Potom a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Přidáním nuly se číslo nezmění, ale součet opačných čísel je nula.
To znamená, že pro jakékoli racionální číslo platí: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Násobení racionálních čísel má také komutativní a asociativní vlastnosti. Jinými slovy, jestliže a, b a c jsou jakákoli racionální čísla, pak ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Násobením 1 se nezmění racionální číslo, ale součin čísla a jeho inverze je roven 1.
To znamená, že pro jakékoli racionální číslo a máme:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a-12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Po zvolení vhodného postupu výpočtu najděte hodnotu výrazu:
1191. Slovně formulujte komutativní vlastnost násobení ab = ba a zkontrolujte ji, když:
1192. Formulujte slovy asociativní vlastnost násobení a(bc)=(ab)c a zkontrolujte ji, když:
1193. Výběrem vhodného pořadí výpočtu najděte hodnotu výrazu:
1194. Jaké číslo dostanete (kladné nebo záporné), když vynásobíte:
a) jedno záporné číslo a dvě kladná čísla;
b) dvě záporná a jedno kladné číslo;
c) 7 záporných a několik kladných čísel;
d) 20 záporných a několik kladných? Dojít k závěru.
1195. Určete znaménko součinu:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) B tělocvična Shromáždili se Vitya, Kolya, Petya, Seryozha a Maxim (obr. 91, a). Ukázalo se, že každý z chlapců znal jen dva další. kdo ví koho? (Okraj grafu znamená "známe se.")
b) Bratři a sestry jedné rodiny jdou po dvoře. Které z těchto dětí jsou chlapci a které dívky (obr. 91, b)? (Tečkované okraje grafu znamenají „Jsem sestra“ a plné okraje znamenají „Jsem bratr.“)
1205. Vypočítejte:
1206. Srovnej:
a) 23 a 32; b) (-2) 3 a (-3) 2; c) 13 a 12; d) (-1) 3 a (-1) 2.
1207. Zaokrouhlení 5,2853 na tisíciny; před setiny; až desetiny; až jednotek.
1208. Vyřešte problém:
1) Motocyklista dohoní cyklistu. Nyní je mezi nimi 23,4 km. Rychlost motocyklisty je 3,6krát vyšší než rychlost cyklisty. Zjistěte rychlosti cyklisty a motocyklisty, pokud je známo, že motocyklista cyklistu za hodinu dožene.
2) Auto dobíhá autobus. Nyní je mezi nimi 18 km. Rychlost autobusu je stejná jako rychlost osobního automobilu. Najděte rychlosti autobusu a auta, pokud je známo, že auto dožene autobus za hodinu.
1209. Najděte význam výrazu:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Zkontrolujte své výpočty pomocí mikro kalkulačka.
1210. Po zvolení vhodného postupu výpočtu najděte hodnotu výrazu: 
1211. Zjednodušte výraz:
1212. Najděte význam výrazu:
1213. Postupujte takto:
1214. Studenti dostali za úkol posbírat 2,5 tuny kovového odpadu. Sesbírali 3,2 tuny kovového odpadu. Na jaké procento žáci úkol splnili a na jaké procento úkol překonali?
1215. Auto najeto 240 km. Z toho 180 km šla po polní cestě a zbytek po dálnici. Spotřeba benzínu na každých 10 km venkovské silnice byla 1,6 litru a na dálnici - o 25% méně. Kolik litrů benzínu bylo průměrně spotřebováno na každých 10 km jízdy?
1216. Při výjezdu z obce si cyklista všiml chodce na mostě jdoucího stejným směrem a po 12 minutách ho dostihl. Najděte rychlost chodce, je-li rychlost cyklisty 15 km/h a vzdálenost z obce k mostu je 1 km 800 m?
1217. Postupujte takto:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42 + 4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Lidé, jak víte, se s racionálními čísly seznamovali postupně. Nejprve při počítání předmětů vznikala přirozená čísla. Zpočátku jich bylo málo. Až donedávna měli domorodci na ostrovech v Torresově průlivu (oddělujícím Novou Guineu od Austrálie) ve svém jazyce názvy pouze dvou čísel: „urapun“ (jedna) a „okaz“ (dvě). Ostrované počítali takto: „Okaza-urapun“ (tři), „Okaza-Okaza“ (čtyři) atd. Domorodci nazývali všechna čísla, počínaje sedmi, se slovem znamenajícím „mnoho“.
