Diskriminantdan istifadə edərək natamam kvadrat tənlikləri necə həll etmək olar. Kvadrat tənlik, onun növləri

“Kvadrat tənlik” terminində açar söz “kvadrat”dır. Bu o deməkdir ki, tənlik mütləq dəyişən (eyni x) kvadratı ehtiva etməlidir və üçüncü (və ya daha böyük) gücə xes olmamalıdır.

Bir çox tənliklərin həlli dəqiq həllinə gəlir kvadrat tənliklər.

Gəlin bunun başqa bir tənlik deyil, kvadrat tənlik olduğunu müəyyən etməyi öyrənək.

Misal 1.

Məxrəcdən xilas olaq və tənliyin hər bir üzvünə vuraq

Gəlin hər şeyi sol tərəfə keçirək və şərtləri X-in səlahiyyətlərinin azalan ardıcıllığı ilə düzək

İndi əminliklə deyə bilərik ki, bu tənlik kvadratdır!

Misal 2.

Sol və sağ tərəfləri çarpın:

Bu tənlik, əvvəlcə onun içində olsa da, kvadratik deyil!

Misal 3.

Hər şeyi çoxaldaq:

Qorxulu? Dördüncü və ikinci dərəcələr... Ancaq əvəz etsək, sadə kvadrat tənliyimiz olduğunu görərik:

Misal 4.

Deyəsən oradadır, amma gəlin daha yaxından nəzər salaq. Hər şeyi sola keçirək:

Baxın, azaldılıb - indi isə sadə xətti tənlikdir!

İndi özünüz aşağıdakı tənliklərdən hansının kvadratik, hansının isə olmadığını müəyyən etməyə çalışın:

Nümunələr:

Cavablar:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. kvadrat deyil;
4. kvadrat deyil;
5. kvadrat deyil;
6. kvadrat;
7. kvadrat deyil;
8. kvadrat.

Riyaziyyatçılar şərti olaraq bütün kvadrat tənlikləri aşağıdakı növlərə bölürlər:

• Tam kvadrat tənliklər- əmsallarının və, həmçinin sərbəst c termininin sıfıra bərabər olmadığı tənliklər (nümunədə olduğu kimi). Bundan əlavə, tam kvadrat tənliklər arasında var verilmişdir- bunlar əmsalın olduğu tənliklərdir (birinci nümunədəki tənlik yalnız tam deyil, həm də azaldılmışdır!)

• Natamam kvadrat tənliklər- əmsalın və ya sərbəst c termininin sıfıra bərabər olduğu tənliklər:

  Onlar natamamdır, çünki bəzi elementləri əskik edirlər. Ancaq tənlik həmişə x kvadratından ibarət olmalıdır!!! Əks halda, o, artıq kvadrat tənlik deyil, başqa bir tənlik olacaq.

Niyə belə bir bölgü ilə gəldilər? Belə görünür ki, X kvadratı var və tamam. Bu bölgü həll üsulları ilə müəyyən edilir. Onların hər birinə daha ətraflı baxaq.

Natamam kvadrat tənliklərin həlli

Əvvəlcə natamam kvadrat tənliklərin həllinə diqqət yetirək - onlar daha sadədir!

Natamam kvadrat tənliklərin növləri var:

1. , bu tənlikdə əmsal bərabərdir.
2. , bu tənlikdə sərbəst müddət bərabərdir.
3. , bu tənlikdə əmsal və sərbəst müddət bərabərdir.

1. i. Çünki biz necə çıxarmağı bilirik Kvadrat kök, onda bu tənlikdən ifadə edək

İfadə mənfi və ya müsbət ola bilər. Kvadrat ədəd mənfi ola bilməz, çünki iki mənfi və ya iki müsbət ədədi vurduqda nəticə həmişə müsbət ədəd olacaqdır, belə ki: əgər, onda tənliyin həlli yoxdur.

Və əgər, onda iki kök alırıq. Bu düsturları əzbərləməyə ehtiyac yoxdur. Əsas odur ki, siz bilməli və həmişə yadda saxlamalısınız ki, bundan az ola bilməz.

Bəzi nümunələri həll etməyə çalışaq.

Misal 5:

Tənliyi həll edin

İndi yalnız sol və sağ tərəfdən kök çıxarmaq qalır. Axı, kökləri necə çıxarmaq lazım olduğunu xatırlayırsınız?

Cavab:

Mənfi işarəsi olan kökləri heç vaxt unutma!!!

Misal 6:

Tənliyi həll edin

Cavab:

Misal 7:

Tənliyi həll edin

Oh! Ədədin kvadratı mənfi ola bilməz, yəni tənlik

kök yoxdur!

Kökləri olmayan belə tənliklər üçün riyaziyyatçılar xüsusi bir işarə ilə gəldilər - (boş dəst). Və cavabı belə yazmaq olar:

Cavab:

Beləliklə, bu kvadrat tənliyin iki kökü var. Kökü çıxarmadığımız üçün burada heç bir məhdudiyyət yoxdur.
Misal 8:

Tənliyi həll edin

Mötərizədə ümumi faktoru çıxaraq:

Beləliklə,

Bu tənliyin iki kökü var.

Cavab:

Natamam kvadrat tənliklərin ən sadə növü (hamısı sadə olsa da, elə deyilmi?). Aydındır ki, bu tənliyin həmişə yalnız bir kökü var:

Biz burada misallardan imtina edəcəyik.

Tam kvadrat tənliklərin həlli

Xatırladırıq ki, tam kvadrat tənlik buradakı forma tənliyinin tənliyidir

Tam kvadrat tənlikləri həll etmək bunlardan bir az daha çətindir (bir az).

Unutma, İstənilən kvadrat tənliyi diskriminantdan istifadə etməklə həll etmək olar! Hətta natamam.

Digər üsullar bunu daha sürətli etməyə kömək edəcək, lakin kvadrat tənliklərlə bağlı probleminiz varsa, əvvəlcə diskriminantdan istifadə edərək həlli mənimsəyin.

1. Diskriminantdan istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli.

Bu üsuldan istifadə edərək kvadrat tənliklərin həlli çox sadədir, əsas odur ki, hərəkətlərin ardıcıllığını və bir neçə düsturları xatırlayın.

Əgər, onda tənliyin kökü var. Xüsusi diqqət addım atın. Diskriminant () bizə tənliyin köklərinin sayını bildirir.

• Əgər, onda addımdakı düstur azalacaq. Beləliklə, tənliyin yalnız bir kökü olacaq.
• Əgər, onda biz addımda diskriminantın kökünü çıxara bilməyəcəyik. Bu, tənliyin heç bir kökünün olmadığını göstərir.

Gəlin tənliklərimizə qayıdaq və bəzi nümunələrə baxaq.

Misal 9:

Tənliyi həll edin

Addım 1 atlayırıq.

Addım 2.

Diskriminant tapırıq:

Bu o deməkdir ki, tənliyin iki kökü var.

Addım 3.

Cavab:

Misal 10:

Tənliyi həll edin

Tənlik standart formada təqdim olunur, belə ki Addım 1 atlayırıq.

Addım 2.

Diskriminant tapırıq:

Bu o deməkdir ki, tənliyin bir kökü var.

Cavab:

Misal 11:

Tənliyi həll edin

Tənlik standart formada təqdim olunur, belə ki Addım 1 atlayırıq.

Addım 2.

Diskriminant tapırıq:

Bu o deməkdir ki, biz diskriminantın kökünü çıxara bilməyəcəyik. Tənliyin kökləri yoxdur.

İndi bu cür cavabları necə düzgün yazacağımızı bilirik.

