8-এ সমস্যা সমাধান। আমি

লক্ষ্য:

• শিক্ষামূলক: মৌলিক সূত্র এবং পার্থক্যের নিয়মগুলি পুনরাবৃত্তি করুন, ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ; দক্ষতা গঠন জটিল আবেদনজ্ঞান, দক্ষতা, ক্ষমতা এবং নতুন পরিস্থিতিতে তাদের স্থানান্তর; ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য এই বিষয়ে শিক্ষার্থীদের জ্ঞান, দক্ষতা এবং ক্ষমতা পরীক্ষা করুন।
• উন্নয়নমূলকমানসিক ক্রিয়াকলাপগুলির বিকাশকে উত্সাহিত করুন: বিশ্লেষণ, সংশ্লেষণ, সাধারণীকরণ; আত্মসম্মান দক্ষতা গঠন।
• শিক্ষামূলক: একজনের জ্ঞানের ক্রমাগত উন্নতির আকাঙ্ক্ষাকে প্রচার করুন

সরঞ্জাম:

• মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর।

পাঠের ধরন:পদ্ধতিগতকরণ এবং সাধারণীকরণ।
জ্ঞানের পরিধি:দুটি পাঠ (90 মিনিট)
প্রত্যাশিত ফলাফল:শিক্ষকরা অর্জিত জ্ঞান ব্যবহারিক প্রয়োগে ব্যবহার করেন, যোগাযোগ, সৃজনশীল এবং অনুসন্ধান দক্ষতা এবং প্রাপ্ত কাজ বিশ্লেষণ করার ক্ষমতা বিকাশের সময়।

পাঠের গঠন:

1. সংগঠন মুহূর্ত, সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় জ্ঞান আপডেট করা ব্যবহারিক কাজইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার উপকরণ থেকে।
2. ব্যবহারিক অংশ (ছাত্রদের জ্ঞান পরীক্ষা করা)।
3. প্রতিফলন, সৃজনশীল হোমওয়ার্ক

পরামর্শ অগ্রগতি

I. সাংগঠনিক মুহূর্ত।

পাঠের বিষয়ের বার্তা, পাঠের লক্ষ্য, প্রেরণা শিক্ষামূলক কার্যক্রম(একটি সমস্যাযুক্ত তাত্ত্বিক জ্ঞান বেস তৈরির মাধ্যমে)।

২. শিক্ষার্থীদের বিষয়গত অভিজ্ঞতা এবং তাদের জ্ঞান আপডেট করা।

নিয়ম এবং সংজ্ঞা পর্যালোচনা করুন.

1) যদি একটি বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং এটিতে ডেরিভেটিভ পরিবর্তনগুলি প্লাস থেকে বিয়োগ পর্যন্ত চিহ্ন দেয়, তবে এটি সর্বাধিক বিন্দু;

2) যদি একটি বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং এটিতে ডেরিভেটিভ পরিবর্তনগুলি বিয়োগ থেকে প্লাস পর্যন্ত চিহ্ন দেয়, তবে এটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দু।

• সমালোচনামূলক পয়েন্ট – এগুলি হল একটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট যেখানে ডেরিভেটিভ নেই বা শূন্যের সমান।
• বৃদ্ধির যথেষ্ট লক্ষণ, অবরোহী ফাংশন .
• যদি ব্যবধান (a; b) থেকে সমস্ত x-এর জন্য f "(x)>0 হয়, তবে ব্যবধানে (a; b) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
• যদি f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• সবচেয়ে বড় খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম এবং সেগমেন্টে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান [a;b], যদি ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেওয়া হয়:

যদি একটি সেগমেন্টের ডেরিভেটিভটি ধনাত্মক হয়, তাহলে a হল ক্ষুদ্রতম মান, b হল বৃহত্তম মান।

যদি একটি সেগমেন্টের ডেরিভেটিভ ঋণাত্মক হয়, তাহলে a হল বৃহত্তম এবং b হল ক্ষুদ্রতম মান।

