Məqsədlər:
- Mövzu üzrə bilik və bacarıqları sistemləşdirin və ümumiləşdirin: Üçüncü və dördüncü dərəcəli tənliklərin həlli.
- Bəzilərinin növü və ya həll üsulu ilə tanış olmayan bir sıra tapşırıqları yerinə yetirməklə biliklərinizi dərinləşdirin.
- Riyaziyyatın yeni fəsillərinin öyrənilməsi ilə riyaziyyata marağın formalaşdırılması, tənliklərin qrafiklərinin qurulması ilə qrafik mədəniyyətin tərbiyəsi.
Dərs növü: birləşdirilmiş.
Avadanlıq: qrafik proyektor.
Görünüş: Cədvəl "Viete teoremi".
Dərslər zamanı
1. Şifahi hesablama
a) p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 çoxhədlinin x-a binomuna bölünməsinin qalığı nə qədərdir?
b) Kub tənliyinin neçə kökü ola bilər?
c) Üçüncü və dördüncü dərəcəli tənlikləri necə həll edirik?
d) Kvadrat tənlikdə b cüt ədəddirsə, D və x 1-in qiyməti neçəyə bərabərdir;
2. Müstəqil iş (qruplarda)
Köklər məlumdursa, tənliyi yazın (tapşırıqların cavabları kodlanır) “Vyeta teoremi” istifadə olunur
1 qrup
Köklər: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Tənlik qurun:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(bu tənlik daha sonra lövhədə 2-ci qrup tərəfindən həll edilir)
Həll . Tam kökləri 36 rəqəminin bölənləri arasında axtarırıq.
r = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 1 ədədi tənliyi ödəyir, ona görə də =1 tənliyin köküdür. Hornerin sxeminə görə
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 = -3, x 4 =6
Cavab: 1;-2;-3;6 köklərin cəmi 2 (P)
2-ci qrup
Köklər: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
Tənlik qurun:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (3-cü qrup bu tənliyi lövhədə həll edir)
r = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x 2 =5
Cavab: -1;2;2;5 köklərin cəmi 8(P)
3 qrup
Köklər: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
Tənlik qurun:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(4-cü qrup bu tənliyi daha sonra lövhədə həll edir)
Həll. 6 rəqəminin bölənləri arasında tam kök axtarırıq.
r = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
Cavab: -1;1;-2;3 Köklərin cəmi 1(O)
4 qrup
Köklər: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Tənlik qurun:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4+4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(bu tənlik daha sonra lövhədə 5-ci qrup tərəfindən həll edilir)
Həll. Tam kökləri -36 ədədinin bölənləri arasında axtarırıq
r = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Cavab: -2; -2; -3; 3 Köklərin cəmi-4 (F)
5 qrup
Köklər: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Tənlik yazın
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(bu tənlik daha sonra lövhədə 6-cı qrup tərəfindən həll edilir)
Həll . 24 rəqəminin bölənləri arasında tam kök axtarırıq.
r = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Cavab: -1;-2;-3;-4 cəm-10 (I)
6 qrup
Köklər: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Tənlik yazın
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (bu tənlik daha sonra lövhədə 1-ci qrup tərəfindən həll edilir)
Həll . Tam kökləri -24 ədədinin bölənləri arasında axtarırıq.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Cavab: 1;1;-3;8 cəmi 7 (L)
3. Parametrli tənliklərin həlli
1. x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 tənliyini həll edin; köklərdən biri (-1) bərabərdirsə
Cavabı artan sıra ilə yazın
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Şərtinə görə x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Cavab: - 1; -5; 3
Artan qaydada: -5;-1;3. (b N S)
2. x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 çoxhədlinin bütün köklərini tapın, əgər onun x-1 və x +2 binomlarına bölünməsindən qalıqlar bərabərdirsə.
Həlli: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Tənlik yazın
1 qrup. Köklər: -4; -2; 1; 7;
2-ci qrup. Köklər: -3; -2; 1; 2;
3 qrup. Köklər: -1; 2; 6; 10;
4 qrup. Köklər: -3; 2; 2; 5;
5 qrup. Köklər: -5; -2; 2; 4;
6 qrup. Köklər: -8; -2; 6; 7.
Bu yazıda biz biquadratik tənlikləri həll etməyi öyrənəcəyik.
Beləliklə, hansı növ tənliklər biquadratik adlanır?
