Cəbr və həndəsə üzrə mühazirələr. Semestr 1.

Mühazirə 15. Ellips.

Fəsil 15. Ellips.

1-ci bənd. Əsas təriflər.

Tərif. Ellips bir təyyarənin GMT-dir, müstəvidə fokuslar adlanan iki sabit nöqtəyə olan məsafələrin cəmi sabit bir dəyərdir.

Tərif. Təyyarənin ixtiyari M nöqtəsindən ellipsin fokusuna qədər olan məsafə M nöqtəsinin fokus radiusu adlanır.

Təyinatlar:
- ellipsin ocaqları,
- M nöqtəsinin fokus radiusları.

By ellipsin tərifi, M nöqtəsi yalnız və yalnız o halda ellipsin nöqtəsidir
- sabit dəyər. Bu sabit adətən 2a kimi işarələnir:

. (1)

qeyd et ki
.

Ellipsin tərifinə görə onun ocaqları sabit nöqtələrdir, ona görə də aralarındakı məsafə də verilmiş ellips üçün sabit qiymətdir.

Tərif. Ellipsin fokusları arasındakı məsafə fokus uzunluğu adlanır.

Təyinat:
.

Üçbucaqdan
bunu izləyir
, yəni.

.

bərabər olan ədədi b ilə işarə edək
, yəni.

. (2)

Tərif. Münasibət

(3)

ellipsin ekssentrikliyi adlanır.

Bu müstəvidə ellips üçün kanonik adlandıracağımız bir koordinat sistemi təqdim edək.

Tərif. Ellipsin fokuslarının yerləşdiyi oxa fokus ox deyilir.

Ellips üçün kanonik PDSC quraq, şəkil 2-ə baxın.

Fokus oxunu absis oxu kimi seçirik və ordinat oxunu seqmentin ortasından çəkirik.
fokus oxuna perpendikulyar.

Sonra fokusların koordinatları var
,
.

2-ci bənd. Ellipsin kanonik tənliyi.

Teorem. Ellips üçün kanonik koordinat sistemində ellipsin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:

. (4)

Sübut. Biz sübutu iki mərhələdə həyata keçiririk. Birinci mərhələdə sübut edəcəyik ki, ellips üzərində yerləşən istənilən nöqtənin koordinatları (4) tənliyini ödəyir. İkinci mərhələdə sübut edəcəyik ki, (4) tənliyinin istənilən həlli ellips üzərində yerləşən nöqtənin koordinatlarını verir. Buradan belə çıxır ki, (4) tənliyi koordinat müstəvisinin ellips üzərində yerləşən həmin və yalnız həmin nöqtələri ilə təmin edilir. Bundan və əyri tənliyinin tərifindən belə çıxır ki, (4) tənliyi ellipsin tənliyidir.

1) M(x, y) nöqtəsi ellipsin nöqtəsi olsun, yəni. onun fokus radiuslarının cəmi 2a-dır:

.

Koordinat müstəvisində iki nöqtə arasındakı məsafənin düsturundan istifadə edək və verilmiş M nöqtəsinin fokus radiuslarını tapmaq üçün bu düsturdan istifadə edək:

,
, haradan alırıq:

Gəlin bir kökü bərabərliyin sağ tərəfinə keçirək və kvadratını tutaq:

Azaltmaqla, əldə edirik:

Bənzərləri təqdim edirik, 4 azaldın və radikalı çıxarın:

.

Kvadratlaşdırma

Mötərizələri açın və qısaldın
:

haradan alırıq:

Bərabərlikdən (2) istifadə edərək əldə edirik:

.

Son bərabərliyin bölünməsi
, bərabərliyi əldə edirik (4) və s.

2) İndi bir cüt ədəd (x, y) (4) tənliyini təmin etsin və M(x, y) Oxy koordinat müstəvisində müvafiq nöqtə olsun.

Sonra (4) dən belə çıxır:

.

Bu bərabərliyi M nöqtəsinin fokus radiusunun ifadəsi ilə əvəz edirik:

.

Burada (2) və (3) bərabərliyindən istifadə etdik.

Beləliklə,
. Eynilə,
.

İndi qeyd edin ki, bərabərlikdən (4) belə çıxır

və ya
və s.
, onda bərabərsizlik aşağıdakı kimidir:

.

Buradan, öz növbəsində, belə çıxır

və ya
Və

,
. (5)

Bərabərliklərdən (5) belə nəticə çıxır
, yəni. M(x, y) nöqtəsi ellipsin nöqtəsidir və s.

Teorem sübut edilmişdir.

Tərif. (4) tənliyinə ellipsin kanonik tənliyi deyilir.

Tərif. Ellipsin kanonik koordinat oxlarına ellipsin baş oxları deyilir.

Tərif. Ellips üçün kanonik koordinat sisteminin mənşəyi ellipsin mərkəzi adlanır.

3-cü bənd. Ellipsin xassələri.

Teorem. (Elipsin xüsusiyyətləri.)

1. Ellips üçün kanonik koordinat sistemində hər şey

ellipsin nöqtələri düzbucaqlıdadır

,
.

2. Nöqtələr üzərində yerləşir

3. Ellips, simmetrik olan əyridir

onların əsas oxları.

4. Ellipsin mərkəzi onun simmetriya mərkəzidir.

Sübut. 1, 2) Ellipsin kanonik tənliyindən dərhal irəli gəlir.

3, 4) M(x, y) ellipsin ixtiyari nöqtəsi olsun. Onda onun koordinatları (4) tənliyini ödəyir. Lakin o zaman nöqtələrin koordinatları da (4) tənliyini ödəyir və deməli, teorem müddəalarının irəli sürdüyü ellipsin nöqtələridir.

Teorem sübut edilmişdir.

Tərif. 2a kəmiyyətinə ellipsin böyük oxu, a kəmiyyətinə ellipsin yarım böyük oxu deyilir.

Tərif. 2b kəmiyyətinə ellipsin kiçik oxu, b kəmiyyətinə ellipsin yarım kiçik oxu deyilir.

Tərif. Ellipsin əsas oxları ilə kəsişmə nöqtələrinə ellipsin təpələri deyilir.

Şərh. Ellips aşağıdakı kimi qurula bilər. Təyyarədə "odaq nöqtələrinə bir mismar vururuq" və onlara bir ip uzunluğu bağlayırıq
. Sonra bir qələm götürürük və ipi uzatmaq üçün istifadə edirik. Sonra qələmin ucunu təyyarə boyunca hərəkət etdirərək ipin dartıldığından əmin oluruq.

Eksentrikliyin tərifindən belə çıxır

Gəlin a rəqəmini düzəldək və c rəqəmini sıfıra yönəldək. Sonra saat
,
Və
. Limitdə alırıq

və ya
- dairənin tənliyi.

İndi yönləndirək
. Sonra
,
və görürük ki, limitdə ellips düz xətt seqmentinə çevrilir
Şəkil 3-ün qeydində.

4-cü bənd. Ellipsin parametrik tənlikləri.

Teorem. Qoy
– ixtiyari real ədədlər. Sonra tənliklər sistemi

,
(6)

ellips üçün kanonik koordinat sistemində ellipsin parametrik tənlikləridir.

Sübut. (6) tənliklər sisteminin (4) tənliyinə ekvivalent olduğunu sübut etmək kifayətdir, yəni. eyni həllər toplusuna malikdirlər.

1) (x, y) (6) sisteminin ixtiyari həlli olsun. Birinci tənliyi a, ikincini b-yə bölün, hər iki tənliyin kvadratını düzəldin və əlavə edin:

.

Bunlar. (6) sisteminin istənilən həlli (x, y) (4) tənliyini ödəyir.

2) Əksinə, (x, y) cütü (4) tənliyinin həlli olsun, yəni.

.

Bu bərabərlikdən belə çıxır ki, koordinatları olan nöqtə
mərkəzi başlanğıcda olan vahid radiuslu dairə üzərində yerləşir, yəni. triqonometrik dairədə müəyyən bucağın uyğun gəldiyi nöqtədir
:

Sinus və kosinusun tərifindən dərhal belə nəticə çıxır

,
, Harada
, buradan belə çıxır ki, (x, y) cütü (6) sisteminin həlli və s.

Teorem sübut edilmişdir.

Şərh. Ellips a radiuslu dairənin absis oxuna doğru vahid “sıxılması” nəticəsində əldə edilə bilər.

Qoy
– başlanğıcında mərkəzi olan dairənin tənliyi. Bir dairənin absis oxuna "sıxılması" aşağıdakı qaydaya uyğun olaraq həyata keçirilən koordinat müstəvisinin çevrilməsindən başqa bir şey deyil. Hər bir M(x, y) nöqtəsi üçün eyni müstəvidə bir nöqtəni əlaqələndiririk
, Harada
,
- sıxılma nisbəti.

Bu çevrilmə ilə dairənin hər bir nöqtəsi müstəvidə eyni absis, lakin daha kiçik ordinata malik başqa bir nöqtəyə "keçir". Nöqtənin köhnə ordinatını yenisi ilə ifadə edək:

və dairələri tənliyə əvəz edin:

.