জ্যামিতিক অর্থডেরিভেটিভটি নিম্নরূপ। যদি y-অক্ষের সমান্তরাল নয় এমন abscissa x0 বিন্দুতে y = f(x) ফাংশনের গ্রাফে একটি স্পর্শক আঁকা সম্ভব হয়, তাহলে f "(x0) স্পর্শকের ঢাল প্রকাশ করে: κ = f "(x0)। যেহেতু κ = tanα, সমতা f "(x0) = tanα সত্য

আসুন তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:

1. ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শকটি OX অক্ষের সাথে একটি তীব্র কোণ তৈরি করে, যেমন α< 90º. Производная положительная.
2. স্পর্শকটি OX অক্ষের সাথে একটি স্থূলকোণ তৈরি করেছে, যেমন α > 90º। ডেরিভেটিভ নেতিবাচক।
3. স্পর্শকটি OX অক্ষের সমান্তরাল। ডেরিভেটিভ শূন্য।

অনুশীলনী 1.চিত্রটি একটি গ্রাফ দেখায় ফাংশন y = f(x) এবং abscissa -1 সহ বিন্দুতে আঁকা এই গ্রাফের স্পর্শক। x0 = -1 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন

সমাধান: ক) ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শকটি OX অক্ষের সাথে একটি স্থূলকোণ গঠন করে। হ্রাস সূত্র ব্যবহার করে, আমরা tg(180º - α) = - tanα এই কোণের স্পর্শক খুঁজে পাই। এর অর্থ f "(x) = - tanα। আমরা আগে যা অধ্যয়ন করেছি তা থেকে আমরা জানি যে স্পর্শকটি বিপরীত বাহুর সাথে সংলগ্ন বাহুর অনুপাতের সমান।

এটি করার জন্য, আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করি যাতে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি কোষের শীর্ষবিন্দুতে থাকে। আমরা বিপরীত দিকের কোষ এবং সংলগ্ন এক গণনা করি। বিপরীত দিকটিকে সংলগ্ন দিক দিয়ে ভাগ করুন। (স্লাইড 44)

b) ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শকটি OX অক্ষের সাথে একটি তীব্র কোণ গঠন করে।

f "(x)= tgα। উত্তরটি ইতিবাচক হবে। (স্লাইড 30)

ব্যায়াম 2. চিত্রটি একটি গ্রাফ দেখায় অমৌলিকফাংশন f(x), ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (-4; 13)। ব্যবধানগুলি খুঁজুন যেখানে ফাংশন হ্রাস পায়। আপনার উত্তরে, তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টির দৈর্ঘ্য নির্দেশ করুন।

সমাধান: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

ব্যবহারিক অংশ।
35 মিনিট প্রস্তুত করা স্লাইডের জন্য পাঠের বিষয়ে তাত্ত্বিক জ্ঞান প্রয়োজন। স্লাইডগুলির উদ্দেশ্য হল ছাত্রদের জ্ঞানের উন্নতি এবং ব্যবহারিকভাবে প্রয়োগ করতে সক্ষম করা।
স্লাইড ব্যবহার করে আপনি করতে পারেন:
- সম্মুখ সমীক্ষা (ছাত্রদের স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনায় নেওয়া হয়);
- প্রধান ধারণা, বৈশিষ্ট্য, সংজ্ঞাগুলির তথ্য গঠন স্পষ্ট করা হয়েছে;
- সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম। শিক্ষার্থীদের অবশ্যই স্লাইডের উত্তর দিতে হবে।

IV ব্যক্তিগত কাজ। স্লাইড ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান।

V. পাঠের সংক্ষিপ্তকরণ, প্রতিফলন।

সমাধান। সর্বাধিক পয়েন্টগুলি সেই পয়েন্টগুলির সাথে মিলে যায় যেখানে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি প্লাস থেকে বিয়োগে পরিবর্তিত হয়। সেগমেন্টে, ফাংশনের দুটি সর্বোচ্চ পয়েন্ট x = 4 এবং x = 4। উত্তর: 2. চিত্রটি f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায়, যা ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে (10; 8)। সেগমেন্টে f(x) ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধান। চিত্রটি y=f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ দেখায়, যা ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (1; 12)। পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর সংখ্যা নির্ধারণ করুন যেখানে ফাংশনের ডেরিভেটিভ ঋণাত্মক। ফাংশনের ডেরিভেটিভ সেইসব ব্যবধানে নেতিবাচক যেগুলির উপর ফাংশনটি হ্রাস পায়, অর্থাৎ (0.5; 3), (6; 10) এবং (11; 12) ব্যবধানে। তারা 1, 2, 7, 8 এবং 9 সম্পূর্ণ পয়েন্ট ধারণ করে। মোট 5 পয়েন্ট আছে। উত্তর: 5।

চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় (10; 4)। f(x) ফাংশনের হ্রাসের ব্যবধান নির্ণয় কর। আপনার উত্তরে, তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টির দৈর্ঘ্য নির্দেশ করুন। সমাধান। ফাংশনের ক্রমহ্রাসমান ব্যবধানগুলি সেই ব্যবধানগুলির সাথে মিলে যায় যার উপর ফাংশনের ডেরিভেটিভ নেতিবাচক, অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য 3 এর ব্যবধান (9; 6) এবং দৈর্ঘ্য 5 এর ব্যবধান (2; 3)। তাদের মধ্যে বৃহত্তমটির দৈর্ঘ্য 5। উত্তর: 5।

চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় (7; 14)। সেগমেন্টে f(x) ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় কর। সমাধান। সর্বাধিক পয়েন্টগুলি সেই পয়েন্টগুলির সাথে মিলে যায় যেখানে ডেরিভেটিভ চিহ্নটি ইতিবাচক থেকে নেতিবাচক তে পরিবর্তিত হয়। সেগমেন্টে ফাংশনের একটি সর্বোচ্চ পয়েন্ট x = 7। উত্তর: 1।

চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় (8; 6)। f(x) ফাংশনের বৃদ্ধির ব্যবধান নির্ণয় কর। আপনার উত্তরে, তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টির দৈর্ঘ্য নির্দেশ করুন। সমাধান। f(x) ফাংশনের বৃদ্ধির ব্যবধানগুলি সেই ব্যবধানগুলির সাথে মিলে যায় যেগুলির উপর ফাংশনের ডেরিভেটিভ ধনাত্মক, অর্থাৎ, ব্যবধানগুলি (7; 5), (2; 5)৷ তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড় হল ব্যবধান (2; 5), যার দৈর্ঘ্য 3।

চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় (7; 10)। সেগমেন্টে f(x) ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় কর। সমাধান। ন্যূনতম পয়েন্টগুলি সেই পয়েন্টগুলির সাথে মিলে যায় যেখানে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তিত হয়। সেগমেন্টে ফাংশনের একটি ন্যূনতম পয়েন্ট x = 4। উত্তর: 1।

চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় (16; 4)। সেগমেন্টে f(x) ফাংশনের চরম বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় কর। সমাধান। এক্সট্রিমাম পয়েন্টগুলি সেই পয়েন্টগুলির সাথে মিলে যায় যেখানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন এবং গ্রাফে দেখানো ডেরিভেটিভের শূন্যের পরিবর্তন হয়। ডেরিভেটিভটি 13, 11, 9, 7 পয়েন্টে অদৃশ্য হয়ে যায়। ফাংশনের সেগমেন্টে 4টি এক্সট্রিম পয়েন্ট রয়েছে। উত্তর: 4।

চিত্রটি y=f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ দেখায়, যা ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (2; 12)। f(x) ফাংশনের চরম বিন্দুর যোগফল নির্ণয় কর। সমাধান। প্রদত্ত ফাংশনের বিন্দু 1, 4, 9, 11-এ ম্যাক্সিমা এবং বিন্দু 2, 7, 10-এ মিনিমা রয়েছে। তাই, চরম বিন্দুর যোগফল = 44। উত্তর: 44।

চিত্রটি y=f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ এবং অ্যাবসিসা x 0 বিন্দুতে এটির একটি স্পর্শক দেখায়। x 0 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন। সমাধান। স্পর্শক বিন্দুতে ডেরিভেটিভের মান স্পর্শকের ঢালের সমান, যা ফলস্বরূপ অ্যাবসিসা অক্ষের দিকে এই স্পর্শকটির প্রবণতার কোণের স্পর্শকের সমান। আসুন A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0) বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ একটি ত্রিভুজ তৈরি করি। x-অক্ষে স্পর্শকটির প্রবণতার কোণ ACB কোণ সংলগ্ন কোণের সমান হবে

