Nejednakosti su relacije oblika a › b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹, › i nestroge - ≥, ≤.
Trigonometrijske nejednakosti su izrazi oblika: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, u kojima je F(x) predstavljen jednom ili više trigonometrijskih funkcija .
Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹ 1/2. Uobičajeno je da se takvi problemi rješavaju grafički za to;
Metoda 1 - Rješavanje nejednačina grafičkim prikazom funkcije
Da biste pronašli interval koji zadovoljava uslove nejednakosti sin x ‹ 1/2, morate izvršiti sljedeće korake:
- Na koordinatnoj osi konstruisati sinusoidu y = sin x.
- Na istoj osi nacrtajte grafik numeričkog argumenta nejednakosti, tj. pravu liniju koja prolazi kroz tačku ½ ordinate OY.
- Označite tačke preseka dva grafikona.
- Zasenčite segment koji je rješenje za primjer.
Kada su u izrazu prisutni strogi znaci, tačke preseka nisu rešenja. Budući da je najmanji pozitivni period sinusoide 2π, odgovor pišemo na sljedeći način:
Ako predznaci izraza nisu strogi, tada se interval rješenja mora staviti u uglaste zagrade - . Odgovor na problem se također može zapisati kao sljedeća nejednakost: 
Metoda 2 - Rješavanje trigonometrijskih nejednačina korištenjem jediničnog kruga
Slični problemi se lako mogu riješiti korištenjem trigonometrijskog kruga. Algoritam za pronalaženje odgovora je vrlo jednostavan:
- Prvo morate nacrtati jedinični krug.
- Zatim morate zabilježiti vrijednost funkcije luka argumenta desne strane nejednakosti na luku kružnice.
- Potrebno je povući pravu liniju koja prolazi kroz vrijednost funkcije luka paralelno sa apscisnom osom (OX).
- Nakon toga, ostaje samo odabrati luk kružnice, koji je skup rješenja trigonometrijske nejednakosti.
- Zapišite odgovor u traženom obliku.
Analizirajmo faze rješenja na primjeru nejednakosti sin x › 1/2. Na kružnici su označene tačke α i β - vrijednosti
Tačke luka koje se nalaze iznad α i β su interval za rješavanje date nejednakosti.
Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će luk odgovora biti lociran simetrično na os OX, a ne na OY. Možete razmotriti razliku između intervala rješenja za sin i cos na dijagramima ispod u tekstu.
Grafička rješenja za tangentne i kotangensne nejednačine će se razlikovati i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija.
Arktangent i arkotangens su tangente na trigonometrijski krug, a minimalni pozitivni period za obje funkcije je π. Da biste brzo i ispravno koristili drugu metodu, morate zapamtiti na kojoj su osi iscrtane vrijednosti sin, cos, tg i ctg.
Tangentna tangenta ide paralelno sa OY osom. Ako vrijednost arktana a unesemo na jedinični krug, tada će se druga tražena točka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. Uglovi
One su prijelomne tačke za funkciju, jer graf teži njima, ali ih nikada ne dostiže.
U slučaju kotangensa, tangenta ide paralelno sa OX osom, a funkcija je prekinuta u tačkama π i 2π.
Kompleksne trigonometrijske nejednakosti
Ako je argument funkcije nejednakosti predstavljen ne samo promjenljivom, već cijelim izrazom koji sadrži nepoznanicu, tada već govorimo o kompleksne nejednakosti. Proces i postupak za njegovo rješavanje se donekle razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da moramo pronaći rješenje za sljedeću nejednakost:
Grafičko rješenje uključuje konstruiranje obične sinusoide y = sin x koristeći proizvoljno odabrane vrijednosti x. Izračunajmo tabelu sa koordinatama za kontrolne tačke grafa:
Rezultat bi trebao biti lijepa kriva.
Da bismo olakšali pronalaženje rješenja, zamijenimo argument kompleksne funkcije
Rješavanje trigonometrijskih nejednačina pomoću jediničnog kruga
Prilikom rješavanja trigonometrijskih nejednačina oblika, gdje --- jedna od trigonometrijskih funkcija, zgodno je koristiti trigonometrijski krug kako bi se što jasnije predstavila rješenja nejednačine i zapisali odgovor. Glavna metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednačina je njihovo svođenje na nejednakosti najjednostavnijeg tipa. Pogledajmo primjer kako riješiti takve nejednakosti.
