- — [] kvadratická funkce Funkce tvaru y= ax2 + bx + c (a ? 0). Graf K.f. - parabola, jejíž vrchol má souřadnice [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], s a>0 větvemi paraboly ... ...
KVADRATICKÁ FUNKCE, matematická FUNKCE, jejíž hodnota závisí na druhé mocnině nezávislé proměnné x a je dána kvadratickým POLYNOMEM, například: f(x) = 4x2 + 17 nebo f(x) = x2 + 3x + 2. viz také DVORCE ROVNICE … Vědeckotechnický encyklopedický slovník
Kvadratická funkce- Kvadratická funkce - funkce tvaru y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Graf K.f. - parabola, jejíž vrchol má souřadnice [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], pro a> 0 směřují větve paraboly nahoru, pro a< 0 –вниз… …
- (kvadratická) Funkce, která má následující tvar: y=ax2+bx+c, kde a≠0 a nejvyšší stupeň x je čtverec. Kvadratická rovnice y=ax2 +bx+c=0 lze také vyřešit pomocí následujícího vzorce: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Tyto kořeny jsou skutečné... Ekonomický slovník
Afinní kvadratická funkce na afinním prostoru S je libovolná funkce Q: S→K, která má ve vektorizovaném tvaru tvar Q(x)=q(x)+l(x)+c, kde q je kvadratická funkce, l je lineární funkce, c je konstanta. Obsah 1 Posun referenčního bodu 2 ... ... Wikipedie
Afinní kvadratická funkce na afinním prostoru je jakákoli funkce, která má tvar ve vektorizovaném tvaru, kde je symetrická matice, lineární funkce, konstanta. Obsah... Wikipedie
Funkce na vektorovém prostoru definovaném homogenním polynomem druhého stupně v souřadnicích vektoru. Obsah 1 Definice 2 Související definice... Wikipedie
- je funkce, která teoreticky statistická řešení charakterizuje ztráty v důsledku nesprávného rozhodování na základě pozorovaných dat. Pokud se řeší problém odhadu parametru signálu na pozadí šumu, pak ztrátová funkce je měřítkem nesrovnalosti... ... Wikipedia
Objektivní funkce- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Anglicko-ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] Objektivní funkce V extrémních problémech funkce, jejíž minimum nebo maximum je třeba najít. Tento… … Technická příručka překladatele
Objektivní funkce- v extremních problémech funkce, jejíž minimum nebo maximum je potřeba najít. Tento klíčový koncept optimální programování. Po nalezení extrému C.f. a tedy po určení hodnot řízených proměnných, které k tomu patří... ... Ekonomický a matematický slovník
knihy
- Sada stolů. Matematika. Grafy funkcí (10 tabulek), . Vzdělávací album o 10 listech. Lineární funkce. Grafické a analytické přiřazení funkcí. Kvadratická funkce. Transformace grafu kvadratická funkce. Funkce y=sinx. Funkce y=cosx.…
- Nejdůležitější funkcí školní matematiky je kvadratická - v úlohách a řešeních, Petrov N.N.. Kvadratická funkce je hlavní funkcí kurzu školní matematiky. Není divu. Na jedné straně jednoduchost této funkce a na druhé hluboký význam. Mnoho školních úkolů...
V hodinách matematiky ve škole jste se již seznámili s nejjednoduššími vlastnostmi a grafem funkce y = x 2. Rozšiřme své znalosti kvadratická funkce.
Cvičení 1.
Graf funkce y = x 2. Měřítko: 1 = 2 cm Označte bod na ose Oy F(0; 1/4). Pomocí kružítka nebo proužku papíru změřte vzdálenost od bodu F do nějakého bodu M paraboly. Poté proužek přišpendlete v bodě M a otáčejte kolem tohoto bodu, dokud nebude svislý. Konec proužku klesne mírně pod osu x (Obr. 1). Označte na proužku, jak daleko přesahuje osu x. Nyní vezměte další bod na parabole a opakujte měření znovu. Jak hluboko klesl okraj pruhu pod osu x?
Výsledek: ať vezmete jakýkoli bod paraboly y = x 2, vzdálenost od tohoto bodu k bodu F(0; 1/4) bude větší vzdálenost od stejného bodu k ose x vždy o stejné číslo - o 1/4.
Můžeme to říci jinak: vzdálenost libovolného bodu paraboly k bodu (0; 1/4) se rovná vzdálenosti stejného bodu paraboly k přímce y = -1/4. Tento nádherný bod F(0; 1/4) se nazývá soustředit se paraboly y = x 2 a přímka y = -1/4 – ředitelka tato parabola. Každá parabola má směrovou přímku a ohnisko.