Buradan əldə edirik:

. (7)

Buradan belə nəticə çıxır ki, əgər “sıxılma” çevrilməsindən əvvəl M(x, y) nöqtəsi dairənin üzərində yerləşirdisə, yəni. onun koordinatları dairənin tənliyini təmin etdi, sonra "sıxılma" çevrilməsindən sonra bu nöqtə nöqtəyə "çevrildi"
, koordinatları ellips tənliyini (7) ödəyir. Əgər yarım kiçik oxlu ellipsin tənliyini əldə etmək istəyiriksə, onda sıxılma əmsalını götürməliyik.

.

bənd 5. Ellipsə toxunan.

Teorem. Qoy
– ellipsin ixtiyari nöqtəsi

.

Sonra nöqtədə bu ellipsə toxunan tənliyi
formaya malikdir:

. (8)

Sübut. Toxunma nöqtəsinin koordinat müstəvisinin birinci və ya ikinci rübündə olması halını nəzərdən keçirmək kifayətdir:
. Yuxarı yarımmüstəvidə ellipsin tənliyi belədir:

. (9)

Funksiyanın qrafikinə toxunan tənlikdən istifadə edək
nöqtədə
:

Harada
– bir nöqtədə verilmiş funksiyanın törəməsinin qiyməti
. Birinci rübdəki ellipsi (8) funksiyasının qrafiki hesab etmək olar. Gəlin onun törəməsini və toxunma nöqtəsindəki qiymətini tapaq:

,

. Burada toxunan nöqtənin olmasından faydalandıq
ellipsin nöqtəsidir və buna görə də onun koordinatları ellips tənliyini (9) ödəyir, yəni.

.

Törəmənin tapılmış qiymətini tangens tənliyində (10) əvəz edirik:

,

haradan alırıq:

Bu nəzərdə tutur:

Gəlin bu bərabərliyi bölək
:

.

Bunu qeyd etmək qalır
, çünki nöqtə
ellipsə aiddir və koordinatları onun tənliyini ödəyir.

Tangens tənliyi (8) koordinat müstəvisinin üçüncü və ya dördüncü rübündə yerləşən toxunma nöqtəsində də oxşar şəkildə sübut edilir.

Və nəhayət, (8) tənliyinin nöqtələrdə toxunan tənliyi verdiyini asanlıqla yoxlaya bilərik
,
:

və ya
, Və
və ya
.

Teorem sübut edilmişdir.

6-cı bənd. Ellipsin güzgü xüsusiyyəti.

Teorem. Ellipsə toxunan toxunma nöqtəsinin fokus radiusları ilə bərabər bucaqlara malikdir.

Qoy
- əlaqə nöqtəsi,
,
– toxunan nöqtənin fokus radiusları, P və Q – nöqtədə ellipsə çəkilmiş tangens üzərində fokusların proyeksiyaları
.

Teorem bunu bildirir

. (11)

Bu bərabərliyi fokusundan ayrılan ellipsdən gələn işıq şüasının düşmə və əks olunması bucaqlarının bərabərliyi kimi şərh etmək olar. Bu xassə ellipsin güzgü xassəsi adlanır:

Ellipsin fokusundan ayrılan işıq şüası, ellipsin güzgüsündən əks olunduqdan sonra ellipsin başqa bir fokusundan keçir.

Teoremin sübutu. Bucaqların bərabərliyini (11) sübut etmək üçün üçbucaqların oxşarlığını sübut edirik
Və
, hansı tərəflər
Və
oxşar olacaq. Üçbucaqlar düzbucaqlı olduğundan bərabərliyi sübut etmək kifayətdir

Tərif. Ellips müstəvidəki nöqtələrin həndəsi yeridir, hər birinin bu müstəvinin iki verilmiş nöqtəsindən ocaq adlanan məsafələrinin cəmi sabit qiymətdir (bir şərtlə ki, bu qiymət ocaqlar arasındakı məsafədən böyükdür). .

Fokusları aralarındakı məsafə ilə işarə edək - vasitəsilə və sabit qiymət, məbləğinə bərabərdir ellipsin hər bir nöqtəsindən fokuslara qədər olan məsafələr (şərtə uyğun olaraq).

Dekart koordinat sistemini elə quraq ki, fokuslar absis oxunda olsun, koordinatların başlanğıcı isə seqmentin ortası ilə üst-üstə düşsün (şək. 44). Sonra fokuslar aşağıdakı koordinatlara sahib olacaqlar: sol fokus və sağ fokus. Seçdiyimiz koordinat sistemində ellipsin tənliyini çıxaraq. Bu məqsədlə ellipsin ixtiyari nöqtəsini nəzərdən keçirək. Ellipsin tərifinə görə, bu nöqtədən fokuslara qədər olan məsafələrin cəmi bərabərdir:

Beləliklə, iki nöqtə arasındakı məsafənin düsturundan istifadə edərək əldə edirik

Bu tənliyi sadələşdirmək üçün onu formada yazırıq

Sonra tənliyin hər iki tərəfinin kvadratını alırıq

və ya aşkar sadələşdirmələrdən sonra:

İndi tənliyin hər iki tərəfini yenidən kvadratlaşdırırıq, bundan sonra əldə edirik:

və ya eyni çevrilmələrdən sonra:

Çünki ellipsin tərifindəki şərtə görə, o zaman ədəd müsbətdir. Qeydi təqdim edək

Sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

Ellipsin tərifinə görə onun istənilən nöqtəsinin koordinatları (26) tənliyini ödəyir. Lakin (29) tənliyi (26) tənliyinin nəticəsidir. Nəticə etibarilə, o, həm də ellipsin istənilən nöqtəsinin koordinatları ilə təmin edilir.

Göstərilə bilər ki, ellips üzərində yatmayan nöqtələrin koordinatları (29) tənliyini təmin etmir. Beləliklə, (29) tənliyi ellipsin tənliyidir. Ellipsin kanonik tənliyi adlanır.

Onun kanonik tənliyindən istifadə edərək ellipsin formasını təyin edək.

İlk növbədə, bu tənliyin yalnız ehtiva etdiyinə diqqət yetirək hətta dərəcələr x və y. Bu o deməkdir ki, hər hansı bir nöqtə ellipsə aiddirsə, o zaman o, həm də absis oxuna nisbətən nöqtə ilə simmetrik nöqtəni və ordinat oxuna nisbətən nöqtə ilə simmetrik nöqtəni ehtiva edir. Beləliklə, ellipsin iki qarşılıqlı perpendikulyar simmetriya oxu var, bizim seçdiyimiz koordinat sistemində koordinat oxları ilə üst-üstə düşür. Biz bundan sonra ellipsin simmetriya oxlarını ellipsin oxları, onların kəsişmə nöqtəsini isə ellipsin mərkəzi adlandıracağıq. Ellipsin fokuslarının yerləşdiyi ox ( bu halda x oxu) fokus oxu adlanır.

Əvvəlcə birinci rübdə ellipsin formasını müəyyən edək. Bunun üçün y üçün (28) tənliyini həll edək:

Aydındır ki, burada y xəyali dəyərlər qəbul etdiyi üçün. 0-dan a-ya yüksəldikcə, y b-dən 0-a qədər azalır. Ellipsin birinci rübdə yerləşən hissəsi B (0; b) nöqtələri ilə hüdudlanmış və koordinat oxları üzərində uzanan qövs olacaqdır (şək. 45). İndi ellipsin simmetriyasından istifadə edərək, ellipsin Şəkil 1-də göstərilən formaya sahib olduğu qənaətinə gəlirik. 45.

Ellipsin oxlarla kəsişmə nöqtələrinə ellipsin təpələri deyilir. Ellipsin simmetriyasından belə nəticə çıxır ki, ellipsin təpələrdən əlavə daha iki təpəsi var (bax şək. 45).

Ellipsin seqmentləri və birləşdirən əks təpələri, habelə onların uzunluqları müvafiq olaraq ellipsin böyük və kiçik oxları adlanır. a və b ədədləri müvafiq olaraq ellipsin böyük və kiçik yarımoxları adlanır.

Fokuslar arasındakı məsafənin yarısının ellipsin yarı əsas oxuna nisbəti ellipsin eksantrikliyi adlanır və adətən hərflə işarələnir:

Çünki ellipsin ekssentrikliyi vəhdətdən kiçikdir: Eksentriklik ellipsin formasını xarakterizə edir. Həqiqətən də (28) düsturundan belə çıxır ki, ellipsin ekssentrikliyi nə qədər kiçik olarsa, onun yarım-kiçik oxu b a yarım-böyük oxundan bir o qədər az fərqlənir, yəni ellips (fokus oxu boyunca) bir o qədər az uzanır.

Məhdudlaşdırıcı halda nəticə a radiuslu dairədir: , və ya . Eyni zamanda, ellipsin fokusları bir nöqtədə - dairənin mərkəzində birləşir. Dairənin ekssentrikliyi sıfırdır:

Ellipslə çevrə arasındakı əlaqəni başqa nöqteyi-nəzərdən də qurmaq olar. Göstərək ki, a və b yarımoxlu ellipsi a radiuslu çevrənin proyeksiyası kimi qəbul etmək olar.