Hamısı formanın tənlikləri ah 4+
bx
2
+
c
= 0
, Harada a ≠ 0, x 2-yə nisbətdə kvadrat olan və biquadratik adlanır tənliklər. Gördüyünüz kimi, bu giriş kvadrat tənliyin girişinə çox bənzəyir, ona görə də biz kvadrat tənliyi həll etmək üçün istifadə etdiyimiz düsturlardan istifadə edərək bikvadrat tənlikləri həll edəcəyik.
Yalnız yeni bir dəyişən təqdim etməmiz lazım olacaq, yəni işarə edirik x 2 başqa dəyişən, məsələn saat və ya t (və ya latın əlifbasının hər hansı digər hərfi).
Misal üçün, tənliyi həll edək x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.
işarə edək x 2
vasitəsilə saat
(x 2 = y
) və y 2 + 4y – 5 = 0 tənliyini alırıq.
Gördüyünüz kimi, bu cür tənlikləri necə həll edəcəyinizi artıq bilirsiniz.
Yaranan tənliyi həll edirik:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,
y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Gəlin x dəyişənimizə qayıdaq.
Biz tapdıq ki, x 2 = ‒ 5 və x 2 = 1.
Qeyd edək ki, birinci tənliyin həlli yoxdur, ikincisi isə iki həll verir: x 1 = 1 və x 2 = ‒1. Mənfi kökü itirməmək üçün diqqətli olun (çox vaxt onlar x = 1 cavabını alırlar, lakin bu düzgün deyil).
Cavab:- 1 və 1.
Mövzunu daha yaxşı başa düşmək üçün bir neçə misala baxaq.
Misal 1. Tənliyi həll edin 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.
Qoy x 2 = y, onda 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0 olsun.
D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.
Sonra x 2 = 1 və x 2 = 1.5.
Biz x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1,5, x 4 = √1,5 alırıq.
Cavab: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Misal 2. Tənliyi həll edin 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2y 2 + 5y + 2 =0.
D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.
Sonra x 2 = - 2 və x 2 = - 0,5. Nəzərə alın ki, bu tənliklərin heç birinin həlli yoxdur.
Cavab: həll yolları yoxdur.
Natamam bikvadrat tənliklər- nə vaxtdır b = 0 (ax 4 + c = 0) və ya c = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) natamam kvadrat tənliklər kimi həll edilir.
Misal 3. Tənliyi həll edin x 4 ‒ 25x 2 = 0
Faktorlara ayıraq, mötərizədə x 2 və sonra x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.
Biz x 2 = 0 və ya x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25 alırıq.
Sonra köklərimiz 0; 5 və - 5.
Cavab: 0; 5; – 5.
Misal 4. Tənliyi həll edin 5x 4 ‒ 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (həlli yoxdur)
x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.
Gördüyünüz kimi, kvadrat tənlikləri həll edə bilsəniz, bikvadrat tənlikləri də həll edə bilərsiniz.
Hələ suallarınız varsa, dərslərimə yazıl. Tərbiyəçi Valentina Qalinevskaya.
vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.
İki dəyişənli tənliklər anlayışı ilk dəfə 7-ci sinif riyaziyyat kursunda formalaşır. Bu tip tənliklərə gətirib çıxaran həll prosesi xüsusi problemlərə baxılır.
Lakin onlar kifayət qədər səthi şəkildə öyrənilir. Proqram iki naməlum olan tənliklər sistemlərinə diqqət yetirir.
Bu, tənliyin əmsallarına müəyyən məhdudiyyətlərin qoyulduğu problemlərin praktiki olaraq nəzərə alınmamasına səbəb oldu. “Natural və ya tam ədədlərdə tənliyi həll edin” kimi tapşırıqların həlli üsullarına kifayət qədər diqqət yetirilmir. Məlumdur ki, Vahid Dövlət İmtahan materiallarında və qəbul imtahanı biletlərində tez-tez belə məşqlər olur.
Hansı tənliklər iki dəyişənli tənliklər kimi müəyyən edilir?
xy = 8, 7x + 3y = 13 və ya x 2 + y = 7 iki dəyişənli tənliklərə misal ola bilər.
x – 4y = 16 tənliyini nəzərdən keçirək. Əgər x = 4 və y = -3 olarsa, bu, düzgün bərabərlik olacaqdır. Bu o deməkdir ki, bu dəyər cütü bu tənliyin həllidir.
İki dəyişənli hər hansı bir tənliyin həlli bu tənliyi təmin edən (onu həqiqi bərabərliyə çevirən) cüt ədədlər (x; y) çoxluğudur.
Tez-tez tənlik naməlumları tapmaq üçün bir sistem əldə etmək üçün istifadə oluna bilməsi üçün çevrilir.
Nümunələr
Tənliyi həll edin: xy – 4 = 4x – y.