Zajímavé vlastnosti paraboly:
1. Jakýkoli bod paraboly je stejně vzdálený od nějakého bodu, který se nazývá ohnisko paraboly, a od nějaké přímky, která se nazývá její přímka.
2. Otočíte-li parabolu kolem osy symetrie (například parabola y = x 2 kolem osy Oy), získáte velmi zajímavou plochu zvanou rotační paraboloid.
Povrch kapaliny v rotující nádobě má tvar rotačního paraboloidu. Tento povrch můžete vidět, pokud intenzivně zamícháte lžičkou v neúplné sklenici čaje a poté lžíci odstraníte.
3. Pokud hodíte kámen do prázdna pod určitým úhlem k horizontu, poletí v parabole (obr. 2).
4. Pokud protnete povrch kužele rovinou rovnoběžnou s některou z jeho tvořících přímek, výsledkem průřezu bude parabola (obr. 3).
5. Zábavní parky mají někdy zábavnou jízdu s názvem Paraboloid of Wonders. Všem stojícím uvnitř rotujícího paraboloidu se zdá, že stojí na podlaze, zatímco zbytek lidí se jaksi zázračně drží stěn.
6. V odrazných dalekohledech se také používají parabolická zrcadla: světlo vzdálené hvězdy přicházející v paralelním paprsku dopadající na zrcadlo dalekohledu je shromažďováno do ohniska.
7. Bodová světla mají většinou zrcadlo ve tvaru paraboloidu. Pokud umístíte zdroj světla do ohniska paraboloidu, pak paprsky odražené od parabolického zrcadla vytvoří paralelní paprsek.
Graf kvadratické funkce
V hodinách matematiky jste se učili, jak získat grafy funkcí tvaru z grafu funkce y = x 2:
1) y = ax 2– protažení grafu y = x 2 podél osy Oy v |a| krát (s |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, rýže. 4).
2) y = x 2 + n– posun grafu o n jednotek podél osy Oy, a pokud n > 0, pak je posun nahoru, a pokud n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– posun grafu o m jednotek podél osy Ox: pokud m< 0, то вправо, а если m >0, pak odešel, (obr. 5).
4) y = -x 2– symetrické zobrazení vzhledem k ose Ox grafu y = x 2 .
Podívejme se blíže na vykreslení funkce y = a(x – m) 2 + n.
Kvadratickou funkci tvaru y = ax 2 + bx + c lze vždy redukovat na tvar
y = a(x – m) 2 + n, kde m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Pojďme to dokázat.
Opravdu,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Představme si nové zápisy.
Nechat m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
pak dostaneme y = a(x – m) 2 + n nebo y – n = a(x – m) 2.
Udělejme ještě další substituce: nechť y – n = Y, x – m = X (*).
Pak dostaneme funkci Y = aX 2, jejímž grafem je parabola.
Vrchol paraboly je v počátku. X = 0; Y = 0.
Dosazením souřadnic vrcholu do (*) získáme souřadnice vrcholu grafu y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Aby bylo možné vykreslit kvadratickou funkci reprezentovanou jako
y = a(x – m) 2 + n
pomocí transformací můžete postupovat následovně:
A) vykreslete funkci y = x 2 ;
b) paralelním posunem podél osy Ox o m jednotek a podél osy Oy o n jednotek - přenést vrchol paraboly z počátku do bodu se souřadnicemi (m; n) (obr. 6).
Transformace záznamu:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Příklad.
Pomocí transformací sestrojte graf funkce y = 2(x – 3) 2 v kartézském souřadném systému – 2.
Řešení.
Řetězec transformací:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Vykreslení je zobrazeno v rýže. 7.
Grafování kvadratických funkcí si můžete procvičit sami. V jednom souřadnicovém systému pomocí transformací sestavte například graf funkce y = 2(x + 3) 2 + 2. Pokud máte nějaké dotazy nebo chcete poradit od učitele, pak máte možnost provést bezplatná 25minutová lekce s online lektorem po . Pro další práci s učitelem si můžete vybrat toho, který vám vyhovuje
Máte ještě otázky? Nevíte, jak znázornit graf kvadratické funkce?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!
blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
Jak ukazuje praxe, úlohy o vlastnostech a grafech kvadratické funkce způsobují vážné potíže. To je docela zvláštní, protože v 8. třídě studují kvadratickou funkci a pak celé první čtvrtletí 9. třídy „trápí“ vlastnosti paraboly a sestavují její grafy pro různé parametry.
