Kvadratická rovnice - snadné řešení! *Dále jen „KU“. Přátelé, zdálo by se, že v matematice nemůže být nic jednoduššího než řešení takové rovnice. Ale něco mi říkalo, že mnoho lidí s ním má problémy. Rozhodl jsem se zjistit, kolik zobrazení na vyžádání Yandex za měsíc rozdá. Zde je to, co se stalo, podívejte se:
Co to znamená? To znamená, že měsíčně vyhledává asi 70 000 lidí tato informace, co s tím má společného letošní léto a co se mezi nimi stane školní rok— žádostí bude dvakrát tolik. To není překvapivé, protože tyto informace hledají ti kluci a dívky, kteří již dávno ukončili školu a připravují se na jednotnou státní zkoušku, a také školáci se snaží osvěžit si paměť.
Navzdory skutečnosti, že existuje spousta stránek, které vám poradí, jak tuto rovnici vyřešit, rozhodl jsem se také přispět a materiál zveřejnit. Za prvé chci, aby návštěvníci přišli na můj web na základě tohoto požadavku; za druhé, v dalších článcích, až se objeví téma „KU“, uvedu odkaz na tento článek; za třetí, řeknu vám o jeho řešení trochu více, než je obvykle uvedeno na jiných stránkách. Začněme! Obsah článku:
Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru:
kde koeficienty a,ba c jsou libovolná čísla, přičemž a≠0.
Ve školním kurzu je látka uvedena v následující podobě - rovnice jsou rozděleny do tří tříd:
1. Mají dva kořeny.
2. *Mít pouze jeden kořen.
3. Nemají kořeny. Zde stojí za zmínku zejména to, že nemají skutečné kořeny
Jak se počítají kořeny? Prostě!
Vypočítáme diskriminant. Pod tímto „strašným“ slovem se skrývá velmi jednoduchý vzorec:
Kořenové vzorce jsou následující:
*Tyto vzorce musíte znát nazpaměť.
Můžete okamžitě napsat a vyřešit:
Příklad:
1. Je-li D > 0, pak má rovnice dva kořeny.
2. Je-li D = 0, pak má rovnice jeden kořen.
3. Pokud D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Podívejme se na rovnici:
Podle při této příležitosti, když je diskriminant roven nule, školní kurz říká, že výsledek je jeden odmocnina, zde je roven devíti. Všechno je správně, je to tak, ale...
Tato myšlenka je poněkud nesprávná. Ve skutečnosti existují dva kořeny. Ano, ano, nedivte se, dostanete dva stejné kořeny, a abychom byli matematicky přesní, pak by odpověď měla psát dva kořeny:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ale je to tak - malá odbočka. Ve škole si to můžete zapsat a říct, že existuje jeden kořen.
Nyní další příklad:
Jak víme, kořen záporné číslo není extrahován, takže roztoky v v tomto případě Ne.
To je celý rozhodovací proces.
Kvadratická funkce.
To ukazuje, jak vypadá řešení geometricky. To je nesmírně důležité pochopit (v budoucnu v jednom z článků podrobně rozebereme řešení kvadratické nerovnosti).
Toto je funkce formuláře:
kde x a y jsou proměnné
a, b, c – daná čísla, s a ≠ 0
Graf je parabola:
To znamená, že se ukáže, že řešením kvadratické rovnice s „y“ rovným nule najdeme průsečíky paraboly s osou x. Mohou existovat dva z těchto bodů (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) a žádný (diskriminant je záporný). Podrobnosti o kvadratická funkce Můžete prohlížetčlánek Inny Feldmanové.
Podívejme se na příklady:
Příklad 1: Řešte 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Odpověď: x 1 = 8 x 2 = –12
*Bylo možné okamžitě odejít a pravá strana rovnici rozdělte 2, tedy zjednodušte. Výpočty budou jednodušší.
Příklad 2: Rozhodni se x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Zjistili jsme, že x 1 = 11 a x 2 = 11
V odpovědi je přípustné napsat x = 11.
