Mühazirə: kəsişən, paralel və kəsişən xətlər; xətlərin perpendikulyarlığı

Kesişən xətlər

Bir müstəvidə bir neçə düz xətt varsa, gec-tez onlar ya özbaşına, ya da düz bucaq altında kəsişəcək, ya da paralel olacaqlar. Gəlin hər bir işə baxaq.

Ən azı bir kəsişmə nöqtəsi olan xətləri kəsişən adlandırmaq olar.

Siz soruşa bilərsiniz ki, niyə ən azı bir düz xətt digər düz xətti iki və ya üç dəfə kəsə bilmir? Sən haqlısan! Ancaq düz xətlər bir-biri ilə tamamilə üst-üstə düşə bilər. Bu vəziyyətdə sonsuz sayda ümumi nöqtələr olacaqdır.

Paralellik

Paralel Heç vaxt kəsişməyən xətləri, hətta sonsuzluqda belə adlandıra bilərsiniz.

Başqa sözlə, paralellik vahid ortaq nöqtəyə malik olmayanlardır. Nəzərə alın ki, bu tərif yalnız xətlər eyni müstəvidə olduqda etibarlıdır, lakin onların ümumi nöqtələri yoxdursa, müxtəlif müstəvilərdə olurlarsa, kəsişən hesab olunurlar.

Həyatda paralel xətlərin nümunələri: monitor ekranının iki əks kənarı, noutbuklardakı xətlər, eləcə də kvadrat, düzbucaqlı və digər formaları olan əşyaların bir çox digər hissələri.

Bir xəttin digərinə paralel olduğunu yazılı şəkildə göstərmək istədikdə aşağıdakı a||b qeydindən istifadə edirlər. Bu girişdə deyilir ki, a xətti b xəttinə paraleldir.

Bu mövzunu öyrənərkən daha bir ifadəni başa düşmək vacibdir: müstəvidə verilmiş xəttə aid olmayan müəyyən bir nöqtə vasitəsilə tək paralel xətt çəkmək olar. Ancaq diqqət yetirin, yenidən düzəliş təyyarədədir. Əgər üçölçülü məkanı nəzərə alsaq, onda kəsişməyəcək, amma kəsişəcək sonsuz sayda xətlər çəkə bilərik.

Yuxarıda təsvir edilən bəyanat deyilir paralel xətlərin aksiomu.

Perpendikulyarlıq

Birbaşa xətlər yalnız əgər çağırıla bilər perpendikulyar, əgər onlar 90 dərəcəyə bərabər bir açı ilə kəsişirlərsə.

Kosmosda, xəttin müəyyən bir nöqtəsi vasitəsilə sonsuz sayda perpendikulyar xətlər çəkilə bilər. Ancaq bir təyyarədən danışırıqsa, onda bir xəttin bir nöqtəsi vasitəsilə tək bir perpendikulyar xətt çəkə bilərsiniz.

Keçidilmiş düz xətlər. Sekant

Bəzi xətlər müəyyən bir nöqtədə ixtiyari bir açı ilə kəsişirsə, onları çağırmaq olar çarpazlaşma.

İstənilən kəsişən xətlər şaquli və bitişik açılara malikdir.

İki kəsişən düz xəttin əmələ gətirdiyi bucaqların bir ümumi tərəfi varsa, onlara bitişik deyilir:

Bitişik açılar 180 dərəcəyə qədər toplanır.

Teorem. Əgər bir xətt verilmiş müstəvidə yerləşirsə və başqa bir xətt bu müstəvini birinci xəttə aid olmayan nöqtədə kəsirsə, bu iki xətt kəsişir. Keçid xətlərinin işarəsi Sübut. Qoy a xətti müstəvidə olsun, b xətti isə a xəttinə aid olmayan B nöqtəsində müstəvi ilə kəsilsin. Əgər a və b xətləri eyni müstəvidə yerləşirsə, onda B nöqtəsi də bu müstəvidə yerləşəcək. Lakin o zaman b düz xətti müstəvidə uzanacaq və bu şərtə ziddir. Nəticədə, a və b düz xətləri eyni müstəvidə yatmır, yəni. qarışmaq.

