“Həndəsi alqoritmlər” seriyasından dərs

Salam əziz oxucu!

Bu gün biz həndəsə ilə bağlı alqoritmləri öyrənməyə başlayacağıq. Məsələ burasındadır ki, kompüter elmində hesablama həndəsəsi ilə bağlı kifayət qədər olimpiada problemi var və belə məsələlərin həlli çox vaxt çətinliklərə səbəb olur.

Bir neçə dərs ərzində biz hesablama həndəsəsinin əksər məsələlərinin həllinin əsaslandığı bir sıra elementar alt tapşırıqları nəzərdən keçirəcəyik.

Bu dərsdə biz üçün proqram yaradacağıq xəttin tənliyini tapmaq, keçərək verilir iki xal. Həndəsi məsələləri həll etmək üçün bizə hesablama həndəsəsindən bəzi biliklər lazımdır. Dərsin bir hissəsini onlarla tanış olmağa həsr edəcəyik.

Hesablama həndəsəsindən anlayışlar

Hesablama həndəsəsi həndəsi məsələlərin həlli üçün alqoritmləri öyrənən kompüter elminin bir sahəsidir.

Bu cür problemlər üçün ilkin məlumatlar müstəvidəki nöqtələr dəsti, seqmentlər dəsti, çoxbucaqlı (məsələn, saat əqrəbi istiqamətində onun təpələrinin siyahısı ilə müəyyən edilir) və s.

Nəticə ya hansısa sualın cavabı ola bilər (məsələn, nöqtə seqmentə aiddir, iki seqment kəsişirmi, ...) və ya hansısa həndəsi obyekt (məsələn, verilmiş nöqtələri birləşdirən ən kiçik qabarıq çoxbucaqlının sahəsi, çoxbucaqlı və s.).

Hesablama həndəsəsinin məsələlərini yalnız müstəvidə və yalnız Dekart koordinat sistemində nəzərdən keçirəcəyik.

Vektorlar və koordinatlar

Hesablama həndəsəsinin üsullarını tətbiq etmək üçün həndəsi təsvirləri ədədlərin dilinə çevirmək lazımdır. Təyyarəyə saat əqrəbinin əksi istiqamətində fırlanma istiqamətinin müsbət adlanan Kartezian koordinat sistemi verildiyini fərz edəcəyik.

İndi həndəsi obyektlər analitik ifadə alır. Beləliklə, bir nöqtəni təyin etmək üçün onun koordinatlarını göstərmək kifayətdir: bir cüt ədəd (x; y). Bir seqment onun uclarının koordinatlarını təyin etməklə müəyyən edilə bilər;

Ancaq problemləri həll etmək üçün əsas vasitəmiz vektorlar olacaq. Ona görə də icazə verin, onlar haqqında bəzi məlumatları yada salım.

Xətt seqmenti AB, bir məqamı var A başlanğıc (tətbiq nöqtəsi) və nöqtə hesab olunur IN– vektor adlanan son AB və ya ilə və ya qalın kiçik hərflə işarələnir, məsələn A .

Vektorun uzunluğunu (yəni müvafiq seqmentin uzunluğunu) qeyd etmək üçün modul simvolundan istifadə edəcəyik (məsələn, ).

İxtiyari vektorun sonu və başlanğıcının müvafiq koordinatları arasındakı fərqə bərabər koordinatları olacaq:

,

burada məqamlar var A Və B koordinatları var müvafiq olaraq.

Hesablamalar üçün konsepsiyadan istifadə edəcəyik yönümlü bucaq, yəni vektorların nisbi mövqeyini nəzərə alan bucaq.

Vektorlar arasında istiqamətlənmiş bucaq a Və b fırlanma vektordan olarsa müsbətdir a vektor etmək b müsbət istiqamətdə (saat əqrəbinin əksinə), digər halda isə mənfi həyata keçirilir. Bax Şəkil 1a, Şəkil 1b. Bir cüt vektor olduğu da deyilir a Və b müsbət (mənfi) yönümlü.

Beləliklə, yönləndirilmiş bucağın dəyəri vektorların sıralandığı sıradan asılıdır və intervalda qiymətlər ala bilər.

Hesablama həndəsəsinin bir çox problemində vektorların vektor (əyri və ya psevdoskalar) məhsulları anlayışından istifadə edilir.

a və b vektorlarının vektor hasili bu vektorların uzunluqlarının və aralarındakı bucağın sinusunun hasilidir:

.

Koordinatlarda vektorların çarpaz məhsulu:

Sağdakı ifadə ikinci dərəcəli determinantdır:

Analitik həndəsədə verilən tərifdən fərqli olaraq, skalyardır.

Vektor məhsulunun işarəsi vektorların bir-birinə nisbətən mövqeyini təyin edir:

a Və b müsbət yönümlüdür.

Əgər dəyər olarsa, onda vektor cütü a Və b mənfi yönümlüdür.

Sıfırdan fərqli vektorların çarpaz hasili sıfıra bərabərdir, o halda ki, onlar kollineardırlar ( ). Bu o deməkdir ki, onlar eyni xətt üzərində və ya paralel xətlər üzərində uzanırlar.

Daha mürəkkəb olanları həll edərkən zəruri olan bir neçə sadə məsələyə baxaq.

İki nöqtənin koordinatlarından düz xəttin tənliyini təyin edək.

Koordinatları ilə müəyyən edilmiş iki fərqli nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Düz xətt üzərində üst-üstə düşməyən iki nöqtə verilsin: koordinatları (x1; y1) və koordinatları (x2; y2). Müvafiq olaraq, başlanğıcı nöqtədə və sonu nöqtədə olan vektorun koordinatları (x2-x1, y2-y1) olur. Əgər P(x, y) xəttimizdə ixtiyari nöqtədirsə, vektorun koordinatları (x-x1, y – y1) bərabərdir.

Vektor məhsulundan istifadə edərək vektorların kollinearlığı şərti aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Bunlar. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Son tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazırıq:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Beləliklə, düz xətt (1) formasının tənliyi ilə təyin edilə bilər.

Məsələ 1. İki nöqtənin koordinatları verilmişdir. Onun ax + by + c = 0 şəklində təsvirini tapın.

Bu dərsdə hesablama həndəsəsi haqqında bəzi məlumatlar öyrəndik. İki nöqtənin koordinatlarından xəttin tənliyini tapmaq məsələsini həll etdik.

Növbəti dərsdə tənliklərimizlə verilən iki xəttin kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün proqram yaradacağıq.

Bu məqalə müstəvidə xəttin tənliyi mövzusunu davam etdirir: biz bu tip tənliyi xəttin ümumi tənliyi kimi nəzərdən keçirəcəyik. Teoremi təyin edək və onun isbatını verək; Bir xəttin natamam ümumi tənliyinin nə olduğunu və ümumi tənlikdən xəttin digər növ tənliklərinə necə keçid edəcəyini anlayaq. Biz bütün nəzəriyyəni illüstrasiyalar və praktiki problemlərin həlli ilə gücləndirəcəyik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemi O x y göstərilsin.

Teorem 1

A x + B y + C = 0 formasına malik olan birinci dərəcəli hər hansı bir tənlik, burada A, B, C bəzi həqiqi ədədlərdir (A və B eyni zamanda sıfıra bərabər deyil) bir düz xətti müəyyən edir. müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemi. Öz növbəsində, bir müstəvidə düzbucaqlı bir koordinat sistemindəki hər hansı bir düz xətt müəyyən A, B, C dəyərlər dəsti üçün A x + B y + C = 0 şəklində olan bir tənliklə müəyyən edilir.

