik və onları sağda sayırıq. Biz əldə edirik:
6x = 6
Tam xoşbəxtlik üçün indi bizə nə çatışmır? Bəli, təmiz X solda qalsın! Və altılıq yoluna girir. Ondan necə qurtulmaq olar? İndi biz ikinci eyni çevrilməni həyata keçiririk - tənliyin hər iki tərəfini 6-ya bölün. Və - voila! Cavab hazırdır.)
x = 1
Təbii ki, nümunə tamamilə primitivdir. Ümumi fikir əldə etmək üçün. Yaxşı, daha əhəmiyyətli bir şeyə qərar verək. Məsələn, bu tənliyə baxaq:
Gəlin buna ətraflı baxaq.) Bu da xətti tənlikdir, baxmayaraq ki, burada kəsrlər olduğu görünür. Amma kəsrlərdə ikiyə və üçə bölmə var, lakin X ilə ifadə ilə bölmə yoxdur! Beləliklə, gəlin qərar verək. Eyni eyni çevrilmələrdən istifadə etməklə, bəli.)
Əvvəlcə nə etməliyik? X ilə - sola, X olmadan - sağa? Prinsipcə, bu mümkündür. Vladivostok vasitəsilə Soçiyə uçun.) Və ya universal və güclü üsuldan istifadə edərək dərhal ən qısa marşrutu seçə bilərsiniz. Əgər şəxsiyyət çevrilmələrini bilirsinizsə, əlbəttə.)
Birincisi, mən əsas sualı verirəm: bu tənlikdə sizin üçün ən çox diqqət çəkən və bəyənmədiyiniz nədir? 100 nəfərdən 99-u deyəcək: fraksiyalar! Və onlar haqlı olacaqlar.) Beləliklə, əvvəlcə onlardan xilas olaq. Tənliyin özü üçün təhlükəsizdir.) Buna görə də dərhal başlayaq ikinci şəxsiyyət çevrilməsi- vurmadan. Məxrəcin müvəffəqiyyətlə azaldılması üçün sol tərəfi nə ilə çoxaltmalıyıq? Düzdü, iki. A sağ tərəf? Üç üçün! Amma... Riyaziyyat kaprizli xanımdır. O, görürsən, yalnız hər iki tərəfin çarpılmasını tələb edir eyni nömrə üçün! Hər hissəni öz nömrəsinə vurmaq işləmir... Nə edəcəyik? Nəsə... Kompromis axtarın. İstəklərimizi təmin etmək (kəsrlərdən qurtulmaq) və riyaziyyatı incitməmək üçün.) Gəlin hər iki hissəni altıya vuraq!) Yəni tənliyə daxil olan bütün kəsrlərin ortaq məxrəci ilə. Sonra bir vuruşla həm iki, həm də üç azalacaq!)
Beləliklə, çoxalaq. Bütün sol tərəf və bütün sağ tərəf! Buna görə də mötərizələrdən istifadə edirik. Prosedurun özü belə görünür:
İndi eyni mötərizələri açırıq:
İndi, 6-nı 6/1 olaraq təmsil edərək, altını sol və sağdakı kəsrlərin hər birinə vuraq. Bu, fraksiyaların adi çarpmasıdır, amma belə olsun, mən bunu ətraflı təsvir edəcəyəm:
Və burada - diqqət! Hesabı (x-3) mötərizədə qoyuram! Bütün bunlar ona görədir ki, fraksiyaları çoxaldarkən, paylayıcı tamamilə, tamamilə vurulur! Və x-3 ifadəsi bir inteqral struktur kimi işlənməlidir. Ancaq hesablayıcını belə yazsanız:
6x – 3,
Amma bizdə hər şey var və biz bunu yekunlaşdırmalıyıq. Bundan sonra nə etməli? Sol tərəfdəki saydakı mötərizələri açın? Heç bir halda! Siz və mən hər iki tərəfi 6-ya vurduq ki, kəsrlərdən xilas olaq, mötərizələri açıb narahat olmayaq. Bu mərhələdə bizə lazımdır fraksiyalarımızı azaldır. Dərin məmnunluq hissi ilə bütün məxrəcləri azaldırıq və hökmdarda heç bir kəsrsiz bir tənlik əldə edirik:
3(x-3) + 6x = 30 – 4x
İndi qalan mötərizələr aça bilər:
3x – 9 + 6x = 30 – 4x
Tənlik getdikcə yaxşılaşır! İndi ilk eyni çevrilməni bir daha xatırlayaq. Düz üzlə kiçik siniflərdən sehri təkrarlayırıq: X ilə - sola, X olmadan - sağa. Və bu çevrilməni tətbiq edin:
3x + 6x + 4x = 30 + 9
Bənzərləri solda təqdim edirik və sağda sayırıq:
13x = 39
Hər iki hissəni 13-ə bölmək qalır. Yəni ikinci çevrilməni yenidən tətbiq edin. Bölüb cavab alırıq:
x = 3
İş bitdi. Gördüyünüz kimi, bu tənlikdə birinci çevrilməni bir dəfə (köçürmə şərtləri), ikincini iki dəfə tətbiq etməli olduq: həllin əvvəlində kəsrlərdən xilas olmaq üçün vurma (6-ya) istifadə etdik və sonunda həllin X-in qarşısındakı əmsaldan xilas olmaq üçün (13-ə) bölməsindən istifadə etdik. Və hər hansı (bəli, hər hansı!) xətti tənliyin həlli bu eyni çevrilmələrin bu və ya digər ardıcıllıqla birləşməsindən ibarətdir. Tam olaraq haradan başlamaq xüsusi tənlikdən asılıdır. Bəzi yerlərdə köçürmə ilə, digərlərində isə (bu nümunədə olduğu kimi) vurma (və ya bölmə) ilə başlamaq daha sərfəlidir.
Sadədən mürəkkəbə doğru işləyirik. İndi gəlin açıq qəddarlığı nəzərdən keçirək. Bir dəstə fraksiya və mötərizə ilə. Özünüzü necə yormayacağınızı sizə deyəcəyəm.)
Məsələn, tənlik belədir:
Bir dəqiqəlik tənliyə baxırıq, dəhşətə gəlirik, amma yenə də özümüzü bir yerə çəkirik! Əsas problem haradan başlamaqdır? Sağ tərəfə fraksiya əlavə edə bilərsiniz. Mötərizədə kəsrləri çıxara bilərsiniz. Hər iki hissəni bir şeylə çarpa bilərsiniz. Ya da bölün... Bəs hələ nə mümkündür? Cavab: hər şey mümkündür! Riyaziyyat sadalanan hərəkətlərin heç birini qadağan etmir. Hansı hərəkətlərin və çevrilmələrin ardıcıllığını seçdiyinizdən asılı olmayaraq, cavab həmişə eyni olacaq - düzgün. Təbii ki, hansısa addımda siz öz dəyişikliklərinizin şəxsiyyətini pozmasanız və bununla da səhv etməsəniz...
Səhv etməmək üçün, bu kimi mürəkkəb nümunələrdə onun görünüşünü qiymətləndirmək və ağlınızda anlamaq həmişə ən faydalıdır: nümunədə nə etmək olar ki, maksimum bir addımda sadələşdirin?
Beləliklə, gəlin bunu anlayaq. Solda məxrəclərdə altılıq var. Şəxsən mən onları sevmirəm və onları silmək çox asandır. İcazə verin, tənliyin hər iki tərəfini 6-ya vurum! Sonra soldakı altılıqlar uğurla azalacaq, mötərizədə olan fraksiyalar hələ heç yerə getməyəcək. Yaxşı, yaxşıdır. Onlarla bir az sonra məşğul olacağıq.) Amma sağ tərəfdə 2 və 3-cü məxrəcləri ləğv edirik.
Çoxaldıqdan sonra bütün pis tənliyimiz belə olur:
Bu tənliyin necə yarandığını dəqiq başa düşmürsənsə, deməli, əvvəlki nümunənin təhlilini yaxşı başa düşməmisən. Və yeri gəlmişkən, cəhd etdim ...
Beləliklə, açıqlayaq:
İndi ən məntiqli addım soldakı fraksiyaları təcrid etmək və sağ tərəfə 5x göndərmək olardı. Eyni zamanda, oxşarları sağ tərəfdə təqdim edəcəyik. Biz əldə edirik:
Artıq daha yaxşı. İndi sol tərəf özünü vurmağa hazırlamışdır. Sol tərəfi nə ilə çoxaltmalıyıq ki, həm beş, həm də dörd eyni anda azalsın? 20-də! Ancaq bərabərliyin hər iki tərəfində də çatışmazlıqlarımız var. Buna görə də, tənliyin hər iki tərəfini 20-yə deyil, -20-yə vurmaq ən əlverişli olacaqdır. Sonra bir vuruşla həm mənfi cəhətlər, həm də fraksiyalar yox olacaq.
