Metoda presjeka poliedara u stereometriji se koristi u konstrukcijskim problemima. Zasniva se na sposobnosti konstruisanja presjeka poliedra i određivanja vrste presjeka.

Ovaj materijal karakteriziraju sljedeće karakteristike:

1. Metoda presjeka se koristi samo za poliedre, jer različiti složeni (kosi) tipovi presjeka tijela rotacije nisu uključeni u nastavni plan i program srednjih škola.
2. Zadaci uglavnom koriste najjednostavnije poliedre.
3. Problemi su prikazani uglavnom bez numeričkih podataka kako bi se stvorila mogućnost njihove višestruke upotrebe.

Da bi riješio zadatak konstruisanja presjeka poliedra, učenik mora znati:

• šta znači konstruisati presek poliedra sa ravni;
• kako se poliedar i ravan mogu postaviti relativno jedan prema drugom;
• kako je ravan definisana;
• kada se problem konstruisanja presjeka poliedra ravninom smatra riješenim.

Zato što je ravan definisana:

• tri boda;
• prava linija i tačka;
• dvije paralelne prave;
• dve linije koje se seku,

Konstrukcija presečne ravni zavisi od specifikacije ove ravni. Stoga se sve metode za konstruisanje presjeka poliedara mogu podijeliti na metode.

Postoji tri glavne metode konstruisanje preseka poliedara:

1. Metoda praćenja.
2. Metoda pomoćnih sekcija.
3. Kombinovana metoda.

Prve dvije metode su varijacije Aksiomatska metoda konstrukcija sekcija.

Također možemo razlikovati sljedeće metode za konstrukciju presjeka poliedara:

• konstruisanje preseka poliedra kroz koju prolazi ravnina dati poen paralelno sa datom ravninom;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu pravu paralelno sa drugom datom pravom;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu tačku paralelno sa dve date prave koje se seku;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravninom koja prolazi kroz datu pravu okomitu na datu ravan;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju.

Savezna lista udžbenika geometrije za 10-11 razred uključuje udžbenike sljedećih autora:

• Atanasyan L.S., Butuzova V.F., Kadomtseva S.B. i drugi (Geometrija, 10-11);
• Pogorelova A.V. (Geometrija, 7-11);
• Alexandrova A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I. (Geometrija, 10-11);
• Smirnova I.M. (Geometrija, 10-11);
• Sharygina I.F. (Geometrija, 10-11).

Pogledajmo bliže udžbenike L.S., Atanasyana i A.V. Pogorelova.

U udžbeniku L.S. Atanasyanu na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“ dodijeljena su dva sata. U 10. razredu, na temu „Paralelnost pravih i ravni“, nakon proučavanja tetraedra i paralelepipeda, jedan sat se izdvaja za izlaganje paragrafa „Zadaci o građenju presjeka“. Razmatraju se presjeci tetraedra i paralelepipeda. A tema „Paralelnost pravih i ravnina“ završava se rješavanjem zadataka za jedan ili dva sata (u udžbeniku je ukupno osam zadataka za građenje dijelova).

U udžbeniku Pogorelov A.V. Za konstruisanje presjeka u poglavlju „Poliedri“ predviđeno je oko tri sata: jedan za proučavanje teme „Slika prizme i konstruisanje njenih presjeka“, drugi za proučavanje teme „Konstrukcija piramide i njenih ravnih presjeka“, a treći za rešavanje problema. Na listi zadataka koja se nalazi iza teme nalazi se samo desetak zadataka poprečnog presjeka.

Nudimo sistem lekcija na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“ za udžbenik Pogorelova A.V.

Predlaže se da se gradivo rasporedi onim redoslijedom kojim se može koristiti za podučavanje učenika. Iz prezentacije teme “Poliedri” predlaže se da se izuzmu sljedeći paragrafi: “Konstrukcija presjeka prizme” i “Konstrukcija presjeka piramide” kako bi se ovaj materijal sistematizovao na kraju ove teme “Poliedri” . Može se klasifikovati prema materiji zadataka uz približno poštovanje principa „od jednostavnog do složenog“ na sledeći način:

1. Određivanje presjeka poliedara.
2. Konstrukcija presjeka prizme, paralelepipeda, piramide metodom traga. (Po pravilu se u školskom kursu stereometrije koriste zadaci za konstruisanje preseka poliedara, koji se rešavaju osnovnim metodama. Ostale metode, zbog više visoki nivo složenosti, nastavnik može ostaviti za razmatranje na izbornoj nastavi ili za samostalno učenje. U konstrukcijskim problemima osnovne metode zahtijevaju konstruiranje presječne ravni koja prolazi kroz tri tačke).
3. Pronalaženje površine poprečnog presjeka u poliedrima (bez korištenja teoreme o površini ortogonalna projekcija poligon).
4. Pronalaženje površine poprečnog presjeka u poliedrima (pomoću teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona).

STEREOMETRIJSKI ZADACI ZA KONSTRUKCIJU PRESEKA POLIEDRA I METODE ZA NJIHOVO KORIŠĆENJE NA ČASU 10-11.

(sistem nastave i izborne nastave na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“)

LEKCIJA 1.

Tema lekcije: "Konstrukcija presjeka poliedara."

Svrha časa: upoznavanje sa metodama konstruisanja presjeka poliedara.

Koraci lekcije:

1. Ažuriranje osnovnih znanja.
2. Formulacija problema.
3. Učenje novog materijala:

A) Definicija sekcije.

B) Metode za izradu presjeka:

a) metoda praćenja;

b) način pomoćnih sekcija;

c) kombinovana metoda.

1. Učvršćivanje materijala.

Primjeri konstrukcije presjeka metodom traga.

1. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave.

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

prisjetimo se:
- presek prave sa ravninom;
- ukrštanje ravnina;
- svojstva paralelnih ravni.

2. Formulacija problema.

Pitanja za razred:
- Šta znači konstruisati presek poliedra sa ravni?
- Kako se poliedar i ravan mogu postaviti relativno jedan prema drugom?
- Kako je avion definisan?
- Kada se problem konstruisanja presjeka poliedra ravninom smatra riješenim?

3. Učenje novog gradiva.

A) Dakle, zadatak je konstruisati presek dve figure: poliedra i ravni (slika 1). To mogu biti: prazna figura (a), tačka (b), segment (c), poligon (d). Ako je sjecište poliedra i ravni mnogokut, onda se taj poligon naziva presjek poliedra ravninom.

Razmotrićemo samo slučaj kada ravan siječe poliedar duž njegove unutrašnjosti. U ovom slučaju, presjek ove ravni sa svakim licem poliedra bit će određeni segment. Dakle, problem se smatra riješenim ako se pronađu svi segmenti duž kojih ravan siječe lica poliedra.

Pregledajte dijelove kocke (slika 2) i odgovorite na sljedeća pitanja:

Koji se poligoni dobijaju kada se kocka preseče ravninom? (Broj strana poligona je važan);

[Predloženi odgovori: trougao, četvorougao, petougao, šestougao.]

Da li se kocka može preseći avionom u sedmougao? Šta je sa oktogonom itd.? Zašto?

Pogledajmo prizmu i njene moguće presjeke ravninom (na modelu). Kakvi se poligoni dobijaju?

Šta se može zaključiti? Koliki je najveći broj stranica mnogougla koji se dobije rezanjem poliedra ravninom?

[Najveći broj stranica mnogougla koji se dobije rezanjem poliedra ravninom jednak je broju strana poliedra.]

B) a) Metoda praćenja sastoji se u konstruisanju tragova rezne ravni na ravni svake strane poliedra. Konstrukcija presjeka poliedra metodom traga obično počinje izgradnjom takozvanog glavnog traga rezne ravni, tj. trag rezne ravni na ravni osnove poliedra.

b) Metoda pomoćnih sekcija konstruiranje presjeka poliedara je prilično univerzalno. U slučajevima kada je željeni trag (ili tragovi) rezne ravni izvan crteža, ova metoda ima čak i određene prednosti. Istodobno, treba imati na umu da se konstrukcije izvedene ovom metodom često ispostavljaju kao "prepune". Ipak, u nekim slučajevima metoda pomoćnih sekcija se pokazuje najracionalnijom.

Metoda praćenja i metoda pomoćnog presjeka su varijacije aksiomatska metoda konstruisanje preseka poliedara sa ravninom.

c) Suština kombinovana metoda konstruisanje presjeka poliedara sastoji se od primjene teorema o paralelizmu pravih i ravnina u prostoru u kombinaciji sa aksiomatskom metodom.

Sada, koristeći primjer rješavanja problema, pogledajmo metoda praćenja

4. Učvršćivanje materijala.

Zadatak 1.

Konstruisati presek prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ravninom koja prolazi kroz tačke P, Q, R (tačke su naznačene na crtežu (slika 3)).

Rješenje.

Rice. 3

1. Napravimo trag rezne ravni na ravni donje osnove prizme. Posmatrajmo lice AA 1 B 1 B. Na ovoj površini leže tačke preseka P i Q. Nacrtajmo pravu liniju PQ.
2. Nastavimo pravu PQ, koja pripada presjeku, sve dok ne presječe pravu AB. Dobijamo tačku S 1 koja pripada tragu.
3. Slično, dobijamo tačku S 2 presekom pravih QR i BC.
4. Prava linija S 1 S 2 - trag rezne ravni na ravan donje osnove prizme.
5. Prava S 1 S 2 seče stranu AD u tački U, stranu CD u tački T. Povežimo tačke P i U, pošto leže u istoj ravni lica AA 1 D 1 D. Slično dobijamo TU i RT.
6. PQRTU je obavezna sekcija.

Konstruisati presek paralelepipeda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P (tačke su označene na crtežu (slika 4)).

Rješenje.

1. Tačke N i P leže u ravnini preseka i u ravni donje osnove paralelepipeda. Konstruirajmo pravu liniju kroz ove tačke. Ova ravna linija je trag presečne ravni na ravan osnove paralelepipeda.
2. Nastavimo pravu liniju na kojoj strani paralelepipeda leži AB. Prave AB i NP seku se u nekoj tački S. Ova tačka pripada presečnoj ravni.
3. Pošto tačka M takođe pripada presečnoj ravni i siječe pravu AA 1 u nekoj tački X.
4. Tačke X i N leže u istoj ravni lica AA 1 D 1 D, spojite ih i dobijete pravu liniju XN.
5. Kako su ravni lica paralelepipeda paralelne, onda kroz tačku M možemo povući pravu u licu A 1 B 1 C 1 D 1 paralelnu pravoj NP. Ova prava linija će preseći stranu B 1 C 1 u tački Y.
6. Slično, crtamo pravu liniju YZ, paralelnu pravoj liniji XN. Povezujemo Z sa P i dobijamo željenu sekciju - MYZPNX.

Zadatak 3 (za samostalno rješenje).

Konstruisati presek tetraedra DACB sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P (tačke su označene na crtežu (slika 5)).

5. Sumiranje lekcije.

Odgovorite na pitanje: da li su osjenčani dijelovi prikazanih poliedara PQR ravninom? I dovršite ispravnu konstrukciju (slika 6).

Opcija 1.

Opcija 2.

Tema lekcije: PRONALAŽENJE PODRUČJA PRESJEKA.

Svrha lekcije: upoznati metode za pronalaženje površine poprečnog presjeka poliedra.

Koraci lekcije:

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

Prisjetimo se teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona.

2. Rješavanje problema za pronalaženje površine poprečnog presjeka:

Bez upotrebe teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona;

Koristeći teoremu o površini ortogonalne projekcije poligona.

3. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave.

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

Podsjetimo se teorema o površini ortogonalne projekcije poligona: Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je umnošku njegove površine i kosinusa ugla između ravnine poligona i ravnine projekcije.

2. Rješavanje problema.

ABCD - tačno trouglasta piramida sa osnovnom stranom AB jednakom A i visina DH jednaka h. Konstruišite presek piramide ravninom koja prolazi kroz tačke D, C i M, gde je M sredina stranice AB, i pronađite njenu površinu (slika 7).

Poprečni presjek piramide je trokut MCD. Nađimo njegovu oblast.

S = 1/2 DH CM = 1/2 =

Nađite površinu poprečnog presjeka kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sa rubom A ravan koja prolazi kroz vrh D i tačke E i F na ivicama A 1 D 1 i C 1 D 1, respektivno, ako je A 1 E = k D 1 E i C 1 F = k D 1 F.

Izgradnja dionice:

1. Kako tačke E i F pripadaju ravnini preseka i ravni lica A 1 B 1 C 1 D 1, a dve ravni se seku duž prave, tada će prava EF biti trag presečne ravni na ravni lica A 1 B 1 C 1 D 1 (slika 8).
2. Direktni ED i FD se dobijaju na isti način.
3. EDF je obavezna sekcija.

Zadatak 3 (za samostalno rješenje).

Konstruiraj presjek kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sa stranicom A ravan koja prolazi kroz tačke B, M i N, gde je L sredina ivice AA 1, a N sredina ivice CC 1.

Odsjek konstruiramo metodom praćenja.

Površinu poprečnog presjeka nalazimo pomoću teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona. Odgovor: S = 1/2 · a 2.

KONSTRUKCIJA PRESEKA I PRESEKA NA CRTEŽIMA

Formiranje crteža dijela vrši se uzastopnim dodavanjem potrebnih projekcija, presjeka i presjeka. U početku se kreira prilagođeni prikaz sa modelom koji je odredio korisnik, a orijentacija modela je postavljena koja je najprikladnija za glavni prikaz. Zatim, koristeći ovaj i sljedeće poglede, kreiraju se potrebni rezovi i presjeci.

Glavni pogled (pogled sprijeda) odabran je tako da daje najpotpuniju predstavu o oblicima i dimenzijama dijela.

Sekcije na crtežima

Ovisno o položaju rezne ravnine, razlikuju se sljedeće vrste rezova:

A) horizontalna, ako se rezna ravan nalazi paralelno sa horizontalnom ravninom projekcija;

B) vertikalna, ako je rezna ravan okomita na horizontalnu ravan projekcija;

C) nagnuta - rezna ravan je nagnuta prema ravnima projekcije.

Vertikalni dijelovi se dijele na:

· frontalni - rezna ravan je paralelna sa frontalnom ravninom projekcija;

· profil - rezna ravan je paralelna sa ravninom profila projekcija.
U zavisnosti od broja reznih ravnina, rezovi su:

· jednostavno - sa jednom reznom ravninom (Sl. 107);

· složeno - sa dvije ili više reznih ravnina (Sl. 108)
Standard predviđa sljedeće vrste složenih rezova:

· stepenasto, kada su ravni sečenja paralelne (sl. 108 a) i izlomljene - sečne ravni se seku (slika 108 b)

107 Jednostavan presek

A) b)

108 Složeni rezovi

Označavanje rezova

U slučaju kada se u jednostavnom preseku sekantna ravan poklapa sa ravninom simetrije objekta, presek se ne označava (Sl. 107). U svim ostalim slučajevima, rezovi su naznačeni velikim slovima Ruska abeceda, koja počinje slovom A, na primjer A-A.

Položaj rezne ravni na crtežu je označen linijom presjeka - debelom otvorenom linijom. U slučaju složenog reza, potezi se izvode i na krivinama linije presjeka. Strelice treba postaviti na početni i završni potez koji označava smjer gledanja, a strelice trebaju biti na udaljenosti od 2-3 mm od vanjskih krajeva poteza. Na vanjskoj strani svake strelice koja pokazuje smjer gledanja naneseno je isto veliko slovo.

Za označavanje rezova i presjeka u KOMPAS sistemu koristi se isto dugme Linija sečenja koja se nalazi na stranici Oznaka (Sl. 109).

109 Dugme za liniju rezanja

Povezivanje polovice pogleda sa polupresjekom

Ako su pogled i presek simetrične figure (Sl. 110), onda možete povezati polovinu pogleda i polovinu preseka, odvajajući ih tankom isprekidanom linijom, koja je osa simetrije. Deo preseka se obično nalazi desno od ose simetrije, što odvaja deo pogleda od dela preseka, odnosno ispod ose simetrije. Skrivene konturne linije na spojnim dijelovima pogleda i presjeka obično se ne prikazuju. Ako se projekcija bilo koje linije, na primjer, rub fasetirane figure, poklapa s aksijalnom linijom koja dijeli pogled i presjek, tada su pogled i presjek odvojeni punom valovitom linijom povučenom lijevo od osi simetrija ako rub leži na unutrašnjoj površini, ili udesno ako je rub vanjski.

Rice. 110 Povezivanje dijela pogleda i presjeka

Izgradnja sekcija

Proučavat ćemo konstrukciju presjeka u sistemu KOMPAS na primjeru konstruisanja crteža prizme, čiji je zadatak prikazan na slici 111.

Redoslijed crtanja je sljedeći:

1. Na osnovu datih dimenzija izgradićemo čvrsti model prizme (sl. 109 b). Spremimo model u memoriju računara u datoteku pod nazivom "Prism".

Fig.112 Panel Linije

3. Izraditi profilni presjek (Sl. 113) hajde da povučemo liniju dio A-A na glavnom prikazu pomoću dugmeta Cut line.

113 Konstrukcija profilnog presjeka

Smjer gledanja i tekst simbola mogu se odabrati na komandnoj kontrolnoj tabli na dnu ekrana (Sl. 114). Konstrukcija linije sečenja se završava klikom na dugme Kreiraj objekat.

Slika 114 Kontrolna tabla za komandu za konstruisanje sekcija i sekcija

4. Na panelu Asocijativni prikazi (Sl. 115), izaberite dugme Cut Linija, a zatim koristite zamku koja se pojavljuje na ekranu da označite liniju reza. Ako je sve urađeno kako treba (linija rezanja mora biti uvučena aktivni oblik), linija reza će postati crvena. Nakon što odredite liniju reza A-A, na ekranu će se pojaviti fantomska slika u obliku ukupnog pravokutnika.

Slika 115 Panel Asocijativni pogledi

Koristeći prekidač Sekcija/presek na panelu Svojstva, birate tip slike – Presek (Sl. 116) i razmeru prikazanog preseka.

Slika 116 Upravljačka tabla za komandu za izradu sekcija i sekcija

Profilna sekcija će se izrađivati ​​automatski u projekcijskom spoju i sa standardnom oznakom. Ako je potrebno, projekcijska komunikacija se može isključiti prekidačem Priključak za projekciju (sl. 116). Za konfiguriranje parametara šrafure koji će se koristiti u kreiranoj sekciji (odjeljku), koristite kontrole na kartici Šrafiranje.

117 Konstrukcija horizontale odjeljak B-B i sekcije B-B

Ako se odabrana rezna ravnina pri konstruiranju presjeka poklapa s ravninom simetrije dijela, tada u skladu sa standardom takav presjek nije označen. Ali ako jednostavno izbrišete oznaku dijela, onda će zbog činjenice da su pogled i odjeljak u memoriji računala međusobno povezani, cijeli odjeljak biti izbrisan. Stoga, da biste izbrisali oznaku, prvo morate uništiti vezu između pogleda i sekcije. Da biste to uradili, kliknite levim tasterom miša da biste izabrali sekciju, a zatim kliknite desnim tasterom miša da biste otvorili kontekstni meni, iz kojeg izaberite stavku Destroy View (Sl. 97). Simbol rezanja sada se može ukloniti.

5. Da biste napravili horizontalni presjek, povucite liniju rezanja B-B kroz donju ravan rupe u pogledu sprijeda. Prvo morate učiniti trenutni pogled sprijeda dvostrukim klikom na lijevu tipku miša. Zatim se konstruiše horizontalni presek (Sl. 117).

6. Prilikom izrade frontalnog presjeka kombinujemo dio pogleda i dio presjeka, jer ovo su simetrične figure. Vanjski rub prizme je projektovan na liniju koja dijeli pogled i presjek, pa ćemo razlikovati pogled i presjek sa punom tankom valovitom linijom povučenom desno od ose simetrije, jer vanjsko rebro. Da nacrtate talasastu liniju, koristite dugme Bezierova kriva koja se nalazi na panelu Geometry, nacrtana stilom For break line (Sl. 118). Navedite tačke kroz koje Bezierova kriva treba da prođe. Možete završiti izvršavanje naredbe klikom na dugme Kreiraj objekat.

Slika 118 Odabir stila linije za prijelom

Izgradnja sekcija

Presjek je slika objekta koja se dobije mentalnim seciranjem objekta ravninom. Sekcija prikazuje samo ono što se nalazi u ravni sečenja.

Položaj rezne ravni, pomoću koje se formira presjek, na crtežu je označen linijom presjeka, kao i za rezove.

Odjeljci, ovisno o njihovoj lokaciji na crtežima, podijeljeni su na proširene i postavljene. Izvađeni dijelovi najčešće se nalaze na slobodnom polju crteža i ocrtani su glavnom linijom. Superponirani dijelovi se postavljaju direktno na sliku objekta i ocrtavaju tankim linijama (sl. 119).

119 Konstrukcija sekcija

Razmotrimo redoslijed konstruiranja crteža prizme sa pomaknutim kosim presjekom B-B (sl. 117).

1. Napravite pogled sprijeda aktivnim dvostrukim klikom lijeve tipke miša na prikaz i nacrtajte liniju presjeka koristeći dugme Cut line . Odaberite tekst natpisa V-V.

2. Koristeći dugme Cut Line koje se nalazi na panelu Asocijativni prikazi (Sl. 115), zamka koja se pojavi će ukazati na liniju preseka avion B-B. Pomoću prekidača Sekcija/presek na traci sa svojstvima izaberite tip slike – Presek (Sl. 116), razmera prikazanog preseka se bira iz prozora Scale.

Konstruisani presek se nalazi u projekcijskoj vezi, što ograničava njeno kretanje na crtežu, ali se projekcijska veza može onemogućiti pomoću dugmeta Projekciona komunikacija.

Na gotovom crtežu treba nacrtati aksijalne linije i, ako je potrebno, dodati dimenzije.

Kao što znate, svaki ispit iz matematike kao glavni dio sadrži rješavanje problema. Sposobnost rješavanja problema je glavni pokazatelj nivoa matematičkog razvoja.

Nerijetko se na školskim ispitima, kao i na ispitima koji se održavaju na fakultetima i tehničkim školama, dešavaju slučajevi da se učenici koji pokažu dobre rezultate iz oblasti teorije, koji znaju sve potrebne definicije i teoreme, jako zbune prilikom rješavanja jednostavni zadaci.

Tokom godina školovanja svaki učenik rješava veliki broj zadataka, ali se istovremeno svim učenicima nude isti zadaci. I ako neki učenici nauče opšta pravila i metode za rješavanje problema, onda drugi, naišavši na problem nepoznatog tipa, ne znaju ni kako da mu pristupe.

Jedan od razloga za ovakvu situaciju je taj što ako se neki učenici udube u proces rješavanja problema i pokušaju da shvate i razumiju opšte tehnike i metode za njihovo rješavanje, onda drugi ne razmišljaju o tome, pokušavaju riješiti predložene probleme što je brže moguće.

Mnogi studenti ne analiziraju probleme koji se rješavaju i ne identifikuju opšte tehnike i metode za njihovo rješavanje. U takvim slučajevima problemi se rješavaju samo radi dobijanja željenog odgovora.

Na primjer, mnogi studenti ni ne znaju šta je suština rješavanja građevinskih problema. Ali građevinski zadaci su obavezni zadaci na kursu stereometrije. Ovi problemi nisu samo lijepi i originalni u načinu rješavanja, već imaju i veliku praktičnu vrijednost.

Zahvaljujući zadacima izgradnje, razvija se sposobnost mentalnog zamišljanja jednog ili drugog. geometrijska figura, razvija se prostorno razmišljanje, logičko razmišljanje, kao i geometrijska intuicija. Konstrukcijski problemi razvijaju praktične vještine rješavanja problema.

Konstrukcijski problemi nisu jednostavni, jer ne postoji jedinstveno pravilo ili algoritam za njihovo rješavanje. Svaki novi zadatak je jedinstven i zahteva individualni pristup do odluke.

Proces rješavanja bilo kojeg konstrukcijskog problema je niz nekih međukonstrukcija koje vode do cilja.

Konstrukcija presjeka poliedara zasniva se na sljedećim aksiomima:

1) Ako dvije tačke prave leže u određenoj ravni, onda cela prava leži u ovoj ravni;

2) Ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda se sijeku duž prave linije koja prolazi kroz ovu tačku.

Teorema: Ako dvije paralelne ravni siječe treća ravan, tada su prave linije ukrštanja paralelne.

Konstruirajte presjek poliedra sa ravninom koja prolazi kroz tačke A, B i C. Razmotrite sljedeće primjere.

Metoda praćenja

I. Build presjek prizme ravan koja prolazi kroz datu pravu liniju g (trag) na ravni jedne od osnova prizme i tačke A.

Slučaj 1.

Tačka A pripada drugoj osnovi prizme (ili licu paralelnom pravoj g) - rezna ravan siječe ovu osnovu (lice) duž segmenta BC paralelnog tragu g .

Slučaj 2.

Tačka A pripada bočnoj strani prizme:

Segment BC prave AD je presek ove površine sa ravninom sečenja.

Slučaj 3.

Konstruisanje preseka četvorougaone prizme sa ravninom koja prolazi kroz pravu liniju g u ravni donje osnove prizme i tačkom A na jednoj od bočnih ivica.

II. Build poprečni presek piramide ravan koja prolazi kroz datu pravu liniju g (trag) na ravni osnove piramide i tačke A.

Da bi se konstruisao presek piramide sa ravninom, dovoljno je konstruisati preseke njenih bočnih strana sa ravninom sečenja.

Slučaj 1.

Ako tačka A pripada površini koja je paralelna pravoj g, tada rezna ravan siječe ovo lice duž segmenta BC paralelnog tragu g.

Slučaj 2.

Ako se tačka A, koja pripada presjeku, nalazi na površini koja nije paralelna s licem traga g, tada:

1) konstruisana je tačka D u kojoj ravan lica seče dati trag g;

2) kroz tačke A i D povući pravu liniju.

Segment BC prave AD je presek ove površine sa ravninom sečenja.

Krajevi segmenta BC također pripadaju susjednim plohama. Zbog toga je opisanom metodom moguće konstruisati presek ovih lica sa ravninom sečenja. itd.

Slučaj 3.

Konstruisanje preseka četvorougaone piramide sa ravninom koja prolazi kroz stranu osnove i tačkom A na jednoj od bočnih ivica.

Problemi koji uključuju konstruisanje preseka kroz tačku na licu

1. Konstruisati presek tetraedra ABCD ravninom koja prolazi kroz vrh C i tačke M i N na stranama ACD i ABC, respektivno.

Tačke C i M leže na licu ACD, što znači da prava linija CM leži u ravni ovog lica (Sl. 1).

Neka je P tačka preseka pravih CM i AD. Slično, tačke C i N leže u licu ACB, što znači da prava linija CN leži u ravni ovog lica. Neka je Q tačka preseka pravih CN i AB. Tačke P i Q pripadaju i presječnoj ravni i licu ABD. Dakle, segment PQ je strana presjeka. Dakle, trokut CPQ je potrebna sekcija.

2. Konstruišite presek tetraedra ABCD ravninom MPN, gde tačke M, N, P leže redom na ivici AD, na licu BCD i na licu ABC, a MN nije paralelna ravnini lica ABC (sl. 2).

Imate još pitanja? Ne znate kako konstruirati poprečni presjek poliedra?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Cilj rada:
Razvoj prostornih koncepata.
Zadaci:
1. Uvesti pravila za građenje presjeka.
2. Razviti vještine u konstruiranju sekcija
tetraedar i paralelepiped na različitim mjestima
slučajevi specificiranja rezne ravni.
3. Razviti sposobnost primjene pravila
konstruisanje preseka pri rešavanju zadataka na
teme "Poliedri".

Rešiti mnoge
geometrijski
potrebni zadaci
izgraditi sekcije
poliedri
razne
avioni.

Koncept rezne ravni

Secant
avion
paralelepiped
(tetraedar)
zove bilo koji
avion, sa obe strane
strane od
koji ima
tačke datog
paralelepiped
(tetraedar).

Koncept presjeka poliedra

Ravan za sečenje
prelazi ivice
tetraedar
(paralelepiped) po
segmentima.
Poligon, strane
koji je podatak
segmenti se nazivaju
presjek tetraedra
(paralelepiped).

Rad po crtežima

Koliko se aviona može nacrtati
kroz odabrane elemente?
Koje ste aksiome i teoreme primijenili?

Za izgradnju sekcije
potrebno je iscrtati tačke
sekantna raskrsnica
ravni sa ivicama i
povežite ih segmentima.

Pravila za građenje sekcija

1. Možete povezati samo dva
tačke koje leže u ravni jedne
ivice.
2. Sečna ravan se siječe
paralelna lica duž
paralelni segmenti.

Pravila za građenje sekcija

3. Ako je ravnina lica označena
pripada samo jedna tačka
presek ravni, onda je to neophodno
konstruisati dodatnu tačku.
Da biste to učinili, morate pronaći bodove
raskrsnice već izgrađenih
prave linije sa drugim pravim linijama,
leže na istim ivicama.

10. Konstrukcija presjeka tetraedra

11.

Tetraedar ima 4 lica
U dijelovima može ispasti
Trouglovi
Četvorouglovi

12.

Konstruirajte poprečni presjek tetraedra
DABC avion prolazi
kroz tačke M,N,K
1. Povucimo pravu liniju
tačke M i K, jer oni lažu
u jednom licu (ADC).
D
M
AA.
N
K
BB
CC
2. Povucimo pravu liniju
tačke K i N, jer Oni
lezi na istoj strani
(CDB).
3. Slično tvrdeći,
nacrtati pravu liniju MN.
4. Trougao MNK –
željeni dio.

13. prolazeći kroz tačku M paralelno sa ABC.

D
1. Provucimo tačku M
ravna paralela
rub AB
2.
M
R
A
TO
WITH
IN
Prođimo kroz tačku M
ravna paralela
edge AC
3. Povucimo pravu liniju
tačke K i P, jer oni leže unutra
jedno lice (DBC)
4. Trougao MPK –
željeni dio.

14.

Konstruisati presek tetraedra ravninom,
prolazeći kroz tačke E, F, K.
D
1. Izvodimo KF.
2. Izvodimo FE.
3. Nastavimo
EF, nastavimo AC.
F
4.EF AC =M
5. Izvodimo
MK.
E
M
AB=L
6.
MK
C
A
7. Provedite EL
L
EFKL – potrebna sekcija
K
B

15.

Konstruisati presek tetraedra ravninom,
prolazeći kroz tačke E, F, K
Koji
whatstraight
tačka,
leži u
Može
Povežite se
rezultirajuće
Koji
bodova
Može
odmah
to
isto
ivice
Može
nastavi,
to
dobiti
bodovi,
laganje
V
jedan
povezati?
povezati
primljeno
dodatno
tačka?
ivice,
ime
odjeljak.
dodatni poen?
D
AC
ELFK
FSEC
i tačku
K i E
i FK
F
L
C
M
A
E
K
B

16.

Konstruišite sekciju
ravan tetraedra,
prolaz kroz tačke
E, F, K.
D
F
L
C
A
E
K
B
O

17.

Zaključak: bez obzira na metodu
konstrukcijski dijelovi su isti

18. Konstrukcija preseka paralelepipeda

19.

Tetraedar ima 6 lica
Trouglovi
Pentagoni
U svojim dijelovima može se ispostaviti
Četvorouglovi
Hexagons

20. Konstruirajte presjek paralelepipeda sa ravninom koja prolazi kroz tačku X paralelno s ravninom (OSV)

U 1
A1
Y
X
D1
S
IN
A
D
Z
1. Hajde da vas provedemo
C1
tačka X prava linija
paralelno sa ivicom
D1C1
2. Kroz tačku X
direktno
paralelno sa ivicom
D1D
3. Kroz tačku Z prolazi prava linija
paralelno sa ivicom
WITH
DC
4. Povucimo pravu liniju
tačke S i Y, jer oni leže unutra
jedno lice (BB1C1)
XYSZ – potrebna sekcija

21.

Konstruišite presek paralelepipeda
ravan koja prolazi kroz tačke
M,A,D
U 1
D1
E
A1
C1
IN
A
1. AD
2. MD
3. ME//AD, jer (ABC)//(A1B1C1)
4. A.E.
5. AEMD – obavezna sekcija
M
D
WITH

22. Konstruiraj presek paralelepipeda sa ravni koja prolazi kroz tačke M, K, T

N
M
TO
R
S
X
T

23. Dovršite zadatke sami

m
T
To
m
D
To
T
Konstruišite presek: a) paralelepipeda;
b) tetraedar
ravan koja prolazi kroz tačke M, T, K.

24. Korišteni resursi

Soboleva L. I. Konstrukcija sekcija
Tkacheva V.V. Izgradnja sekcija
tetraedar i paralelepiped
Gobozova L.V. Građevinski problemi
sekcije
DVD. Lekcije geometrije od Kirila i
Metodije. 10. razred, 2005
Zadaci obuke i testiranja.
Geometrija. 10. razred (sveska)/Alešina
T.N. – M.: Intelekt-Centar, 1998

Dmitriev Anton, Kireev Alexander

Ova prezentacija jasno pokazuje, korak po korak, primjere konstruisanja sekcija od jednostavnijih do složenijih problema. Animacija vam omogućava da vidite faze izgradnje sekcija

Skinuti:

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte račun za sebe ( račun) Guglajte i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Konstrukcija presjeka poliedra na primjeru prizme ® Kreatori: Anton Dmitriev, Alexander Kireev. Uz pomoć: Olge Viktorovne Gudkove

Plan časa Algoritmi za izradu odlomaka Samotestiranje Zadaci za demonstraciju Zadaci za konsolidaciju gradiva

Algoritmi za konstruisanje preseka tragova paralelnih linija paralelnog prenosa presečne ravni unutrašnjeg dizajna, kombinovana metoda dodavanja n-ugaone prizme trouglastoj prizmi Konstrukcija preseka metodom:

Konstruisanje preseka metodom traga Osnovni pojmovi i veštine Konstruisanje traga prave linije na ravni Konstruisanje traga presečne ravni Konstruisanje preseka

Algoritam za konstruisanje preseka metodom praćenja. Saznajte da li postoje dve tačke preseka na jednoj strani (ako je tako, možete kroz njih nacrtati stranu preseka). Konstruisati trag preseka na ravni osnove poliedra. Pronađite dodatnu tačku preseka na ivici poliedra (proširite osnovnu stranu lica koje sadrži tačku preseka dok se ne preseče sa tragom). Nacrtajte ravnu liniju kroz rezultujuću dodatnu tačku na tragu i tačku preseka na izabranom licu, označavajući njene presečne tačke sa ivicama lica. Dovršite 1. korak.

Konstruisanje preseka prizme Ne postoje dve tačke koje pripadaju istoj površini. Tačka R leži u ravni baze. Nađimo trag prave KQ na osnovnoj ravni: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R je trag preseka. 3. T1R ∩CD=E. 4. Uradimo EQ. EQ∩DD1=N. 5. Izvodimo NK. NK ∩AA1=M. 6. Povežite M i R. Konstruirajte presjek ravninom α koja prolazi tačke K,Q,R; K = ADD1, Q = CDD1, R = AB.

Metoda paralelnih pravih Metoda se zasniva na svojstvu paralelnih ravni: „Ako se dvije paralelne ravni sijeku trećinom, tada su linije njihovog ukrštanja paralelne. Osnovne vještine i koncepti Konstruisanje ravni paralelne datoj Konstruisanje linije preseka ravni Konstruisanje preseka

Algoritam za konstruisanje preseka metodom paralelnih linija. Konstruišemo projekcije tačaka koje definišu presek. Kroz dvije date tačke (na primjer P i Q) i njihove projekcije crtamo ravan. Kroz treću tačku (na primjer R) konstruiramo ravan paralelnu s njom α. Pronalazimo linije preseka (na primer m i n) ravni α sa stranama poliedra koji sadrži tačke P i Q. Kroz tačku R povlačimo pravu paralelnu sa PQ. Nalazimo tačke preseka prave a sa pravima m i n. Nalazimo tačke preseka sa ivicama odgovarajućeg lica.

(PRIZMA) Konstruišemo projekcije tačaka P i Q na ravan gornje i donje baze. Crtamo ravan P1Q1Q2P2. Kroz ivicu koja sadrži tačku R povlačimo ravan α paralelnu sa P1Q1Q2. Nalazimo presečne linije ravni ABB1 i CDD1 sa ravninom α. Kroz tačku R povlačimo pravu liniju a||PQ. a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR je obavezna sekcija. Konstruirajte presjek ravninom α koja prolazi tačke P,Q,R; P = ABB1, Q = CDD1, R = EE1.

Metoda paralelne translacije presečne ravni Konstruišemo pomoćni presek ovog poliedra koji zadovoljava sledeće zahteve: paralelan je sa ravni sečenja; na presjeku sa površinom datog poliedra formira trokut. Povezujemo projekciju vrha trokuta sa vrhovima lica poliedra koji seče pomoćni presek i nalazimo tačke preseka sa stranicom trougla koja leži u ovoj plohi. Povežite vrh trougla sa ovim tačkama. Kroz tačku željenog preseka povlačimo prave linije paralelne sa konstruisanim segmentima u prethodnom pasusu i nalazimo tačke preseka sa ivicama poliedra.

PRISM R = AA1, P = EDD1, Q = CDD1. Konstruirajmo pomoćnu sekciju AMQ1 ||RPQ. Izvršimo AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1 - projekcija tačaka P i M na ABC. Izvršimo P1B i P1C. R1V∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Kroz tačku P povlačimo prave m i n, respektivno, paralelne sa MO1 i MO2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – traženi presek Konstruisati presek prizme ravninom α koja prolazi kroz tačke P,Q,R; P = EDD1, Q = CDD1, R = AA1.

Algoritam za konstruisanje preseka metodom internog projektovanja. Konstruirajte pomoćne dijelove i pronađite liniju njihovog sjecišta. Konstruirajte trag preseka na ivici poliedra. Ako nema dovoljno tačaka preseka za izgradnju samog preseka, ponovite korake 1-2.

Izgradnja pomoćnih dionica. PRISMA Paralelni dizajn.

Izrada traga preseka na ivici

Kombinovana metoda. Povucite ravan β kroz drugu pravu q i neku tačku W prve prave p. U β ravni, kroz tačku W, povucite pravu liniju q‘ paralelnu sa q. Prave koje se seku p i q‘ definišu ravan α. Direktna konstrukcija presjeka poliedra ravninom α Suština metode je primjena teorema o paralelizmu pravih i ravnina u prostoru u kombinaciji sa aksiomatskom metodom. Koristi se za konstruisanje preseka poliedra sa uslovom paralelizma. 1. Konstruisanje preseka poliedra sa ravni α koja prolazi kroz datu pravu p paralelnu sa drugom datom pravom q.

PRIZMA Konstruisati presek prizme sa ravni α koja prolazi kroz pravu PQ paralelnu sa AE1; P = BE, Q = E1C1. 1. Povucite ravan kroz pravu AE1 i tačku P. 2. U ravni AE1P kroz tačku P povucite pravu q" paralelnu sa AE1. q"∩E1S’=K. 3. Tražena ravan α je određena linijama koje seku PQ i PK. 4. P1 i K1 su projekcije tačaka P i K na A1B1C1. P1K1∩PK=S.” S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL je obavezna sekcija.

Metoda dopunjavanja n-ugaone prizme (piramide) u trouglastu prizmu (piramidu). Ova prizma (piramida) se gradi do trokutaste prizme (piramide) od onih lica na bočnim ivicama ili plohama čijih se bočnih ivica nalaze tačke koje određuju željeni presjek. Konstruiran je poprečni presjek rezultirajuće trouglaste prizme (piramide). Željeni presek se dobija kao deo preseka trouglaste prizme (piramide).

Osnovni koncepti i vještine Izrada pomoćnih presjeka Izrada traga presjeka na ivici Izrada presjeka Centralni dizajn Paralelni dizajn

PRISM Q = BB1C1C, P = AA1, R = EDD1E1. Dopunjavamo prizmu u trouglastu. Da biste to učinili, proširite stranice donje baze: AE, BC, ED i gornje baze: A 1 E 1, B 1 C 1, E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1 ∩B1C1=K1, E1D1 ∩B1C1=L1. Konstruiramo presjek rezultirajuće prizme KLEK1L1E1 koristeći PQR ravan koristeći metodu internog dizajna. Ovaj dio je dio onoga što tražimo. Konstruišemo potrebnu sekciju.

Pravilo za samokontrolu Ako je poliedar konveksan, tada je presjek konveksan poligon. Vrhovi poligona uvijek leže na ivicama poliedra. Ako tačke preseka leže na ivicama poliedra, onda su to vrhovi poligona koji će se dobiti u preseku. Ako tačke preseka leže na stranama poliedra, onda leže na stranama poligona koji će se dobiti u preseku. Dvije strane poligona koje se dobije u presjeku ne mogu pripadati istoj strani poliedra. Ako presjek siječe dvije paralelne strane, tada će segmenti (stranice poligona koje će se dobiti u presjeku) biti paralelni.

Osnovni problemi za konstruisanje preseka poliedara Ako dve ravni imaju dve zajedničke tačke, onda je prava linija povučena kroz ove tačke presečna linija ovih ravni. M = AD, N = DCC1, D1 ; ABCDA1B1C1D1 - kocka M = ADD1, D1 = ADD1, MD1. D1 ê D1DC, N ê D1DC, D1N ∩ DC=Q. M = ABC, Q = ABC, MQ. II. Ako se dvije paralelne ravni sijeku trećom, tada su linije njihovog presjeka paralelne. M = CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- kubni MK||AD1, K ê BC. M = DCC1, D1 = DCC1, MD1. A = ABC, K = ABC, AK.

III. Zajednička tačka tri ravni (vrh trougla) je zajednička tačka linija njihovog uparenog preseka (ivice trodelnog ugla). M = AB, N = AA1, K = A1D1; ABCDA1B1C1D1- kubni NK∩AD=F1 - vrh troedarskog ugla formiranog od ravni α, ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - vrh troedarskog ugla formiranog od ravni α, ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - vrh troedarskog ugla formiranog od ravni α, D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Ako ravan prolazi kroz pravu paralelnu drugoj ravni i siječe je, tada je linija presjeka paralelna s ovom pravom. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1 - prizma. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Povežite A1,P i C.

V. Ako prava leži u ravnini preseka, tada je tačka njenog preseka sa ravninom lica poliedra vrh trodelnog ugla koji formiraju presek, lice i pomoćna ravan koja sadrži ovu pravu. M = A1B1C1, K = BCC1, N = ABC; ABCDA1B1C1 je paralelepiped. 1 . Pomoćna ravan MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S je vrh troedarskog ugla koji formiraju ravni: α, ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Zadaci. Koja slika prikazuje presjek kocke koji koristi ABC ravan? Koliko se ravnina može povući kroz odabrane elemente? Koje ste aksiome i teoreme primijenili? Zaključite kako konstruirati presjek u kocki? Prisjetimo se faza izgradnje presjeka tetraedra (paralelepiped, kocka). Do kojih poligona to može rezultirati?