Direktno prebrojavanje slučajeva koji favorizuju određeni događaj može biti teško. Stoga, da bi se odredila vjerovatnoća nekog događaja, može biti korisno zamisliti ovaj događaj kao kombinaciju nekih drugih, jednostavnijih događaja. U ovom slučaju, međutim, morate znati pravila koja upravljaju vjerovatnoćama u kombinacijama događaja. Na ova pravila se odnose teoreme pomenute u naslovu paragrafa.

Prvi od njih se odnosi na izračunavanje vjerovatnoće da će se dogoditi barem jedan od nekoliko događaja.

Teorema sabiranja.

Neka su A i B dva nekompatibilna događaja. Tada je vjerovatnoća da će se dogoditi barem jedan od ova dva događaja jednaka zbroju njihovih vjerovatnoća:

Dokaz. Neka je kompletna grupa po parovima nekompatibilnih događaja. Ako tada među ovim elementarnim događajima postoje upravo događaji povoljni za A i tačno događaji povoljni za B. Pošto su događaji A i B nekompatibilni, onda nijedan događaj ne može pogodovati oba ova događaja. Događaju (A ili B), koji se sastoji od pojave najmanje jednog od ova dva događaja, očigledno favorizuju oba događaja koji favorizuju A i svaki od događaja

Povoljno B. Dakle, ukupan broj događaja povoljnih za događaj (A ili B) jednak je zbiru koji slijedi:

Q.E.D.

Lako je vidjeti da se gore formulirana teorema sabiranja za slučaj dva događaja može lako prenijeti na slučaj bilo kojeg njihovog konačnog broja. Tačno ako postoje parno nekompatibilni događaji, onda

Za slučaj tri događaja, na primjer, može se napisati

Važna posljedica teoreme sabiranja je tvrdnja: ako su događaji u parovima nekompatibilni i jedinstveno mogući, onda

Zaista, događaj ili ili ili je po pretpostavci siguran i njegova vjerovatnoća, kao što je navedeno u § 1, jednaka je jedan. Konkretno, ako znače dva međusobno suprotna događaja, onda

Ilustrirajmo teorem sabiranja primjerima.

Primjer 1. Prilikom gađanja mete vjerovatnoća odličnog hitca je 0,3, a vjerovatnoća “dobrog” šuta 0,4. Kolika je vjerovatnoća da dobijete rezultat od najmanje „dobar“ za šut?

Rješenje. Ako događaj A znači dobivanje ocjene "odličan", a događaj B znači dobivanje ocjene "dobar", tada

Primjer 2. U urni koja sadrži bijele, crvene i crne kuglice nalaze se bijele i I crvene kuglice. Kolika je vjerovatnoća da izvučete loptu koja nije crna?

Rješenje. Ako se događaj A sastoji od pojave bijele lopte, a događaj B se sastoji od crvene lopte, onda izgled lopte nije crn

označava pojavu bijele ili crvene lopte. Pošto po definiciji vjerovatnoće

tada je, prema teoremi sabiranja, vjerovatnoća pojave ne-crne lopte jednaka;

Ovaj problem se može riješiti na ovaj način. Neka se događaj C sastoji od pojave crne lopte. Broj crnih loptica je jednak tako da je P (C) Pojava ne-crne kugle suprotan događaj od C, dakle, na osnovu gornje posljedice iz teoreme sabiranja, imamo:

kao prije.

Primer 3. U novčano-materijalnoj lutriji, za seriju od 1000 listića dolazi 120 gotovinskih i 80 materijalnih dobitaka. Kolika je vjerovatnoća da dobijete nešto na jednoj lutriji?

Rješenje. Ako sa A označimo događaj koji se sastoji od novčane dobiti, a sa B materijalnu dobit, onda iz definicije vjerovatnoće slijedi

Događaj koji nas zanima predstavljen je sa (A ili B), stoga proizlazi iz teoreme o sabiranju

Dakle, vjerovatnoća bilo kojeg dobitka je 0,2.

Prije nego što pređemo na sljedeću teoremu, potrebno je upoznati se s novim važnim konceptom - konceptom uslovne vjerovatnoće. U tu svrhu počećemo razmatranjem sljedećeg primjera.

Pretpostavimo da u skladištu ima 400 sijalica koje se proizvode u dve različite fabrike, a prva proizvodi 75% svih sijalica, a druga 25%. Pretpostavimo da među sijalicama proizvedenim u prvom postrojenju 83% zadovoljava uslove određenog standarda, a za proizvode drugog pogona taj procenat iznosi 63. Odredimo vjerovatnoću da sijalica nasumično uzeta iz skladište će zadovoljiti uslove standarda.

Imajte na umu da se ukupan broj dostupnih standardnih sijalica sastoji od sijalica proizvedenih od strane prve

fabrika, a 63 sijalice proizvedene u drugom pogonu, odnosno jednako 312. Pošto izbor bilo koje sijalice treba smatrati podjednako mogućim, imamo 312 povoljnih slučajeva od 400, tako da

gdje je događaj B da je sijalica koju smo odabrali standardna.

Prilikom ovog proračuna nisu napravljene nikakve pretpostavke o proizvodu čije biljke pripada sijalica koju smo odabrali. Ako napravimo bilo kakve pretpostavke ove vrste, onda je očigledno da se vjerovatnoća koja nas zanima može promijeniti. Tako, na primjer, ako se zna da je odabrana sijalica proizvedena u prvom pogonu (događaj A), onda vjerovatnoća da je standardna više neće biti 0,78, već 0,83.

Ova vrsta vjerovatnoće, odnosno vjerovatnoća događaja B s obzirom da se dogodi događaj A, naziva se uslovnom vjerovatnoćom događaja B s obzirom na pojavu događaja A i označava se

Ako u prethodnom primjeru sa A označimo događaj da je odabrana sijalica proizvedena u prvom pogonu, onda možemo napisati

Sada možemo formulisati važnu teoremu vezanu za izračunavanje vjerovatnoće kombinovanja događaja.

Teorema množenja.

Verovatnoća kombinovanja događaja A i B jednaka je proizvodu verovatnoće jednog od događaja i uslovne verovatnoće drugog, pod pretpostavkom da se prvi dogodio:

U ovom slučaju, kombinacija događaja A i B znači nastup svakog od njih, odnosno nastanak i događaja A i događaja B.

Dokaz. Razmotrimo kompletnu grupu podjednako mogućih parno nekompatibilnih događaja, od kojih svaki može biti povoljan ili nepovoljan i za događaj A i za događaj B.

Podijelimo sve ove događaje na četiri razne grupe na sledeći način. Prva grupa uključuje one događaje koji favorizuju i događaj A i događaj B; U drugu i treću grupu spadaju oni događaji koji favorizuju jedan od dva događaja koji nas interesuju i ne favorizuju drugi, na primer, druga grupa uključuje one koji favorizuju A, ali ne favorizuju B, a treća grupa uključuje one koji favorizovati B, ali ne favorizovati A; konačno da

Četvrta grupa uključuje one događaje koji ne favorizuju ni A ni B.

Kako numeracija događaja nije bitna, možemo pretpostaviti da ova podjela na četiri grupe izgleda ovako:

Grupa I:

Grupa II:

III grupa:

IV grupa:

Dakle, među podjednako mogućim i po parovima nekompatibilnim događajima, postoje događaji koji favorizuju i događaj A i događaj B, događaji koji favorizuju događaj A, ali ne favorizuju događaj A, događaji koji favorizuju B, ali ne favorizuju A, i, konačno, događaji koji ne favorizuju ni A ni B.

