Proširite funkciju po stepenu x. Proširenje funkcija u nizove stepena

"Pronađi proširenje Maclaurinove serije funkcije f(x)"- upravo tako zvuči zadatak iz više matematike koji neki učenici mogu, a drugi ne mogu da se nose sa primjerima. Postoji nekoliko načina za proširenje niza po moćima. Ovdje ćemo dati tehniku ​​proširenja funkcija u Maclaurinov niz. Kada razvijate funkciju u nizu, morate biti dobri u izračunavanju izvedenica.

Primjer 4.7 Proširiti funkciju po stepenu x

Proračuni: Proširivanje funkcije vršimo prema Maclaurinovoj formuli. Prvo, proširimo nazivnik funkcije u niz

Konačno, pomnožite proširenje brojicom.
Prvi član je vrijednost funkcije na nuli f (0) = 1/3.
Nađimo izvode funkcije prvog i višeg reda f (x) i vrijednost tih izvoda u tački x=0




Zatim, na osnovu obrasca promjene vrijednosti derivata na 0, pišemo formulu za n-ti izvod

Dakle, imenilac predstavljamo u obliku ekspanzije u Maclaurinovom nizu

Množimo s brojnikom i dobijemo željeno proširenje funkcije u niz po stepenu x

Kao što vidite, ovdje nema ništa komplikovano.
Sve ključne tačke se zasnivaju na sposobnosti izračunavanja izvedenica i brzog generalizovanja vrednosti derivata višeg reda na nuli. Sljedeći primjeri će vam pomoći da naučite kako brzo urediti funkciju u nizu.

Primjer 4.10 Pronađite proširenje funkcije Maclaurinov red

Proračuni: Kao što ste možda pretpostavili, kosinus ćemo staviti u brojiocu u niz. Da biste to učinili, možete koristiti formule za beskonačno male količine ili izvesti kosinusnu ekspanziju kroz derivacije. Kao rezultat, dolazimo do sljedeće serije po stepenu x

Kao što vidite, imamo minimum proračuna i kompaktan prikaz proširenja serije.

Primjer 4.16 Proširite funkciju po stepenu x:
7/(12-x-x^2)
Proračuni: U ovakvim primjerima potrebno je razlomak proširiti kroz zbir prostih razlomaka.
Nećemo vam sada pokazati kako to učiniti, ali uz pomoć neizvesni koeficijenti Dođimo do zbira razlomaka.
Zatim zapisujemo nazivnike u eksponencijalnom obliku

Ostaje proširiti pojmove koristeći Maclaurin formulu. Zbrajajući pojmove sa istim potencijama "x", sastavljamo formulu za opći član proširenja funkcije u niz



Posljednji dio prijelaza na seriju na početku je teško implementirati, jer je teško kombinirati formule za uparene i nesparene indekse (stupnjeve), ali s vježbom ćete biti bolji u tome.

Primjer 4.18 Naći proširenje funkcije u Maclaurinov red

Izračuni: Nađimo derivaciju ove funkcije:

Proširimo funkciju u niz koristeći jednu od McLarenovih formula:

Zbrajamo seriju pojam po član na osnovu činjenice da su oba apsolutno identična. Integracijom čitavog niza član po član, dobijamo proširenje funkcije u niz po stepenu x

Postoji prijelaz između zadnja dva reda ekspanzije što će vam na početku oduzeti dosta vremena. Generaliziranje formule serije nije lako za svakoga, stoga ne brinite da nećete moći dobiti lijepu, kompaktnu formulu.

Primjer 4.28 Pronađite proširenje funkcije Maclaurinov red:

Zapišimo logaritam na sljedeći način

Koristeći Maclaurinovu formulu, proširujemo logaritamsku funkciju u niz po stepenu x

Konačna konvolucija je na prvi pogled složena, ali kada se izmjenjuju znakovi uvijek ćete dobiti nešto slično. Ulazna lekcija na temu rasporeda funkcija u nizu je završena. Ostale jednako zanimljive šeme dekompozicije će biti detaljno razmotrene u sljedećim materijalima.

Ako funkcija f(x) ima derivate svih redova na određenom intervalu koji sadrži tačku a, tada se na nju može primijeniti Taylorova formula:
,
Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:
, gdje je broj x između x i a.

f(x)=

u tački x 0 = Broj elemenata reda 3 4 5 6 7

Koristite razlaganje elementarne funkcije e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Pravila za unos funkcija:

Ako za neku vrijednost X r n→0 at n→∞, tada se u granici Taylor formula pretvara u konvergentnu formulu za ovu vrijednost Taylor serija:
,
Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov red u tački x koja se razmatra ako:
1) ima derivate svih naloga;
2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.

Kada je a = 0, dobijamo niz nazvan blizu Maclaurina:
,
Proširenje najjednostavnijih (elementarnih) funkcija u Maclaurin seriji:
Eksponencijalne funkcije
, R=∞
Trigonometrijske funkcije
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne širi po stepenu x, jer ctg0=∞
Hiperboličke funkcije


Logaritamske funkcije
, -1
Binomni nizovi
.

Primjer br. 1. Proširite funkciju u niz stepena f(x)= 2x.
Rješenje. Nađimo vrijednosti funkcije i njenih derivata na X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x u 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Zamjenom dobijenih vrijednosti derivata u formulu Taylorovog reda, dobivamo:

Radijus konvergencije ovog niza jednak je beskonačnosti, stoga ovo proširenje vrijedi za -∞<x<+∞.

Primjer br. 2. Napišite Taylorov niz u potencijama ( X+4) za funkciju f(x)= e x.
Rješenje. Pronalaženje izvoda funkcije e x i njihove vrijednosti u tom trenutku X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Prema tome, traženi Taylorov red funkcije ima oblik:

Ovo proširenje vrijedi i za -∞<x<+∞.

Primjer br. 3. Proširite funkciju f(x)=ln x u nizu moći ( X- 1),
(tj. u Tejlorovom nizu u blizini tačke X=1).
Rješenje. Pronađite izvode ove funkcije.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Zamjenom ovih vrijednosti u formulu, dobijamo željeni Taylorov niz:

Koristeći d'Alembertov test, možete provjeriti da se niz konvergira na ½x-1½<1 . Действительно,

Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobijamo naizmeničnu seriju koja zadovoljava uslove Lajbnicovog kriterijuma. Kada je x=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog reda je poluotvoreni interval (0;2).

Primjer br. 4. Proširite funkciju u niz stepena.
Rješenje. U proširenju (1) zamjenjujemo x sa -x 2, dobijamo:
, -∞

Primjer br. 5. Proširite funkciju u Maclaurin seriju.
Rješenje. Imamo
Koristeći formulu (4), možemo napisati:

zamjenom –x umjesto x u formuli, dobijamo:

Odavde nalazimo: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Otvaranjem zagrada, preuređivanjem termina serije i dovođenjem sličnih pojmova, dobijamo
. Ovaj niz konvergira u intervalu (-1;1), jer se dobija iz dva niza, od kojih svaki konvergira u ovom intervalu.

Komentar .
Formule (1)-(5) se također mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširenje funkcija u pozitivnim cijelim potencijama ( Ha). Da biste to učinili, potrebno je izvršiti takve identične transformacije na datoj funkciji kako bi se dobila jedna od funkcija (1)-(5), u kojoj umjesto X košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno napraviti promjenu varijable t=Ha i proširi rezultujuću funkciju u odnosu na t u Maclaurinovom nizu.

Ova metoda je zasnovana na teoremi o jedinstvenosti proširenja funkcije u niz stepena. Suština ove teoreme je da se u okolini iste tačke ne mogu dobiti dva različita niza stepena koji bi konvergirali istoj funkciji, bez obzira na to kako se vrši njeno proširenje.

Primjer br. 5a. Proširite funkciju u Maclaurinov niz i označite područje konvergencije.
Rješenje. Prvo nalazimo 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
na osnovno:

Razlomak 3/(1-3x) se može smatrati zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa nazivnikom 3x, ako je |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

sa područjem konvergencije |x|< 1/3.

