Onda a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Sıfır əlavə etməklə rəqəm dəyişmir, əksinə ədədlərin cəmi sıfırdır.
Bu o deməkdir ki, istənilən rasional ədəd üçün bizdə: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Rasional ədədlərin vurulması da kommutativ və assosiativ xüsusiyyətlərə malikdir. Başqa sözlə, a, b və c hər hansı rasional ədədlərdirsə, onda ab - ba, a(bc) - (ab)c.
1-ə vurma rasional ədədi dəyişmir, lakin ədədin və onun tərsinin məhsulu 1-ə bərabərdir.
Bu o deməkdir ki, istənilən rasional a üçün bizdə:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - s.
1190. Rahat hesablama prosedurunu seçərək ifadənin qiymətini tapın:
1191. Çoxalmanın ab = ba kommutativ xassəsini sözlə tərtib edin və onu aşağıdakı hallarda yoxlayın:
1192. a(bc)=(ab)c vurmanın assosiativ xassəsini sözlə tərtib edin və onu aşağıdakı hallarda yoxlayın:
1193. Rahat hesablama qaydasını seçərək ifadənin qiymətini tapın:
1194. Çoxalsanız hansı ədədi (müsbət və ya mənfi) alacaqsınız?
a) bir mənfi ədəd və iki müsbət ədəd;
b) iki mənfi və bir müsbət ədəd;
c) 7 mənfi və bir neçə müsbət ədəd;
d) 20 mənfi və bir neçə müsbət? Nəticə çıxarın.
1195. Məhsulun işarəsini təyin edin:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) B idman zalı Vitya, Kolya, Petya, Seryozha və Maksim toplandı (Şəkil 91, a). Məlum oldu ki, oğlanların hər biri yalnız iki nəfəri tanıyır. Kim kimi bilir? (Qrafikin kənarı “biz bir-birimizi tanıyırıq” deməkdir.)
b) Bir ailənin bacı-qardaşları həyətdə gəzirlər. Bu uşaqlardan hansı oğlan, hansı qızdır (şək. 91, b)? (Qrafikin nöqtəli kənarları “mən bacıyam”, bərk olanlar isə “mən qardaşam” deməkdir.)
1205. Hesablayın:
1206. Müqayisə et:
a) 2 3 və 3 2; b) (-2) 3 və (-3) 2; c) 1 3 və 1 2; d) (-1) 3 və (-1) 2.
1207. 5.2853-dən minə qədər; əvvəl yüzdə bir; ondalığa qədər; vahidlərə qədər.
1208. Problemi həll edin:
1) Motosikletçi velosipedçini yaxalayır. İndi onların arasında 23,4 km var. Motosikletçinin sürəti velosipedçinin sürətindən 3,6 dəfə çoxdur. Motosikletçinin bir saat ərzində velosipedçini tutacağı məlumdursa, velosipedçinin və motosikletçinin sürətlərini tapın.
2) Maşın avtobusa çatır. İndi onların arasında 18 km var. Avtobusun sürəti minik avtomobilinin sürəti ilə eynidir. Avtomobilin bir saatdan sonra avtobusa çatacağı məlumdursa, avtobusun və avtomobilin sürətlərini tapın.
1209. İfadənin mənasını tapın:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
ilə hesablamalarınızı yoxlayın mikro kalkulyator.
1210. Rahat hesablama qaydasını seçərək ifadənin qiymətini tapın: 
1211. İfadəsini sadələşdirin:
1212. İfadənin mənasını tapın:
1213. Bu addımları yerinə yetirin:
1214. Şagirdlərə 2,5 ton metal qırıntıları toplamaq tapşırığı verildi. Onlar 3,2 ton metal qırıntısı toplayıblar. Şagirdlər tapşırığı neçə faiz yerinə yetirdilər və tapşırığı neçə faiz üstələyiblər?
1215. Avtomobil 240 km yol getdi. Bunlardan 180 km-ni kənd yolu ilə, qalan hissəsini isə magistral yolu ilə getdi. Kənd yolunun hər 10 km-ə benzin sərfiyyatı 1,6 litr, magistral yolda isə 25% az olub. Hər 10 km səyahətə orta hesabla neçə litr benzin sərf olunurdu?
1216. Velosipedçi kənddən çıxarkən körpüdə eyni istiqamətdə gedən piyadanı görüb və 12 dəqiqə sonra onu tutub. Velosipedçinin sürəti 15 km/saat, kənddən körpüyə qədər olan məsafə 1 km 800 m olarsa, piyadanın sürətini tapın?