Sübut

Bu teorem iki nöqtədən ibarətdir, onların hər birini isbat edəcəyik.

1. Sübut edək ki, A x + B y + C = 0 tənliyi müstəvidə düz xətti təyin edir.

Koordinatları A x + B y + C = 0 tənliyinə uyğun gələn bəzi M 0 (x 0 , y 0) nöqtəsi olsun. Beləliklə: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 tənliklərinin sol və sağ tərəflərindən A x 0 + B y 0 + C = 0 tənliyinin sol və sağ tərəflərini çıxarsaq, A (x) kimi görünən yeni bir tənlik alırıq. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0-a bərabərdir.

Nəticədə A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tənliyi zəruridir və kifayət qədər şərait vektorların perpendikulyarlığı n → = (A, B) və M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Beləliklə, M (x, y) nöqtələr çoxluğu düzbucaqlı koordinat sistemində n → = (A, B) vektorunun istiqamətinə perpendikulyar olan düz xətti müəyyən edir. Bunun belə olmadığını güman edə bilərik, lakin onda n → = (A, B) və M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorları perpendikulyar olmayacaq və A (x -) bərabərliyi. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 doğru olmazdı.

Nəticə etibarilə, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tənliyi müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən xətti təyin edir və buna görə də A x + B y + C = 0 ekvivalent tənliyi eyni xətt. Teoremin birinci hissəsini belə sübut etdik.

1. Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemindəki istənilən düz xəttin birinci dərəcəli A x + B y + C = 0 tənliyi ilə təyin oluna biləcəyini sübut edək.

Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində a düz xəttini təyin edək; bu xəttin keçdiyi M 0 (x 0 , y 0) nöqtəsi, həmçinin bu xəttin normal vektoru n → = (A, B) .

M (x, y) nöqtəsi də olsun - xətt üzərində üzən nöqtə. Bu halda n → = (A, B) və M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorları bir-birinə perpendikulyardır və onların skalyar hasilatı sıfırdır:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 tənliyini yenidən yazaq, C: C = - A x 0 - B y 0 təyin edək və yekun nəticə olaraq A x + B y + C = tənliyini alırıq. 0.

Beləliklə, biz teoremin ikinci hissəsini sübut etdik və bütün teoremi bütövlükdə sübut etdik.

Tərif 1

Formanın tənliyi A x + B y + C = 0 - Bu xəttin ümumi tənliyi düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidəOksi.

Sübut edilmiş teoremə əsaslanaraq belə nəticəyə gələ bilərik ki, sabit düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə müəyyən edilmiş düz xətt və onun ümumi tənliyi ayrılmaz şəkildə bağlıdır. Başqa sözlə, ilkin xətt onun ümumi tənliyinə uyğundur; xəttin ümumi tənliyi verilmiş xəttə uyğundur.

Teoremin isbatından o da belə çıxır ki, x və y dəyişənləri üçün A və B əmsalları xəttin normal vektorunun koordinatlarıdır, A x + B y + C = xəttinin ümumi tənliyi ilə verilir. 0.

Xəttin ümumi tənliyinin konkret nümunəsini nəzərdən keçirək.

Verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində düz xəttə uyğun gələn 2 x + 3 y - 2 = 0 tənliyi verilsin. Bu xəttin normal vektoru vektordur n → = (2, 3). Rəsmdə verilmiş düz xətti çəkək.

Aşağıdakıları da ifadə edə bilərik: rəsmdə gördüyümüz düz xətt 2 x + 3 y - 2 = 0 ümumi tənliyi ilə müəyyən edilir, çünki verilmiş düz xəttin bütün nöqtələrinin koordinatları bu tənliyə uyğundur.

Xəttin ümumi tənliyinin hər iki tərəfini sıfıra bərabər olmayan λ ədədinə vurmaqla λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 tənliyini əldə edə bilərik. Yaranan tənlik orijinal ümumi tənliyə bərabərdir, buna görə də müstəvidə eyni düz xətti təsvir edəcəkdir.

Tərif 2

Xəttin tam ümumi tənliyi– A, B, C ədədlərinin sıfırdan fərqli olduğu A x + B y + C = 0 düz xəttinin belə ümumi tənliyi. Əks halda tənlik belədir natamam.

Xəttin natamam ümumi tənliyinin bütün variasiyalarını təhlil edək.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 olduqda ümumi tənlik B y + C = 0 formasını alır. Belə natamam ümumi tənlik O x y düzbucaqlı koordinat sistemində O x oxuna paralel olan düz xətti müəyyən edir, çünki x-in istənilən həqiqi dəyəri üçün y dəyişəni dəyəri alacaq. - C B. Başqa sözlə, A x + B y + C = 0 xəttinin ümumi tənliyi A = 0, B ≠ 0 olduqda, koordinatları eyni ədədə bərabər olan (x, y) nöqtələrin yerini təyin edir. - C B.
2. A = 0, B ≠ 0, C = 0 olarsa, ümumi tənlik y = 0 formasını alır. Bu natamam tənlik absis oxunu təyin edir O x .
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 olduqda, ordinata paralel düz xətti təyin edən natamam ümumi A x + C = 0 tənliyini alırıq.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 olsun, onda natamam ümumi tənlik x = 0 şəklini alacaq və bu, O y koordinat xəttinin tənliyidir.
5. Nəhayət, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 üçün natamam ümumi tənlik A x + B y = 0 formasını alır. Və bu tənlik başlanğıcdan keçən düz xətti təsvir edir. Əslində, ədədlər cütü (0, 0) A x + B y = 0 bərabərliyinə uyğundur, çünki A · 0 + B · 0 = 0.

Düz xəttin natamam ümumi tənliyinin yuxarıda göstərilən bütün növlərini qrafik şəkildə təsvir edək.

Misal 1

Məlumdur ki, verilmiş düz xətt ordinat oxuna paraleldir və 2 7, - 11 nöqtəsindən keçir. Verilmiş xəttin ümumi tənliyini yazmaq lazımdır.

Həll

Ordinat oxuna paralel düz xətt A x + C = 0 formalı tənliklə verilir, burada A ≠ 0 olur. Şərt xəttin keçdiyi nöqtənin koordinatlarını da müəyyən edir və bu nöqtənin koordinatları natamam ümumi A x + C = 0 tənliyinin şərtlərinə cavab verir, yəni. bərabərlik doğrudur:

A 2 7 + C = 0

Ondan A-ya sıfırdan fərqli qiymət versək C-ni müəyyən etmək olar, məsələn, A = 7. Bu halda alırıq: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Biz həm A, həm də C əmsallarını bilirik, onları A x + C = 0 tənliyində əvəz edirik və tələb olunan düz xətt tənliyini əldə edirik: 7 x - 2 = 0

Cavab: 7 x - 2 = 0

Misal 2

Rəsmdə düz bir xətt göstərilir, onun tənliyini yazmalısınız.

Həll

Verilmiş rəsm problemi həll etmək üçün ilkin məlumatları asanlıqla götürməyə imkan verir. Rəsmdə görürük ki, verilmiş düz xətt O x oxuna paraleldir və (0, 3) nöqtəsindən keçir.