Bu nümunədə faktorizasiya metodundan istifadə edə bilərsiniz. Bunu etmək üçün şərtləri qruplaşdırmaq və mötərizədə ümumi faktoru çıxarmaq lazımdır:
xy – 4 = 4x – y;
xy – 4 – 4x + y = 0;
(xy + y) – (4x + 4) = 0;
y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 4) = 0.
Cavab: Bütün cütlər (x; 4), burada x istənilən rasional ədəddir və (-1; y), burada y istənilən rasional ədəddir.
Tənliyi həll edin: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).
İlk addım qruplaşmadır.
4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;
4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;
(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.
Kvadrat fərq düsturunu tətbiq edərək, əldə edirik:
(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.
İki qeyri-mənfi ifadəni cəmləyərkən sıfır yalnız 2x – 1 = 0 və y + 1 = 0 olarsa nəticələnəcək. Buradan belə çıxır: x = ½ və y = -1.
Cavab: (1/2; -1).
(x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4 tənliyini həll edin.
Mötərizədə tam kvadratları vurğulayaraq qiymətləndirmə metodunu tətbiq etmək rasionaldır.
((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.
Bu halda (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, və (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Onda tənliyin sol tərəfi həmişə ən azı 4-dür. Bu halda bərabərlik mümkündür.
(x - 3) 2 + 1 = 1 və (y + 5) 2 + 4 = 4. Buna görə də x = 3, y = -5.
Cavab: (3; -5).
Tənliyi tam ədədlərlə həll edin: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.
Bu tənliyi aşağıdakı kimi yazmaq olar:
x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Bərabərliyin sağ tərəfi 5-ə bölünürsə, onda 3 qalıqdır. Buradan belə nəticə çıxır ki, x 2 5-ə bölünmür. Məlumdur ki, 5-ə bölünməyən ədədin kvadratından ya 1, ya da 4 qalıq qalmalıdır. Bu o deməkdir ki, tənliyin kökü yoxdur.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.
İki dəyişənli tənliyin düzgün həllini tapmaqda çətinlik çəkməyin. Əzm və təcrübə mütləq öz bəhrəsini verəcək.
Biz sizə rahat pulsuz təklif edirik kvadrat tənliklərin həlli üçün onlayn kalkulyator. Aydın nümunələrdən istifadə edərək onların necə həll edildiyini tez bir zamanda əldə edə və başa düşə bilərsiniz.
İstehsal kvadrat tənliyi onlayn həll edin, əvvəlcə tənliyi ümumi formasına gətirin:
ax 2 + bx + c = 0
Forma sahələrini müvafiq olaraq doldurun:
Kvadrat tənliyi necə həll etmək olar
| Kvadrat tənliyi necə həll etmək olar: | Kök növləri: |
|
1.
Kvadrat tənliyi ümumi formaya endirin: Ümumi görünüş Аx 2 +Bx+C=0 Misal: 3x - 2x 2 +1=-1 -2x 2 +3x+2=0 azaldın 2.
D diskriminantını tapın. 3.
Tənliyin köklərinin tapılması. |
1.
Həqiqi köklər. Üstəlik. x1 x2-ə bərabər deyil D>0 və A 0-a bərabər olmadıqda vəziyyət yaranır. 2.
Əsl köklər eynidir. x1 x2 bərabərdir 3.
İki mürəkkəb kök. x1=d+ei, x2=d-ei, burada i=-(1) 1/2 5.
Tənliyin saysız-hesabsız həlli var. 6.
Tənliyin həlli yoxdur. |
Alqoritmi birləşdirmək üçün burada daha bir neçəsi var kvadrat tənliklərin həlli üçün illüstrativ nümunələr.
Nümunə 1. Müxtəlif həqiqi kökləri olan adi kvadrat tənliyin həlli.
x 2 + 3x -10 = 0
Bu tənlikdə
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Kvadrat kökü 1/2 rəqəmi kimi göstərəcəyik!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
Yoxlamaq üçün əvəz edək:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Nümunə 2. Həqiqi kökləri uyğun gələn kvadrat tənliyin həlli.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Əvəz edək
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Nümunə 3. Mürəkkəb köklü kvadrat tənliyin həlli.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Diskriminant mənfidir - köklər mürəkkəbdir.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, burada I -1-in kvadrat köküdür
Kvadrat tənliklərin həllinin bütün mümkün halları buradadır.
Ümid edirik ki, bizim onlayn kalkulyator sizin üçün çox faydalı olacaq.
Material faydalı olsaydı, edə bilərsiniz
