Метод на Лагранж за решаване на екстремуми. Условна оптимизация

Метод на умножителя на Лагранже класически метод за решаване на задачи по математическо програмиране (по-специално, изпъкнало програмиране). За съжаление, практическото приложение на метода може да срещне значителни изчислителни затруднения, стесняващи обхвата на неговото използване. Тук разглеждаме метода на Лагранж главно защото това е апарат, който се използва активно за обосноваване на различни съвременни числени методи, които се използват широко в практиката. Що се отнася до функцията на Лагранж и множителите на Лагранж, те играят независима и изключителна функция важна роляв теорията и приложенията не само на математическото програмиране.

Помислете за проблема с класическата оптимизация

макс. (мин.) z=f(x) (7.20)

Този проблем се отличава от проблем (7.18), (7.19) по това, че сред ограниченията (7.21) няма неравенства, няма условия променливите да бъдат неотрицателни, тяхната дискретност и функциите f(x) са непрекъснати и имат частни производни поне от втори ред.

Класическият подход за решаване на задача (7.20), (7.21) дава система от уравнения ( необходимите условия), което трябва да бъде удовлетворено от точката x*, която осигурява на функцията f(x) локален екстремум върху множеството от точки, удовлетворяващи ограничения (7.21) (за проблема с изпъкнало програмиране, намерената точка x*, в съответствие с Теорема 7.6, ще бъде едновременно точката на глобалния екстремум).

Да приемем, че в точка x* функция (7.20) има локален условен екстремум и рангът на матрицата е равен на . Тогава необходимите условия ще бъдат записани във формата:

(7.22)

има функция на Лагранж; - Множители на Лагранж.

Съществуват и достатъчни условия, при които решението на системата от уравнения (7.22) определя точката на екстремума на функцията f(x). Този въпрос се решава въз основа на изследването на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж. Достатъчните условия обаче представляват предимно теоретичен интерес.

Можете да зададете следната процедура за решаване на задача (7.20), (7.21), като използвате метода на умножителя на Лагранж:

1) съставете функцията на Лагранж (7.23);

2) намерете частните производни на функцията на Лагранж по отношение на всички променливи и ги задайте равни на нула. Това ще доведе до система (7.22), състояща се от уравнения. Решете получената система (ако това се окаже възможно!) и по този начин намерете всички стационарни точки на функцията на Лагранж;

3) от стационарни точки, взети без координати, изберете точки, в които функцията f(x) има условни локални екстремуми при наличие на ограничения (7.21). Този избор се прави, например, с помощта достатъчни условия локален екстремум. Често изследването се опростява, ако се използват специфични условия на проблема.

Пример 7.3. Намерете оптималното разпределение на ограничен ресурс в единици. между n потребители, ако печалбата, получена от разпределянето на x j единици ресурс на j-тия потребител, се изчислява по формулата .

Решение.Математическият модел на задачата има следния вид:

Съставяме функцията на Лагранж:

.

Намираме частични производни на функцията на Лагранж и ги приравняваме към нула:

Решавайки тази система от уравнения, получаваме:

Така, ако на j-тия потребител са разпределени единици. ресурс, тогава общата печалба ще достигне максималната си стойност и ще възлиза на ден. единици

Разгледахме метода на Лагранж, приложен към класически оптимизационен проблем. Този метод може да се обобщи за случая, когато променливите са неотрицателни и някои ограничения са дадени под формата на неравенства. Това обобщение обаче е предимно теоретично и не води до конкретни изчислителни алгоритми.

В заключение, нека дадем икономическа интерпретация на множителите на Лагранж. За да направим това, нека се обърнем към най-простия класически проблем за оптимизация

макс. (мин.) z=f(х 1 , х 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7,25)

Да приемем, че условният екстремум е достигнат в точка . Съответната екстремна стойност на функцията f(х)

Да приемем, че в ограниченията (7.25) количеството bмогат да се променят, тогава координатите на екстремалната точка и следователно екстремната стойност е*функции f(х) ще станат количества в зависимост от b, т.е. ,и следователно производната на функция (7.24)

Разгледайте линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред:
(1) .
Има три начина за решаване на това уравнение:

• метод на вариация на константата (Лагранж).

Нека разгледаме решаването на линейно диференциално уравнение от първи ред с помощта на метода на Лагранж.

Метод на вариация на константата (Лагранж)

При вариацията на константния метод ние решаваме уравнението в две стъпки. На първия етап опростяваме оригинално уравнениеи решаване на хомогенното уравнение. На втория етап заместваме константата на интегриране, получена на първия етап от решението, с функция. След това търсим общо решениеоригинално уравнение.

Разгледайте уравнението:
(1)

Стъпка 1 Решаване на хомогенно уравнение

Търсим решение на хомогенното уравнение:

Това е разделимо уравнение

Разделяме променливите - умножение по dx, деление на y:

Нека интегрираме:

Интеграл върху y - табличен:

Тогава

Нека потенцираме:

Нека заменим константата e C с C и премахнем знака за модул, което се свежда до умножаване по константа ±1, които ще включим в C:

Стъпка 2 Заменете константата C с функцията

Сега нека заменим константата C с функция от x:
C → u (х)
Тоест ще търсим решение на първоначалното уравнение (1) като:
(2)
Намиране на производната.

Според правилото за диференциране на сложна функция:
.
Според правилото за диференциране на продукта:

.
Заместете в оригиналното уравнение (1) :
(1) ;

.
Двама членове са намалени:
;
.
Нека интегрираме:
.
Заместник в (2) :
.
В резултат на това получаваме общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред:
.