Cavab: kökləri yoxdur

2. Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənliklərin həlli.

Xatırlayırsınızsa, azaldılmış adlanan bir tənlik növü var (a əmsalı bərabər olduqda):

Belə tənlikləri Vyeta teoremi ilə həll etmək çox asandır:

Köklərin cəmi verilmişdir kvadrat tənlik bərabərdir və köklərin hasili bərabərdir.

Misal 12:

Tənliyi həll edin

Bu tənliyi Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll etmək olar, çünki .

Tənliyin köklərinin cəmi bərabərdir, yəni. birinci tənliyi alırıq:

Və məhsul bərabərdir:

Sistemi tərtib edib həll edək:

• Və. Məbləğ bərabərdir;
• Və. Məbləğ bərabərdir;
• Və. Məbləğ bərabərdir.

və sistemin həlli:

Cavab: ; .

Misal 13:

Tənliyi həll edin

Cavab:

Misal 14:

Tənliyi həll edin

Tənlik verilmişdir, yəni:

Cavab:

Kvadrat TƏNLƏR. ORTA SƏVİYYƏ

Kvadrat tənlik nədir?

Başqa sözlə, kvadrat tənlik formanın tənliyidir, burada - naməlum, - bəzi ədədlər və.

Rəqəm ən yüksək və ya adlanır birinci əmsal kvadrat tənlik, - ikinci əmsal, A - pulsuz üzv.

Niyə? Çünki tənlik dərhal xətti olarsa, çünki yox olacaq.

Bu vəziyyətdə və sıfıra bərabər ola bilər. Bu kafedrada tənlik natamam adlanır. Bütün şərtlər yerindədirsə, yəni tənlik tamamlanır.

Müxtəlif növ kvadrat tənliklərin həlli

Natamam kvadrat tənliklərin həlli üsulları:

Əvvəlcə natamam kvadrat tənliklərin həlli üsullarına baxaq - onlar daha sadədir.

Aşağıdakı tənlik növlərini ayırd edə bilərik:

I., bu tənlikdə əmsal və sərbəst müddət bərabərdir.

II. , bu tənlikdə əmsal bərabərdir.

III. , bu tənlikdə sərbəst müddət bərabərdir.

İndi bu alt tiplərin hər birinin həllinə baxaq.

Aydındır ki, bu tənliyin həmişə yalnız bir kökü var:

Kvadrat ədəd mənfi ola bilməz, çünki iki mənfi və ya iki müsbət ədədi vurduğunuzda nəticə həmişə müsbət ədəd olacaqdır. Buna görə də:

əgər, onda tənliyin həlli yoxdur;

iki kökümüz varsa

Bu düsturları əzbərləməyə ehtiyac yoxdur. Əsas odur ki, daha az ola bilməz.

Nümunələr:

Həll yolları:

Cavab:

Mənfi işarəsi olan kökləri heç vaxt unutma!

Ədədin kvadratı mənfi ola bilməz, yəni tənlik

kökləri yoxdur.

Problemin həlli olmadığını qısaca yazmaq üçün boş dəst işarəsindən istifadə edirik.

Cavab:

Beləliklə, bu tənliyin iki kökü var: və.

Cavab:

Mötərizədə ümumi faktoru çıxaraq:

Faktorlardan ən azı biri sıfıra bərabər olarsa, məhsul sıfıra bərabərdir. Bu o deməkdir ki, tənliyin həlli aşağıdakı hallarda olur:

Deməli, bu kvadrat tənliyin iki kökü var: və.

Misal:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Tənliyin sol tərəfini faktorlara ayıraq və kökləri tapaq:

Cavab:

Tam kvadrat tənliklərin həlli üsulları:

1. Diskriminant

Kvadrat tənlikləri bu şəkildə həll etmək asandır, əsas odur ki, hərəkətlərin ardıcıllığını və bir neçə düsturları xatırlayın. Unutmayın ki, istənilən kvadrat tənliyi diskriminantdan istifadə etməklə həll etmək olar! Hətta natamam.

Köklər üçün düsturda diskriminantdan kökə diqqət yetirdinizmi? Ancaq diskriminant mənfi ola bilər. Nə etməli? 2-ci addıma xüsusi diqqət yetirməliyik. Diskriminant bizə tənliyin köklərinin sayını bildirir.

• Əgər, onda tənliyin kökləri varsa:
• Əgər, onda tənliyin eyni kökləri və əslində bir kökü varsa:

  Belə köklərə qoşa köklər deyilir.

• Əgər, onda diskriminantın kökü çıxarılmır. Bu, tənliyin heç bir kökünün olmadığını göstərir.

Niyə müxtəlif sayda köklər mümkündür? müraciət edək həndəsi məna kvadrat tənlik. Funksiyanın qrafiki paraboladır:

Kvadrat tənlik olan xüsusi halda, . Bu o deməkdir ki, kvadrat tənliyin kökləri absis oxu (ox) ilə kəsişmə nöqtələridir. Parabola oxu ümumiyyətlə kəsməyə bilər və ya onu bir (parabolanın təpəsi oxun üzərində olduqda) və ya iki nöqtədə kəsə bilər.

Bundan əlavə, əmsal parabolanın budaqlarının istiqamətinə cavabdehdir. Əgər, onda parabolanın budaqları yuxarıya, əgər varsa, aşağıya doğru yönəldilmişdir.

Nümunələr:

Həll yolları:

Cavab:

Cavab: .

Cavab:

Bu o deməkdir ki, həll yolları yoxdur.

Cavab: .

2. Vyeta teoremi

Vyeta teoremindən istifadə etmək çox asandır: sadəcə məhsulu tənliyin sərbəst müddətinə bərabər olan, cəmi isə əks işarə ilə götürülmüş ikinci əmsala bərabər olan bir cüt ədəd seçmək lazımdır.

Vyeta teoreminin yalnız tətbiq oluna biləcəyini xatırlamaq vacibdir azaldılmış kvadrat tənliklər ().

Bir neçə nümunəyə baxaq:

Nümunə №1:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Bu tənliyi Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll etmək olar, çünki . Digər əmsallar: ; .

Tənliyin köklərinin cəmi:

Və məhsul bərabərdir:

Məhsulu bərabər olan ədəd cütlərini seçək və onların cəminin bərabər olub olmadığını yoxlayaq:

• Və. Məbləğ bərabərdir;
• Və. Məbləğ bərabərdir;
• Və. Məbləğ bərabərdir.

və sistemin həlli:

Beləliklə, və tənliyimizin kökləridir.

Cavab: ; .

Nümunə №2:

Həll:

Məhsulda verən ədəd cütlərini seçək və sonra onların cəminin bərabər olub olmadığını yoxlayaq:

və: cəmi verirlər.

və: cəmi verirlər. Əldə etmək üçün sadəcə güman edilən köklərin əlamətlərini dəyişdirmək kifayətdir: və nəticədə məhsul.

Cavab:

Nümunə #3:

Həll:

Tənliyin sərbəst müddəti mənfidir və buna görə də köklərin hasili belədir mənfi rəqəm. Bu, yalnız köklərdən biri mənfi, digəri isə müsbət olduqda mümkündür. Beləliklə, köklərin cəmi bərabərdir modullarının fərqləri.