Napominjemo, uzgred, da nijedna od četiri grupe koje smo razmatrali (pa čak i više od jedne) ne može sadržavati niti jedan događaj. U ovom slučaju, odgovarajući broj koji označava broj događaja u takvoj grupi bit će jednak nuli.

Naša podjela na grupe vam omogućava da odmah pišete

jer kombinaciju događaja A i B favorizuju događaji iz prve grupe i samo oni. Ukupan broj događaja koji favorizuju A jednak je ukupnom broju događaja u prvoj i drugoj grupi, a onih koji favorizuju B jednak je ukupnom broju događaja u prvoj i trećoj grupi.

Izračunajmo sada vjerovatnoću, odnosno vjerovatnoću događaja B, pod uslovom da se dogodio događaj A. Sada događaji uključeni u treću i četvrtu grupu nestaju, jer bi njihov izgled bio u suprotnosti sa pojavom događaja A, a broj mogući slučajevi ispada da više nije jednako. Od ovih, događaju B favorizuju samo događaji prve grupe, pa dobijamo:

Da bismo dokazali teoremu, sada je dovoljno napisati očigledan identitet:

i zamijeniti sva tri razlomka sa vjerovatnoćama izračunatim gore. Dolazimo do jednakosti navedene u teoremi:

Jasno je da identitet koji smo gore napisali ima smisla samo ako je uvijek istinit, osim ako A nije nemoguć događaj.

Kako su događaji A i B jednaki, onda, njihovim zamjenom, dobijamo drugi oblik teoreme množenja:

Međutim, ova jednakost se može dobiti na isti način kao i prethodna, ako primijetite da koristite identitet

Upoređujući desne strane dva izraza za vjerovatnoću P(A i B), dobijamo korisnu jednakost:

Razmotrimo sada primjere koji ilustriraju teoremu množenja.

Primer 4. U proizvodima određenog preduzeća, 96% proizvoda se smatra odgovarajućim (događaj A). Ispostavilo se da 75 proizvoda od svakih sto odgovarajućih pripada prvom razredu (događaj B). Odrediti vjerovatnoću da će slučajno odabrani proizvod biti prikladan i pripadati prvom razredu.

Rješenje. Željena vjerovatnoća je vjerovatnoća kombinovanja događaja A i B. Po uslovu imamo: . Stoga teorema množenja daje

Primjer 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem (događaj A) je 0,2. Kolika je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu ako 2% osigurača pokvari (tj. u 2% slučajeva hitac ne uspije?

Rješenje. Neka je događaj B da će doći do pucanja, a neka B znači suprotan događaj. Zatim po uslovu i prema posledicama teoreme sabiranja. Dalje, prema stanju.

Pogađanje mete znači kombinaciju događaja A i B (udarac će ispaliti i pogoditi), dakle, prema teoremi množenja

Bitan poseban slučaj teoreme množenja mogu se dobiti korištenjem koncepta nezavisnosti događaja.

Dva događaja se nazivaju nezavisnim ako se vjerovatnoća jednog od njih ne mijenja kao rezultat toga da li se drugi dogodi ili ne.

Primjeri nezavisnih događaja su napuštanje razni brojevi bodova pri ponovnom bacanju kocke ili jedne ili druge strane novčića pri ponovnom bacanju novčića, jer je očigledno da je vjerovatnoća da grb ispadne pri drugom bacanju jednaka bez obzira da li je grb ispao ili ne u prvom.

Slično tome, vjerovatnoća da se bijela kugla po drugi put izvuče iz urne koja sadrži bijele i crne kugle ako je prva izvučena loptica prethodno vraćena ne zavisi od toga da li je loptica izvučena prvi put, bijela ili crna. Stoga su rezultati prvog i drugog uklanjanja neovisni jedan o drugom. Naprotiv, ako se prva izvađena lopta ne vrati u urnu, onda rezultat drugog vađenja zavisi od prvog, jer se sastav loptica u urni nakon prvog vađenja menja u zavisnosti od njenog ishoda. Ovdje imamo primjer zavisnih događaja.

Koristeći notaciju usvojenu za uslovne vjerovatnoće, možemo zapisati uslov nezavisnosti događaja A i B u obliku

Koristeći ove jednakosti, možemo svesti teoremu množenja za nezavisne događaje na sljedeći oblik.

Ako su događaji A i B nezavisni, onda je vjerovatnoća njihove kombinacije jednaka proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

Zaista, dovoljno je staviti u početni izraz teoremu množenja, koja proizlazi iz nezavisnosti događaja, i dobićemo traženu jednakost.

Razmotrimo sada nekoliko događaja: Nazvaćemo ih kolektivno nezavisnim ako vjerovatnoća pojave bilo kojeg od njih ne ovisi o tome jesu li se dogodili neki drugi događaji koji se razmatraju.

U slučaju događaja koji su kolektivno nezavisni, teorema množenja se može proširiti na bilo koji konačan broj njih, pa se može formulirati na sljedeći način:

Verovatnoća kombinovanja nezavisnih događaja u agregat jednaka je proizvodu verovatnoća ovih događaja:

Primjer 6. Radnik servisira tri automatske mašine, od kojih se svakoj mora pristupiti radi otklanjanja kvara ako se mašina zaustavi. Vjerovatnoća da se prva mašina neće zaustaviti u roku od sat vremena je 0,9. Ista vjerovatnoća za drugu mašinu je 0,8, a za treću - 0,7. Odredite vjerovatnoću da u roku od sat vremena radnik neće morati prići nijednoj od mašina koje servisira.

Primjer 7. Vjerovatnoća obaranja aviona hicem iz puške Kolika je vjerovatnoća uništenja neprijateljskog aviona ako se istovremeno ispali 250 pušaka?

Rješenje. Vjerovatnoća da avion neće biti oboren ni jednim udarcem jednaka je teoremi sabiranja.Tada pomoću teoreme množenja možemo izračunati vjerovatnoću da avion neće biti oboren sa 250 hitaca, kao vjerovatnoću kombinovanja događaji. Jednako je sa Nakon ovoga, ponovo možemo koristiti teoremu sabiranja i pronaći vjerovatnoću da će avion biti oboren kao vjerovatnoću suprotnog događaja

Iz ovoga se vidi da, iako je vjerovatnoća obaranja aviona jednim hicem iz puške zanemarljiva, ipak je pri pucanju iz 250 pušaka vjerovatnoća obaranja aviona već vrlo primjetna. Značajno se povećava ako se poveća broj pušaka. Dakle, kada se puca iz 500 pušaka, vjerovatnoća obaranja aviona, kao što je lako izračunati, jednaka je pri pucanju iz 1000 pušaka - čak.