Absisə paralel olan düz xətt natamam ümumi B y + C = 0 tənliyi ilə müəyyən edilir. B və C qiymətlərini tapaq. (0, 3) nöqtəsinin koordinatları, verilmiş xətt ondan keçdiyi üçün B y + C = 0 xəttinin tənliyini təmin edəcək, onda bərabərlik etibarlıdır: B · 3 + C = 0. Gəlin B-ni sıfırdan başqa bir qiymətə təyin edək. Tutaq ki, B = 1, bu halda B · 3 + C = 0 bərabərliyindən C: C = - 3 tapa bilərik. istifadə edirik məlum dəyərlər B və C, biz düz xəttin tələb olunan tənliyini alırıq: y - 3 = 0.

Cavab: y - 3 = 0 .

Müstəvidə verilmiş nöqtədən keçən xəttin ümumi tənliyi

Verilmiş xətt M 0 (x 0 , y 0) nöqtəsindən keçsin, onda onun koordinatları xəttin ümumi tənliyinə uyğundur, yəni. bərabərlik doğrudur: A x 0 + B y 0 + C = 0. Bu tənliyin sol və sağ tərəflərini ümuminin sol və sağ tərəflərindən çıxaraq tam tənlik düz. Alırıq: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, bu tənlik ilkin ümumiyə ekvivalentdir, M 0 (x 0, y 0) nöqtəsindən keçir və normala malikdir. vektor n → = (A, B) .

Əldə etdiyimiz nəticə ilə düz xəttin ümumi tənliyini yazmağa imkan verir məlum koordinatlar xəttin normal vektoru və bu xəttin müəyyən nöqtəsinin koordinatları.

Misal 3

Xəttin keçdiyi M 0 (- 3, 4) nöqtəsi və bu xəttin normal vektoru verilmişdir. n → = (1 , - 2) . Verilmiş xəttin tənliyini yazmaq lazımdır.

Həll

İlkin şərtlər tənliyi tərtib etmək üçün lazımi məlumatları əldə etməyə imkan verir: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Sonra:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problem başqa cür həll oluna bilərdi. Düz xəttin ümumi tənliyi A x + B y + C = 0-dır. Verilmiş normal vektor A və B əmsallarının dəyərlərini almağa imkan verir, onda:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

İndi düz xəttin keçdiyi məsələnin şərti ilə müəyyən edilmiş M 0 (- 3, 4) nöqtəsindən istifadə edərək C-nin qiymətini tapaq. Bu nöqtənin koordinatları x - 2 · y + C = 0 tənliyinə uyğundur, yəni. - 3 - 2 4 + C = 0. Beləliklə, C = 11. Tələb olunan düz xətt tənliyi formanı alır: x - 2 · y + 11 = 0.

Cavab: x - 2 y + 11 = 0 .

Misal 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 xətti və bu xətt üzərində uzanan M 0 nöqtəsi verilmişdir. Bu nöqtənin yalnız absisi məlumdur və o - 3-ə bərabərdir. Verilmiş nöqtənin ordinatını təyin etmək lazımdır.

Həll

M 0 nöqtəsinin koordinatlarını x 0 və y 0 kimi təyin edək. Mənbə məlumatları x 0 = - 3 olduğunu göstərir. Nöqtə verilmiş xəttə aid olduğu üçün onun koordinatları bu xəttin ümumi tənliyinə uyğun gəlir. Sonra bərabərlik doğru olacaq:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0-ı təyin edin: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Cavab: - 5 2

Xəttin ümumi tənliyindən xəttin və arxa tənliklərin digər növlərinə keçid

Bildiyimiz kimi, müstəvidə eyni düz xətt üçün bir neçə növ tənlik var. Tənlik növünün seçimi məsələnin şərtlərindən asılıdır; onun həlli üçün daha əlverişli olanı seçmək mümkündür. Bir növ tənliyi başqa tipli tənliyə çevirmək bacarığı burada çox faydalıdır.

Əvvəlcə A x + B y + C = 0 formalı ümumi tənlikdən x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik tənliyinə keçidi nəzərdən keçirək.

Əgər A ≠ 0 olarsa, onda B y terminini köçürürük sağ tərəfümumi tənlik. Sol tərəfdə mötərizədə A-nı çıxarırıq. Nəticədə əldə edirik: A x + C A = - B y.

Bu bərabərliyi nisbət şəklində yazmaq olar: x + C A - B = y A.

B ≠ 0 olarsa, ümumi tənliyin sol tərəfində yalnız A x terminini qoyuruq, digərlərini sağ tərəfə köçürür, alarıq: A x = - B y - C. Mötərizədə – B çıxarırıq, onda: A x = - B y + C B .

Bərabərliyi nisbət olaraq yenidən yazaq: x - B = y + C B A.

Təbii ki, ortaya çıxan düsturları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Ümumi tənlikdən kanonik tənliyə keçərkən hərəkətlərin alqoritmini bilmək kifayətdir.

Misal 5

3 y - 4 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir. Onu kanonik tənliyə çevirmək lazımdır.

Həll

Gəlin onu yazaq orijinal tənlik 3 y - 4 = 0 kimi. Sonra, alqoritmə uyğun olaraq davam edirik: 0 x termini sol tərəfdə qalır; və sağ tərəfə qoyduq - mötərizədə 3; alırıq: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Nəticə bərabərliyi nisbət kimi yazaq: x - 3 = y - 4 3 0 . Beləliklə, kanonik formalı bir tənlik əldə etdik.

Cavab: x - 3 = y - 4 3 0.

Xəttin ümumi tənliyini parametrik tənliyə çevirmək üçün əvvəlcə kanonik formaya, sonra isə xəttin kanonik tənliyindən parametrik tənliklərə keçid edilir.

Misal 6

Düz xətt 2 x - 5 y - 1 = 0 tənliyi ilə verilir. Bu xətt üçün parametrik tənlikləri yazın.

Həll

Ümumi tənlikdən kanonik tənliyə keçid edək:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

İndi ortaya çıxan kanonik tənliyin hər iki tərəfini λ-a bərabər götürürük, onda:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Cavab:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ümumi tənlik y = k · x + b meylli düz xəttin tənliyinə çevrilə bilər, lakin yalnız B ≠ 0 olduqda. Keçid üçün B y terminini sol tərəfə buraxırıq, qalanları sağa köçürülür. Alırıq: B y = - A x - C . Əldə olunan bərabərliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli B-yə bölək: y = - A B x - C B.

Misal 7

Xəttin ümumi tənliyi verilmişdir: 2 x + 7 y = 0. Həmin tənliyi yamac tənliyinə çevirməlisiniz.

Həll

Alqoritmə uyğun olaraq lazımi hərəkətləri yerinə yetirək:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Cavab: y = - 2 7 x .

Xəttin ümumi tənliyindən sadəcə olaraq x a + y b = 1 formasının seqmentlərində tənlik əldə etmək kifayətdir. Belə bir keçid etmək üçün biz C ədədini bərabərliyin sağ tərəfinə keçiririk, yaranan bərabərliyin hər iki tərəfini – C-yə bölürük və nəhayət, x və y dəyişənləri üçün əmsalları məxrəcə köçürük:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Misal 8

X - 7 y + 1 2 = 0 xəttinin ümumi tənliyini seqmentlərdə xəttin tənliyinə çevirmək lazımdır.

Həll

1 2-ni sağ tərəfə keçirək: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Bərabərliyin hər iki tərəfini -1/2-yə bölək: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Cavab: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ümumiyyətlə, tərs keçid də asandır: digər növ tənliklərdən ümumiyə.

