Većina učenika ne voli trigonometrijske nejednakosti. Ali uzalud. Kako je jedan lik govorio,
“Jednostavno ne znaš kako da ih skuvaš”
Dakle, kako "kuhati" i s čime podnijeti nejednakost sa sinusom, shvatit ćemo u ovom članku. Mi ćemo odlučiti na jednostavan način– koristeći jedinični krug.
Dakle, prije svega, potreban nam je sljedeći algoritam.
Algoritam za rješavanje nejednačina sa sinusom:
- na osi sinusa ucrtavamo broj $a$ i povlačimo pravu liniju paralelnu sa kosinusnom osom dok se ne siječe sa kružnicom;
- točke presjeka ove linije s kružnicom bit će zasjenjene ako nejednakost nije stroga, a neće biti zasjenjene ako je nejednakost stroga;
- područje rješenja nejednakosti nalazit će se iznad prave i do kruga ako nejednakost sadrži znak “$>$”, a ispod linije i do kruga ako nejednakost sadrži znak “$<$”;
- da bismo pronašli tačke preseka, rešavamo trigonometrijsku jednačinu $\sin(x)=a$, dobijamo $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- postavljanjem $n=0$, nalazimo prvu tačku preseka (nalazi se ili u prvoj ili četvrtoj četvrtini);
- da bismo pronašli drugu tačku, gledamo u kom smjeru idemo kroz područje do druge točke presjeka: ako je u pozitivnom smjeru, onda treba uzeti $n=1$, a ako u negativnom smjeru, onda $n=- 1$;
- kao odgovor, interval se zapisuje od manje tačke preseka $+ 2\pi n$ do veće $+ 2\pi n$.
Ograničenje algoritma
Važno: d dati algoritam ne radi za nejednakosti oblika $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Posebni slučajevi pri rješavanju nejednačina sa sinusom
Takođe je važno napomenuti sledećim slučajevima, koje je mnogo zgodnije za logički rješavanje bez korištenja gornjeg algoritma.
Poseban slučaj 1. Riješite nejednakost:
$\sin(x)\leq 1.$
Zbog činjenice da raspon vrijednosti trigonometrijske funkcije $y=\sin(x)$ nije veći po modulu $1$, tada lijevoj strani nejednakosti na bilo koji$x$ iz domene definicije (a domen definicije sinusa su svi realni brojevi) nije više od $1$. I, stoga, u odgovoru pišemo: $x \u R$.
Posljedica:
$\sin(x)\geq -1.$
Poseban slučaj 2. Riješite nejednakost:
$\sin(x)< 1.$
Primjenjujući razmišljanje slično kao u posebnom slučaju 1, nalazimo da je lijeva strana nejednakosti manja od $1$ za sve $x \u R$, osim za tačke koje su rješenja jednadžbe $\sin(x) = 1$. Rješavajući ovu jednačinu imat ćemo:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
I, stoga, u odgovoru pišemo: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
Posljedica: nejednakost se rješava slično
$\sin(x) > -1.$
Primjeri rješavanja nejednačina korištenjem algoritma.
Primjer 1: Riješite nejednakost:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- Označimo koordinate $\frac(1)(2)$ na osi sinusa.
- Nacrtajmo pravu liniju paralelnu sa kosinusnom osom i koja prolazi kroz ovu tačku.
- Označimo tačke ukrštanja. Oni će biti zasjenjeni jer nejednakost nije stroga.
- Znak nejednakosti je $\geq$, što znači da bojimo područje iznad linije, tj. manji polukrug.
- Pronalazimo prvu tačku raskrsnice. Da bismo to učinili, pretvaramo nejednakost u jednakost i rješavamo je: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Dalje postavljamo $n=0$ i nalazimo prvu tačku preseka: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- Pronalazimo drugu tačku. Naše područje ide u pozitivnom smjeru od prve tačke, što znači da postavljamo $n$ jednako $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
Dakle, rješenje će poprimiti oblik:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno], \n \in Z.$
Primjer 2: Riješite nejednakost:
$\sin(x)< -\frac{1}{2}$
Označimo koordinatu $-\frac(1)(2)$ na osi sinusa i povučemo pravu liniju paralelnu sa kosinusnom osom i koja prolazi kroz ovu tačku. Označimo tačke ukrštanja. Neće biti zasjenjene, jer je nejednakost stroga. Znak nejednakosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
Dalje uz pretpostavku $n=0$, nalazimo prvu tačku preseka: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Naše područje ide u negativnom smjeru od prve tačke, što znači da postavljamo $n$ jednako $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
Dakle, rješenje ove nejednakosti će biti interval:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$
Primjer 3: Riješite nejednakost:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$
Ovaj primjer se ne može odmah riješiti pomoću algoritma. Prvo ga trebate transformirati. Radimo tačno ono što bismo uradili sa jednačinom, ali ne zaboravite na znak. Dijeljenje ili množenje negativnim brojem to preokreće!