Gore dokazana teorema množenja nam omogućava da donekle proširimo teoremu sabiranja, proširujući je na slučaj kompatibilnih događaja. Jasno je da ako su događaji A i B kompatibilni, onda vjerovatnoća pojave barem jednog od njih nije jednaka zbiru njihovih vjerovatnoća. Na primjer, ako događaj A znači paran broj

broj poena pri bacanju kockice, a događaj B je gubitak broja poena koji je višestruk od tri, tada događaju (A ili B) favorizuje gubitak 2, 3, 4 i 6 bodova, to je

S druge strane, to je. Dakle, u ovom slučaju

Iz ovoga je jasno da se u slučaju kompatibilnih događaja teorema sabiranja vjerovatnoća mora promijeniti. Kao što ćemo sada vidjeti, može se formulirati na način da vrijedi i za kompatibilne i za nespojive događaje, tako da se prethodno razmatrana teorema sabiranja pokaže kao poseban slučaj novog.

Događaji koji nisu naklonjeni A.

Svi elementarni događaji koji favoriziraju događaj (A ili B) moraju favorizirati ili samo A, ili samo B, ili oba A i B. Dakle, ukupan broj takvih događaja je jednak

i vjerovatnoća

Q.E.D.

Primjenjujući formulu (9) na gornji primjer broja bodova koji se pojavljuju prilikom bacanja kocke, dobijamo:

što se poklapa sa rezultatom direktnog proračuna.

Očigledno, formula (1) je poseban slučaj (9). Zaista, ako su događaji A i B nekompatibilni, onda je vjerovatnoća kombinacije

Na primjer. Dva osigurača su spojena serijski u električni krug. Verovatnoća kvara prvog osigurača je 0,6, a drugog 0,2. Odredimo vjerovatnoću nestanka struje kao rezultat kvara barem jednog od ovih osigurača.

Rješenje. Budući da su događaji A i B, koji se sastoje od kvara prvog i drugog osigurača, kompatibilni, tražena vjerovatnoća će se odrediti formulom (9):

Vježbe

Pojam događaja i vjerovatnoća događaja. Pouzdani i nemogući događaji. Klasična definicija vjerovatnoće. Teorema sabiranja vjerovatnoće. Teorema množenja vjerovatnoće. Rješavanje najjednostavnijih zadataka određivanja vjerovatnoće sabiranjem vjerovatnoća.

Smjernice za temu 3.1:

Pojam događaja i vjerovatnoća događaja. Pouzdani i nemogući događaji. Klasična definicija vjerovatnoće:

Proučavanje svake pojave po redoslijedu posmatranja ili eksperimentiranja povezano je sa implementacijom određenog skupa uslova (testova). Svaki rezultat ili ishod testa se zove događaj.

Ako se događaj pod datim uslovima može dogoditi ili ne desiti, onda se zove nasumično. Kada je izvesno da će se neki događaj desiti, on se zove pouzdan, a u slučaju kada se to očigledno ne može dogoditi, - nemoguće.

Događaji se zovu nespojivo, ako je moguće da se svaki put pojavi samo jedan od njih. Događaji se zovu zglob, ako, pod datim uslovima, pojava jednog od ovih događaja ne isključuje pojavu drugog tokom istog testa.

Događaji se zovu suprotno, ako su u uslovima testa oni, kao jedini ishodi, nekompatibilni.

Vjerovatnoća događaja se smatra mjerom objektivne mogućnosti nastanka slučajnog događaja.

Vjerovatnoća događaja naziva se odnos broja ishoda m, povoljan za nastanak datog događaja, na broj n svih ishoda (nespojivih, jedino mogućih i jednako mogućih), tj.

Vjerovatnoća bilo kojeg događaja ne može biti manja od nule i veća od jedan, tj. . Nemogući događaj odgovara vjerovatnoći, a pouzdan događaj odgovara vjerovatnoći

Primer 1. U lutriji od 1000 listića, ima 200 dobitnih. Jedna karta se vadi nasumično. Kolika je vjerovatnoća da je ova karta dobitna?

Ukupan broj različitih ishoda je n= 1000. Broj ishoda povoljnih za pobjedu je m= 200. Prema formuli, dobijamo .

Primjer 2. Jedna lopta je izvučena iz urne koja sadrži 5 bijelih i 3 crne kugle. Pronađite vjerovatnoću da je lopta crna.

Označimo događaj koji se sastoji u pojavi crne lopte sa . Ukupan broj slučajeva. Broj slučajeva m, povoljan za nastanak događaja, jednak je 3. Koristeći formulu, dobijamo .

Primjer 3. Iz urne koja sadrži 12 bijelih i 8 crnih loptica, nasumično se izvlače dvije kuglice. Kolika je vjerovatnoća da su obje kuglice crne?

Označimo događaj koji se sastoji u pojavi dvije crne kugle sa . Ukupan broj mogućih slučajeva n jednak broju kombinacija od 20 elemenata (12 + 8) po dva:

Broj slučajeva m, povoljno za događaj, je

Koristeći formulu, nalazimo vjerovatnoću pojave dvije crne kuglice:

Teorema sabiranja vjerovatnoće. Rješavanje najjednostavnijih problema određivanja vjerovatnoće korištenjem teoreme zbrajanja vjerovatnoće:

Teorema za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja. Vjerovatnoća pojave jednog od nekoliko parno nekompatibilnih događaja, bez obzira koji, jednaka je zbroju vjerovatnoća ovih događaja:

Teorema za sabiranje vjerovatnoća zajedničkih događaja. Vjerovatnoća pojave najmanje jednog od dva zajednička događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez vjerovatnoće njihovog zajedničkog nastupa:

Primer 4. U kutiji je 20 delova raspoređenih slučajnim redosledom, od kojih je pet standardnih. Radnik nasumce uzima tri dijela. Pronađite vjerovatnoću da će barem jedan od uzetih dijelova biti standardan.

Očigledno je da će barem jedan od uzetih dijelova biti standardan ako se dogodi bilo koji od tri nekompatibilna događaja: B- jedan dio je standardni, dva su nestandardna; C- dva standardna dijela, jedan nestandardni i D- tri dijela su standardna.

Dakle, događaj A može se predstaviti kao zbir ova tri događaja: A = B + C + D. Po teoremi sabiranja imamo P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Pronađite vjerovatnoću svakog od ovih događaja:

Zbrajanjem pronađenih vrijednosti dobijamo

Primjer 5. Naći vjerovatnoću da je slučajno uzeto dvocifreni broj bit će višekratnik 3 ili 5, ili oboje.

Neka A- događaj koji se sastoji u činjenici da je slučajno odabrani broj višekratnik 3, i B- je da je višekratnik 5. Nađimo Od A I B zajedničkih događaja, tada koristimo formulu:

Ukupno ima 90 dvocifrenih brojeva: 10, 11, 98, 99. Od toga je 30 višestruko od 3 (podržava nastanak događaja A); 18 - višekratnici od 5 (pogoduju nastanku događaja B) i 6 - umnožaci 3 i 5 u isto vrijeme (favoriziraju nastanak događaja AB). Dakle, tj.

Teorema množenja vjerovatnoće:

Teorema za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

Vjerovatnoća pojave nekoliko događaja koji su neovisni u agregatu izračunava se po formuli:

Teorema za množenje vjerovatnoća zavisnih događaja. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva zavisna događaja jednaka je umnošku jednog od njih i uslovne vjerovatnoće drugog:

Primjer 6. Jedna urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, druga 3 bijele i 9 crnih kuglica. Iz svake urne je uzeta lopta. Odrediti vjerovatnoću da su obje lopte bijele.

