Funksiya y = f (x) X çoxluğunun hər bir x elementi Y çoxluğunun bir və yalnız bir y elementi ilə əlaqəli olduğu qanundur (qaydadır).
X elementi ∈ Xçağırdı funksiya arqumenti və ya müstəqil dəyişən.
Element y ∈ Yçağırdı funksiya dəyəri və ya asılı dəyişən.
X çoxluğu adlanır funksiyanın domeni.
Elementlər toplusu y ∈ Y X dəstində ön təsvirləri olan , adlanır sahə və ya funksiya qiymətləri dəsti.
Həqiqi funksiya çağırılır yuxarıdan məhduddur (aşağıdan), bərabərsizliyin hamı üçün yerinə yetirildiyi M ədədi varsa:
.
Nömrə funksiyası çağırılır məhduddur, əgər hamı üçün belə bir M rəqəmi varsa:
.
Üst kənar və ya dəqiq yuxarı həddi
Həqiqi bir funksiya yuxarıdan onun dəyər diapazonunu məhdudlaşdıran ən kiçik ədəd adlanır. Yəni bu, hər kəs üçün və hər kəs üçün funksiya dəyəri s′-dən çox olan bir arqument olan s ədədidir: .
Funksiyanın yuxarı həddi aşağıdakı kimi göstərilə bilər:
.
Müvafiq olaraq alt kənar və ya dəqiq aşağı hədd Həqiqi funksiya aşağıdan onun dəyər diapazonunu məhdudlaşdıran ən böyük ədəd adlanır. Yəni bu, hər kəs və hər kəs üçün funksiya dəyəri i′-dən kiçik olan arqument olan i ədədidir: .
Funksiyanın infimumunu aşağıdakı kimi qeyd etmək olar:
.
Funksiya limitinin müəyyən edilməsi
Koşiyə görə funksiyanın limitinin təyini
Son nöqtələrdə funksiyanın sonlu hədləri
Funksiya, nöqtənin özü istisna olmaqla, son nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilsin.
.
bir nöqtədə, əgər hər hansı biri üçün, -dən asılı olaraq, belə bir şey var ki, bütün x üçün bərabərsizlik yerinə yetirilir.
.
Funksiya limiti aşağıdakı kimi işarələnir:
Yaxud da.
.
Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək funksiyanın limitinin tərifini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
Bir nöqtədə sol limit (sol tərəfli limit):
.
Bir nöqtədə sağ limit (sağ limit):
.
Sol və sağ məhdudiyyətlər çox vaxt aşağıdakı kimi işarələnir:
;
.
Sonsuzluq nöqtələrində funksiyanın sonlu hədləri
Sonsuzluq nöqtələrindəki məhdudiyyətlər oxşar şəkildə müəyyən edilir.
.
.
.
Onlar tez-tez belə adlandırılır:
;
;
.
Bir nöqtənin qonşuluğu anlayışından istifadə
Əgər nöqtənin deşilmiş qonşuluğu anlayışını təqdim etsək, onda sonlu və sonsuz uzaq nöqtələrdə funksiyanın son həddinin vahid tərifini verə bilərik:
.
Son nöqtələr üçün burada
;
;
.
Sonsuzluqdakı nöqtələrin hər hansı qonşuluğu deşilir:
;
;
.
Sonsuz Funksiya Limitləri
Tərif
Funksiya nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda (sonlu və ya sonsuzda) müəyyən edilsin. Funksiya həddi f (x) x → x kimi 0
sonsuzluğa bərabərdir, əgər hər hansı bir ixtiyari böyük ədəd üçün M > 0
, δ M rəqəmi var > 0
, M-dən asılı olaraq, deşilmiş δ M - nöqtənin qonşuluğuna aid olan bütün x üçün: , aşağıdakı bərabərsizlik yerinə yetirilir:
.
Sonsuz hədd aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Funksiya limiti aşağıdakı kimi işarələnir:
Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək funksiyanın sonsuz həddinin tərifini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
.
Siz həmçinin və bərabər olan müəyyən işarələrin sonsuz hədlərinin təriflərini təqdim edə bilərsiniz:
.
.
Funksiya limitinin universal tərifi
Nöqtənin qonşuluğu anlayışından istifadə edərək, həm sonlu (ikitərəfli və birtərəfli), həm də sonsuz uzaq nöqtələr üçün tətbiq olunan funksiyanın sonlu və sonsuz həddinin universal tərifini verə bilərik:
.
Heineyə görə funksiyanın limitinin təyini
Funksiya bəzi X çoxluğunda təyin olunsun: .
a sayı funksiyanın həddi adlanır nöqtədə:
,
x-ə yaxınlaşan hər hansı ardıcıllıq üçün 0
:
,
elementləri X çoxluğuna aid olan: ,
.
Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək bu tərifi yazaq:
.
X nöqtəsinin sol tərəfli qonşuluğunu X çoxluğu kimi götürsək 0 , onda sol limitin tərifini alırıq. Əgər sağ əllidirsə, onda düzgün limitin tərifini alırıq. Sonsuzluqda olan nöqtənin qonşuluğunu X çoxluğu kimi götürsək, funksiyanın sonsuzluq həddinin tərifini alırıq.
Teorem
Funksiya limitinin Koşi və Heine tərifləri ekvivalentdir.
Sübut
Funksiya limitinin xassələri və teoremləri
Bundan əlavə, nəzərdən keçirilən funksiyaların sonlu ədəd və ya simvollardan biri olan nöqtənin müvafiq qonşuluğunda müəyyən edildiyini güman edirik: .
O, həmçinin birtərəfli limit nöqtəsi ola bilər, yəni forma və ya .
Qonşuluq iki tərəfli limit üçün iki tərəfli və birtərəfli limit üçün birtərəflidir. (x)Əsas xüsusiyyətlər Əgər f funksiyasının qiymətləri sonlu sayda x nöqtəsini dəyişdirin (və ya qeyri-müəyyən olun). 0 .
1, x 2, x 3, ... x n 0
, onda bu dəyişiklik ixtiyari x nöqtəsində funksiyanın limitinin mövcudluğuna və dəyərinə təsir etməyəcək. (x) Sonlu hədd varsa, x nöqtəsinin deşilmiş qonşuluğu var
.
, bunun üzərində f funksiyası var 0
məhdud:
.
Funksiya x nöqtəsində olsun 0
sonlu sıfırdan fərqli hədd:
Onda intervaldan istənilən c ədədi üçün x nöqtəsinin belə deşilmiş qonşuluğu var
, nə üçün,
, Əgər ;
, Əgər . 0
,
Əgər nöqtənin hansısa deşilmiş məhəlləsində , sabitdirsə, onda .
Sonlu sərhədlər varsa və x nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda
,
Əgər nöqtənin hansısa deşilmiş məhəlləsində , sabitdirsə, onda .
Bu .
,
Əgər , və nöqtənin bəzi məhəlləsində
Xüsusilə bəzi məhəllədə bir nöqtə varsa
onda əgər , onda və ; 0
:
,
əgər , onda və .
X nöqtəsinin bəzi deşilmiş məhəlləsində olarsa
.
və sonlu (və ya müəyyən işarənin sonsuz) bərabər hədləri var:
, Bu
Əsas xassələrin sübutları səhifədə verilmişdir
“Funksiya limitlərinin əsas xassələri”.
Funksiya limitinin arifmetik xassələri
Funksiyaları və nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda təyin olunsun.
;
;
;
, nə üçün,
Və sonlu məhdudiyyətlər olsun:
Və .
C isə sabit, yəni verilmiş ədəd olsun. Sonra
Əgər, onda.
Teorem
Arifmetik xüsusiyyətlərin sübutları səhifədə verilmişdir 0
“Funksiya hədlərinin arifmetik xassələri”. > 0
Funksiya limitinin mövcudluğu üçün Koşi kriteriyası 0
Sonlu və ya sonsuz x nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda müəyyən edilmiş funksiya üçün
.
, bu nöqtədə sonlu həddi var idi, bu, istənilən ε üçün zəruri və kifayətdir
x nöqtəsinin belə deşilmiş məhəlləsi var idi , hər hansı bir nöqtə üçün və bu qonşuluq üçün aşağıdakı bərabərsizliyə malikdir:
Mürəkkəb funksiyanın həddi
Limit teoremi
mürəkkəb funksiya
.
Mürəkkəb funksiyanın limit teoremi funksiya nöqtədə müəyyən edilmədikdə və ya limitdən fərqli qiymətə malik olduqda tətbiq edilir.
.
Bu teoremi tətbiq etmək üçün, funksiyanın qiymətlər çoxluğunda nöqtənin olmadığı nöqtənin deşilmiş qonşuluğu olmalıdır: Əgər funksiya nöqtəsində davamlıdırsa, o zaman limit işarəsi arqumentə tətbiq oluna bilər:
.
davamlı funksiya
Aşağıdakılar bu vəziyyətə uyğun gələn teoremdir.
Funksiyanın fasiləsiz funksiyasının həddi haqqında teorem g funksiyasının həddi olsun(t) 0
t → t kimi 0
:
.
, və o, x-ə bərabərdir 0
Budur t nöqtəsi
sonlu və ya sonsuz uzaq ola bilər: . (x) Və f funksiyası olsun 0
.
x nöqtəsində davamlıdır Onda f kompleks funksiyasının həddi var(g(t)) , və f-ə bərabərdir:
.
(x0)
Teoremlərin sübutları səhifədə verilmişdir
“Mürəkkəb funksiyanın həddi və davamlılığı”.
Sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiyalar
Tərif
Sonsuz kiçik funksiyalar
.
Funksiyanın sonsuz kiçik olduğu deyilir Cəm, fərq və məhsul
-də sonlu sayda sonsuz kiçik funksiyanın sonsuz kiçik funksiyasıdır. Məhdudlaşdırılmış funksiyanın hasili
nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda , at sonsuz kiçik bir funksiyadır.
