Birinci səviyyə

Funksiya törəməsi. Son Bələdçi (2019)

Təsəvvür edək ki, dağlıq ərazidən keçən düz yol. Yəni yuxarı-aşağı gedir, amma sağa-sola dönmür. Ox yol boyunca üfüqi və şaquli olaraq yönəldilərsə, yol xətti bəzi davamlı funksiyanın qrafikinə çox oxşar olacaq:

Ox, həyatda dəniz səviyyəsindən istifadə etdiyimiz müəyyən bir sıfır yüksəklik səviyyəsidir.

Belə bir yolda irəlilədikcə biz də yuxarı və ya aşağı hərəkət edirik. Həm də deyə bilərik: arqument dəyişdikdə (absis oxu boyunca hərəkət), funksiyanın qiyməti dəyişir (ordinat oxu boyunca hərəkət). İndi fikirləşək ki, yolumuzun “sıldırımlığını” necə müəyyən edək? Bu hansı dəyər ola bilər? Çox sadədir: müəyyən bir məsafədə irəliləyərkən hündürlüyün nə qədər dəyişəcəyi. Həqiqətən, yolun müxtəlif hissələrində, bir kilometr irəli (x oxu boyunca) irəliləyərək, dəniz səviyyəsinə nisbətən (y oxu boyunca) fərqli sayda metr yüksələcəyik və ya enəcəyik.

Tərəqqi işarə edək (“delta x” oxuyun).

Yunan hərfi (delta) riyaziyyatda adətən "dəyişiklik" mənasını verən prefiks kimi istifadə olunur. Yəni bu, kəmiyyət dəyişikliyidir, - dəyişiklik; onda bu nədir? Düzdür, miqyasda dəyişiklik.

Vacibdir: ifadə tək tam, bir dəyişəndir. Heç vaxt “deltanı” “x” və ya başqa hərfdən ayırmayın! Yəni, məsələn, .

Beləliklə, biz üfüqi olaraq irəlilədik. Əgər yolun xəttini funksiyanın qrafiki ilə müqayisə etsək, onda yüksəlişi necə işarə edək? Şübhəsiz ki, . Yəni biz irəlilədikcə daha da yüksəlirik.

Dəyəri hesablamaq asandır: əgər başlanğıcda hündürlükdə idiksə və hərəkət etdikdən sonra özümüzü yüksəklikdə tapdıqsa, o zaman. Son nöqtə başlanğıc nöqtəsindən aşağı olarsa, mənfi olacaq - bu, biz yüksələn deyil, aşağı endiyimiz deməkdir.

"Sikliyə" qayıdaq: bu, bir vahid məsafə irəliləyərkən hündürlüyün nə qədər (sıldırım) artdığını göstərən dəyərdir:

Fərz edək ki, yolun hansısa hissəsində bir kilometr irəli gedəndə yol bir kilometr yuxarı qalxır. Sonra bu yerdəki yamac bərabərdir. Bəs yol m irəliləyərkən km azalıbsa? Sonra yamac bərabərdir.

İndi bir təpənin başına baxaq. Zirvədən yarım kilometr əvvəl hissənin əvvəlini, ondan yarım kilometr sonra sonunu götürsəniz, hündürlüyün demək olar ki, eyni olduğunu görə bilərsiniz.

Yəni bizim məntiqimizə görə, belə çıxır ki, buradakı maillik demək olar ki, sıfıra bərabərdir, bu, açıq-aşkar doğru deyil. Bir neçə kilometr məsafədə çox şey dəyişə bilər. Sıldırımın daha adekvat və dəqiq qiymətləndirilməsi üçün daha kiçik sahələri nəzərə almaq lazımdır. Məsələn, bir metr hərəkət edərkən hündürlüyün dəyişməsini ölçsəniz, nəticə çox daha dəqiq olacaqdır. Amma bu dəqiqlik belə bizə kifayət etməyə bilər - axı yolun ortasında dirək varsa, biz onu sadəcə keçə bilərik. O zaman hansı məsafəni seçməliyik? Santimetr? Millimetr? Daha az daha yaxşıdır!

IN həqiqi həyat Məsafələri ən yaxın millimetrə qədər ölçmək kifayətdir. Amma riyaziyyatçılar həmişə mükəmməlliyə can atırlar. Buna görə də konsepsiya icad edildi sonsuz kiçik, yəni mütləq qiymət ad verə biləcəyimiz istənilən ədəddən kiçikdir. Məsələn, siz deyirsiniz: trilyonda biri! Nə qədər azdır? Və bu rəqəmi bölün - və daha da az olacaq. Və s. Əgər kəmiyyətin sonsuz kiçik olduğunu yazmaq istəsək, belə yazırıq: (“x sıfıra meyllidir” oxuyuruq). Anlamaq çox vacibdir ki, bu rəqəm sıfıra bərabər deyil! Amma çox yaxın. Bu o deməkdir ki, siz onu bölmək olar.

Sonsuz kiçikin əksi olan anlayış sonsuz böyükdür (). Çox güman ki, siz bərabərsizliklər üzərində işləyərkən artıq rastlaşmısınız: bu rəqəm ağlınıza gələn istənilən rəqəmdən modul olaraq böyükdür. Mümkün olan ən böyük rəqəmi tapsanız, onu ikiyə vurun və daha da böyük rəqəm əldə edəcəksiniz. Sonsuzluq isə baş verənlərdən daha böyükdür. Əslində, sonsuz böyük və sonsuz kiçik bir-birinin tərsidir, yəni at və əksinə: at.

İndi yolumuza qayıdaq. İdeal hesablanmış yamac yolun sonsuz kiçik seqmenti üçün hesablanmış yamacdır, yəni:

Qeyd edim ki, sonsuz kiçik yerdəyişmə ilə hündürlüyün dəyişməsi də sonsuz kiçik olacaqdır. Amma sizə xatırlatmaq istəyirəm ki, sonsuz kiçik sıfıra bərabər demək deyil. Sonsuz kiçik ədədləri bir-birinə bölsəniz, tamamilə adi bir ədəd əldə edə bilərsiniz, məsələn, . Yəni bir kiçik dəyər digərindən tam dəfələrlə böyük ola bilər.

Bütün bunlar nə üçündür? Yol, sıldırım... Biz avtomobil yürüşünə çıxmırıq, amma riyaziyyatdan dərs deyirik. Riyaziyyatda isə hər şey tam eynidir, yalnız fərqli adlanır.

Törəmə anlayışı

Funksiyanın törəməsi funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbətidir.

Tədricən riyaziyyatda dəyişiklik deyirlər. Arqumentin () ox boyu hərəkət etdikcə dəyişmə dərəcəsi deyilir arqument artımı və ox boyunca bir məsafə irəliləyərkən funksiyanın (hündürlüyün) nə qədər dəyişdiyi deyilir funksiya artımı və təyin edilir.

Deməli, funksiyanın törəməsi nə vaxta nisbətdir. Törəməni funksiya ilə eyni hərflə, yalnız yuxarı sağda əsas işarə ilə işarə edirik: və ya sadəcə. Beləliklə, bu qeydlərdən istifadə edərək törəmə düsturunu yazaq:

Yolun analoqunda olduğu kimi burada da funksiya artdıqda törəmə müsbət, azaldıqda isə mənfi olur.