Öz aralarında belə a bucağı əmələ gətirən iki P və Q müstəvisini nəzərdən keçirək (şək. 46). P müstəvisində koordinat sistemini, Q müstəvisində isə müstəvilərin kəsişmə xətti ilə üst-üstə düşən ümumi mənşəli O və ümumi absis oxu olan Oxy sistemini quraq. P müstəvisində bir dairəni nəzərdən keçirək

mərkəzi başlanğıcda və radiusu a-ya bərabərdir. Dairənin özbaşına seçilmiş nöqtəsi, onun Q müstəvisinə proyeksiyası və M nöqtəsinin Ox oxuna proyeksiyası olsun. Göstərək ki, nöqtə a və b yarımoxları olan ellips üzərində yerləşir.

İkinci dərəcəli xətlər.
Ellips və onun kanonik tənliyi. Dairə

Hərtərəfli öyrəndikdən sonra müstəvidə düz xətlər Biz iki ölçülü dünyanın həndəsəsini öyrənməyə davam edirik. Paylar ikiqatdır və sizi tipik nümayəndələr olan ellips, hiperbola, parabolaların mənzərəli qalereyasını ziyarət etməyə dəvət edirəm. ikinci sıra xətləri. Ekskursiya artıq başlayıb və birinci qısa məlumat Muzeyin müxtəlif mərtəbələrindəki bütün sərgi haqqında:

Cəbr xətti anlayışı və onun qaydası

Təyyarədə bir xətt deyilir cəbri, varsa affin koordinat sistemi onun tənliyi formasına malikdir, burada formanın şərtlərindən ibarət çoxhədlidir ( – həqiqi ədəd, – qeyri-mənfi tam ədədlər).

Gördüyünüz kimi, cəbri xəttin tənliyində sinuslar, kosinuslar, loqarifmlər və digər funksional beau monde yoxdur. Yalnız X və Y var qeyri-mənfi tam ədədlər dərəcə.

Xətt sırası ona daxil olan şərtlərin maksimum dəyərinə bərabərdir.

Müvafiq teoremə görə, cəbri xəttin anlayışı, eləcə də onun sırası seçimdən asılı deyil. affin koordinat sistemi, buna görə də mövcudluğu asanlaşdırmaq üçün bütün sonrakı hesablamaların Kartezyen koordinatları.

Ümumi tənlik ikinci sıra xəttinin forması var, burada - ixtiyari real ədədlər (Bunu iki faktorla yazmaq adətdir), və əmsallar eyni zamanda sıfıra bərabər deyil.

Əgər , onda tənlik sadələşir , və əmsallar eyni zamanda sıfıra bərabər deyilsə, bu, tam olaraq “düz” xəttin ümumi tənliyi, təmsil edir birinci sifariş xətti.

Çoxları yeni terminlərin mənasını başa düşdü, lakin buna baxmayaraq, materialı 100% mənimsəmək üçün barmaqlarımızı yuvaya yapışdırırıq. Xətt sırasını müəyyən etmək üçün təkrarlamaq lazımdır bütün şərtlər onun tənliklərini və onların hər birini tapın dərəcələrin cəmi daxil olan dəyişənlər.

Misal üçün:

termində 1-ci dərəcəyə qədər “x” var;
termin 1-ci dərəcəyə qədər “Y” hərfini ehtiva edir;
Termində dəyişənlər yoxdur, buna görə də onların səlahiyyətlərinin cəmi sıfırdır.

İndi tənliyin niyə xətti müəyyən etdiyini anlayaq ikinci sifariş:

termin 2-ci dərəcəli “x”i ehtiva edir;
cəm dəyişənlərin səlahiyyətlərinin cəminə malikdir: 1 + 1 = 2;
termin 2-ci dərəcəyə "Y" hərfini ehtiva edir;
bütün digər şərtlər - az dərəcə.

Maksimum dəyər: 2

Tənliyimizə əlavə olaraq, deyək ki, əlavə etsək, o, artıq müəyyən edəcəkdir üçüncü dərəcəli xətt. Aydındır ki, 3-cü dərəcəli sətir tənliyinin ümumi forması dəyişənlərin səlahiyyətlərinin cəmi üçə bərabər olan şərtlərin "tam dəstini" ehtiva edir:
, burada əmsallar eyni zamanda sıfıra bərabər deyil.

Tərkibində bir və ya daha çox uyğun şərtlər əlavə etdiyiniz halda , onda biz artıq danışacağıq 4-cü sıra xətləri və s.

3-cü, 4-cü və daha yüksək dərəcəli cəbr xətləri ilə, xüsusən də tanış olarkən bir dəfədən çox qarşılaşmalı olacağıq. qütb koordinat sistemi.

Bununla belə, gəlin ümumi tənliyə qayıdaq və onun ən sadə məktəb variasiyalarını xatırlayaq. Nümunə olaraq, tənliyi asanlıqla endirilə bilən bir parabola özünü göstərir ümumi görünüş, və ekvivalent tənliyi olan hiperbola. Ancaq hər şey o qədər də hamar deyil ...

Ümumi tənliyin əhəmiyyətli çatışmazlığı ondan ibarətdir ki, onun hansı xətti müəyyənləşdirdiyi demək olar ki, həmişə aydın deyil. Ən sadə halda belə, bunun hiperbol olduğunu dərhal dərk etməyəcəksiniz. Bu cür planlar yalnız maskaradda yaxşıdır, buna görə də analitik həndəsə zamanı nəzərə alırıq. tipik vəzifə 2-ci tərtib xətti tənliyinin kanonik formaya gətirilməsi.

Tənliyin kanonik forması nədir?

Bu, ümumiyyətlə qəbul edilir standart görünüş tənlik, bir neçə saniyə ərzində onun hansı həndəsi obyekti təyin etdiyi aydınlaşdıqda. Bundan əlavə, kanonik forma çoxlarını həll etmək üçün çox əlverişlidir praktiki tapşırıqlar. Beləliklə, məsələn, kanonik tənliyə görə düz "düz", birincisi, dərhal aydın olur ki, bu düz xəttdir, ikincisi, ona məxsus nöqtə və istiqamət vektoru asanlıqla görünür.

Aydındır ki, hər hansı 1-ci sifariş xətti düz xəttdir. İkinci mərtəbədə bizi gözləyən gözətçi deyil, doqquz heykəldən ibarət daha müxtəlif bir şirkət gözləyir:

İkinci dərəcəli xətlərin təsnifatı

İstifadə etməklə xüsusi kompleks hərəkətlər üçün ikinci dərəcəli xəttin hər hansı tənliyi aşağıdakı formalardan birinə endirilir:

(və müsbət real ədədlərdir)

1) – ellipsin kanonik tənliyi;

2) – hiperbolanın kanonik tənliyi;

3) – parabolanın kanonik tənliyi;

4) – xəyali ellips;

5) – kəsişən bir cüt xətt;

6) - cüt xəyali kəsişən xətlər (başlanğıcda tək etibarlı kəsişmə nöqtəsi ilə);

7) – bir cüt paralel xətt;

8) - cüt xəyali paralel xətlər;

9) – bir cüt üst-üstə düşən xətlər.

Bəzi oxucularda siyahı tam olmadığı təəssüratı yarana bilər. Məsələn, 7-ci bənddə tənlik cütü müəyyən edir birbaşa, oxa paraleldir və sual yaranır: ordinat oxuna paralel xətləri təyin edən tənlik haradadır? Cavab: o kanonik hesab edilmir. Düz xətlər 90 dərəcə fırlanan eyni standart vəziyyəti təmsil edir və təsnifatda əlavə giriş lazımsızdır, çünki bu, əsaslı olaraq yeni bir şey gətirmir.

Beləliklə, doqquz və yalnız doqquz var müxtəlif növlər 2-ci sıra xətləri, lakin praktikada ən çox rast gəlinir ellips, hiperbola və parabola.

Əvvəlcə ellipsə baxaq. Həmişə olduğu kimi, diqqətimi o məqamlara yönəldirəm böyük əhəmiyyət kəsb edir problemlərin həlli üçün və əgər sizə düsturların ətraflı çıxarılmasına, teoremlərin sübutlarına ehtiyacınız varsa, məsələn, Bazylev/Atanasyan və ya Aleksandrovun dərsliyinə müraciət edin.

Ellips və onun kanonik tənliyi

Orfoqrafiya... xahiş edirəm “ellipsin necə qurulması”, “ellipslə ovalın fərqi” və “ellipsin ekssentrikliyi” ilə maraqlanan bəzi Yandex istifadəçilərinin səhvlərini təkrarlamayın.

Ellipsin kanonik tənliyi , burada müsbət həqiqi ədədlər və . Ellipsin tərifini daha sonra tərtib edəcəyəm, amma indi danışan dükandan ara vermək və ümumi bir problemi həll etmək vaxtıdır:

Ellipsi necə qurmaq olar?

