V termínu „kvadratická rovnice“ je klíčové slovo „kvadratická“. To znamená, že rovnice musí nutně obsahovat proměnnou (totéž x) na druhou a nemělo by existovat xes na třetí (nebo větší) mocninu.
Řešení mnoha rovnic spočívá v přesném řešení kvadratické rovnice.
Naučme se určit, že se jedná o kvadratickou rovnici a ne o nějakou jinou rovnici.
Příklad 1.
Zbavme se jmenovatele a vynásobme každý člen rovnice
Přesuňme vše na levou stranu a uspořádejme členy sestupně podle mocnin X
Nyní můžeme s jistotou říci, že tato rovnice je kvadratická!
Příklad 2
Vynásobte levou a pravou stranu:
Tato rovnice, ačkoliv v ní původně byla, není kvadratická!
Příklad 3
Vše vynásobme:
děsivé? Čtvrtý a druhý stupeň... Pokud však provedeme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchou kvadratickou rovnici:
Příklad 4.
Zdá se, že tam je, ale pojďme se na to podívat blíže. Přesuneme vše na levou stranu:
Vidíte, je to zmenšené – a teď je to jednoduchá lineární rovnice!
Nyní zkuste sami určit, které z následujících rovnic jsou kvadratické a které ne:
Příklady:
Odpovědi:
- náměstí;
- náměstí;
- ne čtvercový;
- ne čtvercový;
- ne čtvercový;
- náměstí;
- ne čtvercový;
- náměstí.
Matematici konvenčně rozdělují všechny kvadratické rovnice do následujících typů:
- Kompletní kvadratické rovnice- rovnice, ve kterých se koeficienty a stejně jako volný člen c nerovnají nule (jako v příkladu). Kromě toho mezi úplnými kvadratickými rovnicemi existují daný- jedná se o rovnice, ve kterých je koeficient (rovnice z příkladu 1 nejen kompletní, ale i redukovaný!)
- Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, ve kterých se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule:
Jsou neúplné, protože v nich chybí nějaký prvek. Ale rovnice musí vždy obsahovat x na druhou!!! Jinak to už nebude kvadratická rovnice, ale nějaká jiná rovnice.
Proč přišli s takovým rozdělením? Zdálo by se, že existuje X na druhou, a dobře. Toto rozdělení je určeno metodami řešení. Podívejme se na každou z nich podrobněji.
Řešení neúplných kvadratických rovnic
Nejprve se zaměřme na řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou mnohem jednodušší!
Existují typy neúplných kvadratických rovnic:
- , v této rovnici je koeficient roven.
- , v této rovnici je volný člen roven.
- , v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají.
1. i. Protože víme, jak extrahovat Odmocnina, pak se vyjádřeme z této rovnice
Výraz může být negativní nebo pozitivní. Druhé číslo nemůže být záporné, protože při vynásobení dvou záporných nebo dvou kladných čísel bude výsledkem vždy kladné číslo, takže: pokud, pak rovnice nemá řešení.
A pokud, pak dostaneme dva kořeny. Není třeba se tyto vzorce učit nazpaměť. Hlavní věc je, že musíte vědět a vždy si pamatovat, že to nemůže být méně.
Zkusme vyřešit nějaké příklady.
Příklad 5:
Vyřešte rovnici
Nyní zbývá pouze vytáhnout kořen z levé a pravé strany. Koneckonců, pamatujete si, jak extrahovat kořeny?
Odpovědět:
Nikdy nezapomínejte na kořeny se záporným znaménkem!!!
Příklad 6:
Vyřešte rovnici
Odpovědět:
Příklad 7:
Vyřešte rovnici
Ach! Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice
žádné kořeny!
Pro takové rovnice, které nemají kořeny, přišli matematici se speciální ikonou - (prázdná množina). A odpověď lze napsat takto:
Odpovědět:
Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny. Neexistují zde žádná omezení, protože jsme nevytáhli kořen.
Příklad 8:
Vyřešte rovnici
Vyjmeme společný faktor ze závorek:
Tím pádem,
Tato rovnice má dva kořeny.
Odpovědět:
Nejjednodušší typ neúplných kvadratických rovnic (ačkoli jsou všechny jednoduché, že?). Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:
Zde se obejdeme bez příkladů.
Řešení úplných kvadratických rovnic
Připomínáme, že úplná kvadratická rovnice je rovnice tvaru rovnice kde
Řešení úplných kvadratických rovnic je trochu obtížnější (jen trochu) než tyto.
Pamatovat si, Libovolnou kvadratickou rovnici lze vyřešit pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné.
Ostatní metody vám pomohou to udělat rychleji, ale pokud máte problémy s kvadratickými rovnicemi, nejprve si osvojte řešení pomocí diskriminantu.
1. Řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu.
Řešení kvadratických rovnic pomocí této metody je velmi jednoduché, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a několik vzorců.
Pokud, pak má rovnice kořen. Speciální pozornost udělat krok. Diskriminant () nám říká počet kořenů rovnice.
- Pokud, pak se vzorec v kroku zmenší na. Rovnice tedy bude mít pouze kořen.
- Pokud, pak nebudeme schopni extrahovat kořen diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnice nemá kořeny.
Vraťme se k našim rovnicím a podívejme se na některé příklady.
Příklad 9:
Vyřešte rovnici
Krok 1 přeskočíme.
Krok 2.
Najdeme diskriminační:
To znamená, že rovnice má dva kořeny.
Krok 3
Odpovědět:
Příklad 10:
Vyřešte rovnici
Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočíme.
Krok 2.
Najdeme diskriminační:
To znamená, že rovnice má jeden kořen.
Odpovědět:
Příklad 11:
Vyřešte rovnici
Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočíme.
Krok 2.
Najdeme diskriminační:
To znamená, že nebudeme schopni extrahovat kořen diskriminantu. Neexistují žádné kořeny rovnice.
Nyní víme, jak takové odpovědi správně zapsat.
Odpovědět:žádné kořeny
2. Řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty.