Törəmənin sıfıra bərabər olması mümkündürmü? Əlbəttə. Məsələn, düz üfüqi yolda sürürüksə, sıldırım sıfırdır. Və doğrudur, hündürlük heç dəyişmir. Törəmə ilə belədir: sabit funksiyanın törəməsi (sabit) sıfıra bərabərdir:

belə bir funksiyanın artımı hər hansı bir üçün sıfıra bərabər olduğundan.

Bir təpənin nümunəsini xatırlayaq. Məlum oldu ki, seqmentin uclarını təpənin əks tərəflərində elə tənzimləmək mümkün olub ki, uclarındakı hündürlük eyni olsun, yəni seqment oxa paralel olsun:

Lakin böyük seqmentlər qeyri-dəqiq ölçmə əlamətidir. Seqmentimizi özünə paralel yuxarı qaldıracağıq, sonra uzunluğu azalacaq.

Nəhayət, zirvəyə sonsuz yaxın olduğumuz zaman, seqmentin uzunluğu sonsuz kiçik olacaqdır. Ancaq eyni zamanda, oxa paralel olaraq qaldı, yəni uclarında hündürlüklər fərqi sıfıra bərabərdir (meyil etmir, lakin bərabərdir). Beləliklə, törəmə

Bunu belə başa düşmək olar: ən zirvədə durduğumuz zaman sola və ya sağa kiçik bir sürüşmə bizim boyumuzu əhəmiyyətsiz dərəcədə dəyişir.

Sırf cəbri izahı da var: təpənin solunda funksiya artır, sağda isə azalır. Daha əvvəl öyrəndiyimiz kimi, funksiya artdıqda törəmə müsbət, azaldıqda isə mənfi olur. Ancaq rəvan, sıçrayış olmadan dəyişir (çünki yol heç bir yerdə yamacını kəskin şəkildə dəyişmir). Buna görə mənfi və müsbət dəyərlər arasında olmalıdır. Bu, funksiyanın nə artdığı, nə də azaldığı yerdə olacaq - təpə nöqtəsində.

Eyni şey nov üçün də keçərlidir (solda funksiyanın azaldığı və sağda artdığı sahə):

Artımlar haqqında bir az daha.

Beləliklə, biz arqumenti böyüklüklə dəyişdiririk. Hansı dəyərdən dəyişirik? Bu (arqument) indi nə oldu? İstənilən nöqtəni seçə bilərik və indi oradan rəqs edəcəyik.

Koordinatı olan bir nöqtəni nəzərdən keçirin. Ondakı funksiyanın dəyəri bərabərdir. Sonra eyni artımı edirik: koordinatı artırırıq. İndi nə? bərabər arqument? Çox asan: . İndi funksiyanın dəyəri nədir? Arqument hara gedirsə, funksiya da gedir: . Bəs funksiya artımı? Yeni heç nə yoxdur: bu hələ də funksiyanın dəyişdiyi məbləğdir:

Artımları tapmaq üçün məşq edin:

1. Arqumentin artımının bərabər olduğu nöqtədə funksiyanın artımını tapın.
2. Eyni şey bir nöqtədəki funksiyaya da aiddir.

Həll yolları:

Eyni arqument artımı ilə fərqli nöqtələrdə funksiya artımı fərqli olacaq. Bu o deməkdir ki, hər bir nöqtədə törəmə fərqlidir (bunu əvvəldə müzakirə etdik - müxtəlif nöqtələrdə yolun sıldırımlılığı fərqlidir). Buna görə də, törəmə yazarkən hansı nöqtəni göstərməliyik:

Güc funksiyası.

Güc funksiyası arqumentin müəyyən dərəcədə olduğu funksiyadır (məntiqi, düzdür?).

Üstəlik - istənilən dərəcədə: .

Ən sadə hal eksponent olduqda olur:

Bir nöqtədə onun törəməsini tapaq. Törəmə tərifini xatırlayaq:

Beləliklə, arqument -dən dəyişir. Funksiyanın artımı nədir?

Artım budur. Lakin istənilən nöqtədə funksiya öz arqumentinə bərabərdir. Buna görə də:

Törəmə bərabərdir:

törəməsi bərabərdir:

b) İndi düşünün kvadrat funksiya (): .

İndi bunu xatırlayaq. Bu o deməkdir ki, artımın dəyəri laqeyd edilə bilər, çünki o, sonsuz kiçikdir və buna görə də digər terminin fonunda əhəmiyyətsizdir:

Beləliklə, başqa bir qayda ilə gəldik:

c) Məntiqi silsiləyə davam edirik: .

Bu ifadə müxtəlif yollarla sadələşdirilə bilər: cəminin kubunun qısaldılmış vurulması düsturundan istifadə edərək birinci mötərizəni açın və ya kubların fərqindən istifadə edərək bütün ifadəni faktorlara ayırın. Təklif olunan üsullardan hər hansı birini istifadə edərək bunu özünüz etməyə çalışın.

Beləliklə, aşağıdakıları aldım:

Və bunu bir daha xatırlayaq. Bu o deməkdir ki, biz aşağıdakıları ehtiva edən bütün şərtləri laqeyd edə bilərik:

Alırıq: .

d) Oxşar qaydalar böyük dövlətlər üçün də əldə edilə bilər:

e) Belə çıxır ki, bu qayda ixtiyari eksponentli, hətta tam ədədi olmayan dərəcə funksiyası üçün ümumiləşdirilə bilər:

(2)

Qayda belə ifadə edilə bilər: "dərəcə əmsal kimi irəli sürülür, sonra isə azaldılır."

Bu qaydanı sonra (demək olar ki, ən sonunda) sübut edəcəyik. İndi bir neçə nümunəyə baxaq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

1. (iki yolla: düsturla və törəmənin tərifindən istifadə etməklə - funksiyanın artımını hesablamaqla);

1. . İster inanın, istər inanmayın, bu güc funksiyasıdır. “Bu necədir? Diplom haradadır?”, “” mövzusunu xatırlayın!
   Bəli, bəli, kök də dərəcədir, yalnız kəsrdir: .
   Bu o deməkdir ki, kvadrat kökümüz sadəcə eksponentli gücdür:
   .
   Bu yaxınlarda öyrənilmiş düsturdan istifadə edərək törəməni axtarırıq:

   Bu nöqtədə yenə də aydın deyilsə, “” mövzusunu təkrarlayın!!! (ilə dərəcə haqqında mənfi göstərici)

2. . İndi eksponent:

   İndi tərif vasitəsilə (hələ də unutmusunuz?):
   ;
   .
   İndi, həmişə olduğu kimi, aşağıdakıları ehtiva edən termini laqeyd edirik:
   .

3. . Əvvəlki halların birləşməsi: .

Triqonometrik funksiyalar.

Burada ali riyaziyyatdan bir faktdan istifadə edəcəyik:

İfadə ilə.

Siz institutun birinci ilində sübutu öyrənəcəksiniz (və oraya çatmaq üçün Vahid Dövlət İmtahanını yaxşı verməlisiniz). İndi onu sadəcə qrafik olaraq göstərəcəyəm:

Görürük ki, funksiya mövcud olmadıqda - qrafikdəki nöqtə kəsilir. Lakin dəyərə nə qədər yaxın olsa, funksiya bir o qədər də “məqsəd”dir.

Bundan əlavə, kalkulyatordan istifadə edərək bu qaydanı yoxlaya bilərsiniz. Bəli, bəli, utanma, kalkulyator götür, biz hələ Vahid Dövlət İmtahanında deyilik.