Je to dáno tím, že když nutí studenty konstruovat paraboly, prakticky nevěnují čas „čtení“ grafů, tedy nenacvičují chápání informací získaných z obrázku. Zřejmě se předpokládá, že po sestrojení tuctu či dvou grafů chytrý student sám objeví a zformuluje vztah mezi koeficienty ve vzorci a vzhled grafika. V praxi to nefunguje. K takovému zobecnění je potřeba seriózní praxe v matematickém minivýzkumu, kterou většina deváťáků samozřejmě nemá. Státní inspekce mezitím navrhuje stanovit znaménka koeficientů pomocí harmonogramu.
Nebudeme od školáků vyžadovat nemožné a jednoduše nabídneme některý z algoritmů pro řešení takových problémů.
Takže funkce formuláře y = ax 2 + bx + c nazývá se kvadratický, jeho grafem je parabola. Jak název napovídá, hlavním pojmem je sekera 2. To znamená A by se neměly rovnat nule, zbývající koeficienty ( b A S) se může rovnat nule.
Podívejme se, jak znaménka jejích koeficientů ovlivňují vzhled paraboly.
Nejjednodušší závislost pro koeficient A. Většina školáků sebevědomě odpovídá: „kdyby A> 0, pak větve paraboly směřují nahoru a pokud A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5 x 2 - 3 x + 1
V v tomto případě A = 0,5
A teď pro A < 0:
y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1
V tomto případě A = - 0,5
Vliv koeficientu S Je to také docela snadné sledovat. Představme si, že chceme najít hodnotu funkce v bodě X= 0. Dosaďte do vzorce nulu:
y = A 0 2 + b 0 + C = C. Ukázalo se, že y = c. To znamená S je pořadnicí průsečíku paraboly s osou y. Tento bod lze obvykle snadno najít v grafu. A určit, zda leží nad nulou nebo pod. To znamená S> 0 nebo S < 0.
S > 0:
y = x 2 + 4 x + 3
S < 0
y = x 2 + 4 x - 3
V souladu s tím, pokud S= 0, pak parabola nutně projde počátkem:
y = x 2 + 4x
Obtížnější s parametrem b. Bod, ve kterém to najdeme, závisí nejen na b ale také od A. Toto je vrchol paraboly. Jeho úsečka (souřadnice osy X) se zjistí podle vzorce x v = - b/(2a). Tím pádem, b = - 2x palce. To znamená, že postupujeme následovně: najdeme na grafu vrchol paraboly, určíme znaménko její úsečky, to znamená, že se podíváme vpravo od nuly ( x v> 0) nebo doleva ( x v < 0) она лежит.
To však není vše. Pozor si musíme dát i na znaménko koeficientu A. To znamená, podívejte se, kam směřují větve paraboly. A teprve potom podle vzorce b = - 2x palce určit znamení b.
Podívejme se na příklad:
Větve směřují nahoru, což znamená A> 0, parabola protíná osu na pod nulou, tzn S < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Takže b = - 2x palce = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, S < 0.
Funkce formuláře, kde se volá kvadratická funkce.
Graf kvadratické funkce – parabola.
Podívejme se na případy:
I POUZDRO, KLASICKÁ PARABOLA
To je,,
Chcete-li sestavit, vyplňte tabulku nahrazením hodnot x do vzorce:
Označte body (0;0); (1;1); (-1;1) atd. na souřadnicové rovině (čím menší krok vezmeme hodnoty x (v tomto případě krok 1), a čím více hodnot x vezmeme, tím hladší bude křivka), dostaneme parabolu:
Je snadné vidět, že pokud vezmeme případ , , , to znamená, že dostaneme parabolu, která je symetrická podle osy (oh). Je snadné to ověřit vyplněním podobné tabulky:
PŘÍPAD II, „a“ SE LIŠÍ OD JEDNOTKY
Co se stane, když vezmeme , , ? Jak se změní chování paraboly? S title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Na prvním obrázku (viz výše) je dobře vidět, že body z tabulky pro parabolu (1;1), (-1;1) byly transformovány na body (1;4), (1;-4), to znamená, že při stejných hodnotách se pořadnice každého bodu vynásobí 4. To se stane u všech klíčových bodů původní tabulky. Podobně uvažujeme v případech obrázků 2 a 3.