Vědci se domnívají, že slovo pro stovky se objevilo před více než 7 000 lety, před tisíci - 6 000 lety a před 5 000 lety v Starověký Egypt a dovnitř Starověký Babylon jména se objevují pro obrovská čísla – až milion. Ale po dlouhou dobu byla přirozená řada čísel považována za konečnou: lidé si mysleli, že existuje největší číslo.
Největší starověký řecký matematik a fyzik Archimedes (287-212 př. n. l.) přišel na způsob, jak popsat obrovská čísla. Největší číslo, které Archimedes dokázal vyjmenovat, bylo tak velké, že pro něj digitální záznam byla by potřeba stuha dvatisíckrát delší, než je vzdálenost od Země ke Slunci.
Tak obrovská čísla ale ještě nedokázali zapsat. To se stalo možným až poté, co indičtí matematici v 6. století. Číslo nula bylo vynalezeno a začalo označovat nepřítomnost jednotek na desetinných místech čísla.
Při dělení kořisti a později při měření hodnot a v dalších podobných případech se lidé setkávali s nutností zavést „lomená čísla“ - běžné zlomky. Nejvíce byly považovány operace na zlomcích ve středověku komplexní oblast matematika. Němci dodnes o člověku, který se ocitl v těžké situaci, říkají, že se „rozpadl na zlomky“.
Aby se usnadnila práce se zlomky, byla vynalezena desetinná čísla zlomky. V Evropě je představil v X585 holandský matematik a inženýr Simon Stevin.
Záporná čísla se objevila později než zlomky. Na dlouhou dobu taková čísla byla považována za „neexistující“, „nepravdivá“ především proto, že přijímaná interpretace pro pozitivní a záporná čísla„majetek - dluh“ vedlo ke zmatku: můžete přidat nebo odečíst „majetek“ nebo „dluh“, ale jak rozumět součinu nebo podílu „majetek“ a „dluhu“?
Navzdory takovým pochybnostem a zmatkům však byla ve 3. století navržena pravidla pro násobení a dělení kladných a záporných čísel. řecký matematik Diophantus (ve tvaru: „Co je odečteno, násobeno tím, co je přidáno, dává subtrahend; co je odečteno subtrahendem, dává to, co je přidáno“ atd.), a později indický matematik Bhaskar (XII. století) vyjádřil stejná pravidla v pojmech „majetek“, „dluh“ („Součinem dvou majetku nebo dvou dluhů je majetek; součinem majetku a dluhu je dluh.“ Stejné pravidlo platí pro rozdělení).
Bylo zjištěno, že vlastnosti operací na záporných číslech jsou stejné jako na kladných číslech (např. sčítání a násobení mají komutativní vlastnost). A konečně, od začátku minulého století se záporná čísla rovnala kladným číslům.
Později se v matematice objevila nová čísla – iracionální, komplexní a další. Učíte se o nich na střední škole.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Shvartburd, V.I. Zhokhov, Matematika pro 6. ročník, Učebnice pro střední školy
Knihy a učebnice podle kalendářového plánu pro matematiku 6. třídy ke stažení, nápověda pro školáky online
Pojem čísel odkazuje na abstrakce, které charakterizují objekt z kvantitativního hlediska. I v primitivní společnosti měli lidé potřebu předměty počítat, a tak se objevily číselné zápisy. Později se staly základem matematiky jako vědy.
Abychom mohli pracovat s matematickými pojmy, je nutné si nejprve představit, jaká čísla existují. Existuje několik hlavních typů čísel. Tento:
1. Přirozené - ty, které získáme při číslování objektů (jejich přirozené počítání). Jejich soubor je označen N.
2. Celá čísla (jejich množinu označujeme písmenem Z). To zahrnuje přirozená čísla, jejich protiklady, záporná celá čísla a nulu.
3. Racionální čísla (písmeno Q). Jsou to ty, které lze znázornit zlomkem, jehož čitatel je roven celému číslu a jmenovatel je roven přirozenému číslu. Všechny jsou celistvé a klasifikované jako racionální.