Odpověď: x = 11
Příklad 3: Rozhodni se x 2 – 8 x + 72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminant je záporný, v reálných číslech neexistuje řešení.
Odpověď: žádné řešení
Diskriminant je záporný. Existuje řešení!
Zde budeme hovořit o řešení rovnice v případě, že dostaneme záporný diskriminant. Víte něco o komplexní čísla? Nebudu se zde rozepisovat o tom, proč a kde vznikly a jaká je jejich specifická role a nutnost v matematice, to je téma na velký samostatný článek.
Koncept komplexního čísla.
Trochu teorie.
Komplexní číslo z je číslo tvaru
z = a + bi
kde a a b jsou reálná čísla, i je tzv. imaginární jednotka.
a+bi – toto je JEDNO ČÍSLO, nikoli sčítání.
Imaginární jednotka se rovná odmocnině mínus jedna:
Nyní zvažte rovnici:
Získáme dva konjugované kořeny.
Neúplná kvadratická rovnice.
Uvažujme speciální případy, kdy koeficient „b“ nebo „c“ je roven nule (nebo jsou oba rovny nule). Lze je snadno vyřešit bez jakýchkoli diskriminátorů.
Případ 1. Koeficient b = 0.
Rovnice se stává:
Pojďme se transformovat:
Příklad:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Případ 2. Koeficient c = 0.
Rovnice se stává:
Pojďme transformovat a faktorizovat:
*Součin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule.
Příklad:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 nebo x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Případ 3. Koeficienty b = 0 ac = 0.
Zde je jasné, že řešení rovnice bude vždy x = 0.
Užitečné vlastnosti a vzorce koeficientů.
Existují vlastnosti, které umožňují řešit rovnice s velkými koeficienty.
AX 2 + bx+ C=0 platí rovnost
A + b+ c = 0,Že
- pokud pro koeficienty rovnice AX 2 + bx+ C=0 platí rovnost
A+ c =b, Že
Tyto vlastnosti pomáhají řešit určitý typ rovnic.
Příklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
Součet kurzů je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, což znamená
Příklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Rovnost platí A+ c =b, Prostředek
Zákonitosti koeficientů.
1. Je-li v rovnici ax 2 + bx + c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 +1) a koeficient „c“ je číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Příklad. Uvažujme rovnici 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Je-li v rovnici ax 2 – bx + c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 +1) a koeficient „c“ číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Příklad. Uvažujme rovnici 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Je-li v rov. ax 2 + bx – c = 0 koeficient „b“ se rovná (a 2 – 1) a koeficient „c“ se číselně rovná koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny stejné
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Příklad. Uvažujme rovnici 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Je-li v rovnici ax 2 – bx – c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 – 1) a koeficient c je číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Příklad. Uvažujme rovnici 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vietova věta.
Vietův teorém je pojmenován po slavném francouzském matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocí Vietovy věty můžeme vyjádřit součet a součin kořenů libovolné KU pomocí jejích koeficientů.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Celkově číslo 14 dává pouze 5 a 9. To jsou kořeny. S určitou dovedností, pomocí předložené věty, můžete okamžitě vyřešit mnoho kvadratických rovnic ústně.
Navíc Vietův teorém. pohodlné, protože po vyřešení kvadratická rovnice výsledné kořeny lze zkontrolovat obvyklým způsobem (přes diskriminant). Doporučuji to dělat vždy.
ZPŮSOB DOPRAVY
U této metody se koeficient „a“ násobí volným členem, jako by mu byl „hozen“, proto se nazývá "přenosová" metoda. Tato metoda se používá, když lze kořeny rovnice snadno najít pomocí Vietovy věty a hlavně, když je diskriminant přesný čtverec.
Li A± b+c≠ 0, pak se použije technika přenosu, například:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Pomocí Vietovy věty v rovnici (2) je snadné určit, že x 1 = 10 x 2 = 1
Výsledné kořeny rovnice je třeba vydělit 2 (protože byly „vyhozeny“ z x 2), dostaneme
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Jaké je zdůvodnění? Podívej, co se děje.
