Rješenje.
Verovatnoća da nijedan amblem nije nacrtan: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Verovatnoća dobijanja tri grba: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Zakon distribucije slučajne varijable X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Primjer br. 2. Verovatnoća da jedan strelac jednim udarcem pogodi metu za prvog strelca je 0,8, za drugog strelca – 0,85. Strijelci su ispalili jedan hitac u metu. Uzimajući u obzir pogađanje mete kao nezavisne događaje za pojedinačne strijelce, pronađite vjerovatnoću događaja A – tačno jedan pogodak u metu.
Rješenje.
Uzmite u obzir događaj A - jedan pogodak u metu. Moguće opcije Pojava ovog događaja je sljedeća:
- Prvi strijelac je pogodio, drugi strijelac je promašio: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Prvi strijelac je promašio, drugi je pogodio metu: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Prva i druga strela pogađaju metu nezavisno jedna od druge: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označavaju velikim slovima latinica(X, Y, Z), a njihove vrijednosti su označene odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.
Diskretna slučajna varijabla pozvao slučajna vrijednost, uzimajući samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.
1 . Zakon distribucije se može dati u tabeli:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) korišćenjem funkcije distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).
Svojstva funkcije F(x)
3 . Zakon distribucije može se grafički specificirati – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).
Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima, dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji najviše odražavaju važne karakteristike zakon distribucije. Ovo može biti broj koji ima značenje "prosjeka" slučajne varijable ili broj koji označava prosječne veličine odstupanje slučajne varijable od njene srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.
Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :
- Matematičko očekivanje
(prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ - Disperzija
diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ - Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).
Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Izdato je 1000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.
Rješenje. U skladu sa uslovima zadatka, moguće su sledeće vrednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.
Broj tiketa bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Predstavimo rezultujući zakon u obliku tabele:
Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Zadatak 3.
Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirati poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.
Rješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan element uređaja nije otkazao), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 (dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa su otkazala).
Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula
. S obzirom na to da prema uslovu, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerovatnoće vrijednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:
Crtamo moguće vrijednosti x i duž ose apscise, a odgovarajuće vjerovatnoće p i duž ordinatne ose. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezivanjem ovih tačaka pravim segmentima dobijamo željeni poligon distribucije.
3. Nađimo funkciju raspodjele F(x) = R(H
Za x ≤ 0 imamo F(x) = R(H<0) = 0;za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 postojaće F(x) = 1, jer događaj je pouzdan.
 |
Grafikon funkcije F(x)
4.
Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijansa D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Diskretni slučajni Varijable su nasumične varijable koje uzimaju samo vrijednosti koje su udaljene jedna od druge i koje se mogu unaprijed navesti.
Zakon distribucije
Zakon distribucije slučajne varijable je odnos koji uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti.
Serija distribucije diskretne slučajne varijable je lista njenih mogućih vrijednosti i odgovarajućih vjerojatnosti.
Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija:
,
određujući za svaku vrijednost argumenta x vjerovatnoću da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju od ove x.
Očekivanje diskretne slučajne varijable
,
gdje je vrijednost diskretne slučajne varijable; - vjerovatnoća da će slučajna varijabla prihvatiti X vrijednosti.
Ako slučajna varijabla uzima prebrojiv skup mogućih vrijednosti, tada: 
.
Matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u n nezavisnih ispitivanja:
,
Disperzija i standardna devijacija diskretne slučajne varijable
Disperzija diskretne slučajne varijable: 
ili 
.
Varijanca broja pojavljivanja događaja u n nezavisnih ispitivanja 
,
gdje je p vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.
Standardna devijacija diskretne slučajne varijable: 
.
Primjer 1
Nacrtajte zakon raspodjele vjerovatnoće za diskretnu slučajnu varijablu (DRV) X – broj k pojavljivanja najmanje jedne „šestice“ u n = 8 bacanja para kockica. Konstruirajte poligon distribucije. Odrediti numeričke karakteristike distribucije (način distribucije, matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s(X)). Rješenje: Hajde da uvedemo oznaku: događaj A – „kada se baci par kockica, šestica se pojavljuje barem jednom“. Da biste pronašli vjerovatnoću P(A) = p događaja A, zgodnije je prvo pronaći vjerovatnoću P(Ā) = q suprotnog događaja Ā - „kada se baci par kockica, šestica se nikada nije pojavila“.
Budući da je vjerovatnoća da se „šestica“ ne pojavi pri bacanju jedne kockice 5/6, onda prema teoremi množenja vjerovatnoće
P(Ā) = q = = .
odnosno
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testovi u zadatku slijede Bernoullijevu shemu, tako da d.s.v. magnitude X- broj k pojavljivanje najmanje jedne šestice pri bacanju dvije kocke poštuje binomni zakon distribucije vjerovatnoće: 
gdje je = broj kombinacija n By k.
Proračuni koji su izvršeni za ovaj problem mogu se prikladno prikazati u obliku tabele:
Distribucija vjerovatnoće d.s.v. X º k (n = 8; str = ; q = )
| k | ||||||||||
Pn(k) |
Poligon (poligon) distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable X prikazano na slici:
Rice. Poligon raspodjele vjerovatnoće d.s.v. X=k.
Vertikalna linija pokazuje matematičko očekivanje distribucije M(X).
Nađimo numeričke karakteristike distribucije vjerovatnoće d.s.v. X. Način distribucije je 2 (ovdje P 8(2) = 0,2932 maksimum). Matematičko očekivanje po definiciji je jednako:
M(X) = = 2,4444,
Gdje xk = k– vrijednost koju preuzima d.s.v. X. Varijanca D(X) nalazimo distribuciju koristeći formulu:
D(X) = 
= 4,8097.
Standardna devijacija (RMS):
s( X) = = 2,1931.
Primjer 2
Diskretna slučajna varijabla X dato zakonom o raspodjeli
Rješenje. Ako , onda (treće svojstvo).
Ako onda. stvarno, X može uzeti vrijednost 1 sa vjerovatnoćom 0,3.
Ako onda. Zaista, ako zadovoljava nejednakost
, tada je jednaka vjerovatnoći događaja koji se može dogoditi kada Xće uzeti vrijednost 1 (vjerovatnoća ovog događaja je 0,3) ili vrijednost 4 (vjerovatnoća ovog događaja je 0,1). Pošto su ova dva događaja nekompatibilna, onda je prema teoremi sabiranja vjerovatnoća događaja jednaka zbiru vjerovatnoća 0,3 + 0,1 = 0,4. Ako onda. Zaista, događaj je siguran, stoga je njegova vjerovatnoća jednaka jedan. Dakle, funkcija distribucije se može analitički napisati na sljedeći način: 
Grafikon ove funkcije:
Nađimo vjerovatnoće koje odgovaraju ovim vrijednostima. Po uslovu, vjerovatnoće kvara uređaja su jednake: tada su jednake vjerovatnoće da će uređaji raditi u garantnom roku: 
Zakon o distribuciji ima oblik:
Obrazovna ustanova „Beloruska država
poljoprivredna akademija"
Odsjek za višu matematiku
Smjernice
proučavati temu „Slučajne varijable“ studenata Fakulteta računovodstva za dopisno obrazovanje (NISPO)
Gorki, 2013
Slučajne varijable
Diskretne i kontinuirane slučajne varijable
Jedan od glavnih koncepata u teoriji vjerovatnoće je koncept slučajna varijabla . Slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat testiranja, uzima samo jednu od svojih brojnih mogućih vrijednosti, a ne zna se unaprijed koju.
Postoje slučajne varijable diskretno i kontinuirano . Diskretna slučajna varijabla (DRV) je slučajna varijabla koja može poprimiti konačan broj vrijednosti izolovanih jedna od druge, tj. ako se moguće vrijednosti ove količine mogu ponovo izračunati. Kontinuirana slučajna varijabla (CRV) je slučajna varijabla, čije sve moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval brojevne linije.
Slučajne varijable se označavaju velikim slovima latinice X, Y, Z itd. Moguće vrijednosti slučajnih varijabli označene su odgovarajućim malim slovima.
Zapis 
znači "vjerovatnost da će slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost 5, jednaku 0,28.”
Primjer 1 . Kockice se bacaju jednom. U tom slučaju mogu se pojaviti brojevi od 1 do 6, koji označavaju broj bodova. Označimo slučajnu varijablu X=(broj ubačenih poena). Ova slučajna varijabla kao rezultat testa može uzeti samo jednu od šest vrijednosti: 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Prema tome, slučajna varijabla X postoji DSV.
Primjer 2 . Kada se baci kamen, on pređe određenu udaljenost. Označimo slučajnu varijablu X=(razdaljina leta kamena). Ova slučajna varijabla može uzeti bilo koju, ali samo jednu vrijednost iz određenog intervala. Dakle, slučajna varijabla X postoji NSV.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
Diskretnu slučajnu varijablu karakteriziraju vrijednosti koje može uzeti i vjerovatnoće s kojima se te vrijednosti uzimaju. Zove se korespondencija između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća zakon raspodjele diskretne slučajne varijable .
Ako su poznate sve moguće vrijednosti 
slučajna varijabla X i vjerovatnoće 
pojave ovih vrednosti, onda se smatra da je zakon raspodele DSV X je poznato i može se zapisati u obliku tabele:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
DSV zakon distribucije može se prikazati grafički ako su tačke prikazane u pravokutnom koordinatnom sistemu 
,
,
…,
i povežite ih ravnim segmentima. Dobivena figura naziva se poligon distribucije.
Primjer 3 . Zrno namijenjeno za čišćenje sadrži 10% korova. 4 zrna su nasumično odabrana. Označimo slučajnu varijablu X=(broj korova među četiri odabrana). Konstruirajte DSV zakon raspodjele X i poligon distribucije.
Rješenje . Prema primjeru uslova. onda:
Zapišimo zakon distribucije DSV X u obliku tabele i konstruirajmo poligon distribucije:
|
|
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Najvažnija svojstva diskretne slučajne varijable opisuju se njenim karakteristikama. Jedna od ovih karakteristika je očekivanu vrijednost slučajna varijabla.
Neka je poznat DSV zakon distribucije X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Matematičko očekivanje
DSV X je zbir proizvoda svake vrijednosti ove veličine i odgovarajuće vjerovatnoće: 
.
Matematičko očekivanje slučajne varijable približno je jednako aritmetičkoj sredini svih njenih vrijednosti. Stoga se u praktičnim problemima srednja vrijednost ove slučajne varijable često uzima kao matematičko očekivanje.
Primjer 8 . Strijelac postiže 4, 8, 9 i 10 poena sa vjerovatnoćom od 0,1, 0,45, 0,3 i 0,15. Pronađite matematičko očekivanje broja poena sa jednim udarcem.
Rješenje . Označimo slučajnu varijablu X=(broj postignutih poena). Onda . Tako je očekivani prosječan broj postignutih poena sa jednim udarcem 8,2, a sa 10 šuteva - 82.
Glavna svojstva matematička očekivanja su:
.
.
, Gdje 
,
.
.
, Gdje X I Y su nezavisne slučajne varijable.
Razlika 
pozvao odstupanje
slučajna varijabla X od svog matematičkog očekivanja. Ova razlika je slučajna varijabla i njeno matematičko očekivanje je nula, tj. 
.
Varijanca diskretne slučajne varijable
Za karakterizaciju slučajne varijable, osim matematičkog očekivanja, koristimo i disperzija , što omogućava procjenu disperzije (širenja) vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Prilikom poređenja dvije homogene slučajne varijable sa jednakim matematičkim očekivanjima, „najboljom“ vrijednošću se smatra ona koja ima manji raspon, tj. manja disperzija.
Varijanca slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja: .
U praktičnim problemima, za izračunavanje varijanse koristi se ekvivalentna formula.
Glavna svojstva disperzije su:
.
Možemo istaknuti najčešće zakone distribucije diskretnih slučajnih varijabli:
- Zakon binomne distribucije
- Poissonov zakon distribucije
- Geometrijski zakon raspodjele
- Hipergeometrijski zakon raspodjele
Za date distribucije diskretnih slučajnih varijabli, izračunavanje vjerovatnoća njihovih vrijednosti, kao i numeričkih karakteristika (matematičko očekivanje, varijansa, itd.) vrši se korištenjem određenih „formula“. Stoga je veoma važno poznavati ove vrste distribucija i njihova osnovna svojstva.
1. Zakon binomne distribucije.
Diskretna slučajna varijabla $X$ podliježe zakonu binomne raspodjele vjerovatnoće ako uzima vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. U stvari, slučajna varijabla $X$ je broj pojavljivanja događaja $A$ u $n$ nezavisnim pokusima. Zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\lijevo(0\desno) & P_n\lijevo(1\desno) & \tačke & P_n\lijevo(n\desno) \\
\hline
\end(niz)$
Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje je $M\left(X\right)=np$, varijansa je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Primjer . Porodica ima dvoje djece. Pretpostavljajući da su vjerovatnoće da će imati dječaka i djevojčicu jednake $0,5$, pronađite zakon raspodjele slučajne varijable $\xi$ - broj dječaka u porodici.
Neka je slučajna varijabla $\xi $ broj dječaka u porodici. Vrijednosti koje $\xi može uzeti:\ 0,\ 1,\ 2$. Vjerovatnoće ovih vrijednosti mogu se naći pomoću formule $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, gdje je $n =2$ broj nezavisnih pokušaja, $p=0,5$ je vjerovatnoća da se događaj dogodi u seriji od $n$ pokušaja. Dobijamo:
$P\left(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\desno)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$
Tada je zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ korespondencija između vrijednosti $0,\ 1,\ 2$ i njihovih vjerovatnoća, odnosno:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(niz)$
Zbir vjerovatnoća u zakonu raspodjele trebao bi biti jednak $1$, odnosno $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=1$.
Očekivanje $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varijansa $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standardna devijacija $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\približno 0.707 $.
2. Poissonov zakon distribucije.
Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Komentar. Posebnost ove distribucije je da na osnovu eksperimentalnih podataka nalazimo procjene $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ako su dobijene procjene bliske jedna drugoj, onda imamo razlog za tvrdnju da je slučajna varijabla podložna Poissonovom zakonu raspodjele.
Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje podliježu Poissonovom zakonu distribucije mogu biti: broj automobila koje će sutra opsluživati benzinska pumpa; broj neispravnih artikala u proizvedenim proizvodima.
Primjer . Fabrika je poslala 500$ proizvoda u bazu. Vjerovatnoća oštećenja proizvoda u transportu je 0,002$. Naći zakon raspodjele slučajne varijable $X$ jednak broju oštećenih proizvoda; šta je $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Neka je diskretna slučajna varijabla $X$ broj oštećenih proizvoda. Takva slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu raspodjele sa parametrom $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Vjerovatnoće vrijednosti su jednake $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\lijevo(X=0\desno)=((1^0)\preko (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lijevo(X=1\desno)=((1^1)\preko (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lijevo(X=2\desno)=((1^2)\preko (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\lijevo(X=3\desno)=((1^3)\preko (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\lijevo(X=4\desno)=((1^4)\preko (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\lijevo(X=5\desno)=((1^5)\preko (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\lijevo(X=6\desno)=((1^6)\preko (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\levo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Zakon distribucije slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & ((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(niz)$
Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje i varijansa su međusobno jednake i jednake su parametru $\lambda $, odnosno $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Geometrijski zakon raspodjele.
Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo prirodne vrijednosti $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, onda kažu da takva slučajna varijabla $X$ podliježe geometrijskom zakonu raspodjele vjerovatnoće. Zapravo, geometrijska raspodjela je Bernoulli test do prvog uspjeha.
Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje imaju geometrijsku distribuciju mogu biti: broj hitaca prije prvog pogotka u metu; broj testova uređaja do prvog kvara; broj bacanja novčića dok ne dođe prva glava itd.
Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable podložne geometrijskoj distribuciji su respektivno jednake $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.
Primjer . Na putu kretanja ribe do mjesta mrijesta nalazi se brava od 4$. Vjerovatnoća da riba prođe kroz svaku bravu je $p=3/5$. Konstruirajte seriju distribucije slučajne varijable $X$ - broj brava koje je riba prošla prije prvog zadržavanja na bravi. Pronađite $M\left(X\desno),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Neka slučajna varijabla $X$ bude broj brava koje je riba prošla prije prvog hapšenja na bravi. Takva slučajna varijabla podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerovatnoće. Vrijednosti koje slučajna varijabla $X može uzeti:$ 1, 2, 3, 4. Vjerovatnoće ovih vrijednosti se izračunavaju pomoću formule: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, gdje je: $ p=2/5$ - vjerovatnoća da će riba biti zadržana kroz prevodnicu, $q=1-p=3/5$ - vjerovatnoća da će riba proći kroz prevodnicu, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^0=((2)\ preko (5))=0.4;$
$P\levo(X=2\desno)=((2)\preko (5))\cdot ((3)\preko (5))=((6)\preko (25))=0.24;
$P\left(X=3\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^2=((2)\ preko (5))\cdot ((9)\preko (25))=((18)\preko (125))=0,144;$
$P\left(X=4\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^3+(\left(( (3)\preko (5))\desno))^4=((27)\preko (125))=0,216.$
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\lijevo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(niz)$
Očekivana vrijednost:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
disperzija:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\desno))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\desno))^2+$
$+\0.216\cdot (\levo(4-2.176\desno))^2\približno 1.377.$
Standardna devijacija:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\približno 1,173.$
4. Hipergeometrijski zakon raspodjele.
Ako $N$ objekti, među kojima $m$ objekti imaju dato svojstvo. $n$ objekata se nasumično preuzimaju bez vraćanja, među kojima je bilo $k$ objekata koji imaju dato svojstvo. Hipergeometrijska distribucija omogućava procjenu vjerovatnoće da tačno $k$ objekata u uzorku imaju dato svojstvo. Neka slučajna varijabla $X$ bude broj objekata u uzorku koji imaju dato svojstvo. Tada su vjerovatnoće vrijednosti slučajne varijable $X$:
$P\levo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\preko (C^n_N))$
Komentar. Statistička funkcija HYPERGEOMET čarobnjaka za funkcije Excel $f_x$ omogućava vam da odredite vjerovatnoću da će određeni broj testova biti uspješan.
$f_x\to$ statistički$\to$ HYPERGEOMET$\to$ uredu. Pojavit će se dijaloški okvir koji trebate popuniti. U koloni Broj_uspjeha_u_uzorku naznačiti vrijednost $k$. veličina uzorka jednako $n$. U koloni Broj_uspjeha_u_zajedno naznačiti vrijednost $m$. populacija_veličina jednako $N$.
Matematičko očekivanje i varijansa diskretne slučajne varijable $X$, podložno geometrijskom zakonu raspodjele, su respektivno jednake $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\lijevo(1 -((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno))\preko (N-1))$.
Primjer . U kreditnoj službi banke zaposleno je 5 stručnjaka sa višom finansijskom spremom i 3 specijalista sa višom pravnom spremom. Rukovodstvo banke je odlučilo da pošalje 3 stručnjaka da poboljšaju svoje kvalifikacije, birajući ih slučajnim redoslijedom.
a) Napraviti distribucijsku seriju za broj specijalista sa višom finansijskom spremom koji se mogu poslati na unapređenje svojih kvalifikacija;
b) Pronađite numeričke karakteristike ove distribucije.
Neka je slučajna varijabla $X$ broj specijalista sa visokim finansijskim obrazovanjem među tri odabrana. Vrijednosti koje $X može uzeti: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ova slučajna varijabla $X$ se distribuira prema hipergeometrijskoj distribuciji sa sljedećim parametrima: $N=8$ - veličina populacije, $m=5$ - broj uspjeha u populaciji, $n=3$ - veličina uzorka, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - broj uspjeha u uzorku. Tada se vjerovatnoće $P\left(X=k\desno)$ mogu izračunati pomoću formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ preko C_( N)^(n) ) $. Imamo:
$P\left(X=0\desno)=((C^0_5\cdot C^3_3)\preko (C^3_8))=((1)\preko (56))\približno 0,018;$
$P\left(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (56))\približno 0,268;$
$P\left(X=2\desno)=((C^2_5\cdot C^1_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (28))\približno 0,536;$
$P\left(X=3\desno)=((C^3_5\cdot C^0_3)\preko (C^3_8))=((5)\preko (28))\približno 0,179.$
Zatim serija distribucije slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(niz)$
Izračunajmo numeričke karakteristike slučajne varijable $X$ koristeći opšte hiper formule geometrijska distribucija.
$M\left(X\desno)=((nm)\preko (N))=((3\cdot 5)\preko (8))=((15)\preko (8))=1,875.$
$D\lijevo(X\desno)=((nm\lijevo(1-((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\preko (8))\desno)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\desno))\preko (8-1))=((225)\preko (448))\cca 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$