A když se parabola „stane širší“ než parabola:
Pojďme si to shrnout:
1)Znaménko koeficientu určuje směr větví. S title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absolutní hodnota koeficient (modul) je zodpovědný za „roztažení“ a „stlačení“ paraboly. Čím větší , tím užší parabola, čím menší |a|, tím širší je parabola.
OBJEVUJE SE PŘÍPAD III, „C“.
Nyní uveďme do hry (tedy uvažujme případ kdy), budeme uvažovat paraboly tvaru . Není těžké uhodnout (vždy se můžete podívat do tabulky), že se parabola bude posouvat nahoru nebo dolů podél osy v závislosti na znaménku:
IV OBJEVÍ SE PŘÍPAD, „b“.
Kdy se parabola „odtrhne“ od osy a konečně „projde“ po celé souřadnicové rovině? Kdy se to přestane rovnat?
Zde k sestrojení paraboly potřebujeme vzorec pro výpočet vrcholu: , .
Takže v tomto bodě (jako v bodě (0;0) nový systém souřadnice) postavíme parabolu, což již umíme. Pokud se zabýváme případem, pak od vrcholu dáme jeden jednotkový segment doprava, jeden nahoru, - výsledný bod je náš (podobně krok doleva, krok nahoru je náš bod); pokud se zabýváme například, pak z vrcholu dáme jeden jednotkový segment doprava, dva - nahoru atd.
Například vrchol paraboly:
Nyní je hlavní věcí pochopit, že v tomto vrcholu postavíme parabolu podle vzoru paraboly, protože v našem případě.
Při konstrukci paraboly po zjištění souřadnic vrcholu velmiJe vhodné zvážit následující body:
1) parabola určitě projde bodem . Dosazením x=0 do vzorce skutečně získáme, že . To znamená, že pořadnice průsečíku paraboly s osou (oy) je . V našem příkladu (výše) parabola protíná pořadnici v bodě , protože .
2) osa symetrie paraboly je přímka, takže všechny body paraboly budou kolem ní symetrické. V našem příkladu okamžitě vezmeme bod (0; -2) a postavíme jej symetrický vzhledem k ose symetrie paraboly, dostaneme bod (4; -2), kterým bude parabola procházet.
3) Rovná se , zjistíme průsečíky paraboly s osou (oh). K tomu vyřešíme rovnici. V závislosti na diskriminantu dostaneme jeden (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V předchozím příkladu náš kořen diskriminantu není celé číslo, při konstrukci pro nás nemá moc smysl kořeny hledat, ale jasně vidíme, že budeme mít dva průsečíky s osou (oh) (since title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Pojďme to tedy vyřešit
Algoritmus pro konstrukci paraboly, pokud je uveden ve tvaru
1) určete směr větví (a>0 – nahoru, a<0 – вниз)
2) souřadnice vrcholu paraboly zjistíme pomocí vzorce , .
3) najdeme průsečík paraboly s osou (oy) pomocí volného členu, sestrojíme bod symetrický k tomuto bodu vzhledem k ose symetrie paraboly (nutno podotknout, že se stává, že je nerentabilní označovat tento bod, například, protože hodnota je velká... tento bod přeskočíme...)
4) V nalezeném bodě - vrcholu paraboly (jako v bodě (0;0) nového souřadného systému) sestrojíme parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Průsečíky paraboly s osou (oy) (pokud se ještě „nevynořily“) najdeme řešením rovnice
Příklad 1
Příklad 2
Poznámka 1. Pokud nám bude parabola zpočátku dána ve tvaru , kde jsou nějaká čísla (například ), pak bude ještě jednodušší ji sestrojit, protože jsme již dostali souřadnice vrcholu . Proč?
Pojďme vzít kvadratický trinom a vyberte v něm úplný čtverec: Podívejte, máme to , . Vy a já jsme dříve nazývali vrchol paraboly, tedy nyní,.
Například, . Na rovině označíme vrchol paraboly, chápeme, že větve směřují dolů, parabola je roztažená (vzhledem k ). To znamená, že provádíme body 1; 3; 4; 5 z algoritmu pro konstrukci paraboly (viz výše).
Poznámka 2 Je-li parabola dána ve tvaru podobném této (tj. prezentována jako součin dvou lineárních faktorů), pak okamžitě vidíme průsečíky paraboly s osou (ox). V tomto případě – (0;0) a (4;0). Ve zbytku se chováme podle algoritmu otevřením závorek.
