Ev Diş ağrısı Kramer metodundan istifadə edərək matrisi həll edin. Kramer metodu: xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli (slau)

Diş ağrısı

Kramer metodundan istifadə edərək matrisi həll edin. Kramer metodu: xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli (slau)

Kramer metodu sistemlərin həllində determinantların istifadəsinə əsaslanır xətti tənliklər. Bu həll prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirir.

Kramer metodu hər bir tənlikdə naməlumlar olduğu qədər xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Sistemin determinantı sıfıra bərabər deyilsə, o zaman həlldə Kramer metodundan istifadə edilə bilər, lakin sıfıra bərabərdirsə, mümkün deyil. Bundan əlavə, Kramer metodundan unikal həlli olan xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün istifadə edilə bilər.

Tərif. Naməlumlar üçün əmsallardan ibarət müəyyənedici sistemin müəyyənedicisi adlanır və (delta) işarələnir.

Müəyyənedicilər

uyğun naməlumların əmsallarını sərbəst şərtlərlə əvəz etməklə əldə edilir:

;

Kramer teoremi. Sistemin determinantı sıfırdan fərqlidirsə, xətti tənliklər sisteminin bir unikal həlli var və naməlum determinantların nisbətinə bərabərdir. Məxrəcdə sistemin determinantı, payda isə bu naməlumun əmsallarını sərbəst şərtlərlə əvəz etməklə sistemin müəyyənedicisindən alınan müəyyənedici var. Bu teorem istənilən düzülüşlü xətti tənliklər sistemi üçün keçərlidir.

Misal 1. Xətti tənliklər sistemini həll edin:

görə Kramer teoremi bizdə:

Beləliklə, sistemin (2) həlli:

onlayn kalkulyator, həlledici üsul Kramer.

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı üç hal

dan aydın olduğu kimi Kramer teoremi, xətti tənliklər sistemini həll edərkən üç hal baş verə bilər:

Birinci hal: xətti tənliklər sisteminin unikal həlli var

(sistem ardıcıl və müəyyəndir)

İkinci hal: xətti tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var

(sistem ardıcıl və qeyri-müəyyəndir)

** ,

olanlar. naməlumların və sərbəst şərtlərin əmsalları mütənasibdir.

Üçüncü hal: xətti tənliklər sisteminin həlli yoxdur

(sistem uyğunsuzdur)

Beləliklə, sistem m ilə xətti tənliklər n dəyişənlər adlanır birgə olmayan, onun tək bir həlli yoxdursa və birgə, ən azı bir həlli varsa. Yalnız bir həlli olan eyni vaxtda tənliklər sistemi adlanır müəyyən, və birdən çox - qeyri-müəyyən.

Kramer metodundan istifadə edərək xətti tənlik sistemlərinin həlli nümunələri

Sistem verilsin

Kramer teoreminə əsaslanır

………….
,

Harada
-

sistem təyinedicisi. Sütunu müvafiq dəyişənin (naməlum) əmsalları ilə pulsuz şərtlərlə əvəz etməklə qalan müəyyənediciləri əldə edirik:

Misal 2.

Buna görə də sistem müəyyəndir. Onun həllini tapmaq üçün determinantları hesablayırıq

Cramer düsturlarından istifadə edərək aşağıdakıları tapırıq:

Beləliklə, (1; 0; -1) sistemin yeganə həllidir.

3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün Kramerin həlli metodundan istifadə edərək onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

Əgər xətti tənliklər sistemində bir və ya bir neçə tənlikdə dəyişən yoxdursa, onda determinantda müvafiq elementlər sıfıra bərabərdir! Bu növbəti nümunədir.

Misal 3. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin:

Həll. Sistemin determinantını tapırıq:

Tənliklər sisteminə və sistemin determinantına diqqətlə baxın və determinantın bir və ya bir neçə elementinin sıfıra bərabər olduğu sualına cavabı təkrarlayın. Deməli, determinant sıfıra bərabər deyil, ona görə də sistem müəyyəndir. Onun həllini tapmaq üçün naməlumlar üçün təyinediciləri hesablayırıq

Cramer düsturlarından istifadə edərək aşağıdakıları tapırıq:

Beləliklə, sistemin həlli (2; -1; 1) olur.

3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün Kramerin həlli metodundan istifadə edərək onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

Səhifənin yuxarısı

Biz birlikdə Cramer metodundan istifadə edərək sistemləri həll etməyə davam edirik

Artıq qeyd edildiyi kimi, sistemin determinantı sıfıra bərabərdirsə, naməlumların təyinediciləri isə sıfıra bərabər deyilsə, sistem uyğunsuzdur, yəni onun həlli yoxdur. Gəlin aşağıdakı nümunə ilə izah edək.

Misal 6. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin:

Həll. Sistemin determinantını tapırıq:

Sistemin təyinedicisi sıfıra bərabərdir, ona görə də xətti tənliklər sistemi ya uyğunsuz və müəyyəndir, ya da uyğunsuzdur, yəni həlli yoxdur. Aydınlaşdırmaq üçün naməlumlar üçün determinantları hesablayırıq

Naməlumların təyinediciləri sıfıra bərabər deyil, ona görə də sistem uyğunsuzdur, yəni həlli yoxdur.

3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün Kramerin həlli metodundan istifadə edərək onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

Xətti tənliklər sistemlərinə aid məsələlərdə dəyişənləri bildirən hərflərlə yanaşı, başqa hərflərin də olduğu elələri də var. Bu hərflər çox vaxt real olan bir rəqəmi təmsil edir. Təcrübədə belə tənliklər və tənliklər sistemləri hər hansı bir hadisənin və ya cismin ümumi xassələrinin axtarışı problemləri ilə nəticələnir. Yəni hər hansı ixtira etmisən yeni material və ya cihazı və onun nümunənin ölçüsündən və ya sayından asılı olmayaraq ümumi olan xassələrini təsvir etmək üçün dəyişənlər üçün bəzi əmsalların əvəzinə hərflərin olduğu xətti tənliklər sistemini həll etməlisiniz. Nümunələr axtarmaq lazım deyil.

Aşağıdakı misal oxşar problem üçün verilmişdir, yalnız müəyyən real ədədi bildirən tənliklərin, dəyişənlərin və hərflərin sayı artır.

Misal 8. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin:

Həll. Sistemin determinantını tapırıq:

Naməlumlar üçün determinantların tapılması

Xətti sistemlərin həlli üçün Kramer üsulundan istifadə olunur cəbri tənliklər(SLAE), naməlum dəyişənlərin sayı tənliklərin sayına bərabərdir və əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir. Bu yazıda biz naməlum dəyişənlərin Cramer metodu ilə necə tapıldığını təhlil edəcəyik və düsturlar əldə edəcəyik. Bundan sonra misallara keçək və xətti cəbri tənliklər sistemlərinin Kramer üsulu ilə həllini ətraflı təsvir edək.

Səhifə naviqasiyası.

Kramer üsulu - düsturların çıxarılması.

Formanın xətti tənliklər sistemini həll etməliyik

Burada x 1, x 2, …, x n naməlum dəyişənlərdir, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- ədədi əmsallar, b 1, b 2, ..., b n - sərbəst şərtlər. SLAE-nin həlli x 1 , x 2 , …, x n dəyərlər toplusudur ki, onlar üçün sistemin bütün tənlikləri eyniliyə çevrilir.

Matris formasında bu sistemi A ⋅ X = B kimi yazmaq olar, burada - sistemin əsas matrisi, onun elementləri naməlum dəyişənlərin əmsallarıdır, - matris sərbəst şərtlər sütunudur və - matris naməlum dəyişənlərin sütunudur. X 1, x 2, …, x n naməlum dəyişənləri tapdıqdan sonra matris tənliklər sisteminin həllinə, A ⋅ X = B bərabərliyi isə eyniliyə çevrilir.

Fərz edək ki, A matrisi tək deyil, yəni onun təyinedicisi sıfırdan fərqlidir. Bu halda xətti cəbri tənliklər sistemi Kramer üsulu ilə tapıla bilən unikal həllə malikdir. (Sistemlərin həlli üsulları xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli bölməsində müzakirə olunur).

Kramer metodu matris determinantının iki xassəsinə əsaslanır:

Beləliklə, bilinməyən x 1 dəyişənini tapmağa başlayaq. Bunun üçün sistemin birinci tənliyinin hər iki hissəsini A 1 1-ə, ikinci tənliyin hər iki hissəsini A 2 1-ə və s., n-ci tənliyin hər iki hissəsini A n 1-ə vururuq (yəni biz sistemin tənliklərini birinci matrisin A sütununun müvafiq cəbri tamamlamaları ilə çarpın):

Gəlin sistem tənliyinin bütün sol tərəflərini toplayaq, x 1, x 2, ..., x n naməlum dəyişənlər üçün şərtləri qruplaşdıraq və bu cəmini tənliklərin bütün sağ tərəflərinin cəminə bərabərləşdirək:

Determinantın yuxarıda qeyd olunan xassələrinə müraciət etsək, əldə edirik

və əvvəlki bərabərlik formasını alır

harada

Eynilə, x 2 tapırıq. Bunun üçün sistem tənliklərinin hər iki tərəfini A matrisinin ikinci sütununun cəbri tamamlayıcıları ilə vururuq:

Sistemin bütün tənliklərini toplayır, naməlum dəyişənlər üçün şərtləri qruplaşdırırıq x 1, x 2, ..., x n və determinantın xassələrini tətbiq edirik:

Harada
.

Qalan naməlum dəyişənlər eyni şəkildə tapılır.

təyin etsək

Sonra alırıq Kramer metodundan istifadə edərək naməlum dəyişənlərin tapılması üçün düsturlar .

Şərh.

Xətti cəbri tənliklər sistemi homojendirsə, yəni , onda onun yalnız əhəmiyyətsiz bir həlli var (da). Həqiqətən, sıfır sərbəst şərtlər üçün bütün determinantlar sıfıra bərabər olacaq, çünki onlar sıfır elementlərdən ibarət bir sütundan ibarət olacaqlar. Buna görə də düsturlar verəcəyəm .

Kramer metodundan istifadə etməklə xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli alqoritmi.

Gəlin onu yazaq Kramer metodundan istifadə etməklə xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli alqoritmi.

Kramer metodundan istifadə etməklə xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli nümunələri.

Bir neçə nümunənin həllinə baxaq.

Misal.

Cramer metodundan istifadə edərək qeyri-bərabər xətti cəbri tənliklər sisteminin həllini tapın. .

Həll.

Sistemin əsas matrisi formaya malikdir. Düsturdan istifadə edərək onun determinantını hesablayaq :

Sistemin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olduğundan, SLAE-nin unikal həlli var və onu Kramer metodu ilə tapmaq olar. və təyinediciləri yazaq. Sistemin əsas matrisinin birinci sütununu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edirik və müəyyənedicini alırıq. . Eynilə, əsas matrisin ikinci sütununu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edirik və alırıq.

Bu təyinediciləri hesablayırıq:

Düsturlardan istifadə edərək x 1 və x 2 naməlum dəyişənləri tapın :

yoxlayaq. Alınan x 1 və x 2 dəyərlərini orijinal tənliklər sisteminə əvəz edək:

Sistemin hər iki tənliyi eyniliyə çevrilir, buna görə də həll düzgün tapıldı.

Cavab:

SLAE-nin əsas matrisinin bəzi elementləri sıfıra bərabər ola bilər. Bu halda sistem tənliklərində müvafiq naməlum dəyişənlər olmayacaq. Bir nümunəyə baxaq.

Misal.

Kramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sisteminin həllini tapın .

Həll.

Sistemi formada yenidən yazaq , belə ki, sistemin əsas matrisi görünən olur . Düsturdan istifadə edərək onun determinantını tapaq

bizdə var

Əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir, buna görə də xətti tənliklər sisteminin unikal həlli var. Gəlin onu Kramer metodundan istifadə edərək tapaq. Determinantları hesablayaq :

Beləliklə,

Cavab:

Sistem tənliklərində naməlum dəyişənlərin təyinləri x 1, x 2, ..., x n-dən fərqli ola bilər. Bu qərar prosesinə təsir göstərmir. Lakin Kramer metodunun əsas matrisini və zəruri determinantlarını tərtib edərkən sistemin tənliklərindəki naməlum dəyişənlərin sırası çox vacibdir. Bu məsələyə bir misalla aydınlıq gətirək.

Misal.

Kramer metodundan istifadə edərək, üç naməlumda üç xətti cəbri tənliklər sisteminin həllini tapın. .

Həll.

Bu misalda naməlum dəyişənlərin fərqli notasiyası var (x1, x2 və x3 əvəzinə x, y və z). Bu həllə təsir etmir, lakin dəyişən etiketlərlə diqqətli olun. Siz onu sistemin əsas matrisi kimi qəbul edə bilməzsiniz . Əvvəlcə sistemin bütün tənliklərində naməlum dəyişənləri sıralamaq lazımdır. Bunun üçün tənliklər sistemini yenidən yazırıq . İndi sistemin əsas matrisi aydın görünür . Onun təyinedicisini hesablayaq:

Əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir, buna görə də tənliklər sisteminin unikal həlli var. Gəlin onu Kramer metodundan istifadə edərək tapaq. Determinantları yazaq (qeydiyyata diqqət yetirin) və onları hesablayın:

Düsturlardan istifadə edərək naməlum dəyişənləri tapmaq qalır :

yoxlayaq. Bunu etmək üçün əsas matrisi nəticədə alınan həllə vurun (lazım olduqda, bölməyə baxın):

Nəticədə biz orijinal tənliklər sisteminin sərbəst şərtlər sütununu əldə etdik, buna görə də həll düzgün tapıldı.

Cavab:

x = 0, y = -2, z = 3.

Misal.

Kramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin , burada a və b bəzi real ədədlərdir.

Həll.

Cavab:

Misal.

Tənliklər sisteminin həllini tapın Kramer üsulu ilə, - bəzi real ədəd.

Həll.

Sistemin baş matrisinin determinantını hesablayaq: . ifadə intervaldır, buna görə də istənilən real dəyərlər üçün. Nəticə etibarilə, tənliklər sistemi Kramer metodu ilə tapıla bilən unikal həllə malikdir. Hesablayırıq və:

Bu paraqrafı mənimsəmək üçün siz “ikiyə iki” və “üçə üç” təyinedicilərini aşkar etməyi bacarmalısınız. Əgər seçicilərlə pissinizsə, lütfən dərsi öyrənin Determinantı necə hesablamaq olar?

Əvvəlcə iki naməlumda iki xətti tənlik sistemi üçün Kramer qaydasına daha yaxından nəzər salacağıq. Nə üçün? - Hər şeydən sonra ən sadə sistemdir həll edilə bilər məktəb üsulu, müddət üzrə əlavə üsulu ilə!

Məsələ burasındadır ki, bəzən də olsa belə bir vəzifə baş verir - Kramer düsturlarından istifadə edərək iki naməlumlu iki xətti tənlik sistemini həll etmək. İkincisi, daha sadə bir nümunə Kramer qaydasından daha çox istifadə etməyi başa düşməyə kömək edəcək mürəkkəb hal– üç naməlumlu üç tənlik sistemləri.

Bundan əlavə, iki dəyişənli xətti tənliklər sistemləri var ki, onları Kramer qaydasından istifadə etməklə həll etmək məsləhətdir!

Tənliklər sistemini nəzərdən keçirin

İlk addımda determinantı hesablayırıq, ona deyilir sistemin əsas determinantıdır.

Gauss üsulu.

Əgər , onda sistemin unikal həlli var və kökləri tapmaq üçün daha iki təyinedicini hesablamalıyıq:
Və

Təcrübədə yuxarıda göstərilən seçiciləri də qeyd etmək olar Latın hərfi.

Düsturlardan istifadə edərək tənliyin köklərini tapırıq:
,

Misal 7

Xətti tənliklər sistemini həll edin

Həll: Tənliyin əmsallarının kifayət qədər böyük olduğunu görürük, sağ tərəfdə var ondalıklar vergüllə. Vergül olduqca nadir qonaqdır praktiki tapşırıqlar riyaziyyatda mən bu sistemi ekonometrik problemdən götürmüşəm.

Belə bir sistemi necə həll etmək olar? Bir dəyişəni digəri ilə ifadə etməyə cəhd edə bilərsiniz, lakin bu halda, çox güman ki, işləmək üçün son dərəcə əlverişsiz olan dəhşətli fantaziya fraksiyaları ilə nəticələnəcəksiniz və həllin dizaynı sadəcə dəhşətli görünəcəkdir. Siz ikinci tənliyi 6-ya vura və termini müddətli çıxara bilərsiniz, lakin burada da eyni kəsrlər yaranacaq.

Nə etməli? Belə hallarda Kramerin düsturları köməyə gəlir.

;

Cavab verin: ,

Hər iki kök sonsuz quyruğa malikdir və təqribən tapılır ki, bu da ekonometrika problemləri üçün olduqca məqbuldur (hətta adi haldır).

Burada şərhlərə ehtiyac yoxdur, çünki tapşırıq hazır düsturlardan istifadə etməklə həll olunur, lakin bir xəbərdarlıq var. Nə vaxt istifadə etməli bu üsul, məcburi Tapşırıq dizaynının bir hissəsi aşağıdakı fraqmentdir: “Bu o deməkdir ki, sistemin unikal həlli var”. Əks halda, rəyçi sizi Kramer teoreminə hörmətsizliyə görə cəzalandıra bilər.

Kalkulyatorda yerinə yetirmək üçün əlverişli olan yoxlamaq artıq olmaz: biz təxmini dəyərləri ilə əvəz edirik. sol tərəf sistemin hər bir tənliyi. Nəticədə, kiçik bir səhvlə, sağ tərəflərdə olan nömrələri almalısınız.

Misal 8

Cavabı adi düzgün kəsrlərlə təqdim edin. Çek edin.

Bu bir nümunədir müstəqil qərar(dərs sonunda bitirmə və cavab nümunəsi).

Üç naməlum olan üç tənlik sistemi üçün Kramer qaydasını nəzərdən keçirək:

Sistemin əsas determinantını tapırıq:

Əgər , onda sistemin sonsuz sayda həlli var və ya uyğunsuzdur (həllləri yoxdur). Bu vəziyyətdə Kramer qaydası kömək etməyəcək, Gauss metodundan istifadə etməlisiniz.

Əgər , onda sistemin unikal həlli var və kökləri tapmaq üçün daha üç təyinedicini hesablamalıyıq:
, ,

Və nəhayət, cavab düsturlardan istifadə edərək hesablanır:

Gördüyünüz kimi, “üçdən üç” halı “ikidən iki” vəziyyətindən prinsipial olaraq fərqlənmir; sərbəst terminlər sütunu əsas determinantın sütunları boyunca ardıcıl olaraq soldan sağa “gedir”.

Misal 9

Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edin.

Həll: Gəlin sistemi Kramer düsturlarından istifadə edərək həll edək.

, yəni sistemin unikal həlli var.

Cavab verin: .

Əslində, burada yenə də şərh etmək üçün xüsusi bir şey yoxdur, çünki həll hazır formullara uyğundur. Ancaq bir neçə şərh var.

Belə olur ki, hesablamalar nəticəsində “pis” azaldılmayan fraksiyalar alınır, məsələn: .
Aşağıdakı “müalicə” alqoritmini tövsiyə edirəm. Əlinizdə kompüter yoxdursa, bunu edin:

1) Hesablamalarda xəta ola bilər. "Pis" fraksiya ilə qarşılaşan kimi dərhal yoxlamaq lazımdır Şərt düzgün şəkildə yenidən yazılıbmı?. Şərt səhvsiz yenidən yazılıbsa, o zaman başqa sətirdə (sütun) genişləndirmədən istifadə edərək determinantları yenidən hesablamalısınız.

2) Yoxlama nəticəsində heç bir səhv müəyyən edilmədikdə, çox güman ki, tapşırıq şərtlərində bir yazı səhvi var idi. Bu vəziyyətdə, sakit və DİQQƏTLİ şəkildə tapşırığı sona qədər işləyin, sonra yoxlamağınızdan əmin olun və qərardan sonra onu təmiz vərəqdə tərtib edirik. Əlbəttə ki, kəsrli cavabı yoxlamaq xoşagəlməz bir işdir, lakin bu, kimi hər hansı bir boşboğazlıq üçün minus verməyi həqiqətən sevən müəllim üçün tərksilahedici bir arqument olacaq. Kəsrləri necə idarə etmək 8-ci nümunənin cavabında ətraflı təsvir edilmişdir.

Əlinizdə bir kompüteriniz varsa, yoxlamaq üçün dərsin əvvəlində pulsuz yüklənə bilən avtomatlaşdırılmış proqramdan istifadə edin. Yeri gəlmişkən, proqramı dərhal istifadə etmək daha sərfəlidir (həll yoluna başlamazdan əvvəl); dərhal səhv etdiyiniz aralıq addımı görəcəksiniz! Eyni kalkulyator sistemin həllini avtomatik olaraq hesablayır matris üsulu.

İkinci qeyd. Zaman zaman tənliklərində bəzi dəyişənlərin çatışmadığı sistemlər var, məsələn:

Burada birinci tənlikdə dəyişən yoxdur, ikincidə isə dəyişən yoxdur. Belə hallarda əsas determinantı düzgün və DİQQƏTLİ yazmaq çox vacibdir:
– çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyulur.
Yeri gəlmişkən, nəzərəçarpacaq dərəcədə az hesablamalar olduğundan, sıfırın yerləşdiyi cərgəyə (sütun) uyğun olaraq sıfırlarla təyinediciləri açmaq rasionaldır.

Misal 10

Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edin.

Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir (yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab).

4 naməlumlu 4 tənlik sistemi üçün Kramer düsturları oxşar prinsiplərə əsasən yazılır. Müəyyənedicilərin xassələri dərsində canlı nümunə ilə tanış ola bilərsiniz. Determinantın sırasının azaldılması - beş 4-cü dərəcəli determinant kifayət qədər həll olunur. Baxmayaraq ki, tapşırıq artıq şanslı bir tələbənin sinəsində professor ayaqqabısını xatırladır.

Tərs matrisdən istifadə edərək sistemin həlli

Metod tərs matris- bu mahiyyət etibarı ilə xüsusi hal matris tənliyi(Göstərilən dərsin 3 nömrəli nümunəsinə baxın).

Bu bölməni öyrənmək üçün determinantları genişləndirməyi, matrisin tərsini tapmağı və matrisə vurmağı bacarmalısınız. İzahatlar irəlilədikcə müvafiq linklər veriləcək.

Misal 11

Sistemi matris metodundan istifadə edərək həll edin

Həll: Sistemi matris şəklində yazaq:
, Harada

Zəhmət olmasa tənliklər və matrislər sisteminə baxın. Məncə, hər kəs elementləri matrislərə yazmaq prinsipini başa düşür. Yeganə şərh: əgər tənliklərdə bəzi dəyişənlər yoxdursa, onda matrisin müvafiq yerlərində sıfırlar qoyulmalı idi.

Düsturdan istifadə edərək tərs matrisi tapırıq:
, köçürülmüş matris haradadır cəbri əlavələr uyğun matrisin elementləri.

Əvvəlcə determinantı nəzərdən keçirək:

Burada determinant birinci sətirdə genişlənir.

Diqqət! Əgər olarsa, onda tərs matris yoxdur və sistemi matris üsulu ilə həll etmək mümkün deyil. Bu zaman sistem naməlumların aradan qaldırılması üsulu ilə həll edilir (Qauss üsulu).

İndi biz 9 azyaşlı hesablayıb onları kiçiklər matrisinə yazmalıyıq

İstinad: Xətti cəbrdə qoşa alt işarələrin mənasını bilmək faydalıdır. Birinci rəqəm elementin yerləşdiyi sətrin nömrəsidir. İkinci rəqəm elementin yerləşdiyi sütunun nömrəsidir:

Yəni, qoşa alt işarə elementin birinci cərgədə, üçüncü sütunda və məsələn, elementin 3 sıra, 2 sütunda olduğunu göstərir.

Həll zamanı yetkinlik yaşına çatmayanların hesablanmasını ətraflı təsvir etmək daha yaxşıdır, baxmayaraq ki, müəyyən təcrübə ilə onları şifahi olaraq səhvlərlə hesablamağa alışa bilərsiniz.

Kramer üsulu və ya Kramer qaydası adlanan üsul, tənlik sistemlərindən naməlum kəmiyyətlərin axtarışı üsuludur. O, yalnız o halda istifadə edilə bilər ki, axtarılan dəyərlərin sayı sistemdəki cəbri tənliklərin sayına bərabər olsun, yəni sistemdən əmələ gələn əsas matris kvadrat olsun və sıfır cərgədən ibarət olmasın, həmçinin onun determinantı olmalıdır. sıfır olmasın.

Teorem 1

Kramer teoremiƏgər tənliklərin əmsalları əsasında tərtib edilən əsas matrisin əsas təyinedicisi $D$ sıfıra bərabər deyilsə, onda tənliklər sistemi ardıcıldır və onun unikal həlli var. Belə bir sistemin həlli xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Cramer düsturları ilə hesablanır: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Kramer metodu nədir?

Kramer metodunun mahiyyəti belədir:

Kramer metodundan istifadə edərək sistemin həllini tapmaq üçün ilk növbədə $D$ matrisinin əsas determinantını hesablayırıq. Əsas matrisin hesablanmış determinantı Kramer üsulu ilə hesablandıqda sıfıra bərabər olduqda, sistemin tək həlli olmur və ya sonsuz sayda həll olur. Bu halda sistem üçün ümumi və ya bəzi əsas cavab tapmaq üçün Qauss metodundan istifadə etmək tövsiyə olunur.
Sonra əsas matrisin ən kənar sütununu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməli və $D_1$ determinantını hesablamalısınız.
Bütün sütunlar üçün eyni şeyi təkrarlayın, $D_1$-dan $D_n$-a qədər determinantları əldə edin, burada $n$ ən sağdakı sütunun nömrəsidir.
Bütün $D_1$...$D_n$ determinantları tapıldıqdan sonra naməlum dəyişənlər $x_i = \frac(D_i)(D)$ düsturu ilə hesablana bilər.

Matrisin determinantının hesablanması üsulları

Ölçüsü 2-dən 2-dən çox olan matrisin determinantını hesablamaq üçün bir neçə üsuldan istifadə edə bilərsiniz:

Eyni qaydanı xatırladan üçbucaqlar qaydası və ya Sarrus qaydası. Üçbucaq metodunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, determinant hesablanarkən şəkildə sağda qırmızı xətt ilə birləşdirilən bütün ədədlərin hasilləri artı işarəsi ilə, soldakı şəkildə isə oxşar şəkildə birləşdirilən bütün ədədlər yazılır. mənfi işarəsi ilə yazılır. Hər iki qayda 3 x 3 ölçülü matrislər üçün uyğundur. Sarrus qaydası vəziyyətində əvvəlcə matrisin özü, onun yanında isə onun birinci və ikinci sütunları yenidən yazılır. Matris və bu əlavə sütunlar vasitəsilə diaqonallar çəkilir; əsas diaqonalda və ya ona paralel olan matris üzvləri artı işarəsi ilə, ikinci dərəcəli diaqonal üzərində və ya ona paralel olan elementlər isə mənfi işarəsi ilə yazılır.

Şəkil 1. Kramer metodu üçün determinantın hesablanması üçün üçbucaq qaydası

Qauss metodu kimi tanınan bir üsuldan istifadə edərək, bu üsul bəzən müəyyənedicinin sırasını azaltma adlanır. Bu vəziyyətdə matris çevrilir və azaldılır üçbucaqlı görünüş, sonra əsas diaqonaldakı bütün ədədlər vurulur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, determinantı bu şəkildə axtararkən sətirləri və ya sütunları çarpan və ya bölücü kimi çıxarmadan ədədlərlə çoxalda və ya bölmək olmaz. Determinantın axtarılması vəziyyətində, əvvəllər çıxılan cərgəni sıfırdan fərqli bir əmsala vuraraq yalnız sətirləri və sütunları bir-birinə çıxarmaq və əlavə etmək mümkündür. Həmçinin, matrisin sətir və ya sütunlarını hər dəfə tənzimlədiyiniz zaman matrisin son işarəsini dəyişdirməyin zəruriliyini xatırlamalısınız.
Kramer metodundan istifadə edərək 4 naməlumlu SLAE həll edərkən, determinantları axtarmaq və tapmaq və ya azyaşlıların axtarışı ilə müəyyənedicini təyin etmək üçün Gauss metodundan istifadə etmək daha yaxşıdır.

Kramer üsulu ilə tənliklər sistemlərinin həlli

2 tənlik və iki tələb olunan kəmiyyət sistemi üçün Kramer metodunu tətbiq edək:

$\begin(hallar) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \son (hallar)$

Rahatlıq üçün onu genişləndirilmiş formada göstərək:

$A = \begin(massiv)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(massiv)$

Sistemin əsas determinantı da adlanan baş matrisin determinantını tapaq:

$D = \begin(massiv)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(massiv) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Əgər əsas determinant sıfıra bərabər deyilsə, onda Kramer metodundan istifadə edərək səliqəsizliyi həll etmək üçün əsas matrisin sütunları bir sıra sərbəst şərtlərlə əvəz edilmiş iki matrisdən daha bir neçə determinant hesablamaq lazımdır:

$D_1 = \begin(massiv)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(massiv) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(massiv)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(massiv) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

İndi $x_1$ və $x_2$ naməlumlarını tapaq:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Misal 1

3-cü dərəcəli əsas matris (3 x 3) və üç naməlum olan SLAE-lərin həlli üçün Kramer üsulu.

Tənliklər sistemini həll edin:

$\begin(hallar) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(hallar)$

Yuxarıda 1 nömrəli bənddə göstərilən qaydadan istifadə edərək matrisin əsas təyinedicisini hesablayaq:

$D = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

İndi başqa üç təyinedici:

$D_1 = \begin(massiv)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(massiv) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 dollar

$D_3 = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 dollar

Lazım olan miqdarları tapaq:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Birinci hissədə bəzi nəzəri materiala, əvəzetmə metoduna, həmçinin sistem tənliklərinin müddət üzrə əlavə edilməsi metoduna baxdıq. Bu səhifə vasitəsilə sayta daxil olan hər kəsə birinci hissəni oxumağı tövsiyə edirəm. Bəlkə də bəzi ziyarətçilər materialı çox sadə tapacaqlar, lakin xətti tənliklər sistemlərinin həlli prosesində mən ümumilikdə riyazi problemlərin həlli ilə bağlı bir sıra çox vacib şərhlər və nəticələr verdim.

İndi biz Cramer qaydasını təhlil edəcəyik, həmçinin tərs matrisdən (matris üsulu) istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edəcəyik. Bütün materiallar sadə, ətraflı və aydın şəkildə təqdim olunur; demək olar ki, bütün oxucular yuxarıda göstərilən üsullardan istifadə edərək sistemləri necə həll etməyi öyrənə biləcəklər.

Əvvəlcə iki naməlumda iki xətti tənlik sistemi üçün Kramer qaydasına daha yaxından nəzər salacağıq. Nə üçün? – Axı ən sadə sistemi məktəb metodu, müddətli dövr əlavə etmə üsulu ilə həll etmək olar!

Məsələ burasındadır ki, bəzən də olsa belə bir vəzifə baş verir - Kramer düsturlarından istifadə edərək iki naməlumlu iki xətti tənlik sistemini həll etmək. İkincisi, daha sadə bir nümunə Kramer qaydasını daha mürəkkəb bir vəziyyət üçün - üç naməlum olan üç tənlik sistemi üçün necə istifadə edəcəyinizi başa düşməyə kömək edəcəkdir.

Bundan əlavə, iki dəyişənli xətti tənliklər sistemləri var ki, onları Kramer qaydasından istifadə etməklə həll etmək məsləhətdir!

Tənliklər sistemini nəzərdən keçirin

İlk addımda determinantı hesablayırıq, ona deyilir sistemin əsas determinantıdır.

Gauss üsulu.

Əgər , onda sistemin unikal həlli var və kökləri tapmaq üçün daha iki təyinedicini hesablamalıyıq:
Və

Təcrübədə yuxarıdakı seçmələr latın hərfi ilə də işarələnə bilər.

Düsturlardan istifadə edərək tənliyin köklərini tapırıq:
,

Misal 7

Xətti tənliklər sistemini həll edin

Həll: Tənliyin əmsallarının kifayət qədər böyük olduğunu görürük, sağ tərəfdə vergüllə onluq kəsrlər var. Vergül riyaziyyatda praktiki tapşırıqlarda olduqca nadir qonaqdır, mən bu sistemi ekonometrik problemdən götürmüşəm.

Nə etməli? Belə hallarda Kramerin düsturları köməyə gəlir.

;

Cavab verin: ,

Hər iki kök sonsuz quyruğa malikdir və təqribən tapılır ki, bu da ekonometrika problemləri üçün olduqca məqbuldur (hətta adi haldır).

Burada şərhlərə ehtiyac yoxdur, çünki tapşırıq hazır düsturlardan istifadə etməklə həll olunur, lakin bir xəbərdarlıq var. Bu üsuldan istifadə edərkən, məcburi Tapşırıq dizaynının bir hissəsi aşağıdakı fraqmentdir: “Bu o deməkdir ki, sistemin unikal həlli var”. Əks halda, rəyçi sizi Kramer teoreminə hörmətsizliyə görə cəzalandıra bilər.

Kalkulyatorda rahatlıqla həyata keçirilə bilən yoxlamaq artıq olmaz: sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində təxmini dəyərləri əvəz edirik. Nəticədə, kiçik bir səhvlə, sağ tərəflərdə olan nömrələri almalısınız.

Misal 8

Cavabı adi düzgün kəsrlərlə təqdim edin. Çek edin.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (son dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab).

Üç naməlum olan üç tənlik sistemi üçün Kramer qaydasını nəzərdən keçirək:

Sistemin əsas determinantını tapırıq:

Əgər , onda sistemin sonsuz sayda həlli var və ya uyğunsuzdur (həllləri yoxdur). Bu vəziyyətdə Kramer qaydası kömək etməyəcək, Gauss metodundan istifadə etməlisiniz.

Əgər , onda sistemin unikal həlli var və kökləri tapmaq üçün daha üç təyinedicini hesablamalıyıq:
, ,

Və nəhayət, cavab düsturlardan istifadə edərək hesablanır:

Misal 9

Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edin.

Həll: Gəlin sistemi Kramer düsturlarından istifadə edərək həll edək.

, yəni sistemin unikal həlli var.

Cavab verin: .

Əslində, burada yenə də şərh etmək üçün xüsusi bir şey yoxdur, çünki həll hazır formullara uyğundur. Ancaq bir neçə şərh var.

Əlinizdə bir kompüteriniz varsa, yoxlamaq üçün dərsin əvvəlində pulsuz yüklənə bilən avtomatlaşdırılmış proqramdan istifadə edin. Yeri gəlmişkən, proqramı dərhal istifadə etmək daha sərfəlidir (həll yoluna başlamazdan əvvəl); dərhal səhv etdiyiniz aralıq addımı görəcəksiniz! Eyni kalkulyator matris metodundan istifadə edərək sistemin həllini avtomatik olaraq hesablayır.

Misal 10

Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edin.

Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir (yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab).

Tərs matrisdən istifadə edərək sistemin həlli

Tərs matris metodu mahiyyətcə xüsusi haldır matris tənliyi(Göstərilən dərsin 3 nömrəli nümunəsinə baxın).

Bu bölməni öyrənmək üçün determinantları genişləndirməyi, matrisin tərsini tapmağı və matrisə vurmağı bacarmalısınız. İzahatlar irəlilədikcə müvafiq linklər veriləcək.

Misal 11

Sistemi matris metodundan istifadə edərək həll edin

Həll: Sistemi matris şəklində yazaq:
, Harada