Beləliklə, cəhd edək: ;

Kalkulyatorunuzu Radians rejiminə keçirməyi unutmayın!

və s. Biz görürük ki, nə qədər az olsa daha yaxın dəyər ilə əlaqə

a) funksiyanı nəzərdən keçirin. Həmişə olduğu kimi, onun artımını tapaq:

Sinusların fərqini məhsula çevirək. Bunun üçün düsturdan istifadə edirik (“” mövzusunu xatırlayın): .

İndi törəmə:

Gəlin bir əvəz edək: . Onda sonsuz kiçik üçün də sonsuz kiçikdir: . ifadəsi formanı alır:

İndi biz bunu ifadə ilə xatırlayırıq. Həm də cəmdə (yəni, at) sonsuz kiçik bir kəmiyyəti laqeyd etmək olarsa nə olar.

Beləliklə, aşağıdakı qaydanı alırıq: sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir:

Bunlar əsas (“cədvəl”) törəmələrdir. Onlar bir siyahıdadır:

Daha sonra onlara bir neçə daha əlavə edəcəyik, lakin bunlar ən vacibdir, çünki onlar ən çox istifadə olunur.

Təcrübə:

1. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın;
2. Funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

1. Əvvəlcə törəməni tapaq ümumi görünüş, və sonra dəyərini əvəz edin:
   ;
   .
2. Burada oxşar bir şey var güc funksiyası. Gəlin onu gətirməyə çalışaq
   normal görünüş:
   .
   Əla, indi formuladan istifadə edə bilərsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeeee.....Bu nədi????

Tamam, haqlısan, biz hələ belə törəmələri necə tapacağımızı bilmirik. Burada bir neçə növ funksiyaların birləşməsinə sahibik. Onlarla işləmək üçün daha bir neçə qaydanı öyrənməlisiniz:

Eksponent və natural loqarifm.

Riyaziyyatda elə funksiya var ki, onun hər hansı bir dəyər üçün törəməsi eyni zamanda funksiyanın özünün qiymətinə bərabərdir. Buna "eksponent" deyilir və eksponensial funksiyadır

Bu funksiyanın əsası sabitdir - sonsuzdur onluq, yəni irrasional ədəd (məsələn). O, "Euler nömrəsi" adlanır, buna görə də hərflə işarələnir.

Beləliklə, qayda:

Yadda saxlamaq çox asandır.

Yaxşı, uzağa getməyək, dərhal tərs funksiyanı nəzərdən keçirək. Hansı funksiya eksponensial funksiyanın tərsidir? Loqarifm:

Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:

Belə bir loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) “təbii” deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.

Nəyə bərabərdir? Əlbəttə, .

Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:

Nümunələr:

1. Funksiyanın törəməsini tapın.
2. Funksiyanın törəməsi nədir?

Cavablar: Sərgi iştirakçısı və təbii loqarifm- funksiyalar törəmə baxımından bənzərsiz sadədir. İstənilən digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz diferensiasiya qaydalarından keçdikdən sonra onu daha sonra təhlil edəcəyik.

Fərqləndirmə qaydaları

Nəyin qaydaları? Yenə yeni termin, yenə?!...

Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.

Hamısı budur. Bu prosesi bir sözlə başqa nə adlandırmaq olar? Törəmə deyil... Riyaziyyatçılar diferensialı funksiyanın eyni artımı adlandırırlar. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Burada.

Bütün bu qaydaları çıxararkən iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:

Ümumilikdə 5 qayda var.

Sabit törəmə işarədən çıxarılır.

Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.

Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .

Gəlin bunu sübut edək. Qoy olsun, ya da daha sadə.

Nümunələr.

Funksiyaların törəmələrini tapın:

1. bir nöqtədə;
2. bir nöqtədə;
3. bir nöqtədə;
4. nöqtədə.

Həll yolları:

1. (törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki xətti funksiyadır, yadınızdadır?);

Məhsulun törəməsi

Burada hər şey oxşardır: gəlin yeni bir funksiya təqdim edək və onun artımını tapaq:

Törəmə:

Nümunələr:

1. və funksiyalarının törəmələrini tapın;
2. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Eksponensial funksiyanın törəməsi

İndi sizin bilikləriniz sadəcə eksponentləri deyil, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsini necə tapmağı öyrənmək üçün kifayətdir (bunun nə olduğunu hələ unutmusunuz?).

Beləliklə, bir nömrə haradadır.

Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya endirməyə çalışaq:

Bunun üçün istifadə edəcəyik sadə qayda: . Sonra:

Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.

baş verdi?

Budur, özünüzü yoxlayın:

Düstur bir eksponentin törəməsinə çox bənzədi: olduğu kimi, eyni qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.

Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:

Cavablar:

Bu, sadəcə olaraq, kalkulyator olmadan hesablana bilməyən bir rəqəmdir, yəni bir daha yazmaq mümkün deyil. sadə formada. Ona görə də cavabda onu bu formada qoyuruq.

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:

Buna görə də, fərqli əsaslı ixtiyari loqarifm tapmaq üçün, məsələn:

Bu loqarifmi bazaya endirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:

Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:

Məxrəc sadəcə olaraq sabitdir (dəyişənsiz sabit ədəddir). Törəmə çox sadə şəkildə alınır:

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri Vahid Dövlət İmtahanında demək olar ki, tapılmır, lakin onları bilmək artıq olmaz.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

"Mürəkkəb funksiya" nədir? Xeyr, bu loqarifm deyil, arktangent deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, loqarifmi çətin hesab edirsinizsə, “Loqarifmlər” mövzusunu oxuyun və yaxşı olacaqsınız), lakin riyazi baxımdan “mürəkkəb” sözü “çətin” mənasını vermir.

Kiçik bir konveyer kəmərini təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu paketə bükür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Nəticə kompozit obyektdir: bir şokolad çubuğu bükülmüş və lentlə bağlanmışdır. Şokolad çubuğu yemək üçün əks addımları yerinə yetirməlisiniz tərs qaydada.

Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə alınan ədədin kvadratını alacağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verilir, mən onun kosinusunu (bağımını) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsən (lentlə bağla). Nə olub? Funksiya. Bu bir nümunədir mürəkkəb funksiya: dəyərini tapmaq üçün birbaşa dəyişənlə birinci hərəkəti yerinə yetiririk, sonra isə birincinin nəticəsi ilə ikinci hərəkəti yerinə yetiririk.

Eyni addımları tərs qaydada asanlıqla yerinə yetirə bilərik: əvvəlcə siz onun kvadratını çəkirsiniz, sonra isə nəticədə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram: . Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Əhəmiyyətli Xüsusiyyət mürəkkəb funksiyalar: hərəkətlərin sırası dəyişdikdə funksiya dəyişir.

Başqa sözlə, mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .

Birinci misal üçün, .

İkinci misal: (eyni şey). .

Ən son etdiyimiz hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və ilk həyata keçirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).

Hansı funksiyanın xarici və hansı daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:

Cavablar: Daxili və xarici funksiyaları ayırmaq dəyişənləri dəyişməyə çox bənzəyir: məsələn, funksiyada

1. Əvvəlcə hansı hərəkəti edəcəyik? Əvvəlcə sinusu hesablayaq və yalnız bundan sonra onu kublara ayıraq. Bu o deməkdir ki, o, daxili funksiyadır, lakin xarici funksiyadır.
   Və orijinal funksiyası onların tərkibidir: .
2. Daxili: ; xarici: .
   İmtahan: .
3. Daxili: ; xarici: .
   İmtahan: .
4. Daxili: ; xarici: .
   İmtahan: .
5. Daxili: ; xarici: .
   İmtahan: .

Dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.

Yaxşı, indi şokolad çubuğumuzu çıxaracağıq və törəməni axtaracağıq. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. Orijinal nümunə ilə əlaqədar olaraq, belə görünür:

Başqa bir misal:

Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

Sadə görünür, elə deyilmi?

Nümunələrlə yoxlayaq:

Həll yolları:

1) Daxili: ;

Xarici: ;

2) Daxili: ;

(Yalnız indiyə qədər onu kəsməyə çalışmayın! Kosinusun altından heç nə çıxmır, xatırlayırsınız?)

3) Daxili: ;

Xarici: ;

Dərhal aydın olur ki, bu, üç səviyyəli mürəkkəb funksiyadır: axı, bu, artıq özlüyündə mürəkkəb funksiyadır və biz də ondan kök çıxarırıq, yəni üçüncü hərəkəti edirik (şokoladı qoyuruq. sarğı və portfeldə lentlə). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: biz yenə də bu funksiyanı həmişəki kimi eyni qaydada "açacağıq": sondan.

Yəni əvvəlcə kökü, sonra kosinusu və yalnız bundan sonra mötərizədə ifadəni fərqləndiririk. Və sonra hamısını çoxaldırıq.

Belə hallarda hərəkətləri nömrələmək rahatdır. Yəni bildiyimizi təsəvvür edək. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hərəkətləri hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyik? Bir misala baxaq:

Hərəkət nə qədər gec yerinə yetirilərsə, müvafiq funksiya bir o qədər “xarici” olacaqdır. Hərəkətlərin ardıcıllığı əvvəlki kimidir:

Burada yuvalama ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Fəaliyyət qaydasını müəyyən edək.

1. Radikal ifadə. .

2. Kök. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hər şeyi bir yerə yığmaq:

TÖRƏVVƏ. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbəti:

Əsas törəmələr:

Fərqləndirmə qaydaları:

Sabit törəmə işarədən çıxarılır:

Cəmin törəməsi:

Məhsulun törəməsi:

Hissənin törəməsi:

Kompleks funksiyanın törəməsi:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

1. “Daxili” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
2. “Xarici” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
3. Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.

Məqalənin məzmunu

TÖRƏVVƏ– funksiyanın törəməsi y = f(x), müəyyən intervalda verilir ( a, b) nöqtəsində x bu intervalın funksiya artımının nisbətinin meyl etdiyi hədd adlanır f bu nöqtədə arqumentin artımı sıfıra meyl etdikdə arqumentin müvafiq artımına.

Törəmə adətən aşağıdakı kimi işarələnir:

Digər təyinatlar da geniş istifadə olunur:

Ani sürət.

Qoy nöqtə olsun M düz bir xətt üzrə hərəkət edir. Məsafə s hərəkət nöqtəsi, bəzi başlanğıc mövqedən sayılır M 0 , zamandan asılıdır t, yəni. s zaman funksiyası var t: s= f(t). Zamanın bir nöqtəsində icazə verin t hərəkət nöqtəsi M məsafədə idi s başlanğıc mövqeyindən M 0 və növbəti anda t+D t mövqedə tapdı M 1 - məsafədə s+D s ilkin mövqedən ( şəklə bax.).

Beləliklə, müəyyən müddət ərzində D t məsafə s D məbləği ilə dəyişdirildi s. Bu halda deyirlər ki, D vaxt intervalında t böyüklük s artan D s.

Orta sürət bütün hallarda nöqtənin hərəkət sürətini dəqiq xarakterizə edə bilməz M zamanın bir nöqtəsində t. Əgər, məsələn, D intervalının əvvəlində bədən tçox sürətlə hərəkət etdi və sonunda çox yavaş, onda orta sürət nöqtənin hərəkətinin göstərilən xüsusiyyətlərini əks etdirə bilməyəcək və hazırda onun hərəkətinin əsl sürəti haqqında fikir verə bilməyəcəkdir. t. Orta sürətdən istifadə edərək həqiqi sürəti daha dəqiq ifadə etmək üçün daha qısa D vaxtını götürməlisiniz t. Bu anda bir nöqtənin hərəkət sürətini ən tam şəkildə xarakterizə edir t orta sürətin D-də meyl etdiyi hədd t® 0. Bu həddə hərəkət sürəti deyilir Bu an:

Beləliklə, müəyyən bir anda hərəkət sürəti yolun artım nisbətinin həddi D adlanır s zaman artımı D t, zaman artımı sıfıra meyl etdikdə. Çünki

Törəmənin həndəsi mənası. Funksiya qrafikinə tangens.

Tangenslərin qurulması diferensial hesabın yaranmasına səbəb olan problemlərdən biridir. Leybniz tərəfindən yazılmış diferensial hesabla bağlı ilk nəşr olunmuş əsər başlıqlı idi Yeni üsul nə kəsr, nə də irrasional kəmiyyətlər olmayan maksimal və minimumlar, eləcə də tangenslər və bunun üçün xüsusi hesablama növü maneə rolunu oynayır..

Əyri funksiyanın qrafiki olsun y =f(x) düzbucaqlı koordinat sistemində ( santimetr. düyü.).

Bəzi dəyərdə x funksiyası vacibdir y =f(x). Bu dəyərlər x Və yəyridəki nöqtə uyğun gəlir M 0(x, y). Əgər mübahisə x vermək artım D x, sonra arqumentin yeni dəyəri x+D x yeni funksiya dəyərinə uyğundur y+ D y = f(x + D x). Əyrinin müvafiq nöqtəsi nöqtə olacaqdır M 1(x+D x,y+D y). Bir sekant çəkirsinizsə M 0M 1 və j ilə işarələnir oxun müsbət istiqaməti ilə eninə ilə əmələ gələn bucaq öküz, rəqəmdən dərhal aydın olur ki .

Əgər indi D x sıfıra, sonra nöqtəyə meyl edir M 1 nöqtəyə yaxınlaşaraq əyri boyunca hərəkət edir M 0 və bucaq j D ilə dəyişir x. At Dx® 0 j bucağı müəyyən a limitinə və nöqtədən keçən düz xəttə meyl edir M 0 və x oxunun müsbət istiqaməti olan komponent a bucağı istənilən tangens olacaqdır. Onun mailliyi:

Beləliklə, f´( x) = tga

olanlar. törəmə dəyər f´( x) verilmiş arqument dəyəri üçün x funksiyanın qrafikinə tangensin yaratdığı bucağın tangensinə bərabərdir f(x) müvafiq nöqtədə M 0(x,y) müsbət oxu istiqaməti ilə öküz.

Funksiyaların diferensiallığı.

Tərif. Əgər funksiyası y = f(x) nöqtəsində törəmə var x = x 0, onda funksiya bu nöqtədə diferensiallana bilər.

Törəmə olan funksiyanın davamlılığı. Teorem.

Əgər funksiyası y = f(x) müəyyən nöqtədə diferensiallaşır x = x 0, onda bu nöqtədə davamlıdır.

Beləliklə, funksiyanın kəsilmə nöqtələrində törəməsi ola bilməz. Əks nəticə yanlışdır, yəni. ki, nə vaxtsa x = x 0 funksiyası y = f(x) davamlı olması o demək deyil ki, bu nöqtədə diferensiallaşır. Məsələn, funksiya y = |x| hər kəs üçün davamlı x(–Ґ x x = 0-ın törəməsi yoxdur. Bu nöqtədə qrafikə toxunan yoxdur. Sağ tangens və sol tangens var, lakin onlar üst-üstə düşmür.