Dakle, pomjerimo sve što ne sadrži trigonometrijsku funkciju na desnu stranu. dobijamo:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
Podijelimo lijevu i desnu stranu sa $-2$ (ne zaboravite na znak!). imat ćemo:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$
Opet imamo nejednakost koju ne možemo riješiti algoritmom. Ali ovdje je dovoljno promijeniti varijablu:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
Dobijamo trigonometrijsku nejednačinu koja se može riješiti korištenjem algoritma:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
Ova nejednakost je riješena u primjeru 1, pa pozajmimo odgovor odatle:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
Međutim, odluka još nije gotova. Moramo se vratiti na originalnu varijablu.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
Zamislimo interval kao sistem:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$
Na lijevoj strani sistema nalazi se izraz ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), koji pripada intervalu. Lijeva granica intervala je odgovorna za prvu nejednakost, a desna za drugu. Štoviše, zagrade igraju važnu ulogu: ako je zagrada kvadratna, onda će nejednakost biti opuštena, a ako je okrugla, onda će biti stroga. naš zadatak je da dobijemo $x$ sa leve strane u obe nejednakosti.
Pomjerimo $\frac(\pi)(6)$ s lijeve strane na desnu, dobićemo:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.
Pojednostavljeno, imamo:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(niz) \right.$
Pomnožimo lijevu i desnu stranu sa $4$, dobijamo:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $
Sastavljajući sistem u interval, dobijamo odgovor:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\desno], \n \in Z.$
Prilikom rješavanja nejednačina koje sadrže trigonometrijske funkcije one se svode na najjednostavnije nejednačine oblika cos(t)>a, sint(t)=a i slične. I već su riješene najjednostavnije nejednakosti. Pogledajmo razne primjere načina rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednakosti.
Primjer 1. Riješite nejednačinu sin(t) > = -1/2.
Nacrtajte jedinični krug. Pošto je sin(t) po definiciji y koordinata, označavamo tačku y = -1/2 na Oy osi. Kroz njega povlačimo ravnu liniju paralelnu s osom Ox. Na presjeku prave sa grafikom jedinične kružnice označite tačke Pt1 i Pt2. Početak koordinata sa tačkama Pt1 i Pt2 povezujemo sa dva segmenta.
Rješenje ove nejednakosti će biti sve tačke jedinične kružnice koje se nalaze iznad ovih tačaka. Drugim riječima, rješenje će biti luk l Sada je potrebno naznačiti uslove pod kojima će proizvoljna tačka pripadati luku l.
Pt1 leži u desnom polukrugu, njegova ordinata je -1/2, tada je t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Da biste opisali tačku Pt1, možete napisati sljedeću formulu:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kao rezultat, dobijamo sljedeću nejednakost za t:
Čuvamo nejednakosti. A pošto je sinusna funkcija periodična, to znači da će se rješenja ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet rezultirajućoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.
Odgovor: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Primjer 2. Riješite cos(t) nejednakost<1/2.
Nacrtajmo jedinični krug. Kako je, prema definiciji, cos(t) x koordinata, na grafu na osi Ox označavamo tačku x = 1/2.
Kroz ovu tačku povlačimo pravu liniju paralelnu sa Oy osom. Na presjeku prave sa grafikom jedinične kružnice označite tačke Pt1 i Pt2. Početak koordinata sa tačkama Pt1 i Pt2 povezujemo sa dva segmenta.
Rješenja će biti sve tačke jedinične kružnice koje pripadaju luku l. Nađimo tačke t1 i t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Dobili smo nejednakost za t: pi/3 Pošto je kosinus periodična funkcija, rješenja će se ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet rezultirajućoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor. Odgovor: pi/3+2*pi*n Primjer 3. Riješiti nejednakost tg(t)< = 1. Period tangente je jednak pi. Nađimo rješenja koja pripadaju intervalu (-pi/2;pi/2) desnom polukrugu. Zatim, koristeći periodičnost tangente, zapisujemo sva rješenja ove nejednakosti. Nacrtajmo jedinični krug i označimo liniju tangenta na njemu. Ako je t rješenje nejednakosti, onda ordinata tačke T = tg(t) mora biti manja ili jednaka 1. Skup takvih tačaka će činiti zraku AT. Skup tačaka Pt koji će odgovarati tačkama ovog zraka je luk l. Štaviše, tačka P(-pi/2) ne pripada ovom luku. Riješit ćemo nejednačine sa tangentom koristeći jedinični krug. Primjer 1: Riješite nejednakost: $(\rm tg)(x) \leq 1.$ Dakle, rješenje će poprimiti oblik: $x \in \levo(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\desno], \ n \in Z.$ Važno! Tačke $-\frac(\pi)(2)$ i $\frac(\pi)(2)$ na tangentu uvijek (bez obzira na znak nejednakosti) izdubljeno! Primjer 2: Riješite nejednakost: $(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$ Označavamo tačku $- \sqrt(3)$ na tangentnoj liniji i povlačimo pravu liniju od početka do nje. Tačka presjeka ove linije sa polukrugom neće biti zasjenjena, jer je nejednakost stroga. Područje će se nalaziti iznad prave linije i do kruga, pošto je znak nejednakosti $>$. hajde da nađemo tačku preseka: $x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$ $t \in \levo(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\desno).$ Vratimo se na originalnu varijablu: $\left(2x-\frac(\pi)(3)\desno) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\desno).$ Ovo poslednje je ekvivalentno sistemu nejednakosti $\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$ rešivši na koji ćemo dobiti odgovor. stvarno, $\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$ $\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $ I konačno dobijamo: $x \in \levo(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\desno), \n \in Z.$ Rješavanje trigonometrijskih nejednačina pomoću jediničnog kruga Prilikom rješavanja trigonometrijskih nejednačina oblika, gdje je --- jedna od trigonometrijskih funkcija, zgodno je koristiti trigonometrijski krug kako bi se što jasnije predstavila rješenja nejednačine i zapisali odgovor. Glavna metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednačina je njihovo svođenje na nejednakosti najjednostavnijeg tipa. Pogledajmo primjer kako riješiti takve nejednakosti. Primjer Riješite nejednačinu. Rješenje. Nacrtajmo trigonometrijski krug i na njemu označimo tačke za koje je ordinata superiornija. Za rješavanje ove nejednakosti postojat će. Također je jasno da ako se određeni broj razlikuje od bilo kojeg broja iz navedenog intervala za, onda ni on neće biti manji. Stoga samo trebate dodati rješenja na krajeve pronađenog segmenta. Konačno, nalazimo da će svako biti rješenje izvorne nejednakosti. Za rješavanje nejednakosti s tangentom i kotangensom, koristan je koncept linije tangenta i kotangensa. To su prave i, respektivno (na slici (1) i (2)), tangente na trigonometrijski krug. Lako je vidjeti da ako konstruiramo zrak sa svojim ishodištem u početku koordinata, čineći ugao s pozitivnim smjerom ose apscise, onda je dužina segmenta od tačke do tačke presjeka ovog zraka sa tangentna linija je tačno jednaka tangentu ugla koji ovaj zrak čini sa osom apscise. Slično se opaža za kotangens. Primjer Riješite nejednačinu. Rješenje. Označimo, tada će nejednakost poprimiti najjednostavniji oblik: . Razmotrimo interval dužine jednak najmanjem pozitivnom periodu (LPP) tangente. Na ovom segmentu, koristeći liniju tangenti, to utvrđujemo. Prisjetimo se sada šta je potrebno dodati pošto NPP funkcioniše. Dakle, . Vraćajući se na varijablu, dobijamo to Pogodno je rješavati nejednačine s inverznim trigonometrijskim funkcijama koristeći