Tərif 7.1.İki sabit F 1 və F 2 nöqtələrinə olan məsafələrin cəminin verilmiş sabit qiymət olduğu müstəvidəki bütün nöqtələrin çoxluğuna deyilir. ellips.
Ellipsin tərifi onun həndəsi qurulmasının aşağıdakı üsulunu verir. Müstəvidə iki F 1 və F 2 nöqtəsini düzəldirik və mənfi olmayan sabit dəyəri 2a ilə işarə edirik. F 1 və F 2 nöqtələri arasındakı məsafə 2c olsun. Təsəvvür edək ki, 2a uzunluğunda uzanmayan bir ip, məsələn, iki iynədən istifadə edərək F 1 və F 2 nöqtələrində sabitlənir. Aydındır ki, bu, yalnız ≥ c üçün mümkündür. İpi qələmlə çəkdikdən sonra ellips olacaq bir xətt çəkin (Şəkil 7.1).
Beləliklə, a ≥ c olarsa, təsvir edilən çoxluq boş deyil. a = c olduqda, ellips F 1 və F 2 ucları olan bir seqmentdir və c = 0 olduqda, yəni. Ellipsin tərifində göstərilən sabit nöqtələr üst-üstə düşürsə, o, a radiuslu dairədir. Bu degenerasiya hallarından imtina edərək, bir qayda olaraq, a > c > 0 olduğunu fərz edəcəyik.
Ellipsin 7.1 tərifində F 1 və F 2 sabit nöqtələri (bax. Şəkil 7.1) adlanır. ellips ocaqları, aralarındakı məsafə, 2c ilə göstərilən, - fokus uzunluğu, və ellipsin ixtiyari M nöqtəsini onun fokusları ilə birləşdirən F 1 M və F 2 M seqmentləri fokus radiusları.
Ellipsin forması tamamilə fokus uzunluğu ilə müəyyən edilir |F 1 F 2 | = 2c və a parametri və müstəvidəki mövqeyi - bir cüt F 1 və F 2 nöqtələri.
Ellipsin tərifindən belə çıxır ki, o, F 1 və F 2 fokuslarından keçən xəttə, həmçinin F 1 F 2 seqmentini yarıya bölən və ona perpendikulyar olan xəttə nisbətən simmetrikdir. (Şəkil 7.2, a). Bu xətlər adlanır ellips oxları. Onların kəsişməsinin O nöqtəsi ellipsin simmetriya mərkəzidir və ona deyilir ellipsin mərkəzi, və ellipsin simmetriya oxları ilə kəsişmə nöqtələri (Şəkil 7.2, a-da A, B, C və D nöqtələri) - ellipsin təpələri.
a nömrəsi deyilir ellipsin yarım böyük oxu, və b = √(a 2 - c 2) - onun kiçik ox. Görmək asandır ki, c > 0 üçün a yarım böyük oxu ellipsin mərkəzindən ellipsin fokusları ilə eyni oxda olan təpələrinə qədər olan məsafəyə bərabərdir (A və B təpələri). şək. 7.2, a) və yarım kiçik ox b mərkəzi ellipsdən onun digər iki təpəsinə qədər olan məsafəyə bərabərdir (şəkil 7.2, a-da C və D təpələri).
Ellips tənliyi. F 1 və F 2, əsas ox 2a nöqtələrində fokusları olan müstəvidə bəzi ellipsi nəzərdən keçirək. 2c fokus uzunluğu olsun, 2c = |F 1 F 2 |
Müstəvidə düzbucaqlı Oxy koordinat sistemi seçək ki, onun mənşəyi ellipsin mərkəzi ilə üst-üstə düşsün və fokusları üzərində olsun. x oxu(Şəkil 7.2, b). Belə bir koordinat sistemi deyilir kanonik sözügedən ellips üçün və uyğun dəyişənlərdir kanonik.
Seçilmiş koordinat sistemində fokuslar F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinatlarına malikdir. Nöqtələr arası məsafənin düsturundan istifadə edərək |F 1 M| şərtini yazırıq + |F 2 M| = 2a koordinatlarda:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Bu tənlik əlverişsizdir, çünki iki kvadrat radikal ehtiva edir. Beləliklə, onu çevirək. (7.2) tənliyindəki ikinci radikalı yerinə keçirək sağ tərəf və kvadratı:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Mötərizələri açıb oxşar terminləri gətirdikdən sonra alırıq
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
burada ε = c/a. İkinci radikalı çıxarmaq üçün kvadratlaşdırma əməliyyatını təkrar edirik: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 və ya daxil edilmiş ε parametrinin dəyərini nəzərə alaraq, (a 2 - c 2) ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0 olduğundan
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
(7.4) tənliyi ellipsin üzərində yerləşən bütün nöqtələrin koordinatları ilə ödənilir. Lakin bu tənliyi əldə edərkən orijinal tənliyin (7.2) qeyri-ekvivalent çevrilmələrindən - kvadrat radikalları çıxaran iki kvadratdan istifadə edilmişdir. Hər iki tərəfdə eyni işarəli kəmiyyətlər varsa, tənliyin kvadratlaşdırılması ekvivalent çevrilmədir, lakin biz bunu transformasiyalarımızda yoxlamamışıq.
Aşağıdakıları nəzərə alsaq, çevrilmələrin ekvivalentliyini yoxlamaqdan qaça bilərik. Bir cüt nöqtə F 1 və F 2, |F 1 F 2 | = 2c, müstəvidə bu nöqtələrdə fokusları olan bir ellips ailəsini təyin edir. F 1 F 2 seqmentinin nöqtələri istisna olmaqla, təyyarənin hər bir nöqtəsi göstərilən ailənin bəzi ellipsinə aiddir. Bu halda, heç bir iki ellips kəsişmir, çünki fokus radiuslarının cəmi xüsusi bir ellipsi təyin edir. Beləliklə, təsvir edilən kəsişmələri olmayan ellips ailəsi, F 1 F 2 seqmentinin nöqtələri istisna olmaqla, bütün müstəvini əhatə edir. a parametrinin verilmiş qiyməti ilə koordinatları (7.4) tənliyini təmin edən nöqtələr toplusunu nəzərdən keçirək. Bu çoxluğu bir neçə ellips arasında paylamaq olarmı? Çoxluğun bəzi nöqtələri a yarım böyük oxu olan ellipsə aiddir. Bu çoxluqda a yarım böyük oxu olan ellipsin üzərində uzanan bir nöqtə olsun. Onda bu nöqtənin koordinatları tənliyə tabe olur
olanlar. (7.4) və (7.5) tənlikləri var ümumi həllər. Ancaq sistemin olduğunu yoxlamaq asandır
ã ≠ a üçün heç bir həll yolu yoxdur. Bunu etmək üçün, məsələn, x-i birinci tənlikdən çıxarmaq kifayətdir:
çevrilmələrdən sonra tənliyə gətirib çıxarır
ã ≠ a üçün həlli olmayan, çünki . Beləliklə, (7.4) yarım böyük oxu a > 0 və yarım kiçik oxu b =√(a 2 - c 2) > 0 olan ellipsin tənliyidir. kanonik ellips tənliyi.
Ellips görünüşü. Yuxarıda müzakirə edilən ellipsin həndəsi üsulu haqqında kifayət qədər fikir verilir görünüş ellips. Lakin ellipsin formasını onun kanonik tənliyindən (7.4) istifadə etməklə də öyrənmək olar. Məsələn, y ≥ 0 fərz edərək, y-ni x vasitəsilə ifadə edə bilərsiniz: y = b√(1 - x 2 /a 2) və bu funksiyanı tədqiq edərək onun qrafikini qura bilərsiniz. Ellips qurmağın başqa bir yolu var. Ellipsin (7.4) kanonik koordinat sisteminin başlanğıcında mərkəzi olan a radiuslu dairə x 2 + y 2 = a 2 tənliyi ilə təsvir edilmişdir. boyunca a/b > 1 əmsalı ilə sıxılırsa y oxu, onda siz x 2 + (ya/b) 2 = a 2 tənliyi ilə təsvir olunan əyri, yəni ellips alırsınız.
Qeyd 7.1. Eyni dairə a/b əmsalı ilə sıxılırsa
Ellips ekssentrikliyi. Ellipsin fokus uzunluğunun onun əsas oxuna nisbəti deyilir ellipsin ekssentrikliyi və ε ilə işarələnir. Verilmiş ellips üçün
kanonik tənlik (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Əgər (7.4)-də a və b parametrləri a bərabərsizliyi ilə əlaqələndirilirsə
c = 0 olduqda, ellips dairəyə çevrildikdə və ε = 0. Digər hallarda 0.
(7.3) tənliyi (7.4) tənliyinə ekvivalentdir, çünki (7.4) və (7.2) tənlikləri ekvivalentdir. Deməli, ellipsin tənliyi də (7.3). Bundan əlavə, (7.3) əlaqəsi maraqlıdır, çünki o, |F 2 M| uzunluğu üçün sadə, radikalsız düstur verir. ellipsin M(x; y) nöqtəsinin fokus radiuslarından biri: |F 2 M| = a + εx.
İkinci fokus radiusu üçün oxşar düstur simmetriya mülahizələrindən və ya kvadratlaşdırma tənliyindən (7.2) əvvəl birinci radikalın ikinciyə deyil, sağ tərəfə köçürüldüyü təkrar hesablamalardan əldə edilə bilər. Beləliklə, ellipsin istənilən M(x; y) nöqtəsi üçün (bax. Şəkil 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
və bu tənliklərin hər biri ellipsin tənliyidir.
Misal 7.1. Yarımmajor oxu 5 və ekssentrikliyi 0,8 olan ellipsin kanonik tənliyini tapıb onu quraq.
Ellipsin yarım böyük oxunu a = 5 və ekssentrikliyini ε = 0,8 bilərək, onun yarım kiçik oxunu b tapacağıq. b = √(a 2 - c 2) və c = εa = 4 olduğundan, b = √(5 2 - 4 2) = 3. Beləliklə, kanonik tənlik x 2 /5 2 + y 2 /3 formasına malikdir. 2 = 1. Ellips qurmaq üçün mərkəzi kanonik koordinat sisteminin başlanğıcında olan, tərəfləri ellipsin simmetriya oxlarına paralel və ona uyğun oxlarına bərabər olan düzbucaqlı çəkmək rahatdır (Şəkil 2). 7.4). Bu düzbucaqlı ilə kəsişir
ellipsin A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) təpələrindəki oxları və ellipsin özü onun içinə yazılmışdır. Şəkildə. 7.4 də ellipsin F 1.2 (±4; 0) fokuslarını göstərir.
Ellipsin həndəsi xassələri.(7.6)-dakı birinci tənliyi |F 1 M| şəklində yenidən yazaq = (a/ε - x)ε. Qeyd edək ki, a > c üçün a/ε - x dəyəri müsbətdir, çünki F 1 foku ellipsə aid deyil. Bu qiymət şaquli d xəttinə olan məsafəni ifadə edir: bu xəttin solunda yerləşən M(x; y) nöqtəsindən x = a/ε. Ellips tənliyini belə yazmaq olar
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Bu o deməkdir ki, bu ellips müstəvinin M(x; y) nöqtələrindən ibarətdir ki, onlar üçün F 1 M fokus radiusunun uzunluğunun d düz xəttinə olan məsafəyə nisbəti ε-ə bərabər sabit qiymətdir (Şəkil 2). 7.5).
d düz xəttinin “ikiqat” - şaquli düz xətti d var, ellipsin mərkəzinə nisbətən d-yə simmetrikdir, bu x = -a/ε tənliyi ilə verilir.D-ə münasibətdə ellips aşağıda təsvir edilmişdir. d ilə eyni şəkildə. Hər iki sətir d və d" adlanır ellipsin direktivləri. Ellipsin direktriksləri onun fokuslarının yerləşdiyi ellipsin simmetriya oxuna perpendikulyardır və ellipsin mərkəzindən a/ε = a 2 /c məsafədə yerləşir (bax. Şəkil 7.5).
Direktrixdən ona ən yaxın fokusa qədər olan məsafə p adlanır ellipsin fokus parametri. Bu parametr bərabərdir
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Ellipsin digər mühüm həndəsi xassələri var: F 1 M və F 2 M fokus radiusları M nöqtəsində ellipsə toxunan ilə bərabər bucaqlar yaradır (şək. 7.6).
Bu əmlak aydındır fiziki məna. Əgər işıq mənbəyi F 1 fokusunda yerləşdirilirsə, o zaman bu fokusdan çıxan şüa ellipsdən əks olunduqdan sonra ikinci fokus radiusu boyunca gedəcək, çünki əks olunduqdan sonra əksdən əvvəlki kimi əyriyə eyni bucaq altında olacaq. Beləliklə, F 1 fokusundan çıxan bütün şüalar ikinci fokus F 2-də cəmləşəcək və əksinə. Bu təfsir əsasında bu xassə deyilir ellipsin optik xüsusiyyəti.