Düz xəttin seqmentlərdəki tənliyi və bucaq əmsalı olan tənliyi bərabərliyin sol tərəfindəki bütün şərtləri toplamaqla asanlıqla ümumiyə çevrilə bilər:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonik tənlik aşağıdakı sxemə uyğun olaraq ümumi tənliyə çevrilir:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrik olanlardan keçmək üçün əvvəlcə kanonik birinə, sonra isə ümumiyə keçin:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Misal 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 xəttinin parametrik tənlikləri verilmişdir. Bu xəttin ümumi tənliyini yazmaq lazımdır.

Həll

-dən keçid edək parametrik tənliklər kanonik:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kanonikdən ümumiyə keçək:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Cavab: y - 4 = 0

Misal 10

x 3 + y 1 2 = 1 seqmentlərində düz xəttin tənliyi verilmişdir. Keçid etmək lazımdır ümumi görünüş tənliklər

Həll:

Sadəcə olaraq tənliyi tələb olunan formada yenidən yazırıq:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Cavab: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Xəttin ümumi tənliyini tərtib etmək

Yuxarıda dedik ki, ümumi tənliyi normal vektorun məlum koordinatları və xəttin keçdiyi nöqtənin koordinatları ilə yazmaq olar. Belə düz xətt A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tənliyi ilə müəyyən edilir. Orada da müvafiq nümunəni təhlil etdik.

İndi daha mürəkkəb nümunələrə baxaq, burada ilk növbədə normal vektorun koordinatlarını təyin etməliyik.

Misal 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 xəttinə paralel bir xətt verilmişdir. Verilmiş xəttin keçdiyi M 0 (4, 1) nöqtəsi də məlumdur. Verilmiş xəttin tənliyini yazmaq lazımdır.

Həll

İlkin şərtlər bizə xətlərin paralel olduğunu bildirir, onda tənliyi yazılmalı olan xəttin normal vektoru kimi n → = (2, - 3) xəttinin istiqamət vektorunu alırıq: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. İndi xəttin ümumi tənliyini yaratmaq üçün bütün lazımi məlumatları bilirik:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Cavab: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Misal 12

Verilmiş xətt x - 2 3 = y + 4 5 xəttinə perpendikulyar başlanğıc nöqtəsindən keçir. Verilmiş xətt üçün ümumi tənlik yaratmaq lazımdır.

Həll

Verilmiş xəttin normal vektoru x - 2 3 = y + 4 5 xəttinin istiqamət vektoru olacaqdır.

Onda n → = (3, 5) . Düz xətt başlanğıcdan keçir, yəni. O nöqtəsi vasitəsilə (0, 0). Verilmiş düz xətt üçün ümumi tənlik yaradaq:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Cavab verin: 3 x + 5 y = 0 .

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Müstəvidə düz xəttin tənliyi.
İstiqamət vektoru düzdür. Normal vektor

Təyyarədə düz xətt ən sadələrdən biridir həndəsi fiqurlar, sizə o vaxtdan tanışdır kiçik siniflər, və bu gün biz analitik həndəsə üsullarından istifadə edərək bununla necə məşğul olacağımızı öyrənəcəyik. Materialı mənimsəmək üçün düz bir xətt qurmağı bacarmalısınız; bil ki, hansı tənlik düz xətti, xüsusən də koordinatların başlanğıcından keçən düz xətti və koordinat oxlarına paralel düz xətləri təyin edir. Bu məlumat təlimatda tapa bilərsiniz Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri, mən onu matan üçün yaratdım, amma haqqında bölmə xətti funksiyaÇox uğurlu və təfərrüatlı çıxdı. Odur ki, əziz çayniklər, əvvəlcə orada isinsinlər. Bundan əlavə, haqqında əsas biliklərə sahib olmalısınız vektorlar, əks halda materialın başa düşülməsi natamam olacaq.

Bu dərsdə biz müstəvidə düz xəttin tənliyini necə yarada biləcəyinizi nəzərdən keçirəcəyik. Mən praktiki nümunələri (çox sadə görünsə də) laqeyd etməməyi tövsiyə edirəm, çünki mən onlara gələcəkdə tələb olunacaq elementar və vacib faktları, texniki texnikaları, o cümlədən ali riyaziyyatın digər bölmələrində təqdim edəcəyəm.

• Bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyini necə yazmaq olar?
• Necə ?
• Düz xəttin ümumi tənliyindən istifadə edərək istiqamət vektorunu necə tapmaq olar?
• Nöqtə və normal vektor verilmiş düz xəttin tənliyini necə yazmaq olar?

və başlayırıq:

Yamaclı düz xəttin tənliyi

Düz xətt tənliyinin məşhur “məktəb” forması deyilir yamaclı düz xəttin tənliyi. Məsələn, düz xətt tənliklə verilirsə, onda onun mailliyi: . Bu əmsalın həndəsi mənasını və onun dəyərinin xəttin yerinə necə təsir etdiyini nəzərdən keçirək:

Həndəsə kursunda bunu sübut edir düz xəttin mailliyi bərabərdir bucağın tangensi müsbət ox istiqaməti arasındavə bu xətt: , və bucaq saat yönünün əksinə "açılır".

Rəsmi qarışdırmamaq üçün yalnız iki düz xətt üçün bucaqlar çəkdim. Gəlin “qırmızı” xətti və onun yamacını nəzərdən keçirək. Yuxarıda göstərilənlərə əsasən: (“alfa” bucağı yaşıl qövslə göstərilir). Bucaq əmsalı olan “mavi” düz xətt üçün bərabərlik doğrudur (“beta” bucağı qəhvəyi qövslə göstərilir). Və bucağın tangensi məlumdursa, lazım olduqda onu tapmaq asandır və küncün özü tərs funksiyadan istifadə edərək - arktangent. Necə deyərlər, əlinizdə triqonometrik cədvəl və ya mikrokalkulyator. Beləliklə, bucaq əmsalı düz xəttin absis oxuna meyl dərəcəsini xarakterizə edir.

Bu halda mümkündür aşağıdakı hallar:

1) Yamac mənfi olarsa: o zaman xətt, kobud desək, yuxarıdan aşağıya doğru gedir. Nümunələr rəsmdəki “mavi” və “moruq” düz xətləridir.

2) Əgər yamac müsbətdirsə: onda xətt aşağıdan yuxarıya doğru gedir. Nümunələr - rəsmdəki "qara" və "qırmızı" düz xətlər.

3) Əgər yamac sıfırdırsa: , onda tənlik formasını alır və müvafiq düz xətt oxa paraleldir. Buna misal olaraq “sarı” düz xətti göstərmək olar.

4) Oxa paralel xətlər ailəsi üçün (oxun özündən başqa rəsmdə heç bir nümunə yoxdur), bucaq əmsalı mövcud deyil (90 dərəcə tangensi müəyyən edilməyib).

Mütləq dəyərdə yamac əmsalı nə qədər böyükdürsə, xətt qrafiki bir o qədər dik olur..

Məsələn, iki düz xətti nəzərdən keçirək. Deməli, burada düz xəttin daha dik yamacı var. Xatırladım ki, modul işarəni görməməzlikdən gəlməyə imkan verir, bizi yalnız maraqlandırır mütləq dəyərlər bucaq əmsalları.

Öz növbəsində, düz xətt düz xətlərdən daha dikdir .

Əksinə: mütləq dəyərdə yamac əmsalı nə qədər kiçik olsa, düz xətt bir o qədər düzdür.

Düz xətlər üçün bərabərsizlik doğrudur, beləliklə düz xətt daha düzdür. Özünüzə qançırlar və zərbələr verməmək üçün uşaq sürüşməsi.

Bu niyə lazımdır?