4. Skutečné (označují se písmenem R). Zahrnují racionální a iracionální čísla. Čísla získaná z racionálních čísel podle různé operace(výpočet logaritmu, extrahování kořene), které samy o sobě nejsou racionální.
Jakákoli z uvedených množin je tedy podmnožinou následujících. Tato práce je ilustrována schématem v podobě tzv. Eulerovy kruhy. Design se skládá z několika soustředných oválů, z nichž každý je umístěn uvnitř druhého. Vnitřní nejmenší ovál (plocha) označuje sadu přirozená čísla. Je zcela obsažený a zahrnuje oblast symbolizující množinu celých čísel, která je naopak obsažena v oblasti racionálních čísel. Vnější, největší ovál, který zahrnuje všechny ostatní, označuje pole
V tomto článku se podíváme na množinu racionálních čísel, jejich vlastnosti a vlastnosti. Jak již bylo zmíněno, patří k nim všechna existující čísla (kladná i záporná a nula). Racionální čísla tvoří nekonečnou řadu s následujícími vlastnostmi:
Tato množina je uspořádaná, to znamená, že když vezmeme libovolnou dvojici čísel z této řady, můžeme vždy zjistit, které z nich je větší;
Vezmeme-li libovolnou dvojici takových čísel, můžeme mezi ně vždy umístit alespoň jedno další a následně celou řadu - racionální čísla tedy představují nekonečnou řadu;
Všechny čtyři aritmetické operace s takovými čísly jsou možné, jejich výsledkem je vždy určité číslo (i racionální); výjimkou je dělení 0 (nulou) - to není možné;
Jakákoli racionální čísla mohou být reprezentována jako desetinné zlomky. Tyto zlomky mohou být buď konečné, nebo nekonečně periodické.
Chcete-li porovnat dvě čísla patřící do racionální množiny, musíte si pamatovat:
Jakékoli kladné číslo větší než nula;
Jakékoli záporné číslo je vždy menší než nula;
Při porovnávání dvou záporných racionálních čísel je větší to, jehož absolutní hodnota (modul) je menší.
Jak se provádějí operace s racionálními čísly?
Chcete-li přidat dvě taková čísla, která mají stejné znaménko, musíte sečíst jejich absolutní hodnoty a umístit je před součet obecné znamení. Chcete-li přidat čísla s různá znamení jeden by měl odečíst menší od větší hodnoty a dát znaménko toho, jehož absolutní hodnota je větší.
K odečtení jednoho racionálního čísla od druhého stačí k prvnímu číslu přidat opak druhého. Chcete-li vynásobit dvě čísla, musíte vynásobit jejich hodnoty absolutní hodnoty. Získaný výsledek bude kladný, pokud faktory mají stejné znaménko, a záporný, pokud se liší.
Dělení se provádí podobným způsobem, to znamená, že je nalezen kvocient absolutních hodnot a před výsledkem je znaménko „+“, pokud se znaménka děliče a dělitele shodují, a znaménko „-“, pokud neshodují se.
Mocniny racionálních čísel vypadají jako součiny několika faktorů, které jsou si navzájem rovné.
Tento článek poskytuje přehled vlastnosti operací s racionálními čísly. Nejprve jsou oznámeny základní vlastnosti, na kterých jsou založeny všechny ostatní vlastnosti. Poté jsou uvedeny některé další často používané vlastnosti operací s racionálními čísly.
Navigace na stránce.
Pojďme seznam základní vlastnosti operací s racionálními čísly(a, b a c jsou libovolná racionální čísla):
- Komutativní vlastnost sčítání a+b=b+a.
- Kombinační vlastnost sčítání (a+b)+c=a+(b+c) .
- Existence neutrálního prvku sčítáním - nula, jejíž sčítání s libovolným číslem toto číslo nezmění, tedy a+0=a.
- Pro každé racionální číslo a existuje opačné číslo −a takové, že a+(−a)=0.
- Komutativní vlastnost násobení racionálních čísel a·b=b·a.
- Kombinační vlastnost násobení (a·b)·c=a·(b·c) .
- Existence neutrálního prvku pro násobení je jednotka, násobení, kterým žádné číslo toto číslo nemění, tedy a·1=a.
- Pro každé nenulové racionální číslo a existuje inverzní číslo a −1 takové, že a·a −1 =1 .
