Loqarifmlərin qısa xassələri. Loqarifm düsturları

Loqarifm nədir?

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox ..." olanlar üçün)

Loqarifm nədir? Loqarifmləri necə həll etmək olar? Bu suallar bir çox məzunları çaşdırır. Ənənəvi olaraq, loqarifmlər mövzusu mürəkkəb, anlaşılmaz və qorxulu hesab olunur. Xüsusilə loqarifmli tənliklər.

Bu, qətiyyən doğru deyil. Mütləq! Mənə inanmırsan? Yaxşı. İndi cəmi 10-20 dəqiqə ərzində siz:

1. Anlayın loqarifm nədir.

2. Eksponensial tənliklərin bütün sinfini həll etməyi öyrənin. Onlar haqqında heç nə eşitməmiş olsanız belə.

3. Sadə loqarifmləri hesablamağı öyrənin.

Üstəlik, bunun üçün sadəcə vurma cədvəlini və ədədi gücə necə yüksəltməyi bilməlisiniz...

Hiss edirəm ki, şübhəniz var... Yaxşı, yaxşı, vaxtı qeyd edin! Get!

Əvvəlcə bu tənliyi başınızda həll edin:

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Münasibətdə

verilən digər iki ədəddən üç ədəddən hər hansı birini tapmaq vəzifəsi qoyula bilər. Əgər a və sonra N verilirsə, onlar eksponentasiya yolu ilə tapılır. Əgər N və sonra a x dərəcəsinin kökünü götürərək (və ya onu qüvvəyə qaldıraraq) verilirsə. İndi a və N verildiyi halda x tapmalı olduğumuz halı nəzərdən keçirək.

N ədədi müsbət olsun: a ədədi müsbət olsun və birə bərabər olmasın: .

Tərif. N ədədinin a əsasına olan loqarifmi N ədədini əldə etmək üçün a-nın yüksəldilməli olduğu göstəricidir; loqarifm ilə işarələnir

Beləliklə, (26.1) bərabərliyində göstərici N-in a əsasının loqarifmi kimi tapılır. Yazılar

eyni məna daşıyır. Bərabərlik (26.1) bəzən loqarifmlər nəzəriyyəsinin əsas eyniliyi adlanır; reallıqda loqarifm anlayışının tərifini ifadə edir. By bu tərif a loqarifmin əsası həmişə müsbətdir və birlikdən fərqlidir; loqarifmik N ədədi müsbətdir. Mənfi ədədlərin və sıfırın loqarifmi yoxdur. Sübut oluna bilər ki, verilmiş əsası olan istənilən ədədin dəqiq müəyyən edilmiş loqarifması var. Buna görə də bərabərlik nəzərdə tutulur. Qeyd edək ki, burada şərt vacibdir, əks halda nəticə əsaslandırılmayacaq, çünki bərabərlik x və y-nin hər hansı bir dəyəri üçün doğrudur.

Nümunə 1. Tapın

Həll. Nömrə əldə etmək üçün baza 2-ni gücə yüksəltməlisiniz.

Bu cür nümunələri həll edərkən aşağıdakı formada qeydlər edə bilərsiniz:

Nümunə 2. Tapın.

Həll. bizdə var

1 və 2-ci misallarda loqarifm ədədini rasional göstərici ilə əsasın gücü kimi təqdim edərək, istədiyimiz loqarifmanı asanlıqla tapdıq. IN ümumi hal, məsələn, üçün və s., bunu etmək olmaz, çünki loqarifmin irrasional dəyəri var. Bu bəyanatla bağlı bir məsələyə diqqət yetirək. 12-ci bənddə biz verilmiş müsbət ədədin istənilən real gücünü təyin etmək imkanı anlayışını verdik. Bu, ümumiyyətlə, irrasional ədədlər ola bilən loqarifmlərin tətbiqi üçün lazım idi.

Loqarifmlərin bəzi xassələrinə nəzər salaq.

Xüsusiyyət 1. Ədəd və əsas bərabərdirsə, onda loqarifm birə bərabərdir və əksinə, loqarifm birə bərabərdirsə, say və əsas bərabərdir.

Sübut. Qoy loqarifmin tərifinə görə bizdə və haradan

Əksinə, tərifinə görə sonra edək

Xassə 2. Birin istənilən bazaya loqarifmi sıfıra bərabərdir.