Neka je izgled bijele kugle iz prve urne, a neka je izgled bijele kugle iz druge urne. Očigledno je da su događaji nezavisni. Naći ćemo

Koristeći formulu dobijamo:

Pitanja za samotestiranje na temu 3.1:

1. Šta je događaj?

2. Koji se događaji nazivaju pouzdanim?

3. Koji se događaji nazivaju nemogućim?

4. Definirajte vjerovatnoću.

5. Formulirajte teoremu za sabiranje vjerovatnoća.

6. Formulirajte teoremu množenja vjerovatnoće.

Zadaci za nezavisna odluka na temu 3.1:

1. Kutija sadrži 10 delova po slučajnom redosledu, od kojih su 4 standardna. Inspektor je nasumično uzeo 3 dijela. Nađite vjerovatnoću da se barem jedan od uzetih dijelova pokazao kao standardan.

2. Urna sadrži 10 bijelih, 15 crnih, 20 plavih i 25 crvenih kuglica. Odrediti vjerovatnoću da će izvučena lopta biti: 1) bijela; 2) crna ili crvena.

3. Pronađite vjerovatnoću da će nasumično odabran dvocifreni broj biti višekratnik 4 ili 5, ili oboje.

4. Radnik servisira dvije mašine koje rade nezavisno jedna od druge. Verovatnoća da prva mašina neće zahtevati pažnju radnika u roku od jednog sata je 0,8, a za drugu mašinu ta verovatnoća je 0,7. Pronađite vjerovatnoću da u roku od sat vremena niti jedna mašina neće zahtijevati pažnju radnika.

5. Urna sadrži 6 kuglica, od kojih su 3 bijele. Dvije kuglice se nasumično izvlače, jedna za drugom. Izračunajte vjerovatnoću da su obje lopte bijele.

6. Urna sadrži 10 bijelih i 6 crnih kuglica. Nađite vjerovatnoću da će tri nasumično izvučene jedna za drugom kugle ispasti crne.

Razmatra se eksperiment E. Pretpostavlja se da se može ponoviti. Kao rezultat eksperimenta mogu se pojaviti različiti događaji koji čine određeni skup F. Događaji koji se mogu promatrati dijele se u tri tipa: pouzdani, nemogući, slučajni.

Pouzdan naziva se događaj koji će se sigurno dogoditi kao rezultat eksperimenta E. Označeno sa Ω.

Nemoguće događaj za koji se zna da se ne dogodi kao rezultat eksperimenta se zove E. Označeno sa .

Slučajno naziva se događaj koji se može, ali ne mora dogoditi kao rezultat eksperimenta E.

Dodatni (suprotno) događaj A je događaj, označen sa , koji se događa ako i samo ako se događaj ne dogodi A.

zbroj (kombinacija) događaji su događaji koji se dešavaju ako i samo ako se dogodi barem jedan od ovih događaja (slika 3.1). Notacija.

Slika 3.1

Proizvod (raskrsnica) događaji su događaji koji se dešavaju ako i samo ako se svi ovi događaji dogode zajedno (istovremeno) (slika 3.2). Notacija. Očigledno je da događaji A i B nekompatibilno , Ako .

Slika 3.2

Kompletna grupa događaja je skup događaja čiji je zbir određeni događaj:

Događaj IN pozvao poseban slučaj događaja A, ako s pojavom događaja IN događaj se pojavljuje A. Oni također kažu da je događaj IN podrazumeva događaj A(Slika 3.3). Oznaka

Slika 3.3

Događaji A I IN su pozvani ekvivalentan , ako se pojave ili ne dogode zajedno tokom eksperimenta E. Oznaka Očigledno je da ako.

Težak događaj nazovite posmatrani događaj izražen kroz druge događaje uočene u istom eksperimentu koristeći algebarske operacije.

Vjerovatnoća nastanka određenog složenog događaja izračunava se korištenjem formula za sabiranje i množenje vjerovatnoća.

Teorema sabiranja vjerovatnoće

Posljedice:

1) ako događaji A I IN su nekonzistentni, teorema sabiranja ima oblik:

2) u slučaju tri člana, teorema sabiranja je zapisana u obliku

3) zbir vjerovatnoća međusobno suprotnih događaja jednak je 1:

Skup događaja ,, ..., se zove kompletna grupa događaja , Ako

Zbir vjerovatnoća događaja koji formiraju kompletnu grupu jednak je 1:

Vjerovatnoća nastanka događaja A pod uslovom da je događaj IN dogodilo, tako zovu uslovna verovatnoća i označavaju ili.

A I IN – zavisni događaji , Ako .

A I IN – nezavisnih događaja , Ako .

Teorema množenja vjerovatnoće

Posljedice:

1) za samostalne događaje A I IN

2) u opšti slučaj za proizvod tri događaja, teorema množenja vjerovatnoće ima oblik:

Primjeri rješavanja problema

Primjer1 - Tri elementa su povezana serijski u električni krug, radeći nezavisno jedan od drugog. Vjerojatnosti kvara prvog, drugog i trećeg elementa su respektivno jednake ,. Pronađite vjerovatnoću da u strujnom kolu neće biti struje.

Rješenje

Prvi način.

Označimo sljedeće događaje: - došlo je do kvara prvog, drugog i trećeg elementa u kolu, respektivno.

Događaj A– neće biti struje u kolu (najmanje jedan od elemenata će pokvariti, jer su spojeni serijski).

Događaj - postoji struja u kolu (tri elementa rade), . Vjerovatnoća suprotnih događaja povezana je formulom (3.4). Događaj je proizvod tri događaja koji su neovisni u parovima. Koristeći teoremu za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja, dobijamo

Tada je vjerovatnoća željenog događaja .

Drugi način.

Uzimajući u obzir prethodno prihvaćenu notaciju, zapisujemo željeni događaj A– barem jedan od elemenata neće uspjeti:

Pošto su pojmovi uključeni u zbir kompatibilni, treba primijeniti teoremu o sabiranju vjerovatnoća u opšti pogled za slučaj tri člana (3.3):

odgovor: 0,388.

Problemi koje treba riješiti samostalno

1 Čitaonica ima šest udžbenika iz teorije vjerovatnoće, od kojih su tri ukoričena. Bibliotekarka je nasumce uzela dva udžbenika. Naći vjerovatnoću da će oba udžbenika biti uvezana.

2 U vrećici su pomiješane niti, od kojih je 30% bijelo, a ostalo crveno. Odrediti vjerovatnoće da će dvije nasumično izvučene niti biti: iste boje; različite boje.

3 Uređaj se sastoji od tri elementa koji rade nezavisno. Vjerojatnosti rada bez otkaza za određeni vremenski period prvog, drugog i trećeg elementa su 0,6; 0,7; 0.8. Naći vjerovatnoće da će tokom ovog vremena samo jedan element raditi bez greške; samo dva elementa; sva tri elementa; najmanje dva elementa.

4 Tri bačena kockice. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:

a) pet bodova će se pojaviti na svakoj izvučenoj strani;

b) isti broj bodova će se pojaviti na svim ispuštenim stranama;

c) jedna tačka će se pojaviti na dvije ispuštene strane, a drugi broj bodova će se pojaviti na trećoj strani;

d) različit broj bodova će se pojaviti na svim ispuštenim licima.

5 Vjerovatnoća da strijelac jednim udarcem pogodi metu je 0,8. Koliko hitaca mora strijelac ispaliti da bi se sa vjerovatnoćom manjom od 0,4 moglo očekivati ​​da neće biti promašaja?

6 Od brojeva 1, 2, 3, 4, 5 prvo se bira jedan, a zatim se od preostala četiri bira druga cifra. Pretpostavlja se da je svih 20 mogućih ishoda jednako vjerovatno. Odrediti vjerovatnoću da će neparan broj biti izabran: po prvi put; drugi put; oba puta.

7 Vjerovatnoća da će se par cipela veličine 46 ponovo prodati u odjelu muške obuće trgovine je 0,01. Koliko se pari cipela mora prodati u radnji da bi se sa vjerovatnoćom od najmanje 0,9 moglo očekivati ​​da će se prodati barem jedan par cipela veličine 46?

8 Kutija sadrži 10 dijelova, uključujući dva nestandardna. Pronađite vjerovatnoću da od šest nasumično odabranih dijelova neće biti više od jednog nestandardnog.

9 Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerovatnoća da je proizvod nestandardan je 0,1. Pronađite vjerovatnoću da:

a) od tri testirana proizvoda samo dva će se pokazati nestandardnim;

b) samo će se četvrti proizvod testiran po redu pokazati nestandardnim.

10 32 slova ruske abecede ispisana su na izrezanim karticama abecede:

a) tri karte se nasumce vade jedna za drugom i stavljaju na sto po redosledu pojavljivanja. Pronađite vjerovatnoću da će se dobiti riječ “svijet”;

b) tri uklonjene kartice mogu se zamijeniti na bilo koji način. Kolika je vjerovatnoća da se od njih može formirati riječ „svijet“?

11 Lorac napada bombarder i ispaljuje dva nezavisna rafala na njega. Vjerovatnoća obaranja bombardera prvim rafalom je 0,2, a drugom - 0,3. Ako bombarder nije oboren, puca na lovca iz stražnjih topova i obara ga sa vjerovatnoćom od 0,25. Pronađite vjerovatnoću da je bombarder ili lovac oboren kao rezultat zračne bitke.

Zadaća

1 Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula.

2 Riješiti probleme

Zadatak1 . Radnik upravlja sa tri mašine koje rade nezavisno jedna od druge. Vjerovatnoća da prva mašina neće zahtijevati pažnju radnika u roku od sat vremena je 0,9, druga – 0,8, a treća – 0,85. Pronađite vjerovatnoću da će u roku od sat vremena barem jedna mašina zahtijevati pažnju radnika.

Zadatak2 . Računarski centar, koji mora kontinuirano da obrađuje pristigle informacije, ima dva računarska uređaja. Poznato je da svaki od njih ima vjerovatnoću kvara tokom nekog vremena jednaku 0,2. Morate odrediti vjerovatnoću:

a) činjenica da će jedan od uređaja pokvariti, a drugi će biti u funkciji;

b) nesmetan rad svakog uređaja.

Zadatak3 . Četiri lovca su se dogovorila da pucaju na divljač u određenom nizu: sljedeći lovac puca samo ako prethodni promaši. Verovatnoća pogotka za prvog lovca je 0,6, za drugog – 0,7, za trećeg – 0,8. Pronađite vjerovatnoću da će biti ispaljeni hitci:

d) četiri.

Zadatak4 . Dio prolazi kroz četiri operacije obrade. Verovatnoća dobijanja kvara tokom prve operacije je 0,01, tokom druge - 0,02, tokom treće - 0,03, a tokom četvrte - 0,04. Odrediti vjerovatnoću prijema dijela bez grešaka nakon četiri operacije, uz pretpostavku da su događaji prijema defekata u pojedinačnim operacijama nezavisni.

Obrazovna ustanova „Beloruska država

poljoprivredna akademija"

Odsjek za višu matematiku

ZBIRANJE I MNOŽENJE VEROVATNOĆA. PONOVLJENI NEZAVISNI TESTOVI

Predavanje za studente Fakulteta za upravljanje zemljištem

dopisni kursevi

Gorki, 2012

Sabiranje i množenje vjerovatnoća. Ponovljeno

nezavisni testovi

Sabiranje vjerovatnoća

Zbir dva zajednička događaja A I IN zove događaj WITH, koji se sastoji od pojave barem jednog od događaja A ili IN. Slično, zbir nekoliko zajedničkih događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja.

Zbir dva nespojiva događaja A I IN zove događaj WITH koji se sastoji od pojave ili događaja A, ili događaji IN. Slično, zbir nekoliko nekompatibilnih događaja je događaj koji se sastoji od pojave bilo kojeg od ovih događaja.

Važi teorema za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja: vjerovatnoća zbira dva nekompatibilna događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja , tj. . Ova teorema se može proširiti na bilo koji konačan broj nekompatibilnih događaja.

Iz ove teoreme slijedi:

zbir verovatnoća događaja koji formiraju kompletnu grupu jednak je jedan;

zbir verovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan, tj.
.

Primjer 1 . Kutija sadrži 2 bijele, 3 crvene i 5 plavih loptica. Kuglice se miješaju i jedna se izvlači nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će lopta biti obojena?

Rješenje . Označimo događaje:

A=(izvučena kuglica u boji);

B=(bijela lopta izvučena);

C=(crvena lopta izvučena);

D=(plava lopta izvučena).

Onda A= C+ D. Od događaja C, D su nekonzistentne, onda ćemo koristiti teoremu za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja: .

Primjer 2 . Urna sadrži 4 bijele i 6 crnih kuglica. Iz urne se nasumično izvlače 3 loptice. Kolika je vjerovatnoća da su svi iste boje?

Rješenje . Označimo događaje:

A=(izvučene su loptice iste boje);

B=(bijele kuglice se vade);

C=(crne lopte se vade).

Jer A= B+ C i događaje IN I WITH su nekonzistentne, onda teoremom o sabiranju vjerovatnoća nekompatibilnih događaja
. Vjerovatnoća događaja IN jednak
, Gdje
4,

. Zamenimo k I n u formulu i dobijamo
Slično, nalazimo vjerovatnoću događaja WITH:
, Gdje
,
, tj.
. Onda
.

Primjer 3 . Iz špila od 36 karata, nasumično se izvlače 4 karte. Nađite vjerovatnoću da će među njima biti najmanje tri asa.

Rješenje . Označimo događaje:

A=(među izvađenim kartama postoje najmanje tri asa);

B=(među izvađenim kartama su tri asa);

C=(među izvađenim kartama su četiri asa).

Jer A= B+ C, i događaji IN I WITH onda su nekompatibilni
. Nađimo vjerovatnoće događaja IN I WITH:

,
. Stoga je vjerovatnoća da među izvučenim kartama budu najmanje tri asa jednaka

0.0022.

Množenje vjerovatnoće

Posao dva događaja A I IN zove događaj WITH, koji se sastoji u zajedničkom nastanku ovih događaja:
. Ova definicija se odnosi na bilo koji konačan broj događaja.

Dva događaja se zovu nezavisni , ako vjerovatnoća da se jedan od njih dogodi ne zavisi od toga da li se drugi događaj dogodio ili ne. Događaji ,, … ,su pozvani kolektivno nezavisni , ako vjerovatnoća nastanka svakog od njih ne zavisi od toga da li su se drugi događaji dogodili ili nisu.

