Co je rovnice co znamená řešit rovnici. Když jsou obě strany rovnice zvýšeny na sudou mocninu, výsledkem je rovnice, která se nerovná původní

Obecně platí, že jakákoli rovnice je matematický model pohárové váhy (pákové, rovnoramenné, kolébkové - názvů je mnoho), vynalezené v starověký Babylon před 7000 lety nebo ještě dříve. Navíc si dokonce myslím, že prototypem rovnic se staly právě pohárové váhy používané v nejstarších bazarech. A pokud se na jakoukoli rovnici díváte ne jako na nesrozumitelnou sadu čísel a písmen spojených dvěma paralelními tyčemi, ale jako na váhy, pak nebudou žádné problémy se vším ostatním:

Jakákoli rovnice je jako vyvážené váhy

Stává se, že v našich životech je každým dnem více a více rovnic, ale stále méně se rozumí tomu, co rovnice je a jaký je její význam. V každém případě jsem získal tento dojem, když jsem se snažil vysvětlit své nejstarší dceři význam jednoduché matematické rovnice, jako je:

x + 2 = 8 (500.1)

Tito. ve škole samozřejmě vysvětlují, že v takových případech, aby našli X, musíte odečíst 2 z pravé strany:

x = 8-2 (500.3)

To je samozřejmě absolutně správná akce, ale proč je potřeba odčítat a ne např. sčítat nebo dělit, ve školních učebnicích vysvětlení není. Existuje pouze pravidlo, které se musíte naučit:

Když se člen rovnice přenese z jedné části do druhé, změní se její znaménko na opačné.

Jak má tomuto pravidlu rozumět desetiletý školák a jaký je jeho význam, je na vás, abyste se zamysleli a rozhodli. Navíc se ukázalo, že moji blízcí příbuzní také nikdy nepochopili význam rovnic, ale jednoduše si zapamatovali, co bylo požadováno (a výše uvedené pravidlo zvláště), a teprve potom to aplikovali, jak se Bohu zalíbilo. Tento stav se mi nelíbil, a tak jsem se rozhodl napsat tento článek (můj nejmladší roste, za pár let to bude muset vysvětlovat znovu, a to se možná bude hodit i těm pár čtenářům mého webu) .

Hned chci říct, že i když jsem na škole studoval 10 let, nikdy jsem se nenaučil žádná pravidla nebo definice související s technickými obory. Tito. když je něco jasné, tak se to bude pamatovat, ale když něco jasné není, tak jaký má smysl to cpát bez pochopení významu, když se to stejně zapomene? A navíc, když něčemu nerozumím, znamená to, že to nepotřebuji (teprve nedávno jsem si uvědomil, že když jsem něčemu ve škole nerozuměl, nebyla to moje chyba, ale chyba učitelů, učebnic a vzdělávací systémy obecně).

Tento přístup mi poskytl spoustu volného času, který v dětství tolik chyběl na nejrůznější hry a zábavu. Zároveň jsem se účastnil různých olympiád ve fyzice a chemii a dokonce jsem vyhrál jednu krajskou soutěž v matematice. Ale čas plynul, oborů pracujících s abstraktními pojmy jen přibývalo a podle toho mi klesaly známky. V prvním ročníku institutu byl počet oborů operujících s abstraktními pojmy naprostá většina a samozřejmě jsem byl úplný C student. Ale když jsem pak z mnoha důvodů musel řešit sílu materiálů bez pomoci přednášek a poznámek a tak nějak jsem to pochopil, šlo to hladce a skončilo to vyznamenáním. Nejde však nyní o to, ale o to, že vzhledem k uvedeným specifikům se moje pojmy a definice mohou výrazně lišit od těch, které se učí ve škole.

Nyní pokračujme

Nejjednodušší rovnice, analogie s měřítky

Ve skutečnosti se děti učí porovnávat různé předměty již od r předškolním věku když ještě pořádně nevědí, jak mluvit. Obvykle začínají geometrickými srovnáními. Například dítěti jsou zobrazeny dvě kostky a dítě musí určit, která kostka je větší a která menší. A pokud jsou stejné, pak je to rovnost ve velikosti. Pak se úkol zkomplikuje, dítěti jsou ukázány předměty různé formy, různé barvy a výběr stejných předmětů je pro dítě stále těžší. Nebudeme však úkol tolik komplikovat, ale zaměříme se pouze na jeden typ rovnosti – peněžní váhu.