Tərif. Ellips müstəvidəki nöqtələrin həndəsi yeridir, hər birinin bu müstəvinin iki verilmiş nöqtəsindən ocaq adlanan məsafələrinin cəmi sabit qiymətdir (bir şərtlə ki, bu qiymət ocaqlar arasındakı məsafədən böyükdür). .
Fokusları aralarındakı məsafə ilə işarə edək - vasitəsilə və sabit qiymət, məbləğinə bərabərdir ellipsin hər bir nöqtəsindən fokuslara qədər olan məsafələr (şərtə uyğun olaraq).
Dekart koordinat sistemini elə quraq ki, fokuslar absis oxunda olsun, koordinatların başlanğıcı isə seqmentin ortası ilə üst-üstə düşsün (şək. 44). Sonra fokuslar aşağıdakı koordinatlara sahib olacaqlar: sol fokus və sağ fokus. Seçdiyimiz koordinat sistemində ellipsin tənliyini çıxaraq. Bu məqsədlə ellipsin ixtiyari nöqtəsini nəzərdən keçirək. Ellipsin tərifinə görə, bu nöqtədən fokuslara qədər olan məsafələrin cəmi bərabərdir:
Beləliklə, iki nöqtə arasındakı məsafənin düsturundan istifadə edərək əldə edirik
Bu tənliyi sadələşdirmək üçün onu formada yazırıq
Sonra tənliyin hər iki tərəfinin kvadratını alırıq
və ya aşkar sadələşdirmələrdən sonra:
İndi tənliyin hər iki tərəfini yenidən kvadratlaşdırırıq, bundan sonra əldə edirik:
və ya eyni çevrilmələrdən sonra:
Çünki ellipsin tərifindəki şərtə görə, o zaman ədəd müsbətdir. Qeydi təqdim edək
Sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq:
Ellipsin tərifinə görə onun istənilən nöqtəsinin koordinatları (26) tənliyini ödəyir. Lakin (29) tənliyi (26) tənliyinin nəticəsidir. Nəticə etibarilə, o, həm də ellipsin istənilən nöqtəsinin koordinatları ilə təmin edilir.
Göstərilə bilər ki, ellips üzərində yatmayan nöqtələrin koordinatları (29) tənliyini təmin etmir. Beləliklə, (29) tənliyi ellipsin tənliyidir. Ellipsin kanonik tənliyi adlanır.
Onun kanonik tənliyindən istifadə edərək ellipsin formasını təyin edək.
İlk növbədə, bu tənliyin yalnız ehtiva etdiyinə diqqət yetirək hətta dərəcələr x və y. Bu o deməkdir ki, hər hansı bir nöqtə ellipsə aiddirsə, o zaman o, həm də absis oxuna nisbətən nöqtə ilə simmetrik nöqtəni və ordinat oxuna nisbətən nöqtə ilə simmetrik nöqtəni ehtiva edir. Beləliklə, ellipsin iki qarşılıqlı perpendikulyar simmetriya oxu var, bizim seçdiyimiz koordinat sistemində koordinat oxları ilə üst-üstə düşür. Biz bundan sonra ellipsin simmetriya oxlarını ellipsin oxları, onların kəsişmə nöqtəsini isə ellipsin mərkəzi adlandıracağıq. Ellipsin fokuslarının yerləşdiyi ox ( bu halda x oxu) fokus oxu adlanır.
Əvvəlcə birinci rübdə ellipsin formasını müəyyən edək. Bunun üçün y üçün (28) tənliyini həll edək:
Aydındır ki, burada y xəyali dəyərlər qəbul etdiyi üçün. 0-dan a-ya yüksəldikcə, y b-dən 0-a qədər azalır. Ellipsin birinci rübdə yerləşən hissəsi B (0; b) nöqtələri ilə hüdudlanmış və koordinat oxları üzərində uzanan qövs olacaqdır (şək. 45). İndi ellipsin simmetriyasından istifadə edərək, ellipsin Şəkil 1-də göstərilən formaya sahib olduğu qənaətinə gəlirik. 45.
Ellipsin oxlarla kəsişmə nöqtələrinə ellipsin təpələri deyilir. Ellipsin simmetriyasından belə nəticə çıxır ki, ellipsin təpələrdən əlavə daha iki təpəsi var (bax şək. 45).
Ellipsin seqmentləri və birləşdirən əks təpələri, habelə onların uzunluqları müvafiq olaraq ellipsin böyük və kiçik oxları adlanır. a və b ədədləri müvafiq olaraq ellipsin böyük və kiçik yarımoxları adlanır.
Fokuslar arasındakı məsafənin yarısının ellipsin yarı əsas oxuna nisbəti ellipsin eksantrikliyi adlanır və adətən hərflə işarələnir:
Çünki ellipsin ekssentrikliyi vəhdətdən kiçikdir: Eksentriklik ellipsin formasını xarakterizə edir. Həqiqətən də (28) düsturundan belə çıxır ki, ellipsin ekssentrikliyi nə qədər kiçik olarsa, onun yarım-kiçik oxu b a yarım-böyük oxundan bir o qədər az fərqlənir, yəni ellips (fokus oxu boyunca) bir o qədər az uzanır.
Məhdudlaşdırıcı halda nəticə a radiuslu dairədir: , və ya . Eyni zamanda, ellipsin fokusları bir nöqtədə - dairənin mərkəzində birləşir. Dairənin ekssentrikliyi sıfırdır:
Ellipslə çevrə arasındakı əlaqəni başqa nöqteyi-nəzərdən də qurmaq olar. Göstərək ki, a və b yarımoxlu ellipsi a radiuslu çevrənin proyeksiyası kimi qəbul etmək olar.
Öz aralarında belə a bucağı əmələ gətirən iki P və Q müstəvisini nəzərdən keçirək (şək. 46). P müstəvisində koordinat sistemini, Q müstəvisində isə müstəvilərin kəsişmə xətti ilə üst-üstə düşən ümumi mənşəli O və ümumi absis oxu olan Oxy sistemini quraq. P müstəvisində bir dairəni nəzərdən keçirək
mərkəzi başlanğıcda və radiusu a-ya bərabərdir. Dairənin özbaşına seçilmiş nöqtəsi, onun Q müstəvisinə proyeksiyası və M nöqtəsinin Ox oxuna proyeksiyası olsun. Göstərək ki, nöqtə a və b yarımoxları olan ellips üzərində yerləşir.