Pokud si pamatujete, existuje typ rovnice, který se nazývá redukovaný (když koeficient a je roven):
Takové rovnice lze velmi snadno vyřešit pomocí Vietovy věty:
Součet kořenů daný kvadratická rovnice se rovná a součin kořenů se rovná.
Příklad 12:
Vyřešte rovnici
Tuto rovnici lze vyřešit pomocí Vietovy věty, protože .
Součet kořenů rovnice je roven, tzn. dostaneme první rovnici:
A produkt se rovná:
Pojďme složit a vyřešit systém:
- A. Částka se rovná;
- A. Částka se rovná;
- A. Částka je stejná.
a jsou řešením systému:
Odpovědět: ; .
Příklad 13:
Vyřešte rovnici
Odpovědět:
Příklad 14:
Vyřešte rovnici
Rovnice je dána, což znamená:
Odpovědět:
KVADRATICKÉ ROVNICE. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ
Co je to kvadratická rovnice?
Jinými slovy, kvadratická rovnice je rovnice tvaru, kde - neznámá, - nějaká čísla a.
Číslo se nazývá nejvyšší resp první koeficient kvadratická rovnice, - druhý koeficient, A - volný člen.
Proč? Protože pokud se rovnice okamžitě stane lineární, protože zmizí.
V tomto případě a může být rovno nule. V této židli se rovnice nazývá neúplná. Pokud jsou všechny termíny na svém místě, to znamená, že rovnice je kompletní.
Řešení různých typů kvadratických rovnic
Metody řešení neúplných kvadratických rovnic:
Nejprve se podívejme na metody řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou jednodušší.
Můžeme rozlišit následující typy rovnic:
I., v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají.
II. , v této rovnici je koeficient roven.
III. , v této rovnici je volný člen roven.
Nyní se podívejme na řešení každého z těchto podtypů.
Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:
Druhé číslo nemůže být záporné, protože když vynásobíte dvě záporná nebo dvě kladná čísla, výsledkem bude vždy kladné číslo. Proto:
jestliže, pak rovnice nemá řešení;
máme-li dva kořeny
Není třeba se tyto vzorce učit nazpaměť. Hlavní věc k zapamatování je, že to nemůže být méně.
Příklady:
Řešení:
Odpovědět:
Nikdy nezapomeňte na kořeny se záporným znaménkem!
Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice
žádné kořeny.
Abychom stručně zapsali, že problém nemá řešení, použijeme ikonu prázdné sady.
Odpovědět:
Takže tato rovnice má dva kořeny: a.
Odpovědět:
Vyjmeme společný faktor ze závorek:
Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. To znamená, že rovnice má řešení, když:
Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny: a.
Příklad:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rozložme levou stranu rovnice a najdeme kořeny:
Odpovědět:
Metody řešení úplných kvadratických rovnic:
1. Diskriminační
Řešení kvadratických rovnic tímto způsobem je snadné, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a několik vzorců. Pamatujte, že každá kvadratická rovnice může být vyřešena pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné.
Všimli jste si kořene z diskriminantu ve vzorci pro odmocniny? Ale diskriminant může být negativní. Co dělat? Musíme věnovat zvláštní pozornost kroku 2. Diskriminant nám říká počet kořenů rovnice.
- Pokud, pak má rovnice kořeny:
- Pokud, pak má rovnice stejné kořeny a ve skutečnosti jeden kořen:
Takové kořeny se nazývají dvojité kořeny.
- Pokud, pak kořen diskriminantu není extrahován. To znamená, že rovnice nemá kořeny.
Proč jsou možné různé počty kořenů? Pojďme se obrátit na geometrický smysl kvadratická rovnice. Grafem funkce je parabola:
Ve speciálním případě, kterým je kvadratická rovnice, . To znamená, že kořeny kvadratické rovnice jsou průsečíky s osou úsečky (osa). Parabola nemusí osu protínat vůbec, nebo ji může protínat v jednom (když vrchol paraboly leží na ose) nebo dvou bodech.
Kromě toho je koeficient zodpovědný za směr větví paraboly. Jestliže, pak větve paraboly směřují nahoru a jestliže, pak dolů.
Příklady:
Řešení:
Odpovědět:
Odpovědět: .
Odpovědět:
To znamená, že neexistují žádná řešení.
Odpovědět: .
2. Vietova věta
Je velmi snadné použít Vietovu větu: stačí vybrat dvojici čísel, jejichž součin se rovná volnému členu rovnice a součet se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem.
Je důležité si uvědomit, že Vietův teorém lze použít pouze v redukované kvadratické rovnice ().
Podívejme se na několik příkladů:
Příklad č. 1:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Tuto rovnici lze vyřešit pomocí Vietovy věty, protože . Další koeficienty: ; .
Součet kořenů rovnice je:
A produkt se rovná:
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a zkontrolujeme, zda se jejich součet rovná:
- A. Částka se rovná;
- A. Částka se rovná;
- A. Částka je stejná.
a jsou řešením systému:
Tak a jsou kořeny naší rovnice.
Odpovědět: ; .
Příklad č. 2:
Řešení:
Vyberme dvojice čísel, které dávají v součinu, a pak zkontrolujte, zda se jejich součet rovná:
a: dávají celkem.
a: dávají celkem. K získání stačí jednoduše změnit znaky předpokládaných kořenů: a koneckonců i produkt.
Odpovědět:
Příklad č. 3:
Řešení:
Volný člen rovnice je záporný, a proto je součin kořenů záporný záporné číslo. To je možné pouze v případě, že jeden z kořenů je záporný a druhý kladný. Součet kořenů je tedy roven rozdíly jejich modulů.
Vyberme dvojice čísel, které dávají součin a jejichž rozdíl je roven:
a: jejich rozdíl je stejný - nesedí;
a: - nevhodné;
a: - nevhodné;
a: - vhodné. Nezbývá než si připomenout, že jeden z kořenů je negativní. Protože jejich součet se musí rovnat, odmocnina s menším modulem musí být záporná: . Kontrolujeme:
Odpovědět:
Příklad č. 4:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rovnice je dána, což znamená:
Volný člen je záporný, a proto je součin kořenů záporný. A to je možné pouze tehdy, když je jeden kořen rovnice záporný a druhý kladný.