চিত্রটি y = f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ এবং 3 এর সমান অ্যাবসিসা বিন্দুতে এই গ্রাফের একটি স্পর্শক দেখায়। x = 3 বিন্দুতে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন। সমাধান করতে, আমরা ব্যবহার করি ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ: বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান এই বিন্দুতে আঁকা এই ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকের ঢালের সমান। স্পর্শক কোণটি স্পর্শক এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের (tg α) মধ্যবর্তী কোণের স্পর্শকের সমান। কোণ α = β, সমান্তরাল রেখা y=0, y=1 এবং একটি সেকেন্ট-ট্যানজেন্ট সহ আড়াআড়ি কোণ হিসাবে। ত্রিভুজ ABC এর জন্য

চিত্রটি y=f(x) ফাংশনের গ্রাফ এবং অ্যাবসিসা x 0 বিন্দুতে এটির স্পর্শক দেখায়। x 0 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন। এর উপর ভিত্তি করে স্পর্শকের বৈশিষ্ট্য, x 0 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের স্পর্শকটির সূত্রটি y=f (x 0) x+b, b=const এর সমান, চিত্রটি দেখায় যে ফাংশনের স্পর্শক f( x) বিন্দুতে x 0 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (-3;2), (5,4)। অতএব, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করতে পারি

সূত্র

SKYPE এর মাধ্যমে স্বতন্ত্র পাঠ কার্যকর অনলাইন প্রশিক্ষণের উপরগণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য।

টাইপ B8 এর সমস্যা হল ডেরিভেটিভ ফাংশন প্রয়োগের সমস্যা। কাজের উদ্দেশ্য:

• একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ডেরিভেটিভ খুঁজুন
• ফাংশনের চরম, সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট নির্ধারণ করুন
• বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি। টাস্ক v8.1: চিত্রটি y=f (x) ফাংশনের গ্রাফ এবং অ্যাবসিসা x0 বিন্দুতে এটির স্পর্শক দেখায়। x0 বিন্দুতে y=f (x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন।

একটু তত্ত্ব। যদি স্পর্শক বাড়তে থাকে, তাহলে ডেরিভেটিভ হবে ধনাত্মক, আর যদি স্পর্শক কমতে থাকে, তাহলে ডেরিভেটিভ হবে ঋণাত্মক। y’= tgА ফাংশনের ডেরিভেটিভ, যেখানে A হল X অক্ষের স্পর্শকটির প্রবণতার কোণ

সমাধান: আমাদের উদাহরণে, স্পর্শক ক্রমবর্ধমান হচ্ছে, যার অর্থ ডেরিভেটিভটি ধনাত্মক হবে। সমকোণী ত্রিভুজ ABC বিবেচনা করুন এবং এটি থেকে tan A = BC/AB খুঁজে বের করুন, যেখানে BC হল y অক্ষ বরাবর বৈশিষ্ট্যগত বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব, AB হল x অক্ষ বরাবর বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব। গ্রাফের বৈশিষ্ট্যগত বিন্দুগুলিকে গাঢ় বিন্দু দিয়ে হাইলাইট করা হয়েছে এবং A এবং C অক্ষর দ্বারা মনোনীত করা হয়েছে। বৈশিষ্ট্যগত বিন্দুগুলি অবশ্যই পরিষ্কার এবং সম্পূর্ণ হতে হবে। গ্রাফ থেকে এটা স্পষ্ট যে AB = 5+3 = 8, এবং সূর্য = 3-1 = 2,

tgα= BC/AB=2/8=1/4=0.25, তাই ডেরিভেটিভ y’=0.25

উত্তর: 0,25

টাস্ক B8.2 চিত্রটি y=f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ দেখায়, যা ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (-9;4)। ফাংশন f(x) এর চরম বিন্দুর অ্যাবসিসাসের যোগফল নির্ণয় কর

সমাধান: প্রথমে, চলুন সংজ্ঞায়িত করা যাক চরম বিন্দু কি? এগুলি সেই বিন্দু যেখানে ডেরিভেটিভ তার চিহ্নটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করে, অন্য কথায়, সমস্ত "পাহাড়" এবং "উপত্যকা"। আমাদের উদাহরণে, আমাদের কাছে 4টি "পাহাড়" এবং 4টি "উপত্যকা" রয়েছে৷ আসুন সমস্ত "ল্যান্ডস্কেপ" বিন্দুগুলিকে X অক্ষের উপর নিয়ে যাই এবং অ্যাবসিসার মান খুঁজে বের করি, এখন X অক্ষ বরাবর এই বিন্দুগুলির সম্পূর্ণ মান যোগ করুন

আমরা পাই -8-7-5-3-2+0+1+3=-21

উত্তর: -21

কিভাবে এই টাস্ক সমাধান করতে একটি ভিডিও টিউটোরিয়াল দেখুন

উপকরণ ব্যবহার করে কাজ B8 সমাধান করা খোলা ব্যাংকগণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমস্যা 2012 রেখা y = 4x + 11 ফাংশন y = x2 + 8x + 6 ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকটির সমান্তরাল। স্পর্শক বিন্দুর অ্যাবসিসা খুঁজুন। নং 1 সমাধান: রেখা হলে কোনো সময়ে ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকটির সমান্তরাল (এটিকে xo বলি), তাহলে এর ঢাল (আমাদের ক্ষেত্রে k = 4 সমীকরণ y = 4x +11 থেকে) এর ডেরিভেটিভের মানের সমান xo বিন্দুতে ফাংশন: k = f ′(xo) = 4 ফাংশনের ডেরিভেটিভ f′(x) = (x2+8x + 6) ′= 2x +8। এর মানে হল যে কাঙ্খিত স্পর্শক বিন্দু খুঁজে পেতে প্রয়োজন 2xo + 8 = 4, যেখান থেকে xo = – 2। উত্তর: – 2. সরলরেখা y = 3x + 11 গ্রাফের স্পর্শক।