Primjer Riješite nejednačinu.
Rješenje. Nacrtajmo trigonometrijski krug i na njemu označimo tačke za koje je ordinata superiorna.
Za rješavanje ove nejednakosti postojat će. Također je jasno da ako se određeni broj razlikuje od bilo kojeg broja iz navedenog intervala za, onda ni on neće biti manji. Dakle, samo trebate dodati rješenja na krajeve pronađenog segmenta. Konačno, nalazimo da će sva rješenja izvorne nejednakosti biti.
Za rješavanje nejednakosti s tangentom i kotangensom, koristan je koncept linije tangenta i kotangensa. To su prave i, respektivno (na slici (1) i (2)), tangente na trigonometrijski krug.
Lako je vidjeti da ako konstruiramo zrak sa svojim ishodištem u početku koordinata, čineći ugao s pozitivnim smjerom ose apscise, onda je dužina segmenta od tačke do tačke presjeka ovog zraka sa tangentna linija je tačno jednaka tangentu ugla koji ovaj zrak čini sa osom apscise. Slično se opaža za kotangens.
Primjer Riješite nejednačinu.
Rješenje. Označimo, tada će nejednakost poprimiti najjednostavniji oblik: . Razmotrimo interval dužine jednak najmanjem pozitivnom periodu (LPP) tangente. Na ovom segmentu, koristeći liniju tangenta, to utvrđujemo. Prisjetimo se sada šta je potrebno dodati pošto NPP funkcioniše. Dakle, . Vraćajući se na varijablu, dobijamo to
Pogodno je rješavati nejednačine s inverznim trigonometrijskim funkcijama koristeći grafove inverznih trigonometrijskih funkcija. Pokažimo kako se to radi na primjeru.
Grafičko rješavanje trigonometrijskih nejednačina
Imajte na umu da ako --- periodična funkcija, tada je za rješavanje nejednakosti potrebno pronaći njena rješenja na segmentu čija je dužina jednaka periodu funkcije. Sva rješenja izvorne nejednakosti sastojat će se od pronađenih vrijednosti, kao i svih onih koje se razlikuju od onih pronađenih za bilo koji cijeli broj perioda funkcije
Razmotrimo rješenje nejednakosti ().
Od tada nejednakost nema rješenja. Ako, onda skup rješenja nejednakosti --- gomila svi realni brojevi.
Neka bude. Sinusna funkcija ima najmanji pozitivni period, pa se nejednakost može prvo riješiti na segmentu dužine, npr. Gradimo grafove funkcija i ().
Na segmentu, sinusna funkcija raste, a jednadžba, gdje, ima jedan korijen. Na segmentu, sinusna funkcija opada, a jednadžba ima korijen. Na numeričkom intervalu, graf funkcije se nalazi iznad grafa funkcije. Dakle, za sve iz intervala) vrijedi nejednakost ako. Zbog periodičnosti sinusne funkcije, sva rješenja nejednakosti su data nejednačinama oblika: .
Riješit ćemo nejednačine sa tangentom koristeći jedinični krug.
Algoritam za rješavanje nejednačina sa tangentom:
- ponovo nacrtati kliše prikazan na gornjoj slici;
- na tangentnoj liniji označavamo $a$ i povlačimo pravu liniju od početka do ove tačke;
- tačka presjeka ove linije sa polukružnicom bit će zasjenjena ako nejednakost nije stroga i neće biti zasjenjena ako je stroga;
- područje će se nalaziti ispod prave i do kruga ako nejednakost sadrži znak “$>$”, a ispod linije i do kruga ako nejednakost sadrži znak “$<$”;
- da bi se pronašla tačka preseka, dovoljno je pronaći arktangent $a$, tj. $x_(1)=(\rm arctg) a$;
- kao odgovor, rezultujući interval se ispisuje, dodajući $+ \pi n$ na krajeve.
Primjeri rješavanja nejednačina korištenjem algoritma.
Primjer 1: Riješite nejednakost:
$(\rm tg)(x) \leq 1.$
Dakle, rješenje će poprimiti oblik:
$x \in \levo(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\desno], \ n \in Z.$
Bitan! Tačke $-\frac(\pi)(2)$ i $\frac(\pi)(2)$ na tangentu uvijek (bez obzira na znak nejednakosti) izdubljeno!
Primjer 2: Riješite nejednakost:
$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$
Označavamo tačku $- \sqrt(3)$ na tangentnoj liniji i povlačimo pravu liniju od početka do nje. Tačka presjeka ove linije sa polukrugom neće biti zasjenjena, jer je nejednakost stroga. Područje će se nalaziti iznad prave linije i do kruga, pošto je znak nejednakosti $>$. hajde da nađemo tačku preseka:
$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$
$t \in \levo(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\desno).$
Vratimo se na originalnu varijablu:
$\left(2x-\frac(\pi)(3)\desno) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\desno).$
Ovo poslednje je ekvivalentno sistemu nejednakosti
$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$
rešivši na koji ćemo dobiti odgovor. stvarno,
$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$
$\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $
I konačno dobijamo:
$x \in \levo(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\desno), \n \in Z.$
Prilikom rješavanja nejednačina koje sadrže trigonometrijske funkcije one se svode na najjednostavnije nejednačine oblika cos(t)>a, sint(t)=a i slične. I već su riješene najjednostavnije nejednakosti. Pogledajmo razne primjere načina rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednakosti.
Primjer 1. Riješite nejednačinu sin(t) > = -1/2.
Nacrtajte jedinični krug. Pošto je sin(t) po definiciji y koordinata, označavamo tačku y = -1/2 na Oy osi. Kroz njega povlačimo ravnu liniju paralelnu s osom Ox. Na presjeku prave linije sa grafikom jedinične kružnice označite tačke Pt1 i Pt2. Početak koordinata sa tačkama Pt1 i Pt2 povezujemo sa dva segmenta.
Rješenje ove nejednakosti će biti sve tačke jedinične kružnice koje se nalaze iznad ovih tačaka. Drugim riječima, rješenje će biti luk l Sada je potrebno naznačiti uslove pod kojima će proizvoljna tačka pripadati luku l.
Pt1 leži u desnom polukrugu, njegova ordinata je -1/2, tada je t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Da biste opisali tačku Pt1, možete napisati sljedeću formulu:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kao rezultat, dobijamo sljedeću nejednakost za t:
Čuvamo nejednakosti. A pošto je sinusna funkcija periodična, to znači da će se rješenja ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet rezultirajućoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.
Odgovor: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Primjer 2. Riješite nejednakost cos(t)<1/2.
Nacrtajmo jedinični krug. Kako je, prema definiciji, cos(t) x koordinata, na grafu na osi Ox označavamo tačku x = 1/2.
Kroz ovu tačku povlačimo pravu liniju paralelnu sa Oy osom. Na presjeku prave sa grafikom jedinične kružnice označite tačke Pt1 i Pt2. Početak koordinata sa tačkama Pt1 i Pt2 povezujemo sa dva segmenta.
Rješenja će biti sve tačke jedinične kružnice koje pripadaju luku l. Nađimo tačke t1 i t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Dobili smo nejednakost za t: pi/3 Pošto je kosinus periodična funkcija, rješenja će se ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet rezultirajućoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor. Odgovor: pi/3+2*pi*n Primjer 3. Riješiti nejednakost tg(t)< = 1. Period tangente je jednak pi. Nađimo rješenja koja pripadaju intervalu (-pi/2;pi/2) desnom polukrugu. Zatim, koristeći periodičnost tangente, zapisujemo sva rješenja ove nejednakosti. Nacrtajmo jedinični krug i označimo liniju tangenta na njemu. Ako je t rješenje nejednakosti, onda ordinata tačke T = tg(t) mora biti manja ili jednaka 1. Skup takvih tačaka će činiti zraku AT. Skup tačaka Pt koji će odgovarati tačkama ovog zraka je luk l. Štaviše, tačka P(-pi/2) ne pripada ovom luku.
