Znamení při násobení záporných čísel. Násobení čísel různými znaménky, pravidly, příklady

Nyní se zabývejme násobení a dělení.

Řekněme, že potřebujeme vynásobit +3 -4. Jak to udělat?

Vezměme si takový případ. Tři lidé jsou zadluženi a každý má dluh 4 dolary. Jaký je celkový dluh? Abyste jej našli, musíte sečíst všechny tři dluhy: 4 dolary + 4 dolary + 4 dolary = 12 dolarů. Rozhodli jsme se, že součet tří čísel 4 se označí jako 3x4. Protože v v tomto případě mluvíme o dluhu, před 4 je znak „-“. Víme, že celkový dluh je 12 USD, takže náš problém se nyní stává 3x(-4)=-12.

Stejný výsledek dostaneme, pokud má podle problému každý ze čtyř lidí dluh 3 dolary. Jinými slovy, (+4)x(-3)=-12. A protože na pořadí faktorů nezáleží, dostáváme (-4)x(+3)=-12 a (+4)x(-3)=-12.

Pojďme si shrnout výsledky. Když vynásobíte jedno kladné číslo a jedno záporné číslo, výsledkem bude vždy záporné číslo. Číselná hodnota odpovědi bude stejná jako v případě kladných čísel. Produkt (+4)x(+3)=+12. Přítomnost znaménka „-“ ovlivňuje pouze znaménko, ale neovlivňuje číselnou hodnotu.

Jak vynásobit dvě záporná čísla?

Bohužel je velmi těžké na toto téma vymyslet vhodný příklad ze života. Je snadné si představit dluh 3 nebo 4 dolary, ale je naprosto nemožné si představit -4 nebo -3 lidi, kteří se zadlužili.

Možná půjdeme jinou cestou. Při násobení, kdy se změní znaménko jednoho z faktorů, se změní znaménko součinu. Pokud změníme znaménka obou faktorů, musíme se změnit dvakrát pracovní značka, nejprve z pozitivního na negativní, a pak naopak, z negativního na pozitivní, to znamená, že produkt bude mít počáteční znaménko.

Proto je celkem logické, i když trochu zvláštní, že (-3) x (-4) = +12.

Pozice znamení po vynásobení se to změní takto:

• kladné číslo x kladné číslo = kladné číslo;
• záporné číslo x kladné číslo = záporné číslo;
• kladné číslo x záporné číslo = záporné číslo;
• záporné číslo x záporné číslo = kladné číslo.

Jinými slovy, vynásobením dvou čísel se stejnými znaménky dostaneme kladné číslo. Násobení dvou čísel pomocí různá znamení, dostaneme záporné číslo.

Stejné pravidlo platí pro děj opačný k násobení – pro.

Můžete si to snadno ověřit spuštěním operace inverzního násobení. Pokud v každém z výše uvedených příkladů vynásobíte podíl dělitelem, dostanete dividendu a ujistěte se, že má stejné znaménko, například (-3)x(-4)=(+12).

Protože se blíží zima, je čas přemýšlet o tom, do čeho přezout boty svého železného koně, abyste na ledě neuklouzli a cítili se na ledě sebevědomě. zimní silnice. Pneumatiky Yokohama můžete koupit například na webu: mvo.ru nebo nějaké jiné, hlavní je, že jsou kvalitní, více informací a ceny se dozvíte na webu Mvo.ru.

Vzdělávací:

• pěstounská činnost;

Typ lekce

Zařízení:

1. Projektor a počítač.

Plán lekce

1.Organizační moment

2. Aktualizace znalostí

3. Matematický diktát

4. Provedení testu

5. Řešení úloh

6. Shrnutí lekce

7. Domácí práce.

Během vyučování

1. Organizační moment

Dnes budeme pokračovat v práci na násobení a dělení kladných a záporných čísel. Úkolem každého z vás je přijít na to, jak toto téma zvládl, a případně doladit to, co se ještě úplně nedaří. Navíc se dozvíte spoustu zajímavostí o prvním jarním měsíci – březnu. (Snímek 1)

2. Aktualizace znalostí.

3x=27; -5 x = -45; x:(2,5)=5.

3. Matematický diktát(snímek 6.7)

Možnost 1

Možnost 2

4. Spuštění testu ( snímek 8)

Odpovědět : Martius

5.Řešení cvičení

(Snímky 10 až 19)

4. března -

2) yx(-2,5)=-15

březen, 6

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13. března

5) -29,12: (-2,08)

14. března

6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)

7) -81,6:48×(-10)

17. března

8) 7,15×(-4): (-1,3)

22. března

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30. března

6. Shrnutí lekce

7. Domácí úkol:

Zobrazení obsahu dokumentu
„Násobení a dělení čísel různými znaménky“

Téma lekce: "Násobení a dělení čísel s různými znaménky."

Cíle lekce: opakování probrané látky na téma „Násobení a dělení čísel s různými znaménky“, procvičování dovedností používat operace násobení a dělení kladného čísla záporným číslem a naopak, stejně jako záporného čísla záporné číslo.

Cíle lekce:

Vzdělávací:

Konsolidace pravidel na toto téma;

Formování dovedností a schopností pracovat s operacemi násobení a dělení čísel s různými znaménky.

Vzdělávací:

Rozvoj kognitivního zájmu;

Rozvoj logické myšlení, paměť, pozornost;

Vzdělávací:

pěstounská činnost;

Vštěpování dovedností studentům samostatná práce;

Pěstovat lásku k přírodě, podněcovat zájem o lidová znamení.

Typ lekce. Lekce-opakování a zobecnění.

Zařízení:

Projektor a počítač.

Plán lekce

1.Organizační moment

2. Aktualizace znalostí

3. Matematický diktát

4. Provedení testu

5. Řešení úloh

6. Shrnutí lekce

7. Domácí úkol.

Během vyučování

1. Organizační moment

Ahoj hoši! Co jsme dělali v předchozích lekcích? (Násobení a dělení racionální čísla.)

Dnes budeme pokračovat v práci na násobení a dělení kladných a záporných čísel. Úkolem každého z vás je přijít na to, jak toto téma zvládl, a případně doladit to, co se ještě úplně nedaří. Navíc se dozvíte spoustu zajímavostí o prvním jarním měsíci – březnu. (Snímek 1)

2. Aktualizace znalostí.

Projděte si pravidla pro násobení a dělení kladných a záporných čísel.

Odvolání mnemotechnické pravidlo. (Snímek 2)

Proveďte násobení: (snímek 3)

5x3; 9x(-4); -10x(-8); 36x(-0,1); -20 x 0,5; -13×(-0,2).

2. Proveďte rozdělení: (snímek 4)

48:(-8); -24: (-2); -200:4; -4,9:7; -8,4: (-7); 15:(- 0,3).

3. Vyřešte rovnici: (snímek 5)

3x=27; -5 x = -45; x:(2,5)=5.

3. Matematický diktát(snímek 6.7)

Možnost 1

Možnost 2

Studenti si vymění sešity, vyplní test a dají známku.

4. Spuštění testu ( snímek 8)

Kdysi dávno na Rusi se roky počítaly od 1. března, od začátku zemědělského jara, od první jarní kapky. Březen byl „startérem“ roku. Název měsíce „březen“ pochází od Římanů. Tento měsíc pojmenovali po jednom ze svých bohů, test vám pomůže zjistit, o jakého boha se jedná.

Odpovědět : Martius

Římané pojmenovali jeden měsíc v roce Martius na počest boha války Marse. V Rusu bylo toto jméno zjednodušeno tím, že se vzala pouze první čtyři písmena (Snímek 9).

Lidé říkají: "Březen je nevěrný, někdy pláče, někdy se směje." S březnem je spojeno mnoho lidových znamení. Některé z jejích dnů mají svá vlastní jména. Pojďme si nyní všichni společně sestavit lidovou měsíční knížku na březen.

5.Řešení cvičení

Studenti u tabule řeší příklady, jejichž odpověďmi jsou dny v měsíci. Na tabuli se objeví příklad a poté den v měsíci s názvem a lidové znamení.

(Snímky 10 až 19)

4. března - Arkhip. Na Arkhipu měly ženy strávit celý den v kuchyni. Čím více jídla připraví, tím bohatší bude dům.

2) yx(-2,5)=-15

březen, 6- Timofey-jaro. Pokud je v den Timofeyho sníh, sklizeň je na jaro.

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13. března- Vasilij tvůrce kapek: kape ze střech. Hnízdí ptáci a stěhovaví ptáci létají z teplých míst.

5) -29,12: (-2,08)

14. března- Evdokia (Břečťan Avdotya) - sníh se nálevem zploští. Druhé jarní setkání (první na Setkání). Jak je Evdokia, takové je léto. Evdokia je červená - a jaro je červené; sníh na Evdokia - na sklizeň.

6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)

7) -81,6:48×(-10)

17. března- Gerasim Rooker přinesl věže. Věžovky se slétají na ornou půdu, a pokud přiletí přímo na svá hnízda, bude přátelské jaro.

8) 7,15×(-4): (-1,3)

22. března- Straky - den se rovná noci. Zima končí, začíná jaro, přilétají skřivani. Podle prastarého zvyku se z těsta pečou skřivani a brodivci.

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30. března- Alexey je teplý. Voda pochází z hor a ryby pocházejí z tábora (ze zimní chaty). Ať jsou v tento den potoky jakékoli (velké či malé), taková je i niva (záplava).

6. Shrnutí lekce

Kluci, líbila se vám dnešní lekce? Co nového jste se dnes naučili? Co jsme opakovali? Navrhuji, abyste si na duben připravili vlastní měsíčník. Musíte najít znamení dubna a vytvořit příklady s odpověďmi odpovídajícími dni v měsíci.

7. Domácí úkol: str. 218 č. 1174, 1179(1) (snímek 20)

V tomto článku se budeme zabývat násobení čísel různými znaménky. Zde nejprve zformulujeme pravidlo pro násobení kladných a záporných čísel, zdůvodníme jej a poté zvážíme aplikaci tohoto pravidla při řešení příkladů.

Navigace na stránce.

Pravidlo pro násobení čísel různými znaménky

Násobení kladného čísla záporným číslem, stejně jako záporného čísla kladným číslem, se provádí následovně: pravidlo pro násobení čísel různými znaménky: pro násobení čísel s různými znaménky je třeba násobit a před výsledný součin dát znaménko mínus.

Pojďme to napsat toto pravidlo ve formě dopisu. Pro každé kladné reálné číslo a a jakékoli záporné reálné číslo −b je rovnost a·(−b)=−(|a|·|b|) , a také pro záporné číslo −a a kladné číslo b rovnost (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Pravidlo pro násobení čísel různými znaménky je plně v souladu s vlastnosti operací s reálnými čísly. Na jejich základě je totiž snadné ukázat, že pro reálná a kladná čísla a a b existuje řetězec rovností tvaru a·(-b)+a·b=a·((-b)+b)=a·0=0, což dokazuje, že a·(−b) a a·b jsou opačná čísla, což implikuje rovnost a·(−b)=−(a·b) . A z toho vyplývá platnost dotyčného pravidla násobení.

Je třeba poznamenat, že uvedené pravidlo pro násobení čísel s různými znaménky platí jak pro reálná čísla, tak pro racionální čísla a pro celá čísla. Vyplývá to ze skutečnosti, že operace s racionálními a celými čísly mají stejné vlastnosti, jaké byly použity ve výše uvedeném důkazu.

Je jasné, že násobení čísel s různými znaménky podle výsledného pravidla vede k násobení kladných čísel.

Zbývá pouze zvážit příklady použití pravidla rozloženého násobení při násobení čísel s různými znaménky.

Příklady násobení čísel různými znaménky

Podívejme se na několik řešení příklady násobení čísel různými znaménky. Začněme jednoduchým případem, abychom se zaměřili spíše na kroky pravidla než na výpočetní složitost.

Příklad.

Vynásobte záporné číslo -4 kladným číslem 5.

Řešení.

Podle pravidla pro násobení čísel s různými znaménky musíme nejprve vynásobit absolutní hodnoty původních faktorů. Modul −4 je 4 a modul 5 je 5 a vynásobením přirozených čísel 4 a 5 dostaneme 20. Nakonec zbývá dát před výsledné číslo znaménko mínus, máme −20. Tím je násobení dokončeno.

Stručně řečeno, řešení lze zapsat následovně: (−4)·5=−(4·5)=−20.

Odpovědět:

(-4)·5=-20.

Při násobení zlomková čísla s různými znaménky musíte umět násobit obyčejné zlomky, násobit desetinná místa a jejich kombinace s přirozenými a smíšenými čísly.

Příklad.

Vynásobte čísla s různými znaménky 0, (2) a .

Řešení.

Převedením periodického desetinného zlomku na běžný zlomek a také převodem ze smíšeného čísla na nesprávný zlomek z původního produktu přijdeme k produktu obyčejné zlomky s různými znaky formy. Tento součin se podle pravidla násobení čísel s různými znaménky rovná . Zbývá jen vynásobit obyčejné zlomky v závorkách, máme .

Cíle lekce:

Vzdělávací:

• formulování pravidel pro násobení čísel se stejnými a různými znaménky;
• zvládnutí a zdokonalení dovedností násobení čísel s různými znaménky.

Vzdělávací:

• vývoj mentálních operací: srovnání, zobecnění, analýza, analogie;
• rozvoj dovedností samostatné práce;
• rozšiřování obzorů studentů.

Vzdělávací:

• podpora kultury uchovávání záznamů;
• výchova k odpovědnosti, pozornosti;
• vzbudit zájem o předmět.

Typ lekce: učení nového materiálu.

Zařízení: počítač, multimediální projektor, karty do hry „Mathematical Combat“, testy, karty znalostí.

Plakáty na stěnách:

• Znalosti jsou tím nejskvělejším majetkem. Všichni se o to snaží, ale nepřichází to samo.
  Al-Biruni
• Ve všem se chci dostat k samotné podstatě...
  B. Pasternak

Plán lekce

1. Organizační moment (1 min).
2. Úvodní slovo vyučujícího (3 min).
3. Ústní práce (10 min).
4. Prezentace materiálu (15 min).
5. Matematický řetězec (5 min).
6. Domácí úkol (2 min).
7. Test (6 min).
8. Shrnutí lekce (3 min).

Během vyučování

I. Organizační moment

připravenost studentů na hodinu.

II. Úvodní řeč učitele

Kluci, dnes jsme se s vámi setkali ne nadarmo, ale pro plodnou práci: získávání znalostí.

Od té doby, co vesmír existuje,
Není nikdo, kdo by nepotřeboval znalosti.
Ať už si zvolíme jakýkoli jazyk a věk,
Člověk vždy toužil po vědění...
Rudaki

Ve třídě se budeme učit nový materiál, upevněte to, pracujte samostatně, hodnoťte sebe i své spolubojovníky. Každý má na stole vědomostní kartu, ve které je naše lekce rozdělena na etapy. Do této karty zapíšete body, které získáte v různých fázích lekce. A na konci lekce to shrneme. Umístěte tyto karty na viditelné místo.

III. Ústní práce (ve formě hry „Matematický boj“)

Chlapi, než přejdeme k novému tématu, zopakujme si, co jsme se dříve naučili. Každý má na stole list papíru s hrou „Mathematical Combat“. Svislé a vodorovné sloupce obsahují čísla, která je třeba přidat. Tato čísla jsou označena tečkami. Odpovědi zapíšeme do těch buněk na poli, kde jsou tečky.

Tři minuty na dokončení. Začali jsme pracovat.

Nyní jsme si vyměnili díla se sousedem na stole a vzájemně je zkontrolovali. Pokud si myslíte, že odpověď není správná, pak ji pečlivě přeškrtněte a napište vedle ní správnou. Pojďme zkontrolovat.

Nyní zkontrolujeme odpovědi na obrazovce ( Správné odpovědi se promítají na plátno).

Za správně vyřešené

5 úkolů je hodnoceno 5 body;
4 úkoly – 4 body;
3 úkoly – 3 body;
2 úkoly – 2 body;
1 úkol – 1 bod.

Výborně. Všechno dali stranou. Kluci, pojďme zadat počet bodů získaných za „Matematickou bitvu“ do našich karet znalostí ( Příloha 1).

IV. Prezentace materiálu

Otevřete sešity. Napište číslo, skvělá práce.

• Jaké operace s kladnými a zápornými čísly znáte?
• Jak sečíst dvě záporná čísla?
• Jak sečíst dvě čísla s různými znaménky?
• Jak odečíst čísla s různými znaménky?
• Vždy používáte slovo „modul“. Jaký je modul čísla? A?

S obsluhou čísel různých znamének souvisí i dnešní téma lekce. Bylo to ale schované v přesmyčce, ve které je potřeba prohodit písmena a získat známé slovo. Zkusme na to přijít.

ENOZHEUMNI

Zapíšeme si téma lekce: „Násobení“.

Účel naší lekce: seznámit se s násobením kladných a záporných čísel a formulovat pravidla pro násobení čísel se stejnými i různými znaménky.

Veškerá pozornost k desce. Před vámi je tabulka s problémy, jejichž řešením zformulujeme pravidla pro násobení kladných a záporných čísel.

1. 2 x 3 = 6 °C;
2. –2*3 = –6°С;
3. –2*(–3) = 6°С;
4. 2*(–3) = –6°С;

1. Teplota vzduchu stoupá každou hodinu o 2°C. Nyní teploměr ukazuje 0°C ( Dodatek 2- teploměr) (snímek 1 na počítači).

• kolik jsi dostal?(6 ° S).
• Řešení někdo napíše na tabuli a všichni jsme v sešitech.
• Podívejme se na teploměr, dostali jsme správnou odpověď? (snímek 2 na počítači).

2. Teplota vzduchu klesá každou hodinu o 2°C. Teploměr nyní ukazuje 0°C (snímek 3 na počítači). Jakou teplotu vzduchu ukáže teploměr po 3 hodinách?

• kolik jsi dostal?(–6 ° S).
• Odpovídající řešení zapisujeme na tabuli a do sešitů. Analogie s úkolem 1.
• .(snímek 4 na počítači).

3. Teplota vzduchu klesá každou hodinu o 2°C. Teploměr nyní ukazuje 0°C (snímek 5 na počítači).

• kolik jsi dostal?(6 ° S).
• Odpovídající řešení zapisujeme na tabuli a do sešitů. Analogie s úkoly 1 a 2.
• Porovnejme výsledek s údaji teploměru.(snímek 6 na počítači).

4. Teplota vzduchu stoupá každou hodinu o 2°C. Teploměr nyní ukazuje 0°C (snímek 7 na počítači). Jakou teplotu vzduchu ukazoval teploměr před 3 hodinami?

• kolik jsi dostal?(–6 ° S).
• Odpovídající řešení zapisujeme na tabuli a do sešitů. Analogie s úkoly 1-3.
• Porovnejme výsledek s údaji teploměru.(snímek 8 na počítači).

Podívejte se na své výsledky. Při násobení čísel se stejnými znaménky (příklady 1 a 3), jaké znaménko jste dostali odpověď? (pozitivní).

Pokuta. Ale v příkladu 3 jsou oba faktory záporné a odpověď je kladná. Jaký matematický koncept vám umožňuje přejít ze záporných čísel na kladná? (modul).

Pravidlo pozor: Chcete-li vynásobit dvě čísla se stejnými znaménky, musíte vynásobit jejich absolutní hodnoty a před výsledek umístit znaménko plus. (2 lidé opakují).

Vraťme se k příkladu 3. Čemu se rovnají moduly (–2) a (–3)? Pojďme tyto moduly vynásobit. kolik jsi dostal? S jakým znamením?

Při násobení čísel různými znaménky (příklady 2 a 4), jaké znaménko jste dostali odpověď? (negativní).

Vytvořte si vlastní pravidla pro násobení čísel různými znaménky.

Pravidlo: Při násobení čísel různými znaménky je třeba vynásobit jejich moduly a před výsledek dát znaménko mínus. (2 lidé opakují).

Vraťme se k příkladu č. 2 a č. 4. Jaká je velikost jejich faktorů? Pojďme tyto moduly vynásobit. kolik jsi dostal? Jaké znamení by se mělo dát jako výsledek?

Pomocí těchto dvou pravidel můžete také násobit zlomky: desetinné, smíšené, obyčejné.

Na tabuli před vámi je několik příkladů. O třech rozhodneme společně se mnou a zbytek sami. Věnujte pozornost nahrávce a designu.

Výborně. Otevřeme učebnice a označme si pravidla, která je třeba se naučit do další hodiny (str. 190, §7 (bod 35)). Znalost těchto pravidel vám v budoucnu pomůže rychle zvládnout dělení kladných a záporných čísel.

V. Matematický řetězec

A teď chce Dunno zkontrolovat, jak jste se naučili nový materiál, a položí vám několik otázek. Řešení a odpovědi si musíme zapsat do sešitů ( Dodatek 3– matematický řetězec).

Počítačová prezentace
Ahoj hoši. Vidím, že jsi velmi chytrý a zvídavý, a tak se tě chci zeptat na pár otázek. Buďte opatrní, zvláště u značek.
Moje první otázka zní: vynásobte (–3) (–13).
Druhá otázka: vynásobte to, co jste získali v prvním úkolu (–0,1).
Třetí otázka: vynásobte výsledek druhé úlohy číslem (–2).
Čtvrtá otázka: vynásobte (-1/3) výsledkem třetí úlohy.
A poslední, pátá otázka: vypočítejte bod tuhnutí rtuti tak, že výsledek čtvrté úlohy vynásobíte 15.
Díky za práci. Přeji ti úspěch.

Kluci, pojďme zkontrolovat, jak jsme splnili úkoly. Všichni vstali.

Kolik jsi dostal za první úkol?

Kdo má jinou odpověď, sedněte si a kdo si sedne, tomu dáváme 0 bodů za matematický řetězec na kartě vědomostního záznamu. Zbytek nedává nic.

Kolik jsi dostal za druhý úkol?

Pokud máte jinou odpověď, posaďte se a přidejte si 1 bod na kartu znalostí za matematický řetězec.

Kolik jste dostali ve třetím úkolu?

Pro ty, kteří mají jinou odpověď, si sedněte a přidejte si 2 body do své vědomostní karty za matematický řetězec.

Kolik jste dostali ve čtvrtém úkolu?

Pro ty, kteří mají jinou odpověď, si sedněte a přidejte si 3 body do své vědomostní karty za matematický řetězec.

Kolik jste dostali v pátém úkolu?

Pro ty, kteří mají jinou odpověď, si sedněte a přidejte si 4 body do své vědomostní karty za matematický řetězec. Zbývající kluci vyřešili všech 5 úkolů správně. Posaďte se, dáte si 5 bodů za matematický řetězec na kartě se záznamem znalostí.

Jaký je bod tuhnutí rtuti?(–39 °C).

VI. Domácí práce

§7 (35. kapitola, str. 190), č. 1121 – učebnice: Matematika. 6. třída: [N.Ya.Vilenkin a další]

Kreativní úkol: Napište úlohu o násobení kladných a záporných čísel.

VII. Test

Přejděme k další fázi lekce: provedení testu ( Dodatek 4).

Je potřeba vyřešit úkoly a zakroužkovat číslo správné odpovědi. Za první dva správně splněné úkoly získáte 1 bod, za 3. úkol - 2 body, za 4. úkol - 3 body. Začali jsme pracovat.

Δ –1 bod;
o –2 body;
– 3 body.

Nyní si zapišme čísla správných odpovědí do tabulky pod testem. Zkontrolujeme výsledky. V prázdných buňkách byste měli dostat číslo 1418 (píšu na tabuli). Kdo ji obdržel, připíše si 7 bodů na vědomostní kartu. Kdo chyboval, zapsal do kartičky vědomostí počet bodů pouze za správně splněné úkoly.

Velká Velká válka trvala přesně 1418 dní. Vlastenecká válka, vítězství, ve kterém ruský lid přišel za vysokou cenu. A 9. května 2010 oslavíme 65. výročí Vítězství nad nacistickým Německem.

VIII. Shrnutí lekce

Teď pojďme počítat celkový Body, které jste za lekci získali, a výsledky budou zapsány do karty se záznamem znalostí studenta. Pak rozdáme tyto karty.

15 – 17 bodů – skóre „5“;
10 – 14 bodů – skóre „4“;
méně než 10 bodů – skóre „3“.

Kdo dostal „5“, „4“, „3“, zvedněte ruce.

• Jaké téma jsme dnes probírali?
• Jak násobit čísla se stejnými znaménky; s různými znaky?

Naše lekce tedy skončila. Chci vám poděkovat za vaši práci v této lekci.

Tato lekce se zabývá násobením a dělením racionálních čísel.

Obsah lekce

Násobení racionálních čísel

Pravidla pro násobení celých čísel platí i pro racionální čísla. Jinými slovy, abyste násobili racionální čísla, musíte to umět

Také potřebujete znát základní zákony násobení, jako jsou: komutativní zákon násobení, asociativní zákon násobení, distributivní zákon násobení a násobení nulou.

Příklad 1. Najděte hodnotu výrazu

Jedná se o násobení racionálních čísel s různými znaménky. Chcete-li vynásobit racionální čísla různými znaménky, musíte vynásobit jejich moduly a před výslednou odpověď dát mínus.

Abychom jasně viděli, že máme co do činění s čísly, která mají různá znaménka, uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky.

Modul čísla je roven , a modul čísla je roven . Po vynásobení výsledných modulů kladnými zlomky jsme dostali odpověď, ale před odpovědí jsme dali mínus, jak to od nás vyžadovalo pravidlo. Aby bylo zajištěno toto mínus před odpovědí, bylo násobení modulů provedeno v závorce, kterému předcházelo mínus.

Krátké řešení vypadá takto:

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu

Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu

Toto je násobení záporných racionálních čísel. Chcete-li vynásobit záporná racionální čísla, musíte vynásobit jejich moduly a před výslednou odpověď dát plus

Řešení tohoto příkladu lze stručně napsat:

Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu

Řešení tohoto příkladu lze stručně napsat:

Příklad 5. Najděte hodnotu výrazu

Jedná se o násobení racionálních čísel s různými znaménky. Vynásobme moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dáme mínus

Krátké řešení bude vypadat mnohem jednodušeji:

Příklad 6. Najděte hodnotu výrazu

Převeďme smíšené číslo na nesprávný zlomek. Zbytek přepíšeme tak, jak je

Získali jsme násobení racionálních čísel s různými znaménky. Vynásobme moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dáme mínus. Záznam s moduly lze přeskočit, aby výraz nepřeplňoval

Řešení tohoto příkladu lze napsat stručně

Příklad 7. Najděte hodnotu výrazu

Jedná se o násobení racionálních čísel s různými znaménky. Vynásobme moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dáme mínus

Nejprve se odpověď ukázala jako nesprávný zlomek, ale zvýraznili jsme v ní celou část. Všimněte si, že celá část byl oddělen od frakčního modulu. Výsledné smíšené číslo bylo uzavřeno v závorkách, před kterými bylo znaménko mínus. To se provádí, aby se zajistilo splnění požadavku pravidla. A pravidlo vyžadovalo, aby obdržené odpovědi předcházelo mínus.

Řešení tohoto příkladu lze stručně napsat:

Příklad 8. Najděte hodnotu výrazu

Nejprve vynásobme a a vynásobme výsledné číslo zbývajícím číslem 5. Přeskočíme záznam s moduly, abychom výraz nepřetěžovali.

Odpovědět: hodnota výrazu rovná se -2.

Příklad 9. Najděte význam výrazu:

Převedeme smíšená čísla na nesprávné zlomky:

Dostali jsme násobení záporných racionálních čísel. Vynásobme moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dáme plus. Záznam s moduly lze přeskočit, aby výraz nepřeplňoval

Příklad 10. Najděte hodnotu výrazu

Výraz se skládá z několika faktorů. Podle asociativního zákona násobení, pokud se výraz skládá z několika faktorů, pak součin nebude záviset na pořadí akcí. To nám umožňuje vyhodnotit daný výraz v libovolném pořadí.

Nevynalézejme znovu kolo, ale spočítejme tento výraz zleva doprava v pořadí faktorů. Přeskočme položku s moduly, abychom výraz nepřeplňovali

Třetí akce:

Čtvrtá akce:

Odpovědět: hodnota výrazu je

Příklad 11. Najděte hodnotu výrazu

Připomeňme si zákon násobení nulou. Tento zákon říká, že součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule.

V našem příkladu je jeden z faktorů roven nule, takže bez ztráty času odpovíme, že hodnota výrazu je rovna nule:

Příklad 12. Najděte hodnotu výrazu

Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule.

V našem příkladu je jeden z faktorů roven nule, takže bez ztráty času odpovíme, že hodnota výrazu rovná se nule:

Příklad 13. Najděte hodnotu výrazu

Můžete použít pořadí akcí a nejprve vypočítat výraz v závorkách a výslednou odpověď vynásobit zlomkem.

Můžete také použít distributivní zákon násobení - vynásobte každý člen součtu zlomkem a sečtěte výsledné výsledky. Tuto metodu použijeme.

Podle pořadí operací, pokud výraz obsahuje sčítání a násobení, musí být násobení provedeno jako první. Proto ve výsledném novém výrazu dejte do závorek ty parametry, které je třeba vynásobit. Tímto způsobem můžeme jasně vidět, které akce provést dříve a které později:

Třetí akce:

Odpovědět: hodnota výrazu rovná se

Řešení tohoto příkladu lze napsat mnohem stručněji. Bude to vypadat takto:

Je jasné, že tento příklad by se dal vyřešit i v mysli. Proto byste měli rozvíjet dovednost analyzovat výraz před jeho vyřešením. Je pravděpodobné, že se to dá psychicky vyřešit a ušetřit spoustu času a nervů. A v testech a zkouškách, jak víte, je čas velmi cenný.

Příklad 14. Najděte hodnotu výrazu −4,2 × 3,2

Jedná se o násobení racionálních čísel s různými znaménky. Vynásobme moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dáme mínus

Všimněte si, jak byly násobeny moduly racionálních čísel. V tomto případě bylo k vynásobení modulů racionálních čísel zapotřebí .

Příklad 15. Najděte hodnotu výrazu −0,15 × 4

Jedná se o násobení racionálních čísel s různými znaménky. Vynásobme moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dáme mínus

Všimněte si, jak byly násobeny moduly racionálních čísel. V tomto případě k vynásobení modulů racionálních čísel bylo nutné umět.

Příklad 16. Najděte hodnotu výrazu −4,2 × (−7,5)

Toto je násobení záporných racionálních čísel. Vynásobme moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dáme plus

Dělení racionálních čísel

Pravidla pro dělení celých čísel platí i pro racionální čísla. Jinými slovy, abyste mohli dělit racionální čísla, musíte to umět

Jinak se používají stejné metody pro dělení obyčejných a desetinných zlomků. Chcete-li vydělit společný zlomek jiným zlomkem, musíte vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou druhého zlomku.

A rozdělit desetinný na jiný desetinný zlomek, je potřeba posunout desetinnou čárku v dělenci a v děliteli doprava o tolik číslic, kolik je za desetinnou čárkou v děliteli, pak provést dělení jako u běžného čísla.

Příklad 1. Najděte význam výrazu:

Jedná se o dělení racionálních čísel s různými znaménky. Chcete-li vypočítat takový výraz, musíte vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou druhého.

Vynásobme tedy první zlomek převrácenou hodnotou druhého.

Získali jsme násobení racionálních čísel s různými znaménky. A už víme, jak takové výrazy vypočítat. Chcete-li to provést, musíte vynásobit moduly těchto racionálních čísel a dát před výslednou odpověď mínus.

Dokončeme tento příklad až do konce. Záznam s moduly lze přeskočit, aby výraz nepřeplňoval

Takže hodnota výrazu je

Podrobné řešení je následující:

Krátké řešení by vypadalo takto:

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu

Jedná se o dělení racionálních čísel s různými znaménky. Chcete-li vypočítat tento výraz, musíte vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou druhého.

Převrácená hodnota druhého zlomku je zlomek . Vynásobme jím první zlomek:

Krátké řešení by vypadalo takto:

Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu

Jedná se o dělení záporných racionálních čísel. Pro výpočet tohoto výrazu je opět potřeba vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou druhého.

Převrácená hodnota druhého zlomku je zlomek . Vynásobme jím první zlomek:

Dostali jsme násobení záporných racionálních čísel. Jak se takový výraz počítá, už víme. Je třeba vynásobit moduly racionálních čísel a před výslednou odpověď dát plus.

Dokončeme tento příklad až do konce. Položku s moduly můžete přeskočit, abyste výraz nezaplnili:

Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu

Chcete-li vypočítat tento výraz, musíte vynásobit první číslo −3 převráceným zlomkem .

Inverzní ke zlomku je zlomek . Vynásobte jím první číslo −3

Příklad 6. Najděte hodnotu výrazu

Chcete-li vypočítat tento výraz, musíte vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou 4.

Převrácená hodnota čísla 4 je zlomek. Vynásobte jím první zlomek

Příklad 5. Najděte hodnotu výrazu

Chcete-li vypočítat tento výraz, musíte vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou −3

Inverzní k −3 je zlomek. Vynásobme jím první zlomek:

Příklad 6. Najděte hodnotu výrazu −14,4: 1,8

Jedná se o dělení racionálních čísel s různými znaménky. Pro výpočet tohoto výrazu je potřeba vydělit modul dělitele modulem dělitele a před výslednou odpověď dát mínus.

Všimněte si, jak byl modul dividendy rozdělen modulem dělitele. V tomto případě, aby to bylo správně, bylo nutné umět.

Pokud si nechcete zahrávat s desetinnými čísly (a to se stává často), pak s těmito, pak tato smíšená čísla převeďte na nesprávné zlomky a poté proveďte samotné dělení.

Vypočítejme předchozí výraz −14,4: 1,8 tímto způsobem. Převedeme desetinná místa na smíšená čísla:

Nyní převedeme výsledná smíšená čísla na nesprávné zlomky:

Nyní můžete dělit přímo, konkrétně dělit zlomek zlomkem. Chcete-li to provést, musíte vynásobit první zlomek převráceným zlomkem druhého:

Příklad 7. Najděte hodnotu výrazu

Převeďme desetinný zlomek −2,06 na nesprávný zlomek a vynásobme tento zlomek převrácenou hodnotou druhého zlomku:

Vícepatrové zlomky

Často se můžete setkat s výrazem, ve kterém je dělení zlomků zapsáno pomocí zlomkové čáry. Výraz lze zapsat například takto:

Jaký je rozdíl mezi výrazy a ? Opravdu v tom není žádný rozdíl. Tyto dva výrazy mají stejný význam a můžeme mezi ně vložit rovnítko:

V prvním případě je dělením dvojtečka a výraz se píše na jeden řádek. V druhém případě se dělení zlomků zapisuje pomocí zlomkové čáry. Výsledkem je zlomek, se kterým lidé souhlasí, že zavolají vícepodlažní.

Když narazíte na takové vícepatrové výrazy, musíte použít stejná pravidla pro dělení obyčejných zlomků. První zlomek musí být vynásoben převrácenou hodnotou druhého.

Je krajně nepohodlné používat takové zlomky v řešení, takže je můžete psát ve srozumitelné podobě pomocí dvojtečky místo lomítka jako dělení.

Zapišme si například vícepatrový zlomek ve srozumitelné podobě. Chcete-li to provést, musíte nejprve zjistit, kde je první zlomek a kde je druhý, protože ne vždy je možné to udělat správně. Vícepatrové zlomky mají několik zlomkových čar, které mohou být matoucí. Hlavní zlomková čára, která odděluje první zlomek od druhého, je obvykle delší než zbytek.

Po určení hlavní zlomkové čáry můžete snadno pochopit, kde je první zlomek a kde je druhý:

Příklad 2

Najdeme hlavní zlomkovou čáru (je nejdelší) a uvidíme, že celé číslo −3 je děleno společným zlomkem

A pokud bychom omylem vzali druhou zlomkovou čáru jako hlavní (tu, která je kratší), pak by se ukázalo, že dělíme zlomek celým číslem 5. V tomto případě, i když je tento výraz vypočítán správně, problém bude vyřešen nesprávně, protože dělenec v tomto V tomto případě je číslo −3 a dělitel je zlomek .

Příklad 3 Víceúrovňový zlomek zapišme srozumitelnou formou

Najdeme hlavní zlomkovou čáru (je nejdelší) a uvidíme, že zlomek je dělen celým číslem 2

A pokud bychom omylem vzali první zlomkovou čáru jako úvodní (tu kratší), tak by to dopadlo tak, že dělíme zlomkem celé číslo −5.V tomto případě, i když je tento výraz spočítán správně, problém bude vyřešen nesprávně, protože dělenec je v tomto případě zlomek a dělitel je celé číslo 2.

Přesto, že se s víceúrovňovými zlomky pracuje nepohodlně, setkáme se s nimi velmi často, zejména při studiu vyšší matematiky.

Převést vícepatrový zlomek do srozumitelné podoby přirozeně vyžaduje další čas a prostor. Proto můžete použít více rychlá metoda. Tato metoda je pohodlná a výstup umožňuje získat hotový výraz, ve kterém byl první zlomek již vynásoben převráceným zlomkem druhého.

Tato metoda je implementována následovně:

Je-li zlomek například čtyřpatrový, pak se číslo umístěné v prvním patře zvedne do nejvyššího patra. A postava umístěná ve druhém patře je zvýšena do třetího patra. Výsledná čísla musí být spojena znaménkem násobení (×)

V důsledku toho, vynecháním středního zápisu, získáme nový výraz, ve kterém byl první zlomek již vynásoben převráceným zlomkem druhého. Pohodlí a je to!

Aby se předešlo chybám při používání tato metoda, můžete se řídit následujícím pravidlem:

Od prvního do čtvrtého. Od druhého do třetího.

Pravidlo se vztahuje na podlahy. Postava z prvního patra musí být zvýšena do čtvrtého patra. A postavu z druhého patra je potřeba zvednout do třetího patra.

Zkusme vypočítat vícepatrový zlomek pomocí výše uvedeného pravidla.

Zvedneme tedy číslo umístěné v prvním patře do čtvrtého patra a číslo umístěné ve druhém patře zvýšíme na třetí patro

V důsledku toho, vynecháním středního zápisu, získáme nový výraz, ve kterém byl první zlomek již vynásoben převráceným zlomkem druhého. Dále můžete využít své stávající znalosti:

Zkusme vypočítat víceúrovňový zlomek pomocí nového schématu.

Je zde pouze první, druhé a čtvrté patro. Neexistuje žádné třetí patro. Ale nevybočujeme ze základního schématu: zvedáme postavu z prvního patra do čtvrtého patra. A protože není žádné třetí patro, necháme číslo umístěné ve druhém patře tak, jak je

Výsledkem bylo, že jsme obešli střední notaci a dostali jsme nový výraz, ve kterém bylo první číslo −3 již vynásobeno převráceným zlomkem druhého. Dále můžete využít své stávající znalosti:

Zkusme vypočítat vícepatrový zlomek pomocí nového schématu.

Je zde pouze druhé, třetí a čtvrté patro. Není zde žádné první patro. Protože není první patro, není co stoupat do čtvrtého patra, ale můžeme postavu zvednout z druhého patra do třetího:

Výsledkem bylo, že jsme obešli střední zápis a dostali jsme nový výraz, ve kterém byl první zlomek již vynásoben inverzí dělitele. Dále můžete využít své stávající znalosti:

Použití proměnných

Pokud je výraz složitý a zdá se vám, že vás bude v procesu řešení problému mást, pak lze část výrazu vložit do proměnné a následně s touto proměnnou pracovat.

Matematici to často dělají. Složitý problém je rozdělen na jednodušší dílčí úkoly a vyřešen. Poté se vyřešené dílčí úkoly shromáždí do jednoho jediného celku. To je kreativní proces a člověk se to za ta léta tvrdým tréninkem naučí.

Použití proměnných je opodstatněné při práci s víceúrovňovými zlomky. Například:

Najděte hodnotu výrazu

Takže v čitateli a ve jmenovateli je zlomkový výraz, jehož zlomkové výrazy jsou. Čili opět jsme postaveni před mnohapatrový zlomek, který se nám tolik nelíbí.

Výraz v čitateli lze zadat do proměnné s libovolným názvem, například:

Ale v matematice je v takovém případě zvykem pojmenovávat proměnné pomocí velkých latinských písmen. Neporušme tuto tradici a označme první výraz velkým Latinské písmeno A

A výraz ve jmenovateli lze označit velkým písmenem B

Nyní má náš původní výraz formu . To znamená, že jsme číselný výraz nahradili písmenem jedna, když jsme předtím zadali čitatel a jmenovatel do proměnných A a B.

Nyní můžeme samostatně vypočítat hodnoty proměnné A a hodnotu proměnné B. Hotové hodnoty vložíme do výrazu.

Pojďme najít hodnotu proměnné A

Pojďme najít hodnotu proměnné B

Nyní dosadíme jejich hodnoty do hlavního výrazu místo proměnných A a B:

Získali jsme vícepatrový zlomek, ve kterém můžeme použít schéma „z prvního do čtvrtého, z druhého do třetího“, to znamená zvýšit číslo umístěné v prvním patře do čtvrtého patra a zvýšit číslo se nachází ve druhém patře až třetím patře. Další výpočty nebudou obtížné:

Hodnota výrazu je tedy −1.

Samozřejmě jsme zvažovali nejjednodušší příklad, ale naším cílem bylo naučit se, jak můžeme pomocí proměnných usnadnit práci a minimalizovat chyby.

Všimněte si také, že řešení pro tento příklad lze napsat bez použití proměnných. Bude to vypadat

Toto řešení je rychlejší a kratší a v tomto případě má větší smysl ho takto zapsat, ale pokud se výraz ukáže jako složitý, skládající se z několika parametrů, závorek, odmocnin a mocnin, je vhodné jej vypočítat v několik fází, zadáváním části jeho výrazů do proměnných.

Líbila se vám lekce?
Připojte se k našim nová skupina VKontakte a začněte dostávat oznámení o nových lekcích