Primjer 4 . Dva strijelca pucaju u metu. Označimo događaje:

A=(prvi strijelac je pogodio metu);

B=(drugi strijelac je pogodio metu).

Očigledno, vjerovatnoća da će prvi strijelac pogoditi metu ne zavisi od toga da li je drugi strijelac pogodio ili promašio, i obrnuto. Dakle, događaji A I IN nezavisni.

Vrijedi teorema za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja: vjerovatnoća proizvoda dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja : .

Ova teorema vrijedi i za n kolektivno nezavisni događaji: .

Primjer 5 . Dva strijelca pucaju u istu metu. Vjerovatnoća da se pogodi prvi strijelac je 0,9, a drugi 0,7. Oba strijelca pucaju jedan po jedan. Odredite vjerovatnoću da će biti dva pogotka u metu.

Rješenje . Označimo događaje:

A

B

C=(oba strijelca će pogoditi metu).

Jer
, i događaji A I IN su dakle nezavisni
, tj.

Događaji A I IN su pozvani zavisan , ako vjerovatnoća da se jedan od njih dogodi zavisi od toga da li se dogodio drugi događaj ili ne. Vjerovatnoća da se dogodi neki događaj A pod uslovom da je događaj IN već je stiglo, zove se uslovna verovatnoća i određen je
ili
.

Primjer 6 . Urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica. Kuglice se izvlače iz urne. Označimo događaje:

A=(bijela lopta izvučena) ;

B=(crna lopta izvučena).

Prije nego počnete vaditi kuglice iz urne
. Jedna lopta je izvađena iz urne i ispostavilo se da je crna. Zatim vjerovatnoća događaja A nakon događaja IN postojaće drugi, jednak . To znači da je vjerovatnoća događaja A zavisi od događaja IN, tj. ovi događaji će biti zavisni.

Vrijedi teorema za množenje vjerovatnoća zavisnih događaja: vjerovatnoća da će se dva zavisna događaja dogoditi jednaka je proizvodu vjerovatnoće jednog od njih i uslovne vjerovatnoće drugog, izračunato pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio, tj. ili.

Primjer 7 . Urna sadrži 4 bijele i 8 crvenih kuglica. Iz njega se nasumično izvlače dvije loptice. Odrediti vjerovatnoću da su obje lopte crne.

Rješenje . Označimo događaje:

A=(prva izvučena crna lopta);

B=(druga crna lopta je izvučena).

Događaji A I IN zavisan jer
, A
. Onda
.

Primjer 8 . Tri strijelca gađaju metu nezavisno jedan od drugog. Verovatnoća da pogodi metu za prvog strelca je 0,5, za drugog – 0,6 i za trećeg – 0,8. Pronađite vjerovatnoću da će biti dva pogotka u metu ako svaki strijelac ispali jedan hitac.

Rješenje . Označimo događaje:

A=(biće dva pogotka u metu);

B=(prvi strijelac će pogoditi metu);

C=(drugi strijelac će pogoditi metu);

D=(treći strijelac će pogoditi metu);

=(prvi strijelac neće pogoditi metu);

=(drugi strijelac neće pogoditi metu);

=(treći strijelac neće pogoditi metu).

Prema primjeru
,
,
,

,
,
. Pošto, koristeći teoremu za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja i teoremu za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja, dobijamo:

Neka događaji
formiraju kompletnu grupu događaja nekog testa i događaja A može se dogoditi samo sa jednim od ovih događaja. Ako su vjerovatnoće i uslovne vjerovatnoće događaja poznate A, tada se vjerovatnoća događaja A izračunava po formuli:

ili
. Ova formula se zove formula ukupne vjerovatnoće , i događaji
hipoteze .

Primjer 9 . Linija za montažu prima 700 delova od prve mašine i 300 delova od drugog. Prva mašina proizvodi 0,5% otpada, a druga - 0,7%. Pronađite vjerovatnoću da će uzeti dio biti neispravan.

Rješenje . Označimo događaje:

A=(uzeti dio će biti neispravan);

=(deo je napravljen na prvoj mašini);

=(deo se pravi na drugoj mašini).

Vjerovatnoća da je dio napravljen na prvoj mašini jednaka je
. Za drugu mašinu
. U skladu sa uslovom, verovatnoća dobijanja neispravnog dela napravljenog na prvoj mašini je jednaka
. Za drugu mašinu ova verovatnoća je jednaka
. Tada se izračunava vjerovatnoća da će uzeti dio biti neispravan primjenom formule ukupne vjerovatnoće

Ako je poznato da se neki događaj dogodio kao rezultat testa A, zatim vjerovatnoća da se ovaj događaj dogodio sa hipotezom
, je jednako
, Gdje
- ukupna vjerovatnoća događaja A. Ova formula se zove Bayesova formula i omogućava vam da izračunate vjerovatnoće događaja
nakon što se saznalo da je događaj A je već stigao.

Primjer 10 . Isti tip autodijelova se proizvodi u dvije fabrike i isporučuje se u radnju. Prva fabrika proizvodi 80% od ukupnog broja delova, a druga 20%. Proizvodi prvog pogona sadrže 90% standardnih dijelova, a drugog - 95%. Kupac je kupio jedan dio i ispostavilo se da je standardan. Pronađite vjerovatnoću da je ovaj dio proizveden u drugoj tvornici.

Rješenje . Označimo događaje:

A=(standardni dio kupljen);

=(dio je proizveden u prvoj fabrici);

=(dio je proizveden u drugoj fabrici).

Prema primjeru
,
,
I
. Izračunajmo ukupnu vjerovatnoću događaja A: 0,91. Izračunavamo vjerovatnoću da je dio proizveden u drugoj tvornici koristeći Bayesovu formulu:

.

Zadaci za samostalan rad

Verovatnoća da pogodi metu za prvog strelca je 0,8, za drugog – 0,7 i za trećeg – 0,9. Strijelci su ispalili po jedan hitac. Nađite vjerovatnoću da postoje najmanje dva pogotka u metu.

Radionica je dobila 15 traktora. Poznato je da njih 6 treba zamijeniti motor, a za ostale pojedine komponente. Tri traktora se biraju nasumično. Pronađite vjerovatnoću da je zamjena motora potrebna za najviše dva odabrana traktora.

Fabrika armiranog betona proizvodi panele od kojih je 80% najvišeg kvaliteta. Pronađite vjerovatnoću da će od tri nasumično odabrana panela, barem dva biti najviše ocjene.

Tri radnika montiraju ležajeve. Verovatnoća da je ležaj koji je sklopio prvi radnik najkvalitetniji je 0,7, drugi – 0,8, a treći – 0,6. Za kontrolu, jedan ležaj je nasumično uzet od onih koje je sastavio svaki radnik. Pronađite vjerovatnoću da će barem dva od njih biti najvišeg kvaliteta.

Vjerovatnoća osvajanja prvog listića na lutriji je 0,2, drugog 0,3 i trećeg 0,25. Za svako izdanje postoji jedna ulaznica. Pronađite vjerovatnoću da će barem dva tiketa osvojena.

Računovođa vrši obračune koristeći tri priručnika. Vjerovatnoća da se podaci koji ga zanimaju budu u prvom imeniku je 0,6, u drugom - 0,7 iu trećem - 0,8. Pronađite vjerovatnoću da se podaci za koje je računovođa zanima ne nalaze u više od dva imenika.

Tri mašine proizvode delove. Prva mašina proizvodi deo najvišeg kvaliteta sa verovatnoćom 0,9, druga sa verovatnoćom 0,7 a treća sa verovatnoćom 0,6. Iz svake mašine se nasumično uzima jedan dio. Nađite vjerovatnoću da su barem dva od njih najvišeg kvaliteta.

Isti tip dijelova se obrađuje na dvije mašine. Vjerovatnoća proizvodnje nestandardnog dijela za prvu mašinu je 0,03, za drugu – 0,02. Obrađeni dijelovi se čuvaju na jednom mjestu. Među njima je 67% iz prve mašine, a ostatak iz druge. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Pronađite vjerovatnoću da je napravljen na prvoj mašini.

Radionica je dobila dvije kutije kondenzatora istog tipa. Prva kutija je sadržavala 20 kondenzatora, od kojih su 2 bila neispravna. Druga kutija sadrži 10 kondenzatora, od kojih su 3 neispravna. Kondenzatori su stavljeni u jednu kutiju. Pronađite vjerovatnoću da će kondenzator nasumično uzet iz kutije biti u dobrom stanju.

Tri mašine proizvode iste vrste delova, koji se isporučuju na zajednički transporter. Od svih delova, 20% je iz prve mašine, 30% iz druge i 505 iz treće. Verovatnoća izrade standardnog dela na prvoj mašini je 0,8, na drugoj – 0,6 i na trećoj – 0,7. Ispostavilo se da je uzeti dio standardan. Nađite vjerovatnoću da je ovaj dio napravljen na trećoj mašini.

Sastavljač dobija 40% delova iz fabrike na montažu A, a ostalo - iz fabrike IN. Verovatnoća da je deo iz fabrike A– vrhunski kvalitet, jednak 0,8, i to iz fabrike IN– 0,9. Sastavljač je nasumično uzeo jedan dio i ispostavilo se da je lošeg kvaliteta. Pronađite vjerovatnoću da je ovaj dio iz tvornice IN.

Za učešće u studentskim sportskim takmičenjima raspoređeno je 10 učenika iz prve grupe i 8 iz druge. Vjerovatnoća da će student iz prve grupe biti uključen u tim akademije je 0,8, a iz druge - 0,7. U tim je uključen nasumično odabran učenik. Pronađite vjerovatnoću da je on iz prve grupe.

Bernulijeva formula

Testovi se zovu nezavisni , ako za svaki od njih događaj A se dešava sa istom verovatnoćom
, nezavisno od toga da li se ovaj događaj pojavio ili nije u drugim suđenjima. Vjerovatnoća suprotnog događaja u ovom slučaju jednako
.

Primjer 11 . Kocka se baca n jednom. Označimo događaj A=(okretanje tri boda). Vjerovatnoća da se dogodi neki događaj A u svakom ispitivanju je jednak i ne zavisi od toga da li se ovaj događaj dogodio ili nije u drugim ispitivanjima. Stoga su ovi testovi nezavisni. Vjerovatnoća suprotnog događaja
(ne bacanje tri boda) je jednako
.

Verovatnoća da u n nezavisna ispitivanja, u svakom od kojih je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi A jednak str, događaj će se tačno dogoditi k puta (nije bitno kojim redoslijedom), izračunato po formuli
, Gdje
. Ova formula se zove Bernulijeva formula i zgodno je ako broj testova n nije prevelik.

Primjer 12 . Udio plodova zaraženih bolešću u latentnom obliku je 25%. 6 plodova je nasumično odabrano. Naći vjerovatnoću da će među odabranima biti: a) tačno 3 zaražena ploda; b) najviše dva zaražena ploda.

Rješenje . Prema primjeru uslova.

a) Prema Bernoullijevoj formuli, vjerovatnoća da će od šest odabranih plodova biti zaražena tačno tri jednaka je

0.132.

b) Označimo događaj A=(neće biti zaražena više od dva voća). Onda . Prema Bernoullijevoj formuli:

0.297.

dakle,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Laplaceove i Poissonove teoreme

Bernulijeva formula se koristi za pronalaženje vjerovatnoće događaja Aće doći k jednom svaki n nezavisna ispitivanja i u svakom ispitivanju vjerovatnoća događaja A je konstantan. Za velike vrijednosti n, proračuni pomoću Bernoullijeve formule postaju naporni. U ovom slučaju, za izračunavanje vjerovatnoće događaja A Bilo bi bolje koristiti drugačiju formulu.

Lokalna Laplaceova teorema . Neka vjerovatnoća str pojava događaja A u svakom ogledu je konstantan i različit od nule i jedan. Zatim vjerovatnoća da je događaj A doći će tačno k puta sa dovoljno velikim brojem n testova, izračunava se po formuli

, Gdje
, i vrijednosti funkcije
date su u tabeli.

Glavna svojstva funkcije
su:

Funkcija
definisano i kontinuirano u intervalu
.

Funkcija
je pozitivna, tj.
>0.

Funkcija
čak, tj.
.

Od funkcije
je paran, tada tabela prikazuje njegove vrijednosti samo za pozitivne vrijednosti X.

Primjer 13 . Klijavost semena pšenice je 80%. Za eksperiment je odabrano 100 sjemenki. Pronađite vjerovatnoću da će niknuti tačno 90 odabranih sjemenki.

Rješenje . Prema primjeru n=100, k=90, str=0.8, q=1-0,8=0,2. Onda
. Pomoću tablice nalazimo vrijednost funkcije
:
. Vjerovatnoća da će tačno 90 odabranih sjemenki niknuti jednaka je
0.0044.

Prilikom rješavanja praktičnih problema postaje neophodno pronaći vjerovatnoću da se neki događaj dogodi A at n nezavisni testovi ništa manje jednom i ne više jednom. Ovaj problem se rješava korištenjem Laplasova integralna teorema : Neka vjerovatnoća str pojava događaja A u svakom n nezavisni testovi su konstantni i različiti od nule i jedan. Tada je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi najmanje jednom i ne više puta sa dovoljno velikim brojem testova, izračunava se po formuli

Gdje
,
.

Funkcija
pozvao Laplaceova funkcija i ne izražava se kroz elementarne funkcije. Vrijednosti ove funkcije date su u posebnim tabelama.

Glavna svojstva funkcije
su:

.

Funkcija
povećava u intervalu
.

at
.

Funkcija
neparan, tj.
.

Primjer 14 . Kompanija proizvodi proizvode od kojih 13% nije najvišeg kvaliteta. Odredite vjerovatnoću da u neprovjerenoj seriji od 150 jedinica najkvalitetnijeg proizvoda neće biti manje od 125 i ne više od 135.

Rješenje . Označimo . Hajde da izračunamo
,

Teoreme sabiranja i množenja vjerojatnosti.

Teorema za sabiranje vjerovatnoća dva događaja. Vjerovatnoća zbira dva događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez vjerovatnoće njihovog zajedničkog nastupa:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Teorema za sabiranje vjerovatnoća dva nekompatibilna događaja. Verovatnoća zbira dva nekompatibilna događaja jednaka je zbiru verovatnoća ovih:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Primjer 2.16. Strijelac puca u metu podijeljenu u 3 područja. Vjerovatnoća da ćete pogoditi prvo područje je 0,45, drugo - 0,35. Pronađite vjerovatnoću da će strijelac jednim udarcem pogoditi prvo ili drugo područje.