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a pak určíme, které kořeny by měly mít záporné znaménko:
Je zřejmé, že pouze kořeny a jsou vhodné pro první podmínku:
Odpovědět:
Příklad č. 5:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rovnice je dána, což znamená:
Součet kořenů je záporný, což znamená, že alespoň jeden z kořenů je záporný. Ale protože jejich produkt je pozitivní, znamená to, že oba kořeny mají znaménko mínus.
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin je roven:
Je zřejmé, že kořeny jsou čísla a.
Odpovědět:
Souhlasíte, je velmi výhodné přijít s kořeny ústně, namísto počítání tohoto ošklivého diskriminantu. Snažte se co nejčastěji používat Vietovu větu.
Ale Vietův teorém je potřebný, aby se usnadnilo a urychlilo hledání kořenů. Abyste z jeho používání měli užitek, musíte akce zautomatizovat. A k tomu vyřešte dalších pět příkladů. Ale nepodvádějte: nemůžete použít diskriminant! Pouze Vietův teorém:
Řešení úkolů pro samostatnou práci:
Úkol 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Podle Vietovy věty:
Jako obvykle začínáme výběr kouskem:
Nevhodné, protože množství;
: částka je přesně to, co potřebujete.
Odpovědět: ; .
Úkol 2.
A opět naše oblíbená Vieta věta: součet se musí rovnat a součin se musí rovnat.
Ale protože to musí být ne, ale, měníme znaménka kořenů: a (celkem).
Odpovědět: ; .
Úkol 3.
Hmm... Kde to je?
Musíte přesunout všechny termíny do jedné části:
Součet kořenů se rovná součinu.
Dobře, přestaň! Rovnice není dána. Ale Vietův teorém je použitelný pouze v daných rovnicích. Takže nejprve musíte dát rovnici. Pokud neumíte vést, vzdejte se této myšlenky a vyřešte ji jiným způsobem (například diskriminantem). Dovolte mi, abych vám připomněl, že zadat kvadratickou rovnici znamená, že se vedoucí koeficient rovná:
Skvělý. Potom se součet kořenů rovná a součin.
Zde je výběr stejně snadný jako loupání hrušek: koneckonců je to prvočíslo (omlouvám se za tautologii).
Odpovědět: ; .
Úkol 4.
Volný člen je záporný. Co je na tom zvláštního? A faktem je, že kořeny budou mít různá znamení. A nyní, během výběru, nekontrolujeme součet kořenů, ale rozdíl v jejich modulech: tento rozdíl je roven, ale součin.
Kořeny se tedy rovnají a, ale jeden z nich je mínus. Vietův teorém nám říká, že součet kořenů se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem, tzn. To znamená, že menší kořen bude mít mínus: a od.
Odpovědět: ; .
Úkol 5.
Co byste měli udělat jako první? Přesně tak, dej rovnici:
Opět: vybereme faktory čísla a jejich rozdíl by se měl rovnat:
Kořeny se rovnají a, ale jeden z nich je mínus. Který? Jejich součet by se měl rovnat, což znamená, že mínus bude mít větší odmocninu.
Odpovědět: ; .
Dovolte mi to shrnout:
- Vietův teorém se používá pouze v uvedených kvadratických rovnicích.
- Pomocí Vietovy věty můžete najít kořeny výběrem, ústně.
- Pokud rovnice není dána nebo není nalezena vhodný pár multiplikátory volného termínu, což znamená, že neexistují žádné celé kořeny a musíte to vyřešit jiným způsobem (například pomocí diskriminantu).
3. Metoda výběru celého čtverce
Pokud jsou všechny členy obsahující neznámou reprezentovány ve formě členů ze zkrácených vzorců pro násobení - druhé mocniny součtu nebo rozdílu - pak po nahrazení proměnných může být rovnice prezentována ve formě neúplné kvadratické rovnice typu.
Například:
Příklad 1:
Řešte rovnici: .
Řešení:
Odpovědět:
Příklad 2:
Řešte rovnici: .
Řešení:
Odpovědět:
V obecný pohled transformace bude vypadat takto:
Z toho vyplývá: .
Nepřipomíná vám to nic? To je diskriminační věc! Přesně tak jsme dostali diskriminační vzorec.
KVADRATICKÉ ROVNICE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH
Kvadratická rovnice- jedná se o rovnici tvaru, kde - neznámá, - koeficienty kvadratické rovnice, - volný člen.
Kompletní kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficienty nerovnají nule.
Redukovaná kvadratická rovnice- rovnice, ve které je koeficient, tj.: .
Neúplná kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule:
- pokud je koeficient, rovnice vypadá takto:
- pokud existuje volný člen, rovnice má tvar: ,
- jestliže a, rovnice vypadá takto: .
1. Algoritmus pro řešení neúplných kvadratických rovnic
1.1. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
1) Vyjádřeme neznámé: ,
2) Zkontrolujte znaménko výrazu:
- jestliže, pak rovnice nemá řešení,
- jestliže, pak má rovnice dva kořeny.
1.2. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
1) Vyjmeme společný faktor ze závorek: ,
2) Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Rovnice má tedy dva kořeny:
1.3. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
Tato rovnice má vždy pouze jeden kořen: .
2. Algoritmus pro řešení úplných kvadratických rovnic ve tvaru kde
2.1. Řešení pomocí diskriminantu
1) Uveďme rovnici do standardního tvaru: ,
2) Vypočítejme diskriminant pomocí vzorce: , který udává počet kořenů rovnice:
3) Najděte kořeny rovnice:
- jestliže, pak rovnice má kořeny, které najdeme podle vzorce:
- jestliže, pak má rovnice kořen, který se najde podle vzorce:
- jestliže, pak rovnice nemá kořeny.
2.2. Řešení pomocí Vietovy věty
Součet kořenů redukované kvadratické rovnice (rovnice tvaru kde) je roven a součin kořenů je roven, tzn. , A.
2.3. Řešení metodou výběru úplného čtverce
Pokud má kvadratická rovnice tvaru kořeny, lze ji zapsat ve tvaru: .
No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.
Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5%!
Teď to nejdůležitější.
Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... to je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.
Problém je, že to nemusí stačit...
Proč?
Za úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za vstup na vysokou školu s omezeným rozpočtem a NEJDŮLEŽITĚJŠÍ, na celý život.
Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...
Lidé, kteří dostali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří je nedostali. Toto je statistika.
Ale to není to hlavní.
Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...
Ale zamyslete se sami...
Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?
ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.
Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.
Budete potřebovat řešit problémy s časem.
A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.
Je to jako ve sportu – je potřeba to mnohokrát opakovat, abyste zaručeně vyhráli.
Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobná analýza a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!
Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.
Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.
Jak? Jsou dvě možnosti:
- Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku - 299 rublů.
- Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - 499 rublů.
Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.
Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.
Na závěr...
Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.
„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.
Najděte problémy a řešte je!
Kopyevskaya venkovská střední škola
10 způsobů, jak řešit kvadratické rovnice
Vedoucí: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
učitel matematiky
vesnice Kopevo, 2007
1. Historie vývoje kvadratických rovnic
1.1 Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu
1.2 Jak Diophantus skládal a řešil kvadratické rovnice
1.3 Kvadratické rovnice v Indii
1.4 Kvadratické rovnice al-Khorezmiho
1.5 Kvadratické rovnice v Evropě XIII - XVII století
1.6 O Vietově větě
2. Metody řešení kvadratických rovnic
Závěr
Literatura
1. Historie vývoje kvadratických rovnic
1.1 Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu
Potřeba řešit rovnice nejen prvního, ale i druhého stupně již v dávných dobách byla vyvolána nutností řešit problémy související se zjišťováním výměr pozemků a s výkopovými pracemi vojenského charakteru. stejně jako s rozvojem samotné astronomie a matematiky. Kvadratické rovnice mohly být vyřešeny kolem roku 2000 před naším letopočtem. E. Babyloňané.
Pomocí moderní algebraické notace můžeme říci, že v jejich klínopisných textech jsou kromě neúplných například i úplné kvadratické rovnice:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Pravidlo pro řešení těchto rovnic, stanovené v babylonských textech, se v podstatě shoduje s tím moderním, ale není známo, jak Babyloňané k tomuto pravidlu dospěli. Téměř všechny dosud nalezené klínopisné texty poskytují pouze problémy s řešeními ve formě receptů, bez náznaku, jak byly nalezeny.
I přes vysoká úroveň vývoj algebry v Babylonu, klínové texty postrádají pojem záporného čísla a obecné metodyřešení kvadratických rovnic.
1.2 Jak Diophantus skládal a řešil kvadratické rovnice.
Diophantusova aritmetika neobsahuje systematickou prezentaci algebry, ale obsahuje systematickou řadu problémů doprovázených vysvětleními a řešených konstrukcí rovnic různého stupně.
Při skládání rovnic Diophantus dovedně vybírá neznámé, aby řešení zjednodušil.
Zde je například jeden z jeho úkolů.
Problém 11.„Najděte dvě čísla s vědomím, že jejich součet je 20 a jejich součin je 96“
Diophantus to zdůvodňuje následovně: z podmínek úlohy vyplývá, že požadovaná čísla se nerovnají, protože pokud by se rovnala, jejich součin by nebyl roven 96, ale 100. Jedno z nich tedy bude větší než polovinu jejich součtu, tj. 10 + x, druhý je méně, tzn. 10 let. Rozdíl mezi nimi 2x .
Proto rovnice:
(10 + x) (10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 – 4 = 0 (1)
Odtud x = 2. Jedno z požadovaných čísel se rovná 12 , jiný 8 . Řešení x = -2 neboť Diophantus neexistuje, protože řecká matematika znala pouze kladná čísla.
Pokud tento problém vyřešíme tak, že jedno z požadovaných čísel vybereme jako neznámé, pak dojdeme k řešení rovnice
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)
Je zřejmé, že zvolením polovičního rozdílu požadovaných čísel jako neznámého Diophantus řešení zjednodušuje; podaří se mu problém zredukovat na řešení neúplné kvadratické rovnice (1).
1.3 Kvadratické rovnice v Indii
Problémy s kvadratickými rovnicemi se nacházejí již v astronomickém pojednání „Aryabhattiam“, sestaveném v roce 499 indickým matematikem a astronomem Aryabhattou. Další indický vědec, Brahmagupta (7. století), nastínil obecné pravidlořešení kvadratických rovnic redukovaných na jeden kanonický tvar:
ach 2 + b x = c, a > 0. (1)
V rovnici (1) jsou koeficienty kromě A, může být také negativní. Brahmaguptovo pravidlo je v podstatě stejné jako naše.
V Starověká Indie Běžné byly veřejné soutěže v řešení obtížných problémů. Jedna ze starých indických knih říká o takových soutěžích toto: „Jak slunce zatemňuje hvězdy svým leskem, tak učený muž zastíní slávu jiného lidová shromáždění, navrhování a řešení algebraických problémů." Problémy byly často prezentovány v poetické formě.
To je jeden z problémů slavného indického matematika 12. století. Bhaskaři.
Problém 13.
"Hejno hravých opic a dvanáct podél vinic...
Úřady se po jídle bavily. Začali skákat, viset...
Jsou na náměstí, část 8. Kolik tam bylo opic?
Na mýtině jsem se bavil. Řekni mi, v tomto balení?
Bhaskarovo řešení naznačuje, že věděl, že kořeny kvadratických rovnic jsou dvouhodnotové (obr. 3).
Rovnice odpovídající problému 13 je:
( X /8) 2 + 12 = X
Bhaskara pod rouškou píše:
x 2 - 64x = -768
a pro doplnění levé strany této rovnice na čtverec přidá k oběma stranám 32 2 , poté získáte:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Kvadratické rovnice v al - Khorezmi
V algebraickém pojednání al-Khorezmiho je uvedena klasifikace lineárních a kvadratických rovnic. Autor počítá 6 typů rovnic a vyjadřuje je takto:
1) „Čtverce se rovnají odmocninám“, tj. ax 2 + c = b X.
2) „Čtverce se rovnají číslům“, tzn. sekera 2 = c.
3) „Kořeny se rovnají číslu“, tj. ah = s.
4) „Čtverce a čísla se rovnají odmocninám“, tj. ax 2 + c = b X.
5) „Druhy a odmocniny se rovnají číslům“, tzn. ach 2 + bx = s.
6) „Odmocniny a čísla se rovnají čtvercům“, tj. bx + c = ax 2 .
Pro al-Khorezmiho, který se vyvaroval použití záporných čísel, jsou členy každé z těchto rovnic sčítání, nikoli odečitatelné. V tomto případě se zjevně neberou v úvahu rovnice, které nemají kladná řešení. Autor uvádí metody řešení těchto rovnic pomocí technik al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutí se samozřejmě úplně neshodují s našimi. Nemluvě o tom, že je to čistě rétorické, je třeba si uvědomit, že např. při řešení neúplné kvadratické rovnice prvního typu
al-Khorezmi, stejně jako všichni matematici před 17. stoletím, nebere v úvahu nulové řešení, pravděpodobně proto, že v konkrétních praktických problémech na něm nezáleží. Při řešení úplných kvadratických rovnic al-Khorezmi na parciální číselné příklady stanoví pravidla pro řešení a následně geometrické důkazy.
Problém 14.„Čtverec a číslo 21 se rovnají 10 odmocninám. Najděte kořen" (implikuje kořen rovnice x 2 + 21 = 10x).
Autorovo řešení zní asi takto: rozdělte počet odmocnin na polovinu, dostanete 5, vynásobte 5 sebou samým, odečtěte 21 od součinu, zbyde 4. Vezměte odmocninu ze 4, dostanete 2. Odečtěte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný kořen. Nebo přidejte 2 k 5, což dává 7, to je také odmocnina.
Pojednání al-Khorezmiho je první knihou, která se k nám dostala a která systematicky uvádí klasifikaci kvadratických rovnic a dává vzorce pro jejich řešení.
1.5 Kvadratické rovnice v Evropě XIII - XVII bb
Vzorce pro řešení kvadratických rovnic podél linií al-Khwarizmiho v Evropě byly poprvé uvedeny v knize Abacus, kterou v roce 1202 napsal italský matematik Leonardo Fibonacci. Tato objemná práce, která odráží vliv matematiky, jak islámských zemí, tak Starověké Řecko, se vyznačuje úplností a přehledností podání. Autor nezávisle vyvinul některé nové algebraické příklady řešení problémů a jako první v Evropě přistoupil k zavedení záporných čísel. Jeho kniha přispěla k rozšíření algebraických znalostí nejen v Itálii, ale také v Německu, Francii a dalších evropských zemích. Mnoho problémů z Knihy Abacus bylo použito téměř ve všech evropských učebnicích 16. - 17. století. a částečně XVIII.
Obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic zredukované na jeden kanonický tvar:
x 2 + bx = c,
pro všechny možné kombinace znamének koeficientů b , S byl v Evropě formulován až v roce 1544 M. Stiefelem.
Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice v obecném tvaru je k dispozici od Viète, ale Viète rozpoznal pouze kladné kořeny. Italští matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli byli mezi prvními v 16. století. Kromě pozitivních se berou v úvahu i kořeny negativní. Teprve v 17. stol. Díky práci Girarda, Descarta, Newtona a dalších vědců dostává metoda řešení kvadratických rovnic moderní podobu.
1.6 O Vietově větě
Větu vyjadřující vztah mezi koeficienty kvadratické rovnice a jejími kořeny, pojmenovanou po Vietovi, formuloval poprvé v roce 1591 takto: „Pokud B + D, násobeno A - A 2 , rovná se BD, Že A rovná se V a rovné D ».
Abychom porozuměli Vietě, měli bychom si to zapamatovat A, jako každé samohlásky, znamenalo neznámé (naše X), samohlásky V, D- koeficienty pro neznámé. V jazyce moderní algebry výše uvedená formulace Vieta znamená: pokud existuje
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Vyjádření vztahu mezi kořeny a koeficienty rovnic obecné vzorce psaný pomocí symbolů, Viet zavedl jednotnost v metodách řešení rovnic. K symbolice Vietu je však ještě daleko moderní vzhled. Nerozpoznal záporná čísla, a proto při řešení rovnic uvažoval pouze o případech, kdy všechny kořeny byly kladné.
2. Metody řešení kvadratických rovnic
Kvadratické rovnice jsou základem, na kterém spočívá majestátní stavba algebry. Jsou nalezeny kvadratické rovnice široké uplatnění při řešení goniometrických, exponenciálních, logaritmických, iracionálních a transcendentálních rovnic a nerovnic. Všichni víme, jak řešit kvadratické rovnice od školy (8. třída) až po maturitu.
Doufám, že po prostudování tohoto článku se naučíte, jak najít kořeny úplné kvadratické rovnice.
Pomocí diskriminantu se řeší pouze úplné kvadratické rovnice, k řešení neúplných kvadratických rovnic se používají jiné metody, které najdete v článku „Řešení neúplných kvadratických rovnic“.
Které kvadratické rovnice se nazývají úplné? Tento rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c se nerovnají nule. Abychom mohli vyřešit úplnou kvadratickou rovnici, musíme vypočítat diskriminant D.
D = b 2 – 4ac.
Podle hodnoty diskriminantu zapíšeme odpověď.
Pokud je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.
Pokud je diskriminant nulový, pak x = (-b)/2a. Když je diskriminant kladné číslo (D > 0),
potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.
Například. Vyřešte rovnici x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odpověď: 2.
Vyřešte rovnici 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Odpověď: žádné kořeny.
Vyřešte rovnici 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 – √81)/(2 2)= (-5 – 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Odpověď: – 3,5; 1.
Představme si tedy řešení úplných kvadratických rovnic pomocí diagramu na obrázku 1.
Pomocí těchto vzorců můžete vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici. Jen je potřeba si dávat pozor rovnice byla zapsána jako polynom standardní pohled
A x 2 + bx + c, jinak můžete udělat chybu. Například při psaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 se můžete mylně rozhodnout, že
a = 1, b = 3 a c = 2. Potom
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 a pak má rovnice dva kořeny. A to není pravda. (Viz řešení příkladu 2 výše).
Pokud tedy rovnice není zapsána jako polynom standardního tvaru, musí být nejprve úplná kvadratická rovnice zapsána jako polynom standardního tvaru (monomial s největším exponentem by měl být na prvním místě, tzn. A x 2 , pak s méně – bx a poté volný člen S.
Při řešení redukované kvadratické rovnice a kvadratické rovnice se sudým koeficientem ve druhém členu můžete použít jiné vzorce. Pojďme se s těmito vzorci seznámit. Pokud má v úplné kvadratické rovnici druhý člen sudý koeficient (b = 2k), můžete rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 2.
Úplná kvadratická rovnice se nazývá redukovaná, pokud koeficient at x 2 se rovná jedné a rovnice má tvar x 2 + px + q = 0. Takovou rovnici je možné dát k řešení, nebo ji získat vydělením všech koeficientů rovnice koeficientem A, stojící na x 2 .
Obrázek 3 ukazuje schéma řešení zmenšeného čtverce 
rovnic. Podívejme se na příklad použití vzorců probíraných v tomto článku.
Příklad. Vyřešte rovnici
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Vyřešme tuto rovnici pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 – 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3
Můžete si všimnout, že koeficient x v této rovnici je sudé číslo, to znamená b = 6 nebo b = 2k, odkud k = 3. Pak zkusme rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3. Když si všimneme, že všechny koeficienty v této kvadratické rovnici jsou dělitelné 3 a provedeme dělení, dostaneme redukovanou kvadratickou rovnici x 2 + 2x – 2 = 0 Vyřešte tuto rovnici pomocí vzorců pro redukovanou kvadratickou rovnici 
rovnice obrázek 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3.
Jak vidíte, při řešení této rovnice pomocí různých vzorců jsme dostali stejnou odpověď. Proto po důkladném zvládnutí vzorců znázorněných na diagramu na obrázku 1 budete vždy schopni vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici.
blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
V moderní společnost schopnost provádět operace s rovnicemi obsahujícími proměnnou druhou mocninu může být užitečná v mnoha oblastech činnosti a je široce používána v praxi ve vědeckém a technickém rozvoji. Důkazem toho mohou být konstrukce námořních a říčních plavidel, letadel a raket. Pomocí těchto výpočtů, trajektorie pohybu nejvíce různá těla včetně vesmírných objektů. Příklady s řešením kvadratických rovnic se používají nejen v ekonomickém předpovídání, při projektování a výstavbě budov, ale i v nejběžnějších každodenních podmínkách. Mohou být potřeba na pěších výletech, na sportovních akcích, v obchodech při nákupech a v dalších velmi běžných situacích.
Rozdělme výraz na jeho dílčí faktory
Stupeň rovnice je určen maximální hodnotou stupně proměnné, kterou výraz obsahuje. Pokud se rovná 2, pak se taková rovnice nazývá kvadratická.
Pokud mluvíme jazykem vzorců, pak naznačené výrazy, bez ohledu na to, jak vypadají, lze vždy uvést do podoby, když levá strana výraz se skládá ze tří pojmů. Mezi nimi: ax 2 (to je proměnná na druhou se svým koeficientem), bx (neznámá bez druhé mocniny se svým koeficientem) a c (volná složka, tedy obyčejné číslo). To vše na pravé straně je rovno 0. V případě, že takový polynom postrádá jeden ze členů, s výjimkou ax 2, nazývá se neúplnou kvadratickou rovnicí. Nejprve je třeba zvážit příklady s řešením takových problémů, hodnoty proměnných, ve kterých lze snadno najít.
Pokud výraz vypadá, že má na pravé straně dva členy, přesněji ax 2 a bx, nejjednodušší způsob, jak najít x, je dát proměnnou ze závorek. Nyní bude naše rovnice vypadat takto: x(ax+b). Dále je zřejmé, že buď x=0, nebo problém spočívá v nalezení proměnné z následujícího výrazu: ax+b=0. To je dáno jednou z vlastností násobení. Pravidlo říká, že součin dvou faktorů má za následek 0 pouze v případě, že jeden z nich je nula.
Příklad
x=0 nebo 8x - 3 = 0
Výsledkem jsou dva kořeny rovnice: 0 a 0,375.
Rovnice tohoto druhu mohou popisovat pohyb těles pod vlivem gravitace, která se začala pohybovat od určitého bodu braného jako počátek souřadnic. Tady matematický zápis má následující tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Dosazením potřebných hodnot, přirovnáním pravé strany k 0 a nalezením možných neznámých můžete zjistit čas, který uplyne od okamžiku, kdy se těleso zvedne do okamžiku jeho pádu, stejně jako mnoho dalších veličin. Ale o tom si povíme později.
Faktorizace výrazu
Výše popsané pravidlo umožňuje řešit tyto problémy více těžké případy. Podívejme se na příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.
X 2 - 33x + 200 = 0
Tento kvadratický trinom je kompletní. Nejprve transformujme výraz a rozložme jej. Jsou dva: (x-8) a (x-25) = 0. V důsledku toho máme dva kořeny 8 a 25.
Příklady s řešením kvadratických rovnic v 9. ročníku umožňují touto metodou najít proměnnou ve výrazech nejen druhého, ale dokonce i třetího a čtvrtého řádu.
Například: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Při rozkladu pravé strany na faktory s proměnnou jsou tři z nich, tedy (x+1), (x-3) a (x+ 3).
V důsledku toho je zřejmé, že tato rovnice má tři kořeny: -3; -1; 3.
Odmocnina
Dalším případem neúplné rovnice druhého řádu je výraz reprezentovaný v řeči písmen tak, že pravá část je sestaven z komponent ax 2 a c. Zde se pro získání hodnoty proměnné převede volný termín pravá strana, a poté se z obou stran rovnosti vezme odmocnina. Je třeba poznamenat, že v v tomto případě Obvykle existují dva kořeny rovnice. Jedinou výjimkou mohou být rovnosti, které vůbec neobsahují člen s, kde se proměnná rovná nule, a také varianty výrazů, kdy se pravá strana ukáže jako záporná. V druhém případě neexistují vůbec žádná řešení, protože výše uvedené akce nelze provést s kořeny. Je třeba zvážit příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.
V tomto případě budou kořeny rovnice čísla -4 a 4.
Výpočet výměry pozemku
Potřeba tohoto druhu výpočtů se objevila ve starověku, protože vývoj matematiky v těchto vzdálených dobách byl do značné míry určován potřebou určit s největší přesností plochy a obvody pozemků.
Měli bychom také zvážit příklady řešení kvadratických rovnic založených na problémech tohoto druhu.
Řekněme tedy, že existuje obdélníkový pozemek, jehož délka je o 16 metrů větší než šířka. Délku, šířku a obvod pozemku byste měli zjistit, pokud víte, že jeho plocha je 612 m2.
Chcete-li začít, nejprve vytvořte potřebnou rovnici. Označme x šířku oblasti, její délka pak bude (x+16). Z napsaného vyplývá, že plocha je určena výrazem x(x+16), což je podle podmínek naší úlohy 612. To znamená, že x(x+16) = 612.
Řešení úplných kvadratických rovnic, a tento výraz je přesně to, nelze provést stejným způsobem. Proč? Přestože levá strana stále obsahuje dva faktory, jejich součin se vůbec nerovná 0, takže se zde používají různé metody.
Diskriminační
Nejprve udělejme potřebné transformace vzhled tohoto výrazu bude vypadat takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že jsme obdrželi výraz ve tvaru odpovídajícím dříve specifikovanému standardu, kde a=1, b=16, c=-612.
To by mohl být příklad řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu. Tady potřebné výpočty se vyrábějí podle schématu: D = b 2 - 4ac. Tato pomocná veličina nejenže umožňuje najít požadované veličiny v rovnici druhého řádu, ale určuje veličinu možné možnosti. Pokud D>0, jsou dva; pro D=0 je jeden kořen. V případě D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
O kořenech a jejich vzorcích
V našem případě je diskriminant roven: 256 - 4(-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpověď. Pokud znáte k, řešení kvadratických rovnic musí pokračovat pomocí vzorce níže. Umožňuje vypočítat kořeny.
To znamená, že v prezentovaném případě: x 1 =18, x 2 =-34. Druhá možnost v tomto dilematu nemůže být řešením, protože rozměry pozemku nelze měřit v záporných veličinách, což znamená x (tj. šířka pozemku) je 18 m. Odtud vypočítáme délku: 18 +16=34 a obvod 2(34+18)=104(m2).
Příklady a úkoly
Pokračujeme ve studiu kvadratických rovnic. Příklady a podrobná řešení několika z nich budou uvedeny níže.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Přesuneme vše na levou stranu rovnosti, provedeme transformaci, to znamená, že dostaneme typ rovnice, který se obvykle nazývá standardní, a srovnáme ji s nulou.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Sečtením podobných určíme diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znamená, že naše rovnice bude mít dva kořeny. Vypočítejme je podle výše uvedeného vzorce, což znamená, že první z nich se bude rovnat 4/3 a druhý 1.
2) Nyní pojďme řešit záhady jiného druhu.
Pojďme zjistit, zda zde existují nějaké kořeny x 2 - 4x + 5 = 1? Abychom získali vyčerpávající odpověď, zredukujme polynom na odpovídající obvyklý tvar a vypočítejme diskriminant. Ve výše uvedeném příkladu není nutné řešit kvadratickou rovnici, protože to vůbec není podstatou problému. V tomto případě D = 16 - 20 = -4, což znamená, že ve skutečnosti neexistují žádné kořeny.
Vietova věta
Je vhodné řešit kvadratické rovnice pomocí výše uvedených vzorců a diskriminantu, kdy se druhá odmocnina bere z hodnoty diskriminantu. To se ale nestává vždy. V tomto případě však existuje mnoho způsobů, jak získat hodnoty proměnných. Příklad: řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty. Je pojmenována po tom, kdo žil v 16. století ve Francii a udělal skvělou kariéru díky svému matematickému talentu a konexím u dvora. Jeho portrét je k vidění v článku.
Vzor, kterého si slavný Francouz všiml, byl následující. Dokázal, že kořeny rovnice se numericky sčítají na -p=b/a a jejich součin odpovídá q=c/a.
Nyní se podíváme na konkrétní úkoly.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Pro zjednodušení výraz transformujme:
x 2 + 7 x - 18 = 0
Použijme Vietovu větu, to nám dá následující: součet kořenů je -7 a jejich součin je -18. Odtud dostaneme, že kořeny rovnice jsou čísla -9 a 2. Po kontrole se ujistíme, že tyto hodnoty proměnných skutečně zapadají do výrazu.
Parabolový graf a rovnice
Pojmy kvadratická funkce a kvadratické rovnice spolu úzce souvisí. Příklady toho již byly uvedeny dříve. Nyní se podívejme na některé matematické hádanky trochu podrobněji. Jakákoli rovnice popsaného typu může být znázorněna vizuálně. Takový vztah, nakreslený jako graf, se nazývá parabola. Jeho různé typy jsou znázorněny na obrázku níže.
Každá parabola má vrchol, tedy bod, ze kterého vycházejí její větve. Pokud a>0, jdou vysoko do nekonečna, a když a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Vizuální reprezentace funkcí pomáhají řešit jakékoli rovnice, včetně kvadratických. Tato metoda se nazývá grafická. A hodnota proměnné x je souřadnice v bodech, kde se čára grafu protíná s 0x. Souřadnice vrcholu lze zjistit pomocí právě daného vzorce x 0 = -b/2a. A dosazením výsledné hodnoty do původní rovnice funkce lze zjistit y 0, tedy druhou souřadnici vrcholu paraboly, která patří k ose pořadnice.
Průsečík větví paraboly s osou úsečky
Existuje spousta příkladů řešení kvadratických rovnic, ale existují i obecné vzorce. Pojďme se na ně podívat. Je jasné, že průsečík grafu s osou 0x pro a>0 je možný pouze v případě, že 0 nabývá záporných hodnot. A pro a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jinak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Z grafu paraboly můžete také určit kořeny. Platí to i naopak. To znamená, že pokud není snadné získat vizuální reprezentaci kvadratické funkce, můžete přirovnat pravou stranu výrazu k 0 a vyřešit výslednou rovnici. A když známe průsečíky s osou 0x, je jednodušší sestrojit graf.
Z historie
Pomocí rovnic obsahujících druhou mocninu proměnné se za starých časů nejen matematicky počítalo a určovaly plochy geometrických obrazců. Staří lidé potřebovali takové výpočty pro velké objevy v oblasti fyziky a astronomie, stejně jako pro vytváření astrologických předpovědí.
Jak moderní vědci naznačují, obyvatelé Babylonu byli mezi prvními, kdo řešili kvadratické rovnice. Stalo se tak čtyři století před naším letopočtem. Jejich výpočty se samozřejmě radikálně lišily od těch, které jsou v současné době přijímány, a ukázalo se, že jsou mnohem primitivnější. Například mezopotámští matematici neměli tušení o existenci záporných čísel. Neznali ani další jemnosti, které zná každý moderní školák.
Možná ještě dříve než vědci z Babylonu začal mudrc z Indie Baudhayama řešit kvadratické rovnice. Stalo se to asi osm století před Kristovou érou. Pravda, rovnice druhého řádu, metody řešení, které uvedl, byly nejjednodušší. Kromě něj se o podobné otázky za starých časů zajímali i čínští matematici. V Evropě se kvadratické rovnice začaly řešit až na počátku 13. století, ale později je ve svých dílech začali používat takoví velcí vědci jako Newton, Descartes a mnozí další.
Zvažte kvadratickou rovnici:
(1)
.
Kořeny kvadratické rovnice(1) se určují podle vzorců:
;
.
Tyto vzorce lze kombinovat takto:
.
Když jsou známy kořeny kvadratické rovnice, pak lze polynom druhého stupně reprezentovat jako součin faktorů (faktorováno):
.
Dále předpokládáme, že jde o reálná čísla.
Uvažujme diskriminant kvadratické rovnice:
.
Pokud je diskriminant kladný, pak má kvadratická rovnice (1) dva různé reálné kořeny:
;
.
Pak rozklad kvadratického trinomu má tvar:
.
Pokud je diskriminant roven nule, pak má kvadratická rovnice (1) dva násobné (stejné) reálné kořeny:
.
Faktorizace:
.
Pokud je diskriminant záporný, pak má kvadratická rovnice (1) dva komplexně sdružené kořeny:
;
.
Zde je pomyslná jednotka, ;
a jsou skutečné a imaginární části kořenů:
;
.
Pak
.
Grafická interpretace
Pokud vykreslíte funkci
,
což je parabola, pak průsečíky grafu s osou budou kořeny rovnice
.
V , graf protíná osu x (osu) ve dvou bodech.
Když se graf dotkne osy x v jednom bodě.
Když , graf neprotíná osu x.
Níže jsou uvedeny příklady takových grafů.
Užitečné vzorce související s kvadratickou rovnicí
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Odvození vzorce pro kořeny kvadratické rovnice
Provádíme transformace a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):
,
Kde
;
.
Takže jsme dostali vzorec pro polynom druhého stupně ve tvaru:
.
To ukazuje, že rovnice
provedeno v
A .
To je a jsou kořeny kvadratické rovnice
.
Příklady určení kořenů kvadratické rovnice
Příklad 1
(1.1)
.
Řešení
.
Porovnáním s naší rovnicí (1.1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Protože je diskriminant kladný, má rovnice dva reálné kořeny:
;
;
.
Odtud získáme rozklad kvadratického trinomu:
.
Graf funkce y = 2 x 2 + 7 x + 3 protíná osu x ve dvou bodech.
Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Protíná osu úsečky (osa) ve dvou bodech:
A .
Tyto body jsou kořeny původní rovnice (1.1).
Odpovědět
;
;
.
Příklad 2
Najděte kořeny kvadratické rovnice:
(2.1)
.
Řešení
Napišme kvadratickou rovnici v obecném tvaru:
.
Porovnáním s původní rovnicí (2.1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Protože diskriminant je nula, rovnice má dva násobné (stejné) kořeny:
;
.
Pak rozklad trojčlenu má tvar:
.
Graf funkce y = x 2–4 x + 4 se v jednom bodě dotýká osy x.
Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Dotýká se osy x (osa) v jednom bodě:
.
Tento bod je kořenem původní rovnice (2.1). Protože tento kořen je zahrnut dvakrát:
,
pak se takový kořen obvykle nazývá násobek. To znamená, že věří, že existují dva stejné kořeny:
.
Odpovědět
;
.
Příklad 3
Najděte kořeny kvadratické rovnice:
(3.1)
.
Řešení
Napišme kvadratickou rovnici v obecném tvaru:
(1)
.
Přepišme původní rovnici (3.1):
.
Porovnáním s (1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Diskriminant je záporný, . Proto neexistují žádné skutečné kořeny.
Můžete najít složité kořeny:
;
;
Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Neprotíná osu x (osu). Proto neexistují žádné skutečné kořeny.
Odpovědět
Neexistují žádné skutečné kořeny. Komplexní kořeny:
;
;
.