1217. Bu addımları yerinə yetirin:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
İnsanlar, bildiyiniz kimi, rasional ədədlərlə tədricən tanış oldular. Əvvəlcə cisimləri sayarkən natural ədədlər yaranırdı. Əvvəlcə onların sayı az idi. Beləliklə, yaxın vaxtlara qədər Torres boğazındakı (Yeni Qvineyanı Avstraliyadan ayıran) adaların yerli əhalisi öz dillərində yalnız iki rəqəmin adına malik idi: “urapun” (bir) və “okaz” (iki). Adalılar belə sayırdılar: “Okaza-urapun” (üç), “Okaza-Okaza” (dörd) və s. Yerlilər yeddidən başlayaraq bütün rəqəmləri “çox” mənasını verən sözlə çağırırdılar.
Alimlər hesab edirlər ki, yüzlərlə söz 7000-dən çox, minlər üçün - 6000 və 5000 il əvvəl yaranmışdır. Qədim Misir və içində Qədim Babil adlar böyük rəqəmlər üçün görünür - bir milyona qədər. Lakin uzun müddət təbii ədədlər seriyası sonlu hesab olunurdu: insanlar ən böyük ədədin olduğunu düşünürdülər.
Ən böyük qədim yunan riyaziyyatçısı və fiziki Arximed (e.ə. 287-212) nəhəng ədədləri təsvir etmək üçün bir üsul tapdı. Arximedin adlandıra biləcəyi ən böyük rəqəm onun üçün o qədər böyük idi rəqəmsal qeyd Yerdən Günəşə qədər olan məsafədən iki min dəfə uzun bir lent lazım olardı.
Amma onlar hələ belə böyük rəqəmləri yaza bilməmişdilər. Bu, yalnız VI əsrdə hind riyaziyyatçılarından sonra mümkün olmuşdur. Sıfır rəqəmi icad edildi və ədədin onluq yerlərində vahidlərin olmamasını ifadə etməyə başladı.
Qənimətləri bölərkən və daha sonra dəyərləri ölçərkən və digər oxşar hallarda insanlar "sınıq nömrələr" tətbiq etmək ehtiyacı ilə qarşılaşdılar - adi fraksiyalar. Orta əsrlərdə fraksiyalar üzərində əməliyyatlar ən çox hesab olunurdu kompleks ərazi riyaziyyat. Bu günə qədər almanlar çətin vəziyyətə düşən insan haqqında deyirlər ki, o, “kəsiklərə düşüb”.
Kəsrlərlə işləməyi asanlaşdırmaq üçün onluqlar icad edilmişdir fraksiyalar. Avropada onlar X585-ci ildə holland riyaziyyatçısı və mühəndisi Simon Stevin tərəfindən təqdim edilmişdir.
Mənfi ədədlər kəsrlərdən daha gec ortaya çıxdı. Uzun müddətə bu cür rəqəmlər, ilk növbədə, müsbət və mənfi ədədlər"Əmlak - borc" çaşqınlığa səbəb oldu: "əmlak" və ya "borcları" əlavə edə və ya çıxara bilərsiniz, lakin "əmlak" və "borc" məhsulunu və ya hissəsini necə başa düşmək olar?
Lakin bu cür şübhə və çaşqınlıqlara baxmayaraq, müsbət və mənfi ədədləri vurmaq və bölmək qaydaları III əsrdə təklif edilmişdir. yunan riyaziyyatçısı Diofant (şəklində: “Çıxarılan, əlavə edilənə vurulan, çıxılanı verir; çıxılanın əlavə olunanı verir” və s.), sonralar hind riyaziyyatçısı Bhaskar (XII əsr) eyni qaydaları “mülk”, “borc” anlayışlarında ifadə etmişdir (“İki əmlakın və ya iki borcun məhsulu əmlakdır; əmlak və borcun məhsulu borcdur.” Eyni qayda bölgüyə də aiddir).
Müəyyən edilmişdir ki, mənfi ədədlər üzərində əməllərin xassələri müsbət ədədlərlə eynidir (məsələn, toplama və vurma kommutativ xüsusiyyətə malikdir). Və nəhayət, keçən əsrin əvvəllərindən bəri mənfi ədədlər müsbət rəqəmlərə bərabər oldu.