Düzgün üçbucaqlı prizmanın kənarlarını ehtiva edən neçə cüt əyri xətt var? Həlli: Əsasların hər bir kənarı üçün onunla kəsişən üç kənar var. Hər bir yan kənar üçün onunla kəsişən iki qabırğa var. Buna görə də, lazımi sayda əyri xətt cütləri 5-ci məşqdir

Düz altıbucaqlı prizmanın kənarlarını ehtiva edən neçə cüt əyri xətt var? Həlli: Əsasların hər bir kənarı 8 cüt kəsişmə xəttində iştirak edir. Hər bir yan kənar 8 cüt kəsişmə xəttində iştirak edir. Buna görə də, lazımi sayda əyri xətt cütləri 6-cı işdir

İki xəttin fəzada nisbi mövqeyi.

İki xəttin fəzada nisbi mövqeyi aşağıdakı üç ehtimalla xarakterizə olunur.

Xətlər eyni müstəvidə yerləşir və ortaq nöqtələri yoxdur - paralel xətlər.

Xətlər eyni müstəvidə yerləşir və bir ümumi nöqtəyə malikdir - xətlər kəsişir.

Kosmosda iki düz xətt də elə yerləşdirilə bilər ki, onlar heç bir müstəvidə yatmasınlar. Belə xətlər əyri adlanır (onlar kəsişmir və ya paraleldirlər).

MÜSƏL:

PROBLEM 434 ABC üçbucağı müstəvidə yerləşir, a

ABC üçbucağı müstəvidə yerləşir, lakin D nöqtəsi bu müstəvidə deyil. M, N və K nöqtələri müvafiq olaraq DA, DB və DC seqmentlərinin orta nöqtələridir

Teorem.Əgər iki xəttdən biri müəyyən müstəvidə yerləşirsə, digəri isə bu müstəvini birinci xəttdə olmayan bir nöqtədə kəsirsə, bu xətlər kəsişir.

Şəkildə. 26 a düz xətti müstəvidə yerləşir və c düz xətti N nöqtəsində kəsişir. a və c xətləri kəsişir.

Teorem.İki kəsişən xəttin hər birindən digər xəttə paralel yalnız bir müstəvi keçir.

Şəkildə. 26 a və b xətti kəsişir. Düz xətt çəkilir və müstəvi çəkilir (alfa) || b (B müstəvisində (beta) a1 || b düz xətti göstərilir).

Teorem 3.2.

Üçüncüyə paralel iki xətt paraleldir.

Bu əmlak adlanır keçidlilik xətlərin paralelliyi.

Sübut

a və b xətləri eyni zamanda c xəttinə paralel olsun. Fərz edək ki, a b-yə paralel deyil, onda a xətti b xəttini şərtlə c xəttində olmayan A nöqtəsində kəsir. Nəticə etibarilə, verilmiş c xəttində olmayan və eyni zamanda ona paralel olan A nöqtəsindən keçən iki a və b xəttimiz var. Bu, 3.1 aksiomuna ziddir. Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 3.3.

Verilmiş xətt üzərində olmayan bir nöqtə vasitəsilə verilənə paralel bir və yalnız bir xətt çəkilə bilər.

Sübut

(AB) verilmiş xətt, C üzərində olmayan nöqtə olsun. AC xətti təyyarəni iki yarım müstəviyə ayırır. B nöqtəsi onlardan birində yerləşir. Aksioma 3.2-yə uyğun olaraq, C A şüasından bucağa (CAB) bərabər olan bucağı (ACD) başqa yarımmüstəviyə qoymaq olar. ACD və CAB AB və CD xətləri və sekant (AC) ilə bərabər daxili çarpazdır. Sonra Teorem 3.1 (AB) ilə || (CD). Aksiom 3.1 nəzərə alınmaqla. Teorem sübut edilmişdir.

Paralel xətlərin xassəsi Teorem 3.1-in əksinə aşağıdakı teoremlə verilir.

Teorem 3.4.

İki paralel xətt üçüncü xətt ilə kəsişirsə, kəsişən daxili bucaqlar bərabərdir.

Sübut

Qoy (AB) || (CD). Fərz edək ki, ACD ≠ BAC. A nöqtəsi vasitəsilə AE düz xətti çəkirik ki, EAC = ACD olsun. Lakin sonra Teorem 3.1 (AE ) ilə || (CD) və şərtlə – (AB) || (CD). 3.2 (AE ) teoreminə uyğun olaraq || (AB). Bu, 3.3 teoremi ilə ziddiyyət təşkil edir, ona görə CD xətti üzərində olmayan A nöqtəsi vasitəsilə ona paralel unikal xətt çəkmək olar. Teorem sübut edilmişdir.

Şəkil 3.3.1.

Bu teoremə əsaslanaraq, aşağıdakı xassələri asanlıqla əsaslandırmaq olar.

İki paralel xətt üçüncü xətt ilə kəsişirsə, müvafiq açılar bərabərdir.

Əgər iki paralel xətt üçüncü xətt ilə kəsişirsə, onda daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir.

Nəticə 3.2.

Bir xətt paralel xətlərdən birinə perpendikulyardırsa, o, digərinə də perpendikulyardır.

Paralellik konsepsiyası 11-ci fəsildə daha sonra lazım olacaq aşağıdakı yeni konsepsiyanı təqdim etməyə imkan verir.

İki şüa deyilir bərabər istiqamətləndirilir, elə bir xətt varsa, birincisi, onlar bu xəttə perpendikulyardırlar, ikincisi, şüalar bu xəttə nisbətən eyni yarımmüstəvidə yerləşir.

İki şüa deyilir əks istiqamətə yönəldilib, əgər onların hər biri digərini tamamlayan şüa ilə bərabər istiqamətləndirilirsə.

Eyni istiqamətlənmiş AB və CD şüalarını və əks istiqamətli AB və CD şüalarını işarə edəcəyik -

Şəkil 3.3.2.

Keçid xətlərinin işarəsi.

Əgər iki xəttdən biri müəyyən müstəvidə yerləşirsə, digər xətt isə bu müstəvini birinci xəttdə olmayan bir nöqtədə kəsirsə, bu xətlər kəsişir.

Kosmosda xətlərin qarşılıqlı düzülməsi halları.

1. Kosmosda iki xəttin düzülməsinin dörd fərqli halı var:

   
   

   – düz kəsişənlər, yəni. eyni müstəvidə yatmayın;

   – düz xətlər kəsişir, yəni. eyni müstəvidə yatmaq və bir ümumi nöqtəyə sahib olmaq;

   - paralel xətlər, yəni. eyni müstəvidə yatmaq və kəsişməmək;

   - xətlər üst-üstə düşür.

   
   

   Kanonik tənliklərlə verilmiş xətlərin nisbi mövqeyinin bu hallarının əlamətlərini əldə edək

   
   
   Harada - xətlərə aid olan nöqtələr Və müvafiq olaraq, a— istiqamət vektorları (şək. 4.34). ilə işarə edəkverilmiş nöqtələri birləşdirən vektor.
   
   

   Aşağıdakı xüsusiyyətlər yuxarıda sadalanan xətlərin nisbi mövqeyi hallarına uyğundur:

   
   

   – düz və kəsişən vektorlar koplanar deyil;

   
   

   – düz xətlər və kəsişən vektorlar koplanardır, lakin vektorlar kollinear deyil;

   
   

   – düz və paralel vektorlar kollinear, lakin vektorlar kollinear deyil;

   
   

   – düz xətlər və üst-üstə düşən vektorlar kollineardır.

   
   

   Bu şərtlər qarışıq və vektor məhsullarının xassələrindən istifadə etməklə yazıla bilər. Xatırladaq ki, düzgün düzbucaqlı koordinat sistemindəki vektorların qarışıq məhsulu düsturla tapılır:

   
   
   və determinant sıfırdır və onun ikinci və üçüncü sıraları mütənasib deyil, yəni.
   

   – təyinedicinin düz və paralel ikinci və üçüncü xətləri mütənasibdir, yəni. və ilk iki sətir mütənasib deyil, yəni.

   
   

   – düz xətlər və determinantın bütün xətləri üst-üstə düşür və mütənasibdir, yəni.

Əyri xətt testinin sübutu.

Əgər iki xətdən biri müstəvidə yerləşirsə, digəri isə bu müstəvini birinci xəttə aid olmayan nöqtədə kəsirsə, bu iki xətt kəsişir.

Sübut

a α-ya aid olsun, b α = A ilə kəsişir, A a-ya aid deyil (Şəkil 2.1.2). Tutaq ki, a və b xətləri kəsişmir, yəni kəsişir. Sonra a və b xətlərinin aid olduğu β müstəvisi mövcuddur. Bu müstəvidə β a xətti və A nöqtəsi yerləşir. a xətti və ondan kənarda yerləşən A nöqtəsi tək müstəvini təyin etdiyi üçün β = α olur. Lakin b β və b α-ya aid deyil, ona görə də β = α bərabərliyi mümkün deyil.

Əgər fəzada iki xəttin ortaq nöqtəsi varsa, bu iki xəttin kəsişdiyi deyilir. Aşağıdakı şəkildə a və b xətləri A nöqtəsində kəsişir. a və c xətləri kəsişmir.

İstənilən iki düz xəttin ya yalnız bir ortaq nöqtəsi var, ya da ortaq nöqtələri yoxdur.

Paralel xətlər

Fəzadakı iki xətt eyni müstəvidə yerləşirsə və kəsişmirsə, paralel adlanır. Paralel xətləri qeyd etmək üçün xüsusi işarədən istifadə edin - ||.

a||b işarəsi a xəttinin b xəttinə paralel olduğunu bildirir. Yuxarıda göstərilən şəkildə a və c xətləri paraleldir.

Paralel xətlər teoremi

Məkanda verilmiş xətt üzərində olmayan istənilən nöqtədən verilənə paralel və üstəlik yalnız bir xətt keçir.

Keçid xətləri

Eyni müstəvidə yerləşən iki xətt ya kəsişə bilər, ya da paralel ola bilər. Lakin kosmosda iki düz xəttin bu müstəviyə aid olması şərt deyil. Onlar iki fərqli müstəvidə yerləşə bilər.

Aydındır ki, müxtəlif müstəvilərdə yerləşən xətlər kəsişmir və paralel xətlər deyil. Eyni müstəvidə olmayan iki xətt deyilir düz xətləri keçmək.

Aşağıdakı şəkildə müxtəlif müstəvilərdə yerləşən iki kəsişən a və b düz xətti göstərilir.

Əyri xətlər üzərində test və teorem

Əgər iki xəttdən biri müəyyən müstəvidə yerləşirsə, digər xətt isə bu müstəvini birinci xəttdə olmayan bir nöqtədə kəsirsə, bu xətlər kəsişir.

Əyri xətlər haqqında teorem: kəsişən iki xəttin hər birindən digər xəttə paralel bir müstəvi və üstəlik yalnız bir müstəvi keçir.

Beləliklə, xətlərin fəzada nisbi mövqelərinin bütün mümkün hallarını nəzərdən keçirdik. Onlardan yalnız üçü var.

1. Xətlər kəsişir. (Yəni, onların yalnız bir ortaq nöqtəsi var.)

2. Xətlər paraleldir. (Yəni, onların ortaq nöqtələri yoxdur və eyni müstəvidə uzanırlar.)

3. Düz xətlər kəsişir. (Yəni onlar müxtəlif müstəvilərdə yerləşirlər.)