Əzabınızı uzadın Yuxarıdakı faktları bilmək, səhvlərinizi, xüsusən də qrafiklər qurarkən səhvlərinizi dərhal görməyə imkan verir - əgər rəsm "açıqca səhv bir şey" olduğu ortaya çıxarsa. Məsləhətdir ki, siz dərhal aydın idi ki, məsələn, düz xətt çox sıldırımdır və aşağıdan yuxarıya doğru gedir, düz xətt isə çox düzdür, oxa yaxın sıxılır və yuxarıdan aşağıya doğru gedir.

Həndəsi məsələlərdə tez-tez bir neçə düz xətt görünür, buna görə də onları bir şəkildə təyin etmək rahatdır.

Təyinatlar: düz xətlər kiçik təyin olunur latın hərfləri ilə: . Populyar bir seçim, onları təbii alt işarələrlə eyni hərfdən istifadə edərək təyin etməkdir. Məsələn, indicə baxdığımız beş sətir ilə işarələmək olar .

İstənilən düz xətt unikal olaraq iki nöqtə ilə təyin olunduğu üçün onu bu nöqtələrlə işarələmək olar: və s. Təyinat nöqtələrin xəttə aid olduğunu açıq şəkildə ifadə edir.

Bir az isinməyin vaxtı gəldi:

Bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyini necə yazmaq olar?

Müəyyən bir xəttə aid nöqtə və bu xəttin bucaq əmsalı məlumdursa, bu xəttin tənliyi düsturla ifadə edilir:

Misal 1

Nöqtənin verilmiş xəttə aid olduğu məlumdursa, mailliyi olan xəttin tənliyini yazın.

Həll: Düsturdan istifadə edərək düz xəttin tənliyini quraq . IN bu halda:

Cavab verin:

İmtahan sadə şəkildə həyata keçirilir. Birincisi, yaranan tənliyə baxırıq və yamacımızın yerində olduğundan əmin oluruq. İkincisi, nöqtənin koordinatları bu tənliyi təmin etməlidir. Onları tənliyə birləşdirək:

Düzgün bərabərlik əldə edilir, bu o deməkdir ki, nöqtə yaranan tənliyi təmin edir.

Nəticə: Tənlik düzgün tapıldı.

Üçün daha çətin bir nümunə müstəqil qərar:

Misal 2

Düz xəttin oxunun müsbət istiqamətinə meyl bucağının , nöqtəsinin isə bu düz xəttə aid olduğu məlumdursa, onun tənliyini yazın.

Hər hansı bir çətinlik varsa, nəzəri materialı yenidən oxuyun. Daha doğrusu, daha praktiki, çoxlu sübutları atlayıram.

Zəng çaldı Son zəng, məzun gecəsi keçdi və doğma məktəbimizin qapıları qarşısında bizi analitik həndəsə özü gözləyir. Zarafatlar bitdi... Və ya bəlkə yeni başlayırlar =)

Nostalji olaraq qələmimizi tanışa yelləyirik və düz xəttin ümumi tənliyi ilə tanış oluruq. Çünki analitik həndəsədə məhz bundan istifadə olunur:

Düz xəttin ümumi tənliyi formaya malikdir: , bəzi nömrələr haradadır. Eyni zamanda, əmsallar eyni vaxtda sıfıra bərabər deyil, çünki tənlik mənasını itirir.

Gəlin kostyum geyinək və yamac əmsalı ilə bərabərliyi bağlayaq. Əvvəlcə bütün şərtləri bu yerə köçürək sol tərəf:

“X” ilə ifadə birinci yerə qoyulmalıdır:

Prinsipcə, tənlik artıq formaya malikdir , lakin riyazi etiket qaydalarına əsasən, birinci terminin əmsalı (bu halda) müsbət olmalıdır. Dəyişən işarələr:

Bu texniki xüsusiyyəti unutmayın! Birinci əmsalı (ən çox) müsbət edirik!

Analitik həndəsədə düz xəttin tənliyi demək olar ki, həmişə veriləcəkdir ümumi forma. Yaxşı, lazım gələrsə, bucaq əmsalı ilə asanlıqla "məktəb" formasına endirilə bilər (ordinat oxuna paralel düz xətlər istisna olmaqla).

Gəlin özümüzdən soruşaq ki, nə yetər düz xətt qurmağı bilirsinizmi? İki xal. Amma bu uşaqlıq hadisəsi haqqında daha çox, indi oxlar qaydası ilə çubuqlar. Hər bir düz xəttin "uyğunlaşdırılması" asan olan çox xüsusi bir yamacı var. vektor.

Xəttə paralel olan vektora həmin xəttin istiqamət vektoru deyilir. Aydındır ki, hər hansı bir düz xəttin sonsuz sayda istiqamət vektoru var və onların hamısı kollinear olacaq (birgə istiqamətli və ya olmasın - fərqi yoxdur).

İstiqamət vektorunu aşağıdakı kimi işarələyəcəm: .

Düz xətt qurmaq üçün bir vektor kifayət deyil və vektor sərbəstdir və müstəvidə heç bir nöqtəyə bağlı deyil; Buna görə də əlavə olaraq xəttə aid olan bəzi nöqtələri bilmək lazımdır.

Bir nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xəttin tənliyini necə yazmaq olar?

Xəttə aid müəyyən nöqtə və bu xəttin istiqamət vektoru məlumdursa, onda bu xəttin tənliyini düsturdan istifadə etməklə tərtib etmək olar:

Bəzən buna deyilir xəttin kanonik tənliyi .

Nə vaxt etməli koordinatlarından biridir sıfıra bərabərdir, biz aşağıda praktiki nümunələrdə başa düşəcəyik. Yeri gəlmişkən, qeyd edin - ikisi birden koordinatlar sıfıra bərabər ola bilməz, çünki sıfır vektoru konkret istiqamət göstərmir.

Misal 3

Nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xətt üçün tənlik yazın

Həll: Düsturdan istifadə edərək düz xəttin tənliyini quraq. Bu halda:

Nisbətin xassələrindən istifadə edərək fraksiyalardan xilas oluruq:

Və tənliyi ümumi formasına gətiririk:

Cavab verin:

Bir qayda olaraq, bu cür nümunələrdə rəsm çəkməyə ehtiyac yoxdur, ancaq başa düşmək üçün:

Rəsmdə başlanğıc nöqtəsini, orijinal istiqamət vektorunu (müstəvidə istənilən nöqtədən çəkmək olar) və qurulmuş düz xətti görürük. Yeri gəlmişkən, bir çox hallarda bucaq əmsalı olan bir tənlikdən istifadə edərək düz xətt qurmaq ən əlverişlidir. Tənliyimizi formaya çevirmək və düz xətt qurmaq üçün asanlıqla başqa bir nöqtə seçmək asandır.

Paraqrafın əvvəlində qeyd edildiyi kimi, düz xəttin sonsuz sayda istiqamət vektoru var və onların hamısı kollineardır. Məsələn, mən üç belə vektor çəkdim: . Hansı istiqamət vektorunu seçdiyimizdən asılı olmayaraq, nəticə həmişə eyni düz xətt tənliyi olacaq.

Nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xəttin tənliyini yaradaq:

Nisbətin həlli:

Hər iki tərəfi –2-yə bölün və tanış tənliyi əldə edin:

Maraqlananlar vektorları eyni şəkildə sınaqdan keçirə bilərlər və ya hər hansı digər kollinear vektor.

İndi tərs məsələni həll edək:

Düz xəttin ümumi tənliyindən istifadə edərək istiqamət vektorunu necə tapmaq olar?

Çox sadə:

Düzbucaqlı koordinat sistemində xətt ümumi tənliklə verilirsə, vektor bu xəttin istiqamət vektorudur.

Düz xətlərin istiqamət vektorlarının tapılması nümunələri:

Bəyanat bizə sonsuz sayda yalnız bir istiqamət vektorunu tapmağa imkan verir, lakin daha çox ehtiyacımız yoxdur. Baxmayaraq ki, bəzi hallarda istiqamət vektorlarının koordinatlarını azaltmaq məsləhətdir:

Beləliklə, tənlik oxa paralel olan düz xətti təyin edir və nəticədə alınan istiqamət vektorunun koordinatları rahat şəkildə –2-yə bölünərək, istiqamət vektoru kimi tam əsas vektoru əldə edir. Məntiqi.

Eynilə, tənlik oxa paralel düz xətti təyin edir və vektorun koordinatlarını 5-ə bölməklə istiqamət vektoru kimi vahid vektoru alırıq.

İndi bunu edək Misal 3-ün yoxlanılması. Nümunə yuxarı qalxdı, ona görə də xatırladıram ki, orada nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xəttin tənliyini tərtib etmişik.

Birincisi, düz xəttin tənliyindən istifadə edərək onun istiqamət vektorunu yenidən qururuq: – hər şey qaydasındadır, biz orijinal vektoru aldıq (bəzi hallarda nəticə orijinala kollinear vektor ola bilər və bunu adətən müvafiq koordinatların mütənasibliyi ilə görmək asandır).

İkincisi, nöqtənin koordinatları tənliyi təmin etməlidir. Onları tənlikdə əvəz edirik:

Düzgün bərabərlik əldə edildi, buna çox sevindik.

Nəticə: Tapşırıq düzgün yerinə yetirildi.

Misal 4

Nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xətt üçün tənlik yazın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Həll və cavab dərsin sonundadır. Yuxarıda müzakirə olunan alqoritmdən istifadə edərək yoxlamaq çox məqsədəuyğundur. Qaralamanı həmişə (mümkünsə) yoxlamağa çalışın. 100% qarşısını almaq mümkün olan yerdə səhv etmək axmaqlıqdır.

İstiqamət vektorunun koordinatlarından biri sıfır olarsa, çox sadə şəkildə davam edin:

Misal 5

Həll: Sağ tərəfdəki məxrəc sıfır olduğu üçün düstur uyğun deyil. Çıxış var! Nisbət xassələrindən istifadə edərək, düsturu formada yenidən yazırıq, qalanları isə dərin bir yol boyunca yuvarlanır:

Cavab verin:

İmtahan:

1) Düz xəttin yönləndirici vektorunu bərpa edin:
– alınan vektor orijinal istiqamət vektoruna kollineardır.

2) Nöqtənin koordinatlarını tənliyə əvəz edin:

Düzgün bərabərlik əldə edilir

Nəticə: tapşırığı düzgün yerinə yetirdi

Sual yaranır ki, hər halda işləyəcək universal versiya varsa, formulla niyə narahat olmaq lazımdır? Bunun iki səbəbi var. Birincisi, düstur kəsr şəklindədir daha yaxşı xatırlanır. İkincisi, mənfi cəhətlər universal formula Odur çaşqınlıq riski əhəmiyyətli dərəcədə artır koordinatları əvəz edərkən.

Misal 6

Bir nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xətt üçün tənlik yazın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir.

Gəlin hər yerdə mövcud olan iki məqama qayıdaq:

İki nöqtədən istifadə edərək düz xəttin tənliyini necə yazmaq olar?

İki nöqtə məlumdursa, bu nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyi düsturdan istifadə etməklə tərtib edilə bilər:

Əslində, bu düsturun bir növüdür və bunun səbəbi budur: iki nöqtə məlumdursa, vektor verilmiş xəttin istiqamət vektoru olacaqdır. Dərsdə Butaforlar üçün vektorlar hesab etdik ən sadə tapşırıq– iki nöqtədən vektorun koordinatlarını necə tapmaq olar. Bu problemə görə istiqamət vektorunun koordinatları:

Qeyd : nöqtələr “dəyişdirilə” və düsturdan istifadə edilə bilər . Belə bir həll ekvivalent olacaqdır.

Misal 7

İki nöqtədən istifadə edərək düz xəttin tənliyini yazın .

Həll: Düsturdan istifadə edirik:

Məxrəclərin birləşdirilməsi:

Və göyərtəni qarışdırın:

İndi ondan qurtulmağın vaxtıdır kəsr ədədlər. Bu vəziyyətdə hər iki tərəfi 6-ya vurmalısınız:

Mötərizələri açın və tənliyi ağlınıza gətirin:

Cavab verin:

İmtahan aydın - koordinatlar başlanğıc nöqtələri yaranan tənliyi təmin etməlidir:

1) Nöqtənin koordinatlarını əvəz edin:

Əsl bərabərlik.

2) Nöqtənin koordinatlarını əvəz edin:

Əsl bərabərlik.

Nəticə: Xəttin tənliyi düzgün yazılmışdır.

Əgər ən azı bir xalların tənliyi təmin etmir, səhv axtarın.

Qeyd etmək lazımdır ki, bu vəziyyətdə qrafik yoxlama çətindir, çünki düz bir xətt qurmaq və nöqtələrin ona aid olub olmadığını görmək , o qədər də sadə deyil.

Həllin daha bir neçə texniki aspektini qeyd edəcəyəm. Bəlkə də bu problemdə güzgü düsturundan istifadə etmək daha sərfəlidir və eyni nöqtələrdə tənlik qurun:

Daha az fraksiya. İstəsəniz, həlli sona qədər həyata keçirə bilərsiniz, nəticə eyni tənlik olmalıdır.

İkinci məqam, yekun cavaba baxmaq və onu daha da sadələşdirmək olarmı? Məsələn, tənliyini əldə edirsinizsə, onda onu iki azaltmaq məsləhətdir: – tənlik eyni düz xətti müəyyən edəcək. Ancaq bu, artıq söhbət mövzusudur xətlərin nisbi mövqeyi.

Cavabı aldıqdan sonra 7-ci misalda, hər ehtimala qarşı, tənliyin BÜTÜN əmsallarının 2, 3 və ya 7-yə bölünüb-bölünmədiyini yoxladım. Baxmayaraq ki, əksər hallarda belə azalmalar həll zamanı edilir.

Misal 8

Nöqtələrdən keçən xəttin tənliyini yazın .

Bu, hesablama texnikasını daha yaxşı başa düşməyə və tətbiq etməyə imkan verəcək müstəqil bir həll nümunəsidir.

Əvvəlki paraqrafa bənzər: düsturda olarsa məxrəclərdən biri (istiqamət vektorunun koordinatı) sıfır olur, sonra onu formada yenidən yazırıq. Yenə də onun nə qədər yöndəmsiz və çaşqın göründüyünə diqqət yetirin. Mən gətirməkdə çox məna görmürəm praktik nümunələr, çünki biz artıq belə bir problemi həll etmişik (bax: № 5, 6).

Birbaşa normal vektor (normal vektor)

Normal nədir? Sadə sözlərlə, normal perpendikulyardır. Yəni xəttin normal vektoru verilmiş xəttə perpendikulyardır. Aydındır ki, istənilən düz xəttin sonsuz sayda (həmçinin istiqamət vektorları) var və düz xəttin bütün normal vektorları kollinear olacaq (koordinatlı və ya olmasın, fərqi yoxdur).