Beləliklə, çoxalırıq:
Hələ də bu addımı başa düşməyən hər kəs problemin tənliklərdə olmadığını bildirir. Problemlər təməldədir! Bir daha xatırlayaq Qızıl qayda açılış mötərizələri:
Əgər ədəd mötərizədə hansısa ifadə ilə vurulursa, onda bu ədəd ardıcıl olaraq bu ifadənin hər bir üzvünə vurulmalıdır. Üstəlik, əgər rəqəm müsbət olarsa, genişlənmədən sonra ifadələrin əlamətləri qorunur. Mənfi olarsa, əksinə dəyişin:
a(b+c) = ab+ac
-a(b+c) = -ab-ac
Hər iki tərəfi -20-yə vurduqdan sonra eksilerimiz yox oldu. İndi isə solda kəsrləri olan mötərizələri kifayət qədər çoxalırıq müsbət rəqəm 20. Buna görə də, bu mötərizələr açıldıqda onların içərisində olan bütün işarələr qorunub saxlanılır. Ancaq fraksiyaların sayındakı mötərizələrin haradan gəldiyini əvvəlki nümunədə ətraflı izah etdim.
İndi fraksiyaları azalda bilərsiniz:
4(3-5x)-5(3x-2) = 20
Qalan mötərizələri açın. Yenə də düzgün şəkildə ortaya qoyuruq. İlk mötərizələr müsbət rəqəm 4 ilə vurulur və buna görə də, açıldıqda bütün işarələr qorunur. Ancaq ikinci mötərizələr vurulur mənfi sayı -5-dir və buna görə də bütün işarələr tərsinə çevrilir:
12 - 20x - 15x + 10 = 20
Qalanlar sadəcə xırda şeylərdir. X ilə solda, X olmadan sağda:
-20x – 15x = 20 – 10 – 12
-35x = -2
Demək olar ki, hamısı budur. Solda sizə təmiz X lazımdır, lakin -35 rəqəmi yoldadır. Beləliklə, hər iki tərəfi (-35) ilə bölürük. Nəzərinizə çatdırım ki, ikinci şəxsiyyət transformasiyası bizə hər iki tərəfi vurub bölməyə imkan verir nə olursa olsun nömrə. Mənfi olanlar da daxil olmaqla.) Sıfır olmadığı müddətcə! Bölməkdən və cavab almaqdan çekinmeyin:
X = 2/35
Bu dəfə X kəsirli oldu. Hər şey qaydasındadır. Belə bir nümunə.)
Gördüyümüz kimi, xətti tənliklərin (hətta ən mürəkkəblərinin) həlli prinsipi olduqca sadədir: orijinal tənliyi götürürük və eyni çevrilmələrdən istifadə edərək, cavabı alana qədər onu ardıcıl olaraq sadələşdiririk. Əlbəttə ki, əsaslarla! Burada əsas problemlər məhz əsaslara əməl edilməməsidir (məsələn, mötərizələrin qarşısında bir mənfi var və onlar genişləndirərkən işarələri dəyişdirməyi unutdular), eləcə də banal hesabda. Beləliklə, əsasları laqeyd yanaşmayın! Onlar bütün digər riyaziyyatın əsasıdır!
Xətti tənlikləri həll edərkən bəzi əyləncəli şeylər. Və ya xüsusi hallar.
Hər şey yaxşı olardı. Halbuki... Xətti tənliklər arasında elə gülməli daşlar da var ki, onların həlli zamanı sizi güclü stupora sala bilər. Hətta əla tələbədir.)
Məsələn, burada zərərsiz görünən bir tənlik var:
7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2
Geniş və bir qədər darıxaraq, soldakı bütün X-ləri və sağdakı bütün nömrələri toplayırıq:
7x-4x-3x = 5-2-3
Oxşarlarını təqdim edirik, sayırıq və əldə edirik:
0 = 0
Bu belədir! Mən bir hiylə nümunəsi verdim! Bu bərabərlik özlüyündə heç bir etiraz doğurmur: sıfır həqiqətən sıfıra bərabərdir. Ancaq X yoxdur! Heç bir iz olmadan! Və cavabda yazmalıyıq, x nəyə bərabərdir. Əks halda, qərar sayılmır, bəli.) Nə etməli?
Təlaşlanmayın! Belə qeyri-standart hallarda ən çox ümumi anlayışlar və riyaziyyatın prinsipləri. Tənlik nədir? Tənlikləri necə həll etmək olar? Tənliyi həll etmək nə deməkdir?
Tənliyi həll etmək tapmaq deməkdir Hamısı dəyişdirildikdə x dəyişəninin dəyərləri orijinal tənlik bizə düzgün bərabərlik (şəxsiyyət) verəcəkdir!
Amma bizdə həqiqi bərabərlik var artıq olub! 0=0, daha doğrusu, heç yerdə!) Bu bərabərliyi yalnız X-in nə olduğunu təxmin edə bilərik. Hansı növ X-ləri əvəz etmək olar orijinal tənlik, əgər hamısı əvəz edildikdə onlar yenə də sıfıra endiriləcəkmi? Hələ başa düşməmisən?
Şübhəsiz ki! X hərfləri əvəz edilə bilər hər hansı!!! Tamamilə hər hansı. İstədiyinizi təqdim edin. Ən azı 1, ən azı -23, ən azı 2,7 - nə olursa olsun! Onlar yenə də azalacaq və nəticədə saf həqiqət qalacaq. Sınayın, əvəz edin və özünüz baxın.)
Cavabınız budur:
x - istənilən ədəd.
IN elmi qeyd bu bərabərlik belə yazılır:
Bu giriş belə oxunur: "X istənilən real rəqəmdir."
Və ya başqa formada, fasilələrlə:
Onu ən çox bəyəndiyiniz şəkildə dizayn edin. Bu düzgün və tam cavabdır!
İndi mən orijinal tənliyimizdə yalnız bir ədədi dəyişdirəcəyəm. İndi bu tənliyi həll edək:
7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2
Yenidən şərtləri köçürür, sayırıq və alırıq:
7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2
0 = 1
Və bu zarafat haqqında nə düşünürsünüz? Adi xətti tənlik var idi, amma anlaşılmaz bərabərliyə çevrildi
0 = 1…
Elmi desək, əldə etdik saxta bərabərlik. Ancaq rus dilində bu doğru deyil. Cəfəngiyat. Cəfəngiyatdır.) Çünki sıfır heç bir halda birə bərabər deyil!
İndi gəlin bir daha anlayaq ki, ilkin tənlikdə əvəzlənəndə hansı növ X bizə verəcək həqiqi bərabərlik? Hansı? Amma heç biri! Hansı X-i əvəz etməyinizdən asılı olmayaraq, hər şey yenə də qısalacaq və hər şey axmaq qalacaq.)
Cavab budur: həllər yoxdur.
IN riyazi qeyd belə bir cavab belə formatlanır:
Orada deyilir: "X boş çoxluğa aiddir."
Riyaziyyatda belə cavablar da kifayət qədər tez-tez baş verir: heç də həmişə hər hansı tənliyin prinsipcə kökləri olmur. Bəzi tənliklərin kökləri ümumiyyətlə olmaya bilər. Bütün.
Burada iki sürpriz var. Ümid edirəm ki, indi X-in tənlikdən qəfil yox olması sizi həmişəlik çaşqınlıq içində qoymayacaq. Bu olduqca tanışdır.)
Və sonra məntiqli bir sual eşidirəm: OGE və ya Vahid Dövlət İmtahanında olacaqlar? Vahid Dövlət İmtahanının özündə bir tapşırıq olaraq - yox. Çox sadə. Ancaq OGE-də və ya söz problemlərində - asanlıqla! İndi məşq edək və qərar verək:
Cavablar (səliqəsiz): -2; -1; istənilən nömrə; 2; həllər yoxdur; 7/13.
Hər şey düzəldi? Əla! İmtahanda yaxşı şansınız var.
Bir şey əlavə olunmur? Hm... Kədər, əlbəttə. Bu o deməkdir ki, hələ də haradasa boşluqlar var. Ya əsaslarda, ya da eyni çevrilmələrdə. Yoxsa bu, sadəcə olaraq, diqqətsizlik məsələsidir. Dərsi yenidən oxuyun. Çünki bu, riyaziyyatda o qədər də asanlıqla boşalacaq bir mövzu deyil...
Uğurlar! O, mütləq sənə gülümsəyəcək, inan mənə!)