ফাংশন y = x3−3x2− 6x + 6।

স্পর্শক বিন্দুর অবসিসা খুঁজুন।

নং 2 সমাধান: মনে রাখবেন যে রেখাটি যদি গ্রাফের স্পর্শক হয়, তবে এর ঢাল (k = 3) অবশ্যই স্পর্শক বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভের সমান হতে হবে, যেখান থেকে আমরা Zx2 − 6x − 6 = 3 , অর্থাৎ, Zx2 − 6x − 9 = 0 বা x2 − 2x − 3 = 0। এই দ্বিঘাত সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে: −1 এবং 3। এইভাবে, দুটি বিন্দু রয়েছে যেখানে y = ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক। x3 − 3x2 − 6x + 6 এর 3 এর সমান একটি ঢাল রয়েছে। এই দুটি বিন্দুর মধ্যে কোনটি সরলরেখা y = 3x + 11 ফাংশনের গ্রাফকে স্পর্শ করবে তা নির্ধারণ করার জন্য, আমরা এইগুলিতে ফাংশনের মানগুলি গণনা করি পয়েন্ট এবং তারা স্পর্শক সমীকরণ সন্তুষ্ট কিনা তা পরীক্ষা করুন। −1 বিন্দুতে ফাংশনের মান হল y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, এবং 3 বিন্দুতে মান হল y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12। উল্লেখ্য যে স্থানাঙ্ক (−1; 8) সহ বিন্দুটি স্পর্শক সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, যেহেতু 8 = −3 + 11। কিন্তু বিন্দু (3; −12) স্পর্শক সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে না, যেহেতু −12 ≠ 9 + 11। এর মানে হল প্রয়োজনীয় স্পর্শক বিন্দুর অবসিসা হল −1। উত্তর: −1. চিত্রটি y = f ′(x) এর একটি গ্রাফ দেখায় - ফাংশন f(x) এর ডেরিভেটিভ, ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (–10; 8)। সেগমেন্টের কোন বিন্দুতে [–8; –4] ফাংশন f(x) সবচেয়ে ছোট মান নেয়। নং 3 সমাধান: উল্লেখ্য যে সেগমেন্টে [–8; –4] ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল নেতিবাচক, যার মানে হল যে ফাংশনটি নিজেই হ্রাস পাচ্ছে, যার মানে হল যে এটি সেগমেন্টের ডান প্রান্তে এই সেগমেন্টের সবচেয়ে ছোট মান নেয়, অর্থাৎ বিন্দুতে –4.у = f ′(x) f(x) -উত্তর: –4 .চিত্রটি y = f ′(x) এর একটি গ্রাফ দেখায় - ফাংশনের ডেরিভেটিভ f(x), ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (–8; 8)। অংশের অন্তর্গত f(x) ফাংশনের চরম বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় করুন [– 6 6].নং 4সমাধান: চরম বিন্দুতে, ফাংশনের ডেরিভেটিভ 0 এর সমান বা বিদ্যমান নেই। এটা দেখা যায় যে সেগমেন্টের অন্তর্গত এই ধরনের পয়েন্ট আছে [–6; 6] তিন. এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন হয় “+” থেকে “–”, অথবা “–” থেকে “+”।у = f ′(x) ++––উত্তর: 3. চিত্রটি দেখায় у = f ′(x) এর গ্রাফ – f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ, ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (–8; 10)। ব্যবধানে (–4; 8) ফাংশন f(x) এর চরম বিন্দুটি খুঁজুন। নং 5. সমাধান: মনে রাখবেন যে ব্যবধানে (–4; 8) বিন্দুতে ডেরিভেটিভ xo = 4 0 এ পরিণত হয় এবং এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় চিহ্ন ডেরিভেটিভকে “–” থেকে “+” তে পরিবর্তন করে, পয়েন্ট 4 হল একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ফাংশনের কাঙ্ক্ষিত চরম বিন্দু। y = f ′(x) +–উত্তর: 4. চিত্রটি y = f ′(x) এর একটি গ্রাফ দেখায় - ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ (–8; 8)। f(x) ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকটি y = –2x + 2 লাইনের সমান্তরাল বা এর সাথে মিলে যায় এমন বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় করুন। নং 6 সমাধান: যদি f ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক হয় (x) y = –2x+ 2 রেখার সমান্তরাল বা এটির সাথে মিলে যায়, তাহলে এর ঢাল k = –2, যার মানে আমাদের ফাংশন f ′(x) = – এর ডেরিভেটিভের বিন্দুর সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে। 2. এটি করার জন্য, ডেরিভেটিভ গ্রাফে একটি লাইন y = –2 আঁকুন এবং এই লাইনে থাকা ডেরিভেটিভ গ্রাফের বিন্দুর সংখ্যা গণনা করুন। এরকম 4টি বিন্দু আছে। y = f ′(x) y = –2উত্তর: 4. চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত y = f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ দেখায় (–6; 5)। পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় করুন যেখানে ফাংশনের ডেরিভেটিভ ঋণাত্মক। নং 7y সমাধান: মনে রাখবেন যে ফাংশনের ডেরিভেটিভ ঋণাত্মক হয় যদি ফাংশন f(x) নিজেই হ্রাস পায়, যার মানে সংখ্যাটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন ক্রমবর্ধমান ফাংশনের ব্যবধানে পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর অন্তর্ভুক্ত। এই ধরনের 6টি বিন্দু রয়েছে: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x ) x–6–45–1–20–33উত্তর: 6. চিত্রটি ব্যবধানে (–6; 6) সংজ্ঞায়িত ফাংশন y = f(x) এর গ্রাফ দেখায়। স্পর্শকটি কতগুলি বিন্দুতে হবে তা সন্ধান করুন। ফাংশনের গ্রাফটি y = –5 সরলরেখার সমান্তরাল। নং 8ySolution: সরলরেখা y = −5 অনুভূমিক, যার মানে যদি ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক এর সমান্তরাল হয়, তাহলে এটিও অনুভূমিক। ফলস্বরূপ, প্রয়োজনীয় বিন্দুতে ঢাল k = f′(x)= 0। আমাদের ক্ষেত্রে, এগুলো হল চরম বিন্দু। এরকম ৬টি পয়েন্ট আছে। xo বিন্দুতে f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন। নং 9 সমাধান: একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে এই ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শকের সমভুজাকার সহগ f′(хo) = tanα = k ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান। আমাদের ক্ষেত্রে, k > 0, যেহেতু α একটি তীক্ষ্ণ কোণ (tgα > 0)। কৌণিক সহগ খুঁজে বের করার জন্য, আমরা স্পর্শকটির উপর অবস্থিত দুটি বিন্দু A এবং B বেছে নিই, যার অ্যাবসিসাস এবং অর্ডিনেটগুলি পূর্ণসংখ্যা। এবার কৌণিক সহগের মডুলাস নির্ণয় করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা ABC ত্রিভুজ তৈরি করব। tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1.25 у = f(x) Вα5хоαС4Аউত্তর: 1.25. চিত্রটি ফাংশনের একটি গ্রাফ দেখায় у = f(x), ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (–10; 2) এবং স্পর্শক এটি বিন্দুতে abscissa xo এর সাথে। xo বিন্দুতে f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন। নং. 10সমাধান: একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে এই ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শকের সমভুজাকার সহগ f′(хo) = tanα = k ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান। আমাদের ক্ষেত্রে k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, রেক্টিলাইনার গতি x = x(t) আইন অনুসারে সঞ্চালিত, xnput = to ফাংশনের ডেরিভেটিভের মানের সমান, পছন্দসই গতি হবে x ′(t) = 0.5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s. উত্তর: 4. একটি বস্তুর বিন্দু x(t) = 0.5t2 – 2t – 22 আইন অনুসারে সরলরেখায় চলে, যেখানে x হল রেফারেন্স বিন্দু থেকে মিটারে দূরত্ব, t হল সেকেন্ডে সময়, আন্দোলনের শুরু থেকে পরিমাপ করা হয়। কোন সময়ে (সেকেন্ডে) এর গতি 4 m/s এর সমান ছিল? নং 16 সমাধান। যেহেতু সময়ে একটি বিন্দুর তাৎক্ষণিক গতি x = x(t) আইন অনুসারে সম্পাদিত রেক্টিলাইনার গতি, xnput = to ফাংশনের ডেরিভেটিভের মানের সমান, কাঙ্ক্ষিত গতি হবে x ′(to) = 0.5 ∙ 2 থেকে – 2 = থেকে – 2, কারণ শর্ত অনুসারে, x ′(to) = 4, তারপর থেকে – 2 = 4, যেখান থেকে = 4 + 2 = 6 m/s। উত্তর: 6. চিত্রটি y = f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ দেখায়, সংজ্ঞায়িত ব্যবধানে (– 8; 6) ফাংশন f(x) এর চরম বিন্দুর যোগফল নির্ণয় করুন। নং 17 সমাধান: চরম বিন্দু হল সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ বিন্দু। এটি দেখা যায় যে ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত এমন পাঁচটি পয়েন্ট রয়েছে (–8; 6)। আসুন তাদের অ্যাবসিসাসের যোগফল বের করি: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) উত্তর: 6. চিত্রটি y = f ′ ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় (x) – ফাংশন f (x), ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত (–10; 8)। ক্রমবর্ধমান ফাংশন f(x) এর ব্যবধান খুঁজুন। আপনার উত্তরে, এই ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর যোগফল নির্দেশ করুন। সমাধান: লক্ষ্য করুন যে ফাংশনের ডেরিভেটিভ ধনাত্মক হলে f(x) ফাংশন বৃদ্ধি পায়; যার মানে ক্রমবর্ধমান ফাংশনের ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর যোগফল খুঁজে বের করা প্রয়োজন। এরকম 7টি বিন্দু আছে: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7. তাদের যোগফল: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f′(x) ++3-357উত্তর: 20. ব্যবহৃত উপকরণ

ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা 2012। গণিত। সমস্যা B8. ডেরিভেটিভ এর জ্যামিতিক অর্থ। ওয়ার্কবুক/ এড. এ.এল. সেমেনভ এবং আই.ভি. ইয়াশচেঙ্কো। 3য় সংস্করণ। স্টেরিওটাইপ − M.: MTsNMO, 2012। − 88 p.

http://mathege.ru/or/ege/Main− গণিত 2012-এ কাজের খোলা ব্যাঙ্কের উপকরণ