Primjer br. 6. Proširite funkciju u Taylorov red u blizini tačke x = 3.
Rješenje. Ovaj se problem može riješiti, kao i prije, korištenjem definicije Taylorovog reda, za koji trebamo pronaći derivacije funkcije i njihove vrijednosti na X=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeće proširenje (5):
=
Rezultirajući niz konvergira na ili –3

Primjer br. 7. Napišite Taylorov red po stepenu (x -1) funkcije ln(x+2) .
Rješenje.


Serija konvergira na , ili -2< x < 5.

Primjer br. 8. Proširiti funkciju f(x)=sin(πx/4) u Taylorov red u blizini tačke x =2.
Rješenje. Napravimo zamjenu t=x-2:

Koristeći ekspanziju (3), u kojoj zamjenjujemo π / 4 t umjesto x, dobijamo:

Rezultirajući niz konvergira datoj funkciji na -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞dakle,
, (-∞

Približni proračuni korištenjem nizova stepena

Redovi snaga se široko koriste u približnim proračunima. Uz njihovu pomoć možete izračunati vrijednosti korijena, trigonometrijske funkcije, logaritme brojeva i određene integrale sa zadanom točnošću. Redovi se također koriste pri integraciji diferencijalnih jednačina.
Razmotrimo proširenje funkcije u niz stepena:

Da bi se izračunala približna vrijednost funkcije u datoj tački X, koji pripada području konvergencije navedenog niza, prvi su ostavljeni u njegovoj ekspanziji nčlanovi ( n– konačan broj), a preostali pojmovi se odbacuju:

Za procjenu greške dobijene približne vrijednosti potrebno je procijeniti odbačeni ostatak rn (x) . Da biste to učinili, koristite sljedeće tehnike:

• ako je rezultirajući niz naizmjeničan, tada se koristi sljedeće svojstvo: za naizmjenični niz koji zadovoljava Leibnizove uslove, ostatak niza u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi prvi odbačeni član.
• ako je dati niz konstantnog predznaka, tada se niz sastavljen od odbačenih članova upoređuje sa beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom.
• u opštem slučaju, da biste procenili ostatak Taylorovog niza, možete koristiti Lagrangeovu formulu: a x ).

Primjer br. 1. Izračunajte ln(3) na najbliže 0,01.
Rješenje. Koristimo proširenje gdje je x=1/2 (vidi primjer 5 u prethodnoj temi):

Provjerimo da li možemo odbaciti ostatak nakon prva tri člana proširenja da bismo to učinili, procijenićemo ga koristeći zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije:

Tako da možemo odbaciti ovaj ostatak i dobiti

Primjer br. 2. Izračunajte na najbližih 0,0001.
Rješenje. Koristimo binomni niz. Budući da je 5 3 kocka cijelog broja najbliži 130, preporučljivo je broj 130 predstaviti kao 130 = 5 3 +5.



budući da je već četvrti član rezultirajućeg naizmjeničnog niza koji zadovoljava Leibnizov kriterij manji od tražene tačnosti:
, tako da se on i uslovi koji slijede mogu odbaciti.
Mnogi praktično potrebni određeni ili nepravilni integrali ne mogu se izračunati pomoću Newton-Leibnizove formule, jer je njena primjena povezana s pronalaženjem antiderivata, koji često nema izraz u elementarnim funkcijama. Dešava se i da je pronalaženje antiderivata moguće, ali je to nepotrebno radno intenzivno. Međutim, ako se funkcija integranda proširi u niz stepena, a granice integracije pripadaju intervalu konvergencije ovog niza, tada je moguće približno izračunavanje integrala sa unaprijed određenom tačnošću.

Primjer br. 3. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 sin (x) x s točnošću od 10 -5 .
Rješenje. Odgovarajući neodređeni integral ne može se izraziti u elementarnim funkcijama, tj. predstavlja “nestalni integral”. Ovdje se ne može primijeniti Newton-Leibnizova formula. Izračunajmo približno integral.
Dijeljenje pojma po pojmu niz za grijeh x on x, dobijamo:

Integrirajući ovaj niz član po član (ovo je moguće, budući da granice integracije pripadaju intervalu konvergencije ovog niza), dobijamo:

Pošto rezultujući niz zadovoljava Leibnizove uslove i dovoljno je uzeti zbir prva dva člana da bi se dobila željena vrednost sa datom tačnošću.
Dakle, nalazimo
.

Primjer br. 4. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 e x 2 sa tačnošću od 0,001.
Rješenje.
. Provjerimo da li možemo odbaciti ostatak nakon drugog člana rezultirajućeg niza.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Studenti više matematike treba da znaju da se zbir određenog niza stepena koji pripada intervalu konvergencije niza koji nam je dat ispostavlja kao kontinuirana i neograničen broj puta diferencirana funkcija. Postavlja se pitanje: da li je moguće reći da je data proizvoljna funkcija f(x) zbir određenog niza stepena? Odnosno, pod kojim uslovima se funkcija f(x) može predstaviti nizom stepena? Važnost ovog pitanja leži u činjenici da je moguće približno zamijeniti funkciju f(x) zbirom prvih nekoliko članova potencijskog reda, odnosno polinoma. Ova zamjena funkcije prilično jednostavnim izrazom - polinomom - također je zgodna pri rješavanju određenih problema, naime: pri rješavanju integrala, prilikom izračunavanja itd.

Dokazano je da je za određenu funkciju f(x), u kojoj je moguće izračunati izvode do (n+1)-tog reda, uključujući i posljednji, u okolini (α - R; x 0 + R ) neka tačka x = α, tačno je da je formula:

Ova formula je dobila ime po poznatoj naučnici Brooke Taylor. Serija koja se dobije iz prethodnog naziva se Maclaurin serija:

Pravilo koje omogućava izvođenje proširenja u Maclaurinovom nizu:

1. Odrediti derivate prvog, drugog, trećeg... reda.
2. Izračunajte čemu su jednaki derivati ​​pri x=0.
3. Zapišite Maclaurinov red za ovu funkciju, a zatim odredite interval njene konvergencije.
4. Odredite interval (-R;R), gdje je ostatak Maclaurin formule

R n (x) -> 0 na n -> beskonačno. Ako postoji, funkcija f(x) u njoj mora se podudarati sa zbrojem Maclaurinovog reda.

Razmotrimo sada Maclaurinov niz za pojedinačne funkcije.

1. Dakle, prvi će biti f(x) = e x. Naravno, po svojim karakteristikama, takva funkcija ima derivate vrlo različitih redova, a f (k) (x) = e x , gdje je k jednako zamjena x = 0. Dobijamo f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Na osnovu navedenog, serija e x će izgledati ovako:

2. Maclaurinov red za funkciju f(x) = sin x. Odmah pojasnimo da će funkcija za sve nepoznate imati izvode, osim toga, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), gdje je k jednako bilo kojem prirodnom broju, odnosno, nakon jednostavnih proračuna, možemo doći do toga zaključak da će niz za f(x) = sin x izgledati ovako:

3. Pokušajmo sada razmotriti funkciju f(x) = cos x. Za sve nepoznanice ima derivate proizvoljnog reda, i |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Dakle, naveli smo najvažnije funkcije koje se mogu proširiti u Maclaurinovom nizu, ali su za neke funkcije dopunjene Taylorovim nizom. Sada ćemo ih navesti. Također je vrijedno napomenuti da su Taylor i Maclaurin serije važan dio praktičnog rada na rješavanju nizova u višoj matematici. Dakle, Taylor serija.

1. Prvi će biti niz za funkciju f(x) = ln(1+x). Kao iu prethodnim primjerima, za dati f(x) = ln(1+x) možemo dodati niz koristeći opći oblik Maclaurinovog reda. međutim, za ovu funkciju Maclaurinov niz se može dobiti mnogo jednostavnije. Integracijom određene geometrijske serije dobijamo niz za f(x) = ln(1+x) takvog uzorka:

2. A drugi, koji će biti konačan u našem članku, bit će niz za f(x) = arktan x. Za x koji pripada intervalu [-1;1] proširenje je važeće:

To je sve. Ovaj članak je ispitao najčešće korištene serije Taylor i Maclaurin u višoj matematici, posebno na ekonomskim i tehničkim univerzitetima.

Ako je funkcija f(x) ima na nekom intervalu koji sadrži tačku A, derivati ​​svih redova, onda se na njega može primijeniti Taylorova formula:

Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:

, gdje je broj x između X I A.

Ako za neku vrijednost x r n®0 at n®¥, tada se u granici Taylor formula pretvara u konvergentnu formulu za ovu vrijednost Taylor serija:

Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov niz u dotičnoj tački X, Ako:

1) ima derivate svih naloga;

2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.

At A=0 dobijamo niz pod nazivom blizu Maclaurina:

Primjer 1 f(x)= 2x.

Rješenje. Nađimo vrijednosti funkcije i njenih derivata na X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x u 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Zamjenom dobivenih vrijednosti derivacija u formulu Taylorovog reda, dobivamo:

Radijus konvergencije ovog niza jednak je beskonačnosti, stoga ovo proširenje vrijedi za -¥<x<+¥.

Primjer 2 X+4) za funkciju f(x)= e x.

Rješenje. Pronalaženje izvoda funkcije e x i njihove vrijednosti u tom trenutku X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Prema tome, traženi Taylorov red funkcije ima oblik:

Ovo proširenje vrijedi i za -¥<x<+¥.

Primjer 3 . Proširite funkciju f(x)=ln x u nizu moći ( X- 1),

(tj. u Tejlorovom nizu u blizini tačke X=1).

Rješenje. Pronađite izvode ove funkcije.

Zamjenom ovih vrijednosti u formulu dobijamo željeni Taylorov niz:

Koristeći d'Alembertov test, možete provjeriti da li se niz konvergira kada

½ X- 1½<1. Действительно,

Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobijamo promenljivi niz koji zadovoljava uslove Lajbnicovog kriterijuma. At X=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog reda je poluotvoreni interval (0;2).

Predstavimo ovako dobijene ekspanzije u Maclaurinov niz (tj. u blizini tačke X=0) za neke elementarne funkcije:

(2) ,

(3) ,

( zove se posljednja dekompozicija binomni niz)

Primjer 4 . Proširite funkciju u niz stepena

Rješenje. U proširenju (1) zamjenjujemo X na - X 2, dobijamo:

Primjer 5 . Proširite funkciju u Maclaurin seriju

Rješenje. Imamo

Koristeći formulu (4), možemo napisati:

umjesto zamjene X u formulu -X, dobijamo:

Odavde nalazimo:

Otvaranjem zagrada, preuređivanjem termina serije i dovođenjem sličnih pojmova, dobijamo

Ovaj niz konvergira u intervalu

(-1;1), budući da se dobija iz dva niza, od kojih svaki konvergira u ovom intervalu.

Komentar .

Formule (1)-(5) se također mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširenje funkcija u pozitivnim cijelim potencijama ( Ha). Da biste to učinili, potrebno je izvršiti takve identične transformacije na datoj funkciji kako bi se dobila jedna od funkcija (1)-(5), u kojoj umjesto X košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno napraviti promjenu varijable t=Ha i proširi rezultujuću funkciju u odnosu na t u Maclaurinovom nizu.

Ova metoda ilustruje teoremu o jedinstvenosti proširenja funkcije u niz stepena. Suština ove teoreme je da se u okolini iste tačke ne mogu dobiti dva različita niza stepena koji bi konvergirali istoj funkciji, bez obzira na to kako se vrši njeno proširenje.

Primjer 6 . Proširite funkciju u Taylorov niz u susjedstvu tačke X=3.

Rješenje. Ovaj se problem može riješiti, kao i prije, korištenjem definicije Taylorovog reda, za koji trebamo pronaći derivacije funkcije i njihove vrijednosti na X=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeće proširenje (5):

Rezultirajući niz konvergira na ili –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Primjer 7 . Napišite Taylorov niz u potencijama ( X-1) funkcije .

Rješenje.

Serija se konvergira na , ili 2< x£5.