Diskriminanty rovnic (1) a (2) jsou stejné:
Pokud se podíváte na kořeny rovnic, dostanete pouze různé jmenovatele a výsledek závisí přesně na koeficientu x 2:
Druhý (upravený) má kořeny, které jsou 2x větší.
Proto výsledek vydělíme 2.
*Pokud trojici přehodíme, vydělíme výsledek 3 atd.
Odpověď: x 1 = 5 x 2 = 0,5
Sq. ur-ie a Jednotná státní zkouška.
Krátce vám řeknu o jeho důležitosti – MUSÍTE SE UMĚT ROZHODOVAT rychle a bez přemýšlení, musíte znát vzorce odmocnin a rozlišovačů nazpaměť. Mnoho problémů obsažených v úlohách jednotné státní zkoušky se scvrkává na řešení kvadratické rovnice (včetně geometrických).
Něco, co stojí za zmínku!
1. Forma zápisu rovnice může být „implicitní“. Je například možný následující záznam:
15+ 9x 2 - 45x = 0 nebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 nebo 15 -5x+10x 2 = 0.
Musíte ho přivést standardní pohled(aby se při rozhodování nezmátlo).
2. Pamatujte, že x je neznámá veličina a lze ji označit libovolným jiným písmenem - t, q, p, h a dalšími.
V tomto článku se podíváme na řešení neúplných kvadratických rovnic.
Nejprve si ale zopakujme, čemu se říká kvadratické rovnice. Rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde x je proměnná a koeficienty a, b a c jsou nějaká čísla a a ≠ 0, se nazývá náměstí. Jak vidíme, koeficient pro x 2 se nerovná nule, a proto koeficienty pro x nebo volný člen mohou být rovny nule, v takovém případě dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici.
Existují tři typy neúplných kvadratických rovnic:
1) Jestliže b = 0, c ≠ 0, pak ax 2 + c = 0;
2) Jestliže b ≠ 0, c = 0, pak ax 2 + bx = 0;
3) Jestliže b = 0, c = 0, pak ax 2 = 0.
- Pojďme přijít na to, jak to vyřešit rovnice tvaru ax 2 + c = 0.
Abychom rovnici vyřešili, přesuneme volný člen c na pravou stranu rovnice, dostaneme
ax 2 = ‒s. Protože a ≠ 0, dělíme obě strany rovnice a, pak x 2 = ‒c/a.
Pokud ‒с/а > 0, pak má rovnice dva kořeny
x = ±√(–c/a) .
Pokud ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Pokusme se na příkladech pochopit, jak takové rovnice řešit.
Příklad 1. Vyřešte rovnici 2x 2 ‒ 32 = 0.
Odpověď: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Příklad 2. Vyřešte rovnici 2x 2 + 8 = 0.
Odpověď: rovnice nemá řešení.
- Pojďme přijít na to, jak to vyřešit rovnice tvaru ax 2 + bx = 0.
Abychom vyřešili rovnici ax 2 + bx = 0, rozložme ji na faktor, tedy vyjmeme x ze závorek, dostaneme x(ax + b) = 0. Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven na nulu. Potom buď x = 0, nebo ax + b = 0. Řešením rovnice ax + b = 0 dostaneme ax = - b, odkud x = - b/a. Rovnice ve tvaru ax 2 + bx = 0 má vždy dva kořeny x 1 = 0 a x 2 = ‒ b/a. Podívejte se, jak vypadá řešení rovnic tohoto typu ve schématu. 
Upevněme své znalosti na konkrétním příkladu.
Příklad 3. Vyřešte rovnici 3x 2 ‒ 12x = 0.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 nebo 3x – 12 = 0
Odpověď: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Rovnice třetího typu ax 2 = 0 jsou řešeny velmi jednoduše.
Jestliže ax 2 = 0, pak x 2 = 0. Rovnice má dva stejné kořeny x 1 = 0, x 2 = 0.
Pro přehlednost se podívejme na schéma. 