- Konečně, sčítání a násobení racionálních čísel souvisí distributivní vlastností násobení vzhledem k sčítání: a·(b+c)=a·b+a·c.
Uvedené vlastnosti operací s racionálními čísly jsou základní, protože z nich lze získat všechny ostatní vlastnosti.
Další důležité vlastnosti
Kromě devíti uvedených základních vlastností operací s racionálními čísly existuje řada velmi široce používaných vlastností. Dejme jim krátká recenze.
Začněme vlastností, která se zapisuje pomocí písmen jako a·(−b)=−(a·b) nebo na základě komutativní vlastnosti násobení jako (−a) b=−(a b). Z této vlastnosti přímo vyplývá pravidlo pro násobení racionálních čísel s různými znaménky, jehož důkaz je také uveden v tomto článku. Tato vlastnost vysvětluje pravidlo „plus vynásobený mínusem je mínus a mínus vynásobený plus je mínus“.
Zde je následující vlastnost: (-a)·(-b)=a·b. Z toho plyne pravidlo pro násobení záporných racionálních čísel, v tomto článku najdete i důkaz výše uvedené rovnosti. Tato vlastnost odpovídá pravidlu násobení „mínus krát mínus je plus“.
Nepochybně stojí za to zaměřit se na násobení libovolného racionálního čísla a nulou: a·0=0 nebo 0 a=0. Pojďme dokázat tuto vlastnost. Víme, že 0=d+(−d) pro libovolné racionální d, pak a·0=a·(d+(−d)) . Distribuční vlastnost umožňuje výsledný výraz přepsat jako a·d+a·(−d) , a protože a·(−d)=−(a·d) , pak a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Došli jsme tedy k součtu dvou opačných čísel rovných a·d a −(a·d), jejichž součet dává nulu, což dokazuje rovnost a·0=0.
Je snadné si všimnout, že výše jsme uvedli pouze vlastnosti sčítání a násobení, zatímco o vlastnostech odčítání a dělení nepadlo ani slovo. To je způsobeno skutečností, že na množině racionálních čísel jsou akce odčítání a dělení specifikovány jako inverzní sčítání a násobení. To znamená, že rozdíl a−b je součtem a+(−b) a kvocient a:b je součin a·b−1 (b≠0).
Vzhledem k těmto definicím odčítání a dělení, stejně jako základním vlastnostem sčítání a násobení, můžete dokázat jakékoli vlastnosti operací s racionálními čísly.
Jako příklad dokažme distribuční vlastnost násobení vzhledem k odčítání: a·(b−c)=a·b−a·c. Platí následující řetězec rovnosti: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, což je důkaz.
Autorská práva chytrých studentů
Všechna práva vyhrazena.
Chráněno autorským zákonem. Žádná část www.stránky, včetně interních materiálů a vnější design, nesmí být v žádné formě reprodukovány ani používány bez předchozího písemného souhlasu držitele autorských práv.
Tato lekce se zabývá sčítáním a odčítáním racionálních čísel. Téma je klasifikováno jako komplexní. Zde je nutné využít celý arzenál dříve nabytých znalostí.
Pravidla pro sčítání a odečítání celých čísel platí i pro racionální čísla. Připomeňme, že racionální čísla jsou čísla, která lze znázornit jako zlomek, kde a – toto je čitatel zlomku, b je jmenovatel zlomku. přičemž b by neměla být nula.
V této lekci budeme stále častěji nazývat zlomky a smíšená čísla jednou běžnou frází - racionální čísla.
Navigace v lekci:Příklad 1 Najděte význam výrazu:
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky. Bereme v úvahu, že plus uvedené ve výrazu je znaménko operace a neplatí pro zlomek. Tento zlomek má své vlastní znaménko plus, které je neviditelné, protože se nezapisuje. Ale pro přehlednost si to napíšeme:
Jedná se o sčítání racionálních čísel s různými znaménky. Chcete-li sečíst racionální čísla s různými znaménky, musíte odečíst menší modul od většího modulu a před výslednou odpověď vložit znaménko racionálního čísla, jehož modul je větší. A abyste pochopili, který modul je větší a který menší, musíte být schopni porovnat moduly těchto zlomků před jejich výpočtem:
Modul racionálního čísla je větší než modul racionálního čísla. Proto jsme odečetli od . Dostali jsme odpověď. Poté, když jsme tento zlomek zmenšili o 2, dostali jsme konečnou odpověď.
Některé primitivní akce, jako je vkládání čísel do hranatých závorek a přidávání modulů, lze přeskočit. Tento příklad lze napsat stručně:
Příklad 2 Najděte význam výrazu:
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky. Bereme v úvahu, že mínus mezi racionálními čísly je znakem operace a neplatí pro zlomek. Tento zlomek má své vlastní znaménko plus, které je neviditelné, protože se nezapisuje. Ale pro přehlednost si to napíšeme:
Odčítání nahradíme sčítáním. Připomeňme vám, že k tomu musíte přidat k minuendu číslo opačné k subtrahendu:
Získali jsme sčítání záporných racionálních čísel. Chcete-li přidat záporná racionální čísla, musíte přidat jejich moduly a před výslednou odpověď dát mínus:
Poznámka. Není nutné uzavírat každé racionální číslo do závorek. To se provádí pro pohodlí, aby bylo jasné, která znaménka mají racionální čísla.
Příklad 3 Najděte význam výrazu:
V tomto výrazu mají zlomky různé jmenovatele. Abychom si usnadnili náš úkol, zredukujme tyto zlomky na společného jmenovatele. Nebudeme se podrobně zabývat tím, jak to udělat. Pokud se setkáte s obtížemi, nezapomeňte lekci zopakovat.
Po zmenšení zlomků na společného jmenovatele bude mít výraz následující tvar:
Jedná se o sčítání racionálních čísel s různými znaménky. Od většího modulu odečteme menší modul a před výslednou odpověď vložíme znaménko racionálního čísla, jehož modul je větší:
Pojďme si stručně zapsat řešení tohoto příkladu:
Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu
Vypočítejme tento výraz následovně: sečtěte racionální čísla a poté racionální číslo odečtěte od výsledného výsledku. 
První akce:
Druhá akce:
Příklad 5. Najděte význam výrazu:
Představme celé číslo −1 jako zlomek a smíšené číslo převedeme na nesprávný zlomek:
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky:
Získali jsme sčítání racionálních čísel s různými znaménky. Od většího modulu odečteme menší modul a před výslednou odpověď vložíme znaménko racionálního čísla, jehož modul je větší:
Dostali jsme odpověď.
Existuje druhé řešení. Spočívá ve skládání celých dílů samostatně.
Vraťme se tedy k původnímu výrazu:
Uzavřeme každé číslo do závorek. K tomu je smíšené číslo dočasné:
Pojďme vypočítat části celého čísla:
(−1) + (+2) = 1
V hlavním výrazu místo (−1) + (+2) zapíšeme výslednou jednotku:
Výsledný výraz je . Chcete-li to provést, napište jednotku a zlomek dohromady:
Zapišme řešení takto stručněji:
Příklad 6. Najděte hodnotu výrazu
Převeďme smíšené číslo na nesprávný zlomek. Zbytek přepíšeme beze změny:
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky:
Nahradíme odčítání sčítáním:
Pojďme si stručně zapsat řešení tohoto příkladu:
Příklad 7. Najděte hodnotu výrazu
Představme si celé číslo −5 jako zlomek a smíšené číslo převeďme na nesprávný zlomek:
Přiveďme tyto zlomky ke společnému jmenovateli. Poté, co budou redukovány na společného jmenovatele, budou mít následující podobu:
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky:
Nahradíme odčítání sčítáním:
Získali jsme sčítání záporných racionálních čísel. Sečtěte moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dejte mínus:
Hodnota výrazu je tedy .
Vyřešme tento příklad druhým způsobem. Vraťme se k původnímu výrazu:
Zapišme smíšené číslo v rozšířeném tvaru. Zbytek přepíšeme beze změn:
Každé racionální číslo uzavřeme do závorek spolu s jeho znaménky:
Pojďme vypočítat části celého čísla:
V hlavním výrazu místo psaní výsledného čísla −7
Výraz je rozšířená forma zápisu smíšeného čísla. Číslo −7 a zlomek zapíšeme dohromady, abychom vytvořili konečnou odpověď:
Napišme toto řešení stručně:
Příklad 8. Najděte hodnotu výrazu
Každé racionální číslo uzavřeme do závorek spolu s jeho znaménky:
Nahradíme odčítání sčítáním:
Získali jsme sčítání záporných racionálních čísel. Sečtěte moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dejte mínus:
Takže hodnota výrazu je
Tento příklad lze vyřešit druhým způsobem. Skládá se ze samostatného přidávání celých a dílčích částí. Vraťme se k původnímu výrazu:
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky:
Nahradíme odčítání sčítáním:
Získali jsme sčítání záporných racionálních čísel. Sečteme moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dáme mínus. Tentokrát ale sečteme celé části (−1 a −2), zlomkové i
Napišme toto řešení stručně:
Příklad 9. Najděte výrazy 
Převedeme smíšená čísla na nesprávné zlomky:
Racionální číslo uzavřeme do závorek spolu s jeho znaménkem. Není třeba dávat racionální číslo do závorek, protože je již v závorce:
Získali jsme sčítání záporných racionálních čísel. Sečtěte moduly těchto čísel a před výslednou odpověď dejte mínus:
Takže hodnota výrazu je
Nyní zkusme vyřešit stejný příklad druhým způsobem, a to přidáním celých čísel a zlomkové části odděleně.
Tentokrát, abychom získali krátké řešení, zkusme přeskočit některé kroky, jako je psaní smíšeného čísla v rozšířeném tvaru a nahrazení odčítání sčítáním:
Upozorňujeme, že zlomkové části byly zredukovány na společného jmenovatele.
Příklad 10. Najděte hodnotu výrazu 
Nahradíme odčítání sčítáním:
Výsledný výraz neobsahuje záporná čísla, která jsou hlavním důvodem chyb. A protože neexistují žádná záporná čísla, můžeme odstranit plus před subtrahendem a také odstranit závorky:
Výsledkem je jednoduchý výraz, který lze snadno vypočítat. Spočítejme si to jakýmkoli způsobem, který nám vyhovuje:
Příklad 11. Najděte hodnotu výrazu
Jedná se o sčítání racionálních čísel s různými znaménky. Odečteme menší modul od většího modulu a před výslednou odpověď vložíme znaménko racionálního čísla, jehož modul je větší:
Příklad 12. Najděte hodnotu výrazu 
Výraz se skládá z několika racionálních čísel. Podle toho musíte nejprve provést kroky v závorkách.
Nejprve vypočítáme výraz, poté sečteme získané výsledky.
První akce:
Druhá akce:
Třetí akce:
Odpovědět: hodnota výrazu rovná se
Příklad 13. Najděte hodnotu výrazu 
Převedeme smíšená čísla na nesprávné zlomky:
Uveďme racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménkem. Není třeba dávat racionální číslo do závorek, protože je již v závorce:
Přiveďme tyto zlomky ke společnému jmenovateli. Poté, co budou redukovány na společného jmenovatele, budou mít následující podobu:
Nahradíme odčítání sčítáním:
Získali jsme sčítání racionálních čísel s různými znaménky. Odečteme menší modul od většího modulu a před výslednou odpověď vložíme znaménko racionálního čísla, jehož modul je větší:
Tedy význam výrazu rovná se
Podívejme se na sčítání a odčítání desetinných míst, což jsou také racionální čísla a mohou být kladná nebo záporná.
Příklad 14. Najděte hodnotu výrazu −3,2 + 4,3
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky. Bereme v úvahu, že plus uvedené ve výrazu je znaménko operace a neplatí pro desetinný zlomek 4.3. Tento desetinný zlomek má své vlastní znaménko plus, které je neviditelné, protože se nezapisuje. Ale pro přehlednost si to napíšeme:
(−3,2) + (+4,3)
Jedná se o sčítání racionálních čísel s různými znaménky. Chcete-li sečíst racionální čísla s různými znaménky, musíte odečíst menší modul od většího modulu a před výslednou odpověď zadat racionální číslo, jehož modul je větší. A abyste pochopili, který modul je větší a který menší, musíte být schopni porovnat moduly těchto desetinných zlomků před jejich výpočtem:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Modul čísla 4,3 je větší než modul čísla −3,2, proto jsme od 4,3 odečetli 3,2. Odpověď jsme dostali 1.1. Odpověď je kladná, protože odpovědi musí předcházet znaménko racionálního čísla, jehož modul je větší. A modul čísla 4,3 je větší než modul čísla −3,2
Hodnota výrazu −3,2 + (+4,3) je tedy 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Příklad 15. Najděte hodnotu výrazu 3,5 + (-8,3)
Jedná se o sčítání racionálních čísel s různými znaménky. Stejně jako v předchozím příkladu odečteme menší od většího modulu a před odpověď vložíme znaménko racionálního čísla, jehož modul je větší:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Hodnota výrazu 3,5 + (−8,3) je tedy −4,8
Tento příklad lze napsat stručně:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Příklad 16. Najděte hodnotu výrazu −7,2 + (−3,11)
Jedná se o sčítání záporných racionálních čísel. Chcete-li přidat záporná racionální čísla, musíte přidat jejich moduly a před výslednou odpověď dát mínus.
Položku s moduly můžete přeskočit, abyste výraz nezaplnili:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Hodnota výrazu −7,2 + (−3,11) je tedy −10,31
Tento příklad lze napsat stručně:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Příklad 17. Najděte hodnotu výrazu −0,48 + (−2,7)
Jedná se o sčítání záporných racionálních čísel. Sečteme jejich moduly a před výslednou odpověď dáme mínus. Položku s moduly můžete přeskočit, abyste výraz nezaplnili:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Příklad 18. Najděte hodnotu výrazu −4,9 − 5,9
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky. Bereme v úvahu, že mínus, které se nachází mezi racionálními čísly −4,9 a 5,9, je znakem operace a nepatří k číslu 5,9. Toto racionální číslo má své vlastní znaménko plus, které je neviditelné díky tomu, že se nezapisuje. Ale pro přehlednost si to napíšeme:
(−4,9) − (+5,9)
Nahradíme odčítání sčítáním:
(−4,9) + (−5,9)
Získali jsme sčítání záporných racionálních čísel. Přidejme jejich moduly a před výslednou odpověď dáme mínus:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Hodnota výrazu −4,9 − 5,9 je tedy −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Příklad 19. Najděte hodnotu výrazu 7 − 9.3
Uveďme každé číslo do závorek spolu s jeho znaménky.
(+7) − (+9,3)
Odčítání nahradíme sčítáním
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Hodnota výrazu 7 − 9,3 je tedy −2,3
Pojďme si stručně zapsat řešení tohoto příkladu:
7 − 9,3 = −2,3
Příklad 20. Najděte hodnotu výrazu −0,25 − (−1,2)
Nahradíme odčítání sčítáním:
−0,25 + (+1,2)
Získali jsme sčítání racionálních čísel s různými znaménky. Odečteme menší modul od většího modulu a před odpověď dáme znaménko čísla, jehož modul je větší:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Pojďme si stručně zapsat řešení tohoto příkladu:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Příklad 21. Najděte hodnotu výrazu −3,5 + (4,1 − 7,1)
Proveďme akce v závorkách a výslednou odpověď přičtěme číslem −3,5
První akce:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Druhá akce:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Odpovědět: hodnota výrazu −3,5 + (4,1 − 7,1) je −6,5.
Příklad 22. Najděte hodnotu výrazu (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Udělejme kroky v závorkách. Poté od čísla, které bylo získáno jako výsledek provedení prvních závorek, odečtěte číslo, které bylo získáno jako výsledek provedení druhých závorek:
První akce:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Druhá akce:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Třetí dějství
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Odpovědět: hodnota výrazu (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) je 6.
Příklad 23. Najděte hodnotu výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Uzavřeme každé racionální číslo do závorek spolu s jeho znaménky
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Kde je to možné, nahraďme odčítání sčítáním:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Výraz se skládá z několika pojmů. Podle kombinačního zákona sčítání, pokud se výraz skládá z několika členů, pak součet nebude záviset na pořadí akcí. To znamená, že termíny lze přidat v libovolném pořadí.
Neobjevujme znovu kolo, ale přidejte všechny výrazy zleva doprava v pořadí, v jakém se objevují:
První akce:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Druhá akce:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Třetí akce:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Odpovědět: hodnota výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 je 1.
Příklad 24. Najděte hodnotu výrazu
Pojďme přeložit desetinný−1,8 ve smíšeném počtu. Zbytek přepíšeme beze změny:
