Domov Prevence Dokonalý čtverec z kvadratického trinomu. Faktorování polynomů

Dokonalý čtverec z kvadratického trinomu. Faktorování polynomů

V této lekci si připomeneme všechny dříve studované metody faktorizace polynomu a zvážíme příklady jejich použití, kromě toho budeme studovat nová metoda- metoda identifikace úplného čtverce a naučit se ji aplikovat při řešení různých problémů.

Předmět:Faktorování polynomů

Lekce:Faktorizace polynomů. Metoda výběru celého čtverce. Kombinace metod

Připomeňme si základní metody faktorizace polynomu, které byly studovány dříve:

Metoda vyjmutí společného faktoru ze závorek, to znamená faktoru, který je přítomen ve všech termínech polynomu. Podívejme se na příklad:

Připomeňme, že jednočlen je součin mocnin a čísel. V našem příkladu mají oba termíny některé společné, identické prvky.

Vyjmeme tedy společný faktor ze závorek:

;

Připomeňme, že vynásobením odebraného faktoru závorkou můžete zkontrolovat správnost odebraného faktoru.

Metoda seskupování. Není vždy možné extrahovat společný faktor v polynomu. V tomto případě musíte její členy rozdělit do skupin tak, že v každé skupině můžete vyjmout společný faktor a pokusit se jej rozdělit tak, aby se po vyjmutí faktorů ve skupinách objevil ve skupině společný faktor. celý výraz a můžete pokračovat v rozkladu. Podívejme se na příklad:

Seskupme první termín se čtvrtým, druhý s pátým a třetí se šestým:

Vyberme společné faktory ve skupinách:

Výraz má nyní společný faktor. Pojďme to vyndat:

Aplikace zkrácených vzorců násobení. Podívejme se na příklad:

;

Napišme výraz podrobně:

Je zřejmé, že máme před sebou vzorec pro druhou mocninu rozdílu, protože je součtem druhých mocnin dvou výrazů a jejich dvojitý součin se od něj odečítá. Použijme vzorec:

Dnes se naučíme další metodu - metodu výběru úplného čtverce. Vychází ze vzorců druhé mocniny součtu a druhé mocniny rozdílu. Pojďme si je připomenout:

Vzorec pro druhou mocninu součtu (rozdílu);

Zvláštností těchto vzorců je, že obsahují druhé mocniny dvou výrazů a jejich dvojitý součin. Podívejme se na příklad:

Zapišme si výraz:

Takže první výraz je a druhý je .

K vytvoření vzorce pro druhou mocninu součtu nebo rozdílu nestačí dvojnásobek součinu výrazů. Je třeba sečíst a odečíst:

Doplňme druhou mocninu součtu:

Převedeme výsledný výraz:

Použijme vzorec pro rozdíl druhých mocnin, připomeňme si, že rozdíl druhých mocnin dvou výrazů je součin a součet jejich rozdílu:

Tak, tato metoda Nejprve je nutné identifikovat výrazy a a b, které jsou na druhou, tedy určit, které výrazy jsou v tomto příkladu odmocněny. Poté musíte zkontrolovat přítomnost dvojitého součinu a pokud tam není, pak jej přidat a odečíst, to nezmění význam příkladu, ale polynom lze faktorizovat pomocí vzorců pro druhou mocninu součet nebo rozdíl a rozdíl druhých mocnin, pokud je to možné.

Přejděme k řešení příkladů.

Příklad 1 – faktorizace:

Pojďme najít výrazy, které jsou na druhou:

Pojďme si napsat, jaký by měl být jejich dvojitý součin:

Přičteme a odečteme dvojnásobek součinu:

Doplňme druhou mocninu součtu a dáme podobné:

Zapišme to pomocí vzorce rozdílu čtverců:

Příklad 2 - vyřešte rovnici:

;

Na levé straně rovnice je trojčlen. Musíte to započítat do faktorů. Použijeme vzorec na druhou mocninu rozdílu:

Máme druhou mocninu prvního výrazu a dvojitý součin, druhá mocnina druhého výrazu chybí, sečteme a odečteme:

Složme úplný čtverec a dáme podobné výrazy:

Aplikujme vzorec pro rozdíl čtverců:

Takže máme rovnici

Víme, že součin je roven nule, pouze pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Na základě toho vytvoříme následující rovnice:

Pojďme vyřešit první rovnici:

Pojďme vyřešit druhou rovnici:

Odpověď: nebo

;

Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu – vybereme druhou mocninu rozdílu.

x volalo

1.2.3. Použití zkrácených multiplikačních identit

Příklad. Faktor x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Rozložení polynomu pomocí jeho kořenů

Teorém. Nechť má polynom P x kořen x 1 . Pak lze tento polynom rozložit takto: P x x x 1 S x , kde S x je nějaký polynom, jehož stupeň je o jeden menší

hodnoty střídavě do výrazu pro P x. Získáme, že když x 2 vy-

výraz se změní na 0, to znamená P 2 0, což znamená, že x 2 je kořenem vícenásobného

člen. Vydělte polynom P x x 2 .

X 3 3 x 2 10 x 24

x 32 x 2

24 10 x

x 2 x 12

12x 2412x 24

P x x 2 x 2 x 12 x 2 x 2 3 x 4 x 12 x 2 x x 3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Výběr celého čtverce

Metoda výběru celého čtverce je založena na použití vzorců: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Izolace úplného čtverce je transformace identity, ve které je daný trinom reprezentován jako a b 2 součet nebo rozdíl druhé mocniny binomu a nějakého číselného nebo abecedního výrazu.

Čtvercová trojčlenka vzhledem k proměnné dává vyjádření tvaru

ax 2 bx c , kde a , b a c jsou čísla a a 0 .

Transformujme kvadratickou trinomickou osu 2 bx c následovně.

x2:

součinitel

Potom výraz b x reprezentujeme jako 2b x (dvojnásobek součinu

x):a x

K výrazu v závorce přičteme a odečteme z něj číslo

což je druhá mocnina čísla

V důsledku toho dostaneme:

Teď si toho všimnout

Dostaneme

4a 2

Příklad. Vyberte celý čtverec.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2 x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Polynomy v několika proměnných

Polynomy v několika proměnných, jako polynomy v jedné proměnné, lze sčítat, násobit a zvýšit na přirozenou mocninu.

Důležitou transformací identity polynomu v několika proměnných je faktorizace. Zde se používají takové metody faktorizace, jako je umístění společného faktoru mimo hranaté závorky, seskupení, použití zkrácených identit násobení, izolace úplného čtverce a zavedení pomocných proměnných.

1. Rozložte polynom P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2 y 32 x 2 x 364 y ​​​​32 x 2 x 4 y x 24 x 16 y 2.

2. Faktor P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Aplikujme metodu seskupení

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x 3 y5 x z.

3. Faktor P x , y x 4 4 y 4 . Vyberme celý čtverec:

x 4y 4x 44 x 2y 24y 24 x 2y 2x 22y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Vlastnosti stupně s libovolným racionálním exponentem

Stupeň s jakýmkoli racionálním exponentem má následující vlastnosti:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

kde a 0;b 0;r 1;r 2 jsou libovolná racionální čísla.

1. Vynásobte 8

x 3 12 x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Faktorizovat

a 2x 3

1.6. Cvičení provádět sami

1. Provádějte akce pomocí zkrácených vzorců pro násobení. 1) a 52;

2) 3 a 72;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3;

3 y 3;

7) 8 a 2 8a 2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Vypočítejte pomocí zkrácených identit násobení:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Prokažte totožnost:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Faktor následující polynomy:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2;

5) 2 x 3 y2 3 yz2 2 x 2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n23n2t2;

10) 4 t 2 20 tn 25 n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4,5 a 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15 p 5 n q 2 n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 t 3 27 t 6 .

5. Vypočítejte nejjednodušším způsobem:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Najděte podíl a zbytek polynomu P x podle polynomuQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x 3 2 x 2 x; 3) P x x 6 1; Q x x 4 4 x 2 .

7. Dokažte, že polynom x 2 2x 2 nemá žádné skutečné kořeny.

8. Najděte kořeny polynomu:

1) x 34 x;

2) x 3 3 x 2 5 x 15.

9. Faktor:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2 x 32 4 x 3 3 x 2 ;

3) x 3 6 x 2 11 x 6.

10. Řešte rovnice izolováním celého čtverce:

1) x 2 2 x 3 0;

2) x 2 13 x 30 0 .

11. Najděte významy výrazů:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Vypočítejte:

16 0,25

16 0,25

Jak jsem již poznamenal, v integrálním počtu neexistuje žádný vhodný vzorec pro integraci zlomku. A proto existuje smutný trend: čím sofistikovanější zlomek, tím obtížnější je najít jeho integrál. V tomto ohledu se musíte uchýlit k různým trikům, o kterých vám nyní povím. Připravení čtenáři mohou okamžitě využít obsah:

  • Metoda přičtení diferenciálního znaménka pro jednoduché zlomky

Metoda převodu umělého čitatele

Příklad 1

Mimochodem, uvažovaný integrál lze řešit i změnou proměnné metody, označující , ale zápis řešení bude mnohem delší.

Příklad 2

Nalézt neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí. Nutno podotknout, že zde již nebude fungovat metoda variabilní náhrady.

Pozor, důležité! Příklady č. 1, 2 jsou typické a vyskytují se často. Zejména takové integrály často vznikají při řešení jiných integrálů, zejména při integraci iracionálních funkcí (odmocnin).

Uvažovaná technika funguje i v případě je-li nejvyšší stupeň v čitateli větší než nejvyšší stupeň ve jmenovateli.

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Začneme vybírat čitatele.

Algoritmus pro výběr čitatele je něco takového:

1) V čitateli potřebuji uspořádat , ale tam . Co dělat? Dám to do závorek a vynásobím: .

2) Nyní se pokusím otevřít tyto závorky, co se stane? . Hmm... to je lepší, ale zpočátku nejsou v čitateli dvě. Co dělat? Musíte vynásobit:

3) Znovu otevřu závorky: . A je tu první úspěch! Ukázalo se to správně! Problém je ale v tom, že se objevil další termín. Co dělat? Aby se výraz nezměnil, musím do své konstrukce přidat totéž:
. Život se stal jednodušším. Je možné se znovu uspořádat v čitateli?

4) Je to možné. Zkusme to: . Otevřete závorky druhého termínu:
. Promiňte, ale v předchozím kroku jsem ve skutečnosti měl , ne . Co dělat? Musíte vynásobit druhý výraz takto:

5) Znovu pro kontrolu otevírám závorky ve druhém termínu:
. Nyní je to normální: odvozeno od konečné konstrukce bodu 3! Ale opět je tu malé „ale“, objevil se další termín, což znamená, že musím ke svému výrazu přidat:

Pokud je vše provedeno správně, pak když otevřeme všechny závorky, měli bychom získat původní čitatel integrandu. Kontrolujeme:
Kapuce.

Tím pádem:

Připraven. V minulém termínu jsem použil metodu subsumování funkce pod diferenciál.

Pokud najdeme derivaci odpovědi a zredukujeme výraz na společného jmenovatele, dostaneme přesně původní integrandovou funkci. Uvažovaná metoda rozkladu na součet není nic jiného než obrácená akce přivedení výrazu ke společnému jmenovateli.

Algoritmus pro výběr čitatele v takových příkladech je nejlépe provést ve formě návrhu. S některými dovednostmi to půjde i psychicky. Pamatuji si na rekordní případ, kdy jsem prováděl selekci pro 11. mocninu a rozšíření čitatele zabralo téměř dva řádky Verda.

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami.

Metoda přičtení diferenciálního znaménka pro jednoduché zlomky

Přejdeme k dalšímu typu zlomků.
, , , (koeficienty a nejsou rovny nule).

Ve skutečnosti již bylo v lekci zmíněno několik případů s arcsinus a arkustangens Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu. Takové příklady se řeší přičtením funkce pod diferenciální znaménko a další integrací pomocí tabulky. Tady je další typické příklady s dlouhým a vysokým logaritmem:

Příklad 5

Příklad 6

Zde je vhodné vzít si tabulku integrálů a podívat se, jaké vzorce a Jak probíhá transformace. Poznámka, jak a pročČtverečky v těchto příkladech jsou zvýrazněny. Konkrétně v příkladu 6 nejprve potřebujeme reprezentovat jmenovatele ve tvaru , pak jej uveďte pod znaménko diferenciálu. A to vše je třeba udělat, aby bylo možné použít standardní tabulkový vzorec .

Proč se dívat, zkuste si příklady č. 7, 8 vyřešit sami, tím spíš, že jsou docela krátké:

Příklad 7

Příklad 8

Najděte neurčitý integrál:

Pokud se vám podaří zkontrolovat i tyto příklady, pak velký respekt - vaše rozlišovací schopnosti jsou vynikající.

Metoda výběru plného čtverce

Integrály formuláře (koeficienty a nejsou rovny nule) jsou řešeny metoda úplné čtvercové extrakce, který se již objevil v lekci Geometrické transformace grafů.

Ve skutečnosti se takové integrály redukují na jeden ze čtyř tabulkových integrálů, na které jsme se právě podívali. A toho je dosaženo pomocí známých zkrácených vzorců pro násobení:

Vzorce jsou aplikovány přesně v tomto směru, to znamená, že myšlenkou metody je uměle uspořádat výrazy buď ve jmenovateli, a poté je podle toho převést na jeden z nich.

Příklad 9

Najděte neurčitý integrál

Tento nejjednodušší příklad, ve kterém s pojmem – jednotkový koeficient(a ne nějaké číslo nebo mínus).

Podívejme se na jmenovatele, zde celá záležitost zjevně naráží na náhodu. Začněme převádět jmenovatele:

Je zřejmé, že musíte přidat 4. A aby se výraz nezměnil, odečtěte stejné čtyři:

Nyní můžete použít vzorec:

Po dokončení konverze VŽDY je vhodné provést zpětný zdvih: , vše v pořádku, bez chyb.

Konečný návrh příslušného příkladu by měl vypadat nějak takto:

Připraven. Shrnutí "zadarmo" komplexní funkce pod diferenciálním znaménkem: lze v zásadě zanedbat

Příklad 10

Najděte neurčitý integrál:

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami, odpověď je na konci lekce

Příklad 11

Najděte neurčitý integrál:

Co dělat, když je vpředu mínus? V tomto případě musíme vyjmout minus ze závorek a uspořádat termíny v požadovaném pořadí: . Konstantní(„dva“ v v tomto případě) nedotýkat se!

Nyní přidáme jeden do závorky. Při analýze výrazu dojdeme k závěru, že musíme přidat jeden mimo závorky:

Zde dostaneme vzorec, použijeme:

VŽDY Kontrolujeme návrh:
, což bylo to, co bylo potřeba zkontrolovat.

Čistý příklad vypadá asi takto:

Ztížení úkolu

Příklad 12

Najděte neurčitý integrál:

Zde termín již není jednotkový koeficient, ale „pětka“.

(1) Pokud existuje konstanta at, okamžitě ji vyjmeme ze závorek.

(2) Obecně je vždy lepší tuto konstantu posunout mimo integrál, aby nepřekážela.

(3) Je zřejmé, že vše sejde podle vzorce. Potřebujeme rozumět pojmu, konkrétně dostat „dva“

(4) Ano,. To znamená, že k výrazu přidáme a stejný zlomek odečteme.

(5) Nyní vyberte celý čtverec. V obecný případ musíme také vypočítat , ale zde máme vzorec pro dlouhý logaritmus a nemá smysl tuto akci provádět; proč bude zřejmé níže.

(6) Ve skutečnosti můžeme použít vzorec , jen místo „X“ máme , což nepopírá platnost tabulkového integrálu. Přísně vzato, chyběl jeden krok - před integrací měla být funkce zahrnuta pod diferenciální znaménko: , ale jak jsem opakovaně poznamenal, je to často opomíjeno.

(7) V odpovědi pod kořenem je vhodné rozšířit všechny závorky zpět:

Obtížný? Toto není nejtěžší část integrálního počtu. Uvažované příklady však nejsou tak složité, jako vyžadují dobré výpočetní techniky.

Příklad 13

Najděte neurčitý integrál:

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Odpověď je na konci lekce.

Ve jmenovateli jsou integrály s kořeny, které se pomocí substituce redukují na integrály uvažovaného typu, o nich si můžete přečíst v článku Komplexní integrály, ale je určen pro velmi připravené studenty.

Přičtení čitatele pod diferenciální znaménko

Toto je závěrečná část lekce, nicméně integrály tohoto typu jsou zcela běžné! Pokud jste unavení, možná bude lepší číst zítra? ;)

Integrály, které budeme uvažovat, jsou podobné integrálům z předchozího odstavce, mají tvar: nebo (koeficienty a nejsou rovny nule).

To znamená, že v našem čitateli máme lineární funkce. Jak takové integrály řešit?

Online kalkulačka.
Izolace druhé mocniny binomu a faktorizace čtvercového trinomu.

Tento matematický program rozlišuje čtvercový binom od čtvercového trinomu, tj. provádí transformaci jako:
\(ax^2+bx+c \pravá šipka a(x+p)^2+q \) a faktorizuje kvadratický trinom: \(ax^2+bx+c \šipka doprava a(x+n)(x+m) \)

Tito. problémy se scvrkají na nalezení čísel \(p, q\) a \(n, m\)

Program nejen dává odpověď na problém, ale také zobrazuje proces řešení.

Tento program může být užitečný pro studenty středních škol střední školy v přípravě na testy a zkoušky, při testování znalostí před Jednotnou státní zkouškou, pro rodiče ke zvládnutí řešení mnoha problémů z matematiky a algebry. Nebo je pro vás možná příliš drahé najmout si lektora nebo koupit nové učebnice? Nebo to jen chcete mít co nejrychleji hotové? domácí práce v matematice nebo algebře? V tomto případě můžete využít i naše programy s detailními řešeními.

Tímto způsobem můžete provádět vlastní školení a/nebo školení vašich mladších bratrů nebo sester, přičemž se úroveň vzdělání v oblasti řešení problémů zvyšuje.

Pokud nejste obeznámeni s pravidly pro zadávání kvadratického trinomu, doporučujeme se s nimi seznámit.

Pravidla pro zadání kvadratického polynomu

Jakékoli latinské písmeno může fungovat jako proměnná.
Například: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atd.

Čísla lze zadávat jako celá nebo zlomková čísla.
Zlomková čísla lze navíc zadávat nejen ve formě desetinného místa, ale také ve formě obyčejného zlomku.

Pravidla pro zadávání desetinných zlomků.
V desetinných číslech zlomek lze od celku oddělit buď tečkou nebo čárkou.
Můžete například zadat desetinná místa takto: 2,5x - 3,5x^2

Pravidla pro zadávání obyčejných zlomků.
Pouze celé číslo může fungovat jako čitatel, jmenovatel a celá část zlomku.

Jmenovatel nemůže být záporný.

Při zadávání číselného zlomku se čitatel odděluje od jmenovatele znaménkem dělení: /
Celá část oddělené od zlomku ampersandem: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Výsledek: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Při zadávání výrazu můžete použít závorky. V tomto případě se při řešení zavedený výraz nejprve zjednoduší.
Například: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Příklad detailního řešení

Izolace druhé mocniny binomu.$$ ax^2+bx+c \šipka doprava a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Odpovědět:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizace.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Odpovědět:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Rozhodni se

Bylo zjištěno, že některé skripty potřebné k vyřešení tohoto problému nebyly načteny a program nemusí fungovat.
Možná máte povolený AdBlock.
V takovém případě jej deaktivujte a obnovte stránku.

JavaScript je ve vašem prohlížeči zakázán.
Aby se řešení objevilo, musíte povolit JavaScript.
Zde je návod, jak povolit JavaScript ve vašem prohlížeči.

Protože Existuje mnoho lidí ochotných problém vyřešit, váš požadavek byl zařazen do fronty.
Za několik sekund se řešení objeví níže.
Prosím, čekejte sek...


jestli ty zaznamenal chybu v řešení, pak o tom můžete napsat do formuláře zpětné vazby.
Nezapomeň uveďte jaký úkol ty rozhodneš co zadejte do polí.



Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teorie.

Izolace druhé mocniny binomu od čtvercového trinomu

Pokud je čtvercová trinomická ax 2 +bx+c reprezentována jako a(x+p) 2 +q, kde p a q jsou reálná čísla, pak říkáme, že od čtvercový trojčlen, čtverec dvojčlenu je zvýrazněn.

Z trojčlenu 2x 2 +12x+14 vyjmeme druhou mocninu dvojčlenu.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Chcete-li to provést, představte si 6x jako součin 2*3*x a poté přidejte a odečtěte 3 2. Dostaneme:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Že. My extrahujte čtvercový binom ze čtvercového trinomu a ukázal, že:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Rozložení kvadratického trinomu

Pokud je čtvercová trinomická ax 2 +bx+c reprezentována ve tvaru a(x+n)(x+m), kde n a m jsou reálná čísla, pak se říká, že operace byla provedena faktorizace kvadratického trinomu.

Ukažme si na příkladu, jak se tato transformace provádí.

Vynásobme kvadratický trinom 2x 2 +4x-6.

Vyjmeme koeficient a ze závorek, tzn. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Převedeme výraz v závorkách.
K tomu si představte 2x jako rozdíl 3x-1x a -3 jako -1*3. Dostaneme:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Že. My faktorizoval kvadratický trinom a ukázal, že:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Všimněte si, že faktorizace kvadratického trinomu je možná pouze tehdy, kvadratická rovnice, odpovídající tomuto trinomu má kořeny.
Tito. v našem případě je možné rozložit trinom 2x 2 +4x-6, pokud má kvadratická rovnice 2x 2 +4x-6 =0 kořeny. V procesu faktorizace jsme zjistili, že rovnice 2x 2 + 4x-6 = 0 má dva kořeny 1 a -3, protože s těmito hodnotami se rovnice 2(x-1)(x+3)=0 změní na skutečnou rovnost.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotné státní zkoušky a Jednotné státní zkoušky testy online Hry, hádanky Kreslení grafů funkcí Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalog ruských škol Katalog středních vzdělávacích institucí Ruska Katalog ruských univerzit Seznam úkolů

Definice

Výrazy ve tvaru 2 x 2 + 3 x + 5 se nazývají kvadratické trinomy. Obecně platí, že čtvercová trojčlenka je vyjádření tvaru a x 2 + b x + c, kde a, b, c a, b, c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.

Uvažujme kvadratický trinom x 2 - 4 x + 5. Zapišme to v tomto tvaru: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Přičteme k tomuto výrazu 2 2 a odečteme 2 2, dostaneme: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Všimněte si, že x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, takže x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformace, kterou jsme provedli, se nazývá „izolování dokonalého čtverce od kvadratického trinomu“.

Určete dokonalý čtverec z kvadratického trinomu 9 x 2 + 3 x + 1.

Všimněte si, že 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Potom `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Přičteme a odečteme `(1/2)^2` k výslednému výrazu, dostaneme

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Ukážeme si, jak se metoda izolace dokonalého čtverce od kvadratického trinomu používá k rozkladu čtvercového trinomu.

Faktor kvadratického trinomu 4 x 2 - 12 x + 5.

Z kvadratického trinomu vybereme dokonalý čtverec: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Nyní použijeme vzorec a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , dostaneme: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).

Faktor kvadratického trinomu - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Nyní si všimneme, že 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Přidáme člen 2 2 k výrazu 9 x 2 - 12 x, dostaneme:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Aplikujeme vzorec pro rozdíl čtverců, máme:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Faktor kvadratického trinomu 3 x 2 - 14 x - 5 .

Výraz 3 x 2 nemůžeme reprezentovat jako druhou mocninu nějakého výrazu, protože jsme to ve škole ještě neučili. To si projdete později a v úkolu č. 4 se budeme učit odmocniny. Ukážeme si, jak můžete faktorizovat daný kvadratický trinom:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Ukážeme vám, jak použít metodu dokonalého čtverce k nalezení největší nebo nejmenší hodnoty kvadratického trinomu.
Uvažujme kvadratický trinom x 2 - x + 3. Vyberte celý čtverec:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Všimněte si, že když `x=1/2` je hodnota kvadratického trinomu `11/4`, a když `x!=1/2` je k hodnotě `11/4` přidáno kladné číslo, takže získat číslo větší než 11/4. Tím pádem, nejmenší hodnotu kvadratický trinom je `11/4` a získá se, když `x=1/2`.

Najděte největší hodnotu kvadratického trinomu - 16 2 + 8 x + 6.

Vybereme dokonalý čtverec z kvadratického trinomu: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 12 + 7.

Když `x=1/4` je hodnota kvadratického trinomu 7, a když `x!=1/4` kladné číslo se odečte od čísla 7, to znamená, že dostaneme číslo menší než 7. Takže číslo 7 je nejvyšší hodnotu kvadratický trinom a získá se, když `x=1/4`.

Rozdělte čitatel a jmenovatel zlomku `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` a zlomek zmenšete.

Všimněte si, že jmenovatel zlomku x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Rozložme čitatel zlomku na faktor pomocí metody izolace úplného čtverce od čtvercového trinomu. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Tento zlomek byl redukován do tvaru `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` po zmenšení o (x - 3) dostaneme `(x+5)/(x-3 )'.

Faktor polynomu x 4 - 13 x 2 + 36.

Aplikujme na tento polynom metodu izolace úplného čtverce. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



Novinka na webu

>

Nejoblíbenější

© 2024. Portál zubních konzultací.

OBLÍBENÉ SEKCE