Sonralar riyaziyyatda yeni rəqəmlər meydana çıxdı - irrasional, mürəkkəb və s. Onlar haqqında orta məktəbdə öyrənirsən.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Çesnokov, S.I. Şvartsburd, V.I.Joxov, 6-cı sinif üçün riyaziyyat, orta məktəb üçün dərslik
6-cı sinif riyaziyyat fənni üzrə təqvim planına uyğun kitab və dərsliklər yükləyin, məktəblilər üçün onlayn yardım
Rəqəmlər anlayışı obyekti kəmiyyət baxımından xarakterizə edən abstraksiyaları nəzərdə tutur. Hətta ibtidai cəmiyyətdə insanların obyektləri saymağa ehtiyacı var idi, buna görə də ədədi qeydlər meydana çıxdı. Sonralar bir elm kimi riyaziyyatın əsasına çevrildilər.
Riyazi anlayışlarla işləmək üçün ilk növbədə hansı nömrələrin olduğunu təsəvvür etmək lazımdır. Rəqəmlərin bir neçə əsas növü var. Bu:
1. Natural - obyektlərin nömrələnməsi zamanı əldə etdiyimizlər (onların təbii hesablanması). Onların çoxluğu N ilə işarələnir.
2. Tam ədədlər (onların çoxluğu Z hərfi ilə işarələnir). Buraya natural ədədlər, onların əksləri, mənfi tam ədədlər və sıfır daxildir.
3. Rasional ədədlər (Q hərfi). Bunlar kəsr kimi göstərilə bilənlərdir, onların payı tam ədədə, məxrəci isə natural ədədə bərabərdir. Hamısı tamdır və rasional olaraq təsnif edilir.
4. Real (onlar R hərfi ilə təyin olunur). Bunlara rasional və irrasional ədədlər daxildir. Rasional ədədlərdən əldə edilən ədədlər müxtəlif əməliyyatlar(loqarifmin hesablanması, kökün çıxarılması) özləri rasional deyil.
Beləliklə, sadalanan dəstlərdən hər hansı biri aşağıdakıların alt çoxluğudur. Bu tezis sözdə formada bir diaqramla təsvir edilmişdir. Eyler dairələri. Dizayn, hər biri digərinin içərisində yerləşən bir neçə konsentrik ovaldan ibarətdir. Daxili, ən kiçik oval (sahə) dəsti bildirir natural ədədlər. O, tamamilə əhatə olunub və tam ədədlər çoxluğunu simvolizə edən bölgəni əhatə edir, bu da öz növbəsində rasional ədədlər bölgəsində yerləşir. Bütün digərlərini özündə birləşdirən xarici, ən böyük oval massivi bildirir
Bu yazıda rasional ədədlər çoxluğuna, onların xassələrinə və xüsusiyyətlərinə baxacağıq. Artıq qeyd edildiyi kimi, bütün mövcud nömrələr (müsbət, həmçinin mənfi və sıfır) onlara aiddir. Rasional ədədlər aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik sonsuz sıra əmələ gətirir:
Bu dəst sıralanır, yəni bu seriyadan istənilən cüt ədəd götürməklə hansının daha böyük olduğunu hər zaman öyrənə bilərik;
Belə ədədlərdən hər hansı bir cütü götürsək, biz həmişə onların arasına ən azı daha birini və deməli, onların bütöv bir sırasını yerləşdirə bilərik - beləliklə, rasional ədədlər sonsuz sıranı təmsil edir;
Belə ədədlər üzərində dörd arifmetik əməliyyatın hamısı mümkündür, onların nəticəsi həmişə müəyyən bir ədəddir (həmçinin rasional); istisna 0-a (sıfır) bölünür - mümkün deyil;
İstənilən rasional ədədlər onluq kəsr kimi göstərilə bilər. Bu kəsrlər sonlu və ya sonsuz dövri ola bilər.
Rasional çoxluğa aid iki ədədi müqayisə etmək üçün yadda saxlamaq lazımdır:
Sıfırdan böyük istənilən müsbət ədəd;
İstənilən mənfi ədəd həmişə sıfırdan azdır;
İki mənfi rasional ədədi müqayisə edərkən mütləq dəyəri (modulu) kiçik olan daha böyükdür.
Rasional ədədlərlə əməliyyatlar necə yerinə yetirilir?
Eyni işarəsi olan iki ədədi əlavə etmək üçün onların mütləq dəyərlərini əlavə edib cəminin qarşısına qoymalısınız. ümumi əlamət. ilə nömrələr əlavə etmək üçün müxtəlif əlamətlər böyük qiymətdən kiçik olanı çıxmaq və mütləq qiyməti böyük olanın işarəsini qoymaq lazımdır.