Пример за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред по метода на Лагранж

Решете уравнението

Решение

Решаваме хомогенното уравнение:

Разделяме променливите:

Умножете по:

Нека интегрираме:

Таблични интеграли:

Нека потенцираме:

Нека заменим константата e C с C и премахнем знаците за модула:

Оттук:

Нека заменим константата C с функция от x:
C → u (х)

Намиране на производната:
.
Заместете в оригиналното уравнение:
;
;
Или:
;
.
Нека интегрираме:
;
Решение на уравнението:
.

Име на параметъра	Значение
Тема на статията:	Метод на Лагранж.
Рубрика (тематична категория)	Математика

Намирането на полином означава определяне на стойностите на неговия коефициент . За да направите това, като използвате условието за интерполация, можете да формирате линейна система алгебрични уравнения(СЛАУ).

Детерминантата на този SLAE обикновено се нарича детерминанта на Вандермонд. Детерминантата на Vandermonde не е равна на нула за за , т.е. в случая, когато няма съвпадащи възли в справочната таблица. Въпреки това може да се твърди, че SLAE има решение и това решение е уникално. След решаване на SLAE и определяне на неизвестните коефициенти можете да конструирате интерполационен полином.

Полином, който отговаря на условията за интерполация, когато се интерполира по метода на Лагранж, се конструира под формата на линейна комбинация от полиноми от n-та степен:

Обикновено се наричат ​​полиноми основенполиноми. За да Полином на Лагранжудовлетворява условията за интерполация, изключително важно е неговите базисни полиноми да удовлетворяват следните условия:

За .

Ако тези условия са изпълнени, тогава за всеки имаме:

Освен това, изпълнението на посочените условия за базисните полиноми означава, че условията за интерполация също са изпълнени.

Нека определим вида на базисните полиноми въз основа на ограниченията, наложени върху тях.

1-во условие:при .

2-ро условие: .

И накрая, за основния полином можем да напишем:

След това, замествайки получения израз за базовите полиноми в оригиналния полином, получаваме крайната форма на полинома на Лагранж:

Конкретна форма на полинома на Лагранж при обикновено се нарича формула за линейна интерполация:

.

Полиномът на Лагранж, взет при обикновено се нарича формула за квадратична интерполация:

Метод на Лагранж. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "метод на Лагранж". 2017 г., 2018 г.

- Метод на Лагранж (метод на вариация на произволна константа).

Линейни дистанционни управления. Определение. тип DU, т.е. линейна по отношение на неизвестна функция и нейната производна се нарича линейна. За решение от този тип ще разгледаме два метода: метода на Лагранж и метода на Бернули. Това уравнение е с разделими променливи.

- Линейни системи за управление, хомогенни и разнородни. Понятието общо решение. Метод на Лагранж за изменение на производствените константи.

Определение. Една управляваща система се нарича хомогенна, ако функцията може да бъде представена като връзката между нейните аргументи. П-извикан съм хомогенен fthизмервания, ако Примери: 1) - 1-ви ред на хомогенност. 2) - 2-ри ред на хомогенност. 3) - нулев порядък на хомогенност (просто хомогенен... .

- Лекция 8. Приложение на частни производни: екстремни задачи. Метод на Лагранж.

Има екстремни проблеми голямо значениев икономически изчисления. Това е изчислението, например, на максимален доход, печалба, минимални разходи в зависимост от няколко променливи: ресурси, производствени активи и др. Теорията за намиране на екстремуми на функции... .

- Т.2.3. DE от по-високи порядки. Уравнение в общите диференциали. Т.2.4. Линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. Метод на Лагранж.

3. 2. 1. DE с разделими променливи S.R. 3. В природните науки, технологиите и икономиката често трябва да се работи с емпирични формули, т.е. формули, съставени въз основа на обработка на статистически данни или...

МЕТОД НА ЛАГРАНЖ

Метод за редуциране на квадратна форма до сума от квадрати, посочен през 1759 г. от J. Lagrange. Нека се даде

от променливи x 0 , х 1 ,..., x p. с коефициенти от полето кхарактеристики Изисква се да се приведе тази форма до каноничната. ум

използвайки неизродена линейна трансформация на променливи. L. m се състои от следното. Можем да приемем, че не всички коефициенти на форма (1) са равни на нула. Следователно са възможни два случая.

1) За някои g,диагонал Тогава

където формата f 1 (x) не съдържа променлива x g . 2) Ако всичко Но Че

където формата f 2 (x) не съдържа две променливи x gИ x h .Формите под квадратните знаци в (4) са линейно независими. Чрез прилагане на трансформации на формата (3) и (4), форма (1) след краен брой стъпки се свежда до сумата от квадратите на линейно независими линейни форми. Използвайки частни производни, формули (3) и (4) могат да бъдат записани във формата

Лит.: G a n t m a k h e r F. Р.,Теория на матриците, 2 изд., М., 1966; K u r o sh A. G., Курс по висша алгебра, 11 изд., М., 1975; Александров П.С., Лекции по аналитична геометрия..., М., 1968. И. В. Проскуряков.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "МЕТОДЪТ НА LAGRANGE" в други речници:

Метод на Лагранж- Методът на Лагранж е метод за решаване на редица класове проблеми с математическото програмиране чрез намиране на седловата точка (x*, λ*) на функцията на Лагранж, което се постига чрез приравняване на нула на частните производни на тази функция по отношение на ..... Икономически и математически речник

Метод на Лагранж- Метод за решаване на редица класове задачи по математическо програмиране чрез намиране на седловата точка (x*, ?*) на функцията на Лагранж, което се постига чрез приравняване на частните производни на тази функция по отношение на xi и?i на нула . Вижте Лагранж. )