Když jsou stupnice na stejné vodorovné úrovni (šipky na stupnici zobrazené na obrázku 500.1 v oranžové a modrý, vodorovná hladina je znázorněna černou tučnou čarou), to znamená, že na pravé misce váhy je stejné množství závaží jako na levé misce. V nejjednodušším případě to mohou být závaží o hmotnosti 1 kg:

Obrázek 500.1.

A pak dostaneme nejjednodušší rovnici 1 = 1. Tato rovnice je však jen pro mě, v matematice se takovým výrazům říká rovnost, ale podstata se nemění. Pokud odstraníme závaží z levé misky váhy a položíme na ni cokoliv, dokonce i jablka, dokonce i hřebíky, dokonce i červený kaviár, a zároveň budou váhy ve stejné horizontální úrovni, bude to stále znamenat, že 1 kg některého z uvedených produktů rovnající se 1 kg hmotnosti zbývající na pravé straně váhy. Nezbývá než tento kilogram zaplatit dle ceny stanovené prodejcem. Jiná věc je, že se vám nemusí líbit cena, nebo máte pochybnosti o přesnosti vah - to jsou ale otázky ekonomických a právních vztahů, které nemají přímý vztah k matematice.

Samozřejmě, v těch vzdálených časech, kdy se objevily pohárové váhy, bylo všechno mnohem jednodušší. Jednak neexistovala taková míra hmotnosti jako kilogram, ale existovaly peněžní jednotky odpovídající mírám hmotnosti, například talenty, šekely, libry, hřivny atd. (mimochodem, dlouho mě překvapilo, že existuje libra - peněžní jednotka a libra - míra hmotnosti, existuje hřivna - peněžní jednotka a kdysi byla hřivna mírou hmotnosti a teprve nedávno, když jsem se dozvěděl, že talent není jen peněžní jednotka staří Židé, zmínění v Starý zákon, ale také míra hmotnosti přijatá ve starověkém Babylóně, vše zapadlo na své místo).

Přesněji řečeno, zpočátku existovaly míry vah, obvykle obilí obilné plodiny a teprve potom se objevily peníze, které odpovídaly těmto mírám vah. Například 60 grainů odpovídalo jednomu šekelu, 60 šekelům odpovídalo jedné mině a 60 minám odpovídalo jednomu talentu. Ke kontrole, zda nabízené peníze nejsou padělky, se proto zpočátku používaly váhy a teprve poté se jako ekvivalent peněz objevily závaží, závaží a výpočty, elektronické váhy a plastové karty, ale to na podstatě věci nic nemění.

V oněch vzdálených dobách nemusel prodejce zdlouhavě a podrobně vysvětlovat, kolik by konkrétní produkt stál. Stačilo položit prodávaný produkt na jednu misku váhy a kupující dal peníze na druhou - je to velmi jednoduché a jasné a není nutná ani znalost místního dialektu, můžete obchodovat kdekoli na světě. Ale vraťme se k rovnicím.

Pokud vezmeme v úvahu rovnici (500.1) z pozice vah, pak to znamená, že na levé misce vah je neznámý počet kilogramů a další 2 kilogramy a na pravé misce je 8 kilogramů:

x + 2 kg, = 8 kg, (500.1.2)

Poznámka: V v tomto případě Podtržení symbolizuje spodní část stupnice, při výpočtu na papíře se tato čára může více podobat spodní části stupnice. Matematici navíc již dlouho přišli se speciálními symboly - závorkami, a tak lze jakékoli závorky považovat za strany vah, alespoň v první fázi pochopení významu rovnic. Přesto podtržítko pro větší přehlednost ponechám.

Co tedy musíme udělat, abychom zjistili neznámý počet kilogramů? Že jo! Odeberte 2 kilogramy z levé a pravé strany váhy, poté váhy zůstanou na stejné horizontální úrovni, tj. stále budeme mít rovnost:

x + 2 kg, - 2 kg = 8 kg, - 2 kg (500.2.2)

Respektive

x = 8 kg – 2 kg, (500.3.2)

x = 6 kg, (500.4.2)

Obrázek 500.2.