,
Funksiyanın sonlu həddi olması üçün bu, zəruri və kifayətdir harada - sonsuz kiçik funksiya
at.
“Sonsuz kiçik funksiyaların xassələri”.
Tərif
Sonsuz böyük funksiyalar
.
Funksiyanın sonsuz böyük olduğu deyilir Nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda məhdud funksiyanın cəmi və ya fərqi ilə sonsuz böyük funksiya sonsuzdur kiçik funksiya
əla funksiya
.
Əgər funksiya üçün sonsuz böyükdürsə və funksiya nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda məhduddursa, onda
,
Əgər nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda funksiya bərabərsizliyi ödəyirsə:
və funksiya sonsuz kiçikdir:
.
, və (nöqtənin bəzi deşilmiş məhəlləsində), sonra
Xüsusiyyətlərin sübutları bölmədə təqdim olunur
“Sonsuz böyük funksiyaların xassələri”.
Sonsuz böyük və sonsuz kiçik funksiyalar arasındakı əlaqə
Əvvəlki iki xassədən sonsuz böyük və sonsuz kiçik funksiyalar arasında əlaqə yaranır.
Əgər funksiya sonsuz böyükdürsə, onda funksiya sonsuz kiçikdir.
Əgər funksiya və üçün sonsuz kiçikdirsə, onda funksiya sonsuz böyükdür.
,
.
Sonsuz kiçik funksiyanın müəyyən bir işarəsi varsa, yəni nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda müsbət (və ya mənfi) olarsa, bu faktı aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:
.
Eyni şəkildə, sonsuz böyük bir funksiyanın müəyyən bir işarəsi varsa, onda yazırlar:
.
Onda sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiyalar arasındakı simvolik əlaqə aşağıdakı əlaqələrlə tamamlana bilər:
,
,
,
.
Sonsuzluq simvollarına aid əlavə düsturları səhifədə tapa bilərsiniz
"Sonsuzluq nöqtələri və onların xassələri."
Monoton funksiyaların hədləri
Tərif
Bəzi X həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilmiş funksiya çağırılır ciddi şəkildə artır, əgər bütün bunlar üçün aşağıdakı bərabərsizlik əməl edərsə:
.
Müvafiq olaraq, üçün ciddi şəkildə azalır funksiyası aşağıdakı bərabərsizliyə malikdir:
.
üçün azalmayan:
.
üçün artmayan:
.
Buradan belə çıxır ki, ciddi artan funksiya da azalmır. Ciddi şəkildə azalan funksiya da artmayandır.
Funksiya çağırılır monoton, əgər azalmayan və ya artmayandırsa.
Teorem
Funksiya olduğu intervalda azalmasın.
Əgər yuxarıda M ədədi ilə məhdudlaşırsa: onda sonlu həddi var.
Yuxarıdan məhdud deyilsə, onda .
Əgər aşağıdan m sayı ilə məhdudlaşırsa: onda sonlu həddi var.
Aşağıdan məhdud deyilsə, onda .
Əgər a və b nöqtələri sonsuzdursa, o zaman ifadələrdə həddi işarələr o deməkdir ki, .
;
.
Bu teoremi daha yığcam formalaşdırmaq olar.
Funksiya olduğu intervalda azalmasın.
;
.
Sonra a və b nöqtələrində birtərəfli məhdudiyyətlər var:
Artmayan funksiya üçün oxşar teorem.
Funksiya olduğu intervalda artmasın.
Sonra birtərəfli məhdudiyyətlər var: Teoremin sübutu səhifədə təqdim olunur“Montonik funksiyaların hədləri”.
İstifadə olunmuş ədəbiyyat:
L.D. Kudryavtsev. Yaxşı riyazi analiz. 1-ci cild. Moskva, 2003. CM. Nikolski. Riyazi analiz kursu. 1-ci cild. Moskva, 1983. Həll onlayn funksiya məhdudiyyətləri. Bir nöqtədə funksiyanın və ya funksional ardıcıllığın məhdudlaşdırıcı qiymətini tapın, hesablayın son sonsuzluqda funksiyanın qiyməti. Bir ədəd seriyasının yaxınlaşmasını təyin etmək və çox daha çox şey sayəsində edə bilərik onlayn xidmət hərfi ifadədə sabitləri ehtiva edən həm ədədi sıra, həm də analitik funksiyaları daxil edə bilərsiniz. Bu halda, funksiyanın tapılmış həddi bu sabitləri ifadədə sabit arqumentlər kimi ehtiva edəcəkdir. Xidmətimiz hər hansı mürəkkəb tapma problemlərini həll edir onlayn məhdudiyyətlər, funksiyanı və hesablamaq lazım olan nöqtəni göstərmək kifayətdir funksiyanın limit dəyəri. Hesablanır onlayn məhdudiyyətlər, istifadə edə bilərsiniz müxtəlif üsullar və əldə edilən nəticəni yoxlayarkən onların həlli qaydaları limitlərin onlayn həlli tapşırığın uğurla yerinə yetirilməsinə səbəb olacaq www.site - öz səhvlərinizdən və kargüzarlıq səhvlərinizdən qaçınacaqsınız. Və ya funksiyanın limitinin müstəqil hesablanmasına əlavə səy və vaxt sərf etmədən bizə tam etibar edib nəticəmizdən işinizdə istifadə edə bilərsiniz. Sonsuzluq kimi limit dəyərləri daxil etməyə icazə veririk. Bir ədəd ardıcıllığının ümumi üzvünü daxil etmək lazımdır və www.site dəyərini hesablayacaq onlayn məhdudlaşdırın artı və ya mənfi sonsuzluğa.
Riyazi analizin əsas anlayışlarından biri də budur funksiya həddi Və ardıcıllıq həddi bir nöqtədə və sonsuzluqda düzgün həll etməyi bacarmaq vacibdir məhdudiyyətlər. Bizim xidmətimizlə bu çətin olmayacaq. Qərar verilir onlayn məhdudiyyətlər bir neçə saniyə ərzində cavab dəqiq və tam olur. Riyazi analizin öyrənilməsi ilə başlayır həddinə keçid, məhdudiyyətlər ali riyaziyyatın demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur, ona görə də əlinizdə bir serverin olması faydalıdır onlayn limit həlləri, hansı saytdır.
Bir nöqtədə və nöqtədə funksiyanın limiti
Funksiya həddi riyazi analizin əsas aparatıdır. Onun köməyi ilə sonradan funksiyanın davamlılığı, törəməsi, inteqralı və sıranın cəmi müəyyən edilir.
y funksiyası olsun=f(x)nöqtənin bəzi məhəlləsində müəyyən edilmişdir 
, bəlkə də məqamın özü istisna olmaqla 
.
Bir nöqtədə funksiyanın limitinin iki ekvivalent tərifini tərtib edək.
Tərif 1 ("ardıcıllıqların dilində" və ya Heine görə). Nömrə bçağırdı funksiyanın limiti
y=f(x)
nöqtədə
(və ya nə vaxt 
), etibarlı arqument dəyərlərinin hər hansı ardıcıllığı üçün 
-ə yaxınlaşır
(onlar. 
), uyğun funksiya qiymətlərinin ardıcıllığı 
ədədə yaxınlaşır b(onlar. 
).
Bu halda yazırlar 
və ya 
saat 
. Funksiya limitinin həndəsi mənası: 
o deməkdir ki, bütün məqamlar üçün X, nöqtəyə kifayət qədər yaxındır
, funksiyanın müvafiq dəyərləri nömrədən istədiyiniz qədər az fərqlənir b.
Tərif 2 ("dildə"və ya Cauchy'yə görə). Nömrə bçağırdı funksiyanın limiti
y=f(x)
nöqtədə
(və ya nə vaxt 
), əgər hər hansı müsbət ədəd üçün müsbət ədəd varsa hamı üçün 
bərabərsizliyi təmin edir 
, bərabərsizlik qüvvədədir 
.
yazın 
.
Bu tərifi qısaca belə yazmaq olar:
Qeyd edək ki 
belə yazmaq olar 
.
G 
funksiyanın limitinin həndəsi mənası: 
, əgər nöqtənin hər hansı qonşuluğu üçün b nöqtənin belə bir qonşusu var
bu hamı üçündür 
bu qonşuluqdan funksiyanın müvafiq qiymətləri f
(x) nöqtənin qonşuluğunda yatır b. Başqa sözlə, funksiyanın qrafikindəki nöqtələr y
=
f
(x) düz xətlərlə hüdudlanmış eni 2 olan zolağın içində yatın saat
= b + ,
saat = b (Şəkil 17). Aydındır ki, dəyəri seçimindən asılıdır, ona görə də = () yazırlar.
Misal Bunu sübut et 
Həll
. Gəlin ixtiyari 0 götürək və = () 0 tapaq ki, hamı üçün X 
, bərabərsizlik qüvvədədir 
. ildən 
olanlar. 
, sonra götürür 
, bunu hamı üçün görürük X, bərabərsizliyi təmin edir 
, bərabərsizlik qüvvədədir 
. Beləliklə, 
Misal Bunu sübut et f
(x) =
ilə, Bu 
.
Həll
. üçün 
götürə bilərsən 
. Sonra saat 
bizdə var. Beləliklə, 
.
Funksiya limitinin müəyyən edilməsində 
olduğuna inanılır Xüçün səy göstərir
hər hansı bir şəkildə: az qalan
(solunda
), daha böyükdür
(sağda
) və ya bir nöqtə ətrafında dalğalanma
.
Bir arqumentin yaxınlaşma metodunun olduğu hallar var X Kimə
funksiya limitinin dəyərinə əhəmiyyətli dərəcədə təsir edir. Buna görə də birtərəfli məhdudiyyətlər anlayışları təqdim olunur.
Tərif. Nömrə 
çağırdı funksiyanın limiti
y=f(x)
sol
nöqtədə
, əgər hər hansı 0 ədədi üçün = () 0 ədədi var ki, 
, bərabərsizlik qüvvədədir 
.
Solda limit aşağıdakı kimi yazılır 
və ya qısaca 
(Dirichlet notation) (Şəkil 18).
Oxşar şəkildə müəyyən edilir sağda funksiyanın limiti , simvollardan istifadə edərək yazaq:
Qısaca, sağdakı hədd işarələnmişdir 
.
P 
Bir funksiyanın sağ və sol tərəfdəki hissələri çağırılır birtərəfli məhdudiyyətlər
. Aydındır ki, əgər varsa 
, onda hər iki birtərəfli məhdudiyyətlər mövcuddur və 
.
Bunun əksi də doğrudur: əgər hər iki məhdudiyyət varsa 
Və 
və onlar bərabərdirlər, onda bir hədd var 
Və .
Əgər 
, Bu 
mövcud deyil.
Tərif. Qoy funksiya olsun y=f(x) intervalında müəyyən edilir 
. Nömrə bçağırdı funksiyanın limiti
y=f(x)
saat
X , əgər hər hansı 0 ədədi üçün belə bir ədəd varsa M
= M() 0, bu hamı üçün X, bərabərsizliyi təmin edir 
bərabərsizlik davam edir 
. Qısaca olaraq bu tərifi belə yazmaq olar:
E 
əgər X +, sonra yazırlar 
, Əgər X , sonra yazırlar 
, Əgər 
=
, onda onların ümumi mənası adətən işarə edilir 
.
Bu tərifin həndəsi mənası belədir: üçün 
, bu saat 
Və 
uyğun funksiya dəyərləri y=f(x) nöqtənin qonşuluğuna düşür b, yəni. qrafik nöqtələri düz xətlərlə hüdudlanmış eni 2 zolaqda yerləşir 
Və 
(Şəkil 19).
Funksiya həddi- nömrə a dəyişməsi prosesində bu dəyişən kəmiyyət qeyri-müəyyən müddətə yaxınlaşarsa, bəzi dəyişən kəmiyyətin həddi olacaqdır. a.
Və ya başqa sözlə, nömrə A funksiyanın həddidir y = f(x) nöqtədə x 0, əgər funksiyanın təyini sahəsindən hər hansı bir nöqtə ardıcıllığı üçün , bərabər deyil x 0, və hansı nöqtəyə yaxınlaşır x 0 (lim x n = x0), müvafiq funksiya dəyərlərinin ardıcıllığı ədədə yaxınlaşır A.
Sonsuzluğa meylli arqument verildikdə limiti bərabər olan funksiyanın qrafiki L:
Mənası A edir funksiyanın limiti (limit dəyəri). f(x) nöqtədə x 0 hər hansı bir nöqtə ardıcıllığı üçün 
, -ə yaxınlaşır x 0, lakin tərkibində olmayan x 0 onun elementlərindən biri kimi (yəni deşilmiş yaxınlıqda x 0), funksiya qiymətlərinin ardıcıllığı 
birləşir A.
Koşi funksiyasının limiti.
Mənası A olacaq funksiyanın limiti f(x) nöqtədə x 0əvvəlcədən götürülmüş hər hansı qeyri-mənfi nömrə üçün əgər ε müvafiq qeyri-mənfi ədəd tapılacaq δ = δ(ε) belə ki, hər bir arqument üçün x, şərti təmin edir 0 < | x - x0 | < δ , bərabərsizlik təmin ediləcək | f(x)A |< ε .
Limitin mahiyyətini və onu tapmaq üçün əsas qaydaları başa düşsəniz, çox sadə olacaq. Funksiya həddi nədir f (x) saat xüçün səy göstərir a bərabərdir A, belə yazılır:
Üstəlik, dəyişənin meyl etdiyi dəyər x, təkcə ədəd deyil, həm də sonsuzluq (∞), bəzən +∞ və ya -∞ ola bilər və ya heç bir məhdudiyyət olmaya bilər.
Necə başa düşmək üçün funksiyanın hədlərini tapın, həllərin nümunələrinə baxmaq ən yaxşısıdır.
Funksiyanın hədlərini tapmaq lazımdır f (x) = 1/xünvanda:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Gəlin birinci həddi həll etməyə çalışaq. Bunu etmək üçün sadəcə əvəz edə bilərsiniz x meyl etdiyi rəqəm, yəni. 2, alırıq:
Funksiyanın ikinci həddini tapaq. Burada əvəz et təmiz forma 0 əvəzinə x mümkün deyil, çünki 0-a bölmək olmaz. Ancaq sıfıra yaxın dəyərləri götürə bilərik, məsələn, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 və s. və funksiyanın qiyməti f (x) artacaq: 100; 1000; 10000; 100.000 və s. Beləliklə, nə vaxt başa düşmək olar x→ 0 limit işarəsi altında olan funksiyanın qiyməti məhdudiyyətsiz artacaq, yəni. sonsuzluğa doğru səy göstərin. Hansı deməkdir:
Üçüncü limitə gəlincə. Əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi eyni vəziyyət, onu əvəz etmək mümkün deyil ∞ ən təmiz formada. Biz qeyri-məhdud artım halını nəzərdən keçirməliyik x. 1000-i bir-bir əvəz edirik; 10000; 100000 və s, biz funksiyanın dəyərinə sahibik f (x) = 1/x azalacaq: 0,001; 0,0001; 0,00001; və s. sıfıra meyl edir. Buna görə də:
Funksiyanın limitini hesablamaq lazımdır 
İkinci misalı həll etməyə başlayanda qeyri-müəyyənlik görürük. Buradan biz payın və məxrəcin ən yüksək dərəcəsini tapırıq - budur x 3, biz onu say və məxrəcdəki mötərizədə çıxarırıq və sonra azaldırıq:
Cavab verin 
İlk addım bu həddi tapmaq, əvəzinə dəyəri 1 ilə əvəz edin x, qeyri-müəyyənliklə nəticələnir. Bunu həll etmək üçün payı faktorlara ayıraq və bunu kökləri tapmaq üsulundan istifadə edərək edək kvadrat tənlik x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Beləliklə, say belə olacaq:
Cavab verin 
Bu, onun xüsusi dəyərinin və ya limitlə məhdudlaşan funksiyanın düşdüyü müəyyən bir sahənin tərifidir.
Limitləri həll etmək üçün qaydalara əməl edin:
Mahiyyəti və əsası başa düşdükdən sonra limitin həlli qaydaları, siz onları necə həll etmək barədə əsas anlayış əldə edəcəksiniz.
Sabit nömrə Açağırdı limit ardıcıllıqlar(x n ), əgər hər hansı ixtiyari kiçik müsbət ədəd üçünε > 0 bütün qiymətlərə malik olan N ədədi var x n, bunun üçün n>N, bərabərsizliyi ödəyin
|x n - a|< ε. (6.1)
Bunu aşağıdakı kimi yazın: və ya x n → a.
(6.1) bərabərsizlik ikiqat bərabərsizliyə bərabərdir
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
bu o deməkdir ki, xal x n, bəzi n>N ədədindən başlayaraq, intervalın daxilində yatın (a-ε, a+ ε ), yəni. hər hansı bir kiçikə düşməkε -bir nöqtənin qonşuluğu A.
Limiti olan ardıcıllığa deyilir konvergent, əks halda - fərqli.
Funksiya həddi anlayışı ardıcıllıq həddi anlayışının ümumiləşdirilməsidir, çünki ardıcıllığın həddi tam ədəd arqumentinin x n = f(n) funksiyasının həddi hesab edilə bilər. n.
f(x) funksiyası verilsin və olsun a - limit nöqtəsi bu funksiyanın təyini sahəsi D(f), yəni. hər hansı qonşuluğunda D(f) çoxluğundan başqa nöqtələr olan belə bir nöqtə a. Nöqtə a D(f) çoxluğuna aid ola və ya olmaya bilər.
Tərif 1.Sabit A ədədi adlanır limit funksiyaları f(x) saat x→a, arqument dəyərlərinin hər hansı ardıcıllığı üçün (x n) meyllidirsə A, müvafiq ardıcıllıqlar (f(x n)) A həddi ilə eynidir.
Bu tərif deyilir Heine görə funksiyanın limitini təyin etməklə, və ya " ardıcıllıqla dildə”.
Tərif 2. Sabit A ədədi adlanır limit funksiyaları f(x) saat x→a, əgər, ixtiyari kiçik müsbət ε ədədini təyin etməklə, belə δ tapmaq olar>0 (ε-dən asılı olaraq), hər kəs üçündür x, yatanε-nömrənin məhəllələri A, yəni. üçün x, bərabərsizliyi təmin edir
0 <
x-a< ε
, f(x) funksiyasının qiymətləri yalan olacaqε-A sayının qonşuluğu, yəni.|f(x)-A|<
ε.
Bu tərif deyilir Koşiyə görə funksiyanın limitini təyin etməklə, və ya “ε - δ dilində “.
1 və 2 tərifləri ekvivalentdir. f(x) funksiyası x → olarsabir var limit, A-ya bərabərdir, bu formada yazılır
. (6.3)
Ardıcıllığın (f(x n)) hər hansı yaxınlaşma üsulu üçün məhdudiyyətsiz artması (və ya azalması) halında x limitinizə qədər A, onda f(x) funksiyasının olduğunu deyəcəyik sonsuz həddi, və formada yazın:
Limiti sıfır olan dəyişən (yəni ardıcıllıq və ya funksiya) çağırılır sonsuz kiçik.
Həddi sonsuzluğa bərabər olan dəyişənə deyilir sonsuz böyük.
Təcrübədə həddi tapmaq üçün aşağıdakı teoremlərdən istifadə olunur.
Teorem 1 . Hər bir məhdudiyyət varsa
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Şərh. 0/0 kimi ifadələr, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - məsələn, iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük kəmiyyətin nisbəti qeyri-müəyyəndir və bu tip həddi tapmağa “qeyri-müəyyənliklərin açılması” deyilir.
Teorem 2. (6.7)
olanlar. sabit göstərici ilə gücə əsaslanan həddə gedə bilərsiniz, xüsusən, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorem 3.
(6.10)
(6.11)
Harada e » 2.7 - natural loqarifmin əsası. (6.10) və (6.11) düsturları birinci adlanır gözəl hədd və ikinci əlamətdar hədd.
(6.11) düsturunun nəticələri praktikada da istifadə olunur:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
xüsusilə limit,
Əgər x → a və eyni zamanda x > a, sonra x yazın→a + 0. Xüsusilə a = 0 olarsa, 0+0 simvolunun yerinə +0 yazın. Eynilə, əgər x→a və eyni zamanda x 
və müvafiq olaraq çağırılır sağ limit Və sol həddi funksiyaları f(x) nöqtədə A. f(x) funksiyasının x→ kimi limiti olması üçüna zəruri və kifayətdir ki 
. f(x) funksiyası çağırılır davamlı nöqtədə limit olduqda x 0
. (6.15)
Şərt (6.15) aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:
,
yəni funksiyanın işarəsi altında limitə keçid o zaman mümkündür ki, o, verilmiş nöqtədə davamlı olsun.
Əgər (6.15) bərabərliyi pozulubsa, o zaman deyirik saat x = x o funksiyası f(x) var boşluq y = 1/x funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu funksiyanın təyinetmə sahəsi çoxluqdur R, x = 0 istisna olmaqla. x = 0 nöqtəsi D(f) çoxluğunun həddi nöqtəsidir, çünki onun hər hansı qonşuluğunda, yəni. 0 nöqtəsini ehtiva edən istənilən açıq intervalda D(f) nöqtələri var, lakin onun özü bu çoxluğa aid deyil. f(x o)= f(0) qiyməti müəyyən edilməmişdir, ona görə də x o = 0 nöqtəsində funksiya kəsilməyə malikdir.
f(x) funksiyası çağırılır nöqtədə sağda davamlıdır x o limit varsa
,
Və nöqtəsində solda davamlı x o, əgər limit
.
Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı x o həm sağa, həm də sola bu nöqtədə onun davamlılığına bərabərdir.
Funksiyanın nöqtədə davamlı olması üçün x o, məsələn, sağda, birincisi, sonlu bir hədd olması, ikincisi, bu həddin f(x o) -ə bərabər olması lazımdır. Buna görə də, bu iki şərtdən ən azı biri yerinə yetirilməsə, funksiya kəsiləcək.
1. Əgər hədd mövcuddursa və f(x o) bərabər deyilsə, bunu deyirlər funksiyası f(x) nöqtədə x o var birinci növ qırılma, və ya sıçrayış.
2. Əgər limit olarsa+∞ və ya -∞ və ya yoxdur, onda deyirlər ki, in nöqtə x o funksiyanın fasiləsizliyi var ikinci növ.
Məsələn, y = çarpayı x at x funksiyası→ +0 +∞-ə bərabər limitə malikdir, bu o deməkdir ki, x=0 nöqtəsində ikinci növ fasiləsizliyə malikdir. y = E(x) funksiyası (bütün hissəsi x) tam absis olan nöqtələrdə birinci növ kəsiklər və ya sıçrayışlar var.
İntervalın hər nöqtəsində fasiləsiz olan funksiya çağırılır davamlı V . Davamlı funksiya bərk əyri ilə təmsil olunur.
Müəyyən bir kəmiyyətin davamlı artması ilə əlaqəli bir çox problem ikinci əlamətdar həddə gətirib çıxarır. Belə vəzifələrə, məsələn, aşağıdakılar daxildir: mürəkkəb faiz qanunu ilə yataqların artması, ölkə əhalisinin artması, radioaktiv maddələrin parçalanması, bakteriyaların çoxalması və s.
Gəlin nəzərdən keçirək Ya I. Perelmanın nümunəsi, rəqəmin şərhini verir e mürəkkəb faiz problemində. Nömrə e həddi var 
. Əmanət kassalarında faiz pulları hər il əsas kapitala əlavə edilir. Qoşulma daha tez-tez edilirsə, kapital daha sürətli böyüyür, çünki marağın formalaşmasında daha böyük məbləğ iştirak edir. Sırf nəzəri, çox sadələşdirilmiş bir nümunə götürək. 100 inkar banka yatırılsın. vahidlər illik 100% əsasında. Faiz pulu yalnız bir ildən sonra əsas kapitala əlavə olunarsa, bu müddət ərzində 100 den. vahidlər 200 pul vahidinə çevriləcək. İndi görək 100 dəniz nəyə çevriləcək. vahidlər, əgər faiz pulu hər altı aydan bir əsas kapitala əlavə edilirsə. Altı aydan sonra 100 den. vahidlər 100-ə qədər artacaq×
1,5 = 150, başqa altı aydan sonra - 150-də×
1,5 = 225 (den. vahid). Qoşulma ilin hər 1/3-də aparılırsa, bir ildən sonra 100 den. vahidlər 100-ə çevriləcək× (1 +1/3) 3 " 237 (den. vahid). Faiz pullarının əlavə edilməsi şərtlərini 0,1 ilə qədər, 0,01 ilə qədər, 0,001 ilə qədər və s. artıracağıq. Sonra 100 den. vahidlər bir ildən sonra belə olacaq:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. vahid),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. vahid),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. vahid).
Faizlərin əlavə edilməsi şərtlərinin qeyri-məhdud azaldılması ilə yığılmış kapital qeyri-müəyyən müddətə artmır, təqribən 271-ə bərabər olan müəyyən bir həddə yaxınlaşır. İllik 100% ilə yatırılan kapital, hesablanmış faiz olsa belə, 2,71 dəfədən çox arta bilməz. Limit səbəbiylə hər saniyə paytaxta əlavə edildi
Misal 3.1.Ədəd ardıcıllığının limitinin tərifindən istifadə edərək x n =(n-1)/n ardıcıllığının 1-ə bərabər həddi olduğunu sübut edin.
Həll.Nə olursa olsun, bunu sübut etməliyikε > 0 nə götürsək də, onun üçün bir şey var natural ədəd N, elə ki, bütün n N üçün bərabərsizlik əmələ gəlir|x n -1|< ε.
İstənilən e > 0 götürək. Çünki ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, onda N-i tapmaq üçün 1/n bərabərsizliyini həll etmək kifayətdir.< e. Beləliklə, n>1/ e və buna görə də N 1/-nin tam hissəsi kimi qəbul edilə bilər. e , N = E(1/ e ). Biz bununla da həddi sübut etdik.
Misal 3.2
. Ümumi terminlə verilmiş ardıcıllığın həddini tapın 
.
Həll.Cəm teoreminin limitini tətbiq edək və hər bir həddi tapaq. Nə zaman n→ ∞ hər bir terminin payı və məxrəci sonsuzluğa meyllidir və biz hissə həddi teoremini birbaşa tətbiq edə bilmərik. Ona görə də əvvəlcə biz transformasiya edirik x n, birinci hədisin payı və məxrəcinin bölünməsi n 2, ikincisi isə n. Sonra, hissənin limitini və cəmi teoreminin limitini tətbiq edərək, tapırıq:
.
Misal 3.3. 
. tap .
Həll. 
.
Burada dərəcə teoremindən istifadə etdik: dərəcənin həddi bazanın həddi dərəcəsinə bərabərdir.
Misal 3.4
. tap ( 
).
Həll.Fərq teoreminin həddi tətbiq etmək mümkün deyil, çünki formanın qeyri-müəyyənliyimiz var ∞-∞ . Ümumi termin formulunu çevirək:
.
Misal 3.5 . f(x)=2 1/x funksiyası verilmişdir. Heç bir məhdudiyyət olmadığını sübut edin.
Həll.Ardıcıllıqla funksiyanın limitinin 1 tərifindən istifadə edək. 0-a yaxınlaşan ardıcıllığı ( x n ) götürək, yəni. Göstərək ki, f(x n)= qiyməti müxtəlif ardıcıllıqlar üçün fərqli davranır. X n = 1/n olsun. Aydındır ki, sonra limit 
İndi kimi seçək x n x n = -1/n ümumi termini olan, həmçinin sıfıra meylli ardıcıllıq. 
Buna görə də heç bir məhdudiyyət yoxdur.
Misal 3.6 . Heç bir məhdudiyyət olmadığını sübut edin.
Həll.X 1 , x 2 ,..., x n ,... hansı ardıcıllıq olsun
. (f(x n)) = (sin x n) ardıcıllığı müxtəlif x n → ∞ üçün necə davranır
Əgər x n = p n, onda sin x n = sin p hamı üçün n = 0 n və limit Əgər
x n =2 p n+ p /2, onda sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = hamı üçün 1 n və buna görə də hədd. Deməli, mövcud deyil.
Limitləri onlayn hesablamaq üçün vidjet
Yuxarı pəncərədə sin(x)/x əvəzinə limitini tapmaq istədiyiniz funksiyanı daxil edin. Aşağı pəncərədə x-in meyl etdiyi nömrəni daxil edin və Hesablama düyməsini basın, istədiyiniz limiti əldə edin. Nəticə pəncərəsində yuxarı sağ küncdəki Addımları göstər düyməsini sıxsanız, ətraflı bir həll əldə edəcəksiniz.
Funksiyaların daxil edilməsi qaydaları: sqrt(x)- kvadrat kök, cbrt(x) - kub kökü, exp(x) - eksponent, ln(x) - təbii loqarifm, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan(x) - tangens, cot(x) - kotangent, arcsin(x) - arksin, arccos(x) - arkcosin, arctan(x) - arktangent. İşarələr: * vurma, / bölmə, ^ eksponentasiya, əvəzinə sonsuzluq Sonsuzluq. Misal: funksiya sqrt(tan(x/2)) kimi daxil edilir.