Bir rasional ədədi digərindən çıxarmaq üçün birinci ədədə ikincinin əksini əlavə etmək kifayətdir. İki ədədi çoxaltmaq üçün onların dəyərlərini çoxaltmaq lazımdır mütləq dəyərlər. Alınan nəticə faktorlar eyni işarəyə malik olduqda müsbət, fərqli olduqda isə mənfi olacaqdır.
Bölmə oxşar şəkildə həyata keçirilir, yəni mütləq dəyərlərin nisbəti tapılır və dividend və bölən əlamətləri üst-üstə düşürsə, nəticədən əvvəl "+" işarəsi və "-" işarəsi qoyulur. uyğun gəlmirlər.
Rasional ədədlərin səlahiyyətləri bir-birinə bərabər olan bir neçə amilin məhsulu kimi görünür.
Bu məqalə ümumi məlumat verir rasional ədədlərlə əməllərin xassələri. Əvvəlcə bütün digər əmlakların əsaslandığı əsas xüsusiyyətlər elan edilir. Bundan sonra rasional ədədlərlə əməliyyatların digər tez-tez istifadə olunan xassələri verilir.
Səhifə naviqasiyası.
Siyahıya salaq rasional ədədlərlə əməliyyatların əsas xassələrini(a, b və c ixtiyari rasional ədədlərdir):
- a+b=b+a toplamanın kommutativ xassəsi.
- Toplamanın birləşmə xassəsi (a+b)+c=a+(b+c) .
- Əlavə ilə neytral elementin mövcudluğu - sıfır, hər hansı bir ədədlə əlavə edilməsi bu rəqəmi dəyişmir, yəni a+0=a.
- Hər bir rasional ədəd üçün a+(−a)=0-a əks olan −a ədədi var.
- Rasional ədədlərin vurulmasının kommutativ xassəsi a·b=b·a.
- Vurmanın birləşmə xassəsi (a·b)·c=a·(b·c) .
- Vurma üçün neytral elementin mövcudluğu vahiddir, vurma onun köməyi ilə istənilən ədəd bu ədədi dəyişdirmir, yəni a·1=a.
- Sıfırdan fərqli hər bir rasional ədəd üçün a −1 tərs ədədi var ki, a·a −1 =1 olsun.
- Nəhayət, rasional ədədlərin toplanması və vurulması toplamaya nisbətən vurmanın paylanma xüsusiyyəti ilə əlaqələndirilir: a·(b+c)=a·b+a·c.
Rasional ədədlərlə əməliyyatların sadalanan xassələri əsasdır, çünki bütün digər xassələri onlardan əldə etmək olar.
Digər vacib xüsusiyyətlər
Rasional ədədlərlə əməliyyatların sadalanan doqquz əsas xassəsinə əlavə olaraq, çox geniş istifadə olunan bir sıra xüsusiyyətlər var. Onlara verək qısa baxış.
kimi hərflərdən istifadə edərək yazılan əmlakdan başlayaq a·(−b)=−(a·b) kimi vurmanın kommutativ xassəsinə görə (−a) b=−(a b). Müxtəlif işarəli rasional ədədlərin vurulması qaydası birbaşa bu xassədən irəli gəlir, onun sübutu da bu məqalədə verilmişdir. Bu xassə “artı mənfi ilə vurulan mənfi, mənfi artı ilə vurulan isə mənfidir” qaydasını izah edir.
Budur aşağıdakı əmlak: (−a)·(−b)=a·b. Bu, mənfi rasional ədədlərin vurulması qaydasını nəzərdə tutur, bu məqalədə yuxarıda göstərilən bərabərliyin sübutunu da tapa bilərsiniz. Bu xassə “mənfi dəfə minus artı” vurma qaydasına uyğundur.
Şübhəsiz ki, ixtiyari a rasional ədədini sıfıra vurmağa diqqət yetirməyə dəyər: a·0=0 və ya 0 a=0. Gəlin bu mülkü sübut edək. Biz bilirik ki, hər hansı rasional d üçün 0=d+(−d), onda a·0=a·(d+(−d)) . Paylanma xassəsi nəticədə ifadənin a·d+a·(−d) kimi yenidən yazılmasına imkan verir və a·(−d)=−(a·d) olduğundan, onda a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Beləliklə, iki əks ədədin cəminə gəldik, a·d və -(ad·d) bərabərdir, onların cəmi sıfır verir, bu da a·0=0 bərabərliyini sübut edir.