İkinci dərəcəli əyrilər müstəvidə dəyişənin koordinatları olan tənliklərlə müəyyən edilmiş xətlərdir x Və y ikinci dərəcəyə daxildir. Bunlara ellips, hiperbola və parabola daxildir.
İkinci dərəcəli əyri tənliyin ümumi forması aşağıdakı kimidir:
Harada A, B, C, D, E, F- ədədlər və əmsallardan ən azı biri A, B, C sıfıra bərabər deyil.
İkinci dərəcəli əyrilərlə bağlı məsələlərin həlli zamanı ən çox ellips, hiperbol və parabolanın kanonik tənlikləri nəzərə alınır. Ümumi tənliklərdən onlara keçmək asandır, ellipslərlə bağlı məsələlərin 1-ci nümunəsi buna həsr olunacaq.
Kanonik tənliklə verilən ellips
Ellipsin tərifi. Ellips müstəvinin bütün nöqtələrinin məcmusudur ki, onun üçün ocaqlar adlanan nöqtələrə olan məsafələrin cəmi ocaqlar arasındakı məsafədən daha böyük sabit qiymətdir.
Fokuslar aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi göstərilmişdir.
Ellipsin kanonik tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:
Harada a Və b (a > b) - yarım oxların uzunluqları, yəni koordinat oxlarında ellipslə kəsilmiş seqmentlərin uzunluğunun yarısı.
Ellipsin fokuslarından keçən düz xətt onun simmetriya oxudur. Ellipsin başqa bir simmetriya oxu bu seqmentə perpendikulyar olan seqmentin ortasından keçən düz xəttdir. Nöqtə HAQQINDA bu xətlərin kəsişməsi ellipsin simmetriya mərkəzi və ya sadəcə olaraq ellipsin mərkəzi kimi xidmət edir.
Ellipsin absis oxu nöqtələrində kəsişir ( a, HAQQINDA) Və (- a, HAQQINDA) və ordinat oxu nöqtədədir ( b, HAQQINDA) Və (- b, HAQQINDA). Bu dörd nöqtəyə ellipsin təpələri deyilir. Ellipsin x oxundakı təpələri arasındakı seqment onun böyük oxu, ordinat oxunda isə kiçik oxu adlanır. Onların ellipsin yuxarıdan mərkəzinə qədər olan seqmentlərinə yarımoxlar deyilir.
Əgər a = b, onda ellipsin tənliyi formasını alır. Bu radiuslu dairənin tənliyidir a, və dairədir xüsusi hal ellips. Radiuslu dairədən ellips əldə etmək olar a, onu sıxışdırsanız a/b ox boyunca dəfə ay .
Misal 1.Ümumi tənliklə verilən xəttin olub olmadığını yoxlayın 
, ellips.
Həll. Transformasiyalar edirik ümumi tənlik. Sərbəst terminin sağ tərəfə köçürülməsindən, tənliyin eyni sayda müddətə bölünməsindən və fraksiyaların azaldılmasından istifadə edirik:
Cavab verin. Çevrilmələr nəticəsində alınan tənlik ellipsin kanonik tənliyidir. Buna görə də bu xətt ellipsdir.
Misal 2. Ellipsin yarımoxları müvafiq olaraq 5 və 4 olarsa, onun kanonik tənliyini qurun.
Həll. Ellipsin və əvəzedicinin kanonik tənliyinin düsturuna baxırıq: yarım böyük ox a= 5, yarım kiçik oxdur b= 4. Ellipsin kanonik tənliyini alırıq:
Nöqtələr və , əsas oxda yaşıl rənglə göstərilir, burada
adlandırılır hiylələr.
çağırdı ekssentriklik ellips.
Münasibət b/a ellipsin "şəkilliliyini" xarakterizə edir. Bu nisbət nə qədər kiçik olsa, ellips əsas ox boyunca uzanır. Bununla birlikdə, bir ellipsin uzanma dərəcəsi daha tez-tez düsturu yuxarıda verilmiş ekssentriklik ilə ifadə edilir. Müxtəlif ellipslər üçün ekssentriklik 0-dan 1-ə qədər dəyişir, həmişə birlikdən az qalır.
Misal 3. Fokuslar 8 ilə əsas ox arasındakı məsafə 10 olarsa, ellipsin kanonik tənliyini qurun.
Həll. Bəzi sadə nəticələr çıxaraq:
Böyük ox 10-a bərabərdirsə, onun yarısı, yəni yarım ox a = 5 ,
Fokuslar arasındakı məsafə 8-dirsə, o zaman rəqəm c fokus koordinatlarının 4-ə bərabərdir.
Əvəz edirik və hesablayırıq:
Nəticə ellipsin kanonik tənliyidir:
Misal 4. Ellipsin əsas oxu 26, ekssentrikliyi isə , olarsa onun kanonik tənliyini qurun.
Həll. Həm böyük oxun ölçüsündən, həm də ekssentriklik tənliyindən aşağıdakı kimi, ellipsin yarım böyük oxu a= 13. Eksentriklik tənliyindən ədədi ifadə edirik c, kiçik yarım oxun uzunluğunu hesablamaq üçün lazımdır:
.
Kiçik yarım oxun uzunluğunun kvadratını hesablayırıq:
Ellipsin kanonik tənliyini tərtib edirik:
Misal 5. Kanonik tənliklə verilən ellipsin fokuslarını təyin edin.
Həll. Nömrəni tapın c, ellipsin fokuslarının ilk koordinatlarını təyin edir:
.
Ellipsin fokuslarını alırıq:
Misal 6. Ellipsin fokusları oxda yerləşir öküz mənşəyə görə simmetrik olaraq. Ellipsin kanonik tənliyini tərtib edin, əgər:
1) fokuslar arasındakı məsafə 30, əsas ox isə 34-dür
2) kiçik ox 24 və fokuslardan biri nöqtədədir (-5; 0)
3) ekssentriklik və fokuslardan biri (6; 0) nöqtəsindədir.
Gəlin birlikdə ellips məsələlərini həll etməyə davam edək
Əgər ellipsin ixtiyari nöqtəsidirsə (rəsmdə ellipsin yuxarı sağ hissəsində yaşıl rənglə göstərilmişdir) və bu nöqtəyə fokuslardan olan məsafədirsə, məsafələr üçün düsturlar aşağıdakı kimidir:
Ellipsə aid olan hər bir nöqtə üçün fokuslardan olan məsafələrin cəmi 2-yə bərabər sabit qiymətdir. a.
Tənliklərlə müəyyən edilmiş xətlər
adlandırılır direktorlar ellips (rəsmdə kənarlar boyunca qırmızı xətlər var).
Yuxarıdakı iki tənlikdən belə çıxır ki, ellipsin istənilən nöqtəsi üçün
,
burada və bu nöqtənin direktrikslərinə olan məsafələri və .
Misal 7. Ellips verilir. Onun direktivləri üçün tənlik yazın.
Həll. Direktrix tənliyinə baxırıq və tapırıq ki, ellipsin eksantrikliyini tapmaq lazımdır, yəni. Bunun üçün bizdə bütün məlumatlar var. Hesablayırıq:
.
Ellipsin direktivlərinin tənliyini alırıq:
Misal 8. Ellipsin ocaqları nöqtələr və direktivləri xətlərdirsə, onun kanonik tənliyini qurun.
Cəbr və həndəsə üzrə mühazirələr. Semestr 1.
Mühazirə 15. Ellips.
Fəsil 15. Ellips.
1-ci bənd. Əsas təriflər.
Tərif. Ellips bir təyyarənin GMT-dir, müstəvidə fokuslar adlanan iki sabit nöqtəyə olan məsafələrin cəmi sabit bir dəyərdir.
Tərif. Təyyarənin ixtiyari M nöqtəsindən ellipsin fokusuna qədər olan məsafə M nöqtəsinin fokus radiusu adlanır.
Təyinatlar: 
- ellipsin ocaqları, 
- M nöqtəsinin fokus radiusları.
Ellipsin tərifinə görə, M nöqtəsi yalnız və yalnız o halda ellipsin nöqtəsidir 
- sabit dəyər. Bu sabit adətən 2a kimi işarələnir:
.
(1)
qeyd et ki 
.
Ellipsin tərifinə görə onun ocaqları sabit nöqtələrdir, ona görə də aralarındakı məsafə də verilmiş ellips üçün sabit qiymətdir.
Tərif. Ellipsin fokusları arasındakı məsafə fokus uzunluğu adlanır.
Təyinat: 
.
Üçbucaqdan 
bunu izləyir 
, yəni.
.
bərabər olan ədədi b ilə işarə edək 
, yəni.
.
(2)
Tərif. Münasibət
(3)
ellipsin ekssentrikliyi adlanır.
Bu müstəvidə ellips üçün kanonik adlandıracağımız bir koordinat sistemi təqdim edək.
Tərif. Ellipsin fokuslarının yerləşdiyi oxa fokus ox deyilir.
Ellips üçün kanonik PDSC quraq, şəkil 2-ə baxın.
Fokus oxunu absis oxu kimi seçirik və ordinat oxunu seqmentin ortasından çəkirik. 
fokus oxuna perpendikulyar.
Sonra fokusların koordinatları var 
,
.
2-ci bənd. Ellipsin kanonik tənliyi.
Teorem. Ellips üçün kanonik koordinat sistemində ellipsin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:
.
(4)
Sübut. Biz sübutu iki mərhələdə həyata keçiririk. Birinci mərhələdə sübut edəcəyik ki, ellips üzərində yerləşən istənilən nöqtənin koordinatları (4) tənliyini ödəyir. İkinci mərhələdə sübut edəcəyik ki, (4) tənliyinin istənilən həlli ellips üzərində yerləşən nöqtənin koordinatlarını verir. Buradan belə çıxır ki, (4) tənliyi koordinat müstəvisinin ellips üzərində yerləşən həmin və yalnız həmin nöqtələri ilə təmin edilir. Bundan və əyri tənliyinin tərifindən belə çıxır ki, (4) tənliyi ellipsin tənliyidir.
1) M(x, y) nöqtəsi ellipsin nöqtəsi olsun, yəni. onun fokus radiuslarının cəmi 2a-dır:
.
Koordinat müstəvisində iki nöqtə arasındakı məsafənin düsturundan istifadə edək və verilmiş M nöqtəsinin fokus radiuslarını tapmaq üçün bu düsturdan istifadə edək:
,
, haradan alırıq:
Gəlin bir kökü bərabərliyin sağ tərəfinə keçirək və kvadratını tutaq:
Azaltmaqla, əldə edirik:
Bənzərləri təqdim edirik, 4 azaldın və radikalı çıxarın:
.
Kvadratlaşdırma
Mötərizələri açın və qısaldın 
:
haradan alırıq:
Bərabərlikdən (2) istifadə edərək əldə edirik:
.
Son bərabərliyin bölünməsi 
, bərabərliyi əldə edirik (4) və s.
2) İndi bir cüt ədəd (x, y) (4) tənliyini təmin etsin və M(x, y) Oxy koordinat müstəvisində müvafiq nöqtə olsun.
Sonra (4) dən belə çıxır:
.
Bu bərabərliyi M nöqtəsinin fokus radiusunun ifadəsi ilə əvəz edirik:
.
Burada (2) və (3) bərabərliyindən istifadə etdik.
Beləliklə, 
. Eynilə, 
.
İndi qeyd edin ki, bərabərlikdən (4) belə çıxır
və ya 
və s. 
, onda bərabərsizlik aşağıdakı kimidir:
.
Buradan, öz növbəsində, belə çıxır
və ya 
Və
,
.
(5)
Bərabərliklərdən (5) belə nəticə çıxır 
, yəni. M(x, y) nöqtəsi ellipsin nöqtəsidir və s.
Teorem sübut edilmişdir.
Tərif. (4) tənliyinə ellipsin kanonik tənliyi deyilir.
Tərif. Ellipsin kanonik koordinat oxlarına ellipsin baş oxları deyilir.
Tərif. Ellips üçün kanonik koordinat sisteminin mənşəyi ellipsin mərkəzi adlanır.
3-cü bənd. Ellipsin xassələri.
Teorem. (Elipsin xüsusiyyətləri.)
1. Ellips üçün kanonik koordinat sistemində hər şey
ellipsin nöqtələri düzbucaqlıdadır
,
.
2. Nöqtələr üzərində yerləşir
3. Ellips, simmetrik olan əyridir
onların əsas oxları.
4. Ellipsin mərkəzi onun simmetriya mərkəzidir.
Sübut. 1, 2) Ellipsin kanonik tənliyindən dərhal irəli gəlir.
3, 4) M(x, y) ellipsin ixtiyari nöqtəsi olsun. Onda onun koordinatları (4) tənliyini ödəyir. Lakin o zaman nöqtələrin koordinatları da (4) tənliyini ödəyir və deməli, teorem müddəalarının irəli sürdüyü ellipsin nöqtələridir.
Teorem sübut edilmişdir.
Tərif. 2a kəmiyyətinə ellipsin böyük oxu, a kəmiyyətinə ellipsin yarım böyük oxu deyilir.
Tərif. 2b kəmiyyətinə ellipsin kiçik oxu, b kəmiyyətinə ellipsin yarım kiçik oxu deyilir.
Tərif. Ellipsin əsas oxları ilə kəsişmə nöqtələrinə ellipsin təpələri deyilir.
Şərh. Ellips aşağıdakı kimi qurula bilər. Təyyarədə "odaq nöqtələrinə bir mismar vururuq" və onlara bir ip uzunluğu bağlayırıq 
. Sonra bir qələm götürürük və ipi uzatmaq üçün istifadə edirik. Sonra qələmin ucunu təyyarə boyunca hərəkət etdirərək ipin dartıldığından əmin oluruq.
Eksentrikliyin tərifindən belə çıxır
Gəlin a rəqəmini düzəldək və c rəqəmini sıfıra yönəldək. Sonra saat 
,
Və 
. Limitdə alırıq
və ya 
- dairənin tənliyi.
İndi yönləndirək 
. Sonra 
,
və görürük ki, limitdə ellips düz xətt seqmentinə çevrilir 
Şəkil 3-ün qeydində.
4-cü bənd. Ellipsin parametrik tənlikləri.
Teorem. Qoy 
- ixtiyari real ədədlər. Sonra tənliklər sistemi
,
(6)
ellips üçün kanonik koordinat sistemində ellipsin parametrik tənlikləridir.
Sübut. (6) tənliklər sisteminin (4) tənliyinə ekvivalent olduğunu sübut etmək kifayətdir, yəni. eyni həllər toplusuna malikdirlər.
1) (x, y) (6) sisteminin ixtiyari həlli olsun. Birinci tənliyi a, ikincini b-yə bölün, hər iki tənliyin kvadratını düzəldin və əlavə edin:
.
Bunlar. (6) sisteminin istənilən həlli (x, y) (4) tənliyini ödəyir.
2) Əksinə, (x, y) cütü (4) tənliyinin həlli olsun, yəni.
.
Bu bərabərlikdən belə çıxır ki, koordinatları olan nöqtə 
mərkəzi başlanğıcda olan vahid radiuslu dairə üzərində yerləşir, yəni. triqonometrik dairədə müəyyən bucağın uyğun gəldiyi nöqtədir 
:
Sinus və kosinusun tərifindən dərhal belə nəticə çıxır
,
, Harada 
, buradan belə çıxır ki, (x, y) cütü (6) sisteminin həlli və s.
Teorem sübut edilmişdir.
Şərh. Ellips a radiuslu dairənin absis oxuna doğru vahid “sıxılması” nəticəsində əldə edilə bilər.
Qoy 
– başlanğıcında mərkəzi olan dairənin tənliyi. Bir dairənin absis oxuna "sıxılması" aşağıdakı qaydaya uyğun olaraq həyata keçirilən koordinat müstəvisinin çevrilməsindən başqa bir şey deyil. Hər bir M(x, y) nöqtəsi üçün eyni müstəvidə bir nöqtəni əlaqələndiririk 
, Harada 
,
- sıxılma nisbəti.
Bu çevrilmə ilə dairənin hər bir nöqtəsi müstəvidə eyni absis, lakin daha kiçik ordinata malik başqa bir nöqtəyə "keçir". Nöqtənin köhnə ordinatını yenisi ilə ifadə edək:
və dairələri tənliyə əvəz edin:
.
Buradan əldə edirik:
.
(7)
Buradan belə nəticə çıxır ki, əgər “sıxılma” çevrilməsindən əvvəl M(x, y) nöqtəsi dairənin üzərində yerləşirdisə, yəni. onun koordinatları dairənin tənliyini təmin etdi, sonra "sıxılma" çevrilməsindən sonra bu nöqtə nöqtəyə "çevrildi" 
, koordinatları ellips tənliyini (7) ödəyir. Əgər yarım kiçik oxlu ellipsin tənliyini əldə etmək istəyiriksə, onda sıxılma əmsalını götürməliyik.
.
bənd 5. Ellipsə toxunan.
Teorem. Qoy 
– ellipsin ixtiyari nöqtəsi
.
Sonra nöqtədə bu ellipsə toxunan tənliyi 
formaya malikdir:
.
(8)
Sübut. Toxunma nöqtəsinin koordinat müstəvisinin birinci və ya ikinci rübündə olması halını nəzərdən keçirmək kifayətdir: 
. Yuxarı yarımmüstəvidə ellipsin tənliyi belədir:
.
(9)
Funksiyanın qrafikinə toxunan tənlikdən istifadə edək 
nöqtədə 
:
Harada 
– bir nöqtədə verilmiş funksiyanın törəməsinin qiyməti 
. Birinci rübdəki ellipsi (8) funksiyasının qrafiki hesab etmək olar. Gəlin onun törəməsini və toxunma nöqtəsindəki qiymətini tapaq:
,
. Burada toxunan nöqtənin olmasından faydalandıq 
ellipsin nöqtəsidir və buna görə də onun koordinatları ellips tənliyini (9) ödəyir, yəni.
.
Törəmənin tapılmış qiymətini tangens tənliyində (10) əvəz edirik:
,
haradan alırıq:
Bu nəzərdə tutur:
Gəlin bu bərabərliyi bölək 
:
.
Bunu qeyd etmək qalır 
, çünki nöqtə 
ellipsə aiddir və koordinatları onun tənliyini ödəyir.
Tangens tənliyi (8) koordinat müstəvisinin üçüncü və ya dördüncü rübündə yerləşən toxunma nöqtəsində də oxşar şəkildə sübut edilir.
Və nəhayət, (8) tənliyinin nöqtələrdə toxunan tənliyi verdiyini asanlıqla yoxlaya bilərik 
,
:
və ya 
, Və 
və ya 
.
Teorem sübut edilmişdir.
6-cı bənd. Ellipsin güzgü xüsusiyyəti.
Teorem. Ellipsə toxunan toxunma nöqtəsinin fokus radiusları ilə bərabər bucaqlara malikdir.
Qoy 
- əlaqə nöqtəsi, 
,
– toxunan nöqtənin fokus radiusları, P və Q – nöqtədə ellipsə çəkilmiş tangens üzərində fokusların proyeksiyaları 
.
Teorem bunu bildirir
.
(11)
Bu bərabərliyi fokusundan ayrılan ellipsdən gələn işıq şüasının düşmə və əks olunması bucaqlarının bərabərliyi kimi şərh etmək olar. Bu xassə ellipsin güzgü xassəsi adlanır:
Ellipsin fokusundan ayrılan işıq şüası, ellipsin güzgüsündən əks olunduqdan sonra ellipsin başqa bir fokusundan keçir.
Teoremin sübutu. Bucaqların bərabərliyini (11) sübut etmək üçün üçbucaqların oxşarlığını sübut edirik 
Və 
, hansı tərəflər 
Və 
oxşar olacaq. Üçbucaqlar düzbucaqlı olduğundan bərabərliyi sübut etmək kifayətdir
Ellips müstəvidəki nöqtələrin həndəsi yeridir, onların hər birindən verilmiş iki F_1 nöqtəsinə qədər olan məsafələrin cəmidir və F_2 bunlar arasındakı məsafədən (2c) böyük (2a) sabit qiymətdir. xallar verilir(Şəkil 3.36, a). Bu həndəsi tərif ifadə edir ellipsin fokus xüsusiyyəti.
Ellipsin fokus xüsusiyyəti
F_1 və F_2 nöqtələri ellipsin fokusları adlanır, aralarındakı məsafə 2c=F_1F_2 fokus uzunluğu, F_1F_2 seqmentinin orta O hissəsi ellipsin mərkəzi, 2a rəqəmi ellipsin əsas oxunun uzunluğudur. ellips (müvafiq olaraq, a sayı ellipsin yarım əsas oxudur). Ellipsin ixtiyari M nöqtəsini onun fokusları ilə birləşdirən F_1M və F_2M seqmentləri M nöqtəsinin fokus radiusları adlanır. Ellipsin iki nöqtəsini birləşdirən seqmentə ellipsin akkordu deyilir.
e=\frac(c)(a) nisbətinə ellipsin ekssentrikliyi deyilir. Tərifdən (2a>2c) belə çıxır ki, 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Ellipsin həndəsi tərifi, onun fokus xüsusiyyətini ifadə edərək, onun analitik tərifinə - ellipsin kanonik tənliyi ilə verilən xəttə bərabərdir:
Doğrudan da, düzbucaqlı koordinat sistemini təqdim edək (şək. 3.36c). Koordinat sisteminin başlanğıcı kimi ellipsin O mərkəzini götürürük; fokuslardan (fokus oxu və ya ellipsin birinci oxundan) keçən düz xətti absis oxu kimi qəbul edirik (ondakı müsbət istiqamət F_1 nöqtəsindən F_2 nöqtəsinə qədərdir); fokus oxuna perpendikulyar olan və ellipsin mərkəzindən (ellipsin ikinci oxundan) ordinat oxu kimi keçən düz xətt götürək (ordinat oxundakı istiqamət elə seçilir ki, düzbucaqlı koordinat sistemi Oxy düzgün olsun) .
Ellips üçün onun fokus xassəsini ifadə edən həndəsi tərifindən istifadə edərək tənlik yaradaq. Seçilmiş koordinat sistemində fokusların koordinatlarını təyin edirik F_1(-c,0),~F_2(c,0). Ellipsə aid olan ixtiyari M(x,y) nöqtəsi üçün bizdə:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Bu bərabərliyi koordinat şəklində yazsaq, əldə edirik:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
İkinci radikalı sağ tərəfə aparırıq, tənliyin hər iki tərəfini kvadrat edirik və oxşar şərtləri gətiririk:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Sol sağarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4-ə bölmək, tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırırıq:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Sol sağarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
təyin edərək b=\sqrt(a^2-c^2)>0, alırıq b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Hər iki tərəfi a^2b^2\ne0-a bölərək, bu nöqtəyə çatırıq kanonik tənlik ellips:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Buna görə də seçilmiş koordinat sistemi kanonikdir.
Əgər ellipsin fokusları üst-üstə düşürsə, o zaman ellips çevrədir (şək. 3.36,6), çünki a=b. Bu halda, mənşəyi nöqtədə olan istənilən düzbucaqlı koordinat sistemi kanonik olacaqdır O\ekviv F_1\ekviv F_2, və x^2+y^2=a^2 tənliyi mərkəzi O nöqtəsində və radiusu a-ya bərabər olan dairənin tənliyidir.
Məntiqlə tərs qaydada, göstərmək olar ki, koordinatları (3.49) tənliyini təmin edən bütün nöqtələr və yalnız onlar ellips adlanan nöqtələrin həndəsi lokusuna aiddir. Başqa sözlə desək, ellipsin analitik tərifi onun həndəsi tərifinə bərabərdir ki, bu da ellipsin fokus xassəsini ifadə edir.
Ellipsin rejissorluq xüsusiyyəti
Ellipsin direktriksləri kanonik koordinat sisteminin ordinat oxuna paralel, ondan eyni \frac(a^2)(c) məsafədə yerləşən iki düz xəttdir. c=0-da ellips çevrə olduqda, heç bir direktrix yoxdur (biz direktrixlərin sonsuzluqda olduğunu güman edə bilərik).
Eksentrikliyi 0 olan ellips
Əslində, məsələn, F_2 fokus və d_2 directrix (Şəkil 3.37,6) üçün şərt \frac(r_2)(\rho_2)=e koordinat şəklində yazıla bilər:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\sağ)
Məntiqsizlikdən qurtulmaq və əvəz etmək e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kanonik ellips tənliyinə (3.49) çatırıq. Oxşar mülahizə F_1 və direktor üçün də aparıla bilər d_1\kolon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Qütb koordinat sistemində ellipsin tənliyi
F_1r\varphi qütb koordinat sistemində ellipsin tənliyi (şək. 3.37, c və 3.37 (2)) formasına malikdir.
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
burada p=\frac(b^2)(a) ellipsin fokus parametridir.
Əslində, qütb koordinat sisteminin qütbü kimi ellipsin sol fokusunu F_1, qütb oxu kimi isə F_1F_2 şüasını seçək (şək. 3.37, c). Onda ixtiyari M(r,\varphi) nöqtəsi üçün ellipsin həndəsi tərifinə (fokus xassəsinə) görə r+MF_2=2a olur. M(r,\varphi) və F_2(2c,0) nöqtələri arasındakı məsafəni ifadə edirik (bax):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(düzləşdirilmiş)
Buna görə də koordinat şəklində F_1M+F_2M=2a ellipsinin tənliyi formaya malikdir.
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Radikalı təcrid edirik, tənliyin hər iki tərəfini kvadrat edirik, 4-ə bölürük və oxşar şərtləri təqdim edirik:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Qütb radiusunu r ifadə edin və əvəz edin e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \dörd \Sol sağarrow \dörd r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Sol sağarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Ellips tənliyində əmsalların həndəsi mənası
Koordinat oxları (ellipsin təpələri) ilə ellipsin kəsişmə nöqtələrini (bax şək. 3.37a) tapaq. Tənlikdə y=0 əvəz edərək, ellipsin absis oxu ilə (fokus oxu ilə) kəsişmə nöqtələrini tapırıq: x=\pm a. Beləliklə, ellipsin içərisində olan fokus oxun seqmentinin uzunluğu 2a-ya bərabərdir. Bu seqment, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, ellipsin böyük oxu adlanır və a rəqəmi ellipsin yarım böyük oxudur. x=0-ı əvəz etməklə y=\pm b alırıq. Beləliklə, ellipsin içərisində olan ikinci oxunun seqmentinin uzunluğu 2b-ə bərabərdir. Bu seqment ellipsin kiçik oxu adlanır və b rəqəmi ellipsin yarım kiçik oxudur.
Həqiqətən, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, və b=a bərabərliyi yalnız c=0 halda, ellips dairə olduqda alınır. Münasibət k=\frac(b)(a)\leqslant1 ellipsin sıxılma nisbəti adlanır.
Qeydlər 3.9
1. x=\pm a,~y=\pm b düz xətləri içərisində ellips olan əsas düzbucaqlı koordinat müstəvisində məhdudlaşdırır (bax. Şəkil 3.37, a).
2. Ellips kimi müəyyən edilə bilər dairəni diametrinə sıxmaqla əldə edilən nöqtələrin yeri.
Doğrudan da Oxy düzbucaqlı koordinat sistemində çevrənin tənliyi x^2+y^2=a^2 olsun. 0 əmsalı ilə x oxuna sıxıldıqda \begin(hallar)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(hallar) Tənlikdə x=x" və y=\frac(1)(k)y" dairələrini əvəz edərək M(x,y" nöqtəsinin M"(x",y") şəklinin koordinatları üçün tənliyi alırıq. ): (x")^2+(\sol(\frac(1)(k)\cdot y"\sağ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} çünki b=k\cdot a . Bu, ellipsin kanonik tənliyidir. 3. Koordinat oxları (kanonik koordinat sisteminin) ellipsin simmetriya oxlarıdır (ellipsin əsas oxları adlanır), mərkəzi isə simmetriya mərkəzidir. Həqiqətən, əgər M(x,y) nöqtəsi ellipsə aiddirsə. onda koordinat oxlarına nisbətən M nöqtəsinə simmetrik olan M"(x,-y) və M""(-x,y) nöqtələri də eyni ellipsə aiddir. 4. Qütb koordinat sistemində ellipsin tənliyindən r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(bax. Şəkil 3.37, c), fokus parametrinin həndəsi mənası aydınlaşdırılır - bu, fokus oxuna perpendikulyar olan fokusundan keçən ellipsin akkordunun yarısıdır (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Eksentriklik e ellipsin formasını, yəni ellips və dairə arasındakı fərqi xarakterizə edir. e nə qədər böyükdürsə, ellips bir o qədər uzundur və e sıfıra nə qədər yaxındırsa, ellips dairəyə bir o qədər yaxındır (şək. 3.38a). Həqiqətən, e=\frac(c)(a) və c^2=a^2-b^2 olduğunu nəzərə alsaq, alırıq. e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\sol(\frac(a)(b)\sağ )\^2=1-k^2,
!} burada k ellipsin sıxılma nisbətidir, 0 6. Tənlik \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a 7. Tənlik \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b oxları koordinat oxlarına paralel olan mərkəzi O"(x_0,y_0) nöqtəsində olan ellipsi təyin edir (şək. 3.38, c). Bu tənlik paralel tərcümədən (3.36) istifadə edərək kanonik birinə endirilir. a=b=R olduqda tənlik (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 mərkəzi O nöqtəsində olan R radiuslu dairəni təsvir edir"(x_0,y_0) . Ellipsin parametrik tənliyi kanonik koordinat sistemində formaya malikdir \begin(hallar)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(hallar)0\leqslant t<2\pi.
Həqiqətən, bu ifadələri (3.49) tənliyində əvəz edərək, əsas triqonometrik eyniliyə gəlirik. \cos^2t+\sin^2t=1. Misal 3.20. Bir ellips çəkin \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanonik koordinat sistemində Oxy. Yarımoxları, fokus məsafəsini, ekssentrikliyi, sıxılma nisbətini, fokus parametrini, direktris tənliklərini tapın. Həll. Verilmiş tənliyi kanoniklə müqayisə edərək yarımoxları təyin edirik: a=2 - yarım böyük ox, b=1 - ellipsin yarım kiçik oxu. Tərəfləri 2a=4,~2b=2 olan əsas düzbucaqlını mərkəzi başlanğıcda düzəldirik (şək. 3.39). Ellipsin simmetriyasını nəzərə alaraq, onu əsas düzbucaqlıya yerləşdiririk. Lazım gələrsə, ellipsin bəzi nöqtələrinin koordinatlarını təyin edin. Məsələn, x=1-i ellipsin tənliyində əvəz etməklə, əldə edirik \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \dörd \Sol sağ ox \dörd y^2=\frac(3)(4) \dörd \Sol sağ ox \ dördlük y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Buna görə də koordinatları olan nöqtələr \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\sağ)- ellipsə aiddir. Sıxılma nisbətinin hesablanması k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); fokus uzunluğu 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekssentriklik e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokus parametri p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Direktrix tənliklərini tərtib edirik: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Sol sağarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Ellipsin parametrik tənliyi