Sübut. Loqarifmin tərifinə görə (hər hansı müsbət əsasın sıfır qüvvəsi birinə bərabərdir, bax (10.1)). Buradan

Q.E.D.

Əks ifadə də doğrudur: əgər , onda N = 1. Həqiqətən, bizdə var.

Loqarifmlərin növbəti xassəsini tərtib etməzdən əvvəl razılaşaq ki, hər ikisi c-dən böyük və ya c-dən kiçikdirsə, iki a və b ədədi üçüncü c ədədinin eyni tərəfində yerləşir. Bu ədədlərdən biri c-dən böyük, digəri isə c-dən kiçikdirsə, deyəcəyik ki, onlar c-nin əks tərəflərindədir.

Xassə 3. Ədəd və əsas birinin eyni tərəfində yerləşirsə, onda loqarifm müsbətdir; Əgər ədəd və əsas birinin əks tərəfində yerləşirsə, loqarifm mənfi olur.

3-cü xassənin sübutu, əsas birdən böyük və göstərici müsbət və ya əsas birdən kiçik və göstərici mənfi olduqda a-nın gücünün birdən böyük olmasına əsaslanır. Baza birdən böyükdürsə və eksponent mənfi və ya baza birdən kiçikdirsə və eksponent müsbətdirsə, güc birdən kiçikdir.

Nəzərə alınacaq dörd hal var:

Bunlardan birincisini təhlil etməklə kifayətlənəcəyik, qalanını oxucu özü nəzərdən keçirəcək;

Qoy, bərabərlikdə eksponent nə mənfi, nə də sıfıra bərabər ola bilər, buna görə də müsbətdir, yəni sübut edilməli olduğu kimi.

Misal 3. Aşağıdakı loqarifmlərdən hansının müsbət, hansının mənfi olduğunu tapın:

Həlli, a) 15 rəqəmi və 12 əsası birinin eyni tərəfində yerləşdiyi üçün;

b) 1000 və 2 bölmənin bir tərəfində yerləşdiyindən; bu halda əsasın loqarifmik ədəddən böyük olması vacib deyil;

c) 3.1 və 0.8 birliyin əks tərəflərində olduğundan;

G) ; Niyə?

d) ; Niyə?

Aşağıdakı 4-6 xassələri tez-tez loqarifmasiya qaydaları adlanır: onlar bəzi ədədlərin loqarifmlərini bilməklə onların hasilinin loqarifmlərini, hər birinin dərəcəsini və dərəcəsini tapmağa imkan verir.

Xüsusiyyət 4 (məhsul loqarifmi qaydası). Bir neçə müsbət ədədin hasilinin loqarifmi bu əsas məbləğinə bərabərdir bu ədədlərin eyni bazaya loqarifmləri.

Sübut. Verilən ədədlər müsbət olsun.

Onların hasilinin loqarifmi üçün loqarifmanı təyin edən bərabərliyi (26.1) yazırıq:

Buradan tapacağıq

Birinci və sonuncu ifadələrin eksponentlərini müqayisə edərək, tələb olunan bərabərliyi əldə edirik:

Qeyd edək ki, şərt vacibdir; ikinin hasilinin loqarifmi mənfi ədədlər məntiqlidir, lakin bu halda biz əldə edirik

Ümumiyyətlə, bir neçə amilin hasili müsbət olarsa, onun loqarifmi bu amillərin mütləq qiymətlərinin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.

5-ci xassə (hissələrin loqarifmlərinin götürülməsi qaydası). Müsbət ədədlərdən ibarət hissənin loqarifmi eyni bazaya götürülən dividend və bölən loqarifmləri arasındakı fərqə bərabərdir. Sübut. Biz ardıcıl olaraq tapırıq

Q.E.D.

Xüsusiyyət 6 (güc loqarifmi qaydası). İstənilən müsbət ədədin gücünün loqarifmi həmin ədədin eksponentə vurulan loqarifminə bərabərdir.

Sübut. Nömrə üçün əsas eyniliyi (26.1) yenidən yazaq:

Q.E.D.

Nəticə. Müsbət ədədin kökünün loqarifmi kökün göstəricisinə bölünən radikalın loqarifmasına bərabərdir:

Bu nəticənin etibarlılığını 6-cı əmlakın necə və istifadə edildiyini təsəvvür etməklə sübut etmək olar.

Misal 4. a əsasında loqarifmi götürün:

a) (bütün b, c, d, e qiymətlərinin müsbət olduğu güman edilir);

b) ( güman edilir ki ).

Həlli, a) Bu ifadədə kəsr dərəcələrinə keçmək rahatdır:

(26.5)-(26.7) bərabərliklərinə əsasən indi yaza bilərik:

Diqqət edirik ki, ədədlərin loqarifmləri üzərində daha sadə əməliyyatlar yerinə yetirilir, nəinki ədədlər: ədədləri vurarkən onların loqarifmləri toplanır, böləndə çıxılır və s.

Buna görə hesablama praktikasında loqarifmlərdən istifadə olunur (bax 29-cu paraqraf).

Loqarifmin tərs hərəkəti potensiasiya adlanır, yəni: potensiallaşdırma, ədədin verilmiş loqarifmindən ədədin özünün tapıldığı hərəkətdir. Prinsipcə, potensiasiya deyil xüsusi hərəkət: bazanı bir gücə (ədədin loqarifminə bərabər) yüksəltməyə gəlir. "Potensiasiya" termini "eksponentasiya" termini ilə sinonim hesab edilə bilər.

Potensiallaşdırarkən loqarifmləşdirmə qaydalarına tərs qaydalardan istifadə etmək lazımdır: loqarifmlərin cəmini hasilin loqarifmi ilə, loqarifmlərin fərqini hissənin loqarifmi ilə əvəz etmək və s.. Xüsusilə, qarşısında bir amil varsa. loqarifmin işarəsi, onda potensiasiya zamanı loqarifmin işarəsi altında eksponent dərəcələrə köçürülməlidir.

Misal 5. Əgər məlumdursa, N tapın

Həll. Sadəcə qeyd olunan potensiasiya qaydası ilə əlaqədar olaraq, biz bu bərabərliyin sağ tərəfindəki loqarifmlərin işarələrinin qarşısında duran 2/3 və 1/3 faktorlarını bu loqarifmlərin işarələri altında eksponentlərə köçürəcəyik; alırıq

İndi loqarifmlərin fərqini hissənin loqarifmi ilə əvəz edirik:

bu bərabərlik zəncirində sonuncu kəsri əldə etmək üçün əvvəlki kəsri məxrəcdəki irrasionallıqdan azad etdik (25-ci bənd).

Mülkiyyət 7. Baza birdən böyükdürsə, onda daha böyük rəqəm daha böyük loqarifmaya malikdir (və daha kiçik bir ədəd daha kiçikdir), əsas birdən azdırsa, daha böyük bir ədədin daha kiçik loqarifması var (kiçik ədəd isə daha böyükdür).

Bu xassə həm də hər iki tərəfi müsbət olan bərabərsizliklərin loqarifmlərinin alınması üçün bir qayda olaraq tərtib edilmişdir:

Bərabərsizlikləri birdən böyük əsasa loqarifmləşdirərkən bərabərsizlik əlaməti qorunur, birdən kiçik əsasa loqarifm etdikdə isə bərabərsizlik işarəsi əksinə dəyişir (həmçinin 80-ci bəndə bax).

Sübut 5 və 3-cü xassələrə əsaslanır. Əgər , onda və loqarifmləri götürdükdə aldığımız halı nəzərdən keçirək.

(a və N/M birliyin eyni tərəfində yerləşir). Buradan

Aşağıdakı halda, oxucu bunu özü anlayacaq.

Cəmiyyət inkişaf etdikcə, istehsal mürəkkəbləşdikcə riyaziyyat da inkişaf etdi. Sadədən mürəkkəbə keçid. Toplama və çıxma üsulundan istifadə edən adi mühasibat uçotundan onların təkrar təkrarlanması ilə biz vurma və bölmə anlayışına gəldik. Təkrar vurma əməliyyatının azaldılması eksponentasiya anlayışına çevrildi. Ədədlərin bazadan asılılığının və eksponentasiya sayının ilk cədvəlləri hələ 8-ci əsrdə hind riyaziyyatçısı Varasena tərəfindən tərtib edilmişdir. Onlardan loqarifmlərin yaranma vaxtını saymaq olar.

Tarixi eskiz

XVI əsrdə Avropanın dirçəlişi mexanikanın inkişafına da təkan verdi. T böyük hesablama tələb edirdiçoxrəqəmli ədədlərin vurulması və bölünməsi ilə bağlıdır. Qədim masalar böyük xidmət edirdi. Onlar mürəkkəb əməliyyatları daha sadə əməliyyatlarla - toplama və çıxma ilə əvəz etməyə imkan verdilər. Bir çox riyaziyyatçının ideyasını reallaşdırdığı 1544-cü ildə nəşr olunan riyaziyyatçı Michael Stiefelin işi irəliyə doğru böyük bir addım idi. Bu, cədvəllərdən təkcə sadə ədədlər şəklində səlahiyyətlər üçün deyil, həm də ixtiyari rasional olanlar üçün istifadə etməyə imkan verdi.

1614-cü ildə şotlandiyalı Con Napier bu fikirləri inkişaf etdirərək ilk dəfə yeni “ədədin loqarifmi” terminini təqdim etdi. Yeni mürəkkəb cədvəllər sinusların və kosinusların loqarifmlərini, həmçinin tangensləri hesablamaq üçün. Bu, astronomların işini xeyli azaldıb.

Üç əsr ərzində elm adamları tərəfindən uğurla istifadə edilən yeni cədvəllər görünməyə başladı. Əvvəl çox vaxt keçdi yeni əməliyyat cəbrdə öz hazır formasını almışdır. Loqarifmin tərifi verilmiş və onun xassələri öyrənilmişdir.

Yalnız 20-ci əsrdə kalkulyator və kompüterin yaranması ilə bəşəriyyət 13-cü əsrlər boyu uğurla işləyən qədim cədvəllərdən imtina etdi.

Bu gün biz b-nin loqarifmini a-nın b-yə əsaslanması üçün a-nın qüvvəsi olan x ədədi adlandırırıq. Bu düstur kimi yazılır: x = log a(b).

Məsələn, log 3(9) 2-yə bərabər olacaq. Tərifə əməl etsəniz, bu aydındır. 3-ü 2-nin qüvvəsinə qaldırsaq, 9-u alırıq.

Beləliklə, tərtib edilmiş tərif yalnız bir məhdudiyyət qoyur: a və b rəqəmləri real olmalıdır.

Loqarifmlərin növləri

Klassik tərif həqiqi loqarifm adlanır və əslində a x = b tənliyinin həllidir. Variant a = 1 sərhəddir və maraq doğurmur. Diqqət: İstənilən gücə 1, 1-ə bərabərdir.

Loqarifmin həqiqi dəyəri yalnız baza və arqument 0-dan böyük olduqda müəyyən edilir və baza 1-ə bərabər olmamalıdır.

Riyaziyyat sahəsində xüsusi yer bazasının ölçüsündən asılı olaraq adlandırılacaq loqarifmləri oynayın:

Qaydalar və məhdudiyyətlər

Loqarifmlərin əsas xüsusiyyəti qaydadır: hasilin loqarifmi loqarifmik cəminə bərabərdir. log abp = log a(b) + log a(p).

Bu ifadənin bir variantı olaraq belə olacaq: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), bölmə funksiyası funksiyaların fərqinə bərabərdir.

Əvvəlki iki qaydadan bunu asanlıqla görmək olar: log a(b p) = p * log a(b).

Digər xüsusiyyətlərə aşağıdakılar daxildir:

Şərh. Ümumi səhvə yol verməyin - cəmin loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabər deyil.

Bir çox əsrlər boyu loqarifmin tapılması əməliyyatı olduqca vaxt aparan bir iş idi. Riyaziyyatçılar istifadə edirdilər tanınmış formulaÇoxhədli genişlənmənin loqarifmik nəzəriyyəsi:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), burada n - natural ədəd 1-dən böyükdür ki, bu da hesablamanın düzgünlüyünü müəyyən edir.

Başqa əsaslı loqarifmlər bir bazadan digərinə keçid haqqında teoremdən və hasilin loqarifminin xassəsindən istifadə etməklə hesablanmışdır.

Çünki bu üsul çox əmək tələb edir və praktiki məsələləri həll edərkən həyata keçirmək çətin idi, biz bütün işləri əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirən əvvəlcədən tərtib edilmiş loqarifm cədvəllərindən istifadə etdik.

Bəzi hallarda, daha az dəqiqlik verən, lakin axtarışı əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirən xüsusi hazırlanmış loqarifm qrafiklərindən istifadə edilmişdir. istədiyiniz dəyər. Bir neçə nöqtə üzərində qurulmuş y = log a(x) funksiyasının əyrisi istənilən başqa nöqtədə funksiyanın qiymətini tapmaq üçün adi hökmdardan istifadə etməyə imkan verir. Mühəndislər uzun müddət Bu məqsədlər üçün sözdə qrafik kağızdan istifadə edilmişdir.

17-ci əsrdə ilk köməkçi analoq hesablama şərtləri meydana çıxdı ki, bu da 19-cu əsr bitmiş görünüş əldə etdi. Ən uğurlu cihaz slayd qaydası adlanırdı. Cihazın sadəliyinə baxmayaraq, onun görünüşü bütün mühəndislik hesablamaları prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirdi və bunu qiymətləndirmək çətindir. Hazırda bu cihazla az adam tanışdır.

Kalkulyatorların və kompüterlərin yaranması hər hansı digər cihazların istifadəsini mənasız etdi.

Tənliklər və bərabərsizliklər

Loqarifmlərdən istifadə edərək müxtəlif tənlikləri və bərabərsizlikləri həll etmək üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur:

• Bir bazadan digərinə keçid: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Əvvəlki seçimin nəticəsi olaraq: log a(b) = 1 / log b(a).

Bərabərsizlikləri həll etmək üçün bilmək faydalıdır:

• Loqarifmin qiyməti yalnız əsas və arqument birdən böyük və ya kiçik olduqda müsbət olacaqdır; ən azı bir şərt pozularsa, loqarifm dəyəri mənfi olacaq.
• Əgər bərabərsizliyin sağ və sol tərəflərinə loqarifm funksiyası tətbiq edilirsə və loqarifmin əsası birdən böyükdürsə, onda bərabərsizliyin işarəsi saxlanılır; əks halda dəyişir.

Problemlərin nümunələri

Loqarifmlərdən və onların xassələrindən istifadənin bir neçə variantını nəzərdən keçirək. Tənliklərin həlli ilə bağlı nümunələr:

Loqarifmin gücə yerləşdirilməsi variantını nəzərdən keçirin:

• Məsələ 3. 25^log 5(3) hesablayın. Həlli: problemin şərtlərində giriş aşağıdakı (5^2)^log5(3) və ya 5^(2 * log 5(3)) ilə oxşardır. Fərqli şəkildə yazaq: 5^log 5(3*2) və ya funksiya arqumenti kimi ədədin kvadratı funksiyanın özünün kvadratı kimi yazıla bilər (5^log 5(3))^2. Loqarifmlərin xassələrindən istifadə edərək bu ifadə 3^2-ə bərabərdir. Cavab: hesablama nəticəsində 9 alırıq.

Praktik istifadə

Sırf riyazi alət olmaqla, uzaq görünür həqiqi həyat loqarifmin birdən əldə etdiyi böyük əhəmiyyət kəsb edir real dünya obyektlərini təsvir etmək. İstifadə olunmayan bir elm tapmaq çətindir. Bu, təkcə təbii deyil, həm də humanitar bilik sahələrinə tamamilə aiddir.

Loqarifmik asılılıqlar

Bir neçə misal verək ədədi asılılıqlar:

Mexanika və fizika

Tarixən mexanika və fizika həmişə istifadə edərək inkişaf etmişdir riyazi üsullar tədqiqat və eyni zamanda riyaziyyatın, o cümlədən loqarifmin inkişafı üçün stimul rolunu oynadı. Fizikanın əksər qanunlarının nəzəriyyəsi riyaziyyatın dilində yazılıb. Yalnız iki təsvir nümunəsi verək fiziki qanunlar loqarifmdən istifadə etməklə.

Raketin sürəti kimi mürəkkəb kəmiyyətin hesablanması problemi kosmosun tədqiqi nəzəriyyəsinin əsasını qoyan Tsiolkovski düsturundan istifadə etməklə həll edilə bilər:

V = I * ln (M1/M2), burada

• V təyyarənin son sürətidir.
• I – mühərrikin xüsusi impulsu.
• M 1 - raketin ilkin kütləsi.
• M 2 - son kütlə.

Başqa bir mühüm nümunə- bu, termodinamikada tarazlıq vəziyyətini qiymətləndirməyə xidmət edən başqa bir böyük alim Maks Plankın düsturunda istifadə olunur.

S = k * ln (Ω), burada

• S – termodinamik xassə.
• k – Boltsman sabiti.
• Ω müxtəlif dövlətlərin statistik çəkisidir.

kimya

Daha az aydın olanı kimyada loqarifmlərin nisbətini ehtiva edən düsturların istifadəsidir. Sadəcə iki misal verək:

• Nernst tənliyi, maddələrin aktivliyinə və tarazlıq sabitinə münasibətdə mühitin redoks potensialının şərti.
• Avtoliz indeksi və məhlulun turşuluğu kimi sabitlərin hesablanması da bizim funksiyamız olmadan həyata keçirilə bilməz.

Psixologiya və biologiya

Psixologiyanın bununla nə əlaqəsi olduğu heç də aydın deyil. Belə çıxır ki, hissin gücü bu funksiya ilə stimulun intensivliyi dəyərinin aşağı intensivlik dəyərinə tərs nisbəti kimi yaxşı təsvir olunur.

Yuxarıdakı misallardan sonra biologiyada loqarifmlər mövzusunun geniş istifadə olunması artıq təəccüblü deyil. Loqarifmik spirallara uyğun gələn bioloji formalar haqqında bütün cildlər yazmaq olar.

Digər sahələr

Görünür, dünyanın mövcudluğu bu funksiya ilə əlaqəsiz mümkün deyil və o, bütün qanunları idarə edir. Xüsusilə təbiət qanunları ilə əlaqəli olduqda həndəsi irəliləyiş. MatProfi saytına müraciət etməyə dəyər və aşağıdakı fəaliyyət sahələrində belə nümunələr çoxdur:

Siyahı sonsuz ola bilər. Bu funksiyanın əsas prinsiplərini mənimsədikdən sonra sonsuz müdriklik dünyasına qərq ola bilərsiniz.

Bu gün haqqında danışacağıq loqarifmik düsturlar və göstərici verəcəyik həll nümunələri.

Onlar özləri loqarifmlərin əsas xassələrinə görə həll nümunələrini nəzərdə tuturlar. Həll etmək üçün loqarifm düsturlarını tətbiq etməzdən əvvəl sizə bütün xüsusiyyətləri xatırladaq:

İndi bu düsturlara (xüsusiyyətlərə) əsaslanaraq göstərəcəyik loqarifmlərin həlli nümunələri.

Düsturlar əsasında loqarifmlərin həlli nümunələri.

Loqarifm a bazası üçün müsbət b ədədi (log a b ilə işarələnir) b > 0, a > 0 və 1 ilə b almaq üçün a qaldırılmalı olan göstəricidir.

Tərifə əsasən, log a b = x, a x = b ilə bərabərdir, ona görə də log a a x = x.

Loqarifmlər, misallar:

log 2 8 = 3, çünki 2 3 = 8

log 7 49 = 2, çünki 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, çünki 5 -1 = 1/5

Onluq loqarifm- bu, adi loqarifmdir, əsası 10. lg kimi işarələnir.

log 10 100 = 2, çünki 10 2 = 100

Təbii loqarifm- həm də adi loqarifm, loqarifm, lakin əsası e (e = 2,71828... - irrasional ədəd). ln kimi qeyd olunur.

Loqarifmlərin düsturlarını və ya xassələrini əzbərləmək məqsədəuyğundur, çünki sonradan loqarifmlər, loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklərin həlli zamanı onlara ehtiyacımız olacaq. Gəlin hər bir düstur üzərində nümunələrlə yenidən işləyək.

• Əsas loqarifmik eynilik
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabərdir
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Loqarifmik ədədin gücü və loqarifmin əsasının xassələri

  Loqarifmin göstəricisi log nömrələri a b m = mloq a b

  Loqarifmin əsasının göstəricisi log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  m = n olarsa, log a n b n = log a b alırıq

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Yeni bir təmələ keçid
  log a b = log c b/log c a,

  c = b olarsa, log b b = 1 alırıq

  sonra log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüyünüz kimi, loqarifmlər üçün düsturlar göründüyü qədər mürəkkəb deyil. İndi loqarifmlərin həlli nümunələrinə baxaraq, loqarifmik tənliklərə keçə bilərik. Məqalədə loqarifmik tənliklərin həlli nümunələrinə daha ətraflı baxacağıq: "". Qaçırmayın!

Həll yolu ilə bağlı hələ də suallarınız varsa, onları məqalənin şərhlərində yazın.

Qeyd: seçim olaraq fərqli bir təhsil sinfi almaq və xaricdə təhsil almaq qərarına gəldik.

Müsbət b ədədinin a (a>0, a 1-ə bərabər deyil) əsası üçün loqarifmi elə c ədədidir ki, a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Qeyd edək ki, qeyri-müsbət ədədin loqarifmi qeyri-müəyyəndir. Bundan əlavə, loqarifmin əsası 1-ə bərabər olmayan müsbət ədəd olmalıdır. Məsələn, -2-nin kvadratı olsaq, 4 rəqəmini alırıq, lakin bu, 4-ün əsas -2 loqarifminin bərabər olması demək deyil. 2-yə.

Əsas loqarifmik eynilik

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bu formulun sağ və sol tərəflərinin tərif dairəsinin fərqli olması vacibdir. Sol tərəf yalnız b>0, a>0 və a ≠ 1 üçün müəyyən edilir. Sağ hissə hər hansı b üçün müəyyən edilir, lakin heç bir halda a-dan asılı deyil. Beləliklə, tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edərkən əsas loqarifmik "şəxsiyyətin" tətbiqi OD-nin dəyişməsinə səbəb ola bilər.

Loqarifmin tərifinin iki aşkar nəticəsi

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Doğrudan da, a rəqəmini birinci dərəcəyə qaldıranda eyni rəqəmi, sıfır gücünə qaldırdıqda isə bir ədəd alırıq.

Məhsulun loqarifmi və hissənin loqarifmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Məktəbliləri loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı bu düsturlardan düşünmədən istifadə etməmələri barədə xəbərdarlıq etmək istərdim. Onları "soldan sağa" istifadə edərkən ODZ daralır və loqarifmlərin cəmi və ya fərqindən məhsulun və ya hissənin loqarifminə keçdikdə ODZ genişlənir.

Həqiqətən də log a (f (x) g (x)) ifadəsi iki halda müəyyən edilir: hər iki funksiya ciddi müsbət olduqda və ya f (x) və g (x) hər ikisi sıfırdan kiçik olduqda.

Bu ifadəni log a f (x) + log a g (x) cəminə çevirərək, özümüzü yalnız f(x)>0 və g(x)>0 olduğu halla məhdudlaşdırmağa məcbur oluruq. Məqbul dəyərlər diapazonunun daralması var və bu, qəti şəkildə qəbuledilməzdir, çünki bu, həllərin itirilməsinə səbəb ola bilər. Düstur (6) üçün də oxşar problem mövcuddur.

Dərəcə loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Və bir daha diqqətli olmağa çağırmaq istərdim. Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Bərabərliyin sol tərəfi açıq şəkildə f(x)-in sıfırdan başqa bütün qiymətləri üçün müəyyən edilmişdir. Sağ tərəf yalnız f(x)>0 üçündür! Dərəcəni loqarifmadan çıxararaq, biz yenidən ODZ-ni daraldırıq. Əks prosedur məqbul dəyərlər diapazonunun genişlənməsinə gətirib çıxarır. Bütün bu qeydlər təkcə 2-ci gücə deyil, həm də istənilən bərabər gücə aiddir.

Yeni bir təmələ keçmək üçün formula

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Transformasiya zamanı ODZ-nin dəyişmədiyi nadir haldır. Əgər siz c bazasını ağıllı seçmisinizsə (müsbət və 1-ə bərabər deyil), yeni bazaya keçmək üçün formula tamamilə təhlükəsizdir.

Yeni c əsası kimi b ədədini seçsək, vacib bir nəticə əldə edirik xüsusi hal düsturlar (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Loqarifmlərlə bəzi sadə nümunələr

Misal 1. Hesablayın: log2 + log50.
Həll. log2 + log50 = log100 = 2. Loqarifmlərin cəmindən (5) düsturundan və onluq loqarifmin tərifindən istifadə etdik.

Misal 2. Hesablayın: lg125/lg5.
Həll. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bazaya keçmək üçün düsturdan istifadə etdik (8).

Loqarifmlərə aid düsturlar cədvəli

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)