Bəli, sadəcə götürün və sadəcə çəkin. Tapşırıq tez-tez baş verir və tələbələrin əhəmiyyətli bir hissəsi rəsmin öhdəsindən düzgün gəlmir:

Misal 1

Tənliklə verilmiş ellipsi qurun

Həll: Əvvəlcə tənliyi kanonik formaya gətirək:

Niyə gətirmək? Kanonik tənliyin üstünlüklərindən biri də dərhal müəyyən etməyə imkan verməsidir ellipsin təpələri nöqtələrində yerləşir. Bu nöqtələrin hər birinin koordinatlarının tənliyi təmin etdiyini görmək asandır.

Bu halda :


Xətt seqmentiçağırdı əsas ox ellips;
xətt seqmenti – kiçik ox;
nömrə çağırdı yarı əsas şaft ellips;
nömrə – kiçik ox.
nümunəmizdə: .

Müəyyən bir ellipsin necə göründüyünü tez təsəvvür etmək üçün onun kanonik tənliyinin “a” və “be” dəyərlərinə baxmaq kifayətdir.

Hər şey gözəl, hamar və gözəldir, amma bir xəbərdarlıq var: mən rəsm çəkdim proqramdan. Və hər hansı bir tətbiqdən istifadə edərək rəsm çəkə bilərsiniz. Bununla belə, in sərt reallıq Stolun üstündə damalı kağız var, əlimizdə siçanlar dairəvi rəqs edir. Bədii istedadı olan insanlar, əlbəttə ki, mübahisə edə bilərlər, lakin sizin də siçanlarınız var (kiçik olsa da). Bəşəriyyətin rəsm üçün hökmdar, kompas, iletki və digər sadə cihazları icad etməsi boş yerə deyil.

Bu səbəbdən, çətin ki, yalnız təpələri bilə-bilə ellipsi dəqiq çəkə bilək. Ellips kiçikdirsə, məsələn, yarım oxlarla yaxşıdır. Alternativ olaraq, miqyasını və müvafiq olaraq rəsmin ölçülərini azalda bilərsiniz. Amma in ümumi halƏlavə xalların tapılması çox arzuolunandır.

Ellipsin qurulması üçün iki yanaşma var - həndəsi və cəbr. Kompas və hökmdardan istifadə edərək tikintini sevmirəm, çünki alqoritm ən qısa deyil və rəsm əhəmiyyətli dərəcədə qarışıqdır. Fövqəladə hallarda dərsliyə müraciət edin, amma əslində cəbr alətlərindən istifadə etmək daha rasionaldır. Qaralamadakı ellipsin tənliyindən tez ifadə edirik:

Sonra tənlik iki funksiyaya bölünür:
– ellipsin yuxarı qövsünü təyin edir;
– ellipsin alt qövsünü təyin edir.

Kanonik tənliklə müəyyən edilən ellips koordinat oxlarına, həmçinin mənşəyinə görə simmetrikdir. Və bu əladır - simmetriya demək olar ki, həmişə pulsuzların xəbərçisidir. Aydındır ki, 1-ci koordinat rübü ilə məşğul olmaq kifayətdir, ona görə də funksiya lazımdır . Absislərlə əlavə nöqtələr tapmağı xahiş edir . Gəlin kalkulyatorda üç SMS mesajına toxunaq:

Əlbəttə, o da xoşdur ki, hesablamalarda ciddi səhv olarsa, tikinti zamanı dərhal aydınlaşacaq.

Rəsmdəki nöqtələri qeyd edin (qırmızı rəng), simmetrik nöqtələr qalan qövslərdə ( Mavi rəng) və diqqətlə bütün şirkəti bir xətt ilə birləşdirin:


İlkin eskizi çox incə çəkmək daha yaxşıdır və yalnız bundan sonra qələmlə təzyiq tətbiq edin. Nəticə olduqca layiqli bir ellips olmalıdır. Yeri gəlmişkən, bu əyrinin nə olduğunu bilmək istərdinizmi?

Ellipsin tərifi. Ellips fokusları və ellipsin ekssentrikliyi

Ellipsdir xüsusi hal oval “Oval” sözü filist mənasında başa düşülməməlidir (“uşaq oval çəkdi” və s.). Bu, təfərrüatlı tərtibi olan riyazi termindir. Bu dərsin məqsədi ovalların nəzəriyyəsini və praktiki olaraq heç bir əhəmiyyət kəsb etməyən onların müxtəlif növlərini nəzərdən keçirmək deyil. standart kurs analitik həndəsə. Və daha çox görə cari ehtiyaclar, biz dərhal ellipsin ciddi tərifinə keçirik:

Ellips müstəvinin bütün nöqtələrinin çoxluğu, verilmiş iki nöqtədən hər birinə olan məsafələrin cəminə deyilir. hiylələr ellips, bu ellipsin əsas oxunun uzunluğuna ədədi olaraq bərabər olan sabit kəmiyyətdir: .
Bu halda fokuslar arasındakı məsafələr bu dəyərdən az olur: .

İndi hər şey daha aydın olacaq:

Təsəvvür edin ki, mavi nöqtə ellips boyunca “səyahət edir”. Beləliklə, ellipsin hansı nöqtəsini götürməyimizdən asılı olmayaraq, seqmentlərin uzunluqlarının cəmi həmişə eyni olacaq:

Əmin edək ki, bizim nümunəmizdə cəmin dəyəri həqiqətən səkkizə bərabərdir. Zehni olaraq “um” nöqtəsini ellipsin sağ təpəsində qoyun, sonra: , yoxlanılması lazım olan şeydir.

Onu çəkmək üçün başqa bir üsul ellipsin tərifinə əsaslanır. Yüksək riyaziyyat bəzən gərginlik və stressin səbəbi olur, buna görə də başqa bir boşaltma sessiyasının vaxtıdır. Zəhmət olmasa whatman kağızı və ya böyük bir karton vərəqi götürün və iki mismarla masaya yapışdırın. Bunlar hiylələr olacaq. Çıxan dırnaq başlarına yaşıl iplik bağlayın və qələmlə onu sonuna qədər çəkin. Qələm ucu ellipsə aid olan müəyyən bir nöqtədə bitəcək. İndi qələmi kağız parçası boyunca hərəkət etdirməyə başlayın, yaşıl ipi dartın. Qayıdana qədər prosesi davam etdirin başlanqıc nöqtəsi... əla... rəsmini həkim və müəllim yoxlaya bilər =)

Ellipsin fokuslarını necə tapmaq olar?

Yuxarıdakı nümunədə mən "hazır" mərkəz nöqtələrini təsvir etdim və indi onları həndəsənin dərinliklərindən necə çıxaracağımızı öyrənəcəyik.

Ellips kanonik tənliklə verilirsə, o zaman onun ocaqlarının koordinatları olur , O haradadır hər bir fokusdan ellipsin simmetriya mərkəzinə qədər olan məsafə.

Hesablamalar sadədən daha sadədir:

! Fokusların xüsusi koordinatlarını "tse" mənası ilə müəyyən etmək mümkün deyil! Bir daha deyirəm ki, bu belədir Hər bir fokusdan mərkəzə MESAFE(ümumi halda bu, tam olaraq mənşəyində yerləşməməlidir).
Buna görə də, fokuslar arasındakı məsafə də ellipsin kanonik mövqeyinə bağlana bilməz. Başqa sözlə, ellips başqa yerə köçürülə bilər və qiymət dəyişməz qalacaq, fokuslar isə təbii olaraq öz koordinatlarını dəyişəcək. Zəhmət olmasa nəzərə alın Bu an mövzunun sonrakı öyrənilməsi zamanı.

Ellips ekssentrikliyi və onun həndəsi mənası

Bir ellipsin ekssentrikliyi diapazon daxilində dəyərlər ala bilən nisbətdir.

Bizim vəziyyətimizdə:

Ellipsin formasının onun ekssentrikliyindən necə asılı olduğunu öyrənək. Bunun üçün sol və sağ təpələri düzəldin baxılan ellipsin, yəni yarımmajor oxun qiyməti sabit qalacaq. Onda ekssentriklik düsturu aşağıdakı formanı alacaq: .

Eksentriklik dəyərini birliyə yaxınlaşdırmağa başlayaq. Bu, yalnız o halda mümkündür. Bunun mənası nədi? ... hiylələri yadda saxla . Bu o deməkdir ki, ellipsin fokusları absis oxu boyunca yan təpələrə "ayrılacaq". Və "yaşıl seqmentlər rezin olmadığından" ellips istər-istəməz düzəldilməyə başlayacaq və bir ox üzərində bükülmüş daha incə və incə bir kolbasa çevriləcəkdir.

Beləliklə, Necə daha yaxın dəyər ellipsin birliyə ekssentrikliyi, ellips daha uzun olur.

