Daha çox sadə şəkildə. Bunu etmək üçün mötərizədə z-ni çıxarın. Siz alacaqsınız: z(аz + b) = 0. Faktorlar yazıla bilər: z=0 və аз + b = 0, çünki hər ikisi sıfırla nəticələnə bilər. az + b = 0 qeydində ikincini fərqli işarə ilə sağa keçirik. Buradan z1 = 0 və z2 = -b/a alırıq. Bunlar orijinalın kökləridir.
Əgər varsa yox tam tənlik forma az² + c = 0, in bu halda sadəcə olaraq pulsuz müddəti köçürməklə tapılır sağ tərəf tənliklər Onun işarəsini də dəyişdirin. Nəticə az² = -с olacaq. z² = -c/a ifadə edin. Kökü götürün və iki həlli yazın - müsbət və mənfi kvadrat kök.
Qeyd
Tənlikdə kəsr əmsalları varsa, kəsrlərdən xilas olmaq üçün bütün tənliyi müvafiq əmsalla çarpın.
Kvadrat tənliklərin necə həll ediləcəyini bilmək həm məktəblilər, həm də tələbələr üçün lazımdır; bəzən bu, gündəlik həyatda böyüklərə də kömək edə bilər. Bir neçə xüsusi həll üsulu var.
Kvadrat tənliklərin həlli
a*x^2+b*x+c=0 formasının kvadrat tənliyi. X əmsalı arzu olunan dəyişən, a, b, c ədədi əmsallardır. Unutmayın ki, "+" işarəsi "-" işarəsinə çevrilə bilər.Bu tənliyi həll etmək üçün Vyeta teoremindən istifadə etmək və ya diskriminant tapmaq lazımdır. Ən ümumi üsul diskriminant tapmaqdır, çünki a, b, c-nin bəzi qiymətləri üçün Vyeta teoremindən istifadə etmək mümkün deyil.
Diskriminantı (D) tapmaq üçün D=b^2 - 4*a*c düsturunu yazmaq lazımdır. D dəyəri sıfırdan böyük, kiçik və ya sıfıra bərabər ola bilər. Əgər D sıfırdan böyük və ya kiçikdirsə, onda iki kök olacaq; D = 0 olarsa, yalnız bir kök qalır; daha dəqiq desək, bu halda D-nin iki ekvivalent kökü olduğunu söyləyə bilərik. Düsturda məlum olan a, b, c əmsallarını əvəz edin və dəyəri hesablayın.
Diskriminantı tapdıqdan sonra x tapmaq üçün düsturlardan istifadə edin: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, burada sqrt verilmiş ədədin kvadrat kökünü götürmək mənasını verən funksiyadır. Bu ifadələri hesabladıqdan sonra tənliyinizdən iki kök tapacaqsınız, bundan sonra tənlik həll edilmiş hesab olunur.
Əgər D sıfırdan kiçikdirsə, onun hələ də kökləri var. Məktəbdə bu bölmə praktiki olaraq öyrənilmir. Universitet tələbələri bilməlidirlər ki, kökün altında mənfi rəqəm görünür. Xəyali hissəni vurğulamaqla ondan xilas olurlar, yəni kökün altındakı -1 həmişə eyni müsbət ədədlə kökə vurulan xəyali “i” elementinə bərabərdir. Məsələn, əgər D=sqrt(-20), transformasiyadan sonra D=sqrt(20)*i alırıq. Bu çevrilmədən sonra tənliyin həlli yuxarıda göstərildiyi kimi köklərin eyni tapılmasına endirilir.
Vietanın teoremi x(1) və x(2) qiymətlərinin seçilməsindən ibarətdir. İki eyni tənlik istifadə olunur: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Və çox mühüm məqam b əmsalının qarşısındakı işarədir, bu işarənin tənlikdəki işarənin əksinə olduğunu unutmayın. İlk baxışdan x(1) və x(2)-nin hesablanması çox sadə görünsə də, həll edərkən siz rəqəmləri seçmək məcburiyyətində qalacaqsınız.
Kvadrat tənliklərin həllinin elementləri
Riyaziyyat qaydalarına görə, bəziləri faktorlara bölünə bilər: (a+x(1))*(b-x(2))=0, əgər siz bu kvadrat tənliyi riyazi düsturlardan istifadə edərək oxşar şəkildə çevirməyi bacarmısınızsa, çekinmeyin cavabını yazın. x(1) və x(2) mötərizədə bitişik əmsallara bərabər olacaq, lakin ilə əks işarə.Həmçinin, natamam kvadrat tənlikləri də unutma. Bəzi şərtləri əldən verə bilərsiniz, əgər belədirsə, onda onun bütün əmsalları sadəcə sıfıra bərabərdir. Əgər x^2 və ya x qarşısında heç nə yoxdursa, a və b əmsalları 1-ə bərabərdir.
Kvadrat tənlik - həll etmək asandır! *Bundan sonra “KU” adlandırılacaq. Dostlar, deyəsən, riyaziyyatda belə bir tənliyi həll etməkdən daha sadə bir şey ola bilməz. Amma bir şey mənə dedi ki, çoxlarının onunla problemləri var. Yandex-in ayda nə qədər tələb olunan təəssürat verdiyini görməyə qərar verdim. Budur, nə oldu, baxın:
Bunun mənası nədi? Bu o deməkdir ki, ayda təxminən 70 000 insan axtarış edir bu məlumat, bu yayın bununla nə əlaqəsi var və arasında nə olacaq tədris ili— iki dəfə çox müraciət olacaq. Bu təəccüblü deyil, çünki məktəbi çoxdan bitirmiş və Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşan oğlan və qızlar bu məlumatı axtarırlar və məktəblilər də yaddaşlarını təzələməyə çalışırlar.
Bu tənliyi necə həll edəcəyinizi söyləyən bir çox saytın olmasına baxmayaraq, mən də kömək etmək və materialı dərc etmək qərarına gəldim. Əvvəla, bu tələb əsasında saytıma ziyarətçilərin gəlməsini istəyirəm; ikincisi, başqa yazılarda “KÜ” mövzusu gələndə bu məqaləyə keçid verəcəm; üçüncüsü, onun həlli haqqında adətən başqa saytlarda deyilənlərdən bir az daha çox məlumat verəcəyəm. Gəlin başlayaq! Məqalənin məzmunu:
Kvadrat tənlik aşağıdakı formada bir tənlikdir:
burada a əmsalları,bvə c ixtiyari ədədlərdir, a≠0 ilə.
IN məktəb kursu material aşağıdakı formada verilir - tənliklər şərti olaraq üç sinfə bölünür:
1. Onların iki kökü var.
2. *Yalnız bir kök var.
3. Onların kökləri yoxdur. Burada onların əsl köklərinin olmadığını xüsusilə qeyd etmək lazımdır
Köklər necə hesablanır? Sadəcə!
Diskriminantı hesablayırıq. Bu “dəhşətli” sözün altında çox sadə bir düstur yatır:
Kök düsturları aşağıdakılardır:
*Bu düsturları əzbər bilməlisiniz.
Dərhal yaza və həll edə bilərsiniz:
Misal:
1. Əgər D > 0 olarsa, onda tənliyin iki kökü var.
2. Əgər D = 0 olarsa, onda tənliyin bir kökü var.
3. Əgər D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Gəlin tənliyə baxaq:
By bu münasibətlə, diskriminant sıfır olduqda, məktəb kursu deyir ki, nəticə bir kökdür, burada doqquza bərabərdir. Hər şey düzdür, belədir, amma...
Bu fikir bir qədər yanlışdır. Əslində iki kök var. Bəli, bəli, təəccüblənməyin, iki bərabər kök alırsınız və riyazi olaraq dəqiq desək, cavab iki kök yazmalıdır:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ancaq bu belədir - kiçik bir sapma. Məktəbdə bunu yazıb deyə bilərsən ki, bir kök var.
İndi növbəti nümunə:
Bildiyimiz kimi kökü mənfi rəqəmçıxarılmır, ona görə də bu halda heç bir həll yoxdur.
Bütün qərar prosesi budur.
Kvadrat funksiya.
Bu həllin həndəsi olaraq necə göründüyünü göstərir. Bunu başa düşmək son dərəcə vacibdir (gələcəkdə məqalələrin birində kvadrat bərabərsizliyin həllini ətraflı təhlil edəcəyik).
Bu formanın bir funksiyasıdır:
burada x və y dəyişənlərdir
a, b, c – verilmiş ədədlər, a ≠ 0 ilə
Qrafik paraboladır:
Yəni belə çıxır ki, “y” sıfıra bərabər olan kvadrat tənliyi həll etməklə biz parabolanın x oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq. Bu nöqtələrdən ikisi ola bilər (diskriminant müsbətdir), biri (diskriminant sıfırdır) və heç biri (diskriminant mənfidir). Haqqında təfərrüatlar kvadrat funksiya Baxa bilərsinizİnna Feldmanın məqaləsi.
Nümunələrə baxaq:
Nümunə 1: Həll edin 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Cavab: x 1 = 8 x 2 = –12
*Tənliyin sol və sağ tərəflərini dərhal 2-yə bölmək, yəni sadələşdirmək mümkün idi. Hesablamalar daha asan olacaq.
Misal 2: Qərar ver x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Biz tapdıq ki, x 1 = 11 və x 2 = 11
Cavabda x = 11 yazmaq caizdir.
Cavab: x = 11
Misal 3: Qərar ver x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminant mənfidir, həqiqi ədədlərdə həll yoxdur.
Cavab: həlli yoxdur
Diskriminant mənfidir. Bir həll var!
Burada mənfi diskriminant alındığı halda tənliyin həllindən danışacağıq. haqqında bir şey bilirsinizmi mürəkkəb ədədlər? Onların niyə və harada yarandığı və riyaziyyatdakı xüsusi rolu və zərurətinin nədən ibarət olduğu haqqında burada təfərrüatlara girməyəcəyəm; bu, böyük bir ayrı məqalənin mövzusudur.
Kompleks ədəd anlayışı.
Bir az nəzəriyyə.
Kompleks ədəd z formanın ədədidir
z = a + bi
a və b həqiqi ədədlərdir, i xəyali vahid adlanır.
a+bi – bu TƏK NÖMRƏDİR, əlavə deyil.
Xəyali vahid mənfi birin kökünə bərabərdir:
İndi tənliyi nəzərdən keçirin:
İki konjugat kök alırıq.
Natamam kvadrat tənlik.
Xüsusi halları nəzərdən keçirək, bu, “b” və ya “c” əmsalı sıfıra bərabər olduqda (və ya hər ikisi sıfıra bərabərdir). Onlar heç bir ayrı-seçkilik olmadan asanlıqla həll edilə bilər.
Hal 1. Əmsal b = 0.
Tənlik belə olur:
Gəlin çevirək:
Misal:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Hal 2. əmsalı c = 0.
Tənlik belə olur:
Gəlin çevirək və faktorlara ayıraq:
*Famillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir.
Misal:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 və ya x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Hal 3. Əmsallar b = 0 və c = 0.
Burada aydın olur ki, tənliyin həlli həmişə x = 0 olacaqdır.
Faydalı xassələri və əmsalların nümunələri.
Böyük əmsallı tənlikləri həll etməyə imkan verən xüsusiyyətlər var.
Ax 2 + bx+ c=0 bərabərlik qorunur
a + b+ c = 0, Bu
- tənliyin əmsalları üçün olarsa Ax 2 + bx+ c=0 bərabərlik qorunur
a+ c =b, Bu
Bu xüsusiyyətlər müəyyən bir tənliyin həllinə kömək edir.
Misal 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Bahislərin cəmi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 deməkdir
Misal 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Bərabərlik qorunur a+ c =b, deməkdir
Əmsalların qanunauyğunluqları.
1. Əgər ax 2 + bx + c = 0 tənliyində “b” əmsalı (a 2 +1), “c” əmsalı ədədi olaraq “a” əmsalına bərabərdirsə, onun kökləri bərabərdir.
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Misal. 6x 2 + 37x + 6 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Əgər ax 2 – bx + c = 0 tənliyində “b” əmsalı (a 2 +1), “c” əmsalı ədədi olaraq “a” əmsalına bərabərdirsə, onun kökləri bərabərdir.
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Misal. 15x 2 –226x +15 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Əgər tənlikdə. ax 2 + bx – c = 0 “b” əmsalı bərabərdir (a 2 – 1) və “c” əmsalı ədədi olaraq “a” əmsalına bərabərdir, onda onun kökləri bərabərdir
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Misal. 17x 2 +288x – 17 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Əgər ax 2 – bx – c = 0 tənliyində “b” əmsalı (a 2 – 1), c əmsalı isə ədədi olaraq “a” əmsalına bərabərdirsə, onun kökləri bərabərdir.
balta 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Misal. 10x 2 – 99x –10 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vyeta teoremi.
Vyeta teoremi məşhur fransız riyaziyyatçısı Fransua Vietanın adını daşıyır. Vyeta teoremindən istifadə edərək, ixtiyari KU-nun köklərinin cəmini və hasilini onun əmsalları ilə ifadə edə bilərik.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Ümumilikdə 14 rəqəmi yalnız 5 və 9 verir. Bunlar köklərdir. Təqdim olunan teoremdən istifadə edərək müəyyən bir bacarıqla bir çox kvadrat tənliyi şifahi olaraq dərhal həll edə bilərsiniz.
Bundan əlavə, Vyeta teoremi. Rahatdır ki, kvadrat tənliyi adi şəkildə həll etdikdən sonra (diskriminant vasitəsilə) yaranan kökləri yoxlamaq olar. Bunu həmişə etməyi məsləhət görürəm.
NƏQLİM ÜSULU
Bu üsulla "a" əmsalı sərbəst terminə vurulur, sanki ona "atılır" və buna görə də deyilir. "köçürmə" üsulu. Bu üsul tənliyin köklərini Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla tapmaq mümkün olduqda və ən əsası diskriminant dəqiq kvadrat olduqda istifadə olunur.
Əgər A± b+c≠ 0 olarsa, ötürmə texnikası istifadə olunur, məsələn:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
(2) tənliyində Vyeta teoremindən istifadə edərək x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu müəyyən etmək asandır.
Tənliyin nəticə köklərini 2-yə bölmək lazımdır (çünki ikisi x 2-dən "atıldı"), biz alırıq
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Səbəb nədir? Görün nə baş verir.
(1) və (2) tənliklərinin diskriminantları bərabərdir:
Tənliklərin köklərinə baxsanız, yalnız müxtəlif məxrəclər alırsınız və nəticə dəqiq olaraq x 2 əmsalından asılıdır:
İkinci (dəyişdirilmiş) birinin kökləri 2 dəfə böyükdür.
Beləliklə, nəticəni 2-yə bölürük.
*Üçlüyü təkrarlasaq, nəticəni 3-ə böləcəyik və s.
Cavab: x 1 = 5 x 2 = 0,5
kv. ur-ie və Vahid Dövlət İmtahanı.
Mən sizə onun əhəmiyyəti haqqında qısaca danışacağam - SİZ tez və düşünmədən QƏRAR VERMƏLİ OLMALISINIZ, köklərin və diskriminantların düsturlarını əzbər bilməlisiniz. Vahid Dövlət İmtahanının tapşırıqlarına daxil edilən problemlərin bir çoxu kvadrat tənliyin (həndəsi olanlar da daxil olmaqla) həllinə qədər qaynayır.
Qeyd etməyə dəyər bir şey!
1. Tənliyin yazılış forması “qeyri-müəyyən” ola bilər. Məsələn, aşağıdakı giriş mümkündür:
15+ 9x 2 - 45x = 0 və ya 15x+42+9x 2 - 45x=0 və ya 15 -5x+10x 2 = 0.
Onu gətirmək lazımdır standart görünüş(qərar verərkən çaşqın olmamaq üçün).
2. Unutmayın ki, x naməlum kəmiyyətdir və onu istənilən başqa hərflə - t, q, p, h və başqaları ilə işarələmək olar.
Çoxları belə olmadığı üçün bu mövzu ilk baxışda çətin görünə bilər sadə düsturlar. Kvadrat tənliklərin özlərində təkcə uzun qeydlər yoxdur, həm də köklər diskriminant vasitəsilə tapılır. Ümumilikdə üç yeni düstur əldə edilir. Xatırlamaq çox asan deyil. Bu, yalnız belə tənlikləri tez-tez həll etdikdən sonra mümkündür. Sonra bütün düsturlar öz-özünə yadda qalacaq.
Kvadrat tənliyin ümumi görünüşü
Burada ən böyük dərəcə əvvəlcə, sonra isə azalan qaydada yazıldıqda onların açıq qeydini təklif edirik. Çox vaxt şərtlərin uyğunsuz olduğu vəziyyətlər olur. Sonra tənliyi dəyişənin dərəcəsinə görə azalan qaydada yenidən yazmaq daha yaxşıdır.
Bəzi qeydləri təqdim edək. Onlar aşağıdakı cədvəldə təqdim olunur.
Bu qeydləri qəbul etsək, bütün kvadrat tənliklər aşağıdakı qeydlərə endirilir.
Bundan əlavə, a ≠ 0 əmsalı. Bu düstur bir nömrə ilə təyin olunsun.
Tənlik verildikdə cavabda neçə kök olacağı bəlli deyil. Çünki üç variantdan biri həmişə mümkündür:
- həllin iki kökü olacaq;
- cavab bir nömrə olacaq;
- tənliyin heç bir kökü olmayacaq.
Və qərar yekunlaşana qədər, müəyyən bir vəziyyətdə hansı variantın görünəcəyini anlamaq çətindir.
Kvadrat tənliklərin qeydlərinin növləri
Tapşırıqlarda müxtəlif girişlər ola bilər. Həmişə belə görünməyəcəklər ümumi formula kvadrat tənlik. Bəzən bəzi şərtlər itkin olacaq. Yuxarıda yazılanlar tam tənlikdir. Ondakı ikinci və ya üçüncü termini çıxarsanız, başqa bir şey alırsınız. Bu qeydlərə kvadrat tənliklər də deyilir, yalnız natamamdır.
Üstəlik, yalnız “b” və “c” əmsallı terminlər yox ola bilər. “a” rəqəmi heç bir halda sıfıra bərabər ola bilməz. Çünki bu halda formula olur xətti tənlik. Tənliklərin natamam forması üçün düsturlar aşağıdakı kimi olacaq:
Beləliklə, yalnız iki növ var; tam olanlarla yanaşı, natamam kvadrat tənliklər də var. Birinci düstur iki, ikincisi isə üç olsun.
Köklərin sayının onun qiymətindən diskriminant və asılılığı
Tənliyin köklərini hesablamaq üçün bu rəqəmi bilməlisiniz. Kvadrat tənliyin düsturu nə olursa olsun, onu həmişə hesablamaq olar. Diskriminantı hesablamaq üçün aşağıda yazılan bərabərlikdən istifadə etməlisiniz, onun dörd nömrəsi olacaq.
Bu düsturda əmsal dəyərlərini əvəz etdikdən sonra rəqəmləri əldə edə bilərsiniz müxtəlif əlamətlər. Cavab bəlidirsə, tənliyin cavabı ikidir müxtəlif köklər. Əgər ədəd mənfi olarsa, kvadrat tənliyin kökləri olmayacaq. Sıfıra bərabərdirsə, yalnız bir cavab olacaq.
Tam kvadrat tənliyi necə həll etmək olar?
Əslində, artıq bu məsələyə baxılmağa başlanıb. Çünki əvvəlcə bir diskriminant tapmaq lazımdır. Kvadrat tənliyin kökləri olduğu müəyyən edildikdən və onların sayı məlum olduqdan sonra dəyişənlər üçün düsturlardan istifadə etmək lazımdır. Əgər iki kök varsa, o zaman aşağıdakı düsturu tətbiq etməlisiniz.
“±” işarəsi olduğundan iki dəyər olacaq. Kvadrat kök işarəsi altındakı ifadə diskriminantdır. Buna görə də düstur fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər.
Formula nömrəsi beş. Eyni qeyddən aydın olur ki, diskriminant sıfıra bərabərdirsə, onda hər iki kök eyni qiymətləri alacaq.
Kvadrat tənliklərin həlli hələ işlənməyibsə, diskriminant və dəyişən düsturları tətbiq etməzdən əvvəl bütün əmsalların dəyərlərini yazmaq daha yaxşıdır. Sonradan bu an çətinlik yaratmayacaq. Ancaq başlanğıcda çaşqınlıq var.
Natamam kvadrat tənliyi necə həll etmək olar?
Burada hər şey daha sadədir. Əlavə düsturlara belə ehtiyac yoxdur. Ayrı-seçkilik edən və bilinməyən üçün artıq yazılmış olanlara ehtiyac olmayacaq.
Birincisi, iki nömrəli natamam tənliyə baxaq. Bu bərabərlikdə mötərizədə naməlum kəmiyyəti çıxarmaq və mötərizədə qalacaq xətti tənliyi həll etmək lazımdır. Cavabın iki kökü olacaq. Birincisi mütləq sıfıra bərabərdir, çünki dəyişənin özündən ibarət çarpan var. İkincisi xətti tənliyi həll etməklə əldə ediləcək.
Üç nömrəli natamam tənlik ədədi bərabərliyin sol tərəfindən sağa daşımaqla həll edilir. Sonra naməlum tərəfə baxan əmsala bölmək lazımdır. Yalnız kvadrat kökü çıxarmaq və onu iki dəfə əks işarələrlə yazmağı unutmayın.
Aşağıda kvadrat tənliklərə çevrilən bütün növ bərabərlikləri necə həll edəcəyinizi öyrənməyə kömək edəcək bəzi addımlar verilmişdir. Onlar tələbəyə diqqətsizlik səbəbindən səhvlərdən qaçmağa kömək edəcəklər. Bu çatışmazlıqlar “Kvadrat tənliklər (8-ci sinif)” adlı geniş mövzunu öyrənərkən zəif qiymətlərə səbəb ola bilər. Sonradan bu hərəkətləri daim yerinə yetirmək lazım olmayacaq. Çünki sabit bir bacarıq meydana çıxacaq.
- Əvvəlcə tənliyi standart formada yazmalısınız. Yəni əvvəlcə dəyişənin ən böyük dərəcəsi olan termin, sonra - dərəcəsiz və sonuncu - sadəcə bir rəqəm.
- Əgər “a” əmsalından əvvəl bir mənfi görünürsə, bu, kvadrat tənlikləri öyrənən yeni başlayanlar üçün işi çətinləşdirə bilər. Ondan qurtulmaq daha yaxşıdır. Bunun üçün bütün bərabərliklər “-1”-ə vurulmalıdır. Bu o deməkdir ki, bütün şərtlər işarəni əksinə dəyişəcək.
- Eyni şəkildə fraksiyalardan xilas olmaq tövsiyə olunur. Sadəcə olaraq, tənliyi müvafiq əmsala vurun ki, məxrəclər silinsin.
Nümunələr
Aşağıdakı kvadrat tənlikləri həll etmək lazımdır:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Birinci tənlik: x 2 − 7x = 0. O, natamamdır, ona görə də ikinci düstur üçün təsvir olunduğu kimi həll edilir.
Mötərizədən çıxardıqdan sonra belə çıxır: x (x - 7) = 0.
Birinci kök dəyəri götürür: x 1 = 0. İkincisi xətti tənlikdən tapılacaq: x - 7 = 0. X 2 = 7 olduğunu görmək asandır.
İkinci tənlik: 5x 2 + 30 = 0. Yenə natamam. Yalnız üçüncü düstur üçün təsvir edildiyi kimi həll edilir.
30-u bərabərliyin sağ tərəfinə köçürdükdən sonra: 5x 2 = 30. İndi 5-ə bölmək lazımdır. Belə çıxır: x 2 = 6. Cavablar rəqəmlər olacaq: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Üçüncü tənlik: 15 − 2x − x 2 = 0. Burada və daha sonra kvadrat tənliklərin həlli onları standart formada yenidən yazmaqla başlayacaq: − x 2 − 2x + 15 = 0. İndi ikincidən istifadə etmək vaxtıdır. faydalı məsləhət və hər şeyi mənfi bir ilə çarpın. Çıxır x 2 + 2x - 15 = 0. Dördüncü düsturdan istifadə edərək, diskriminantı hesablamaq lazımdır: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Bu müsbət ədəddir. Yuxarıda deyilənlərdən belə çıxır ki, tənliyin iki kökü var. Onları beşinci düsturla hesablamaq lazımdır. Belə çıxır ki, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Onda x 1 = 3, x 2 = - 5.
Dördüncü tənlik x 2 + 8 + 3x = 0 buna çevrilir: x 2 + 3x + 8 = 0. Onun diskriminantı bu qiymətə bərabərdir: -23. Bu nömrə mənfi olduğundan, bu tapşırığın cavabı aşağıdakı giriş olacaq: "Köklər yoxdur."
Beşinci tənlik 12x + x 2 + 36 = 0 aşağıdakı kimi yenidən yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant üçün düstur tətbiq edildikdən sonra sıfır rəqəmi alınır. Bu o deməkdir ki, onun bir kökü olacaq, yəni: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Altıncı tənlik (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) çevrilmələri tələb edir ki, bu da ilk növbədə mötərizələri açaraq oxşar şərtləri gətirməyinizdən ibarətdir. Birincinin yerinə aşağıdakı ifadə olacaq: x 2 + 2x + 1. Bərabərlikdən sonra bu qeyd görünəcək: x 2 + 3x + 2. Oxşar şərtlər hesablandıqdan sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq: x 2 - x = 0. Natamam oldu. Buna bənzər bir şey artıq bir az yuxarıda müzakirə edilmişdir. Bunun kökləri 0 və 1 rəqəmləri olacaq.
Problemi nəzərdən keçirək. Düzbucaqlının əsası hündürlüyündən 10 sm böyük, sahəsi isə 24 sm²-dir. Düzbucaqlının hündürlüyünü tapın. Qoy X santimetr düzbucaqlının hündürlüyüdür, onda onun əsası bərabərdir ( X+10) sm.Bu düzbucağın sahəsi X(X+ 10) sm². Problemin şərtlərinə görə X(X+ 10) = 24. Mötərizənin açılması və əks işarəli 24 rəqəminin içəriyə köçürülməsi sol tərəf tənliklərdən alırıq: X² + 10 X-24 = 0. Bu məsələni həll edərkən kvadrat adlanan tənlik alındı.
Kvadrat tənlik formanın tənliyidir
balta ²+ bx+c= 0
Harada a, b, c- verilmiş nömrələr və A≠ 0 və X- naməlum.
Oranlar a, b, c Kvadrat tənlik adətən belə adlanır: a- birinci və ya ən yüksək əmsal; b- ikinci əmsal, c- pulsuz üzv. Məsələn, problemimizdə aparıcı əmsal 1, ikinci əmsal 10, sərbəst müddət isə -24-dür. Riyaziyyat və fizikada bir çox məsələlərin həlli kvadrat tənliklərin həllinə gəlir.
Kvadrat tənliklərin həlli
Tam kvadrat tənliklər. İlk addım verilmiş tənliyi standart formaya gətirməkdir balta²+ bx+ c = 0. Tənliyi kimi yazmaq olar məsələmizə qayıdaq X(X+ 10) = 24 standart formaya gətirək, mötərizələri açın X² + 10 X- 24 = 0, bu tənliyi ümumi kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə edərək həll edirik.
Bu düsturda kök işarəsi altında olan ifadə D = diskriminant adlanır b² - 4 ac
Əgər D>0 olarsa, onda kvadrat tənliyin iki fərqli kökü var, onları kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar.
Əgər D=0 olarsa, onda kvadrat tənliyin bir kökü var.
Əgər D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.
Dəyərləri düsturumuza əvəz edək A= 1, b= 10, c= -24.
D>0 alırıq, ona görə də iki kök alırıq.
D=0 olduğu bir nümunəyə baxaq, bu şərtdə bir kök olmalıdır.
25x² — 30 x+ 9 = 0
Məsələni nəzərdən keçirək ki, D<0, при этом условии решения не должно быть.
2x² + 3 x+ 4 = 0
Kök işarəsi (diskriminant) altındakı ədəd mənfidir, cavabı aşağıdakı kimi yazırıq: tənliyin həqiqi kökləri yoxdur.
Natamam kvadrat tənliklərin həlli
Kvadrat tənlik balta² + bx+ c= 0 əmsallardan ən azı biri olarsa natamam adlanır b və ya c sıfıra bərabərdir. Natamam kvadrat tənlik aşağıdakı növlərdən birinin tənliyidir:
balta² = 0,
balta² + c= 0, c≠ 0,
balta² + bx= 0, b≠ 0.
Bir neçə misala baxaq və tənliyi həll edək
Tənliyin hər iki tərəfini 5-ə bölmək tənliyi verir X² = 0, cavabın bir kökü olacaq X= 0.
Formanın tənliyini nəzərdən keçirin
3X² - 27 = 0
Hər iki tərəfi 3-ə bölərək tənliyi əldə edirik X² - 9 = 0 və ya yazıla bilər X² = 9, cavabın iki kökü olacaq X= 3 və X= -3.
Formanın tənliyini nəzərdən keçirin
2X² + 7 = 0
Hər iki tərəfi 2-yə bölərək tənliyi əldə edirik X² = -7/2. Bu tənliyin həqiqi kökləri yoxdur, çünki Xİstənilən real ədəd üçün ² ≥ 0 X.
Formanın tənliyini nəzərdən keçirin
3X² + 5 X= 0
Tənliyin sol tərəfini faktorlaşdıraraq, alırıq X(3X+ 5) = 0, cavabın iki kökü olacaq X= 0, X=-5/3.
Kvadrat tənlikləri həll edərkən ən vacib şey kvadrat tənliyi standart formaya gətirmək, ümumi kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturları əzbərləmək və işarələrdə çaşqınlıq yaratmamaqdır.
“Tənliklərin həlli” mövzusunu davam etdirərək, bu məqalədəki material sizi kvadrat tənliklərlə tanış edəcək.
Gəlin hər şeyi ətraflı nəzərdən keçirək: kvadrat tənliyin mahiyyəti və qeydi, müşayiət olunan şərtləri müəyyənləşdirin, natamam və tam tənliklərin həlli sxemini təhlil edin, köklər və diskriminant düsturu ilə tanış olun, köklər və əmsallar arasında əlaqə qurun, və təbii ki, biz praktiki nümunələrə vizual bir həll verəcəyik.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kvadrat tənlik, onun növləri
Tərif 1Kvadrat tənlik kimi yazılmış tənlikdir a x 2 + b x + c = 0, Harada x– dəyişən, a, b və c– bəzi rəqəmlər, hələ a sıfır deyil.
Çox vaxt kvadrat tənliklərə ikinci dərəcəli tənliklər də deyilir, çünki mahiyyətcə kvadrat tənlik ikinci dərəcəli cəbr tənliyidir.
Verilmiş tərifi göstərmək üçün misal verək: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 və s. Bunlar kvadrat tənliklərdir.
Tərif 2
a, b və rəqəmləri c kvadrat tənliyin əmsallarıdır a x 2 + b x + c = 0, əmsal olarkən a birinci və ya böyük adlanır və ya x 2-də əmsal, b - ikinci əmsal və ya əmsalda x, A c pulsuz üzv çağırılır.
Məsələn, kvadrat tənlikdə 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 aparıcı əmsal 6, ikinci əmsaldır − 2 , sərbəst müddət isə bərabərdir − 11 . Nə vaxt əmsallar olduğuna diqqət yetirək b və/və ya c mənfi olduqda formanın qısa formasından istifadə olunur 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, amma yox 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Bu cəhəti də aydınlaşdıraq: əgər əmsallar a və/və ya b bərabərdir 1 və ya − 1 , onda onlar kvadrat tənliyin yazılmasında açıq iştirak edə bilməzlər ki, bu da göstərilən ədədi əmsalların yazılmasının xüsusiyyətləri ilə izah olunur. Məsələn, kvadrat tənlikdə y 2 − y + 7 = 0 aparıcı əmsal 1, ikinci əmsal isə − 1 .
Azaldılmış və azaldılmamış kvadrat tənliklər
Birinci əmsalın qiymətinə əsasən kvadrat tənliklər azaldılmış və azaldılmamış bölünür.
Tərif 3
Qısaldılmış kvadrat tənlik aparıcı əmsalı 1 olan kvadratik tənlikdir. Aparıcı əmsalın digər dəyərləri üçün kvadrat tənlik azaldılmamışdır.
Nümunələr verək: kvadrat tənliklər x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, hər birində aparıcı əmsalı 1-dir.
9 x 2 − x − 2 = 0- birinci əmsalın fərqli olduğu azaldılmamış kvadrat tənlik 1 .
İstənilən azaldılmamış kvadrat tənliyi hər iki tərəfi birinci əmsala (ekvivalent çevrilmə) bölmək yolu ilə azaldılmış tənliyə çevrilə bilər. Dəyişdirilmiş tənliyin verilmiş azaldılmamış tənliklə eyni kökləri olacaq və ya heç kökləri olmayacaq.
Konkret bir nümunənin nəzərdən keçirilməsi bizə azaldılmamış kvadrat tənlikdən azaldılmış tənliyə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirməyə imkan verəcəkdir.
Misal 1
6 x 2 + 18 x − 7 = 0 tənliyi verilmişdir . Orijinal tənliyi kiçildilmiş formaya çevirmək lazımdır.
Həll
Yuxarıdakı diaqrama görə, hər iki hissəni ayırırıq orijinal tənlikən yüksək əmsalla 6. Sonra alırıq: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, və bu eynidir: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 və daha çox: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Beləliklə, verilənə ekvivalent bir tənlik əldə edilir.
Cavab: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Tam və natamam kvadrat tənliklər
Kvadrat tənliyin tərifinə keçək. Orada bunu qeyd etdik a ≠ 0. Bənzər bir şərt tənlik üçün lazımdır a x 2 + b x + c = 0 zamandan bəri dəqiq kvadrat idi a = 0 mahiyyətcə xətti tənliyə çevrilir b x + c = 0.
əmsalların olduğu halda b Və c sıfıra bərabərdir (həm fərdi, həm də birlikdə mümkündür), kvadrat tənlik natamam adlanır.
Tərif 4
Natamam kvadrat tənlik- belə bir kvadrat tənlik a x 2 + b x + c = 0, burada əmsallardan ən azı biri b Və c(və ya hər ikisi) sıfırdır.
Tam kvadrat tənliyi– bütün ədədi əmsalların sıfıra bərabər olmadığı kvadratik tənlik.
Kvadrat tənliklərin növlərinə niyə məhz bu adlar verildiyini müzakirə edək.
b = 0 olduqda kvadrat tənlik formasını alır a x 2 + 0 x + c = 0 ilə eynidir a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadrat tənlik kimi yazılır a x 2 + b x + 0 = 0, ekvivalentdir a x 2 + b x = 0. At b = 0 Və c = 0 tənlik formasını alacaq a x 2 = 0. Əldə etdiyimiz tənliklər tam kvadrat tənlikdən onunla fərqlənir ki, onların sol tərəflərində nə x dəyişənli həddi, nə də sərbəst həddi və ya hər ikisini ehtiva etmir. Əslində, bu fakt bu tip tənliyin adını verdi - natamam.
Məsələn, x 2 + 3 x + 4 = 0 və − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam kvadrat tənliklərdir; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – natamam kvadrat tənliklər.
Natamam kvadrat tənliklərin həlli
Yuxarıda verilmiş tərif aşağıdakı natamam kvadrat tənlik növlərini ayırmağa imkan verir:
- a x 2 = 0, bu tənlik əmsallara uyğundur b = 0 və c = 0;
- a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 at c = 0.
Natamam kvadrat tənliyin hər bir növünün həllini ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.
a x 2 =0 tənliyinin həlli
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu tənlik əmsallara uyğundur b Və c, sıfıra bərabərdir. tənlik a x 2 = 0 ekvivalent tənliyə çevrilə bilər x 2 = 0, orijinal tənliyin hər iki tərəfini ədədə bölməklə əldə edirik a, sıfıra bərabər deyil. Aşkar fakt budur ki, tənliyin kökü x 2 = 0 bu sıfırdır, çünki 0 2 = 0 . Bu tənliyin başqa heç bir kökü yoxdur, bunu dərəcənin xüsusiyyətləri ilə izah etmək olar: istənilən ədəd üçün p, sıfıra bərabər deyil, bərabərsizlik doğrudur p 2 > 0, buradan nə zaman ki, belə çıxır p ≠ 0 bərabərlik p 2 = 0 heç vaxt nail olmayacaq.
Tərif 5
Beləliklə, a x 2 = 0 natamam kvadrat tənliyi üçün unikal kök var x = 0.
Misal 2
Məsələn, natamam kvadrat tənliyi həll edək − 3 x 2 = 0. Bu tənliyə bərabərdir x 2 = 0, onun yeganə köküdür x = 0, onda ilkin tənliyin tək kökü var - sıfır.
Qısaca həll yolu aşağıdakı kimi yazılır:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
a x 2 + c = 0 tənliyinin həlli
Növbəti sırada natamam kvadrat tənliklərin həlli durur, burada b = 0, c ≠ 0, yəni formalı tənliklər a x 2 + c = 0. Bu tənliyi tənliyin bir tərəfindən digər tərəfinə köçürərək, işarəsini əks tərəfə dəyişdirərək və tənliyin hər iki tərəfini sıfıra bərabər olmayan ədədə bölməklə bu tənliyi çevirək:
- transfer c tənliyi verən sağ tərəfə a x 2 = − c;
- bərabərliyin hər iki tərəfini bölün a, biz x = - c a ilə bitiririk.
Çevrilmələrimiz ekvivalentdir; müvafiq olaraq, əldə edilən tənlik də orijinala bərabərdir və bu fakt tənliyin kökləri haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir. Dəyərlərin nə olmasından a Və c ifadənin dəyəri - c a asılıdır: onun mənfi işarəsi ola bilər (məsələn, əgər a = 1 Və c = 2, onda - c a = - 2 1 = - 2) və ya artı işarəsi (məsələn, əgər a = − 2 Və c = 6, onda - c a = - 6 - 2 = 3); sıfır deyil, çünki c ≠ 0. Gəlin vəziyyətlər üzərində daha ətraflı dayanaq - c a< 0 и - c a > 0 .
halda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа səh p 2 = - c a bərabərliyi doğru ola bilməz.
- c a > 0 olduqda hər şey fərqlidir: kvadrat kökü xatırlayın və məlum olacaq ki, x 2 = - c a tənliyinin kökü - c a olacaq, çünki - c a 2 = - c a. Anlamaq çətin deyil ki, - - c a ədədi həm də x 2 = - c a tənliyinin köküdür: doğrudan da, - - c a 2 = - c a.
Tənliyin başqa kökləri olmayacaq. Biz bunu ziddiyyət metodundan istifadə edərək nümayiş etdirə bilərik. Başlamaq üçün yuxarıda tapılan köklər üçün qeydləri müəyyən edək x 1 Və − x 1. Tutaq ki, x 2 = - c a tənliyinin də kökü var x 2, köklərdən fərqli olan x 1 Və − x 1. Bunu tənliyə əvəz etməklə bilirik x onun kökləri ilə tənliyi ədalətli ədədi bərabərliyə çeviririk.
üçün x 1 Və − x 1 yazırıq: x 1 2 = - c a , və üçün x 2- x 2 2 = - c a . Ədədi bərabərliklərin xassələrinə əsaslanaraq, bir düzgün bərabərlik terminini digərindən terminlə çıxarırıq, bu bizə verəcəkdir: x 1 2 − x 2 2 = 0. Son bərabərliyi kimi yenidən yazmaq üçün rəqəmlərlə əməliyyatların xassələrindən istifadə edirik (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Məlumdur ki, iki ədədin hasili sıfıra bərabərdir, o zaman və yalnız ədədlərdən ən azı biri sıfırdır. Yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır x 1 − x 2 = 0 və/və ya x 1 + x 2 = 0, eynidir x 2 = x 1 və/və ya x 2 = − x 1. Aşkar bir ziddiyyət yarandı, çünki əvvəlcə tənliyin kökü razılaşdırıldı x 2-dən fərqlənir x 1 Və − x 1. Beləliklə, biz sübut etdik ki, tənliyin x = - c a və x = - - c a-dan başqa kökləri yoxdur.
Yuxarıdakı bütün arqumentləri ümumiləşdirək.
Tərif 6
Natamam kvadrat tənlik a x 2 + c = 0 x 2 = - c a tənliyinə ekvivalentdir, hansı ki:
- kökləri olmayacaq - c a< 0 ;
- - c a > 0 üçün x = - c a və x = - - c a üçün iki kök olacaq.
Tənliklərin həllinə dair nümunələr verək a x 2 + c = 0.
Misal 3
Kvadrat tənlik verilmişdir 9 x 2 + 7 = 0. Bunun həllini tapmaq lazımdır.
Həll
Sərbəst termini tənliyin sağ tərəfinə keçirək, onda tənlik formasını alacaq 9 x 2 = − 7.
Əldə edilən tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölək 9
, biz x 2 = - 7 9-a çatırıq. Sağ tərəfdə mənfi işarəsi olan bir ədəd görürük, yəni: verilmiş tənliyin kökləri yoxdur. Sonra orijinal natamam kvadrat tənlik 9 x 2 + 7 = 0 kökləri olmayacaq.
Cavab: tənlik 9 x 2 + 7 = 0 kökləri yoxdur.
Misal 4
Tənliyi həll etmək lazımdır − x 2 + 36 = 0.
Həll
36-nı sağ tərəfə keçirək: − x 2 = − 36.
Gəlin hər iki hissəni bölək − 1
, alırıq x 2 = 36. Sağ tərəfdə müsbət bir rəqəm var, ondan nəticə çıxara bilərik
x = 36 və ya
x = - 36.
Gəlin kökü çıxaraq və yekun nəticəni yazaq: natamam kvadrat tənlik − x 2 + 36 = 0 iki kökü var x=6 və ya x = − 6.
Cavab: x=6 və ya x = − 6.
a x 2 +b x=0 tənliyinin həlli
Natamam kvadrat tənliklərin üçüncü növünü təhlil edək, zaman c = 0. Natamam kvadrat tənliyin həllini tapmaq a x 2 + b x = 0, faktorizasiya metodundan istifadə edəcəyik. Mötərizədə ortaq amili çıxararaq, tənliyin sol tərəfində olan çoxhədlini faktorlara ayıraq. x. Bu addım orijinal natamam kvadrat tənliyi onun ekvivalentinə çevirməyə imkan verəcəkdir x (a x + b) = 0. Və bu tənlik də öz növbəsində tənliklər toplusuna bərabərdir x = 0 Və a x + b = 0. tənlik a x + b = 0 xətti və onun kökü: x = − b a.
Tərif 7
Beləliklə, natamam kvadrat tənlik a x 2 + b x = 0 iki kök olacaq x = 0 Və x = − b a.
Materialı bir nümunə ilə gücləndirək.
Misal 5
2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 tənliyinin həllini tapmaq lazımdır.
Həll
Çıxaracağıq x mötərizənin xaricində x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 tənliyini alırıq. Bu tənlik tənliklərə bərabərdir x = 0 və 2 3 x - 2 2 7 = 0. İndi ortaya çıxan xətti tənliyi həll etməlisiniz: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Tənliyin həllini aşağıdakı kimi qısaca yazın:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 və ya 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 və ya x = 3 3 7
Cavab: x = 0, x = 3 3 7.
Diskriminant, kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur
Kvadrat tənliklərin həllini tapmaq üçün kök düsturu var:
Tərif 8
x = - b ± D 2 · a, burada D = b 2 − 4 a c– kvadrat tənliyin sözdə diskriminantı.
x = - b ± D 2 · a yazmaq mahiyyətcə x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a deməkdir.
Bu formulun necə əldə edildiyini və necə tətbiq olunacağını başa düşmək faydalı olardı.
Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun çıxarılması
Kvadrat tənliyi həll etmək tapşırığı ilə qarşılaşaq a x 2 + b x + c = 0. Bir sıra ekvivalent çevrilmələri həyata keçirək:
- tənliyin hər iki tərəfini ədədə bölün a, sıfırdan fərqli olaraq aşağıdakı kvadrat tənliyi əldə edirik: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- vurğulayaq mükəmməl kvadrat yaranan tənliyin sol tərəfində:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Bundan sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - İndi işarəni əksinə dəyişdirərək, son iki şərti sağ tərəfə köçürmək mümkündür, bundan sonra alırıq: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Nəhayət, sonuncu bərabərliyin sağ tərəfində yazılmış ifadəni çeviririk:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .
Beləliklə, ilkin tənliyə ekvivalent olan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tənliyinə gəlirik. a x 2 + b x + c = 0.
Belə tənliklərin həllini əvvəlki paraqraflarda (natamam kvadrat tənliklərin həlli) araşdırdıq. Artıq əldə edilmiş təcrübə x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tənliyinin kökləri ilə bağlı nəticə çıxarmağa imkan verir:
- b 2 - 4 a c 4 a 2 ilə< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 olduqda tənlik x + b 2 · a 2 = 0 olar, onda x + b 2 · a = 0 olar.
Buradan yeganə kök x = - b 2 · a aydındır;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 üçün aşağıdakılar doğru olacaq: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 və ya x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , bu da x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 və ya x = - b 2 · a - b 2 - 4 ilə eynidir. · a · c 4 · a 2, yəni. tənliyin iki kökü var.
Belə nəticəyə gəlmək olar ki, x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (və deməli, ilkin tənlik) tənliyinin köklərinin olub-olmaması b ifadəsinin işarəsindən asılıdır. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sağ tərəfdə yazılmışdır. Və bu ifadənin işarəsi payın işarəsi ilə verilir, (məxrəc 4 a 2 həmişə müsbət olacaq) yəni ifadənin işarəsi b 2 − 4 a c. Bu ifadə b 2 − 4 a c ad verilir - kvadrat tənliyin diskriminantı və onun təyinatı kimi D hərfi müəyyən edilir. Burada diskriminantın mahiyyətini yaza bilərsiniz - onun dəyərinə və işarəsinə əsasən onlar kvadrat tənliyin həqiqi köklərə sahib olub-olmayacağına dair nəticəyə gələ bilərlər və əgər varsa, köklərin sayı nə qədərdir - bir və ya iki.
x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tənliyinə qayıdaq. Diskriminant qeydindən istifadə edərək onu yenidən yazaq: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Nəticələrimizi yenidən formalaşdıraq:
Tərif 9
- saat D< 0 tənliyin həqiqi kökləri yoxdur;
- saat D=0 tənliyin tək kökü var x = - b 2 · a ;
- saat D > 0 tənliyin iki kökü var: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 və ya x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Radikalların xassələrinə əsasən bu kökləri aşağıdakı formada yazmaq olar: x = - b 2 · a + D 2 · a və ya - b 2 · a - D 2 · a. Və modulları açıb kəsrləri ortaq məxrəcə gətirəndə alırıq: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Beləliklə, mülahizəmizin nəticəsi kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun əldə edilməsi oldu:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D düsturu ilə hesablanır D = b 2 − 4 a c.
Bu düsturlar diskriminant sıfırdan böyük olduqda hər iki həqiqi kökü təyin etməyə imkan verir. Diskriminant sıfır olduqda, hər iki düsturun tətbiqi kvadrat tənliyin yeganə həlli ilə eyni kök verəcəkdir. Diskriminantın mənfi olduğu halda, kvadrat tənliyin kökü üçün düsturdan istifadə etməyə çalışsaq, çıxarmaq ehtiyacı ilə qarşılaşacağıq. Kvadrat kök bizi real ədədlərdən kənara çıxaracaq mənfi bir ədəddən. Mənfi bir diskriminant ilə kvadrat tənliyin həqiqi kökləri olmayacaq, lakin əldə etdiyimiz eyni kök düsturları ilə təyin olunan bir cüt mürəkkəb birləşmə kökləri mümkündür.
Kök düsturlarından istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi
Kök düsturundan dərhal istifadə etməklə kvadrat tənliyi həll etmək mümkündür, lakin bu, ümumiyyətlə, mürəkkəb kökləri tapmaq lazım olduqda edilir.
Əksər hallarda bu, adətən, mürəkkəb deyil, kvadrat tənliyin həqiqi köklərini axtarmaq deməkdir. Onda optimaldır, kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlardan istifadə etməzdən əvvəl əvvəlcə diskriminantı təyin etmək və onun mənfi olmadığına əmin olmaq (əks halda tənliyin həqiqi kökləri olmadığı qənaətinə gələcəyik) və sonra tənliyi hesablamağa davam etmək optimaldır. köklərin dəyəri.
Yuxarıdakı əsaslandırma kvadrat tənliyin həlli üçün alqoritm yaratmağa imkan verir.
Tərif 10
Kvadrat tənliyi həll etmək üçün a x 2 + b x + c = 0, zəruri:
- formuluna görə D = b 2 − 4 a c diskriminant dəyərini tapın;
- D-də< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- D = 0 üçün x = - b 2 · a düsturundan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü tapın;
- D > 0 üçün x = - b ± D 2 · a düsturu ilə kvadrat tənliyin iki həqiqi kökünü təyin edin.
Qeyd edək ki, diskriminant sıfır olduqda, x = - b ± D 2 · a düsturundan istifadə edə bilərsiniz, o, x = - b 2 · a düsturu ilə eyni nəticəni verəcəkdir.
Nümunələrə baxaq.
Kvadrat tənliklərin həlli nümunələri
Diskriminantın müxtəlif dəyərləri üçün nümunələrə həll yolları verək.
Misal 6
Tənliyin köklərini tapmalıyıq x 2 + 2 x − 6 = 0.
Həll
Kvadrat tənliyin ədədi əmsallarını yazaq: a = 1, b = 2 və c = − 6. Sonra alqoritmə uyğun olaraq davam edirik, yəni. Diskriminantı hesablamağa başlayaq, bunun üçün a, b əmsallarını əvəz edəcəyik. Və c diskriminant formuluna: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Beləliklə, biz D > 0 alırıq, bu o deməkdir ki, ilkin tənliyin iki həqiqi kökü olacaq.
Onları tapmaq üçün x = - b ± D 2 · a kök düsturundan istifadə edirik və müvafiq dəyərləri əvəz edərək əldə edirik: x = - 2 ± 28 2 · 1. Amili kök işarəsindən çıxararaq, sonra kəsri azaltmaqla nəticələnən ifadəni sadələşdirək:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 və ya x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 və ya x = - 1 - 7
Cavab: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .
Misal 7
Kvadrat tənliyi həll etmək lazımdır − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Həll
Diskriminantı təyin edək: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu qiyməti ilə ilkin tənliyin x = - b 2 · a düsturu ilə təyin olunan yalnız bir kökü olacaq.
x = - 28 2 (- 4) x = 3.5
Cavab: x = 3.5.
Misal 8
Tənliyi həll etmək lazımdır 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Həll
Bu tənliyin ədədi əmsalları belə olacaq: a = 5, b = 6 və c = 2. Diskriminant tapmaq üçün bu dəyərlərdən istifadə edirik: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesablanmış diskriminant mənfidir, ona görə də ilkin kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur.
Vəzifə mürəkkəb kökləri göstərmək olduqda, mürəkkəb nömrələrlə hərəkətlər edərək kök düsturunu tətbiq edirik:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 və ya x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i və ya x = - 3 5 - 1 5 · i.
Cavab:əsl köklər yoxdur; mürəkkəb köklər aşağıdakılardır: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
IN məktəb kurikulumu Mürəkkəb kökləri axtarmaq üçün standart tələb yoxdur, buna görə də həll zamanı diskriminantın mənfi olduğu müəyyən edilərsə, dərhal həqiqi köklərin olmadığı cavabı yazılır.
Hətta ikinci əmsallar üçün kök düsturu
Kök düsturu x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) x üçün bərabər əmsalı olan kvadrat tənliklərin həllini tapmağa imkan verən daha yığcam başqa bir düstur əldə etməyə imkan verir. və ya 2 · n formasının əmsalı ilə, məsələn, 2 3 və ya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu düsturun necə əldə edildiyini göstərək.
a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 kvadrat tənliyinin həllini tapmaq vəzifəsi ilə qarşılaşaq. Alqoritmə uyğun olaraq davam edirik: D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 - a c) diskriminantını təyin edirik və sonra kök düsturundan istifadə edirik:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
n 2 − a · c ifadəsi D 1 kimi işarələnsin (bəzən onu D " işarəsi ilə qeyd edirlər). Onda ikinci əmsalı 2 · n olan baxılan kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur aşağıdakı formanı alacaq:
x = - n ± D 1 a, burada D 1 = n 2 − a · c.
D = 4 · D 1 və ya D 1 = D 4 olduğunu görmək asandır. Başqa sözlə, D 1 diskriminantın dörddə birini təşkil edir. Aydındır ki, D 1 işarəsi D işarəsi ilə eynidir, yəni D 1 işarəsi kvadrat tənliyin köklərinin olub-olmamasının göstəricisi kimi də xidmət edə bilər.
Tərif 11
Beləliklə, ikinci əmsalı 2 n olan kvadrat tənliyin həllini tapmaq üçün lazımdır:
- tapmaq D 1 = n 2 − a · c ;
- D 1-də< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 = 0 olduqda, x = - n a düsturundan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü təyin edin;
- D 1 > 0 üçün x = - n ± D 1 a düsturundan istifadə edərək iki həqiqi kök təyin edin.
Misal 9
5 x 2 − 6 x − 32 = 0 kvadrat tənliyini həll etmək lazımdır.
Həll
Verilmiş tənliyin ikinci əmsalını 2 · (− 3) kimi təqdim edə bilərik. Sonra verilmiş kvadrat tənliyi 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 şəklində yenidən yazırıq, burada a = 5, n = − 3 və c = − 32.
Diskriminantın dördüncü hissəsini hesablayaq: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Nəticədə alınan dəyər müsbətdir, yəni tənliyin iki həqiqi kökü var. Müvafiq kök düsturundan istifadə edərək onları müəyyən edək:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 və ya x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 və ya x = - 2
Kvadrat tənliyin kökləri üçün adi düsturdan istifadə edərək hesablamalar aparmaq mümkün olardı, lakin bu halda həll daha çətin olardı.
Cavab: x = 3 1 5 və ya x = - 2.
Kvadrat tənliklərin formasının sadələşdirilməsi
Bəzən köklərin hesablanması prosesini asanlaşdıracaq orijinal tənliyin formasını optimallaşdırmaq mümkündür.
Məsələn, 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 kvadrat tənliyini həll etmək 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0-dan daha əlverişlidir.
Daha tez-tez kvadrat tənliyin formasının sadələşdirilməsi onun hər iki tərəfini müəyyən bir ədədə vurmaq və ya bölmək yolu ilə həyata keçirilir. Məsələn, yuxarıda hər iki tərəfi 100-ə bölməklə əldə edilən 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 tənliyinin sadələşdirilmiş təsvirini göstərdik.
Belə çevrilmə o zaman mümkündür ki, kvadrat tənliyin əmsalları ümumi ədədlər deyil. Sonra adətən tənliyin hər iki tərəfini ən böyük ortaq bölənə bölürük mütləq dəyərlər onun əmsalları.
Nümunə olaraq 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 kvadrat tənliyindən istifadə edirik. Onun əmsallarının mütləq qiymətlərinin GCD-ni təyin edək: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. İlkin kvadrat tənliyin hər iki tərəfini 6-ya bölək və 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 ekvivalent kvadrat tənliyini alaq.
Kvadrat tənliyin hər iki tərəfini vurmaqla siz adətən kəsr əmsallarından xilas olursunuz. Bu halda onlar onun əmsallarının məxrəclərinin ən kiçik ümumi qatına vurulur. Məsələn, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 kvadrat tənliyinin hər bir hissəsi LCM (6, 3, 1) = 6 ilə vurularsa, daha çox yazılacaq. sadə formada x 2 + 4 x − 18 = 0 .
Nəhayət, qeyd edirik ki, biz demək olar ki, həmişə kvadrat tənliyin birinci əmsalındakı mənfidən tənliyin hər bir üzvünün işarələrini dəyişdirməklə xilas oluruq ki, bu da hər iki tərəfi - 1-ə vurmaqla (və ya bölmək) əldə edilir. Məsələn, − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 kvadrat tənliyindən onun sadələşdirilmiş versiyasına keçə bilərsiniz 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.
Köklər və əmsallar arasında əlaqə
Kvadrat tənliklərin kökləri üçün artıq bizə məlum olan x = - b ± D 2 · a düsturu tənliyin köklərini ədədi əmsalları vasitəsilə ifadə edir. Güvənərək bu formula, biz köklər və əmsallar arasında digər asılılıqları müəyyən etmək imkanımız var.
Ən məşhur və tətbiq olunan düsturlar Vyeta teoremidir:
x 1 + x 2 = - b a və x 2 = c a.
Xüsusilə, verilmiş kvadrat tənlik üçün köklərin cəmi əks işarəli ikinci əmsal, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir. Məsələn, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 kvadrat tənliyinin formasına baxaraq dərhal müəyyən etmək olar ki, onun köklərinin cəmi 7 3, köklərin hasili isə 22 3-dür.
Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında bir sıra digər əlaqələri də tapa bilərsiniz. Məsələn, kvadrat tənliyin köklərinin kvadratlarının cəmini əmsallarla ifadə etmək olar:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
