Ümumiyyətlə, istənilən tənlik belədir riyazi model kubok tərəzi (qol, bərabər qol, rokçu - bir çox ad var), icad edilmişdir qədim Babil 7000 il əvvəl və ya daha əvvəl. Üstəlik, hətta düşünürəm ki, tənliklərin prototipinə məhz ən qədim bazarlarda istifadə edilən stəkan tərəzilər çevrilib. Hər hansı bir tənliyə iki paralel çubuqla bağlanmış anlaşılmaz rəqəmlər və hərflər dəsti kimi deyil, tərəzi kimi baxsanız, qalan hər şeydə problem olmayacaq:
İstənilən tənlik balanslaşdırılmış tərəzi kimidir
Elə olur ki, həyatımızda hər gün getdikcə daha çox tənlik olur, lakin tənliyin nə olduğunu və onun mənasını daha az başa düşür. Hər halda, böyük qızıma sadə riyazi tənliyin mənasını izah etməyə çalışarkən belə bir təəssürat aldım:
x + 2 = 8 (500.1)
Bunlar. məktəbdə təbii ki, belə hallarda tapmaq üçün izah edirlər X, sağ tərəfdən 2 çıxarmaq lazımdır:
x = 8 - 2 (500.3)
Bu, əlbəttə ki, tamamilə düzgün hərəkət, amma niyə çıxmaq lazımdır və məsələn, toplamaq və ya bölmək deyil, məktəb dərsliklərində heç bir izahat yoxdur. Sadəcə öyrənməli olduğunuz bir qayda var:
Tənliyin üzvü bir hissədən digərinə köçürüldükdə onun işarəsi əks tərəfə dəyişir.
O ki qaldı 10 yaşlı məktəblinin bu qaydanı necə başa düşməsi və onun mənasının nə olması, düşünüb qərar vermək sizin ixtiyarınızdadır. Üstəlik, məlum oldu ki, mənim yaxın qohumlarım da heç vaxt tənliklərin mənasını başa düşməyiblər, sadəcə olaraq tələb olunanları (və xüsusən də yuxarıdakı qaydanı) əzbərləyiblər və yalnız bundan sonra Allahın istədiyi kimi tətbiq ediblər. Bu vəziyyəti bəyənmədim, ona görə də bu yazını yazmaq qərarına gəldim (kiçik böyüyür, bir neçə ildən sonra bunu yenidən izah etməli olacaq və bu da saytımın bir neçə oxucusu üçün faydalı ola bilər) .
Dərhal demək istəyirəm ki, 10 il məktəbdə oxusam da, texniki fənlərlə bağlı heç bir qayda və tərif öyrənməmişəm. Bunlar. bir şey aydındırsa, o zaman xatırlanacaq, amma bir şey aydın deyilsə, mənasını başa düşmədən onu sıxmağın nə mənası var, onsuz da unudulacaq? Bundan əlavə, əgər mən nəyisə başa düşmürəmsə, bu, mənə lazım deyildir (yeni bu yaxınlarda başa düşdüm ki, məktəbdə nəyisə başa düşmürəmsə, bu mənim deyil, müəllimlərin, dərsliklərin və ümumi təhsil sistemləri).
Bu yanaşma mənə uşaqlıqda hər cür oyun və əyləncə üçün çox çatışmayan çoxlu boş vaxt verdi. Eyni zamanda fizika və kimya fənləri üzrə müxtəlif olimpiadalarda iştirak etmişəm, hətta bir dəfə də riyaziyyat üzrə regional müsabiqənin qalibi olmuşam. Ancaq vaxt keçdi, mücərrəd anlayışlarla işləyən fənlərin sayı yalnız artdı və müvafiq olaraq qiymətlərim də azaldı. İnstitutun birinci ilində abstrakt anlayışlarla fəaliyyət göstərən fənlərin sayı mütləq çoxluq təşkil edirdi və təbii ki, mən tam C tələbəsi idim. Lakin sonra, bir sıra səbəblərdən mühazirə və qeydlərin köməyi olmadan materialların gücü ilə məşğul olmaq məcburiyyətində qalanda və mən bunu bir növ başa düşdüm ki, işlər rəvan getdi və fərqlənmə diplomu ilə başa çatdı. Ancaq söhbət indi bu barədə deyil, göstərilən xüsusiyyətlərə görə mənim anlayışlarım və təriflərim məktəbdə tədris olunanlardan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənə bilər.
İndi davam edək
Ən sadə tənliklər, tərəzi ilə analogiya
Əslində uşaqlara müxtəlif obyektləri müqayisə etmək çox erkən öyrədilir məktəbəqədər yaş, onlar hələ də necə danışacaqlarını bilməyəndə. Onlar adətən həndəsi müqayisələrlə başlayırlar. Məsələn, uşağa iki kub göstərilir və uşaq hansı kubun daha böyük, hansının kiçik olduğunu müəyyən etməlidir. Əgər onlar eynidirsə, deməli bu ölçü bərabərliyidir. Sonra tapşırıq daha da mürəkkəbləşir, uşağa obyektlər göstərilir müxtəlif formalar, müxtəlif rənglər və eyni əşyaları seçmək uşaq üçün getdikcə çətinləşir. Bununla belə, biz işi o qədər də çətinləşdirməyəcəyik, ancaq bərabərliyin yalnız bir növünə - pul çəkisinə diqqət yetirəcəyik.
Tərəzi eyni üfüqi səviyyədə olduqda (şəkil 500.1-də göstərilən tərəzi oxları narıncı və mavi, üst-üstə düşür, üfüqi səviyyə qara qalın xətt ilə göstərilir), bu o deməkdir ki, tərəzinin sağ panosunda sol panda olduğu kimi eyni çəki var. Ən sadə halda bunlar 1 kq ağırlığında çəkilər ola bilər:
Şəkil 500.1.
Və sonra ən sadə 1 = 1 tənliyini alırıq. Halbuki bu tənlik riyaziyyatda yalnız mənim üçündür, belə ifadələr bərabərlik adlanır, lakin mahiyyət dəyişmir; Əgər tərəzinin sol qabından çəki götürsək və üzərinə hər hansı bir şey, hətta alma, hətta dırnaq, hətta qırmızı kürü qoysaq və eyni zamanda tərəzi eyni üfüqi səviyyədə olsa, bu, yenə də 1 kq. tərəzinin sağ tərəfində qalan 1 kq çəkiyə bərabər göstərilən məhsullardan hər hansı birinin. Yalnız bu kiloqramı satıcının təyin etdiyi qiymətə görə ödəmək qalır. Başqa bir şey odur ki, qiymət sizin xoşunuza gəlməyə bilər, yaxud tərəzinin düzgünlüyünə şübhə yarana bilər - lakin bunlar riyaziyyatla birbaşa əlaqəsi olmayan iqtisadi və hüquqi münasibətlər məsələləridir.
Əlbəttə ki, o uzaq dövrlərdə, fincan tərəziləri görünəndə hər şey daha sadə idi. Birincisi, kiloqram kimi çəki ölçüsü yox idi, lakin çəki ölçülərinə uyğun pul vahidləri var idi, məsələn, istedadlar, şekellər, funtlar, qrivnalar və s. (yeri gəlmişkən, mən çoxdan təəccüblənirdim ki, var funt - pul vahidi və funt - çəki ölçüsü, qrivnası var - pul vahidi və bir vaxtlar qrivna çəki ölçüsü idi və yalnız bu yaxınlarda, istedadın təkcə pul vahidi olmadığını öyrənəndə. qeyd olunan qədim yəhudilər Əhdi-Ətiq, həm də qədim Babildə qəbul edilən çəki ölçüsü, hər şey öz yerinə düşdü).
Daha doğrusu, əvvəlcə çəki ölçüləri, adətən taxıllar var idi dənli bitkilər, və yalnız bundan sonra bu tərəzi ölçülərinə uyğun pul ortaya çıxdı. Məsələn, 60 taxıl bir şekelə, 60 şekel bir minaya, 60 mina isə bir talata uyğun gəlirdi. Ona görə də təklif olunan pulun saxta olub-olmadığını yoxlamaq üçün əvvəlcə tərəzilərdən istifadə edilirdi və yalnız bundan sonra çəkilər pulun, çəki və hesablamaların, elektron tərəzilərin və plastik kartların ekvivalenti kimi meydana çıxsa da, bu, məsələnin mahiyyətini dəyişmir.
O uzaq dövrlərdə satıcıya konkret bir məhsulun nə qədər başa gələcəyini uzun və ətraflı izah etməyə ehtiyac yox idi. Satılan məhsulu tərəzinin bir qabına qoymaq kifayət idi, alıcı isə ikinciyə pul qoydu - bu, çox sadə və aydındır və hətta yerli ləhcəni bilmək tələb olunmur, dünyanın istənilən yerində ticarət edə bilərsiniz. Ancaq gəlin tənliklərə qayıdaq.
Əgər (500.1) tənliyini tərəzi mövqeyindən götürsək, bu o deməkdir ki, tərəzinin sol panosunda naməlum sayda kiloqram və başqa 2 kiloqram, sağ qabda isə 8 kiloqram var:
x + 2 kq, = 8 kq, (500.1.2)
Qeyd: IN bu halda Kağız üzərində hesablama apararkən alt xətt şkalanın altını simvollaşdırır, bu xətt şkalanın altına daha çox bənzəyir. Üstəlik, riyaziyyatçılar çoxdan xüsusi simvollar - mötərizələr ilə çıxış ediblər və buna görə də hər hansı mötərizələr ən azı tənliklərin mənasını başa düşməyin ilk mərhələsində tərəzi tərəfləri kimi qəbul edilə bilər. Buna baxmayaraq, daha aydınlıq üçün alt xəttdən ayrılacağam.
Beləliklə, bilinməyən kiloqram sayını tapmaq üçün nə etməliyik? Doğru! Tərəzinin sol və sağ tərəflərindən 2 kiloqram çıxarın, sonra tərəzi eyni üfüqi səviyyədə qalacaq, yəni hələ də bərabərliyə malik olacağıq:
x + 2kq, - 2kq = 8kq, - 2kq (500.2.2)
Müvafiq olaraq
x, = 8kq - 2kq, (500.3.2)
x, = 6 kq, (500.4.2)
Şəkil 500.2.
Çox vaxt riyaziyyat kiloqramlarla deyil, bəzi mücərrəd ölçüsüz vahidlərlə işləyir və sonra (500.1) tənliyinin həllini, məsələn, qaralama şəklində yazmaq belə görünür:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x, = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Hansı ki, Şəkil 500.2-də öz əksini tapmışdır.
Qeyd: Formal olaraq, daha yaxşı başa düşmək üçün (500.2) tənliyindən sonra formanın başqa bir tənliyi gəlməlidir: x + 2 - 2, = 8 - 2, Bu o deməkdir ki, hərəkət bitdi və biz yenidən tarazlıq çəkisi ilə məşğul oluruq. Lakin, məncə, qərarın belə tam dolğun qeydə alınmasına ehtiyac yoxdur.
Təmiz kitablarda adətən tənliyin həllinin qısaldılmış qeydindən istifadə olunur və təkcə tənliklərin öyrənilməsinin ilkin mərhələsində mənim fikrimcə çox zəruri olan tərəzi simvolları deyil, hətta bütöv tənliklər də qısaldılır. Beləliklə, dərsliklərdə verilmiş nümunələrə görə (500.1) tənliyinin həllinin təmiz nüsxədə qısaldılmış qeydi belə görünəcəkdir:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Nəticədə, tərəzi ilə bənzətmədən istifadə edərək, ya həll üsulu ilə, ya da bu həllin yazılma forması ilə dərsliklərdə təklif olunanla müqayisədə əlavə (500.2) tənliyi tərtib etdik. Məncə, bu bir tənlikdir, üstəlik, təxminən bu formada yazılmışdır, yəni. tərəzi simvolik təyinatı ilə - bu, tənliklərin mənasını başa düşmək üçün vacib olan itkin əlaqədir.
Bunlar. Tənlikləri həll edərkən əks işarəli heç nəyi heç yerə köçürmürük, tənliyin sol və sağ tərəfləri ilə eyni riyazi əməliyyatları yerinə yetiririk.
İndi tənliklərin həllini yuxarıda verilmiş qısaldılmış formada yazmaq adətdir. (500.1.1) tənliyindən dərhal sonra (500.3.1) tənliyi gəlir, buna görə də əks işarələr qaydası gəlir, lakin bu, çoxları üçün tənliklərin mənasını araşdırmaqdan daha asan xatırlanır.
Qeyd: Qısaldılmış qeyd formasına qarşı heç bir şeyim yoxdur, üstəlik. qabaqcıl istifadəçilər bu formanı daha da qısalda bilər, lakin bu, yalnız tənliklərin ümumi mənası artıq aydın başa düşüldükdən sonra edilməlidir.
Və uzadılmış notasiya tənliklərin həlli üçün əsas qaydaları anlamağa imkan verir:
1. Əgər sol və ilə eyni riyazi əməliyyatları yerinə yetirsək sağ tərəf tənliklər, onda bərabərlik qalır.
2. Nəzərdən keçirilən tənliyin hansı hissəsinin solda, hansının sağ olmasının fərqi yoxdur, biz onları sərbəst şəkildə dəyişdirə bilərik.
Bu riyazi əməliyyatlar hər şey ola bilər. Yuxarıda göstərildiyi kimi sol tərəfdən və sağ tərəfdən eyni ədədi çıxa bilərik. Eyni ədədi tənliyin sol və sağ tərəflərinə əlavə edə bilərik, məsələn:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x, = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Hər iki tərəfi eyni ədədə bölə və ya vura bilərik, məsələn:
3x, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x, = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3x, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Hər iki hissəni birləşdirə və ya fərqləndirə bilərik. Sol və sağ hissələrlə istədiyimizi edə bilərik, lakin bu hərəkətlər sol və sağ hissələr üçün eyni olsa, bərabərlik qalacaq (tərəzi eyni üfüqi səviyyədə qalacaq).
Əlbəttə ki, naməlum kəmiyyəti mümkün qədər tez və sadə şəkildə müəyyən etməyə imkan verəcək hərəkətləri seçməlisiniz.
Bu nöqteyi-nəzərdən tərs hərəkətin klassik üsulu daha sadə görünür, amma uşaq hələ mənfi ədədləri öyrənməyibsə nə etməli? Eyni zamanda, tərtib edilmiş tənlik aşağıdakı formaya malikdir:
5 - x = 3 (500.8)
Bunlar. Bu tənliyi klassik üsulla həll edərkən, ən qısa qeydi verən mümkün həllərdən biri aşağıdakılardır:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Ən əsası isə uşağa (500.8.3) tənliyinin (500.8.4) nə üçün eyni olduğunu necə izah edə bilərsiniz?
Bu o deməkdir ki, bu vəziyyətdə hətta istifadə edərkən klassik üsul yazıya qənaət etməyin mənası yoxdur və əvvəlcə mənfi işarəsi olan sol tərəfdəki naməlum dəyərdən xilas olmaq lazımdır.
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Tam giriş belə görünəcək:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Yenidən əlavə edəcəyəm. Həllin tam qeydi müəllimlər üçün deyil, tənliklərin həlli metodunu daha yaxşı başa düşmək üçün lazımdır. Tənliyin sol və sağ tərəflərini dəyişdirəndə, miqyasın görünüşünü alıcının nöqteyi-nəzərindən satıcının nöqteyi-nəzərindən dəyişdiririk, lakin bərabərlik eyni qalır.
Təəssüf ki, mən qızıma heç vaxt, hətta qaralama şəklində də həlli tam şəkildə yazmağa nail ola bilmədim. Onun sərt arqumenti var: “bizə belə öyrədilməyib”. Bu vaxt, tərtib edilən tənliklərin mürəkkəbliyi artır, naməlum kəmiyyəti müəyyən etmək üçün hansı hərəkətin yerinə yetirilməli olduğunu təxmin etmə faizi azalır və qiymətlər düşür. Bununla nə edəcəyimi bilmirəm ...
Qeyd: müasir riyaziyyatda bərabərlik və tənlikləri ayırmaq adətdir, yəni. 1 = 1 sadəcə ədədi bərabərlikdir və əgər bərabərliyin hissələrindən birində tapılması lazım olan naməlum varsa, bu, artıq bir tənlikdir. Mənə gəlincə, mənaların bu cür fərqləndirilməsi o qədər də məna kəsb etmir, ancaq materialın qavranılmasını çətinləşdirir. Mən inanıram ki, istənilən bərabərliyi tənlik adlandırmaq olar və istənilən tənlik bərabərliyə əsaslanır. Bundan əlavə, sual yaranır: x = 6, bu artıq bərabərlikdir, yoxsa hələ də tənlikdir?
Ən sadə tənliklər, zamanla bənzətmə
Əlbəttə ki, tənlikləri həll edərkən tərəzi ilə bənzətmə yeganə deyil. Məsələn, tənliklərin həllinə zaman baxımından da baxıla bilər. Onda (500.1) tənliyi ilə təsvir edilən şərt belə səslənəcək:
Naməlum kəmiyyətə əlavə etdikdən sonra X Daha 2 ədəd, indi 8 ədədimiz var (indiki). Bununla belə, bu və ya digər səbəbdən bizi onların neçə olması deyil, keçmiş zamanın nə qədər olması maraqlandırır. Müvafiq olaraq, bu eyni vahidlərdən neçəsinin olduğunu öyrənmək üçün əks hərəkəti yerinə yetirməliyik, yəni. 8-dən 2-ni çıxarın (tənlik 500.3). Bu yanaşma dərsliklərdə təqdim olunanlara tam uyğun gəlir, amma məncə, tərəzi ilə bənzətmə qədər aydın deyil. Ancaq bu məsələ ilə bağlı fikirlər fərqli ola bilər.
Mötərizədə tənliyin həlli nümunəsi
Mən bu yazını yayda, qızım 4-cü sinfi bitirəndə yazmışdım, lakin altı ay keçməmiş məktəbdə onlardan aşağıdakı formalı tənlikləri həll etməyi tapşırdılar:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Sinifdə heç kim bu tənliyi həll edə bilmədi, lakin mənim təklif etdiyim metoddan istifadə edərkən onun həllində mürəkkəb bir şey yoxdur, lakin qeydin tam forması çox yer tutacaq:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Ancaq bu mərhələdə belə tam forma Qeydiyyata ehtiyac yoxdur. Qoşa mötərizələrə çatdığımız üçün sol və sağ tərəflərdə riyazi əməliyyatlar üçün ayrıca tənlik yaratmağa ehtiyac yoxdur, ona görə də həlli qaralamada yazmaq belə görünə bilər:
97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x) , (50 - 5x) = 3 , (50 - 5x) (500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Ümumilikdə, bu mərhələdə orijinalı həll etmək üçün 14 tənlik yazmaq lazım idi.
Bu halda, tənliyin həllini təmiz nüsxədə yazmaq belə görünə bilər:
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Bunlar. qeydin qısaldılmış forması ilə hələ də 12 tənlik yaratmalıyıq. Qeydiyyatda qənaət minimaldır, lakin beşinci sinif şagirdi həqiqətən tələb olunan hərəkətləri başa düşməkdə problemlə üzləşə bilər.
P.S. Yalnız qoşa mötərizələrə gəlincə, qızım tənliklərin həlli üçün təklif etdiyim üsulla maraqlandı, lakin eyni zamanda, onun yazı formasında, hətta qaralamada hələ də 2 dəfə az tənlik var, çünki finalı atlayır. (500.10.4), (500.10. 7) və bu kimi tənliklər və qeyd edərkən dərhal növbəti üçün yer tərk edir. riyazi əməliyyat. Nəticədə, onun layihəsindəki giriş belə görünürdü:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x) , (50 - 5x) = 3 , (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Nəticədə cəmi 8 tənlik əldə etdik ki, bu da qısaldılmış həll üçün tələb olunandan da azdır. Prinsipcə, etiraz etmirəm, amma faydalı olardı.
Bir naməlum kəmiyyəti ehtiva edən ən sadə tənliklərin həlli haqqında demək istədiyim bütün bunlardır. İki naməlum kəmiyyəti ehtiva edən tənlikləri həll etmək üçün sizə lazım olacaq
Bərabərliklər haqqında ümumi təsəvvür əldə etdikdən və onların növlərindən biri - ədədi bərabərliklərlə tanış olduqdan sonra praktiki baxımdan çox vacib olan başqa bir bərabərlik növü - tənliklər haqqında danışmağa başlaya bilərsiniz. Bu yazıda baxacağıq tənlik nədir, və tənliyin kökü adlanan şey. Burada biz müvafiq tərifləri verəcəyik, həmçinin tənliklərə və onların köklərinə müxtəlif nümunələr verəcəyik.
Səhifə naviqasiyası.
Tənlik nədir?
Tənliklərə məqsədyönlü giriş adətən 2-ci sinifdə riyaziyyat dərslərində başlayır. Bu zaman aşağıdakılar verilir tənliyin tərifi:
Tərif.
tənlik tapılması lazım olan naməlum ədədi ehtiva edən bərabərlikdir.
Tənliklərdə naməlum ədədlər adətən kiçik ədədlərlə işarələnir. Latın hərfləri, məsələn, p, t, u və s., lakin ən çox istifadə olunan hərflər x, y və z-dir.
Beləliklə, tənlik yazı forması baxımından müəyyən edilir. Başqa sözlə, bərabərlik müəyyən edilmiş yazı qaydalarına tabe olduqda bir tənlikdir - dəyərinin tapılması lazım olan hərfi ehtiva edir.
Ən birinci və ən çox nümunələr verək sadə tənliklər. X=8, y=3 və s. kimi tənliklərlə başlayaq. Rəqəmlər və hərflərlə yanaşı işarələri olan tənliklər bir az daha mürəkkəb görünür arifmetik əməliyyatlar məsələn, x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .
Tənliklərin müxtəlifliyi tanış olduqdan sonra artır - mötərizəli tənliklər görünməyə başlayır, məsələn, 2·(x−1)=18 və x+3·(x+2·(x−2))=3. Tənlikdə naməlum hərf bir neçə dəfə görünə bilər, məsələn, x+3+3·x−2−x=9, həmçinin hərflər tənliyin sol tərəfində, sağ tərəfində və ya hər iki tərəfində ola bilər. tənliyi, məsələn, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 və ya 3·x−4=2·(x+12) .
Təhsil aldıqdan sonra natural ədədlər tam, rasional, həqiqi ədədlərlə tanışlıq baş verir, yeni riyazi obyektlər öyrənilir: güclər, köklər, loqarifmlər və s., eyni zamanda bu şeyləri ehtiva edən daha çox yeni tənlik növləri meydana çıxır. Onların nümunələrini məqalədə görmək olar tənliklərin əsas növləri məktəbdə oxuyur.
7-ci sinifdə bəzi xüsusi rəqəmləri ifadə edən hərflərlə yanaşı, müxtəlif qiymətlər ala bilən hərfləri nəzərdən keçirməyə başlayırlar, onlar dəyişənlər adlanırlar (məqaləyə bax). Eyni zamanda, tənliyin tərifinə "dəyişən" sözü daxil edilir və bu belə olur:
Tərif.
Tənlik dəyəri tapılmalı olan dəyişəni ehtiva edən bərabərliyi çağırın.
Məsələn, x+3=6·x+7 tənliyi x dəyişəni ilə tənlik, 3·z−1+z=0 isə z dəyişəni ilə tənlikdir.
Eyni 7-ci sinifdə cəbr dərsləri zamanı tərkibində bir deyil, iki fərqli naməlum dəyişən olan tənliklərlə qarşılaşırıq. Onlara iki dəyişənli tənliklər deyilir. Gələcəkdə tənliklərdə üç və ya daha çox dəyişənin olmasına icazə verilir.
Tərif.
Bir, iki, üç və s. olan tənliklər. dəyişənlər– bunlar öz yazılarında müvafiq olaraq bir, iki, üç, ... naməlum dəyişənləri ehtiva edən tənliklərdir.
Məsələn, 3.2 x+0.5=1 tənliyi bir x dəyişəni olan tənlikdir, öz növbəsində x−y=3 formalı tənlik iki x və y dəyişəni olan tənlikdir. Və daha bir misal: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Aydındır ki, belə bir tənlik üç naməlum dəyişəni x, y və z olan tənlikdir.
Tənliyin kökü nədir?
Tənliyin tərifi bu tənliyin kökünün təyini ilə birbaşa bağlıdır. Gəlin tənliyin kökünün nə olduğunu anlamağa kömək edəcək bəzi əsaslandırma aparaq.
Tutaq ki, bir hərfli (dəyişən) olan tənliyimiz var. Bu tənliyin girişinə daxil edilmiş hərfin əvəzinə müəyyən bir ədəd əvəz edilərsə, tənlik ədədi bərabərliyə çevrilir. Üstəlik, nəticədə yaranan bərabərlik doğru və ya yalan ola bilər. Məsələn, a+1=5 tənliyində a hərfi əvəzinə 2 rəqəmini əvəz etsəniz, 2+1=5 səhv ədədi bərabərliyini alacaqsınız. Bu tənlikdə a əvəzinə 4 rəqəmini əvəz etsək, 4+1=5 düzgün bərabərliyini alarıq.
Təcrübədə, əksər hallarda, tənliyə əvəz edilməsi düzgün bərabərliyi verən dəyişənin dəyərlərinə maraq göstərir, bu tənliyin kökləri və ya həlli adlanır;
Tərif.
Tənliyin kökü- bu, əvəz edildikdə tənliyin düzgün ədədi bərabərliyə çevrildiyi hərfin (dəyişən) dəyəridir.
Qeyd edək ki, bir dəyişənli tənliyin kökü də tənliyin həlli adlanır. Başqa sözlə, tənliyin həlli və tənliyin kökü eyni şeydir.
Bu tərifi bir misalla izah edək. Bunun üçün a+1=5 yuxarıda yazılmış tənliyə qayıdaq. Tənliyin kökünün verilən tərifinə görə, 4 rəqəmi bu tənliyin köküdür, çünki bu rəqəmi a hərfi əvəzinə əvəz etdikdə düzgün 4+1=5 bərabərliyini alırıq, 2 rəqəmi isə onun deyil. kök, çünki 2+1= 5 formasının səhv bərabərliyinə uyğundur.
Bu zaman bir sıra təbii suallar yaranır: “Hər hansı bir tənliyin kökü varmı və verilmiş tənliyin neçə kökü var?”. Biz onlara cavab verəcəyik.
Həm kökü olan tənliklər, həm də kökü olmayan tənliklər var. Məsələn, x+1=5 tənliyinin 4 kökü var, lakin 0 x=5 tənliyinin kökü yoxdur, çünki bu tənlikdə x dəyişəninin yerinə hansı ədədi əvəz etsək də, 0=5 səhv bərabərliyini alacağıq. .
Tənliyin köklərinin sayına gəlincə, həm müəyyən sonlu köklü (bir, iki, üç və s.) tənliklər, həm də sonsuz sayda kökə malik tənliklər var. Məsələn, x−2=4 tənliyinin tək kökü 6, x 2 =9 tənliyinin kökləri iki ədəd −3 və 3, x·(x−1)·(x−2)=0 tənliyidir. 0, 1 və 2 üç kökə malikdir və x=x tənliyinin həlli istənilən ədəddir, yəni sonsuz sayda kökə malikdir.
Tənliyin kökləri üçün qəbul edilmiş qeyd haqqında bir neçə söz söyləmək lazımdır. Əgər tənliyin kökləri yoxdursa, onlar adətən “tənliyin kökləri yoxdur” yazır və ya boş çoxluq işarəsindən ∅ istifadə edirlər. Tənliyin kökləri varsa, onlar vergüllə ayrılaraq və ya kimi yazılır dəstin elementləri buruq mötərizədə. Məsələn, tənliyin kökləri −1, 2 və 4 ədədləridirsə, onda −1, 2, 4 və ya (−1, 2, 4) yazın. Tənliyin köklərini sadə bərabərliklər şəklində yazmağa da icazə verilir. Məsələn, tənliyə x hərfi daxildirsə və bu tənliyin kökləri 3 və 5 rəqəmləridirsə, onda siz x=3, x=5 yaza bilərsiniz və x 1 =3, x 2 =5 alt yazıları çox vaxt əlavə olunur. dəyişənə, sanki tənliyin ədəd köklərini göstərir. Tənliyin sonsuz köklər çoxluğu adətən mümkünsə formada yazılır, N natural ədədləri, Z tam ədədləri və R həqiqi ədədləri üçün qeyddən də istifadə olunur; Məsələn, x dəyişəni olan tənliyin kökü hər hansı tam ədəddirsə, onda yazın və y dəyişəni olan tənliyin kökləri 1-dən 9-a qədər istənilən həqiqi ədəddirsə, yazın.
İki, üç və ya daha çox dəyişəni olan tənliklər üçün, bir qayda olaraq, "tənliyin kökü" termini istifadə edilmir, bu hallarda "tənliyin həlli" deyirlər; Bir neçə dəyişənli tənliklərin həllinə nə deyilir? Müvafiq tərifi verək.
Tərif.
İki, üç və s. olan tənliyin həlli. dəyişənlər cüt, üç və s. dəyişənlərin dəyərləri, bu tənliyi düzgün ədədi bərabərliyə çevirmək.
Gəlin izahlı nümunələr göstərək. İki dəyişəni x+y=7 olan tənliyi nəzərdən keçirək. X yerinə 1 rəqəmini, y yerinə 2 rəqəmini qoyaq və 1+2=7 bərabərliyi əldə edirik. Aydındır ki, bu səhvdir, buna görə də x=1, y=2 dəyər cütü yazılı tənliyin həlli deyil. Əgər x=4, y=3 cütünü götürsək, onda tənliyə əvəz etdikdən sonra düzgün 4+3=7 bərabərliyinə nail olacağıq, buna görə də bu dəyişən qiymət cütü tərifinə görə həlldir. x+y=7 tənliyinə.
Bir dəyişənli tənliklər kimi bir neçə dəyişənli tənliklərin kökləri olmaya bilər, məhdud sayda kök ola bilər və ya sonsuz sayda kök ola bilər.
Cütlər, üçəmlər, dördqatlar və s. Dəyişənlərin dəyərləri çox vaxt qısa şəkildə yazılır, onların dəyərləri mötərizədə vergüllə ayrılır. Bu halda mötərizədə yazılmış rəqəmlər əlifba sırası ilə dəyişənlərə uyğun gəlir. Əvvəlki x+y=7 tənliyinə qayıdaraq bu məqamı aydınlaşdıraq. Bu x=4, y=3 tənliyinin həllini qısaca (4, 3) kimi yazmaq olar.
Məktəbdə riyaziyyat, cəbr və təhlilin başlanğıcı kursunda ən çox diqqət bir dəyişənli tənliklərin köklərinin tapılmasına verilir. Bu prosesin qaydalarını məqalədə çox ətraflı müzakirə edəcəyik. tənliklərin həlli.
Biblioqrafiya.
- Riyaziyyat. 2 sinif Dərs kitabı ümumi təhsil üçün adj ilə institutlar. elektron başına daşıyıcı. Saat 14-də 1-ci hissə / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova və b.] - 3-cü nəşr. - M.: Təhsil, 2012. - 96 s.: xəstə. - (Rusiya Məktəbi). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Cəbr: dərs kitabı 7-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 17-ci nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 240 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Cəbr: 9-cu sinif: təhsil. ümumi təhsil üçün qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2009. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Məktəb riyaziyyat kursunda uşaq ilk dəfə “tənlik” ifadəsini eşidir. Bu nədir, gəlin birlikdə anlamağa çalışaq. Bu yazıda həll növlərinə və üsullarına baxacağıq.
Riyaziyyat. Tənliklər
Başlamaq üçün konsepsiyanın özünü başa düşməyinizi təklif edirik, bu nədir? Bir çox riyaziyyat dərsliyində deyildiyi kimi, tənlik bəzi ifadələrdir ki, onların arasında bərabər işarə olmalıdır. Bu ifadələrin tərkibində dəyişənlər deyilən hərflər var, onların dəyəri tapılmalıdır.
Bu, dəyərini dəyişən sistem atributudur. Dəyişənlərə yaxşı nümunə bunlardır:
- hava istiliyi;
- uşağın boyu;
- çəki və s.
Riyaziyyatda onlar hərflərlə təyin olunur, məsələn, x, a, b, c... Adətən riyaziyyat işi belə gedir: tənliyin qiymətini tapın. Bu o deməkdir ki, bu dəyişənlərin qiymətini tapmaq lazımdır.
Çeşidlər
Tənlik (əvvəlki paraqrafda bunun nə olduğunu müzakirə etdik) aşağıdakı formada ola bilər:
- xətti;
- kvadrat;
- kub;
- cəbri;
- transsendental.
Bütün növlərlə daha ətraflı tanış olmaq üçün hər birini ayrıca nəzərdən keçirəcəyik.
Xətti tənlik
Bu, məktəblilərin tanış olduğu ilk növdür. Onlar kifayət qədər tez və sadə şəkildə həll olunur. Beləliklə, xətti tənlik nədir? Bu formanın ifadəsidir: ah=c. Xüsusilə aydın deyil, ona görə də bir neçə misal verək: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Gəlin tənliklərin nümunələrinə baxaq. Bunun üçün bir tərəfə məlum olan bütün məlumatları, digər tərəfə isə naməlum olanları toplamaq lazımdır: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Burada riyaziyyatın elementar qaydalarından istifadə edilmişdir: a*c=e, bundan c=e/a; a=e/c. Tənliyin həllini tamamlamaq üçün bir hərəkəti yerinə yetiririk (bizim vəziyyətimizdə bölmə) x = 13; x=8; x=5. Bunlar vurma nümunələri idi, indi çıxma və toplamaya baxaq: x+3=9; 10x-5=15. Məlum məlumatları bir istiqamətə köçürürük: x=9-3; x=20/10. Sonuncu hərəkəti yerinə yetirin: x=6; x=2.
Seçimlər də mümkündür xətti tənliklər, burada birdən çox dəyişən istifadə olunur: 2x-2y=4. Həll etmək üçün hər hissəyə 2y əlavə etmək lazımdır, qeyd etdiyimiz kimi 2x-2y + 2y = 4-2y alırıq. sol tərəf bərabər işarəsi -2y və +2y azaldılır, bizə qalır: 2x=4-2y. Son addım hər hissəni ikiyə bölməkdir, cavabı alırıq: x iki mənfi y-ə bərabərdir.
Tənliklərlə bağlı problemlərə hətta Ahmes papiruslarında da rast gəlinir. Burada bir məsələ var: ədəd və onun dördüncü hissəsi 15-ə bərabərdir. Onu həll etmək üçün aşağıdakı tənliyi yazırıq: x üstəgəl dörddə bir x on beşə bərabərdir. Həllin nəticəsi əsasında başqa bir nümunə görürük, cavabı alırıq: x=12. Ancaq bu problem başqa bir şəkildə həll edilə bilər, yəni Misir və ya fərqli adlandırıldığı kimi, fərziyyə üsulu. Papirus aşağıdakı həll yolu istifadə edir: dördünü və dörddə birini, yəni birini götürün. Ümumilikdə beş verirlər, indi on beşi cəminə bölmək lazımdır, üçü alırıq, son addım üçü dördə vurmaqdır. Cavab alırıq: 12. Həlldə niyə on beşi beşə bölürük? Beləliklə, neçə dəfə on beş, yəni əldə etməmiz lazım olan nəticənin beşdən az olduğunu öyrənirik. Orta əsrlərdə problemlər bu şəkildə həll edildi;
Kvadrat tənliklər
Daha əvvəl müzakirə olunan nümunələrə əlavə olaraq, başqaları da var. Hansılar dəqiqdir? Kvadrat tənlik, bu nədir? Onlar balta 2 +bx+c=0 kimi görünürlər. Onları həll etmək üçün bəzi anlayışlar və qaydalarla tanış olmalısınız.
Əvvəlcə düsturdan istifadə edərək diskriminantı tapmalısınız: b 2 -4ac. Qərarın üç mümkün nəticəsi var:
- diskriminant sıfırdan böyükdür;
- sıfırdan az;
- sıfıra bərabərdir.
Birinci variantda cavabı düsturla tapılan iki kökdən ala bilərik: -b+-diskriminantın kökünün ikiqat birinci əmsala bölünməsi, yəni 2a.
İkinci halda, tənliyin heç bir kökü yoxdur. Üçüncü halda, kök aşağıdakı düsturla tapılır: -b/2a.
Daha ətraflı giriş üçün kvadrat tənlik nümunəsinə baxaq: üç x kvadrat minus on dörd x minus beş sıfıra bərabərdir. Başlamaq üçün, əvvəllər yazıldığı kimi, biz diskriminant axtarırıq, bizim vəziyyətimizdə o, 256-ya bərabərdir. Nəzərə alın ki, nəticədə alınan ədəd sıfırdan böyükdür, ona görə də iki kökdən ibarət cavab almalıyıq. Yaranan diskriminantı kökləri tapmaq üçün düsturla əvəz edirik. Nəticədə əldə edirik: x beşə bərabərdir və mənfi üçdə birdir.
Kvadrat tənliklərdə xüsusi hallar
Bunlar bəzi dəyərlərin sıfır (a, b və ya c) və bəlkə də birdən çox olduğu nümunələrdir.
Məsələn, kvadrat olan aşağıdakı tənliyi götürək: iki x kvadrat sıfıra bərabərdir, burada b və c sıfıra bərabər olduğunu görürük. Bunu həll etməyə çalışaq, bunun üçün tənliyin hər iki tərəfini ikiyə bölürük, bizdə: x 2 =0. Nəticədə x=0 alırıq.
Başqa bir hal 16x 2 -9=0-dır. Burada yalnız b=0. Tənliyi həll edək, sərbəst əmsalı sağ tərəfə köçürük: 16x 2 = 9, indi hər hissəni on altıya bölürük: x 2 = on altıda. Bizdə x kvadratı olduğundan, 9/16-nın kökü mənfi və ya müsbət ola bilər. Cavabı belə yazırıq: x bərabərdir artı/mənfi dörddə üç.
Başqa bir mümkün cavab odur ki, tənliyin heç bir kökü yoxdur. Bu misala baxaq: 5x 2 +80=0, burada b=0. Həll etmək üçün pulsuz üzvü atın sağ tərəf, bu hərəkətlərdən sonra alırıq: 5x 2 = -80, indi hər hissəni beşə bölürük: x 2 = minus on altı. Hər hansı bir ədədi kvadrat etsək, mənfi qiymət almayacağıq. Buna görə də cavabımız belədir: tənliyin kökü yoxdur.
Trinomial genişlənmə
Kvadrat tənliklərlə bağlı tapşırıq da belə səslənə bilər: genişləndirin kvadrat üçbucaqlıçarpanlarla. Bunu aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə etmək olar: a(x-x 1)(x-x 2). Bunun üçün tapşırığın digər variantında olduğu kimi, diskriminant tapmaq lazımdır.
Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək: 3x 2 -14x-5, trinomialı çarpdırın. Bizə artıq məlum olan düsturdan istifadə edərək diskriminant tapırıq; o, 256-ya bərabərdir. Dərhal qeyd edirik ki, 256 sıfırdan böyükdür, buna görə də tənliyin iki kökü olacaq. Onları əvvəlki bənddə olduğu kimi tapırıq: x = beş və mənfi üçdə biri. Üçhəcmlini faktorlara ayırmaq üçün düsturdan istifadə edək: 3(x-5)(x+1/3). İkinci mötərizədə bərabər işarə aldıq, çünki düsturda mənfi işarə var və kök də mənfidir, riyaziyyatın əsas biliklərindən istifadə edərək, cəmində artı işarəmiz var. Sadələşdirmək üçün kəsrdən xilas olmaq üçün tənliyin birinci və üçüncü hədlərini vuraq: (x-5)(x+1).
Kvadrata endirilən tənliklər
Bu bölmədə daha mürəkkəb tənlikləri necə həll edəcəyimizi öyrənəcəyik. Dərhal bir nümunə ilə başlayaq:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Təkrarlanan elementləri müşahidə edə bilərik: (x 2 - 2x), onu həll etmək üçün onu başqa dəyişənlə əvəz etmək bizim üçün əlverişlidir və sonra adi kvadrat tənliyi dərhal həll edin Qeyd edək ki, belə bir tapşırıqda dörd kök alacağıq, bu sizi qorxutmamalıdır. a dəyişəninin təkrarını işarə edirik. Alırıq: a 2 -2a-3=0. Bizim növbəti addım yeni tənliyin diskriminantını tapır. 16 alırıq, iki kök tapırıq: mənfi bir və üç. Əvəz etdiyimizi xatırlayırıq, bu dəyərləri əvəz edirik, nəticədə tənliklər əldə edirik: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Onları birinci cavabda həll edirik: x birə bərabərdir, ikincidə: x mənfi bir və üçə bərabərdir. Cavabı belə yazırıq: artı/mənfi bir və üç. Bir qayda olaraq, cavab artan qaydada yazılır.
Kub tənlikləri
Gəlin daha birinə baxaq mümkün variant. haqqında kub tənlikləri haqqında. Onlar belə görünür: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Aşağıda tənliklərin nümunələrinə baxacağıq, amma əvvəlcə bir az nəzəriyyə. Onların üç kökü ola bilər və kub tənliyi üçün diskriminant tapmaq üçün bir düstur da var.
Bir misala baxaq: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Bunu necə həll etmək olar? Bunun üçün sadəcə olaraq mötərizədə x-i çıxarırıq: x(3x 2 +4x+2)=0. Etməli olduğumuz tək şey mötərizədə tənliyin köklərini hesablamaqdır. Mötərizədə kvadrat tənliyin diskriminantı sıfırdan kiçikdir, buna əsasən ifadənin kökü var: x=0.
Cəbr. Tənliklər
Gəlin növbəti görünüşə keçək. İndi qısaca baxacağıq cəbri tənliklər. Tapşırıqlardan biri belədir: əmsal 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Ən əlverişli yol aşağıdakı qruplaşdırma olardı: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Qeyd edək ki, biz birinci ifadədən 8x 2-ni 3x 2 və 5x 2-nin cəmi kimi təqdim etdik. İndi hər mötərizədən ümumi amil 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) çıxarırıq. Görürük ki, ortaq amilimiz var: x kvadrat üstəgəl bir, onu mötərizədən çıxarırıq: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Hər iki tənliyin mənfi diskriminantı olduğu üçün əlavə genişlənmə mümkün deyil.
Transsendental tənliklər
Aşağıdakı növlə məşğul olmağı təklif edirik. Bunlar transsendental funksiyaları, yəni loqarifmik, triqonometrik və ya eksponensial funksiyaları ehtiva edən tənliklərdir. Nümunələr: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 və s. Onların necə həll edildiyini triqonometriya kursunda öyrənəcəksiniz.
Funksiya
Son addım funksiyanın tənliyi anlayışını nəzərdən keçirməkdir. Əvvəlki variantlardan fərqli olaraq, bu tip həll edilmir, lakin onun əsasında qrafik qurulur. Bunu etmək üçün tənliyi yaxşı təhlil etməyə, tikinti üçün bütün lazımi nöqtələri tapmağa, minimum və maksimum nöqtələri hesablamağa dəyər.