Asanlıqla qeyd etmək olar ki, yuxarıda toplama və vurmanın xassələrini sadaladıq, halbuki çıxma və bölmənin xassələri haqqında bir kəlmə də deyildi. Bu onunla əlaqədardır ki, rasional ədədlər çoxluğunda çıxma və bölmə əməlləri müvafiq olaraq toplama və vurmanın tərsi kimi göstərilmişdir. Yəni, a−b fərqi a+(−b) cəmidir, a:b hissəsi isə a·b−1 (b≠0) hasilidir.
Çıxarma və bölmənin bu təriflərini, həmçinin toplama və vurmanın əsas xassələrini nəzərə alaraq, rasional ədədlərlə əməliyyatların istənilən xassələrini sübut etmək olar.
Nümunə olaraq, çıxma əməliyyatına nisbətən vurmanın paylanma xassəsini sübut edək: a·(b−c)=a·b−a·c. Aşağıdakı bərabərlik zənciri yerinə yetirilir: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, bu da sübutdur.
cleverstudent tərəfindən müəllif hüquqları
Bütün hüquqlar qorunur.
Müəllif hüquqları qanunu ilə qorunur. www.saytın heç bir hissəsi, o cümlədən daxili materiallar və xarici dizayn, müəllif hüquqları sahibinin əvvəlcədən yazılı icazəsi olmadan heç bir formada çoxalda və ya istifadə edilə bilməz.
Bu dərs rasional ədədlərin toplama və çıxmasını əhatə edir. Mövzu kompleks kimi təsnif edilir. Burada əvvəllər əldə edilmiş biliklərin bütün arsenalından istifadə etmək lazımdır.
Tam ədədlərin toplanması və çıxılması qaydaları rasional ədədlərə də aiddir. Xatırladaq ki, rasional ədədlər kəsr kimi göstərilə bilən ədədlərdir, burada a – bu kəsrin sayıdır, b kəsrin məxrəcidir. Orada, b sıfır olmamalıdır.
Bu dərsdə biz getdikcə fraksiyaları və qarışıq ədədləri bir ümumi ifadə ilə çağıracağıq - rasional ədədlər.
Dərs naviqasiyası:Misal 1.İfadənin mənasını tapın:
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək. Nəzərə alırıq ki, ifadədə verilən artı əməliyyat işarəsidir və kəsrə aid deyil. Bu kəsrin özünün üstəgəl işarəsi var, yazılmadığı üçün görünməzdir. Ancaq aydınlıq üçün yazacağıq:
Bu, müxtəlif işarəli rasional ədədlərin əlavə edilməsidir. Müxtəlif işarəli rasional ədədləri əlavə etmək üçün böyük moduldan kiçik modulu çıxarmaq lazımdır və nəticədə alınan cavabdan əvvəl modulu daha böyük olan rasional ədədin işarəsini qoymaq lazımdır. Hansı modulun böyük və hansının kiçik olduğunu başa düşmək üçün onları hesablamazdan əvvəl bu fraksiyaların modullarını müqayisə etməyi bacarmalısınız:
Rasional ədədin modulu rasional ədədin modulundan böyükdür. Buna görə də -dən çıxardıq. Cavab aldıq. Sonra bu kəsri 2-yə endirərək son cavabı aldıq.
Nömrələrin mötərizədə qoyulması və modulların əlavə edilməsi kimi bəzi primitiv hərəkətlər atlana bilər. Bu nümunəni qısaca yazmaq olar:
Misal 2.İfadənin mənasını tapın:
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək. Nəzərə alırıq ki, rasional ədədlər arasında mənfi dayanma əməliyyatın əlamətidir və kəsrə aid deyil. Bu kəsrin özünün üstəgəl işarəsi var, yazılmadığı üçün görünməzdir. Ancaq aydınlıq üçün yazacağıq:
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək. Nəzərinizə çatdıraq ki, bunun üçün minuendlərə çıxarmanın əksini əlavə etmək lazımdır:
Mənfi rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Mənfi rasional ədədlər əlavə etmək üçün onların modullarını əlavə etməli və nəticədə çıxan cavabın qarşısına mənfi işarə qoymalısınız:
Qeyd. Hər bir rasional ədədi mötərizə içərisinə daxil etmək lazım deyil. Bu, rasional ədədlərin hansı işarələrə malik olduğunu aydın görmək üçün rahatlıq üçün edilir.
Misal 3.İfadənin mənasını tapın:
Bu ifadədə kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var. Tapşırığımızı asanlaşdırmaq üçün bu kəsrləri ortaq məxrəcə endirək. Bunu necə etmək barədə ətraflı danışmayacağıq. Əgər çətinlik çəkirsinizsə, dərsi təkrarladığınızdan əmin olun.
Kəsrləri ortaq məxrəcə endirdikdən sonra ifadə aşağıdakı formanı alacaq:
Bu, müxtəlif işarəli rasional ədədlərin əlavə edilməsidir. Daha böyük moduldan kiçik modulu çıxarırıq və nəticədə cavabdan əvvəl modulu daha böyük olan rasional ədədin işarəsini qoyuruq:
Bu misalın həllini qısaca yazaq:
Misal 4.İfadənin qiymətini tapın
Bu ifadəni aşağıdakı kimi hesablayaq: rasional ədədləri əlavə edin və sonra nəticədən rasional ədədi çıxarın. 
İlk hərəkət:
İkinci hərəkət:
Misal 5. İfadənin mənasını tapın:
−1 tam ədədini kəsr kimi təqdim edək və qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirək:
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək:
İşarələri müxtəlif olan rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Daha böyük moduldan kiçik modulu çıxarırıq və nəticədə cavabdan əvvəl modulu daha böyük olan rasional ədədin işarəsini qoyuruq:
Cavab aldıq.
İkinci bir həll var. Bütün hissələri ayrı-ayrılıqda birləşdirməkdən ibarətdir.
Beləliklə, orijinal ifadəyə qayıdaq:
Gəlin hər bir ədədi mötərizədə qeyd edək. Bunun üçün qarışıq nömrə müvəqqətidir:
Tam hissələri hesablayaq:
(−1) + (+2) = 1
Əsas ifadədə (−1) + (+2) əvəzinə nəticə vahidini yazırıq:
Nəticə ifadəsidir. Bunu etmək üçün vahidi və kəsri birlikdə yazın:
Həllini bu şəkildə daha qısa şəkildə yazaq:
Misal 6.İfadənin qiymətini tapın
Qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirək. Qalanını dəyişmədən yenidən yazaq:
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək:
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
Bu misalın həllini qısaca yazaq:
Misal 7.İfadənin qiymətini tapın
−5 tam ədədini kəsr kimi təqdim edək və qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirək:
Gəlin bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirək. Onlar ümumi məxrəcə endirildikdən sonra aşağıdakı formanı alacaqlar:
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək:
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
Mənfi rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Gəlin bu ədədlərin modullarını əlavə edək və ortaya çıxan cavabın qarşısına mənfi işarə edək:
Beləliklə, ifadənin qiyməti .
Bu misalı ikinci şəkildə həll edək. Orijinal ifadəyə qayıdaq:
Qarışıq ədədi genişləndirilmiş formada yazaq. Qalanını dəyişmədən yenidən yazaq:
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edirik:
Tam hissələri hesablayaq:
Əsas ifadədə nəticədə −7 rəqəmini yazmaq əvəzinə
İfadə qarışıq ədədin yazılmasının genişləndirilmiş formasıdır. Son cavabı yaratmaq üçün −7 rəqəmini və kəsri birlikdə yazırıq:
Bu həlli qısaca yazaq:
Misal 8.İfadənin qiymətini tapın
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edirik:
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
Mənfi rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Gəlin bu ədədlərin modullarını əlavə edək və ortaya çıxan cavabın qarşısına mənfi işarə edək:
Beləliklə, ifadənin dəyəri belədir
Bu nümunə ikinci şəkildə həll edilə bilər. Tam və kəsr hissələrin ayrıca əlavə edilməsindən ibarətdir. Orijinal ifadəyə qayıdaq:
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək:
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
Mənfi rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Gəlin bu ədədlərin modullarını əlavə edək və nəticədə çıxan cavabın qarşısına minus qoyaq. Amma bu dəfə həm kəsr, həm də tam hissələri (−1 və −2) əlavə edəcəyik
Bu həlli qısaca yazaq:
Misal 9.İfadə ifadələrini tapın 
Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirək:
Rasional ədədi işarəsi ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək. Rasional ədədi mötərizədə qoymağa ehtiyac yoxdur, çünki o, artıq mötərizədədir:
Mənfi rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Gəlin bu ədədlərin modullarını əlavə edək və ortaya çıxan cavabın qarşısına mənfi işarə edək:
Beləliklə, ifadənin dəyəri belədir
İndi bu eyni misalı ikinci üsulla, yəni və tam ədədləri əlavə etməklə həll etməyə çalışaq fraksiya hissələri ayrıca.
Bu dəfə qısa bir həll əldə etmək üçün qarışıq ədədi genişləndirilmiş formada yazmaq və çıxma əməliyyatını toplama ilə əvəz etmək kimi bəzi addımları atlamağa çalışaq:
Nəzərə alın ki, kəsr hissələri ortaq məxrəcə endirilib.
Misal 10.İfadənin qiymətini tapın 
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
Yaranan ifadədə səhvlərin əsas səbəbi olan mənfi ədədlər yoxdur. Mənfi ədədlər olmadığından, çıxarmanın qarşısındakı artıları və mötərizələri də silə bilərik:
Nəticə hesablanması asan olan sadə bir ifadədir. Bunu bizim üçün əlverişli olan hər hansı bir şəkildə hesablayaq:
Misal 11.İfadənin qiymətini tapın
Bu, müxtəlif işarəli rasional ədədlərin əlavə edilməsidir. Kiçik modulu böyük moduldan çıxaraq və nəticədə alınan cavabdan əvvəl modulu böyük olan rasional ədədin işarəsini qoyuruq:
Misal 12.İfadənin qiymətini tapın 
İfadə bir neçə rasional ədəddən ibarətdir. Buna görə, ilk növbədə, mötərizədə addımları yerinə yetirməlisiniz.
Əvvəlcə ifadəni hesablayırıq, sonra alınan nəticələri əlavə edirik.
İlk hərəkət:
İkinci hərəkət:
Üçüncü hərəkət:
Cavab: ifadə dəyəri bərabərdir
Misal 13.İfadənin qiymətini tapın 
Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirək:
Rasional ədədi işarəsi ilə birlikdə mötərizədə qoyaq. Rasional ədədi mötərizədə qoymağa ehtiyac yoxdur, çünki o, artıq mötərizədədir:
Gəlin bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirək. Onlar ümumi məxrəcə endirildikdən sonra aşağıdakı formanı alacaqlar:
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
İşarələri müxtəlif olan rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Kiçik modulu böyük moduldan çıxaraq və nəticədə alınan cavabdan əvvəl modulu böyük olan rasional ədədin işarəsini qoyuruq:
Beləliklə, ifadənin mənası bərabərdir
Gəlin ondalıqların toplanması və çıxılmasına baxaq, onlar da rasional ədədlərdir və müsbət və ya mənfi ola bilər.
Misal 14.−3.2 + 4.3 ifadəsinin qiymətini tapın
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək. Nəzərə alırıq ki, ifadədə verilən üstəgəl əməliyyat işarəsidir və 4.3-cü onluq kəsrinə şamil edilmir. Bu onluq kəsrin özünəməxsus artı işarəsi var, yazılmadığı üçün görünməzdir. Ancaq aydınlıq üçün yazacağıq:
(−3,2) + (+4,3)
Bu, müxtəlif işarəli rasional ədədlərin əlavə edilməsidir. Müxtəlif işarələri olan rasional ədədləri əlavə etmək üçün kiçik modulu daha böyük moduldan çıxarmaq lazımdır və nəticədə alınan cavabdan əvvəl modulu daha böyük olan rasional ədədi qoymaq lazımdır. Hansı modulun daha böyük və hansının kiçik olduğunu başa düşmək üçün onları hesablamadan əvvəl bu onluq kəsrlərin modullarını müqayisə etməyi bacarmalısınız:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
4.3 ədədinin modulu −3.2 ədədinin modulundan böyükdür, ona görə də 4.3-dən 3.2-ni çıxardıq. 1.1 cavabını aldıq. Cavab müsbətdir, çünki cavabdan əvvəl modulu daha böyük olan rasional ədədin işarəsi olmalıdır. 4.3 ədədinin modulu isə −3.2 ədədinin modulundan böyükdür
Beləliklə, −3.2 + (+4.3) ifadəsinin qiyməti 1.1-dir
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Misal 15. 3.5 + (−8.3) ifadəsinin qiymətini tapın.
Bu, müxtəlif işarəli rasional ədədlərin əlavə edilməsidir. Əvvəlki nümunədə olduğu kimi, böyük moduldan kiçik olanı çıxarırıq və cavabdan əvvəl modulu böyük olan rasional ədədin işarəsini qoyuruq:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Beləliklə, 3.5 + (−8.3) ifadəsinin qiyməti −4.8-dir
Bu nümunəni qısaca yazmaq olar:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Misal 16.−7.2 + (−3.11) ifadəsinin qiymətini tapın.
Bu, mənfi rasional ədədlərin əlavə edilməsidir. Mənfi rasional ədədləri əlavə etmək üçün onların modullarını əlavə etməli və nəticədə çıxan cavabın qarşısına minus qoymalısınız.
İfadəni qarışdırmamaq üçün girişi modullarla atlaya bilərsiniz:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Beləliklə, −7.2 + (−3.11) ifadəsinin qiyməti −10.31-dir.
Bu nümunəni qısaca yazmaq olar:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Misal 17.−0,48 + (−2,7) ifadəsinin qiymətini tapın.
Bu, mənfi rasional ədədlərin əlavə edilməsidir. Onların modullarını əlavə edək və nəticədə çıxan cavabın qarşısına minus qoyaq. İfadəni qarışdırmamaq üçün girişi modullarla atlaya bilərsiniz:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Misal 18.−4.9 − 5.9 ifadəsinin qiymətini tapın
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizələrə daxil edək. Nəzərə alırıq ki, −4,9 və 5,9 rasional ədədləri arasında yerləşən mənfi əməliyyat işarəsidir və 5,9 rəqəminə aid deyil. Bu rasional ədədin özünəməxsus artı işarəsi var ki, bu da yazılmadığı üçün görünmür. Ancaq aydınlıq üçün yazacağıq:
(−4,9) − (+5,9)
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
(−4,9) + (−5,9)
Mənfi rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Onların modullarını əlavə edək və ortaya çıxan cavabın qarşısına mənfi işarə edək:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Beləliklə, −4,9 − 5,9 ifadəsinin qiyməti −10,8-dir
−4,9 − 5,9 = −10,8
Misal 19. 7 − 9 ifadəsinin qiymətini tapın.3
Gəlin hər bir rəqəmi işarələri ilə birlikdə mötərizədə qeyd edək.
(+7) − (+9,3)
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Beləliklə, 7 − 9.3 ifadəsinin qiyməti −2.3-dür
Bu misalın həllini qısaca yazaq:
7 − 9,3 = −2,3
Misal 20.−0,25 − (−1,2) ifadəsinin qiymətini tapın.
Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
−0,25 + (+1,2)
İşarələri müxtəlif olan rasional ədədlərin əlavəsini əldə etdik. Böyük moduldan kiçik modulu çıxaraq və cavabdan əvvəl modulu böyük olan ədədin işarəsini qoyuruq:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Bu misalın həllini qısaca yazaq:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Misal 21.−3.5 + (4.1 − 7.1) ifadəsinin qiymətini tapın.
Mötərizədə olan hərəkətləri yerinə yetirək və nəticədə alınan cavabı −3,5 rəqəmi ilə əlavə edək
İlk hərəkət:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
İkinci hərəkət:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Cavab:−3,5 + (4,1 − 7,1) ifadəsinin qiyməti −6,5-dir.
Misal 22.(3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) ifadəsinin qiymətini tapın.
Mötərizədə olan addımları yerinə yetirək. Sonra, birinci mötərizələrin yerinə yetirilməsi nəticəsində əldə edilən nömrədən ikinci mötərizələrin yerinə yetirilməsi nəticəsində əldə edilən nömrəni çıxarın:
İlk hərəkət:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
İkinci hərəkət:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Üçüncü akt
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Cavab:(3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) ifadəsinin qiyməti 6-dır.
Misal 23.İfadənin qiymətini tapın −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Hər bir rasional ədədi işarələri ilə birlikdə mötərizədə qeyd edək
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Mümkünsə, çıxmağı toplama ilə əvəz edək:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
İfadə bir neçə termindən ibarətdir. Toplamanın kombinativ qanununa görə, əgər ifadə bir neçə hədddən ibarətdirsə, onda cəm əməllərin ardıcıllığından asılı olmayacaq. Bu o deməkdir ki, şərtlər istənilən qaydada əlavə edilə bilər.
Gəlin təkəri yenidən kəşf etməyək, lakin bütün şərtləri göründükləri sıra ilə soldan sağa əlavə edək:
İlk hərəkət:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
İkinci hərəkət:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Üçüncü hərəkət:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Cavab:−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 ifadəsinin qiyməti 1-dir.
Misal 24.İfadənin qiymətini tapın
Gəlin tərcümə edək onluq−1,8 qarışıq ədəddə. Qalanını dəyişmədən yenidən yazaq:
