Rješavanje problema u 8. I

Ciljevi:

• Obrazovni: ponoviti osnovne formule i pravila diferencijacije, geometrijsko značenje izvoda; formirati veštinu kompleksna primena znanja, vještine, sposobnosti i njihovo prenošenje u nove uslove; provjeriti znanja, vještine i sposobnosti učenika na ovu temu u pripremi za Jedinstveni državni ispit.
• Razvojni: promicati razvoj mentalnih operacija: analiza, sinteza, generalizacija; formiranje vještina samopoštovanja.
• Obrazovni: promovirati želju za stalnim usavršavanjem znanja

Oprema:

• Multimedijalni projektor.

Vrsta lekcije: sistematizacije i generalizacije.
Obim znanja: dva časa (90 min.)
Očekivani rezultat: Nastavnici koriste stečena znanja u praktičnoj primeni, razvijajući komunikacijske, kreativne i tragačke veštine, kao i sposobnost analize dobijenog zadatka.

Struktura lekcije:

1. Org. Trenutak, ažuriranje znanja potrebnih za rješenje praktični zadaci iz materijala Jedinstvenog državnog ispita.
2. Praktični dio (provjera znanja učenika).
3. Refleksija, kreativni domaći zadatak

Napredak konsultacija

I. Organizacioni momenat.

Poruka teme časa, ciljevi časa, motivacija obrazovne aktivnosti(kroz stvaranje problematične teorijske baze znanja).

II. Ažuriranje subjektivnog iskustva učenika i njihovog znanja.

Pregledajte pravila i definicije.

1) ako je u nekoj tački funkcija kontinuirana i u njoj derivacija menja predznak sa plusa na minus, onda je to tačka maksimuma;

2) ako je u nekoj tački funkcija kontinuirana i u njoj derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, onda je to tačka minimuma.

• Kritične tačke – to su unutrašnje tačke domene definicije funkcije u kojima izvod ne postoji ili je jednak nuli.
• Dovoljan znak povećanja, silazno funkcije .
• Ako je f "(x)>0 za sve x iz intervala (a; b), tada funkcija raste na intervalu (a; b).
• Ako je f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• Algoritam za pronalaženje najvećeg i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu [a;b], ako je dat graf derivacije funkcije:

Ako je izvod na segmentu pozitivan, tada je a najmanja vrijednost, b je najveća vrijednost.

Ako je izvod na segmentu negativan, tada je a najveća, a b najmanja vrijednost.

Geometrijsko značenje derivat je sljedeći. Ako je moguće nacrtati tangentu na graf funkcije y = f(x) u tački sa apscisom x0 koja nije paralelna sa y-osi, tada f"(x0) izražava nagib tangente: κ = f "(x0). Pošto je κ = tanα, jednakost f"(x0) = tanα je tačna

Razmotrimo tri slučaja:

1. Tangenta povučena na graf funkcije formirala je oštar ugao sa OX osom, tj. α< 90º. Производная положительная.
2. Tangenta je formirala tupi ugao sa OX osom, tj. α > 90º. Izvod je negativan.
3. Tangenta je paralelna sa OX osom. Izvod je nula.

Vježba 1. Na slici je prikazan grafikon funkcije y = f(x) i tangenta na ovaj graf povučena u tački sa apscisom -1. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x0 = -1

Rješenje: a) Tangenta povučena na graf funkcije formira tupi ugao sa OX osom. Koristeći formulu redukcije, nalazimo tangent ovog ugla tg(180º - α) = - tanα. To znači f "(x) = - tanα. Iz onoga što smo ranije proučavali, znamo da je tangenta jednaka omjeru suprotne strane prema susjednoj strani.

Da bismo to učinili, gradimo pravokutni trokut tako da su vrhovi trokuta na vrhovima ćelija. Brojimo ćelije suprotne i susjedne strane. Podijelite suprotnu stranu susjednom stranom (Slajd 44)

b) Tangenta povučena na graf funkcije formira oštar ugao sa OX osom.

f "(x)= tgα. Odgovor će biti pozitivan. (Slajd 30)

Vježbajte 2. Slika prikazuje grafikon derivat funkcija f(x), definirana na intervalu (-4; 13). Pronađite intervale u kojima funkcija opada. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

Rješenje: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

Praktični dio.
35 min. Pripremljeni slajdovi zahtijevaju teorijsko znanje o temi lekcije. Svrha slajdova je osposobljavanje učenika za usavršavanje i praktičnu primjenu znanja.
Koristeći slajdove možete:
- frontalno istraživanje (uzimaju se u obzir individualne karakteristike učenika);
- pojašnjena je informaciona formulacija glavnih pojmova, svojstava, definicija;
- algoritam za rješavanje problema. Učenici moraju odgovoriti na slajdove.

IV. Individualni rad. Rješavanje problema pomoću slajdova.

V. Sumiranje lekcije, razmišljanje.

Rješenje. Maksimalne tačke odgovaraju tačkama u kojima se predznak derivacije menja sa plus na minus. Na segmentu funkcija ima dvije maksimalne tačke x = 4 i x = 4. Odgovor: 2. Na slici je prikazan grafik derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (10; 8). Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na segmentu.

Rješenje. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (1; 12). Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije negativna. Derivat funkcije je negativan na onim intervalima na kojima funkcija opada, odnosno na intervalima (0,5; 3), (6; 10) i (11; 12). Sadrže cijele točke 1, 2, 7, 8 i 9. Ukupno ima 5 bodova. Odgovor: 5.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (10; 4). Naći intervale opadanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih. Rješenje. Opadajući intervali funkcije f(x) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna, odnosno intervalu (9; 6) dužine 3 i intervalu (2; 3) dužine 5. dužina najvećeg od njih je 5. Odgovor: 5.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (7; 14). Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na segmentu. Rješenje. Maksimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja iz pozitivnog u negativan. Na segmentu funkcija ima jednu maksimalnu tačku x = 7. Odgovor: 1.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (8; 6). Naći intervale povećanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih. Rješenje. Intervali porasta funkcije f(x) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije pozitivna, odnosno intervalima (7; 5), (2; 5). Najveći od njih je interval (2; 5), čija je dužina 3.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (7; 10). Odrediti broj minimalnih tačaka funkcije f(x) na segmentu. Rješenje. Minimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja sa minusa na plus. Na segmentu funkcija ima jednu minimalnu tačku x = 4. Odgovor: 1.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (16; 4). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(x) na segmentu. Rješenje. Ekstremne tačke odgovaraju tačkama u kojima se menja predznak izvoda i nulama izvoda prikazanih na grafikonu. Izvod nestaje u tačkama 13, 11, 9, 7. Funkcija ima 4 tačke ekstrema na segmentu. Odgovor: 4.

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (2; 12). Naći zbir točaka ekstrema funkcije f(x). Rješenje. Data funkcija ima maksimume u tačkama 1, 4, 9, 11 i minimume u tačkama 2, 7, 10. Dakle, zbir tačaka ekstrema je = 44. Odgovor: 44.

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0. Rješenje. Vrijednost derivacije u tački tangente jednaka je nagibu tangente, koja je zauzvrat jednaka tangentu ugla nagiba ove tangente na osu apscise. Konstruirajmo trougao sa vrhovima u tačkama A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Ugao nagiba tangente na x-osu bit će jednak kutu susjednom kutu ACB

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na ovaj graf u tački apscise jednaka 3. Pronađite vrijednost derivacije ove funkcije u tački x = 3. Za rješavanje koristimo geometrijsko značenje izvoda: vrijednost derivacije funkcije u tački jednaka je nagibu tangente na graf ove funkcije nacrtan u ovoj tački. Ugao tangente jednak je tangenti ugla između tangente i pozitivnog smjera x-ose (tg α). Ugao α = β, kao poprečni uglovi sa paralelnim linijama y=0, y=1 i sekantom-tangentom. Za trougao ABC

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x 0. Na osnovu svojstva tangente, formula za tangentu na funkciju f(x) u tački x 0 je jednaka y=f (x 0) x+b, b=const Slika pokazuje da je tangenta na funkciju f( x) u tački x 0 prolazi kroz tačke (-3;2), (5,4). Stoga možemo kreirati sistem jednačina

Izvori

Individualni časovi preko SKYPE-a o efikasnoj onlajn obuci za Jedinstveni državni ispit iz matematike.

Problemi tipa B8 su problemi o primjeni derivacijskih funkcija. Ciljevi u zadacima:

• pronađite izvod u određenoj tački
• odrediti ekstreme funkcije, maksimalne i minimalne tačke
• intervali povećanja i smanjenja

Pogledajmo nekoliko primjera. Zadatak v8.1: na slici je prikazan grafik funkcije y=f (x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0. Odrediti vrijednost izvoda funkcije y=f (x) u tački x0.

Malo teorije. Ako se tangenta povećava, onda će izvod biti pozitivan, a ako je tangent opadajući, onda će izvod biti negativan. Derivat funkcije y’= tgA, gdje je A ugao nagiba tangente na os X

Rješenje: u našem primjeru tangenta raste, što znači da će izvod biti pozitivan. Posmatrajmo pravougaoni trougao ABC i iz njega pronađimo tan A = BC/AB, gde je BC rastojanje između karakterističnih tačaka duž y ose, AB je rastojanje između tačaka duž x ose. Karakteristične tačke na grafikonu su označene podebljanim tačkama i označene slovima A i C. Karakteristične tačke moraju biti jasne i potpune. Iz grafikona je jasno da je AB = 5+3 = 8, a sunce = 3-1 = 2,

tgα= BC/AB=2/8=1/4=0,25, dakle derivacija y’=0,25

Odgovori: 0,25

Zadatak B8.2 Slika prikazuje grafik funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-9;4). Naći zbir apscisa točaka ekstrema funkcija f(x)

Rješenje: Prvo, hajde da definišemo šta su ekstremne tačke? To su tačke u kojima derivacija mijenja predznak u suprotan, drugim riječima, sva “brda” i “doline”. U našem primjeru imamo 4 "brda" i 4 "doline". Pomaknimo sve "pejzažne" tačke na os X i pronađemo vrijednost apscise, sada saberimo cijelu vrijednost ovih tačaka duž ose X

dobijamo -8-7-5-3-2+0+1+3=-21

Odgovori: -21

pogledajte video tutorijal o tome kako riješiti ovaj zadatak

Rješavanje zadataka B8 korištenjem materijala otvorena banka Zadaci Jedinstvenog državnog ispita iz matematike 2012. Prava y = 4x + 11 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y = x2 + 8x + 6. Nađite apscisu tačke tangente Br. je paralelna tangenti na graf funkcije u nekoj tački (nazovimo je xo), tada je njen nagib (u našem slučaju k = 4 iz jednačine y = 4x +11) jednak vrijednosti izvoda funkcija u tački xo: k = f ′(xo) = 4Izvod funkcije f′(x) = (x2+8x + 6) ′= 2x +8. To znači da je za pronalaženje željene tačke tangentnosti potrebno da je 2xo + 8 = 4, od čega je xo = – 2. Odgovor: – 2. Prava linija y = 3x + 11 tangenta je na grafik

funkcije y = x3−3x2− 6x + 6.

Pronađite apscisu tangentne tačke.

Br. 2 Rješenje: Imajte na umu da ako je prava tangenta na graf, onda njen nagib (k = 3) mora biti jednak derivaciji funkcije u tački tangentnosti, iz koje imamo Zx2 − 6x − 6 = 3 , odnosno Zx2 − 6x − 9 = 0 ili x2 − 2x − 3 = 0. Ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: −1 i 3. Dakle, postoje dvije točke u kojima je tangenta na graf funkcije y = x3 − 3x2 − 6x + 6 ima nagib jednak 3. Da bismo odredili koja od ove dvije tačke prava linija y = 3x + 11 dodiruje grafik funkcije, izračunavamo vrijednosti funkcije na ovim tačke i provjeri da li one zadovoljavaju jednadžbu tangente. Vrijednost funkcije u tački −1 je y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, a vrijednost u tački 3 je y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Imajte na umu da tačka sa koordinatama (−1; 8) zadovoljava jednadžbu tangente, pošto je 8 = −3 + 11. Ali tačka (3; −12) ne zadovoljava tangentnu jednačinu, pošto −12 ≠ 9 + 11. Ovo znači da je tražena apscisa tangentne tačke −1. Odgovor: −1 Na slici je prikazan grafik y = f ′(x) – derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (–10; 8). U kojoj tački segmenta [–8; –4] funkcija f(x) uzima najmanju vrijednost Br 3 Rješenje: Imajte na umu da na segmentu [–8; –4] derivacija funkcije je negativna, što znači da je sama funkcija opadajuća, što znači da zauzima najmanju vrijednost na ovom segmentu na desnom kraju segmenta, odnosno u tački –4.u = f ′(x) f(x) – Odgovor: –4 .Na slici je prikazan grafik y = f ′(x) – derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (–8; 8). Odrediti broj tačaka ekstrema funkcije f(x) koje pripadaju segmentu [– 6; 6].Broj 4Rješenje: U tački ekstrema, derivacija funkcije je jednaka 0 ili ne postoji. Može se vidjeti da postoje takve tačke koje pripadaju segmentu [–6; 6] tri. U ovom slučaju, u svakoj tački derivacija mijenja predznak ili iz “+” u “–”, ili iz “–” u “+”.u = f ′(x) ++–– Odgovor: 3. Slika prikazuje graf u = f ′(x) – izvod funkcije f(x), definisan na intervalu (–8; 10). Odrediti tačku ekstrema funkcije f(x) na intervalu (– 4; 8). Br. 5. Rješenje: Imajte na umu da se na intervalu (–4; 8) izvod u tački xo = 4 pretvara u 0 i pri prolasku kroz ovu tačku mijenja derivaciju predznaka sa “–” na “+”, tačka 4 je željena tačka ekstrema funkcije na datom intervalu. y = f ′(x) +–Odgovor: 4. Na slici je prikazan grafik y = f ′(x) – derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (–8; 8). Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna pravoj y = –2x + 2 ili se poklapa s njom. Broj 6 Rješenje: Ako je tangenta na graf funkcije f (x) je paralelna pravoj y = –2x+ 2 ili se poklapa s njom, tada njen nagib k = –2, što znači da treba pronaći broj tačaka u kojima je derivacija funkcije f ′(x) = – 2. Da biste to učinili, nacrtajte liniju y = –2 na grafu derivacije i prebrojite broj tačaka na grafu derivacije koje leže na ovoj pravoj. Takve tačke su 4. y = f ′(x) y = –2 Odgovor: 4. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x), definisane na intervalu (–6; 5). Odredite broj cjelobrojnih tačaka u kojima je izvod funkcije negativan Broj 7y Rješenje: Imajte na umu da je izvod funkcije negativan ako se sama funkcija f(x) smanjuje, što znači da je potrebno pronaći broj cjelobrojnih tačaka uključenih u intervale opadajuće funkcije Postoji 6 takvih tačaka: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x ) x–6–45–1–20–33 Odgovor: 6. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x), definisane na intervalu (–6; 6) Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na grafik funkcije je paralelan pravoj liniji y = –5. Br. 8y Rješenje: Prava linija y = −5 je horizontalna, što znači da ako je tangenta na graf funkcije paralelna s njom, onda je i ona horizontalna. Shodno tome, nagib u traženim tačkama k = f′(x)= 0. U našem slučaju, to su tačke ekstrema. Takvih tačaka ima 6. on u tački apscise xo. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački xo. Br. 9 Rješenje: Vrijednost izvoda funkcije f′(ho) = tanα = k na koeficijent jednakokutne tangente povučene na grafik ove funkcije u datoj tački. U našem slučaju, k > 0, pošto je α oštar ugao (tgα > 0) Da bismo pronašli ugaoni koeficijent, biramo dve tačke A i B koje leže na tangenti, čije su apscise i ordinate celi brojevi. Sada odredimo modul ugaonog koeficijenta. Da bismo to uradili, konstruisaćemo trougao ABC. tgα =VS: AC = 5: 4 = 1,25 u = f(x) Vα5hoαS4A Odgovor: 1,25 Slika prikazuje grafik funkcije u = f(x), definisanu na intervalu (–10; 2) i tangentu na u tački sa apscisom xo.Nađi vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački xo. Br. 10 Rješenje: Vrijednost derivacije funkcije f′(ho) = tanα = k na koeficijent jednakokutne tangente povučene na grafik ove funkcije u datoj tački. U našem slučaju k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, pravolinijsko kretanje izvedena po zakonu x = x(t), jednaka je vrijednosti derivacije funkcije xnput = to, željena brzina će biti x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s Odgovor: 4. Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, gdje je x udaljenost od referentne tačke u metrima, t je vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 4 m/s? Br. 16 Rešenje. Budući da je trenutna brzina tačke u trenutku do, pravolinijskog kretanja izvršenog prema zakonu x = x(t), jednaka vrijednosti derivacije funkcije xnput = to, željena brzina će biti x ′(to) = 0,5 ∙ 2 do – 2 = do – 2, jer po uslovu, x ′(to) = 4, zatim na – 2 = 4, odakle je to = 4 + 2 = 6 m/s Odgovor: 6. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x), definisane na intervalu (– 8; 6).Naći zbir tačaka ekstrema funkcije f(x).Br.17Rješenje: Ekstremne tačke su tačke minimuma i maksimuma. Može se vidjeti da postoji pet takvih tačaka koje pripadaju intervalu (–8; 6). Nađimo zbir njihovih apscisa: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.u = f ′(x) Odgovor: 6. Na slici je prikazan grafik izvoda y = f ′ (x) – funkcija f (x), definirana na intervalu (–10; 8). Naći intervale rastuće funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale. Rješenje: Imajte na umu da se funkcija f(x) povećava ako je izvod funkcije pozitivan; što znači da je potrebno pronaći zbir cijelih tačaka uključenih u intervale rastuće funkcije.Takvih tačaka ima 7: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7. Njihov zbir: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20u = f ′(x) ++3-357 Odgovor: 20. Korišteni materijali

Jedinstveni državni ispit 2012. Matematika. Problem B8. Geometrijsko značenje derivacije. Radna sveska/ Ed. A.L. Semenov i I.V. Yashchenko. 3rd ed. stereotip. − M.: MTsNMO, 2012. − 88 str.

http://mathege.ru/or/ege/Main− Materijali otvorene banke zadataka iz matematike 2012.