Məhsulda verən və fərqi bərabər olan ədəd cütlərini seçək:

və: onların fərqi bərabərdir - uyğun gəlmir;

və: - uyğun deyil;

və: - uyğun deyil;

və: - uyğundur. Yalnız köklərdən birinin mənfi olduğunu xatırlamaq qalır. Onların cəmi bərabər olmalı olduğundan modulu kiçik olan kök mənfi olmalıdır: . Yoxlayırıq:

Cavab:

Nümunə №4:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Tənlik verilmişdir, yəni:

Sərbəst termin mənfidir və buna görə də köklərin məhsulu mənfidir. Və bu, yalnız tənliyin bir kökü mənfi, digəri isə müsbət olduqda mümkündür.

Məhsulu bərabər olan ədəd cütlərini seçək və sonra hansı köklərin mənfi işarəli olmasını müəyyən edək:

Aydındır ki, yalnız köklər və ilk vəziyyət üçün uyğundur:

Cavab:

Nümunə №5:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Tənlik verilmişdir, yəni:

Köklərin cəmi mənfidir, yəni köklərdən ən azı biri mənfidir. Lakin onların məhsulu müsbət olduğundan, bu, hər iki kökün mənfi işarəsi olduğunu bildirir.

Məhsulu bərabər olan ədəd cütlərini seçək:

Aydındır ki, köklər rəqəmlərdir və.

Cavab:

Razılaşın, bu murdar ayrı-seçkiliyi saymaq əvəzinə kökləri şifahi olaraq tapmaq çox rahatdır. Vyeta teoremindən mümkün qədər tez-tez istifadə etməyə çalışın.

Ancaq kökləri tapmağı asanlaşdırmaq və sürətləndirmək üçün Vyeta teoremi lazımdır. Ondan istifadə etməkdən faydalanmaq üçün hərəkətləri avtomatlaşdırmalısınız. Və bunun üçün daha beş nümunə həll edin. Ancaq aldatmayın: diskriminantdan istifadə edə bilməzsiniz! Yalnız Vyeta teoremi:

Müstəqil iş üçün tapşırıqların həlli:

Tapşırıq 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vyeta teoreminə görə:

Həmişə olduğu kimi, seçimə parça ilə başlayırıq:

Məbləğ olduğu üçün uyğun deyil;

: məbləğ tam sizə lazım olandır.

Cavab: ; .

Tapşırıq 2.

Yenə də sevimli Vyeta teoremimiz: cəmi bərabər, hasil isə bərabər olmalıdır.

Amma olmamalı olduğundan, lakin, biz köklərin əlamətlərini dəyişirik: və (cəmi).

Cavab: ; .

Tapşırıq 3.

Hmm... Bu haradadır?

Bütün şərtləri bir hissəyə köçürməlisiniz:

Köklərin cəmi məhsula bərabərdir.

Tamam, dayan! Tənlik verilmir. Lakin Vyeta teoremi yalnız verilmiş tənliklərdə tətbiq olunur. Beləliklə, əvvəlcə bir tənlik vermək lazımdır. Rəhbərlik edə bilmirsinizsə, bu fikirdən imtina edin və başqa bir şəkildə həll edin (məsələn, diskriminant vasitəsilə). Xatırladım ki, kvadrat tənlik vermək aparıcı əmsalı bərabərləşdirmək deməkdir:

Əla. Sonra köklərin cəmi və məhsula bərabərdir.

Burada seçmək armudları atəşə tutmaq qədər asandır: hər halda, bu, əsas rəqəmdir (tavtologiya üçün üzr istəyirəm).

Cavab: ; .

Tapşırıq 4.

Pulsuz üzv mənfidir. Bunun özəlliyi nədir? Və fakt budur ki, köklərin fərqli əlamətləri olacaq. İndi, seçim zamanı biz köklərin cəmini yox, modullarındakı fərqi yoxlayırıq: bu fərq bərabərdir, lakin məhsuldur.

Beləliklə, köklər və bərabərdir, lakin onlardan biri mənfidir. Vietanın teoremi bizə köklərin cəminin əks işarəli ikinci əmsala bərabər olduğunu söyləyir, yəni. Bu o deməkdir ki, kiçik kökün mənfisi olacaq: və, çünki.

Cavab: ; .

Tapşırıq 5.

Əvvəlcə nə etməlisən? Düzdür, tənliyi verin:

Yenə: ədədin amillərini seçirik və onların fərqi bərabər olmalıdır:

Köklər və bərabərdir, lakin onlardan biri mənfidir. Hansı? Onların cəmi bərabər olmalıdır, yəni mənfi daha böyük bir kökə sahib olacaqdır.

Cavab: ; .

İcazə verin ümumiləşdirim:

1. Vyeta teoremi yalnız verilmiş kvadrat tənliklərdə istifadə olunur.
2. Vietanın teoremindən istifadə edərək, kökləri seçmə yolu ilə, şifahi olaraq tapa bilərsiniz.
3. Tənlik verilmədikdə və ya heç bir tənlik tapılmadıqda uyğun cüt sərbəst terminin çarpanları, yəni tam köklər yoxdur və onu başqa bir şəkildə həll etməlisiniz (məsələn, diskriminant vasitəsilə).

3. Tam kvadratın seçilməsi üsulu

Tərkibində naməlum olan bütün şərtlər qısaldılmış vurma düsturlarından - cəmin və ya fərqin kvadratından - terminlər şəklində təqdim olunursa, dəyişənləri əvəz etdikdən sonra tənlik növün natamam kvadratik tənliyi şəklində təqdim edilə bilər.

Misal üçün:

Misal 1:

Tənliyi həll edin: .

Həll:

Cavab:

Misal 2:

Tənliyi həll edin: .

Həll:

Cavab:

IN ümumi görünüşçevrilmə belə görünəcək:

Bu o deməkdir ki: .

Sizə heç nəyi xatırlatmır? Bu ayrı-seçkilikdir! Ayrı-seçkilik düsturunu məhz belə əldə etdik.

Kvadrat TƏNLƏR. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Kvadrat tənlik- bu formanın tənliyidir, burada - naməlum, - kvadrat tənliyin əmsalları, - sərbəst müddət.

Tam kvadrat tənliyi- əmsalların sıfıra bərabər olmadığı tənlik.

Qısaldılmış kvadrat tənlik- əmsalı olan tənlik, yəni: .

Natamam kvadrat tənlik- əmsalın və ya sərbəst c termininin sıfıra bərabər olduğu tənlik:

• əmsal olarsa, tənlik belə görünür: ,
• sərbəst termin varsa, tənlik aşağıdakı formaya malikdir: ,
• və əgər, tənliyi belə görünür: .

1. Natamam kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi

1.1. Formanın natamam kvadratik tənliyi, burada, :

1) Naməlumu ifadə edək: ,

2) İfadənin işarəsini yoxlayın:

• Əgər tənliyin həlli yoxdursa,
• əgər, onda tənliyin iki kökü var.

1.2. Formanın natamam kvadratik tənliyi, burada, :

1) Mötərizədə ümumi amili çıxaraq: ,

2) Faktorlardan ən azı biri sıfıra bərabər olarsa, hasil sıfıra bərabərdir. Beləliklə, tənliyin iki kökü var:

1.3. Formanın natamam kvadratik tənliyi, burada:

Bu tənliyin həmişə yalnız bir kökü var: .

2. Buradakı formanın tam kvadrat tənliklərinin həlli alqoritmi

2.1. Diskriminantdan istifadə edərək həll

1) Tənliyi standart formaya gətirək: ,

2) Tənliyin köklərinin sayını göstərən düsturdan istifadə edərək diskriminantı hesablayaq: .

3) Tənliyin köklərini tapın:

• Əgər, onda tənliyin kökləri varsa, düsturla tapılır:
• Əgər, onda tənliyin kökü varsa, bu düsturla tapılır:
• əgər, onda tənliyin kökləri yoxdur.

2.2. Vyeta teoremindən istifadə edərək həll

Aşağı salınmış kvadrat tənliyin köklərinin cəmi (burada formanın tənliyi) bərabərdir, köklərin hasili isə bərabərdir, yəni. , A.

2.3. Tam kvadrat seçmək üsulu ilə həll

Formanın kvadrat tənliyinin kökləri varsa, onu aşağıdakı formada yazmaq olar: .

Yaxşı, mövzu bitdi. Əgər bu sətirləri oxuyursansa, deməli, çox gözəlsən.

Çünki insanların yalnız 5%-i nəyisə təkbaşına mənimsəməyi bacarır. Və sona qədər oxusanız, deməli bu 5%-dəsiniz!

İndi ən vacib şey.

Bu mövzuda nəzəriyyəni başa düşdünüz. Və təkrar edirəm, bu... bu sadəcə superdir! Siz artıq yaşıdlarınızın böyük əksəriyyətindən daha yaxşısınız.

Problem ondadır ki, bu kifayət deyil...

Nə üçün?

Vahid Dövlət İmtahanını müvəffəqiyyətlə verdiyinə görə, büdcə ilə kollecə daxil olduğun üçün və ən əsası ömürlük.

Sizi heç nəyə inandırmayacağam, sadəcə bir şey deyəcəm...

Qəbul edən insanlar yaxşı təhsil, almayanlardan daha çox qazanın. Bu statistikadır.

Ancaq bu, əsas məsələ deyil.

Əsas odur ki, onlar DAHA XOŞBƏXTDİR (belə araşdırmalar var). Bəlkə ona görə ki, onların qarşısında daha çox imkanlar açılır və həyat daha parlaq olur? Bilmirəm...

Amma özünüz düşünün...

Vahid Dövlət İmtahanında başqalarından üstün olmaq və nəticədə... daha xoşbəxt olmaq üçün nə lazımdır?

BU MÖVZUDA MƏSƏLƏLƏRİ HƏLL EDƏK ƏLİNİZİ QAZANIN.

İmtahan zamanı sizdən nəzəriyyə tələb olunmayacaq.

Sizə lazım olacaq problemləri zamana qarşı həll edin.

Əgər onları həll etməmisinizsə (ÇOX!), Hardasa mütləq axmaq səhv edəcəksiniz və ya sadəcə vaxtınız olmayacaq.

İdmanda olduğu kimi - əminliklə qalib gəlmək üçün bunu dəfələrlə təkrarlamaq lazımdır.

Kolleksiyanı istədiyiniz yerdə tapın, mütləq həlləri ilə ətraflı təhlil və qərar verin, qərar verin, qərar verin!

Tapşırıqlarımızdan istifadə edə bilərsiniz (isteğe bağlı) və biz, əlbəttə ki, onları tövsiyə edirik.

Tapşırıqlarımızdan daha yaxşı istifadə etmək üçün siz hazırda oxuduğunuz YouClever dərsliyinin ömrünü uzatmağa kömək etməlisiniz.

Necə? İki seçim var:

1. Bu məqalədəki bütün gizli tapşırıqları açın - 299 rub.
2. Dərsliyin bütün 99 məqaləsindəki bütün gizli tapşırıqlara girişi açın - 499 rub.

Bəli, bizim dərsliyimizdə 99 belə məqalə var və bütün tapşırıqlara və onlarda olan bütün gizli mətnlərə giriş dərhal açıla bilər.

Bütün gizli tapşırıqlara giriş saytın BÜTÜN ömrü üçün təmin edilir.

Yekun olaraq...

Tapşırıqlarımızı bəyənmirsinizsə, başqalarını tapın. Sadəcə nəzəriyyədə dayanmayın.

“Anladım” və “Mən həll edə bilərəm” tamamilə fərqli bacarıqlardır. Hər ikisinə ehtiyacınız var.

Problemləri tapın və həll edin!

Kopyevskaya kənd orta məktəbi

Kvadrat tənlikləri həll etməyin 10 yolu

Rəhbər: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

riyaziyyat müəllimi

Kopevo kəndi, 2007

1. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi

1.1 Qədim Babildə kvadrat tənliklər

1.2 Diophantus kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi

1.3 Hindistanda kvadrat tənliklər

1.4 Əl-Xorəzmi tərəfindən kvadrat tənliklər

1.5 Avropada kvadrat tənliklər XIII - XVII əsrlər

1.6 Vyeta teoremi haqqında

2. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları

Nəticə

Ədəbiyyat

1. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi

1.1 Qədim Babildə kvadrat tənliklər

Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hətta qədim dövrlərdə torpaq sahələrinin tapılması və hərbi xarakterli qazıntı işləri ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı kimi. Kvadrat tənliklər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə həll edilə bilərdi. e. babillilər.

Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər var:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Babil mətnlərində təsbit edilən bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasir olanla üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılmış demək olar ki, bütün mixi yazılar, necə tapıldığına dair heç bir işarə olmadan, yalnız reseptlər şəklində qoyulmuş həll yolları ilə bağlı problemləri təmin edir.

Rəğmən yüksək səviyyə Babildə cəbrin inkişafı, mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı yoxdur və ümumi üsullar kvadrat tənliklərin həlli.

1.2 Diophantus kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi.

Diofantın Arifmetikası cəbrin sistemli təqdimatını ehtiva etmir, lakin o, izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklərin qurulması ilə həll edilən sistematik bir sıra problemləri ehtiva edir.

Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.

Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.

Problem 11.“İki ədədi tapın, çünki onların cəmi 20 və hasilinin 96-dır”

Diophantus belə əsaslandırır: məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, tələb olunan ədədlər bərabər deyil, çünki onlar bərabər olsaydı, onda onların hasilatı 96 deyil, 100-ə bərabər olardı. Beləliklə, onlardan biri ondan çox olacaq. onların məbləğinin yarısı, yəni. 10 + x, digəri azdır, yəni. 10-lar. Onların arasındakı fərq 2x .

Beləliklə, tənlik:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Buradan x = 2. Tələb olunan ədədlərdən biri bərabərdir 12 , digər 8 . Həll x = -2çünki Diofant yoxdur, çünki yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bilirdi.

Tələb olunan ədədlərdən birini naməlum kimi seçməklə bu məsələni həll etsək, onda tənliyin həllinə gələrik.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Aydındır ki, tələb olunan ədədlərin yarı fərqini naməlum kimi seçməklə, Diofant həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin (1) həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.

1.3 Hindistanda Kvadrat Tənliklər

Kvadrat tənliklərlə bağlı məsələlərə artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (7-ci əsr) təsvir etmişdir ümumi qayda vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

(1) tənliyində əmsallar istisna olmaqla A, mənfi də ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir.

IN Qədim HindistanÇətin problemlərin həllində ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları tutduğu kimi, öyrənmiş adam başqasının izzətini kölgədə qoyacaq xalq məclisləri, cəbri məsələləri təklif etmək və həll etmək”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.

Bu, 12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biridir. Bhaskarlar.

Problem 13.

“Bir sürü çılpaq meymun və üzüm boyu on iki...

Yemək yeyən səlahiyyətlilər əyləndilər. Atlamağa, asmağa başladılar...

Meydanda bunlar var, səkkizinci hissə.Neçə meymun var idi?

Təmizlikdə əylənirdim. Mənə deyin, bu paketdə?

Bhaskara həlli onu göstərir ki, o, kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətli olduğunu bilirdi (şək. 3).

13-cü məsələyə uyğun tənlik belədir:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara adı altında yazır:

x 2 - 64x = -768

və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə əlavə edir 32 2 , sonra əldə edin:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Əl - Xorəzmidə kvadrat tənliklər

Əl-Xorəzminin cəbri traktatında xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif 6 növ tənliyi sayaraq onları aşağıdakı kimi ifadə edir:

1) "Kvadratlar köklərə bərabərdir", yəni. balta 2 + c = b X.

2) “Kvadratlar ədədlərə bərabərdir”, yəni. balta 2 = c.

3) "Köklər ədədə bərabərdir", yəni. ah = s.

4) “Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir”, yəni. balta 2 + c = b X.

5) “Kvadratlar və köklər ədədlərə bərabərdir”, yəni. ah 2+ bx = s.

6) "Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir", yəni. bx + c = balta 2.

Mənfi ədədlərin istifadəsindən qaçan əl-Xorəzmi üçün bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxılan deyil, toplanandır. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər açıq şəkildə nəzərə alınmır. Müəllif bu tənliklərin həlli üsullarını “əl-cəbr” və “əl-müqəbələ” üsullarından istifadə edərək müəyyən edir. Onun qərarları, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Bunun sırf ritorik olduğunu nəzərə almasaq, məsələn, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən qeyd etmək lazımdır.

əl-Xorəzmi XVII əsrə qədərki bütün riyaziyyatçılar kimi, yəqin ki, konkret praktiki məsələlərdə əhəmiyyət kəsb etmədiyi üçün sıfır həllini nəzərə almır. Tam kvadrat tənlikləri qismən həll edərkən əl-Xorəzmi ədədi nümunələr həllin qaydalarını, sonra isə həndəsi sübutları qoyur.

Problem 14.“Kvadrat və 21 rəqəmi 10 kökə bərabərdir. kökünü tap" (x 2 + 21 = 10x tənliyinin kökünü nəzərdə tutur).

Müəllifin həlli belədir: köklərin sayını yarıya bölün, 5-i alırsınız, 5-i özünə vurursunuz, hasildən 21-i çıxarırsınız, qalan 4. 4-dən kök götürün, 2-ni çıxarın. , 3 alırsınız, bu istədiyiniz kök olacaq. Və ya 5-ə 2-ni əlavə edin, bu da 7 verir, bu da bir kökdür.

Əl-Xorəzminin risaləsi kvadrat tənliklərin təsnifatını sistemli şəkildə ortaya qoyan və onların həlli üçün düsturlar verən bizə çatan ilk kitabdır.

1.5 Avropada kvadrat tənliklər XIII - XVII bb

Kvadrat tənliklərin Avropada əl-Xarəzmi xətti ilə həlli üçün düsturlar ilk dəfə 1202-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən yazılmış “Abacus” kitabında verilmişdir. Riyaziyyatın təsirini əks etdirən bu həcmli əsər həm İslam ölkələri, həm də Qədim Yunanıstan, təqdimatın həm tamlığı, həm də aydınlığı ilə seçilir. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin həlli üçün bəzi yeni cəbr nümunələri işləyib hazırladı və Avropada ilk dəfə mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı. Onun kitabı təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində cəbr biliklərinin yayılmasına töhfə verib. “Abacus Kitabı”ndan bir çox problem 16-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərində istifadə edilmişdir. və qismən XVIII.

Vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda:

x 2 + bx = c,

əmsal işarələrinin bütün mümkün birləşmələri üçün b , ilə Avropada yalnız 1544-cü ildə M. Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir.

Kvadrat tənliyi ümumi formada həll etmək üçün düsturun əldə edilməsi Viète-də mövcuddur, lakin Viète yalnız müsbət kökləri tanıdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. Müsbət olanlarla yanaşı, mənfi köklər də nəzərə alınır. Yalnız 17-ci əsrdə. Girard, Dekart, Nyuton və başqa alimlərin işi sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma alır.

1.6 Vyeta teoremi haqqında

Kvadrat tənliyin əmsalları ilə onun kökləri arasındakı əlaqəni ifadə edən teorem Vietanın adını daşıyır, o, ilk dəfə 1591-ci ildə belə tərtib etmişdir: “Əgər B + D, vurulur A - A 2 , bərabərdir BD, Bu A bərabərdir IN və bərabərdir D ».

Vyetanı anlamaq üçün bunu xatırlamalıyıq A, hər hansı bir sait hərfi kimi, naməlumu nəzərdə tuturdu (bizim X), saitlər IN, D- naməlum üçün əmsallar. Müasir cəbrin dilində yuxarıdakı Vieta düsturunun mənası: əgər varsa

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Tənliklərin kökləri və əmsalları arasında əlaqənin ifadə edilməsi ümumi düsturlar simvollardan istifadə etməklə yazılmış Vyet tənliklərin həlli üsullarında vahidlik yaratmışdır. Bununla belə, Vyetin simvolizmi hələ də uzaqdır müasir görünüş. Mənfi ədədləri tanımırdı və buna görə də tənlikləri həll edərkən yalnız bütün köklərin müsbət olduğu halları nəzərə alırdı.

2. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları

Kvadrat tənliklər cəbrin əzəmətli binasının dayandığı bünövrədir. Kvadrat tənliklər tapılır geniş tətbiq triqonometrik, eksponensial, loqarifmik, irrasional və transsendental tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edərkən. Kvadrat tənliklərin həllini məktəbdən (8-ci sinif) bitirənə qədər hamımız bilirik.

Ümid edirəm ki, bu məqaləni öyrəndikdən sonra tam kvadrat tənliyin köklərini necə tapmağı öyrənəcəksiniz.

Diskriminantdan istifadə edərək yalnız tam kvadrat tənliklər həll edilir; natamam kvadrat tənlikləri həll etmək üçün "Natamam kvadrat tənliklərin həlli" məqaləsində tapa biləcəyiniz digər üsullardan istifadə olunur.

Hansı kvadrat tənliklər tam adlanır? Bu ax 2 + b x + c = 0 formalı tənliklər, burada a, b və c əmsalları sıfıra bərabər deyil. Beləliklə, tam kvadrat tənliyi həll etmək üçün D diskriminantını hesablamalıyıq.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın qiymətindən asılı olaraq cavabı yazacağıq.

Diskriminant mənfi ədəddirsə (D< 0),то корней нет.

Əgər diskriminant sıfırdırsa, onda x = (-b)/2a. Diskriminant müsbət ədəd olduqda (D > 0),

onda x 1 = (-b - √D)/2a, və x 2 = (-b + √D)/2a.

Misal üçün. Tənliyi həll edin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cavab: 2.

2-ci tənliyi həll edin x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cavab: kökləri yoxdur.

2-ci tənliyi həll edin x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cavab: – 3,5; 1.

Beləliklə, Şəkil 1-dəki diaqramdan istifadə edərək tam kvadrat tənliklərin həllini təsəvvür edək.

Bu düsturlardan istifadə edərək istənilən tam kvadrat tənliyi həll edə bilərsiniz. Sadəcə olaraq diqqətli olmaq lazımdır tənlik çoxhədli kimi yazılmışdır standart görünüş

A x 2 + bx + c,əks halda səhv edə bilərsiniz. Məsələn, x + 3 + 2x 2 = 0 tənliyini yazarkən səhvən qərar verə bilərsiniz ki,

a = 1, b = 3 və c = 2. Sonra

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 və onda tənliyin iki kökü var. Və bu doğru deyil. (Yuxarıda 2-ci misalın həllinə baxın).

Buna görə də, tənlik standart formanın çoxhədli kimi yazılmırsa, əvvəlcə tam kvadrat tənlik standart formanın çoxhədlisi kimi yazılmalıdır (ən böyük göstəricisi olan monohəd birinci gəlməlidir, yəni. A x 2 , sonra daha az – bx və sonra pulsuz üzv ilə.

Qısaldılmış kvadrat tənliyi və cüt əmsalı olan kvadrat tənliyi ikinci bənddə həll edərkən digər düsturlardan istifadə edə bilərsiniz. Gəlin bu düsturlarla tanış olaq. Tam kvadrat tənlikdə ikinci hədd bərabər əmsala malikdirsə (b = 2k), onda tənliyi Şəkil 2-dəki diaqramda göstərilən düsturlardan istifadə edərək həll edə bilərsiniz.

Tam kvadratik tənlik, əmsalı at olarsa, azaldılmış adlanır x 2 birinə bərabərdir və tənlik formasını alır x 2 + px + q = 0. Belə bir tənlik həll üçün verilə bilər və ya tənliyin bütün əmsallarını əmsallara bölmək yolu ilə əldə edilə bilər. A, dayanır x 2 .

Şəkil 3-də azaldılmış kvadratın həlli üçün diaqram göstərilir
tənliklər. Bu məqalədə müzakirə olunan düsturların tətbiqi nümunəsinə baxaq.

Misal. Tənliyi həll edin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Şəkil 1-dəki diaqramda göstərilən düsturlardan istifadə edərək bu tənliyi həll edək.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Cavab: –1 – √3; –1 + √3

Bu tənlikdə x-in əmsalının cüt ədəd olduğunu görə bilərsiniz, yəni b = 6 və ya b = 2k, buradan k = 3. Sonra D rəqəminin diaqramında göstərilən düsturlardan istifadə edərək tənliyi həll etməyə çalışaq. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Cavab: –1 – √3; –1 + √3. Bu kvadrat tənlikdəki bütün əmsalların 3-ə bölündüyünü görüb bölməni yerinə yetirərək, x 2 + 2x – 2 = 0 azaldılmış kvadrat tənliyini alırıq.
tənliklər şəkil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Cavab: –1 – √3; –1 + √3.

Gördüyünüz kimi, bu tənliyi müxtəlif düsturlardan istifadə edərək həll edərkən eyni cavabı aldıq. Buna görə də, Şəkil 1-dəki diaqramda göstərilən düsturları hərtərəfli mənimsəməklə, siz həmişə istənilən tam kvadrat tənliyi həll edə biləcəksiniz.

blog.site, materialı tam və ya qismən kopyalayarkən, orijinal mənbəyə keçid tələb olunur.

IN müasir cəmiyyət Dəyişən kvadratı ehtiva edən tənliklərlə əməliyyatları yerinə yetirmək bacarığı bir çox fəaliyyət sahələrində faydalı ola bilər və elmi-texniki inkişaflarda praktikada geniş istifadə olunur. Dəniz və çay gəmilərinin, təyyarələrin və raketlərin dizaynı buna sübut ola bilər. Belə hesablamalardan istifadə edərək, ən çox hərəkət trayektoriyası müxtəlif orqanlar, o cümlədən kosmik obyektlər. Kvadrat tənliklərin həlli ilə bağlı nümunələr yalnız iqtisadi proqnozlaşdırmada, binaların layihələndirilməsində və tikintisində deyil, həm də ən adi gündəlik şəraitdə istifadə olunur. Onlar gəzinti səfərlərində, idman tədbirlərində, alış-veriş zamanı mağazalarda və digər çox yayılmış hallarda lazım ola bilər.

İfadəni komponent amillərinə bölək

Tənliyin dərəcəsi ifadənin ehtiva etdiyi dəyişənin dərəcəsinin maksimum dəyəri ilə müəyyən edilir. Əgər 2-yə bərabərdirsə, onda belə tənlik kvadrat adlanır.

Əgər düsturların dilində danışırıqsa, onda göstərilən ifadələr, necə görünməsindən asılı olmayaraq, həmişə formaya gətirilə bilər. sol tərəf ifadəsi üç termindən ibarətdir. Bunlardan: ax 2 (yəni əmsalı ilə kvadrat olan dəyişən), bx (əmsalı ilə kvadratı olmayan naməlum) və c (sərbəst komponent, yəni adi ədəd). Bütün bunlar sağ tərəfdə 0-a bərabərdir. Belə bir çoxhədlidə balta 2 istisna olmaqla, onun tərkib üzvlərindən biri yoxdursa, natamam kvadrat tənlik adlanır. Bu cür problemlərin həlli ilə bağlı nümunələr, ilk növbədə tapmaq asan olan dəyişənlərin dəyərləri nəzərdən keçirilməlidir.

Əgər ifadənin sağ tərəfində iki termini, daha doğrusu ax 2 və bx olduğu görünürsə, x tapmağın ən asan yolu dəyişəni mötərizədən çıxarmaqdır. İndi tənliyimiz belə görünəcək: x(ax+b). Sonra aydın olur ki, ya x=0, ya da problem aşağıdakı ifadədən dəyişən tapmaqdan keçir: ax+b=0. Bu, vurmanın xüsusiyyətlərindən biri ilə diktə olunur. Qaydada deyilir ki, iki amilin hasili yalnız onlardan biri sıfır olduqda 0 ilə nəticələnir.

Misal

x=0 və ya 8x - 3 = 0

Nəticədə tənliyin iki kökünü alırıq: 0 və 0.375.

Bu cür tənliklər koordinatların mənşəyi kimi qəbul edilən müəyyən bir nöqtədən hərəkət etməyə başlayan cəsədlərin cazibə qüvvəsinin təsiri altında hərəkətini təsvir edə bilər. Burada riyazi qeyd aşağıdakı formanı alır: y = v 0 t + gt 2 /2. Lazımi qiymətləri əvəz etməklə, sağ tərəfi 0-a bərabərləşdirmək və mümkün bilinməyənləri tapmaqla, cismin qalxdığı andan düşdüyü ana qədər keçən vaxtı, eləcə də bir çox başqa kəmiyyətləri öyrənmək olar. Ancaq bu barədə sonra danışacağıq.

İfadə faktorinqi

Yuxarıda təsvir olunan qayda bu problemləri daha çox həll etməyə imkan verir çətin hallar. Bu tip kvadrat tənliklərin həlli nümunələrinə baxaq.

X 2 - 33x + 200 = 0

Bu kvadrat üçbucaqlı tamdır. Əvvəlcə ifadəni transformasiya edək və faktoru edək. Onlardan ikisi var: (x-8) və (x-25) = 0. Nəticədə iki kökümüz var 8 və 25.

9-cu sinifdə kvadrat tənliklərin həlli ilə bağlı nümunələr bu üsulla təkcə ikinci deyil, hətta üçüncü və dördüncü dərəcəli ifadələrdə dəyişən tapmağa imkan verir.

Məsələn: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tərəfi dəyişənli faktorlara ayırarkən onlardan üçü var, yəni (x+1), (x-3) və (x+) 3).

Nəticədə məlum olur ki, bu tənliyin üç kökü var: -3; -1; 3.

Kvadrat Kök

Natamam ikinci dərəcəli tənliyin başqa bir halı hərflərin dilində elə bir ifadədir ki, sağ hissə ax 2 və c komponentlərindən qurulur. Burada dəyişənin qiymətini almaq üçün sərbəst müddətə köçürülür sağ tərəf, və bundan sonra bərabərliyin hər iki tərəfindən kvadrat kök alınır. Qeyd edək ki, in bu halda Tənliyin adətən iki kökü var. Dəyişən sıfıra bərabər olan heç bir termini ehtiva etməyən bərabərliklər, həmçinin sağ tərəfin mənfi olduğu zaman ifadə variantları istisnalar ola bilər. Sonuncu vəziyyətdə, heç bir həll yolu yoxdur, çünki yuxarıda göstərilən hərəkətlər köklərlə həyata keçirilə bilməz. Bu tip kvadrat tənliklərin həlli nümunələri nəzərdən keçirilməlidir.

Bu halda tənliyin kökləri -4 və 4 rəqəmləri olacaqdır.

Torpaq sahəsinin hesablanması

Bu cür hesablamalara ehtiyac qədim dövrlərdə yaranmışdır, çünki o uzaq dövrlərdə riyaziyyatın inkişafı əsasən torpaq sahələrinin sahələrini və perimetrlərini ən böyük dəqiqliklə müəyyən etmək ehtiyacı ilə müəyyən edilmişdir.

Kvadrat tənliklərin bu qəbildən olan məsələlər əsasında həllinə dair nümunələri də nəzərdən keçirməliyik.

Beləliklə, tutaq ki, uzunluğu enindən 16 metr böyük olan düzbucaqlı bir torpaq sahəsi var. Sahəsinin 612 m2 olduğunu bilirsinizsə, saytın uzunluğunu, enini və perimetrini tapmalısınız.

Başlamaq üçün əvvəlcə lazımi tənliyi yaradaq. Sahənin enini x ilə işarə edək, onda onun uzunluğu (x+16) olacaqdır. Yazılanlardan belə çıxır ki, sahə x(x+16) ifadəsi ilə müəyyən edilir ki, bu da məsələmizin şərtlərinə görə 612-dir. Bu o deməkdir ki, x(x+16) = 612.

Tam kvadrat tənliklərin həlli və bu ifadə tam olaraq belədir, eyni şəkildə edilə bilməz. Niyə? Sol tərəfdə hələ də iki amil olsa da, onların hasilatı ümumiyyətlə 0-a bərabər deyil, ona görə də burada müxtəlif üsullardan istifadə olunur.

Diskriminant

Əvvəlcə lazımi dəyişiklikləri edək, sonra görünüş bu ifadə belə görünəcək: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu o deməkdir ki, biz əvvəlcədən müəyyən edilmiş standarta uyğun formada ifadə almışıq, burada a=1, b=16, c=-612.

Bu, diskriminantdan istifadə edərək kvadrat tənliklərin həllinə nümunə ola bilər. Burada zəruri hesablamalar sxemə uyğun istehsal olunur: D = b 2 - 4ac. Bu köməkçi kəmiyyət təkcə ikinci dərəcəli tənlikdə tələb olunan kəmiyyətləri tapmağa imkan vermir, həm də kəmiyyəti müəyyən edir. mümkün variantlar. Əgər D>0 olarsa, onlardan ikisi var; D=0 üçün bir kök var. D halda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Köklər və onların formulası haqqında

Bizim vəziyyətimizdə diskriminant bərabərdir: 256 - 4(-612) = 2704. Bu, problemimizin cavabının olduğunu deməyə əsas verir. Əgər k bilirsinizsə, kvadrat tənliklərin həlli aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə davam etdirilməlidir. Bu, kökləri hesablamağa imkan verir.

Bu o deməkdir ki, təqdim olunan halda: x 1 =18, x 2 =-34. Bu dilemmada ikinci variant həll yolu ola bilməz, çünki torpaq sahəsinin ölçüləri mənfi kəmiyyətlərlə ölçülə bilməz, yəni x (yəni sahənin eni) 18 m-dir.Buradan uzunluğu hesablayırıq: 18 +16=34, perimetri isə 2(34+ 18)=104(m2).

Nümunələr və tapşırıqlar

Kvadrat tənlikləri öyrənməyə davam edirik. Onlardan bir neçəsinin nümunələri və ətraflı həlli aşağıda veriləcəkdir.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Gəlin hər şeyi bərabərliyin sol tərəfinə keçirək, transformasiya edək, yəni adətən standart adlanan tənlik növünü alacağıq və onu sıfıra bərabərləşdirəcəyik.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Bənzərləri əlavə edərək, diskriminantı təyin edirik: D = 49 - 48 = 1. Bu o deməkdir ki, tənliyimiz iki kökə sahib olacaq. Gəlin onları yuxarıdakı düstura görə hesablayaq, bu o deməkdir ki, onlardan birincisi 4/3-ə, ikincisi isə 1-ə bərabər olacaqdır.

2) İndi fərqli bir növ sirrləri həll edək.

Gəlin öyrənək burada x 2 - 4x + 5 = 1 kökləri varmı? Hərtərəfli cavab almaq üçün polinomu müvafiq adi formaya endirək və diskriminantı hesablayaq. Yuxarıdakı misalda kvadrat tənliyi həll etmək lazım deyil, çünki məsələnin mahiyyəti ümumiyyətlə bu deyil. Bu halda, D = 16 - 20 = -4, yəni həqiqətən heç bir kök yoxdur.

Vyeta teoremi

Kvadrat tənlikləri yuxarıdakı düsturlardan və diskriminantdan istifadə edərək həll etmək, kvadrat kök sonuncunun dəyərindən götürüldükdə rahatdır. Ancaq bu həmişə baş vermir. Bununla birlikdə, bu vəziyyətdə dəyişənlərin dəyərlərini əldə etməyin bir çox yolu var. Nümunə: Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənliklərin həlli. O, 16-cı əsrdə Fransada yaşamış və riyazi istedadı və saraydakı əlaqələri sayəsində parlaq karyera quran şəxsin adını daşıyır. Onun portretini məqalədə görmək olar.

Məşhur fransızın diqqət çəkdiyi naxış belə idi. O, sübut etdi ki, tənliyin kökləri ədədi olaraq -p=b/a toplanır və hasilləri q=c/a-ya uyğundur.

İndi konkret vəzifələrə baxaq.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Sadəlik üçün ifadəni çevirək:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vyeta teoremindən istifadə edək, bu bizə aşağıdakıları verəcək: köklərin cəmi -7, hasil isə -18-dir. Buradan əldə edirik ki, tənliyin kökləri -9 və 2 rəqəmləridir. Yoxladıqdan sonra bu dəyişən dəyərlərin ifadəyə həqiqətən uyğun olduğuna əmin olacağıq.

Parabola qrafiki və tənliyi

Kvadrat funksiya və kvadrat tənlik anlayışları bir-biri ilə sıx bağlıdır. Bunun nümunələri artıq əvvəl verilmişdir. İndi bəzi riyazi tapmacalara bir az daha ətraflı baxaq. Təsvir edilən hər hansı bir tənlik vizual olaraq təqdim edilə bilər. Qrafik kimi çəkilmiş belə əlaqəyə parabola deyilir. Onun müxtəlif növləri aşağıdakı şəkildə təqdim olunur.

İstənilən parabolanın təpəsi, yəni budaqlarının çıxdığı nöqtə var. Əgər a>0 olarsa, onlar sonsuzluğa yüksəlir və a olduqda<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funksiyaların vizual təsvirləri istənilən tənlikləri, o cümlədən kvadratikləri həll etməyə kömək edir. Bu üsul qrafik adlanır. X dəyişəninin qiyməti isə qrafik xəttinin 0x ilə kəsişdiyi nöqtələrdəki absis koordinatıdır. Təpənin koordinatlarını indi verilmiş x 0 = -b/2a düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar. Və alınan qiyməti funksiyanın ilkin tənliyinə əvəz etməklə y 0-ı, yəni parabolanın ordinat oxuna aid təpəsinin ikinci koordinatını tapmaq olar.

Parabolanın budaqlarının absis oxu ilə kəsişməsi

Kvadrat tənliklərin həllinə dair çoxlu nümunələr var, lakin ümumi qanunauyğunluqlar da var. Gəlin onlara baxaq. Aydındır ki, a>0 üçün qrafikin 0x oxu ilə kəsişməsi yalnız 0 mənfi qiymətlər aldıqda mümkündür. Və a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Əks halda D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabolanın qrafikindən kökləri də müəyyən etmək olar. Bunun əksi də doğrudur. Yəni, kvadratik funksiyanın vizual təsvirini əldə etmək asan deyilsə, ifadənin sağ tərəfini 0-a bərabərləşdirmək və nəticədə yaranan tənliyi həll etmək olar. Və 0x oxu ilə kəsişmə nöqtələrini bilməklə, qrafik qurmaq daha asandır.

Tarixdən

Kvadrat dəyişəni olan tənliklərdən istifadə edərək, köhnə dövrlərdə onlar təkcə riyazi hesablamalar aparmır, həndəsi fiqurların sahələrini təyin edirdilər. Qədimlərə bu cür hesablamalar fizika və astronomiya sahələrində böyük kəşflər etmək, həmçinin astroloji proqnozlar vermək üçün lazım idi.

Müasir alimlərin fikrincə, Babil sakinləri kvadrat tənlikləri ilk həll edənlər arasında idi. Bu, bizim eramızdan dörd əsr əvvəl baş verib. Əlbəttə ki, onların hesablamaları hazırda qəbul edilənlərdən köklü şəkildə fərqlənirdi və daha primitiv olduğu ortaya çıxdı. Məsələn, Mesopotamiya riyaziyyatçılarının mənfi ədədlərin varlığı haqqında heç bir təsəvvürü yox idi. Hər hansı bir müasir məktəblinin bildiyi digər incəliklərlə də tanış deyildilər.

Bəlkə də Babil alimlərindən daha əvvəl Hindistanlı müdrik Baudhayama kvadrat tənlikləri həll etməyə başladı. Bu, Məsihin dövründən təxminən səkkiz əsr əvvəl baş verdi. Düzdür, onun verdiyi ikinci dərəcəli tənliklər, həll üsulları ən sadə idi. Ondan başqa, köhnə dövrlərdə Çin riyaziyyatçıları da oxşar suallarla maraqlanırdılar. Avropada kvadrat tənliklər yalnız 13-cü əsrin əvvəllərində həll olunmağa başladı, lakin sonradan Nyuton, Dekart və bir çox başqaları kimi böyük elm adamları tərəfindən işlərində istifadə edildi.

Kvadrat tənliyi nəzərdən keçirin:
(1) .
Kvadrat tənliyin kökləri(1) düsturlarla müəyyən edilir:
; .
Bu düsturlar aşağıdakı kimi birləşdirilə bilər:
.
Kvadrat tənliyin kökləri məlum olduqda, ikinci dərəcəli çoxhədli amillərin məhsulu (faktorlu) kimi təqdim edilə bilər:
.

Sonra onların həqiqi ədədlər olduğunu fərz edirik.
Gəlin nəzərdən keçirək kvadrat tənliyin diskriminantı:
.
Əgər diskriminant müsbətdirsə, onda (1) kvadrat tənliyin iki fərqli həqiqi kökü var:
; .
Onda kvadrat üçhəmin faktorlara ayrılması formaya malikdir:
.
Əgər diskriminant sıfıra bərabərdirsə, onda (1) kvadrat tənliyin iki çoxlu (bərabər) həqiqi kökü var:
.
Faktorizasiya:
.
Diskriminant mənfi olarsa, onda (1) kvadrat tənliyin iki mürəkkəb konyuqa kökü var:
;
.
Budur xəyali vahid, ;
və köklərin həqiqi və xəyali hissələridir:
; .
Sonra

.

Qrafik şərh

Funksiyanı tərtib etsəniz
,
paraboladır, onda qrafikin ox ilə kəsişmə nöqtələri tənliyin kökləri olacaqdır.
.
-də, qrafik x oxunu (oxu) iki nöqtədə kəsir.
Zaman, qrafik bir nöqtədə x oxuna toxunur.
olduqda, qrafik x oxunu keçmir.

Aşağıda belə qrafiklərin nümunələri verilmişdir.

Kvadrat tənliklə bağlı faydalı düsturlar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun çıxarılması

Transformasiyaları həyata keçiririk və (f.1) və (f.3) düsturlarını tətbiq edirik:




,
Harada
; .

Beləliklə, ikinci dərəcəli çoxhədli üçün düsturu aşağıdakı formada aldıq:
.
Bu tənliyin olduğunu göstərir

-da ifa olunub
Və .
Yəni və kvadrat tənliyin kökləridir
.

Kvadrat tənliyin köklərinin təyini nümunələri

Misal 1

(1.1) .

Həll

.
(1.1) tənliyimizlə müqayisə edərək əmsalların dəyərlərini tapırıq:
.
Diskriminant tapırıq:
.
Diskriminant müsbət olduğundan tənliyin iki həqiqi kökü var:
;
;
.

Buradan kvadrat üçhəmin faktorlara bölünməsini alırıq:

.

y = funksiyasının qrafiki 2 x 2 + 7 x + 3 x oxunu iki nöqtədə kəsir.

Funksiyanın qrafikini çəkək
.
Bu funksiyanın qrafiki paraboladır. O, absis oxunu (oxu) iki nöqtədə keçir:
Və .
Bu nöqtələr ilkin tənliyin (1.1) kökləridir.

Cavab verin

;
;
.

Misal 2

Kvadrat tənliyin köklərini tapın:
(2.1) .

Həll

Kvadrat tənliyi ümumi formada yazaq:
.
Orijinal tənlik (2.1) ilə müqayisə edərək, əmsalların dəyərlərini tapırıq:
.
Diskriminant tapırıq:
.
Diskriminant sıfır olduğundan, tənliyin iki çoxlu (bərabər) kökü var:
;
.

Onda trinomialın faktorlara ayrılması formaya malikdir:
.

y = x funksiyasının qrafiki 2 - 4 x + 4 bir nöqtədə x oxuna toxunur.

Funksiyanın qrafikini çəkək
.
Bu funksiyanın qrafiki paraboladır. O, bir nöqtədə x oxuna (oxuna) toxunur:
.
Bu nöqtə orijinal tənliyin (2.1) köküdür. Çünki bu kök iki dəfə faktorlara bölünür:
,
onda belə kök adətən çoxluq adlanır. Yəni iki bərabər kök olduğuna inanırlar:
.

Cavab verin

;
.

Misal 3

Kvadrat tənliyin köklərini tapın:
(3.1) .

Həll

Kvadrat tənliyi ümumi formada yazaq:
(1) .
Orijinal tənliyi (3.1) yenidən yazaq:
.
(1) ilə müqayisə edərək əmsalların dəyərlərini tapırıq:
.
Diskriminant tapırıq:
.
Diskriminant mənfidir, . Buna görə də əsl köklər yoxdur.

Siz mürəkkəb kökləri tapa bilərsiniz:
;
;

Funksiyanın qrafikini çəkək
.
Bu funksiyanın qrafiki paraboladır. O, x oxunu (oxunu) kəsmir. Buna görə də əsl köklər yoxdur.

Cavab verin

Həqiqi köklər yoxdur. Kompleks köklər:
;
;
.