Bu bölmədə əlaqəli vəzifələri nəzərdən keçirəcəyik müxtəlif sistemlər seqmenti verilmiş nisbətdə bölməklə koordinatlar.
Nöqtələrin koordinatları verilmişdir: A(4; 3), IN(7; 6), İLƏ(2; 11). Üçbucağın olduğunu sübut edək ABC düzbucaqlı.
Üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını tapın ABC. Bu məqsədlə müstəvidə iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmağa imkan verən düsturdan istifadə edirik:
Tərəflərin uzunluqları bərabər olacaq:
Pifaqor teoreminin bu üçbucağın tərəfləri üçün keçdiyini nəzərə alsaq
sonra üçbucaq ABC- düzbucaqlı.
Xallar verilir A(2; 1) və IN(8; 4). Nöqtənin koordinatlarını tapın M(X; saat), seqmenti 2:1 nisbətində bölən.
Məktubunu xatırlayın M(X; saat) seqmenti bölür AB, Harada A(x A , y A), B(x B , y B), λ: μ-ə münasibətdə, əgər onun koordinatları şərtləri ödəyirsə:
,
.
Gəlin bir məqam tapaq M müəyyən bir seqment üçün
,
.
Beləliklə, nöqtə M(6; 3) seqmenti bölür AB 2:1 nisbətində.
Nöqtənin düzbucaqlı koordinatlarını tapın A(
3π/4), qütb koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşürsə və qütb oxu absis oxu boyunca yönəldilmişdir.
Qütbdən düzbucaqlı koordinat sistemlərinə keçid üçün düsturları nəzərə alaraq
x = r cosφ, y = r sinφ,
alırıq
,
.
Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində nöqtənin koordinatları belədir A(–2; 2).
Aşağıdakı düzbucaqlı koordinatları olan nöqtələrin qütb koordinatlarını tapaq:
A(
;
2),IN(–4;
4), İLƏ(–7;
0).
Düzbucaqlı koordinatlardan qütb koordinatlarına keçid üçün düsturlardan istifadə edirik:
,
.
Nöqtə üçün koordinatları alaq A:
,
.
Beləliklə A(4; π/6) – qütb koordinatları (şək. 15).
Bir nöqtə üçün IN(Şəkil 16) bizdə var
,
.
Buna görə də nöqtənin qütb koordinatları IN(
, 3π/4).
Nöqtəni nəzərdən keçirin İLƏ(–7; 0) (şək. 17). Bu halda
,
,
.
Bir nöqtənin qütb koordinatlarını yaza bilərsiniz İLƏ(7; π).
vektorun uzunluğunu tapaq a = 20i + 30j – 60k və onun istiqamət kosinusları.
Xatırladaq ki, istiqamət kosinusları vektor olan bucaqların kosinuslarıdır a (a 1 , a 2 , a 3) koordinat oxları olan formalar:
,
,
,
Harada 
.
Bu düsturları bu vektora tətbiq edərək, əldə edirik
,
.
Vektoru normallaşdırırıq a = 3i + 4j – 12k .
Vektoru normallaşdırmaq vahid uzunluqlu vektoru tapmaqdır A
0, bu vektorla eyni şəkildə yönəldilir. İxtiyari vektor üçün a
(a 1 ,
a 2 ,
a 3) vahid uzunluğun müvafiq vektorunu vurmaqla tapmaq olar a
bir hissəyə 
.
.
Bizim vəziyyətimizdə vahid uzunluq vektoru:
.
Vektorların skalyar hasilini tapaq
a = 4i + 5j + 6k Və b = 3i – 4j + k .
Vektorların skalyar hasilini tapmaq üçün müvafiq koordinatları vurmaq və alınan hasilləri əlavə etmək lazımdır. Beləliklə, vektorlar üçün a = a 1 i + a 2 j + a 3 k Və b = b 1 i + b 2 j + b 3 k skalyar məhsulun forması var:
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .
Bu vektorlar üçün alırıq
(a , b ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
vektorları göstərək a = 2i – 3j + 5k Və b = i + 4j + 2k perpendikulyar.
Əgər nöqtə hasilatı sıfırdırsa, iki vektor perpendikulyardır.
Skayar hasilini tapaq:
(a , b ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Beləliklə, vektorlar A Və b perpendikulyar.
Parametrin hansı qiymətində olduğunu öyrənək m vektorlar a = 2i + 3j + mk Və b = 3i + mj – 2k perpendikulyar.
Vektorların skalyar hasilini tapaq A Və b :
(a , b ) = 2∙3 + 3∙m – 2∙m = 6 + m.
Skalar hasil sıfır olduqda vektorlar perpendikulyardır. Məhsulu sıfıra bərabərləşdiririk ( A , b ):
6 + m = 0.
At m= – 6 vektor A Və b perpendikulyar.
Misal 10.
Skayar hasilini tapaq (3 A + 4b , 2A – 3b ), əgər | a | = 2, |b | = 1 və bucaq φ arasındadır A Və b π/3-ə bərabərdir.
Skayar məhsulun xassələrindən istifadə edək:
(α a , β b ) = αβ( a , b ),
(a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ),
(a , b ) = (b , a )
(a , a ) = |a | 2 ,
həmçinin skalyar məhsulun tərifi ( a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ. Skayar hasilini formada yenidən yazaq
(3a + 4b , 2a – 3b ) = 6(a , a ) – 9(a , b ) + 8(b , a ) – 12(b , b ) =
6|a | 2 – (a , b ) – 12|b | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Misal 11.
Vektorlar arasındakı bucağı təyin edək
a = i + 2j + 3k Və b = 6i + 4j – 2k .
Bucağı tapmaq üçün iki vektorun skalyar hasilinin tərifindən istifadə edirik
(a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ,
burada φ vektorlar arasındakı bucaqdır A Və b . Bu düsturdan cosφ ifadə edək
.
Nəzərə alsaq ki ( A
,
b
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, alırıq:
.
Beləliklə, 
.
Misal 12.
a = 5i – 2j + 3k Və b = i + 2j – 4k .
Məlumdur ki, vektorların vektor məhsulu a = a 1 i + a 2 j + a 3 k Və b = b 1 i + b 2 j + b 3 k düsturla tapılır
.
Buna görə də bu vektorlar üçün
2i + 23j + 12k .
Bir vektor məhsulunun modulunu tapmaq üçün bir vektor məhsulunun tərifindən istifadə ediləcəyi və əvvəlki nümunədə olduğu kimi amillərin koordinatları ilə ifadə edilmədiyi bir nümunəyə baxaq.
Misal 13.
Vektorların vektor hasilinin modulunu tapaq A + 2b və 2 A – 3b , əgər | a | = 1, |b | = 2 və vektorlar arasındakı bucaq A Və b 30°-yə bərabərdir.
Vektor məhsulunun tərifindən aydın olur ki, ixtiyari vektorlar üçün A Və b onun modulu
|[a , b ] | = |a | ∙ |b | ∙ sin φ.
Vektor məhsulunun xassələrini nəzərə alaraq
[a , b ] = – [b , a ],
[a , a ] = 0,
[α a + β b , c ] = α[ a , c ] + β[ b , c ],
alırıq
[a + 2b , 2a – 3b ] = 2[a , a ] – 3[a , b ] + 4[b , a ] – 6[b , b ] = –7[a , b ].
Bu o deməkdir ki, vektor məhsulunun modulu bərabərdir
|[a + 2b , 2a – 3b ]| = |–7[a , b ]| = 7 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sin 30° = 7∙1∙2∙0,5 = 7.
Misal 14.
Vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsini hesablayaq
a = 6i + 3j – 2k Və b = 3i – 2j + 6k .
Məlumdur ki, iki vektorun vektor hasilinin modulu sahəsinə bərabərdir bu vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqram. Düsturdan istifadə edərək vektor məhsulunu tapaq:
,
Harada a = a 1 i + a 2 j + a 3 k Və b = b 1 i + b 2 j + b 3 k . Sonra onun modulunu hesablayırıq.
Bu vektorlar üçün alırıq
14i – 42j – 21k .
Beləliklə, paraleloqramın sahəsi
S = |[a , b ]| = (kv. vahidlər).
Misal 15.
Təpələri olan üçbucağın sahəsini hesablayın A(1;2;1), IN(3;3;4), İLƏ(2;1;3).
Aydındır ki, üçbucağın sahəsi ABC vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinin yarısına bərabərdir 
Və 
.
Öz növbəsində, vektorlar üzərində qurulmuş bir paraleloqramın sahəsi 
Və 
, vektor məhsulunun moduluna bərabərdir [ 
]. Beləliklə
|[
]|.
Vektorların koordinatlarını tapaq 
Və 
, vektorun sonunun koordinatlarından başlanğıcın müvafiq koordinatlarını çıxararaq, əldə edirik
= (3 –
1)i
+ (3 – 2)j
+ (4 – 1)k
= 2i
+ j
+ 3k
,
= (2 –
1)i
+ (1 – 2)j
+ (3 – 1)k
= i
– j
+ 2k
.
vektor məhsulunu tapaq:
[
,
]
=
5i
– j
– 3k
.
Vektor məhsulunun modulunu tapaq:
|[
]|
=
.
Beləliklə, üçbucağın sahəsini əldə edə bilərik:
(kv. vahid).
Misal 16.
Vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsini hesablayaq a + 3b və 3 a – b , əgər | a | = 2, |b | = 1 və arasındakı bucaq A Və b 30°-yə bərabərdir.
13-cü misalda göstərilən tərifindən və xassələrindən istifadə edərək vektor məhsulunun modulunu tapaq, alırıq
[a + 3b , 3a – b ] = 3[a , a ] – [a , b ] + 9[b , a ] – 3[b , b ] = –10[a , b ].
Bu o deməkdir ki, tələb olunan sahə bərabərdir
S = |[a + 3b , 3a – b ]| = |–10[a , b ]| = 10 ∙ |a | ∙ |b | ∙ günah 30° =
10∙2∙1∙0,5 = 10 (kv. vahid).
Aşağıdakı nümunələr vektorların qarışıq məhsulunun istifadəsini əhatə edəcəkdir.
Misal 17.
Həmin vektorları göstərin a = i + 2j – k , b = 3i + k Və ilə = 5i + 4j – k düzbucaqlı.
Qarışıq məhsulu sıfır olduqda vektorlar müştərəkdir. İxtiyari vektorlar üçün
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , c = c 1 i + c 2 j + c 3 k
düsturdan istifadə edərək qarışıq məhsulu tapırıq:
.
Bu vektorlar üçün alırıq
.
Beləliklə, bu vektorlar koplanardır.
Təpələri olan üçbucaqlı piramidanın həcmini tapın A(1;1;1), IN(3;2;1), İLƏ(2;4;3), D(5;2;4).
Vektorların koordinatlarını tapaq 
,
Və 
, piramidanın kənarları ilə üst-üstə düşür. Vektorun sonunun koordinatlarından başlanğıcın müvafiq koordinatlarını çıxararaq, əldə edirik
= 2i
+ 3j
,
= i
+ 3j
+ 2k
,
= 4i
+ j
+ 3k
.
Məlumdur ki, piramidanın həcmi vektorlar üzərində qurulmuş paralelepipedin həcminin 1/6 hissəsinə bərabərdir. 
,
Və 
. Beləliklə,
.
Öz növbəsində, paralelepipedin həcmi qarışıq məhsulun moduluna bərabərdir
V paral
= |(
,
,
)|.
Qarışıq məhsul tapaq
(
,
,
)
=
.
Beləliklə, piramidanın həcmi
(kub vahidləri).
Aşağıdakı nümunələrdə vektor cəbrinin mümkün tətbiqlərini göstərəcəyik.
Misal 19.
2-ci vektorun kollinear olub olmadığını yoxlayaq A + b Və A – 3b , Harada a = 2i + j – 3k Və b = i + 2j + 4k .
Vektorların koordinatlarını tapın 2 A + b Və A – 3b :
2A + b = 2(2i + j – 3k ) + i + 2j + 4k = 5i + 4j – 2k ,
A – 3b = 2i + j – 3k – 3(i + 2j + 4k ) = –i – 5j – 15k .
Məlumdur ki, kollinear vektorların mütənasib koordinatları var. Bunu nəzərə alaraq
,
2 vektorun olduğunu görürük A + b Və A – 3b qeyri-kollinear.
Bu problem başqa cür də həll oluna bilərdi. Vektorların kollinearlığının meyarı vektor məhsulunun sıfıra bərabərliyidir:
2[a , a ] – 6[a , b ] + [b , a ] – 3[b , b ] = –7[a , b ].
Vektorların vektor hasilini tapaq A Və b :
10i – 11j + 3k ≠ 0.
Beləliklə,
= –7[a , b ] ≠ 0
və vektorlar 2 A + b Və A – 3b qeyri-kollinear.
Misal 20.
Gəlin gücün işini tapaq F (3; 2; 1), onun tətbiqi nöqtəsi olduqda A(2; 4;–6), düzxətli hərəkət edərək nöqtəyə doğru hərəkət edir IN(5; 2; 3).
Məlumdur ki, qüvvənin işi gücün skalyar məhsuludur F
yerdəyişmə vektoruna 
.
vektorun koordinatlarını tapaq 
:
= 3i
– 2j
+ 9k
.
Buna görə də güc işi F bir nöqtəni hərəkət etdirərək A tam olaraq IN skalyar hasilinə bərabər olacaqdır
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Misal 21.
Gücü olsun F (2;3;–1) nöqtəsinə tətbiq edilir A(4;2;3). Güc altında F nöqtə A bir nöqtəyə keçir IN(3;1;2). Qüvvə momentinin modulunu tapaq F nöqtəyə nisbətən IN.
Məlumdur ki, qüvvənin momenti qüvvə və yerdəyişmənin vektor məhsuluna bərabərdir. Yer dəyişdirmə vektorunu tapaq 
:
= (3 –
4)i
+
(1 – 2)j
+ (2 – 3)k
= – i
–
j
– k
.
Qüvvə momentini vektor məhsulu kimi tapaq:
= – 4i + 3j + k .
Buna görə də, qüvvə momentinin modulu vektor məhsulunun moduluna bərabərdir:
|[F
,
]|
=
.
60) Vektorlar sistemi verilmişdir a =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). Onu araşdırın xətti asılılıq.
a) Vektorlar sistemi xətti asılıdır;
b) Vektorlar sistemi xətti müstəqildir;
c) düzgün cavab yoxdur.
61) Vektor sistemini araşdırın
a =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) xətti əlaqəyə.
a) vektorlar sistemi xətti müstəqildir;
b) vektorlar sistemi xətti asılıdır;
c) düzgün cavab yoxdur.
62) Vektorlar sistemidir a =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =( , 1) xətti asılı?
a) yox, yox;
b) bəli, elədir.
63) İfadə olunmuş vektordur b =(2, -1, 3) vektor sistemi vasitəsilə = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) yox, ifadə olunmur;
b) bəli, ifadə olunur.
64) Xətti asılılıq üçün vektorlar sistemini tədqiq edin
a = , b = , c = .
a) xətti müstəqil;
b) xətti asılı;
c) düzgün cavab yoxdur.
65) Xətti asılılıq üçün vektorlar sistemini tədqiq edin
a = , b = , c =
a) xətti müstəqil;
b) xətti asılı;
c) düzgün cavab yoxdur.
66) Vektorlar sistemi xətti asılıdır?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) xətti asılı;
b) xətti müstəqil;
c) düzgün cavab yoxdur.
67) Xətti müstəqil matrisin sıralarının sayı m-ə, xətti müstəqil matrisin sütunlarının sayı isə n-ə bərabər olsun. Düzgün ifadəni seçin.
d) cavab matrisdən asılıdır.
68) Xətti fəzanın bazis vektorları bunlardır
a) xətti asılı;
b) xətti müstəqil;
c) cavab konkret əsasdan asılıdır.
69) vektor nədir?
a) bu, hərəkət istiqamətini göstərən şüadır
b) bu, başlanğıcı A nöqtəsində və sonu B nöqtəsində olan, özünə paralel hərəkət edə bilən istiqamətlənmiş seqmentdir.
c) bu, bir-birindən bərabər məsafədə olan çoxlu nöqtələrdən ibarət fiqurdur.
d) bu, başlanğıcı A nöqtəsində və sonu B nöqtəsində olan, özünə paralel hərəkət edə bilməyən bir seqmentdir
70) Xətti birləşmə olarsa 1 + 2 +….+ƛ rədədlər arasında olduqda sıfır vektorunu təmsil edə bilər ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ rən azı bir qeyri-sıfır var, onda vektorlar sistemi a 1, a 2,…., a sçağırdı:
a) xətti müstəqil;
b) xətti asılı;
c) əhəmiyyətsiz;
d) qeyri-trivial.
71) Xətti birləşmə olarsa 1 + 2 +….+ƛ r yalnız bütün ədədlər olduqda sıfır vektorunu təmsil edir ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r sıfıra bərabərdir, onda vektorlar sistemi a 1, a 2,…., a sçağırdı:
a) xətti müstəqil;
b) xətti asılı;
c) əhəmiyyətsiz;
d) qeyri-trivial.
72) Vektor fəzasının əsasını müəyyən ardıcıllıqla təyin olunan və şərtləri ödəyən vektorlar sistemi təşkil edir:
a) Sistem xətti müstəqildir;
b) Fəzanın istənilən vektoru verilmiş sistemin xətti kombinasiyasıdır;
c) Hər ikisi düzgündür;
d) Hər ikisi yanlışdır.
73) R n fəzasının ədədlərə toplama və vurma əməllərinə görə qapalılıq xüsusiyyətinə malik olan alt çoxluğu adlanır:
a) Rn fəzasının xətti ön fəzası;
b) R n fəzasının proyeksiyası;
c) Rn fəzasının xətti alt fəzası;
d) düzgün cavab yoxdur.
74) Sonlu vektorlar sistemi xətti asılı altsistemdən ibarətdirsə, o zaman:
a) Xətti asılı;
b) Xətti müstəqil;
75) Əgər sistem xətti olarsa asılı vektor bir və ya daha çox vektor əlavə edin, nəticədə sistem belə olacaq:
a) Xətti asılı;
b) Xətti müstəqil;
c) Nə xətti asılı, nə də xətti müstəqil.
76) Üç vektor koplanar adlanır, əgər onlar:
a) Paralel xətlər üzərində uzanırlar;
b) Eyni düz xətt üzərində uzanırlar;
c) Xətti müstəqil;
d) Paralel müstəvilərdə uzanırlar;
77) İki vektor kollinear adlanır, əgər onlar:
a) Eyni müstəvidə uzanırlar;
b) Paralel müstəvilərdə uzanırlar;
c) Xətti müstəqil;
d) Paralel xətlər üzərində uzanırlar;
78) İki vektorun xətti asılı olması üçün onların olması lazımdır:
a) Girov;
b) Planar;
c) Xətti müstəqil;
d) Düzgün variant yoxdur.
79) vektorun məhsulu a=(a 1 ,a 2 ,a 3) ədəd vektor adlanır b, bərabərdir
A) ( a 1 , a 2 , a 3)
b) (+ a 1 , +a 2 , +a 3)
V) ( /a 1 , /a 2 , /a 3)
80) iki vektor eyni xətt üzərində yerləşirsə, belə vektorlar olur
a) bərabərdir
b) birgə rəhbərlik edir
c) kollinear
d) əks istiqamətli
81) vektorların skalyar hasilinə bərabərdir
a) onların uzunluqlarının hasili;
b) onların uzunluqlarının aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinə;
c) onların uzunluqlarının aralarındakı bucağın sinusuna hasilinə;
d) onların uzunluqlarının aralarındakı bucağın tangensi ilə hasilinə;
82) vektorun məhsulu Aözünü çağırdı
a) vektor uzunluğu A
b) vektorun skalyar kvadratı A
c) vektor istiqaməti A
d) düzgün cavab yoxdur
83) vektorların hasili 0-a bərabərdirsə, belə vektorlar deyilir
a) kollinear
b) birgə rəhbərlik edir
c) ortoqonal
d) paralel
84) vektorun uzunluğu
a) onun skalyar kvadratı
b) onun skalyar kvadratının kökü
c) onun koordinatlarının cəmi
d) vektorun sonu və başlanğıcının koordinatları arasındakı fərq
85) vektorların cəmini tapmaq qaydaları hansılardır (birdən çox cavab)
a) üçbucaq qaydası
b) dairənin qaydası
c) paraleloqram qaydası
d) Qauss qaydası
e) çoxbucaqlı qaydası
f) düzbucaqlı qaydası
86) əgər nöqtə A məqamı ilə üst-üstə düşür IN, onda vektor çağırılır
a) vahid vektor
c) sıfır vektor
d) trivial vektor
87) iki vektorun kollinear olması üçün bu lazımdır
a) onların koordinatları eyni idi
b) onların koordinatları mütənasib idi
c) onların koordinatları əks idi
d) onların koordinatları 0-a bərabər idi
88) a=2m+4n və b=m-n iki vektoru verilmişdir, burada m və n 120 0 bucaq əmələ gətirən vahid vektorlardır. a və b vektorları arasındakı bucağı tapın.
89) Müstəvidə iki vahid vektor m və n verilmişdir. Məlumdur ki, onların arasındakı bucaq 60 dərəcədir. a=m+2n vektorunun uzunluğunu tapın (cavabı 0,1-ə yuvarlaqlaşdırın)
90) a=-4k və b=2i+j vektorları üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalları arasındakı bucağı tapın.
91) |a|=2, |b|=3, |a-b|=1 vektorlarının uzunluqları verilmişdir. |a+b| təyin edin
92) Üç vektor verilmişdir: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). p=2a-b+c vektorunun koordinatlarını tapın.
93) a=2i+3j-6k vektorunun uzunluğunu tapın.
94) a=λi-3j+2k və b=i+2j-λk vektorları λ-nin hansı qiymətində perpendikulyardır?
95) a=6i-4j+k və b=2i-4j+k vektorları verilmişdir. yaratdığı bucağı tapın vektor a-b Oz oxu ilə.
96) Verilmiş vektorlar = (4; –2; –6) və = (–3; 4; –12). Vektorun proyeksiyasını tapın a vektor oxuna b.
97) Bucağı tapın A təpələri olan üçbucaq A (–1; 3; 2), IN(3; 5; –2) və
İLƏ(3; 3; –1). Cavabınızı 15cos olaraq daxil edin A.
98) Vektorun kvadrat modulunu tapın 
, burada və 60 o bucaq yaradan vahid vektorlardır.
99) Nöqtə hasilini tapın 
Və 
100) A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7) nöqtələri verilmişdir. ABCD dördbucağının növünü müəyyənləşdirin.
a) Paralelepiped;
b) Düzbucaqlı;
c) Trapezoid;
101) = (3; 4) vektoru = (3; –1) və = (1; –2) vektorlarına parçalanır. Düzgün parçalanma seçin.