Onlarla məşğul olmaq bələdçi vektorlardan daha asan olacaq:

Düzbucaqlı koordinat sistemində xətt ümumi tənliklə verilirsə, vektor bu xəttin normal vektorudur.

İstiqamət vektorunun koordinatlarını tənlikdən diqqətlə "çıxarmaq" lazımdırsa, normal vektorun koordinatlarını sadəcə olaraq "çıxarmaq" olar.

Normal vektor həmişə xəttin istiqamət vektoruna ortoqonaldır. Bu vektorların ortoqonallığını istifadə edərək yoxlayaq nöqtəli məhsul:

İstiqamət vektoru ilə eyni tənliklərlə nümunələr verəcəyəm:

Bir nöqtə və normal vektor verilmiş düz xəttin tənliyini qurmaq olarmı? Mən bunu içimdə hiss edirəm, bu mümkündür. Normal vektor məlumdursa, düz xəttin istiqaməti özü aydın şəkildə müəyyən edilir - bu 90 dərəcə bucağı olan "sərt quruluşdur".

Nöqtə və normal vektor verilmiş düz xəttin tənliyini necə yazmaq olar?

Xəttə aid müəyyən nöqtə və bu xəttin normal vektoru məlumdursa, bu xəttin tənliyi düsturla ifadə edilir:

Burada hər şey fraksiya və digər sürprizlər olmadan işlədi. Bu bizim normal vektorumuzdur. Onu sevirəm. Və hörmət =)

Misal 9

Nöqtə və normal vektor verilmiş düz xəttin tənliyini yazın. Xəttin istiqamət vektorunu tapın.

Həll: Düsturdan istifadə edirik:

Xəttin ümumi tənliyi alındı, yoxlayaq:

1) Normal vektorun koordinatlarını tənlikdən “çıxarın”: – bəli, həqiqətən, orijinal vektor şərtdən alındı ​​(yaxud kollinear vektor alınmalıdır).

2) Nöqtənin tənliyi təmin edib-etmədiyini yoxlayaq:

Əsl bərabərlik.

Tənliyin düzgün qurulduğuna əmin olduqdan sonra tapşırığın ikinci, daha asan hissəsini yerinə yetirəcəyik. Düz xəttin yönləndirici vektorunu çıxarırıq:

Cavab verin:

Rəsmdə vəziyyət belə görünür:

Təlim məqsədləri üçün müstəqil həll etmək üçün oxşar tapşırıq:

Misal 10

Nöqtə və normal vektor verilmiş düz xəttin tənliyini yazın. Xəttin istiqamət vektorunu tapın.

Dərsin yekun bölməsi daha az yayılmış, eyni zamanda bir müstəvidə xəttin vacib tənlik növlərinə həsr olunacaq.

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.
Parametrik formada xəttin tənliyi

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi formaya malikdir , burada sıfırdan fərqli sabitlərdir. Bəzi tənlik növləri bu formada təqdim edilə bilməz, məsələn, birbaşa mütənasiblik (çünki sərbəst müddət sıfıra bərabərdir və sağ tərəfdə birini almaq üçün heç bir yol yoxdur).

Bu, obrazlı desək, “texniki” tənlik növüdür. Ümumi vəzifə xəttin ümumi tənliyini seqmentlərdə xəttin tənliyi kimi təqdim etməkdir. Necə rahatdır? Seqmentlərdə xəttin tənliyi koordinat oxları ilə xəttin kəsişmə nöqtələrini tez tapmağa imkan verir ki, bu da ali riyaziyyatın bəzi məsələlərində çox vacib ola bilər.

Xəttin oxla kəsişmə nöqtəsini tapaq. Biz "y"-ni sıfıra qaytarırıq və tənlik formasını alır. İstədiyiniz nöqtə avtomatik olaraq alınır: .

Ox ilə eyni – düz xəttin ordinat oxu ilə kəsişdiyi nöqtə.

Tərif. Təyyarədə hər hansı düz xətt birinci dərəcəli tənliklə təyin edilə bilər

Axe + Wu + C = 0,

Üstəlik, A və B sabitləri eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır düz xəttin ümumi tənliyi. Dəyərlərdən asılı olaraq sabit A, B və C aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – düz xətt başlanğıc nöqtəsindən keçir

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox oxuna paralel düz xətt

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy oxuna paralel düz xətt

B = C = 0, A ≠0 – düz xətt Oy oxu ilə üst-üstə düşür

A = C = 0, B ≠0 – düz xətt Ox oxu ilə üst-üstə düşür

Düz xəttin tənliyi ilə təmsil oluna bilər müxtəlif formalarda hər hansı ilkin şərtlərdən asılı olaraq.

Bir nöqtədən düz xəttin tənliyi və normal vektor

Tərif. Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri (A, B) olan vektor Ax + By + C = 0 tənliyi ilə verilmiş düz xəttə perpendikulyardır.

Misal. (3, -1) nöqtəsinə perpendikulyar olan A(1, 2) nöqtəsindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Həll. A = 3 və B = -1 ilə düz xəttin tənliyini quraq: 3x – y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün verilən A nöqtəsinin koordinatlarını nəticədə ifadədə əvəz edirik: 3 – 2 + C = 0, deməli, C = -1 . Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x – y – 1 = 0.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi

Fəzada iki M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) nöqtəsi verilsin, onda bu nöqtələrdən keçən xəttin tənliyi belədir:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfıra bərabərdirsə, müvafiq pay sıfıra bərabər olmalıdır.

x 1 ≠ x 2 və x = x 1 olarsa, x 1 = x 2 olarsa.

= k kəsrinə deyilir yamac düz.

Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Həll. Yuxarıda yazılmış düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Bir nöqtədən və yamacdan düz xəttin tənliyi

Ümumi Ax + Bu + C = 0 olarsa, formaya aparın:

və təyin edin , onda yaranan tənlik çağırılır yamaclı düz xəttin tənliyik.

Bir nöqtədən düz xəttin və istiqamət vektorunun tənliyi

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, siz nöqtədən keçən düz xəttin tərifini və düz xəttin istiqamət vektorunu daxil edə bilərsiniz.

Tərif. Komponentləri A α 1 + B α 2 = 0 şərtini ödəyən sıfırdan fərqli hər bir vektor (α 1, α 2) xəttin istiqamətləndirici vektoru adlanır.

Axe + Wu + C = 0.

Misal. İstiqamət vektoru (1, -1) olan və A(1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Həll.İstənilən xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə uyğun olaraq, əmsallar şərtləri təmin etməlidir:

1 * A + (-1) * B = 0, yəni. A = B.

Onda düz xəttin tənliyi formaya malikdir: Ax + Ay + C = 0, ya da x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 üçün C/ A = -3 alırıq, yəni. tələb olunan tənlik:

Seqmentlərdə xəttin tənliyi

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ах + Ву + С = 0 С≠0 olarsa, onda –С-yə bölməklə, alırıq: və ya

Həndəsi mənaəmsallar o əmsaldır A xəttin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır və b– düz xəttin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı.

Misal. x – y + 1 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Xəttin normal tənliyi

Ax + By + C = 0 tənliyinin hər iki tərəfi ədədə vurularsa adlanır normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

xəttin normal tənliyi. Normallaşdırıcı amilin ± işarəsi elə seçilməlidir ki, μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Misal. 12x – 5y – 65 = 0 düz xəttinin ümumi tənliyini nəzərə alaraq. Yazmaq lazımdır. Müxtəlif növlər bu xəttin tənlikləri.

seqmentlərdə bu xəttin tənliyi:

bu xəttin mailliklə bərabərliyi: (5-ə bölün)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə, məsələn, oxlara paralel və ya koordinatların başlanğıcından keçən düz xətlər tənliyi ilə təmsil oluna bilməz.