Při řešení příkladu 4 se přesvědčme, že rovnice tohoto typu lze řešit velmi jednoduše.
Příklad 4. Vyřešte rovnici 7x 2 = 0.
Odpověď: x 1, 2 = 0.
Ne vždy je hned jasné, jaký typ neúplné kvadratické rovnice máme řešit. Zvažte následující příklad.
Příklad 5. Vyřešte rovnici
Vynásobme obě strany rovnice společným jmenovatelem, tedy 30
Pojďme to snížit
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.
Otevřeme závorky
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.
Dáme podobné
Posuňme 99 z levé strany rovnice doprava a změňme znaménko na opačné
Odpověď: žádné kořeny.
Podívali jsme se, jak se řeší neúplné kvadratické rovnice. Doufám, že nyní nebudete mít s takovými úkoly žádné potíže. Buďte opatrní při určování typu neúplné kvadratické rovnice, pak uspějete.
Pokud máte dotazy na toto téma, přihlaste se na mé lekce, společně vyřešíme vzniklé problémy.
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Například pro trinom \(3x^2+2x-7\) bude diskriminant roven \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). A pro trinom \(x^2-5x+11\) se bude rovnat \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Diskriminant se označuje písmenem \(D\) a často se používá při řešení. Také podle hodnoty diskriminantu můžete pochopit, jak přibližně vypadá graf (viz níže).
Diskriminant a kořeny kvadratické rovnice
Diskriminační hodnota ukazuje počet kvadratických rovnic:
- je-li \(D\) kladné, bude mít rovnice dva kořeny;
- jestliže \(D\) je roven nule – existuje pouze jeden kořen;
- je-li \(D\) záporné, neexistují žádné kořeny.
To není třeba učit, není těžké k takovému závěru dojít, stačí vědět, že z diskriminantu (tedy \(\sqrt(D)\) je zahrnuto do vzorce pro výpočet kořenů kvadratického rovnice: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Podívejme se na každý případ podrobněji.
Pokud je diskriminant kladný
V tomto případě je jeho kořenem nějaké kladné číslo, což znamená, že \(x_(1)\) a \(x_(2)\) budou mít různé významy, protože v prvním vzorci \(\sqrt(D)\ ) se přidá a ve druhém se odečte. A máme dva různé kořeny.
Příklad
: Najděte kořeny rovnice \(x^2+2x-3=0\)
Řešení
:
Odpovědět : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Pokud je diskriminant nulový
Kolik kořenů bude, pokud je diskriminant nulový? Uvažujme.
Kořenové vzorce vypadají takto: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . A pokud je diskriminant nulový, pak je jeho kořen také nula. Pak se ukáže:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
To znamená, že hodnoty kořenů rovnice budou stejné, protože přidáním nebo odečtením nuly se nic nezmění.
Příklad
: Najděte kořeny rovnice \(x^2-4x+4=0\)
Řešení
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Koeficienty vypíšeme: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Diskriminant vypočítáme pomocí vzorce \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Hledání kořenů rovnice |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Dostali jsme dva stejné kořeny, takže nemá smysl je psát odděleně – píšeme je jako jeden. |
Odpovědět : \(x=2\)
Problémy kvadratických rovnic jsou také studovány v školní osnovy a na univerzitách. Znamenají rovnice tvaru a*x^2 + b*x + c = 0, kde X- proměnná, a, b, c – konstanty; A<>0 Úkolem je najít kořeny rovnice.
Geometrický význam kvadratické rovnice
Grafem funkce, která je reprezentována kvadratickou rovnicí, je parabola. Řešení (kořeny) kvadratické rovnice jsou průsečíky paraboly s osou x. Z toho vyplývá, že existují tři možné případy:
1) parabola nemá žádné průsečíky s osou úsečky. To znamená, že je v horní rovině s větvemi nahoru nebo dole s větvemi dolů. V takových případech nemá kvadratická rovnice žádné reálné kořeny (má dva komplexní kořeny).