Diferensiallanan funksiyalar haqqında bəzi teoremlər. Törəmənin kökləri haqqında teorem (Rol teoremi).Əgər funksiyası f(x) seqmentdə davamlıdır [a,b], bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində və uclarında fərqlənir x = a Və x = b sıfıra gedir ( f(a) = f(b) = 0), sonra seqment daxilində [ a,b] ən azı bir nöqtə var x= ilə, a c b, hansı törəmə fў( x) sıfıra gedir, yəni. fў( c) = 0.

Sonlu artım teoremi (Laqranj teoremi).Əgər funksiyası f(x) [ intervalında davamlıdır a, b] və bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində, sonra seqmentin daxilində [[ a, b] ən azı bir nöqtə var ilə, a c b ki

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

İki funksiyanın artımlarının nisbəti haqqında teorem (Koşi teoremi).Əgər f(x) Və g(x) – seqmentdə davamlı iki funksiya [a, b] və bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində diferensiallana bilir və gў( x) bu seqmentin daxilində, sonra seqmentin daxilində heç bir yerdə yox olmur. a, b] belə bir məqam var x = ilə, a c b ki

Müxtəlif sifarişlərin törəmələri.

Qoy funksiya olsun y =f(x) müəyyən intervalda diferensiallaşır [ a, b]. Törəmə dəyərlər f ў( x), ümumiyyətlə, asılıdır x, yəni. törəmə f ў( x) də funksiyasıdır x. Bu funksiyanı diferensiallaşdırarkən, funksiyanın ikinci törəməsi deyilən şeyi əldə edirik f(x), işarələnmişdir f ўў ( x).

törəmə n- funksiya sırası f(x) törəmənin törəməsi (birinci sıra) adlanır n- 1- th və simvolu ilə işarələnir y(n) = (y(n– 1))ў.

Müxtəlif sifarişlərin diferensialları.

Funksiya diferensialı y = f(x), Harada x– müstəqil dəyişən, bəli dy = f ў( x)dx, -dən bəzi funksiyalar x, amma dan x yalnız birinci amil asılı ola bilər f ў( x), ikinci amil ( dx) müstəqil dəyişənin artımıdır x və bu dəyişənin qiymətindən asılı deyil. Çünki dy-dən bir funksiya var x, onda biz bu funksiyanın diferensialını təyin edə bilərik. Funksiyanın diferensialının diferensialına bu funksiyanın ikinci və ya ikinci dərəcəli diferensialı deyilir və işarə olunur. d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferensial n- birinci dərəcəli diferensialın birinci diferensialı adlanır n- 1- ci sifariş:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Qismən törəmə.

Əgər funksiya birdən deyil, bir neçə arqumentdən asılıdırsa x i(i 1-dən dəyişir n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), sonra diferensial hesablamada yalnız bir arqument dəyişdikdə bir neçə dəyişənin funksiyasının dəyişmə sürətini xarakterizə edən qismən törəmə anlayışı tətbiq olunur, məsələn, x i. ilə bağlı 1-ci dərəcəli qismən törəmə x i adi törəmə kimi müəyyən edilir və istisna olmaqla bütün arqumentlərin olduğu güman edilir x i, sabit dəyərləri saxlayın. Qismən törəmələr üçün qeyd daxil edilir

Bu şəkildə müəyyən edilmiş 1-ci dərəcəli qismən törəmələr (eyni arqumentlərin funksiyaları kimi) öz növbəsində qismən törəmələrə də malik ola bilər, bunlar ikinci dərəcəli qismən törəmələrdir və s. Müxtəlif arqumentlərdən götürülmüş belə törəmələrə qarışıq deyilir. Eyni tərtibli davamlı qarışıq törəmələr diferensiasiya qaydasından asılı deyil və bir-birinə bərabərdir.

Anna Çuqaynova

Tərif.\(y = f(x)\) funksiyası \(x_0\ nöqtəsi olan müəyyən intervalda müəyyən edilsin. Arqumentə \(\Delta x \) artım verək ki, bu intervaldan çıxmasın. \(\Delta y \) funksiyasının müvafiq artımını tapaq (\(x_0 \) nöqtəsindən \(x_0 + \Delta x \) nöqtəsinə keçərkən) və \(\frac(\Delta) əlaqəsini quraq. y)(\Delta x) \). Əgər \(\Delta x \sağ ox 0\) nöqtəsində bu nisbətin həddi varsa, o zaman göstərilən hədd adlanır. funksiyanın törəməsi\(y=f(x) \) nöqtəsində \(x_0 \) və işarələyin \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Törəməni işarələmək üçün y simvolu tez-tez istifadə olunur. Bu funksiya belə adlanır: y = f(x) funksiyasının törəməsi.

Həndəsi məna törəmə aşağıdakı kimidir. Əgər y = f(x) funksiyasının qrafikinə y oxuna paralel olmayan x=a absissa olan nöqtədə tangens çəkmək olarsa, onda f(a) tangensin mailliyini ifadə edir. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) olduğundan \(f"(a) = tan(a) \) bərabərliyi doğrudur.

İndi isə törəmənin tərifini təxmini bərabərliklər baxımından şərh edək. \(y = f(x)\) funksiyasının müəyyən \(x\ nöqtəsində törəməsi olsun):
$$ \lim_(\Delta x \dan 0-a) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu o deməkdir ki, x nöqtəsinin yaxınlığında təxmini bərabərlik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \təxminən f"(x)\), yəni \(\Delta y \təxminən f"(x) \cdot\ Delta x\). Nəticədə yaranan təqribi bərabərliyin mənalı mənası belədir: funksiyanın artımı arqumentin artımına “demək olar ki, mütənasibdir”, mütənasiblik əmsalı isə törəmənin qiymətidir. verilmiş nöqtə X. Məsələn, \(y = x^2\) funksiyası üçün təqribi bərabərlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) etibarlıdır. Əgər törəmənin tərifini diqqətlə təhlil etsək, onun tapılması üçün alqoritmin olduğunu görərik.

Gəlin onu formalaşdıraq.

y = f(x) funksiyasının törəməsini necə tapmaq olar?

1. \(x\) dəyərini düzəldin, \(f(x)\) tapın
2. \(x\) arqumentinə artım \(\Delta x\) verin, yeni nöqtəyə keçin \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) tapın.
3. Funksiyanın artımını tapın: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) əlaqəsini yaradın.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ hesablayın
Bu hədd funksiyanın x nöqtəsindəki törəməsidir.

Əgər y = f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi varsa, o zaman x nöqtəsində diferensiallanan adlanır. y = f(x) funksiyasının törəməsinin tapılması proseduru adlanır fərqləndirmə y = f(x) funksiyaları.

Gəlin aşağıdakı sualı müzakirə edək: bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı və diferensiallığı bir-biri ilə necə bağlıdır?

y = f(x) funksiyası x nöqtəsində diferensiallana bilsin. Onda M(x; f(x)) nöqtəsindəki funksiyanın qrafikinə tangens çəkmək olar və yada salaq ki, tangensin bucaq əmsalı f "(x)-ə bərabərdir. Belə bir qrafik “qırıla bilməz”. M nöqtəsində, yəni funksiya x nöqtəsində davamlı olmalıdır.

Bunlar “əlli” arqumentlər idi. Gəlin daha ciddi əsaslandırma edək. Əgər y = f(x) funksiyası x nöqtəsində diferensiallanarsa, onda təqribi bərabərlik \(\Delta y \appprox f"(x) \cdot \Delta x\) yerinə yetirilir. Əgər bu bərabərlikdə \(\Delta x) \) sıfıra meyllidir, sonra \(\Delta y \) sıfıra meyl edəcək və bu, bir nöqtədə funksiyanın davamlılığının şərtidir.

Belə ki, funksiya x nöqtəsində diferensiallana bilirsə, o nöqtədə kəsilməzdir.

Əks bəyanat doğru deyil. Məsələn: y = |x| funksiyası hər yerdə, xüsusən x = 0 nöqtəsində davamlıdır, lakin “qovşaq nöqtəsində” (0; 0) funksiyanın qrafikinə toxunan yoxdur. Əgər hansısa nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangens çəkilə bilmirsə, o zaman törəmə həmin nöqtədə mövcud deyildir.

Daha bir misal. \(y=\sqrt(x)\) funksiyası x = 0 nöqtəsi də daxil olmaqla bütün say xəttində fasiləsizdir. Və funksiyanın qrafikinə toxunan istənilən nöqtədə, o cümlədən x = 0 nöqtəsində mövcuddur. Lakin bu nöqtədə tangens y oxu ilə üst-üstə düşür, yəni absis oxuna perpendikulyardır, onun tənliyi x = 0 formasına malikdir. Belə düz xəttin bucaq əmsalı yoxdur, yəni \(f. "(0)\) mövcud deyil.

Beləliklə, biz funksiyanın yeni xassəsi - diferensiallıq ilə tanış olduq. Bir funksiyanın qrafikindən onun diferensiallaşdığına necə nəticə çıxarmaq olar?

Cavab əslində yuxarıda verilmişdir. Əgər hansısa nöqtədə absis oxuna perpendikulyar olmayan funksiyanın qrafikinə tangens çəkmək olarsa, bu zaman funksiya diferensiallaşır. Əgər hansısa nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan yoxdursa və ya o, absis oxuna perpendikulyardırsa, bu zaman funksiya diferensiallaşmır.

Fərqləndirmə qaydaları

Törəmə tapma əməliyyatı adlanır fərqləndirmə. Bu əməliyyatı yerinə yetirərkən çox vaxt əmsallar, cəmlər, funksiyaların məhsulları, həmçinin "funksiyaların funksiyaları", yəni mürəkkəb funksiyalarla işləməli olursunuz. Törəmə tərifinə əsaslanaraq, bu işi asanlaşdıran diferensiallaşdırma qaydaları əldə edə bilərik. Əgər C sabit ədəddirsə və f=f(x), g=g(x) bəzi diferensiallanan funksiyalardırsa, aşağıdakılar doğrudur. fərqləndirmə qaydaları:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \sağ) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Mürəkkəb funksiyanın törəməsi:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Bəzi funksiyaların törəmələri cədvəli

$$ \left(\frac(1)(x) \sağ) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \sağ) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \sağ) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \sol(e^x \sağ) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

(\large\bf funksiyanın törəməsi)

Funksiyanı nəzərdən keçirin y=f(x), intervalda göstərilmişdir (a, b). Qoy x- intervalın istənilən sabit nöqtəsi (a, b), A Δx- dəyəri olan ixtiyari bir ədəd x+Δx intervalına da aiddir (a, b). Bu nömrə Δx arqument artımı adlanır.

Tərif. Funksiya artımı y=f(x) nöqtədə x, arqument artımına uyğundur Δx, nömrəyə zəng edək

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Biz buna inanırıq Δx ≠ 0. Verilmiş sabit nöqtədə düşünün x bu nöqtədə funksiya artımının müvafiq arqument artımına nisbəti Δx

Bu əlaqəni fərq əlaqəsi adlandıracağıq. Dəyərdən bəri x sabit hesab edirik, fərq nisbəti arqumentin funksiyasıdır Δx. Bu funksiya bütün arqument dəyərləri üçün müəyyən edilmişdir Δx, nöqtənin kifayət qədər kiçik bir məhəlləsinə aiddir Δx=0, nöqtənin özü istisna olmaqla Δx=0. Beləliklə, limitin mövcudluğu məsələsinə baxmağa haqqımız var müəyyən edilmiş funksiya saat Δx → 0.

Tərif. Funksiya törəməsi y=f(x) müəyyən bir nöqtədə x limiti çağırıb Δx → 0 fərq nisbəti, yəni

Bir şərtlə ki, bu limit mövcud olsun.

Təyinat. y′(x) və ya f'(x).

Törəmənin həndəsi mənası: Funksiyanın törəməsi f(x) Bu nöqtədə x ox arasındakı bucağın tangensinə bərabərdir öküz və müvafiq nöqtədə bu funksiyanın qrafikinə bir tangens:

f′(x 0) = \tgα.

Törəmənin mexaniki mənası: Zamana görə yolun törəməsi sürətə bərabərdir düzxətli hərəkət xal:

Xəttə tangensin tənliyi y=f(x) nöqtədə M 0 (x 0 ,y 0) formasını alır

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Müəyyən bir nöqtədə əyrinin normalı eyni nöqtədəki tangensə perpendikulyardır. Əgər f′(x 0)≠ 0, sonra normalın xəttin tənliyi y=f(x) nöqtədə M 0 (x 0 ,y 0) belə yazılır:

Funksiyanın diferensiallığı anlayışı

Qoy funksiya olsun y=f(x) müəyyən intervalda müəyyən edilir (a, b), x- bu intervaldan bəzi sabit arqument dəyəri, Δx- arqumentin arqumentin dəyərinə bərabər olan hər hansı artımı x+Δx ∈ (a, b).

Tərif. Funksiya y=f(x) verilmiş nöqtədə diferensiallanan adlanır x, artım olarsa Δy nöqtədə bu funksiya x, arqument artımına uyğundur Δx, şəklində təmsil oluna bilər

Δy = A Δx +αΔx,

Harada A- bəzi nömrələrdən asılı olmayaraq Δx, A α - arqument funksiyası Δx, bu da sonsuz kiçikdir Δx→ 0.

İki sonsuz kiçik funksiyanın məhsulu olduğundan αΔx sonsuz kiçikdir yüksək sifariş, Necə Δx(3 sonsuz kiçik funksiyanın xassəsi), onda yaza bilərik:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorem. Funksiya üçün y=f(x) müəyyən bir nöqtədə diferensiallaşdı x, onun bu nöqtədə sonlu törəməsi olması zəruri və kifayətdir. Harada A=f′(x), yəni

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Törəmə tapmaq əməliyyatı adətən diferensiallaşdırma adlanır.

Teorem. Əgər funksiyası y=f(x) x, onda bu nöqtədə davamlıdır.

Şərh. Funksiyanın davamlılığından y=f(x) Bu nöqtədə x, ümumiyyətlə desək, funksiyanın diferensiallığı izlənmir f(x) Bu nöqtədə. Məsələn, funksiya y=|x|- bir nöqtədə davamlı x=0, lakin törəməsi yoxdur.

Diferensial funksiya anlayışı

Tərif. Funksiya diferensialı y=f(x) bu funksiyanın törəməsi ilə müstəqil dəyişənin artımının hasilinə deyilir x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Funksiya üçün y=x alırıq dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, yəni dx=Δx- müstəqil dəyişənin diferensialı bu dəyişənin artımına bərabərdir.

Beləliklə, yaza bilərik

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferensial dy və artım Δy funksiyaları y=f(x) Bu nöqtədə x, hər ikisi eyni arqument artımına uyğundur Δx, ümumiyyətlə, bir-birinə bərabər deyil.

Diferensialın həndəsi mənası: Arqument artırıldıqda funksiyanın diferensialı bu funksiyanın qrafikinə toxunan ordinatın artımına bərabərdir. Δx.

Fərqləndirmə qaydaları

Teorem. Əgər funksiyaların hər biri u(x) Və v(x) müəyyən bir nöqtədə diferensiallana bilir x, sonra bu funksiyaların cəmi, fərqi, hasili və bölməsi (bölmə şərti ilə v(x)≠ 0) də bu nöqtədə diferensiallaşdırıla bilər və düsturlar aşağıdakıları ehtiva edir:

Kompleks funksiyanı nəzərdən keçirin y=f(φ(x))≡ F(x), Harada y=f(u), u=φ(x). Bu halda uçağırdı ara arqument, x - müstəqil dəyişən.

Teorem. Əgər y=f(u) Və u=φ(x) arqumentlərinin diferensiallana bilən funksiyaları, sonra isə kompleks funksiyanın törəməsidir y=f(φ(x)) mövcuddur və bu funksiyanın aralıq arqumentə görə hasilinə və müstəqil dəyişənə münasibətdə ara arqumentin törəməsinə bərabərdir, yəni.

Şərh. Üç funksiyanın superpozisiyası olan mürəkkəb funksiya üçün y=F(f(φ(x))), fərqləndirmə qaydası formaya malikdir

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

funksiyalar haradadır v=φ(x), u=f(v) Və y=F(u)- onların arqumentlərinin diferensiallanan funksiyaları.

Teorem. Qoy funksiya olsun y=f(x) artır (və ya azalır) və nöqtənin bəzi qonşuluğunda davamlıdır x 0. Bundan əlavə, bu funksiya göstərilən nöqtədə diferensiallana bilər x 0 və bu nöqtədə onun törəməsi f′(x 0) ≠ 0. Sonra müvafiq nöqtənin bəzi məhəlləsində y 0 =f(x 0)üçün tərsi müəyyən edilir y=f(x) funksiyası x=f -1 (y), və göstərilən tərs funksiya müvafiq nöqtədə diferensiallaşır y 0 =f(x 0) və bu nöqtədə onun törəməsi üçün y formula etibarlıdır

Törəmələr cədvəli

Birinci diferensialın formasının dəyişməzliyi

Mürəkkəb funksiyanın diferensialını nəzərdən keçirək. Əgər y=f(x), x=φ(t)- onların arqumentlərinin funksiyaları diferensiallanır, sonra funksiyanın törəməsi y=f(φ(t)) düsturu ilə ifadə edilir

y′ t = y′ x x′ t.

A-prior dy=y′ t dt, onda alırıq

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Beləliklə, biz sübut etdik

Funksiyanın birinci diferensialının formasının dəyişməzlik xassəsi: arqument olduqda olduğu kimi x müstəqil dəyişəndir və arqument olduğu halda xözü yeni dəyişənin, diferensialın diferensiallanan funksiyasıdır dy funksiyaları y=f(x) bu funksiyanın törəməsinin arqumentin diferensialına vurulmasına bərabərdir dx.

Diferensialın təxmini hesablamalarda tətbiqi

Diferensial olduğunu göstərdik dy funksiyaları y=f(x), ümumiyyətlə desək, artıma bərabər deyil Δy bu funksiya. Bununla belə, sonsuzluğa qədər dəqiqliklə kiçik funksiya daha yüksək kiçiklik sırası Δx, təxmini bərabərlik etibarlıdır

Δy ≈ dy.

Nisbət bu bərabərliyin bərabərliyinin nisbi xətası adlanır. Çünki Δy-dy=o(Δx), onda bu bərabərliyin nisbi xətası azaldıqca istənilən qədər kiçik olur |Δх|.

Bunu nəzərə alaraq Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, alırıq f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx və ya

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Bu təxmini bərabərlik səhvə yol verir o(Δx) funksiyasını əvəz edin f(x) nöqtənin kiçik bir məhəlləsində x(yəni kiçik dəyərlər üçün Δx) xətti funksiya arqument Δx, sağ tərəfdə dayanır.

Daha yüksək dərəcəli törəmələr

Tərif. Funksiyanın ikinci törəməsi (və ya ikinci dərəcəli törəməsi). y=f(x) birinci törəmənin törəməsi adlanır.

Funksiyanın ikinci törəməsi üçün qeyd y=f(x):

İkinci törəmənin mexaniki mənası. Əgər funksiyası y=f(x) maddi nöqtənin düz xətt üzrə hərəkət qanununu, sonra ikinci törəməni təsvir edir f″(x) zaman anında hərəkət edən nöqtənin sürətlənməsinə bərabərdir x.

Üçüncü və dördüncü törəmələr də eyni şəkildə müəyyən edilir.

Tərif. n törəmə (və ya törəmə n-ci sıra) funksiyaları y=f(x) onun törəməsi adlanır n-1 ci törəmə:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Təyinatlar: y″′, y IV, y V və s.

Törəmə tapma əməliyyatına diferensiasiya deyilir.

Artımın arqumentin artımına nisbətinin həddi kimi törəməni təyin etməklə ən sadə (və çox sadə olmayan) funksiyaların törəmələrinin tapılması məsələlərinin həlli nəticəsində törəmələr cədvəli və dəqiq müəyyən edilmiş diferensiallaşdırma qaydaları meydana çıxdı. . Törəmələrin tapılması sahəsində ilk iş görənlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Vilhelm Leybnizdir (1646-1716).

Odur ki, bizim dövrümüzdə hər hansı funksiyanın törəməsini tapmaq üçün funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin yuxarıda qeyd olunan həddini hesablamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq, cədvəldən istifadə etmək kifayətdir. törəmələr və diferensiallaşma qaydaları. Törəmə tapmaq üçün aşağıdakı alqoritm uyğundur.

Törəmə tapmaq üçün, əsas işarənin altında bir ifadə lazımdır sadə funksiyaları komponentlərə ayırın və hansı hərəkətləri müəyyənləşdirin (məhsul, cəmi, əmsal) bu funksiyalar əlaqəlidir. Əlavə törəmələr elementar funksiyalar törəmələr cədvəlində tapırıq və hasilin, cəminin və hissənin törəmələri üçün düsturlar diferensiasiya qaydalarındadır. Törəmə cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ilk iki nümunədən sonra verilmişdir.

Misal 1. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Diferensiasiya qaydalarından məlum olur ki, funksiyaların cəminin törəməsi funksiyaların törəmələrinin cəmidir, yəni.

Törəmələr cədvəlindən məlum olur ki, "x"-in törəməsi birə, sinusun törəməsi isə kosinusa bərabərdir. Bu dəyərləri törəmələrin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan törəməni tapırıq:

Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Törəmə işarəsindən çıxarıla bilən ikinci terminin sabit əmsalı olduğu cəminin törəməsi kimi fərqləndiririk:

Bir şeyin haradan gəldiyi ilə bağlı suallar hələ də yaranarsa, adətən törəmələr cədvəli və ən sadə fərqləndirmə qaydaları ilə tanış olduqdan sonra aydınlaşdırılır. Biz hazırda onlara gedirik.

Sadə funksiyaların törəmələri cədvəli

1. Sabitin (ədədin) törəməsi. Funksiya ifadəsində olan istənilən ədəd (1, 2, 5, 200...). Həmişə sıfıra bərabərdir. Bunu xatırlamaq çox vacibdir, çünki çox vaxt tələb olunur
2. Müstəqil dəyişənin törəməsi. Çox vaxt "X". Həmişə birə bərabərdir. Bunu uzun müddət xatırlamaq da vacibdir
3. Dərəcənin törəməsi. Problemləri həll edərkən kvadrat olmayan kökləri güclərə çevirmək lazımdır.
4. Dəyişənin -1 gücünə törəməsi
5. Törəmə kvadrat kök
6. Sinusun törəməsi
7. Kosinusun törəməsi
8. Tangensin törəməsi
9. Kotangensin törəməsi
10. Arksinusun törəməsi
11. Arkkosinin törəməsi
12. Arktangensin törəməsi
13. Qövs kotangensinin törəməsi
14. Natural loqarifmin törəməsi
15. Loqarifmik funksiyanın törəməsi
16. Göstəricinin törəməsi
17. Eksponensial funksiyanın törəməsi

Fərqləndirmə qaydaları

1. Cəmin və ya fərqin törəməsi
2. Məhsulun törəməsi
2a. Sabit əmsala vurulan ifadənin törəməsi
3. Bölmənin törəməsi
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Qayda 1.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallanır, sonra funksiyalar eyni nöqtədə diferensiallanır

və

olanlar. funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

Nəticə. İki diferensiallanan funksiya sabit bir həddi ilə fərqlənirsə, onların törəmələri bərabərdir, yəni.

Qayda 2.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirlər, sonra onların məhsulu eyni nöqtədə diferensiallaşır

və

olanlar. İki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir.

Nəticə 1. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:

Nəticə 2. Bir neçə diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi hər bir amilin və bütün digərlərinin törəməsinin hasillərinin cəminə bərabərdir.

Məsələn, üç çarpan üçün:

Qayda 3.Əgər funksiyaları

müəyyən bir nöqtədə fərqlənə bilər Və , onda bu nöqtədə onların nisbəti də diferensiallaşıru/v , və

olanlar. iki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir ki, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın törəməsi və payın və məxrəcin törəməsi arasındakı fərq, məxrəc isə - kvadratıdır. keçmiş say.

Başqa səhifələrdə şeyləri harada axtarmaq lazımdır

Həqiqi məsələlərdə məhsulun törəməsini və nisbətini taparkən həmişə eyni vaxtda bir neçə fərqləndirmə qaydasını tətbiq etmək lazımdır, ona görə də məqalədə bu törəmələrə dair daha çox nümunə var."Funksiyaların hasilinin və əmsalının törəməsi".

Şərh. Sabiti (yəni rəqəmi) cəmdəki terminlə sabit faktor kimi qarışdırmamalısınız! Termin halında onun törəməsi sıfıra bərabərdir, sabit əmsalda isə törəmələrin işarəsindən çıxarılır. Bu tipik səhv, bu, törəmələrin öyrənilməsinin ilkin mərhələsində baş verir, lakin orta tələbə bir və iki hissədən ibarət bir neçə nümunəni həll etdiyi üçün artıq bu səhvə yol vermir.

Bir məhsulu və ya əmsalı fərqləndirərkən bir termininiz varsa u"v, hansında u- bir ədəd, məsələn, 2 və ya 5, yəni sabit, onda bu ədədin törəməsi sıfıra bərabər olacaq və buna görə də bütün müddət sıfıra bərabər olacaqdır (bu hal 10-cu misalda müzakirə olunur).

Digər ümumi səhv- mürəkkəb funksiyanın törəməsinin sadə funksiyanın törəməsi kimi mexaniki həlli. Buna görə də mürəkkəb funksiyanın törəməsi ayrıca məqalə həsr olunub. Ancaq əvvəlcə törəmələri tapmağı öyrənəcəyik sadə funksiyalar.

Yolda, ifadələri dəyişdirmədən edə bilməzsiniz. Bunu etmək üçün təlimatı yeni pəncərələrdə açmalı ola bilərsiniz. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .

Güclü və köklü kəsrlərin törəmələrinin həlli yollarını axtarırsınızsa, yəni funksiya belə göründüyü zaman , sonra “Kəsrlərin cəmlərinin hədləri və kökləri olan törəməsi” dərsini izləyin.

kimi bir vəzifəniz varsa , sonra “Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri” dərsini keçəcəksiniz.

Addım-addım nümunələr - törəməni necə tapmaq olar

Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Funksiya ifadəsinin hissələrini müəyyənləşdiririk: bütün ifadə məhsulu təmsil edir, onun amilləri isə cəmidir, ikincisində isə şərtlərdən biri sabit amildən ibarətdir. Məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik: iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin digərinin törəməsi ilə hasillərinin cəminə bərabərdir:

Sonra cəminin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik: funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Bizim vəziyyətimizdə hər cəmdə ikinci hədd mənfi işarəyə malikdir. Hər bir cəmdə həm törəməsi birə bərabər olan müstəqil dəyişən, həm də törəməsi sıfıra bərabər olan sabit (ədəd) görürük. Beləliklə, “X” birinə, mənfi 5 isə sıfıra çevrilir. İkinci ifadədə "x" 2-yə vurulur, ona görə də ikisini "x"-in törəməsi ilə eyni vahidə vururuq. Aşağıdakı törəmə dəyərləri əldə edirik:

Tapılmış törəmələri hasillərin cəmində əvəz edirik və məsələnin şərti ilə tələb olunan bütün funksiyanın törəməsini alırıq:

Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bizdən hissənin törəməsini tapmaq tələb olunur. Hissənin diferensiallaşdırılması düsturunu tətbiq edirik: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın və payın törəməsi və törəməsi arasındakı fərqdir. məxrəc, məxrəc isə əvvəlki payın kvadratıdır. Biz əldə edirik:

Artıq 2-ci misalda saydakı amillərin törəməsini tapmışıq. Onu da unutmayaq ki, indiki misaldakı payda ikinci amil olan hasil mənfi işarə ilə alınır:

Əgər siz köklərin və güclərin davamlı yığınının olduğu funksiyanın törəməsini tapmağınız lazım olan problemlərin həlli yollarını axtarırsınızsa, məsələn, , sonra sinifə xoş gəldiniz "Kəsrlərin gücü və kökləri olan cəminin törəməsi" .

Sinusların, kosinusların, tangenslərin və başqalarının törəmələri haqqında daha çox öyrənmək lazımdırsa triqonometrik funksiyalar, yəni funksiyanın göründüyü zaman , onda sizin üçün bir dərs "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" .

Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada faktorlarından biri müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hasil görürük, törəməsi ilə törəmələr cədvəlində tanış olduq. Məhsulun diferensiasiya qaydasına görə və cədvəl dəyəri kvadrat kökün törəməsi alırıq:

Misal 6. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada dividend müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan bir hissəni görürük. 4-cü misalda təkrar etdiyimiz və tətbiq etdiyimiz əmsalların diferensiallaşdırılması qaydasından və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərindən istifadə edərək əldə edirik:

Hissədə kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci ilə vurun.