Misal. Düz xətt koordinat oxlarında bərabər müsbət seqmentləri kəsir. Bu seqmentlərin yaratdığı üçbucağın sahəsi 8 sm 2 olarsa, düz xətt üçün tənlik yazın.

Həll. Düz xəttin tənliyi formaya malikdir: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Misal. A(-2, -3) nöqtəsindən və başlanğıcından keçən düz xəttin tənliyini yazın.

Həll. Düz xəttin tənliyi belədir: , burada x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Bir müstəvidə düz xətlər arasındakı bucaq

Tərif.Əgər iki xətt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilsə, bu xətlər arasındakı iti bucaq aşağıdakı kimi təyin ediləcəkdir.

.

Əgər k 1 = k 2 olarsa, iki xətt paraleldir. Əgər k 1 = -1/ k 2 olarsa, iki xətt perpendikulyardır.

Teorem. A 1 = λA, B 1 = λB əmsalları mütənasib olduqda Ax + Bу + C = 0 və A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 xətləri paraleldir. Əgər C 1 = λC də olarsa, o zaman xətlər üst-üstə düşür. Bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları tapılır.

Verilmiş xəttə perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi

Tərif. M 1 (x 1, y 1) nöqtəsindən keçən və y = kx + b düz xəttinə perpendikulyar olan düz xətt tənlik ilə təmsil olunur:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

Teorem. M(x 0, y 0) nöqtəsi verilirsə, onda Ax + Bу + C = 0 xəttinə olan məsafə belə təyin olunur.

.

Sübut. M nöqtəsindən verilmiş düz xəttə endirilən perpendikulyarın əsası M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi olsun. Sonra M və M nöqtələri arasındakı məsafə 1:

(1)

x 1 və y 1 koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapmaq olar:

Sistemin ikinci tənliyi üzərindən keçən düz xəttin tənliyidir bu nöqtə M 0 verilmiş düz xəttə perpendikulyardır. Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

Teorem sübut edilmişdir.

Misal. Xətlər arasındakı bucağı təyin edin: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Misal. 3x – 5y + 7 = 0 və 10x + 6y – 3 = 0 xətlərinin perpendikulyar olduğunu göstərin.

Həll. Tapırıq: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, buna görə də xətlər perpendikulyardır.

Misal. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) üçbucağının təpələri verilmişdir. C təpəsindən çəkilmiş hündürlüyün tənliyini tapın.

Həll. AB tərəfinin tənliyini tapırıq: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Tələb olunan hündürlük tənliyi formaya malikdir: Ax + By + C = 0 və ya y = kx + b. k =. Sonra y =. Çünki hündürlük C nöqtəsindən keçir, onda onun koordinatları bu tənliyi təmin edir: buradan b = 17. Cəmi: .

Cavab: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Məkandakı xəttin kanonik tənlikləri istiqamət vektoruna kollinear verilmiş nöqtədən keçən xətti təyin edən tənliklərdir.

Nöqtə və istiqamət vektoru verilsin. İxtiyari nöqtə xətt üzərində yerləşir l yalnız və vektorları kollinear olduqda, yəni şərt onlar üçün ödənilir:

.

Yuxarıdakı tənliklərdir kanonik tənliklər düz.

Nömrələri m , n Və səh istiqamət vektorunun koordinat oxlarına proyeksiyalarıdır. Vektor sıfır olmadığı üçün bütün ədədlər m , n Və səh eyni zamanda sıfıra bərabər ola bilməz. Ancaq onlardan biri və ya ikisi sıfır ola bilər. Məsələn, analitik həndəsədə aşağıdakı girişə icazə verilir:

,

bu o deməkdir ki, vektorun ox üzrə proyeksiyaları ay Və Oz sıfıra bərabərdir. Buna görə də kanonik tənliklərlə təyin olunan həm vektor, həm də düz xətt oxlara perpendikulyardır. ay Və Oz, yəni təyyarələr yOz .

Misal 1. Müstəviyə perpendikulyar fəzada xətt üçün tənlikləri yazın və bu müstəvinin ox ilə kəsişmə nöqtəsindən keçməklə Oz .

Həll. Bu müstəvinin oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapaq Oz. Oxda yatan hər hansı bir nöqtədən bəri Oz, koordinatlarına malikdir, onda müstəvinin verilmiş tənliyində fərz etsək x = y = 0, 4 alırıq z- 8 = 0 və ya z= 2. Buna görə də, bu təyyarənin ox ilə kəsişmə nöqtəsi Oz koordinatlarına malikdir (0; 0; 2) . İstənilən xətt müstəviyə perpendikulyar olduğundan onun normal vektoruna paraleldir. Buna görə də düz xəttin istiqamətləndirici vektoru normal vektor ola bilər verilmiş təyyarə.

İndi nöqtədən keçən düz xətt üçün tələb olunan tənlikləri yazaq A= (0; 0; 2) vektor istiqamətində:

Verilmiş iki nöqtədən keçən xəttin tənlikləri

Düz xətt üzərində yerləşən iki nöqtə ilə müəyyən edilə bilər Və Bu halda düz xəttin yönləndirici vektoru vektor ola bilər. Sonra xəttin kanonik tənlikləri formasını alır

.

Yuxarıdakı tənliklər verilmiş iki nöqtədən keçən xətti müəyyən edir.

Misal 2. və nöqtələrindən keçən fəzada xəttin tənliyini yazın.

Həll. Tələb olunan düz xətt tənliklərini yuxarıda nəzəri istinadda verilmiş formada yazaq:

.

olduğundan, o zaman istənilən düz xətt oxa perpendikulyardır ay .

Təyyarələrin kəsişmə xətti kimi düz

Kosmosda düz xətt iki paralel olmayan müstəvilərin kəsişmə xətti və yəni iki xətti tənlik sistemini təmin edən nöqtələr toplusu kimi müəyyən edilə bilər.

Sistemin tənlikləri də adlanır ümumi tənliklər düz kosmosda.

Misal 3.Ümumi tənliklərlə verilən fəzada xəttin kanonik tənliklərini tərtib edin

Həll. Xəttin kanonik tənliklərini və ya eyni şey olan iki verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliklərini yazmaq üçün xəttin istənilən iki nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq lazımdır. Onlar, məsələn, hər hansı iki koordinat müstəvisi ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələri ola bilər yOz Və xOz .

Xəttlə təyyarənin kəsişmə nöqtəsi yOz absis var x= 0. Buna görə də bu tənliklər sistemində fərz etsək x= 0, iki dəyişəni olan bir sistem alırıq:

Onun qərarı y = 2 , z= 6 ilə birlikdə x= 0 nöqtəni təyin edir A(0; 2; 6) istədiyiniz xətt. Sonra verilmiş tənliklər sistemində fərz etsək y= 0, sistemi alırıq

Onun qərarı x = -2 , z= 0 ilə birlikdə y= 0 nöqtəni təyin edir B(-2; 0; 0) müstəvi ilə xəttin kəsişməsi xOz .

İndi nöqtələrdən keçən xəttin tənliklərini yazaq A(0; 2; 6) və B (-2; 0; 0) :

,

və ya məxrəcləri -2-yə böldükdən sonra:

,