Rješenje.

Događaji A- „strelac je pogodio prvo područje” i IN- „strelac je pogodio drugo područje” - nedosljedni su (ulazak u jedno područje isključuje ulazak u drugo), tako da je primjenjiva teorema sabiranja.

Tražena vjerovatnoća je:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Teorema sabiranja vjerovatnoće P nekompatibilni događaji. Vjerovatnoća zbira n nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan:

Vjerovatnoća događaja IN pod uslovom da se događaj desio A, naziva se uslovna vjerovatnoća događaja IN i označava se kako slijedi: P(V/A), ili R A (B).

. Vjerovatnoća da će se dva događaja dogoditi jednaka je proizvodu vjerovatnoće jednog od njih i uslovne vjerovatnoće drugog, pod uslovom da se prvi događaj dogodio:

P(AB)=P(A)P A (B).

Događaj IN ne zavisi od događaja A, Ako

R A (V) = R (V),

one. vjerovatnoća događaja IN ne zavisi od toga da li se događaj desio A.

Teorema za množenje vjerovatnoća dva nezavisna događaja.Verovatnoća proizvoda dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu njihovih verovatnoća:

P(AB)=P(A)P(B).

Primjer 2.17. Vjerojatnosti pogađanja mete prilikom ispaljivanja iz prve i druge puške su jednake: p 1 = 0,7; p 2= 0,8. Pronađite vjerovatnoću pogotka jednom salvom (iz oba topova) od strane barem jednog od topova.

Rješenje.

Verovatnoća da svaki top pogodi metu ne zavisi od rezultata ispaljivanja iz drugog pištolja, tako da događaji A– „pogođen prvim pištoljem“ i IN– „pogođeni drugim pištoljem“ su nezavisni.

Vjerovatnoća događaja AB- “pogodila oba pištolja”:

Potrebna vjerovatnoća

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Teorema množenja vjerovatnoće P događaji.Verovatnoća proizvoda n događaja jednaka je proizvodu jednog od njih uslovnim verovatnoćama svih ostalih, izračunatim pod pretpostavkom da su se svi prethodni događaji dogodili:

Primjer 2.18. U urni se nalazi 5 bijelih, 4 crne i 3 plave kugle. Svaki test se sastoji od nasumično vađenja jedne lopte bez vraćanja. Nađite vjerovatnoću da će se u prvom pokušaju pojaviti bela kugla (događaj A), u drugom – crna (događaj B), a u trećem – plava kugla (događaj C).

Rješenje.

Vjerovatnoća pojavljivanja bijele lopte u prvom pokušaju:

Vjerovatnoća pojave crne lopte u drugom pokušaju, izračunata pod pretpostavkom da se u prvom pokušaju pojavila bela kugla, odnosno uslovna vjerovatnoća:

Verovatnoća pojave plave lopte u trećem pokušaju, izračunata pod pretpostavkom da se u prvom pokušaju pojavila bela, a u drugom crna, odnosno uslovna verovatnoća:

Tražena vjerovatnoća je:

Teorema množenja vjerovatnoće P nezavisnih događaja.Vjerovatnoća proizvoda n nezavisnih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

Vjerovatnoća da se dogodi barem jedan od događaja. Vjerovatnoća pojave barem jednog od događaja A 1, A 2, ..., A n, nezavisnog u agregatu, jednaka je razlici između jedinice i proizvoda vjerovatnoća suprotnih događaja:

.

Primjer 2.19. Vjerojatnosti pogađanja mete pri pucanju iz tri puške su sljedeće: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;p 3= 0,9. Pronađite vjerovatnoću najmanje jednog pogotka (događaj A) jednom salvom iz svih topova.

Rješenje.

Verovatnoća da svaki top pogodi metu ne zavisi od rezultata gađanja iz drugih topova, tako da događaji koji se razmatraju A 1(pogođen prvim pištoljem), A 2(pogođen drugim pištoljem) i A 3(pogođen trećim pištoljem) su nezavisni u agregatu.

Vjerovatnoće događaja suprotnih događajima A 1, A 2 I A 3(tj. vjerovatnoća promašaja) jednaki su:

, , .

Tražena vjerovatnoća je:

Ako su nezavisni događaji A 1, A 2, …, A str imaju istu vjerovatnoću za R, tada se vjerovatnoća pojave barem jednog od ovih događaja izražava formulom:

R(A)= 1 – q n ,

Gdje q=1- str

2.7. Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula.

Neka događaj A može nastati pod uslovom da se dogodi jedan od nekompatibilnih događaja N 1, N 2, …, N str, čineći kompletnu grupu događaja. Pošto se ne zna unaprijed koji će se od ovih događaja dogoditi, oni se nazivaju hipoteze.

Vjerovatnoća nastanka događaja A izračunato od strane formula ukupne vjerovatnoće:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

Pretpostavimo da je izveden eksperiment koji je rezultirao događajem A dogodilo. Uslovne vjerovatnoće događaja N 1, N 2, …, N str u vezi sa događajem A su određene Bayesove formule:

,

Primjer 2.20. U grupi od 20 studenata koji su došli na ispit, 6 je bilo odlično pripremljeno, 8 dobro pripremljeno, 4 zadovoljavajuće i 2 slabo pripremljena. Ispitni radovi sadrže 30 pitanja. Dobro pripremljen učenik može odgovoriti na svih 30 pitanja, dobro pripremljen učenik može odgovoriti na 24 pitanja, dobro pripremljen učenik može odgovoriti na 15 pitanja, a loše pripremljen učenik može odgovoriti na 7 pitanja.

Nasumično pozvan učenik je nasumično odgovorio na tri. postavljena pitanja. Naći vjerovatnoću da je ovaj učenik pripremljen: a) odličan; b) loše.

Rješenje.

Hipoteze – „učenik je dobro pripremljen“;

– „učenik je dobro pripremljen“;

– „učenik je pripremljen na zadovoljavajući način“;

– „učenik je loše pripremljen.”

Prije iskustva:

; ; ; ;

7. Šta se zove kompletna grupa događaja?

8. Koji se događaji nazivaju jednako mogućim? Navedite primjere takvih događaja.

9. Šta se naziva elementarnim ishodom?

10. Koje ishode smatram povoljnim za ovaj događaj?

11. Koje operacije se mogu izvršiti nad događajima? Definišite ih. Kako su označeni? Navedite primjere.

12. Šta se zove vjerovatnoća?

13. Koja je vjerovatnoća pouzdanog događaja?

14. Kolika je vjerovatnoća nemogućeg događaja?

15. Koje su granice vjerovatnoće?

16. Kako se određuje geometrijska vjerovatnoća na ravni?

17. Kako se određuje vjerovatnoća u prostoru?

18. Kako se određuje vjerovatnoća na pravoj liniji?

19. Kolika je vjerovatnoća zbira dva događaja?

20. Kolika je vjerovatnoća zbira dva nespojiva događaja?

21. Kolika je vjerovatnoća zbira n nekompatibilnih događaja?

22. Koja se vjerovatnoća naziva uslovnom? Navedite primjer.

23. Navedite teoremu množenja vjerovatnoće.

24. Kako pronaći vjerovatnoću pojave barem jednog od događaja?

25. Koji se događaji nazivaju hipotezama?

26. Kada se koriste formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula?