Davamlı bir nümunə olaraq təsadüfi dəyişən(a; b) intervalında bərabər paylanmış X təsadüfi kəmiyyətini nəzərdən keçirək. X təsadüfi dəyişənin olduğu deyilir bərabər paylanmışdır (a; b) intervalında, əgər onun paylanma sıxlığı bu intervalda sabit deyilsə:
Normallaşma şərtindən c sabitinin qiymətini təyin edirik. Paylanma sıxlığı əyrisi altındakı sahə birliyə bərabər olmalıdır, lakin bizim vəziyyətimizdə bazası (b - α) və hündürlüyü c olan düzbucaqlının sahəsidir (Şəkil 1). 
düyü. 1 Vahid paylanma sıxlığı
Buradan c sabitinin qiymətini tapırıq: 
Beləliklə, bərabər paylanmış təsadüfi kəmiyyətin sıxlığı bərabərdir 
İndi düsturdan istifadə edərək paylanma funksiyasını tapaq:
1) üçün 
2) üçün
3) 0+1+0=1 üçün.
Beləliklə, 
Paylanma funksiyası davamlıdır və azalmır (şək. 2). 
düyü. 2 Vahid paylanmış təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası
tapacağıq gözlənilən dəyər vahid paylanmış təsadüfi dəyişən düstura görə:
Vahid paylanmanın dağılması düsturla hesablanır və bərabərdir
Nümunə №1. Ölçmə cihazının şkala bölmə qiyməti 0,2-dir. Alət oxunuşları ən yaxın bütöv bölməyə yuvarlaqlaşdırılır. Sayma zamanı xətaya yol verilmə ehtimalını tapın: a) 0,04-dən az; b) böyük 0,02
Həll. Yuvarlaqlaşdırma xətası bitişik tam bölmələr arasındakı intervalda bərabər paylanmış təsadüfi dəyişəndir. Belə bölgü kimi (0; 0.2) intervalı nəzərdən keçirək (şək. a). Yuvarlaqlaşdırma həm sol sərhədə - 0, həm də sağa - 0,2 həyata keçirilə bilər, yəni 0,04-dən az və ya ona bərabər bir səhv iki dəfə edilə bilər, ehtimalı hesablayarkən nəzərə alınmalıdır: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
İkinci halda, səhv dəyəri hər iki bölmə sərhədində 0,02-dən çox ola bilər, yəni 0,02-dən çox və ya 0,18-dən az ola bilər. 
Sonra belə bir səhv ehtimalı:
Nümunə № 2. Hesab olunurdu ki, son 50 ildə ölkədəki iqtisadi vəziyyətin sabitliyi (müharibələrin, təbii fəlakətlərin və s.) əhalinin yaşa görə bölgü xarakteri ilə mühakimə oluna bilər: sakit vəziyyətdə olmalıdır. uniforma. Tədqiqat nəticəsində ölkələrdən biri üçün aşağıdakı məlumatlar əldə edilmişdir.
Ölkədə qeyri-sabitliyin olduğunu deməyə əsas varmı?Həllini kalkulyatordan istifadə edərək həyata keçiririk.Fərziyyələrin yoxlanılması. Göstəricilərin hesablanması üçün cədvəl.
| Qruplar | Aralığın orta nöqtəsi, x i | Kəmiyyət, f i | x i * f i | Yığılmış tezlik, S | |x - x av |*f | (x - x orta) 2 *f | Tezlik, f i / n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Çəkili orta
Variasiya göstəriciləri.
Mütləq variasiyalar.
Dəyişiklik diapazonu əsas seriya xarakteristikasının maksimum və minimum dəyərləri arasındakı fərqdir.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Dispersiya- onun orta dəyəri ətrafında dispersiya ölçüsünü xarakterizə edir (dispersiya ölçüsü, yəni ortadan kənarlaşma).
Standart sapma.
Seriyanın hər bir dəyəri 43-ün orta dəyərindən 23,92-dən çox olmayan fərqlə fərqlənir
Paylanma növü haqqında fərziyyələrin sınaqdan keçirilməsi.
4. Haqqında fərziyyənin sınaqdan keçirilməsi vahid paylamaümumi əhali.
X-in vahid paylanması haqqında fərziyyəni yoxlamaq üçün, yəni. qanuna görə: (a,b) intervalında f(x) = 1/(b-a)
zəruri:
1. a və b parametrlərini təxmin edin - olan intervalın ucları mümkün dəyərlər X, düsturlara görə (* işarəsi parametr təxminlərini bildirir):
2. Gözlənilən paylanmanın ehtimal sıxlığını tapın f(x) = 1/(b * - a *)
3. Nəzəri tezlikləri tapın:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Sərbəstlik dərəcələrinin sayını k = s-3 götürərək Pearson kriteriyasından istifadə edərək empirik və nəzəri tezlikləri müqayisə edin, burada s ilkin seçmə intervallarının sayıdır; kiçik tezliklərin birləşməsi və buna görə də intervalların özləri həyata keçirildisə, s birləşmədən sonra qalan intervalların sayıdır.
Həll:
1. Düsturlardan istifadə edərək vahid paylanmanın a * və b * parametrlərinin təxminlərini tapın:
2. Fərz edilən vahid paylanmanın sıxlığını tapın:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Nəzəri tezlikləri tapaq:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0,0121(10-1,58) = 0,1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0,0121(84,42-70) = 0,17
Qalan n s bərabər olacaq:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Ümumi | 1 | 0.0532 |
Buna görə də, bu statistika üçün kritik bölgə həmişə sağ əllidir: əgər onun ehtimal sıxlığı bu seqmentdə sabitdirsə və kənarda 0-a bərabərdirsə (yəni təsadüfi dəyişən). X seqmentdə cəmləşmişdir [ a, b], üzərində sabit sıxlığa malikdir). By bu tərif seqmentdə bərabər paylanmış sıxlıq [ a, b] təsadüfi dəyişən X formaya malikdir:
Harada ilə müəyyən rəqəm var. Bununla belə, [ seqmentində cəmlənmiş təsadüfi dəyişənlər üçün ehtimal sıxlığı xassəsindən istifadə etməklə tapmaq asandır. a,
b]:
. Bundan belə çıxır 
, harada 
. Buna görə də, seqmentdə bərabər paylanmış sıxlıq [ a,
b] təsadüfi dəyişən X formaya malikdir:
.
N.s.v-nin paylanmasının vahidliyinə hökm edin. X aşağıdakı mülahizələr əsasında mümkündür. Davamlı təsadüfi dəyişən var vahid paylama seqmentdə [ a, b], əgər o, yalnız bu seqmentdən qiymət alırsa və bu seqmentdən olan hər hansı bir ədəd bu təsadüfi dəyişənin qiyməti ola bilmək mənasında bu seqmentdəki digər ədədlərdən üstünlüyü yoxdursa.
Vahid paylanmaya malik olan təsadüfi dəyişənlərə dayanacaqda nəqliyyatın gözləmə müddəti (sabit trafik intervalı ilə, gözləmə müddəti bu intervalda bərabər paylanır), ədədi tam ədədə yuvarlaqlaşdırma xətası (vahid şəkildə) kimi dəyərlər daxildir. [−0,5] üzərində paylanmışdır , 0.5 ]) və qeyriləri.
Paylanma funksiyasının növü F(x)
a,
b] təsadüfi dəyişən X məlum ehtimal sıxlığı ilə axtarılır f(x)
onların əlaqə formulundan istifadə etməklə 
. Müvafiq hesablamalar nəticəsində paylanma funksiyası üçün aşağıdakı düsturu alırıq F(x)
vahid paylanmış seqment [ a,
b] təsadüfi dəyişən X
:
.
Rəqəmlər ehtimal sıxlığı qrafiklərini göstərir f(x) və paylama funksiyaları f(x) vahid paylanmış seqment [ a, b] təsadüfi dəyişən X :
Gözləmə, dispersiya, standart kənarlaşma, vahid paylanmış seqmentin rejimi və medianı [ a, b] təsadüfi dəyişən X ehtimal sıxlığı ilə hesablanır f(x) adi şəkildə (və sadəcə olaraq sadə növü f(x) ). Nəticə aşağıdakı düsturlardır:
və moda d(X) intervalda istənilən ədəddir [ a, b].
Gəlin bərabər paylanmış seqmentə dəymə ehtimalını tapaq [ a,
b] təsadüfi dəyişən X intervalda 
, tamamilə içəridə uzanan [ a,
b]. Paylanma funksiyasının məlum formasını nəzərə alaraq əldə edirik:
Beləliklə, vahid paylanmış seqmentə dəymə ehtimalı [ a,
b] təsadüfi dəyişən X intervalda 
, tamamilə içəridə uzanan [ a,
b], bu intervalın mövqeyindən asılı deyil, yalnız uzunluğundan asılıdır və bu uzunluqla düz mütənasibdir.
Misal. Avtobus intervalı 10 dəqiqədir. Avtobus dayanacağına gələn sərnişinin avtobusu 3 dəqiqədən az gözləməsi ehtimalı nədir? Bir avtobus üçün orta gözləmə müddəti nə qədərdir?
Normal paylama
Təbiət elmləri, iqtisadiyyat, psixologiya, sosiologiya, hərbi elmlər və s.-də bir çox təsadüfi dəyişənlər belə paylanmaya malik olduğundan, bu paylanma praktikada ən çox rast gəlinir və ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikada və onların tətbiqində müstəsna rol oynayır. Bu paylama məhdudlaşdırıcı qanundur və bir çox başqa paylama qanunları da buna (müəyyən təbii şəraitdə) yaxınlaşır. Normal paylanma qanunundan istifadə edərək, hər hansı bir təbiətə malik bir çox müstəqil təsadüfi amillərin təsirinə məruz qalan hadisələr və onların paylanmasının hər hansı qanunu da təsvir edilmişdir. Gəlin təriflərə keçək.
Davamlı təsadüfi kəmənə paylanmış adlanır normal qanun (və ya Gauss qanunu), əgər onun ehtimal sıxlığı formaya malikdirsə:
,
rəqəmlər haradadır A Və σ (σ>0 ) bu paylanmanın parametrləridir.
Artıq qeyd edildiyi kimi, Qaussun təsadüfi dəyişənlərin paylanması qanununun çoxsaylı tətbiqləri var. Bu qanuna əsasən, alətlərlə ölçmə xətaları, atış zamanı hədəfin mərkəzindən kənara çıxma, istehsal olunan hissələrin ölçüləri, insanların çəkisi və boyu, illik yağıntının miqdarı, yeni doğulan uşaqların sayı və daha çox şeylər paylanır.
Normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətin ehtimal sıxlığı üçün verilmiş düstur, deyildiyi kimi, iki parametrdən ibarətdir. A Və σ , və buna görə də bu parametrlərin dəyərlərindən asılı olaraq dəyişən funksiyalar ailəsini müəyyən edir. Normal paylanmanın ehtimal sıxlığına öyrənilən funksiyaların riyazi analizinin adi üsullarını və qrafiklərin tərtibini tətbiq etsək, aşağıdakı nəticələrə gəlmək olar.
onun əyilmə nöqtələridir.
Alınan məlumatlara əsasən, ehtimal sıxlığı qrafiki qururuq f(x) normal paylanma (bu, Qauss əyrisi adlanır - rəqəm).
Dəyişən parametrlərin necə təsir etdiyini öyrənək A Və σ Qauss əyrisinin formasına. Aydındır ki, (bunu normal paylanma sıxlığının düsturundan görmək olar) parametrin dəyişməsi Aəyrinin formasını dəyişmir, ancaq onun ox boyunca sağa və ya sola sürüşməsinə gətirib çıxarır X. Asılılıq σ daha çətin. Yuxarıdakı araşdırmadan aydın olur ki, maksimumun dəyəri və əyilmə nöqtələrinin koordinatları parametrdən necə asılıdır. σ . Bundan əlavə, hər hansı bir parametr üçün bunu nəzərə almalıyıq A Və σ Qauss əyrisi altındakı sahə 1-ə bərabər olaraq qalır (bu, ehtimal sıxlığının ümumi xassəsidir). Yuxarıdakılardan belə çıxır ki, artan parametrlə σ əyri daha düz olur və ox boyunca uzanır X. Şəkildə parametrin müxtəlif dəyərləri üçün Qauss əyriləri göstərilir σ (σ 1 < σ< σ 2 ) və eyni parametr dəyəri A.
Parametrlərin ehtimal mənasını öyrənək A Və σ
normal paylanma. Onsuz da nömrədən keçən şaquli xəttə nisbətən Qauss əyrisinin simmetriyasından A oxda X aydındır ki, orta qiymət (yəni riyazi gözlənti M(X)) normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətə bərabərdir A. Eyni səbəblərə görə rejim və median da a sayına bərabər olmalıdır. Müvafiq düsturlardan istifadə etməklə aparılan dəqiq hesablamalar bunu təsdiq edir. üçün yuxarıda yazılmış ifadədən istifadə etsək f(x)
dispersiya düsturu ilə əvəz edin 
, onda inteqralın (kifayət qədər mürəkkəb) hesablanmasından sonra cavabdakı nömrəni alırıq σ
2
. Beləliklə, təsadüfi dəyişən üçün X, normal qanuna uyğun olaraq paylanmış, aşağıdakı əsas ədədi xüsusiyyətlər əldə edilmişdir:
Buna görə də normal paylanmanın parametrlərinin ehtimal mənası A Və σ növbəti. Əgər r.v. XA Və σ A σ.
İndi paylama funksiyasını tapaq F(x)
təsadüfi dəyişən üçün X, ehtimal sıxlığı üçün yuxarıdakı ifadədən istifadə edərək normal qanuna görə paylanmışdır f(x)
və formula 
. Əvəz edərkən f(x)
nəticə “qəbul edilməmiş” inteqraldır. ifadəsini sadələşdirmək üçün edilə bilən hər şey F(x),
Bu funksiyanın təqdimatı belədir:
,
Harada F(x)- sözdə Laplas funksiyası, formasına malikdir
.
Laplas funksiyasının ifadə olunduğu inteqral da alınmır (lakin hər biri üçün X bu inteqral hər hansı əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəqiqliklə təxminən hesablana bilər). Bununla belə, onu hesablamağa ehtiyac yoxdur, çünki ehtimal nəzəriyyəsi üzrə hər hansı bir dərsliyin sonunda funksiyanın dəyərlərini təyin etmək üçün bir cədvəl var. F(x) verilmiş dəyərdə X. Aşağıda Laplas funksiyasının qəribəlik xassəsinə ehtiyacımız olacaq: Ф(−х)=−F(x) bütün nömrələr üçün X.
İndi normal paylanmış r.v olması ehtimalını tapaq. X müəyyən edilmiş ədədi intervaldan qiymət alacaq (α, β) . Paylanma funksiyasının ümumi xassələrindən Р(α< X< β)= F(β) − F(α) . Əvəz edən α Və β üçün yuxarıdakı ifadəyə F(x) , alırıq
.
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, əgər r.v. X parametrləri ilə normal paylanmışdır A Və σ , onda onun orta qiyməti olur A, və standart kənarlaşma bərabərdir σ. Buna görə də orta bu r.v dəyərlərinin sapması. nömrədən sınaqdan keçirildikdə A bərabərdir σ. Ancaq bu, orta sapmadır. Buna görə daha böyük sapmalar mümkündür. Orta dəyərdən müəyyən sapmaların nə qədər mümkün olduğunu öyrənək. Təsadüfi kəmiyyətin qiymətinin normal qanuna görə paylanması ehtimalını tapaq X onun orta dəyərindən kənara çıxır M(X)=a müəyyən δ ədədindən azdır, yəni. R(| X− a|<δ ): . Beləliklə,
.
Bu bərabərliyi əvəz etmək δ=3σ, ehtimalını əldə edirik ki, r.v. X(bir testdə) orta dəyərdən üç dəfədən az kənara çıxacaq σ (orta sapma ilə, xatırladığımız kimi, bərabərdir σ ): (məna F(3) Laplas funksiyasının qiymətləri cədvəlindən götürülmüşdür). Demək olar ki 1 ! Sonra əks hadisənin baş vermə ehtimalı (dəyərdən az olmayan sapma 3σ) bərabərdir 1 −0.997=0.003 , çox yaxındır 0 . Buna görə də bu hadisə "demək olar ki, qeyri-mümkündür" − çox nadir hallarda olur (orta hesabla 3 zaman aşımı 1000 ). Bu əsaslandırma məşhur “üç siqma qaydası”nın əsasını təşkil edir.
Üç siqma qaydası. Normal paylanmış təsadüfi dəyişən tək testdə-dən praktiki olaraq orta səviyyəsindən kənara çıxmır 3σ.
Bir daha vurğulayaq ki, söhbət bir sınaqdan gedir. Təsadüfi dəyişənin bir çox testi varsa, onun bəzi dəyərlərinin ortadan daha irəli getməsi olduqca mümkündür. 3σ. Bu, aşağıdakılarla təsdiqlənir
Misal. Normal paylanmış təsadüfi dəyişənin 100 sınaqda olma ehtimalı nədir X onun dəyərlərindən heç olmasa biri orta göstəricidən standart sapmanın üç qatından çox kənara çıxacaqmı? Bəs 1000 test?
Həll. Hadisə olsun A təsadüfi dəyişəni sınaqdan keçirərkən deməkdir X onun dəyəri orta göstəricidən çox kənara çıxıb 3σ. Bu hadisənin baş vermə ehtimalı indicə aydınlaşdırıldığı kimi p=P(A)=0,003. 100 belə sınaq keçirilib. Hadisənin olma ehtimalını öyrənməliyik A baş verdi ən azı dəfə, yəni. dan gəldi 1 əvvəl 100 bir dəfə. Bu, parametrləri ilə tipik bir Bernoulli dövrə problemidir n=100 (müstəqil sınaqların sayı), p=0,003(hadisə ehtimalı A bir sınaqda) q=1− səh=0.997 . Tapmaq lazımdır R 100 (1≤ k≤100) . IN bu halda, əlbəttə ki, əvvəlcə əks hadisənin baş vermə ehtimalını tapmaq daha asandır R 100 (0) − hadisənin baş vermə ehtimalı A bir dəfə belə baş vermədi (yəni 0 dəfə oldu). Hadisənin özünün ehtimalları ilə onun əksi arasındakı əlaqəni nəzərə alaraq, əldə edirik:
O qədər də az deyil. Bu baş verə bilər (orta hesabla hər dördüncü belə test seriyasında baş verir). At 1000 eyni sxemdən istifadə edərək testlər, ən azı bir sapma ehtimalının daha çox olduğunu əldə etmək olar. 3σ, bərabərdir: . Beləliklə, biz böyük inamla ən azı bir belə sapma gözləyə bilərik.
Misal. Müəyyən bir yaş qrupundakı kişilərin boyu riyazi gözlənti ilə normal şəkildə paylanır a, və standart sapma σ . Kostyumların nisbəti k artım müəyyən bir yaş qrupu üçün ümumi istehsala daxil edilməlidir, əgər k Artım aşağıdakı məhdudiyyətlərlə müəyyən edilir:
1 hündürlük : 158 − 164 sm 2 hündürlük : 164 − 170 sm 3 hündürlük : 170 − 176 sm 4 hündürlük : 176 − 182 sm
Həll. Problemi aşağıdakı parametr dəyərləri ilə həll edək: a=178,σ=6,k=3
. Qoy r.v. X
−
təsadüfi seçilmiş kişinin boyu (verilmiş parametrlərlə normal paylanır). Gəlin təsadüfi seçilmiş bir insanın ehtiyac duyacağı ehtimalını tapaq 3
-ci hündürlük. Laplas funksiyasının qəribəliyindən istifadə F(x) və onun dəyərləri cədvəli: P(170
Bu məsələ uzun müddət ətraflı şəkildə öyrənilmiş və ən çox istifadə edilən üsul 1958-ci ildə Corc Box, Mervyn Muller və George Marsaglia tərəfindən təklif edilən qütb koordinat metodudur. Bu üsul aşağıdakı kimi riyazi gözlənti 0 və dispersiya 1 olan müstəqil normal paylanmış təsadüfi dəyişənlər cütünü əldə etməyə imkan verir:
Burada Z 0 və Z 1 arzu olunan qiymətlərdir, s = u 2 + v 2, u və v isə (-1, 1) intervalında bərabər paylanmış təsadüfi dəyişənlərdir, 0 şərti təmin ediləcək şəkildə seçilmişdir.< s < 1.
Bir çox insanlar bu düsturları düşünmədən istifadə edir və bir çoxları hazır tətbiqlərdən istifadə etdikləri üçün onların mövcudluğundan belə şübhələnmirlər. Ancaq sualları olan insanlar var: “Bu formula haradan gəldi? Bəs niyə birdən bir neçə miqdar alırsan?” Sonra bu suallara aydın cavab verməyə çalışacağam.
Başlamaq üçün sizə ehtimal sıxlığının, təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasının və tərs funksiyanın nə olduğunu xatırlatdım. Tutaq ki, müəyyən bir təsadüfi dəyişən var, onun paylanması f(x) sıxlıq funksiyası ilə müəyyən edilir, onun aşağıdakı forması var:
Bu o deməkdir ki, verilmiş təsadüfi dəyişənin dəyərinin (A, B) intervalında olma ehtimalı kölgəli sahənin sahəsinə bərabərdir. Nəticədə, bütün kölgə sahəsinin sahəsi birinə bərabər olmalıdır, çünki hər halda təsadüfi dəyişənin dəyəri f funksiyasının təyini sahəsinə düşəcəkdir.
Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası sıxlıq funksiyasının inteqralıdır. Və bu halda onun təxmini görünüşü belə olacaq:
Buradakı məna odur ki, təsadüfi dəyişənin dəyəri B ehtimalı ilə A-dan kiçik olacaq. Nəticədə funksiya heç vaxt azalmır və onun dəyərləri intervalda olur.
Tərs funksiya, orijinal funksiyanın dəyəri ona ötürülürsə, orijinal funksiyaya arqument qaytaran funksiyadır. Məsələn, x 2 funksiyası üçün tərs kökün çıxarılması funksiyasıdır, sin(x) üçün arcsin(x) və s.
Əksər psevdor-təsadüfi ədəd generatorları çıxış kimi yalnız vahid paylama istehsal etdiyinə görə, çox vaxt onu başqa birinə çevirməyə ehtiyac var. Bu halda, normal Gauss üçün:
Vahid paylanmanı hər hansı digərinə çevirmək üçün bütün üsulların əsası tərs çevrilmə üsuludur. Aşağıdakı kimi işləyir. Tələb olunan paylanma funksiyasına tərs olan funksiya tapılır və arqument kimi ona (0, 1) intervalında bərabər paylanmış təsadüfi kəmiyyət verilir. Çıxışda tələb olunan paylama ilə bir dəyər əldə edirik. Aydınlıq üçün aşağıdakı şəkli təqdim edirəm.
Beləliklə, vahid bir seqment, sanki, yeni paylanmaya uyğun olaraq ləkələnir, tərs funksiya vasitəsilə başqa oxa proqnozlaşdırılır. Ancaq problem ondadır ki, Qauss paylanmasının sıxlığının inteqralını hesablamaq asan deyil, ona görə də yuxarıdakı alimlər aldatmağa məcbur oldular.
k müstəqil normal təsadüfi dəyişənlərin kvadratlarının cəminin paylanması olan X-kvadrat paylanması (Pirson paylanması) mövcuddur. Və k = 2 olduqda, bu paylanma eksponensialdır.
Bu o deməkdir ki, düzbucaqlı koordinat sistemindəki bir nöqtənin təsadüfi X və Y koordinatları normal paylanmışdırsa, bu koordinatları qütb sisteminə çevirdikdən sonra (r, θ), radiusun kvadratı (mənşədən nöqtəyə qədər olan məsafə) radiusun kvadratı koordinatların kvadratlarının cəmi olduğundan (Pifaqor qanununa görə) eksponensial qanuna görə paylanacaq. Təyyarədə bu cür nöqtələrin paylanma sıxlığı belə olacaq:
Bütün istiqamətlərdə bərabər olduğundan, θ bucağı 0 ilə 2π aralığında vahid paylanmaya malik olacaqdır. Bunun əksi də doğrudur: iki müstəqil təsadüfi dəyişəndən (birbucaqlı paylanmış bucaq və eksponent olaraq paylanmış radius) istifadə edərək, qütb koordinat sistemində bir nöqtəni təyin etsəniz, bu nöqtənin düzbucaqlı koordinatları müstəqil normal təsadüfi dəyişənlər olacaqdır. Eyni tərs çevrilmə metodundan istifadə edərək vahid birdən eksponensial paylanma əldə etmək daha asandır. Polar Box-Muller metodunun mahiyyəti budur.
İndi düsturları əldə edək.
(1)
r və θ-ı əldə etmək üçün (0, 1) intervalında bərabər paylanmış iki təsadüfi kəmiyyət yaratmaq lazımdır (onları u və v adlandıraq), onlardan birinin paylanması (deyək v) eksponensialına çevrilməlidir. radiusunu əldə edin. Eksponensial paylama funksiyası belə görünür:
Onun tərs funksiyası:
Vahid paylanma simmetrik olduğundan, çevrilmə funksiya ilə eyni şəkildə işləyəcək
Xi-kvadrat paylanma düsturundan belə çıxır ki, λ = 0,5. Bu funksiyaya λ, v əvəz edin və radiusun kvadratını, sonra isə radiusun özünü alın:
Vahid seqmenti 2π-ə uzatmaqla bucağı əldə edirik:
İndi r və θ-i düsturlarda (1) əvəz edirik və əldə edirik:
(2)
Bu düsturlar artıq istifadəyə hazırdır. X və Y müstəqil olacaq və dispersiya 1 və riyazi gözlənti 0 ilə normal paylanacaq. Digər xüsusiyyətlərə malik paylanma əldə etmək üçün funksiyanın nəticəsini standart kənara vurmaq və riyazi gözləntiləri əlavə etmək kifayətdir.
Amma dairədəki təsadüfi nöqtənin düzbucaqlı koordinatları vasitəsilə bucağı birbaşa deyil, dolayısı ilə təyin etməklə triqonometrik funksiyalardan xilas olmaq olar. Sonra bu koordinatlar vasitəsilə radius vektorunun uzunluğunu hesablamaq, sonra isə müvafiq olaraq x və y-ni ona bölməklə kosinusu və sinusunu tapmaq mümkün olacaq. Necə və niyə işləyir?
Gəlin vahid radiuslu dairədə bərabər paylanmış nöqtələrdən təsadüfi bir nöqtə seçək və bu nöqtənin radius vektorunun uzunluğunun kvadratını s hərfi ilə işarə edək:
Seçim (-1, 1) intervalında bərabər paylanmış təsadüfi düzbucaqlı x və y koordinatlarını göstərməklə və dairəyə aid olmayan nöqtələri, həmçinin radius vektorunun bucağının düşdüyü mərkəzi nöqtəni silməklə aparılır. müəyyən edilmir. Yəni 0 şərti yerinə yetirilməlidir< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Məqalənin əvvəlində olduğu kimi düsturları alırıq. Bu metodun dezavantajı odur ki, o, dairəyə daxil olmayan nöqtələri atır. Yəni yaradılan təsadüfi dəyişənlərin yalnız 78,5%-ni istifadə etməklə. Köhnə kompüterlərdə triqonometriya funksiyalarının olmaması hələ də böyük üstünlük idi. İndi bir prosessor əmri həm sinusu, həm də kosinusu bir anda hesablayanda, məncə, bu üsullar hələ də rəqabət apara bilər.
Şəxsən mənim hələ iki sualım var:
- Niyə s dəyəri bərabər paylanır?
- Nə üçün iki normal təsadüfi dəyişənin kvadratlarının cəmi eksponensial şəkildə paylanır?
Normal təsadüfi dəyişən üçün oxşar çevrilmə aparılarsa, onun kvadratının sıxlıq funksiyası hiperbolaya bənzəyir. Normal təsadüfi dəyişənlərin iki kvadratının əlavə edilməsi ikiqat inteqrasiya ilə əlaqəli daha mürəkkəb bir prosesdir. Nəticənin eksponensial paylanma olması faktını şəxsən mən yalnız praktiki metoddan istifadə edərək yoxlamalı və ya aksioma kimi qəbul etməliyəm. Maraqlananlara isə bu kitablardan bilik əldə edərək mövzuya daha yaxından nəzər salmağı təklif edirəm:
- Ventzel E.S. Ehtimal nəzəriyyəsi
- Knut D.E. Proqramlaşdırma sənəti, 2-ci cild
Yekun olaraq JavaScript-də normal paylanmış təsadüfi ədəd generatorunun tətbiqi nümunəsidir:
Funksiya Gauss() ( var hazır = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == müəyyən edilməmiş ? 0.0: mean; dev = dev == müəyyən edilməmiş ? 1.0: dev; əgər ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Riyaziyyat. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(lar) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // obyekt yaradın a = g.next(); // bir cüt dəyər yaradın və birincisini əldə edin b = g.next(); // ikinci alın c = g.next(); // yenidən bir cüt dəyər yaradın və birincisini əldə edin
Orta (riyazi gözlənti) və dev (standart sapma) parametrləri isteğe bağlıdır. Loqarifmin təbii olmasına diqqətinizi çəkirəm.