2) parabola má jeden průsečík s osou Ox. Takový bod se nazývá vrchol paraboly a kvadratická rovnice v něm nabývá své minimální nebo maximální hodnoty. V tomto případě má kvadratická rovnice jeden skutečný kořen (nebo dva stejné kořeny).
3) Poslední případ je v praxi zajímavější - jsou zde dva průsečíky paraboly s osou úsečky. To znamená, že existují dva skutečné kořeny rovnice.
Na základě analýzy koeficientů mocnin proměnných lze vyvodit zajímavé závěry o umístění paraboly.
1) Je-li koeficient a větší než nula, pak větve paraboly směřují nahoru, pokud je záporný, směřují větve paraboly dolů.
2) Je-li koeficient b větší než nula, pak vrchol paraboly leží v levé polorovině, nabývá-li záporné hodnoty, pak v pravé.
Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice
Přenesme konstantu z kvadratické rovnice 
pro rovnítko dostaneme výraz
Vynásobte obě strany 4a 
Abych se dostal doleva dokonalý čtverec přidejte b^2 na obě strany a proveďte transformaci
Odtud najdeme
Vzorec pro diskriminant a kořeny kvadratické rovnice
Diskriminant je hodnota radikálového výrazu. Pokud je kladný, pak má rovnice dva reálné kořeny, vypočítané podle vzorce 
Když je diskriminant nulový, má kvadratická rovnice jedno řešení (dva shodné kořeny), které lze snadno získat z výše uvedeného vzorce pro D = 0. negativní diskriminant neexistují žádné skutečné kořenové rovnice. Řešení kvadratické rovnice se však nacházejí v komplexní rovině a jejich hodnota se vypočítá pomocí vzorce 
Vietova věta
Uvažujme dva kořeny kvadratické rovnice a na jejich základě sestrojme kvadratickou rovnici Vlastní Vietův teorém snadno vyplývá ze zápisu: máme-li kvadratickou rovnici tvaru 
pak součet jeho kořenů je roven koeficientu p převzatému z opačné znamení a součin kořenů rovnice je roven volnému členu q. Formulická reprezentace výše uvedeného bude vypadat takto: Pokud je v klasické rovnici konstanta a nenulová, musíte jí vydělit celou rovnici a poté použít Vietovu větu.
Rozvrh faktoringové kvadratické rovnice
Nechť je úloha nastavena: vynásobte kvadratickou rovnici. K tomu nejprve vyřešíme rovnici (najdeme kořeny). Dále dosadíme nalezené kořeny do expanzního vzorce pro kvadratickou rovnici, čímž se problém vyřeší.
Úlohy kvadratických rovnic
Úkol 1. Najděte kořeny kvadratické rovnice
x^2-26x+120=0.
Řešení: Zapište koeficienty a dosaďte je do diskriminačního vzorce
Odmocnina této hodnoty je 14, lze ji snadno najít pomocí kalkulačky nebo si ji při častém používání zapamatovat, nicméně pro pohodlí vám na konci článku uvedu seznam druhých mocnin čísel, se kterými se lze často setkat v takové problémy.
Nalezenou hodnotu dosadíme do kořenového vzorce 
a dostaneme 
Úkol 2. Vyřešte rovnici
2x 2 +x-3=0.
Řešení: Máme kompletní kvadratickou rovnici, vypište koeficienty a najděte diskriminant 
Podle známé vzorce hledání kořenů kvadratické rovnice 
Úkol 3. Vyřešte rovnici
9x 2 -12x+4=0.
Řešení: Máme úplnou kvadratickou rovnici. Určení diskriminantu
Máme případ, kdy se kořeny shodují. Najděte hodnoty kořenů pomocí vzorce 
Úkol 4. Vyřešte rovnici
x^2+x-6=0.
Řešení: V případech, kdy jsou pro x malé koeficienty, je vhodné použít Vietovu větu. Jeho podmínkou dostáváme dvě rovnice
Z druhé podmínky zjistíme, že součin se musí rovnat -6. To znamená, že jeden z kořenů je negativní. Máme následující možné dvojice řešení (-3;2), (3;-2) . S ohledem na první podmínku odmítáme druhou dvojici řešení.
Kořeny rovnice jsou stejné
Úloha 5. Najděte délky stran obdélníku, je-li jeho obvod 18 cm a obsah 77 cm 2.
Řešení: Polovina obvodu obdélníku se rovná součtu jeho sousedních stran. Označme x jako větší stranu, pak 18-x je její menší strana. Plocha obdélníku se rovná součinu těchto délek:
x(18-x)=77;
nebo
x 2-18x+77=0.
Pojďme najít diskriminant rovnice
Výpočet kořenů rovnice 
Li x=11,Že 18 = 7, platí to i naopak (pokud x=7, pak 21=9).
Úloha 6. Slož kvadratickou rovnici 10x 2 -11x+3=0.
Řešení: Vypočítejme kořeny rovnice, k tomu najdeme diskriminant 
Nalezenou hodnotu dosadíme do kořenového vzorce a vypočítáme 
Aplikujeme vzorec pro rozklad kvadratické rovnice po kořenech 
Otevřením závorek získáme identitu.
Kvadratická rovnice s parametrem
Příklad 1. Při jakých hodnotách parametrů A , má rovnice (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 jeden kořen?
Řešení: Přímou substitucí hodnoty a=3 vidíme, že nemá řešení. Dále využijeme faktu, že s nulovým diskriminantem má rovnice jeden kořen násobnosti 2. Vypišme diskriminant 
Pojďme to zjednodušit a přirovnat k nule
Vzhledem k parametru a jsme získali kvadratickou rovnici, jejíž řešení lze snadno získat pomocí Vietovy věty. Součet odmocnin je 7 a jejich součin je 12. Jednoduchým hledáním zjistíme, že čísla 3,4 budou kořeny rovnice. Protože jsme již na začátku výpočtů odmítli řešení a=3, jediné správné bude - a=4. Pro a=4 má tedy rovnice jeden kořen.
Příklad 2. Při jakých hodnotách parametrů A , rovnice a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 má více než jeden kořen?
Řešení: Nejprve uvažujme singulární body, budou to hodnoty a=0 a a=-3. Když a=0, rovnice se zjednoduší na tvar 6x-9=0; x=3/2 a bude jeden kořen. Pro a= -3 získáme identitu 0=0.
Pojďme vypočítat diskriminant 
a najděte hodnotu a, při které je kladné 
Z první podmínky dostaneme a>3. U druhého najdeme diskriminant a kořeny rovnice 
Určeme intervaly, ve kterých funkce nabývá kladných hodnot. Dosazením bodu a=0 dostaneme 3>0
.
Takže mimo interval (-3;1/3) je funkce záporná. Nezapomeňte na pointu a=0, který by měl být vyloučen, protože to původní rovnice má jeden kořen.
Výsledkem jsou dva intervaly, které splňují podmínky problému 
Podobných úkolů bude v praxi mnoho, zkuste si na úkoly přijít sami a nezapomeňte vzít v úvahu podmínky, které se vzájemně vylučují. Dobře si prostudujte vzorce pro řešení kvadratických rovnic, které jsou často potřebné při výpočtech v různých problémech a vědách.
Diskriminant se stejně jako kvadratické rovnice začíná učit v kurzu algebry v 8. ročníku. Kvadratickou rovnici můžete vyřešit pomocí diskriminantu a pomocí Vietovy věty. Metodu studia kvadratických rovnic, ale i diskriminačních vzorců, učí školáci spíše neúspěšně, jako mnoho věcí v reálném školství. Proto procházejí školní léta, vzdělávání v ročnících 9-11 nahrazuje " vysokoškolské vzdělání"a všichni se znovu dívají - "Jak vyřešit kvadratickou rovnici?", "Jak najít kořeny rovnice?", "Jak najít diskriminant?" A...
Diskriminační vzorec
Diskriminant D kvadratické rovnice a*x^2+bx+c=0 je roven D=b^2–4*a*c.
Kořeny (řešení) kvadratické rovnice závisí na znaménku diskriminantu (D):
D>0 – rovnice má 2 různé reálné kořeny;
D=0 - rovnice má 1 kořen (2 odpovídající kořeny):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Vzorec pro výpočet diskriminantu je poměrně jednoduchý, takže mnoho webových stránek nabízí online diskriminační kalkulačku. Na tento druh skriptů jsme ještě nepřišli, takže pokud někdo ví, jak to implementovat, napište nám e-mailem Tato e-mailová adresa je chráněna před spamboty. Pro její zobrazení musíte mít povolený JavaScript. .
Obecný vzorec pro hledání kořenů kvadratické rovnice:
Kořeny rovnice najdeme pomocí vzorce 
Pokud je koeficient druhé mocniny párovaný, pak je vhodné počítat nikoli diskriminant, ale jeho čtvrtou část
V takových případech se kořeny rovnice najdou pomocí vzorce 
Druhým způsobem, jak najít kořeny, je Vietův teorém.
Věta je formulována nejen pro kvadratické rovnice, ale i pro polynomy. To si můžete přečíst na Wikipedii nebo jiných elektronických zdrojích. Pro zjednodušení však uvažujme část, která se týká výše uvedených kvadratických rovnic, tedy rovnice tvaru (a=1)
Podstatou Vietových vzorců je, že součet kořenů rovnice se rovná koeficientu proměnné, brané s opačným znaménkem. Součin kořenů rovnice se rovná volnému členu. Vietův teorém lze zapsat do vzorců.
Odvození Vietova vzorce je celkem jednoduché. Pojďme napsat kvadratickou rovnici pomocí jednoduchých faktorů 
Jak vidíte, vše důmyslné je zároveň jednoduché. Je efektivní použít Vietův vzorec, když je rozdíl v modulech kořenů nebo rozdíl v modulech kořenů 1, 2. Například následující rovnice podle Vietovy věty mají kořeny
Až do rovnice 4 by analýza měla vypadat takto. Součin kořenů rovnice je 6, kořeny tedy mohou být hodnoty (1, 6) a (2, 3) nebo dvojice s opačnými znaménky. Součet odmocnin je 7 (koeficient proměnné s opačným znaménkem). Odtud vyvozujeme, že řešení kvadratické rovnice jsou x=2; x=3.
Je snazší vybrat kořeny rovnice mezi děliteli volného členu a upravit jejich znaménko tak, aby byly splněny vzorce Vieta. Zpočátku se to zdá obtížné, ale s praxí na řadě kvadratických rovnic se tato technika ukáže jako efektivnější než výpočet diskriminantu a hledání kořenů kvadratické rovnice klasickým způsobem.
Jak vidíte, školní teorie studia diskriminantu a metody hledání řešení rovnice postrádají praktický význam - "Proč školáci potřebují kvadratickou rovnici?", "Jaký je fyzikální význam diskriminantu?"
Zkusme na to přijít Co popisuje diskriminant?
V předmětu algebra studují funkce, schémata pro studium funkcí a sestavení grafu funkcí. Ze všech funkcí zaujímá důležité místo parabola, jejíž rovnici lze zapsat ve tvaru 
Takže fyzikálním významem kvadratické rovnice jsou nuly paraboly, tedy průsečíky grafu funkce s osou úsečky Ox
Žádám vás, abyste si zapamatovali vlastnosti parabol, které jsou popsány níže. Přijde čas dělat zkoušky, testy nebo přijímací zkoušky a vy budete vděční za referenční materiál. Znaménko druhé mocniny odpovídá tomu, zda větve paraboly na grafu půjdou nahoru (a>0),
nebo parabola s větvemi dolů (a<0)
.
Vrchol paraboly leží uprostřed mezi kořeny
Fyzický význam diskriminantu:
Pokud je diskriminant větší než nula (D>0), má parabola dva průsečíky s osou Ox. 
Pokud je diskriminant nulový (D=0), pak se parabola ve vrcholu dotýká osy x. 
A poslední případ, kdy je diskriminant menší než nula (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