grafove inverznih trigonometrijskih funkcija. Pokažimo kako se to radi na primjeru. Grafičko rješavanje trigonometrijskih nejednačina Imajte na umu da ako --- periodična funkcija, tada je za rješavanje nejednačine potrebno pronaći njena rješenja na segmentu čija je dužina jednaka periodu funkcije. Sva rješenja izvorne nejednakosti sastojat će se od pronađenih vrijednosti, kao i svih onih koje se razlikuju od onih pronađenih za bilo koji cijeli broj perioda funkcije Razmotrimo rješenje nejednakosti (). Od tada nejednakost nema rješenja. Ako, onda skup rješenja nejednakosti --- postavljeno svi realni brojevi. Neka bude. Sinusna funkcija ima najmanji pozitivni period, pa se nejednakost može prvo riješiti na segmentu dužine, npr. Gradimo grafove funkcija i (). Na segmentu, sinusna funkcija raste, a jednadžba, gdje, ima jedan korijen. Na segmentu se sinusna funkcija smanjuje, a jednadžba ima korijen. Na numeričkom intervalu, graf funkcije se nalazi iznad grafa funkcije. Dakle, za sve iz intervala) vrijedi nejednakost ako. Zbog periodičnosti sinusne funkcije, sva rješenja nejednakosti su data nejednačinama oblika: . Nejednakosti su relacije oblika a › b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹, › i nestroge - ≥, ≤. Trigonometrijske nejednakosti su izrazi oblika: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, u kojima je F(x) predstavljen jednom ili više trigonometrijskih funkcija . Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹ 1/2. Uobičajeno je da se takvi problemi rješavaju grafički za to; Da biste pronašli interval koji zadovoljava uslove nejednakosti sin x ‹ 1/2, morate izvršiti sljedeće korake: Kada su u izrazu prisutni strogi znaci, tačke preseka nisu rešenja. Budući da je najmanji pozitivni period sinusoide 2π, odgovor pišemo na sljedeći način: Ako predznaci izraza nisu strogi, tada se interval rješenja mora staviti u uglaste zagrade - . Odgovor na problem se također može zapisati kao sljedeća nejednakost: Slični problemi se lako mogu riješiti korištenjem trigonometrijskog kruga. Algoritam za pronalaženje odgovora je vrlo jednostavan: Analizirajmo faze rješenja na primjeru nejednakosti sin x › 1/2. Na kružnici su označene tačke α i β - vrijednosti Tačke luka koje se nalaze iznad α i β su interval za rješavanje date nejednakosti. Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će luk odgovora biti lociran simetrično na os OX, a ne na OY. Možete razmotriti razliku između intervala rješenja za sin i cos na dijagramima ispod u tekstu. Grafička rješenja za tangentne i kotangensne nejednakosti će se razlikovati i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija. Arktangens i arkotangens su tangente na trigonometrijski krug, a minimalni pozitivni period za obje funkcije je π. Da biste brzo i ispravno koristili drugu metodu, morate zapamtiti na kojoj su osi iscrtane vrijednosti sin, cos, tg i ctg. Tangentna tangenta ide paralelno sa OY osom. Ako vrijednost arktana a unesemo na jedinični krug, tada će se druga tražena točka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. Uglovi One su prijelomne tačke za funkciju, budući da graf teži njima, ali ih nikada ne dostiže. U slučaju kotangensa, tangenta ide paralelno sa OX osom, a funkcija je prekinuta u tačkama π i 2π. Ako je argument funkcije nejednakosti predstavljen ne samo promjenljivom, već cijelim izrazom koji sadrži nepoznanicu, tada već govorimo o kompleksne nejednakosti. Proces i postupak za njegovo rješavanje se donekle razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje za sljedeću nejednakost: Grafičko rješenje uključuje konstruiranje obične sinusoide y = sin x koristeći proizvoljno odabrane vrijednosti x. Izračunajmo tabelu sa koordinatama za kontrolne tačke grafa: Rezultat bi trebao biti lijepa kriva. Da bismo olakšali pronalaženje rješenja, zamijenimo argument kompleksne funkcijeAlgoritam za rješavanje nejednačina sa tangentom:
Primjeri rješavanja nejednačina korištenjem algoritma.
Metoda 1 - Rješavanje nejednačina grafičkim prikazom funkcije
Metoda 2 - Rješavanje trigonometrijskih nejednačina korištenjem jediničnog kruga
Kompleksne trigonometrijske nejednakosti