İndi isə əks prosesi modelləşdirək: ellipsin fokusları mərkəzə yaxınlaşaraq bir-birinə tərəf getdilər. Bu o deməkdir ki, “ce” dəyəri getdikcə azalır və müvafiq olaraq ekssentriklik sıfıra meyl edir: .
Bu vəziyyətdə, "yaşıl seqmentlər" əksinə, "sıxlaşacaq" və ellips xəttini yuxarı və aşağı "itələməyə" başlayacaqlar.

Beləliklə, Eksantriklik dəyəri sıfıra nə qədər yaxındırsa, ellips də bir o qədər oxşardır... fokusların başlanğıcda uğurla birləşdiyi zaman məhdudlaşdırıcı vəziyyətə baxın:

Dairə ellipsin xüsusi halıdır

Həqiqətən də, yarımoxların bərabərliyi vəziyyətində, ellipsin kanonik tənliyi məktəbdən yaxşı məlum olan "a" radiusunun mənşəyində mərkəzi olan bir dairənin tənliyinə refleksiv şəkildə çevrilən formanı alır.

Praktikada “danışan” “er” hərfi ilə qeyd daha çox istifadə olunur: . Radius, dairənin hər bir nöqtəsinin mərkəzdən bir radius məsafəsi ilə ayrıldığı seqmentin uzunluğudur.

Qeyd edək ki, ellipsin tərifi tamamilə düzgün olaraq qalır: fokuslar üst-üstə düşür və dairənin hər bir nöqtəsi üçün üst-üstə düşən seqmentlərin uzunluqlarının cəmi sabitdir. Fokuslar arasındakı məsafə , onda hər hansı bir dairənin ekssentrikliyi sıfırdır.

Dairə qurmaq asan və tezdir, sadəcə kompasdan istifadə edin. Ancaq bəzən onun bəzi nöqtələrinin koordinatlarını tapmaq lazımdır, bu halda biz tanış yolla gedirik - tənliyi şən Mətanov formasına gətiririk:

– yuxarı yarımdairənin funksiyası;
– aşağı yarımdairənin funksiyası.

Bundan sonra tapırıq tələb olunan dəyərlər, fərqləndirmək, inteqrasiya etmək və başqa yaxşı işlər gör.

Məqalə, əlbəttə ki, yalnız istinad üçündür, amma sevgisiz dünyada necə yaşamaq olar? Üçün yaradıcı tapşırıq müstəqil qərar

Misal 2

Ellipsin ocaqlarından biri və yarım kiçik oxu məlumdursa (mərkəz başlanğıcdadır) onun kanonik tənliyini qurun. Təpələri, əlavə nöqtələri tapın və rəsmdə bir xətt çəkin. Eksantrikliyi hesablayın.

Dərsin sonunda həll və rəsm

Bir hərəkət əlavə edək:

Ellipsi fırladın və paralel çevirin

Gəlin ellipsin kanonik tənliyinə, yəni sirri bu əyri haqqında ilk dəfə qeyd olunandan bəri maraqlanan zehinləri əzablandıran vəziyyətə qayıdaq. Beləliklə, ellipsə baxdıq , lakin praktikada tənliyi qarşılamaq mümkün deyilmi? ? Axı, burada da ellips kimi görünür!

Bu cür tənlik nadirdir, lakin rast gəlinir. Və əslində bir ellips müəyyən edir. Gəlin aydınlaşdıraq:

Tikinti nəticəsində 90 dərəcə fırlanan doğma ellipsimiz alındı. Yəni, - Bu qeyri-kanonik giriş ellips . Rekord!- tənlik başqa heç bir ellipsi təyin etmir, çünki oxda ellipsin tərifini təmin edəcək nöqtələr (fokuslar) yoxdur.

11.1. Əsas anlayışlar

Cari koordinatlara nisbətən ikinci dərəcəli tənliklərlə müəyyən edilmiş xətləri nəzərdən keçirək

Tənliyin əmsalları həqiqi ədədlərdir, lakin A, B və ya C rəqəmlərindən ən azı biri sıfırdan fərqlidir. Belə xətlərə ikinci dərəcəli xətlər (əyrilər) deyilir. Aşağıda müəyyən ediləcək ki, (11.1) tənliyi müstəvidə dairə, ellips, hiperbola və ya parabolanı təyin edir. Bu ifadəyə keçməzdən əvvəl, sadalanan əyrilərin xüsusiyyətlərini öyrənək.

11.2. Dairə

Ən sadə ikinci dərəcəli əyri dairədir. Xatırladaq ki, mərkəzi bir nöqtədə olan R radiuslu dairə, şərti ödəyən təyyarənin bütün M nöqtələrinin çoxluğudur. Düzbucaqlı koordinat sistemindəki nöqtənin koordinatları x 0, y 0 və dairənin ixtiyari nöqtəsi olsun (bax. Şəkil 48).

Sonra şərtdən tənliyi alırıq

(11.2)

(11.2) tənliyi verilmiş çevrənin hər hansı nöqtəsinin koordinatları ilə ödənilir və çevrənin üzərində olmayan heç bir nöqtənin koordinatları ilə təmin edilmir.

(11.2) tənliyi çağırılır çevrənin kanonik tənliyi

Xüsusilə, və təyin edilməsi, başlanğıcda mərkəzi olan dairənin tənliyini alırıq .

Sadə çevrilmələrdən sonra dairə tənliyi (11.2) formasını alacaq. Bu tənliyi ikinci dərəcəli əyrinin ümumi tənliyi (11.1) ilə müqayisə edərkən, dairənin tənliyi üçün iki şərtin təmin edildiyini görmək asandır:

1) x 2 və y 2 üçün əmsallar bir-birinə bərabərdir;

2) cari koordinatların xy hasilini ehtiva edən üzv yoxdur.

Gəlin tərs məsələni nəzərdən keçirək. Qiymətləri və tənliyinə (11.1) qoyaraq, əldə edirik

Bu tənliyi çevirək:

(11.4)

Buradan belə çıxır ki, (11.3) tənliyi şərt altında dairəni müəyyən edir . Onun mərkəzi nöqtədədir , və radius

.

Əgər , onda (11.3) tənliyi formaya malikdir

.

Tək nöqtənin koordinatları ilə təmin edilir . Bu vəziyyətdə deyirlər: "dairə bir nöqtəyə çevrildi" (sıfır radiusa malikdir).

Əgər , onda (11.4) tənliyi və buna görə də ekvivalent tənlik(11.3) heç bir xətt təyin etməyəcək, çünki sağ hissə tənlik (11.4) mənfi, sol tərəf isə mənfi deyil (deyək: “dairə xəyalidir”).

11.3. Ellips

Kanonik ellips tənliyi

Ellips təyyarənin bütün nöqtələrinin çoxluğudur, hər birindən bu müstəvinin verilmiş iki nöqtəsinə qədər olan məsafələrin cəminə deyilir. hiylələr , fokuslar arasındakı məsafədən böyük sabit qiymətdir.

Fokusları ilə işarə edək F 1 Və F 2, aralarındakı məsafə 2-dir c, və ellipsin ixtiyari nöqtəsindən fokuslara qədər olan məsafələrin cəmi - 2-də a(bax şək. 49). Tərifinə görə 2 a > 2c, yəni. a > c.

Ellipsin tənliyini əldə etmək üçün bir koordinat sistemi seçirik ki, fokuslar F 1 Və F 2 ox üzərində yatdı və mənşəyi seqmentin ortasına düşdü F 1 F 2. Onda fokusların aşağıdakı koordinatları olacaq: və .

Ellipsin ixtiyari nöqtəsi olsun. Sonra ellipsin tərifinə görə, yəni.

Bu, mahiyyətcə, ellipsin tənliyidir.

(11.5) tənliyini daha çoxuna çevirək sadə görünüş aşağıdakı şəkildə:

Çünki a>ilə, Bu . qoyaq

(11.6)

Sonra sonuncu tənlik və ya formasını alacaq

(11.7)

(11.7) tənliyinin ilkin tənliyə ekvivalent olduğunu sübut etmək olar. Bu adlanır kanonik ellips tənliyi .

Ellips ikinci dərəcəli əyridir.

Ellipsin formasının tənliyindən istifadə edərək öyrənilməsi

Onun kanonik tənliyindən istifadə edərək ellipsin formasını təyin edək.

1. (11.7) tənliyində x və y yalnız cüt dərəcələrdə olur, ona görə də əgər nöqtə ellipsə aiddirsə, ,, nöqtələri də ona aiddir. Buradan belə nəticə çıxır ki, ellips və oxlarına, eləcə də ellipsin mərkəzi adlanan nöqtəsinə görə simmetrikdir.

2. Ellipsin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın. Qoyaraq, oxun ellipslə kəsişdiyi iki nöqtə və tapırıq (bax. Şəkil 50). (11.7) tənliyinə qoyaraq, ellipsin ox ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq: və . Xallar A 1 , A 2 , B 1, B 2 adlandırılır ellipsin təpələri. Seqmentlər A 1 A 2 Və B 1 B 2, eləcə də onların uzunluqları 2 a və 2 b uyğun olaraq çağırılır böyük və kiçik baltalar ellips. Nömrələri a Və b müvafiq olaraq böyük və kiçik adlanır ox valları ellips.

3. (11.7) tənliyindən belə çıxır ki, sol tərəfdəki hər bir termin birdən çox deyil, yəni. və və ya və bərabərsizlikləri baş verir. Nəticə etibarilə, ellipsin bütün nöqtələri düz xətlərin yaratdığı düzbucaqlının daxilində yerləşir.

4. (11.7) tənliyində qeyri-mənfi şərtlərin cəmi və birə bərabərdir. Beləliklə, bir termin artdıqca, digəri azalacaq, yəni artırsa, azalacaq və əksinə.

Yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır ki, ellips Şəkildə göstərilən formaya malikdir. 50 (oval qapalı əyri).

Ellips haqqında daha çox məlumat

Ellipsin forması nisbətdən asılıdır. Ellips dairəyə çevrildikdə ellipsin tənliyi (11.7) formasını alır. Nisbət çox vaxt ellipsin formasını xarakterizə etmək üçün istifadə olunur. Fokuslar arasındakı məsafənin yarısının ellipsin yarı böyük oxuna nisbəti ellipsin ekssentrikliyi adlanır və o6o ε hərfi ilə işarələnir (“epsilon”):

0 ilə<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Bu göstərir ki, ellipsin ekssentrikliyi nə qədər kiçik olsa, ellips bir o qədər az yastı olacaq; ε = 0 təyin etsək, onda ellips dairəyə çevrilir.

M(x;y) fokusları F 1 və F 2 olan ellipsin ixtiyari nöqtəsi olsun (bax şək. 51). F 1 M = r 1 və F 2 M = r 2 seqmentlərinin uzunluqları M nöqtəsinin fokus radiusları adlanır. Aydındır ki,

Formullar saxlanılır

Birbaşa xətlər deyilir

Teorem 11.1.Əgər ellipsin ixtiyari nöqtəsindən bəzi fokuslara qədər olan məsafədirsə, d eyni nöqtədən bu fokusa uyğun gələn direktrisa qədər olan məsafədirsə, nisbət ellipsin ekssentrikliyinə bərabər sabit qiymətdir:

Bərabərlikdən (11.6) belə çıxır ki, . Əgər, onda (11.7) tənliyi böyük oxu Oy oxunda, kiçik oxu isə Ox oxunda yerləşən ellipsi müəyyən edir (bax. Şəkil 52). Belə bir ellipsin ocaqları nöqtələrdə və , haradadır .

11.4. Hiperbola

Kanonik hiperbola tənliyi

Hiperbola təyyarənin bütün nöqtələrinin çoxluğu, onların hər birindən bu müstəvinin verilmiş iki nöqtəsinə qədər olan məsafələr fərqinin modulu adlanır. hiylələr , fokuslar arasındakı məsafədən kiçik sabit qiymətdir.

Fokusları ilə işarə edək F 1 Və F 2 aralarındakı məsafədir 2s, və hiperbolanın hər bir nöqtəsindən fokuslara qədər olan məsafələr fərqinin modulu 2a. A-prior 2a < 2s, yəni. a < c.

Hiperbola tənliyini əldə etmək üçün bir koordinat sistemi seçirik ki, ocaqlar F 1 Və F 2 ox üzərində yatdı və mənşəyi seqmentin ortasına düşdü F 1 F 2(bax. Şəkil 53). Sonra fokusların koordinatları olacaq və

Hiperbolanın ixtiyari nöqtəsi olsun. Sonra hiperbolanın tərifinə görə və ya, yəni, sadələşdirmələrdən sonra, ellipsin tənliyini əldə edərkən edildiyi kimi, əldə edirik. kanonik hiperbola tənliyi

(11.9)

(11.10)

Hiperbola ikinci dərəcəli bir xəttdir.

Hiperbolanın formasının tənliyindən istifadə edərək öyrənilməsi

Hiperbolanın kakonik tənliyindən istifadə edərək onun formasını təyin edək.

1. (11.9) tənliyində x və y yalnız cüt güclərdə olur. Nəticə etibarı ilə hiperbola oxlara və , eləcə də nöqtəyə nisbətdə simmetrikdir. hiperbolanın mərkəzi.

2. Hiperbolanın koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın. (11.9) tənliyinə qoyaraq, hiperbolanın ox ilə kəsişməsinin iki nöqtəsini tapırıq: və. (11.9) qoysaq, ola bilməz. Buna görə də hiperbola Oy oxunu kəsmir.

Nöqtələr deyilir zirvələri hiperbolalar və seqment

real ox , xətt seqmenti - real yarımox hiperbola.

Nöqtələri birləşdirən seqment deyilir xəyali ox , sayı b - xəyali yarımox . Yanları olan düzbucaqlı 2a Və 2bçağırdı hiperbolanın əsas düzbucaqlı .

3. (11.9) tənliyindən belə nəticə çıxır ki, minuend birdən az deyil, yəni ki, və ya . Bu o deməkdir ki, hiperbolanın nöqtələri xəttin sağında (hiperbolanın sağ qolu) və xəttin solunda (hiperbolanın sol qolu) yerləşir.

4. Hiperbolanın (11.9) tənliyindən aydın olur ki, o, artdıqca artır. Bu, fərqin birə bərabər sabit dəyəri saxlamasından irəli gəlir.

Yuxarıdakılardan belə çıxır ki, hiperbolanın Şəkil 54-də göstərilən forması var (iki qeyri-məhdud budaqdan ibarət əyri).

Hiperbolanın asimptotları

L düz xəttinə asimptot deyilir qeyri-məhdud əyri K, əgər K əyrisinin M nöqtəsindən bu düz xəttə qədər olan d məsafəsi K əyrisi boyunca M nöqtəsinin başlanğıcdan məsafəsi qeyri-məhdud olduqda sıfıra meyllidirsə. Şəkil 55-də asimptot anlayışının təsviri verilmişdir: L düz xətti K əyrisi üçün asimptotdur.

Hiperbolanın iki asimptotunun olduğunu göstərək:

(11.11)

Düz xətlər (11.11) və hiperbola (11.9) koordinat oxlarına nisbətən simmetrik olduğundan, göstərilən xətlərin yalnız birinci rübdə yerləşən nöqtələrini nəzərə almaq kifayətdir.

Hiperbolanın nöqtəsi ilə eyni absis x olan düz xəttin N nöqtəsini götürək (bax şək. 56) və düz xəttin ordinatları ilə hiperbolanın budağı arasındakı ΜΝ fərqini tapın:

Göründüyü kimi, x artdıqca kəsrin məxrəci də artır; paylayıcı sabit qiymətdir. Buna görə də, seqmentin uzunluğu ΜΝ sıfıra meyllidir. MΝ M nöqtəsindən xəttə qədər olan d məsafədən böyük olduğundan, d sıfıra meyllidir. Beləliklə, xətlər hiperbolanın asimptotlarıdır (11.9).

Hiperbolanı qurarkən (11.9) ilk növbədə hiperbolanın əsas düzbucağını qurmaq (bax şək. 57), bu düzbucağın əks təpələrindən - hiperbolanın asimptotlarından keçən düz xətləri çəkmək və təpələri qeyd etmək və , məqsədəuyğundur. hiperbolanın.

Bərabərtərəfli hiperbolanın tənliyi.

onların asimptotları koordinat oxlarıdır

Hiperbola (11.9) əgər onun yarımoxları () bərabərdirsə, bərabərtərəfli adlanır. Onun kanonik tənliyi

(11.12)

Bərabərtərəfli hiperbolanın asimptotları tənliklərə malikdir və buna görə də koordinat bucaqlarının bisektorlarıdır.

Bu hiperbolanın tənliyini yeni koordinat sistemində nəzərdən keçirək (bax şək. 58), koordinat oxlarını bucaqla fırlatmaqla köhnədən alınmışdır. Koordinat oxlarının fırlanması üçün düsturlardan istifadə edirik:

(11.12) tənliyində x və y qiymətlərini əvəz edirik:

Ox və Oy oxlarının asimptot olduğu bərabərtərəfli hiperbolanın tənliyi formada olacaq.

Hiperbola haqqında daha çox məlumat

Eksantriklik hiperbola (11.9) fokuslar arasındakı məsafənin ε ilə işarələnən hiperbolanın həqiqi oxunun qiymətinə nisbətidir:

Hiperbol üçün hiperbolanın ekssentrikliyi birdən böyük olduğu üçün: . Eksantriklik hiperbolanın formasını xarakterizə edir. Həqiqətən də bərabərlikdən (11.10) belə çıxır ki, i.e. Və .

Buradan görünür ki, hiperbolanın ekssentrikliyi nə qədər kiçik olarsa, onun yarımoxlarının nisbəti də bir o qədər kiçik olur və buna görə də onun əsas düzbucaqlısı bir o qədər uzun olur.

Bərabərtərəfli hiperbolanın ekssentrikliyi . Həqiqətən,

Fokus radiusları Və sağ qolun nöqtələri üçün hiperbolalar və formasına malikdir, sol budaq üçün isə - Və .

Birbaşa xətlərə hiperbolanın direktriksləri deyilir. Hiperbola üçün ε > 1 olduğundan, onda . Bu o deməkdir ki, sağ direktrix hiperbolanın mərkəzi və sağ təpəsi arasında, sol - mərkəz və sol təpə arasında yerləşir.

Hiperbolanın direktivləri ellipsin direktrixləri ilə eyni xassələrə malikdir.

Tənliklə müəyyən edilən əyri də hiperboladır, onun həqiqi oxu 2b Oy oxunda, xəyali oxu isə 2-dir. a- Öküz oxunda. Şəkil 59-da nöqtəli xətt kimi göstərilmişdir.

Aydındır ki, hiperbolaların ümumi asimptotları var. Belə hiperbolalar konjugat adlanır.

11.5. Parabola

Kanonik parabola tənliyi

Parabola, hər biri fokus adlanan verilmiş nöqtədən və direktrisa adlanan verilmiş xəttdən bərabər məsafədə olan müstəvinin bütün nöqtələrinin çoxluğudur. F fokusundan direktrisə qədər olan məsafə parabolanın parametri adlanır və p (p > 0) ilə işarələnir.

Parabolanın tənliyini əldə etmək üçün Oxy koordinat sistemini elə seçirik ki, Ox oxu direktrisə perpendikulyar olan F fokusdan direktrisadan F-ə doğru keçsin və O koordinatlarının başlanğıcı isə iki koordinat arasında ortada yerləşsin. fokus və directrix (bax. Şəkil 60). Seçilmiş sistemdə F fokusunun koordinatları var, direktrix tənliyi isə və ya formasına malikdir.

1. (11.13) tənliyində y dəyişəni cüt dərəcədə görünür, bu o deməkdir ki, parabol Ox oxuna görə simmetrikdir; Ox oxu parabolanın simmetriya oxudur.

2. ρ > 0 olduğundan (11.13)-dən belə çıxır ki. Deməli, parabola Oy oxunun sağında yerləşir.

3. Bizdə y = 0 olduqda. Buna görə də parabola başlanğıcdan keçir.

4. X qeyri-müəyyən artdıqca y modulu da qeyri-müəyyən artır. Parabola Şəkil 61-də göstərilən formaya (forma) malikdir. O(0; 0) nöqtəsi parabolanın təpəsi, FM = r seqmenti M nöqtəsinin fokus radiusu adlanır.

Tənliklər , , ( p>0) parabolaları da müəyyən edir, onlar Şəkil 62-də göstərilmişdir

Qrafikdə bunu göstərmək asandır kvadrat üçbucaqlı, burada , B və C istənilən həqiqi ədədlərdir, yuxarıda verilmiş tərif mənasında paraboladır.

11.6. İkinci dərəcəli xətlərin ümumi tənliyi

Koordinat oxlarına paralel simmetriya oxları olan ikinci dərəcəli əyrilərin tənlikləri

Əvvəlcə simmetriya oxları Ox və Oy koordinat oxlarına paralel, yarımoxları isə müvafiq olaraq bərabər olan nöqtədə mərkəzi olan ellipsin tənliyini tapaq. a Və b. O 1 ellipsin mərkəzinə oxları və yarımoxları olan yeni koordinat sisteminin başlanğıcını yerləşdirək. a Və b(bax Şəkil 64):

Nəhayət, Şəkil 65-də göstərilən parabolaların müvafiq tənlikləri var.

tənlik

Ellips, hiperbola, parabolanın tənlikləri və çevrənin çevrilməsindən sonra tənliyi (mötərizələri açın, tənliyin bütün şərtlərini bir tərəfə köçürün, oxşar şərtləri gətirin, əmsallar üçün yeni qeydlər təqdim edin) tək bir tənlikdən istifadə edərək yazıla bilər. forma

burada A və C əmsalları eyni zamanda sıfıra bərabər deyil.

Sual yaranır: (11.14) formasının hər bir tənliyi ikinci dərəcəli əyrilərdən (dairə, ellips, hiperbola, parabola) birini müəyyən edirmi? Cavab aşağıdakı teoremlə verilir.

Teorem 11.2. Tənlik (11.14) həmişə müəyyən edir: ya dairə (A = C üçün), ya da ellips (A C > 0 üçün) və ya hiperbola (A C üçün)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ümumi ikinci dərəcəli tənlik

İndi nəzərdən keçirək ümumi tənlik iki naməlum olan ikinci dərəcə:

O, (11.14) tənliyindən koordinatların hasili (B¹ 0) olan terminin olması ilə fərqlənir. Koordinat oxlarını a bucağı ilə fırlatmaqla bu tənliyi elə çevirmək olar ki, koordinatların hasili olan termin yoxdur.

Ox fırlanma düsturlarından istifadə

Köhnə koordinatları yeniləri ilə ifadə edək:

Gəlin a bucağını elə seçək ki, x" · y" üçün əmsalı sıfır olsun, yəni bərabərlik olsun.

Beləliklə, oxlar (11.17) şərtini ödəyən a bucağı ilə fırlandıqda (11.15) tənliyi (11.14) tənliyinə endirilir.

Nəticə: ümumi ikinci dərəcəli tənlik (11.15) müstəvidə (degenerasiya və çürümə halları istisna olmaqla) aşağıdakı əyriləri müəyyən edir: dairə, ellips, hiperbola, parabola.

Qeyd: A = C olarsa, (11.17) tənliyi mənasız olur. Bu halda cos2α = 0 (bax (11.16)), sonra 2α = 90°, yəni α = 45°. Beləliklə, A = C olduqda, koordinat sistemi 45 ° fırlanmalıdır.

Ellips müstəvidəki nöqtələrin həndəsi yeridir, onların hər birindən verilmiş iki F_1 nöqtəsinə qədər olan məsafələrin cəmidir və F_2 bunlar arasındakı məsafədən (2c) böyük (2a) sabit qiymətdir. xallar verilir(Şəkil 3.36, a). Bu həndəsi tərif ifadə edir ellipsin fokus xüsusiyyəti.

Ellipsin fokus xüsusiyyəti

F_1 və F_2 nöqtələri ellipsin fokusları adlanır, aralarındakı məsafə 2c=F_1F_2 fokus uzunluğu, F_1F_2 seqmentinin orta O hissəsi ellipsin mərkəzi, 2a rəqəmi ellipsin əsas oxunun uzunluğudur. ellips (müvafiq olaraq, a sayı ellipsin yarım əsas oxudur). Ellipsin ixtiyari M nöqtəsini onun fokusları ilə birləşdirən F_1M və F_2M seqmentləri M nöqtəsinin fokus radiusları adlanır. Ellipsin iki nöqtəsini birləşdirən seqmentə ellipsin akkordu deyilir.

e=\frac(c)(a) nisbətinə ellipsin ekssentrikliyi deyilir. Tərifdən (2a>2c) belə çıxır ki, 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Ellipsin həndəsi tərifi, onun fokus xüsusiyyətini ifadə edərək, onun analitik tərifinə - ellipsin kanonik tənliyi ilə verilən xəttə bərabərdir:

Doğrudan da, düzbucaqlı koordinat sistemini təqdim edək (şək. 3.36c). Koordinat sisteminin başlanğıcı kimi ellipsin O mərkəzini götürürük; fokuslardan (fokus oxu və ya ellipsin birinci oxundan) keçən düz xətti absis oxu kimi qəbul edirik (ondakı müsbət istiqamət F_1 nöqtəsindən F_2 nöqtəsinə qədərdir); fokus oxuna perpendikulyar olan və ellipsin mərkəzindən (ellipsin ikinci oxundan) ordinat oxu kimi keçən düz xətt götürək (ordinat oxundakı istiqamət elə seçilir ki, düzbucaqlı koordinat sistemi Oxy düzgün olsun) .

Ellips üçün onun fokus xassəsini ifadə edən həndəsi tərifindən istifadə edərək tənlik yaradaq. Seçilmiş koordinat sistemində fokusların koordinatlarını təyin edirik F_1(-c,0),~F_2(c,0). Ellipsə aid olan ixtiyari M(x,y) nöqtəsi üçün bizdə:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Bu bərabərliyi koordinat şəklində yazsaq, əldə edirik:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

İkinci radikalı sağ tərəfə aparırıq, tənliyin hər iki tərəfini kvadrat edirik və oxşar şərtləri gətiririk:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Sol sağarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4-ə bölmək, tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırırıq:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Sol sağarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

təyin edərək b=\sqrt(a^2-c^2)>0, alırıq b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Hər iki tərəfi a^2b^2\ne0-a bölərək ellipsin kanonik tənliyinə gəlirik:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Buna görə də seçilmiş koordinat sistemi kanonikdir.

Əgər ellipsin fokusları üst-üstə düşürsə, o zaman ellips çevrədir (şək. 3.36,6), çünki a=b. Bu halda, mənşəyi nöqtədə olan istənilən düzbucaqlı koordinat sistemi kanonik olacaqdır O\ekviv F_1\ekviv F_2, və x^2+y^2=a^2 tənliyi mərkəzi O nöqtəsində və radiusu a-ya bərabər olan dairənin tənliyidir.

Məntiqlə tərs qaydada, göstərmək olar ki, koordinatları (3.49) tənliyini ödəyən bütün nöqtələr və yalnız onlar ellips adlanan nöqtələrin həndəsi məkanına aiddir. Başqa sözlə desək, ellipsin analitik tərifi onun həndəsi tərifinə bərabərdir ki, bu da ellipsin fokus xassəsini ifadə edir.

Ellipsin rejissorluq xüsusiyyəti

Ellipsin direktriksləri kanonik koordinat sisteminin ordinat oxuna paralel olaraq ondan eyni \frac(a^2)(c) məsafədə yerləşən iki düz xəttdir. c=0-da ellips çevrə olduqda, heç bir direktrix yoxdur (biz direktrixlərin sonsuzluqda olduğunu güman edə bilərik).

Eksentrikliyi 0 olan ellips müstəvidəki nöqtələrin yeri, onların hər biri üçün məsafənin verilmiş F nöqtəsinə (fokus) verilən nöqtədən keçməyən verilmiş d düz xəttinə (direktrix) olan məsafəyə nisbəti sabitdir və ekssentrikliyə bərabərdir. e ( ellipsin rejissorluq xüsusiyyəti). Burada F və d kanonik koordinat sisteminin ordinat oxunun bir tərəfində yerləşən ellipsin fokuslarından biri və onun direktrikslərindən biridir, yəni. F_1,d_1 və ya F_2,d_2 .

Əslində, məsələn, F_2 fokus və d_2 directrix (Şəkil 3.37,6) üçün şərt \frac(r_2)(\rho_2)=e koordinat şəklində yazıla bilər:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\sağ)

Məntiqsizlikdən qurtulmaq və əvəz etmək e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kanonik ellips tənliyinə (3.49) çatırıq. Oxşar mülahizə F_1 və direktor üçün də aparıla bilər d_1\kolon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Qütb koordinat sistemində ellipsin tənliyi

F_1r\varphi qütb koordinat sistemində ellipsin tənliyi (şək. 3.37, c və 3.37 (2)) formasına malikdir.

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

burada p=\frac(b^2)(a) ellipsin fokus parametridir.

Əslində, qütb koordinat sisteminin qütbü kimi ellipsin sol fokusunu F_1, qütb oxu kimi isə F_1F_2 şüasını seçək (şək. 3.37, c). Onda ixtiyari M(r,\varphi) nöqtəsi üçün ellipsin həndəsi tərifinə (fokus xassəsinə) görə r+MF_2=2a olur. M(r,\varphi) və F_2(2c,0) nöqtələri arasındakı məsafəni ifadə edirik (2.8 qeydinin 2-ci bəndinə bax):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(düzləşdirilmiş)

Buna görə də koordinat şəklində F_1M+F_2M=2a ellipsinin tənliyi formaya malikdir.

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Radikalı təcrid edirik, tənliyin hər iki tərəfini kvadrat edirik, 4-ə bölürük və oxşar şərtləri təqdim edirik:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Qütb radiusunu r ifadə edin və əvəz edin e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \dörd \Sol sağarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Sol sağarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Ellips tənliyində əmsalların həndəsi mənası

Koordinat oxları (ellipsin təpələri) ilə ellipsin kəsişmə nöqtələrini (bax şək. 3.37a) tapaq. Tənlikdə y=0 əvəz edərək, ellipsin absis oxu ilə (fokus oxu ilə) kəsişmə nöqtələrini tapırıq: x=\pm a. Beləliklə, ellipsin içərisində olan fokus oxun seqmentinin uzunluğu 2a-ya bərabərdir. Bu seqment, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, ellipsin böyük oxu adlanır və a rəqəmi ellipsin yarım böyük oxudur. x=0-ı əvəz etməklə y=\pm b alırıq. Beləliklə, ellipsin içərisində olan ikinci oxunun seqmentinin uzunluğu 2b-ə bərabərdir. Bu seqment ellipsin kiçik oxu adlanır və b rəqəmi ellipsin yarım kiçik oxudur.

Həqiqətən, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, və b=a bərabərliyi yalnız c=0 halda, ellips dairə olduqda alınır. Münasibət k=\frac(b)(a)\leqslant1 ellipsin sıxılma nisbəti adlanır.

Qeydlər 3.9

1. x=\pm a,~y=\pm b düz xətləri içərisində ellips olan əsas düzbucaqlı koordinat müstəvisində məhdudlaşdırır (bax. Şəkil 3.37, a).

2. Ellips kimi müəyyən edilə bilər dairəni diametrinə sıxmaqla əldə edilən nöqtələrin yeri.

Doğrudan da Oxy düzbucaqlı koordinat sistemində çevrənin tənliyi x^2+y^2=a^2 olsun. 0 əmsalı ilə x oxuna sıxıldıqda

\begin(hallar)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(hallar)

Tənlikdə x=x" və y=\frac(1)(k)y" çevrələrini əvəz edərək M(x,y" nöqtəsinin M"(x",y") şəklinin koordinatları üçün tənliyi alırıq. ):

(x")^2+(\sol(\frac(1)(k)\cdot y"\sağ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

çünki b=k\cdot a . Bu, ellipsin kanonik tənliyidir.

3. Koordinat oxları (kanonik koordinat sisteminin) ellipsin simmetriya oxlarıdır (ellipsin əsas oxları adlanır), mərkəzi isə simmetriya mərkəzidir.

Həqiqətən, əgər M(x,y) nöqtəsi ellipsə aiddirsə. onda koordinat oxlarına nisbətən M nöqtəsinə simmetrik olan M"(x,-y) və M""(-x,y) nöqtələri də eyni ellipsə aiddir.

4. Qütb koordinat sistemində ellipsin tənliyindən r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(bax. Şəkil 3.37, c), belə çıxır həndəsi məna fokus parametri fokus oxuna perpendikulyar olan fokusundan keçən ellipsin akkord uzunluğunun yarısıdır ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Eksentriklik e ellipsin formasını, yəni ellips və dairə arasındakı fərqi xarakterizə edir. e nə qədər böyükdürsə, ellips bir o qədər uzundur və e sıfıra nə qədər yaxındırsa, ellips dairəyə bir o qədər yaxındır (şək. 3.38a). Həqiqətən, e=\frac(c)(a) və c^2=a^2-b^2 olduğunu nəzərə alsaq, alırıq.

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\sol(\frac(a)(b)\sağ )\^2=1-k^2, !}

burada k ellipsin sıxılma nisbətidir, 0

6. Tənlik \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a

7. Tənlik \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b oxları koordinat oxlarına paralel olan mərkəzi O"(x_0,y_0) nöqtəsində olan ellipsi təyin edir (şək. 3.38, c). Bu tənlik paralel tərcümədən (3.36) istifadə edərək kanonik birinə endirilir.

a=b=R olduqda tənlik (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 mərkəzi O nöqtəsində olan R radiuslu dairəni təsvir edir"(x_0,y_0) .

Ellipsin parametrik tənliyi

Ellipsin parametrik tənliyi kanonik koordinat sistemində formaya malikdir

\begin(hallar)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(hallar)0\leqslant t<2\pi.

Həqiqətən də, bu ifadələri (3.49) tənliyində əvəz edərək, əsas triqonometrik eyniliyə gəlirik \cos^2t+\sin^2t=1 .

Misal 3.20. Bir ellips çəkin \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanonik koordinat sistemində Oxy. Yarımoxları, fokus məsafəsini, ekssentrikliyi, sıxılma nisbətini, fokus parametrini, direktris tənliklərini tapın.

Həll. Verilmiş tənliyi kanoniklə müqayisə edərək yarımoxları təyin edirik: a=2 - yarım böyük ox, b=1 - ellipsin yarım kiçik oxu. Tərəfləri 2a=4,~2b=2 olan əsas düzbucaqlını mərkəzi başlanğıcda düzəldirik (şək. 3.39). Ellipsin simmetriyasını nəzərə alaraq, onu əsas düzbucaqlıya yerləşdiririk. Lazım gələrsə, ellipsin bəzi nöqtələrinin koordinatlarını təyin edin. Məsələn, x=1-i ellipsin tənliyində əvəz etməklə, əldə edirik

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \dörd \Sol sağ ox \dörd y^2=\frac(3)(4) \dörd \Sol sağ ox \ dördlük y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Buna görə də koordinatları olan nöqtələr \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\sağ)- ellipsə aiddir.

Sıxılma nisbətinin hesablanması k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); fokus uzunluğu 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekssentriklik e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokus parametri p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Direktrix tənliklərini tərtib edirik: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Sol sağarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Javascript brauzerinizdə deaktiv edilib.
Hesablamaları yerinə yetirmək üçün ActiveX nəzarətlərini aktivləşdirməlisiniz!