Matematika často nepracuje s kilogramy, ale s nějakými abstraktními bezrozměrnými jednotkami, a pak zápis řešení rovnice (500.1), například v návrhu, bude vypadat takto:

x + 2 = 8, (500.1)

x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

x = 8 - 2 , (500.3)

x = 6 (500.4)

Což se odráží na obrázku 500.2.

Poznámka: Formálně, pro ještě lepší pochopení, by po rovnici (500.2) měla následovat další rovnice ve tvaru: x + 2 - 2 = 8 - 2, což znamená, že akce skončila a máme opět co do činění s rovnovážnými miskami váhy. Takto zcela kompletní záznam rozhodnutí však dle mého názoru není potřeba.

V čistých knihách se většinou používá zkrácený zápis řešení rovnice a zkrácené jsou nejen symboly vah, které jsou podle mě v počáteční fázi studia rovnic tak potřebné, ale dokonce celé rovnice. Takže zkrácená verze řešení rovnice (500.1) v čisté verzi podle příkladů uvedených v učebnicích bude vypadat takto:

x + 2 = 8 (500.1.1)

x = 8 - 2 (500.3.1)

x = 6 (500.4)

Ve výsledku jsme analogií se stupnicemi sestavili dodatečnou rovnici (500,2) oproti té, která je navržena v učebnicích, buď metodou řešení, nebo formou zápisu tohoto řešení. Dle mého názoru se jedná o rovnici, navíc napsanou přibližně v tomto tvaru, tzn. se symbolickým označením vah - to je chybějící článek, důležitý pro pochopení významu rovnic.

Tito. Při řešení rovnic nikam nepřenášíme nic s opačným znaménkem, ale provádíme stejné matematické operace s levou a pravou stranou rovnice.

Nyní je zvykem zapisovat řešení rovnic ve zkrácené formě uvedené výše. Po rovnici (500.1.1) hned následuje rovnice (500.3.1), odtud pravidlo obrácených znamének, které je však pro mnohé snazší zapamatovat si, než se ponořit do významu rovnic.

Poznámka: Nemám nic proti zkrácené formě nahrávání, navíc. pokročilí uživatelé mohou tento formulář zkrátit ještě více, ale to by mělo být provedeno až poté, co byl jasně pochopen obecný význam rovnic.

A rozšířená notace vám umožní pochopit hlavní pravidla pro řešení rovnic:

1. Provedeme-li stejné matematické operace s levým a pravá strana rovnic, pak zůstává rovnost.

2. Nezáleží na tom, která část v uvažované rovnici je levá a která pravá, můžeme je libovolně zaměňovat.

Tyto matematické operace mohou být cokoliv. Můžeme odečíst stejné číslo z levé strany a z pravé strany, jak je uvedeno výše. Můžeme přidat stejné číslo na levou a pravou stranu rovnice, například:

x – 2 = 8, (500.5.1)

x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

x = 8 + 2 , (500.5.3)

x = 10 (500.5.4)

Obě strany můžeme vydělit nebo vynásobit stejným číslem, například:

3x, = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

x = 12 : 3 , (500.6.3)

x = 4 (500.6.4)

3x - 6 = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3x, = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

x = 6 (500.7.5)

Obě části můžeme integrovat nebo odlišit. S levou a pravou částí si můžeme dělat, co chceme, ale pokud jsou tyto akce stejné pro levou a pravou část, pak rovnost zůstane (měřítka zůstanou na stejné horizontální úrovni).

Samozřejmě je třeba zvolit akce, které vám umožní určit neznámou veličinu co nejrychleji a nejjednodušeji.

Z tohoto pohledu se klasická metoda inverzního působení zdá být jednodušší, ale co když dítě ještě nestudovalo záporná čísla? Mezitím má sestavená rovnice následující tvar:

5 - x = 3 (500.8)

Tito. Při řešení této rovnice klasickou metodou je jedno z možných řešení, které dává nejkratší zápis, následující:

- x = 3 - 5 (500.8.2)

- x = - 2 (500.8.3)

x = 2 (500.8.4)

A co je nejdůležitější, jak můžete dítěti vysvětlit, proč je rovnice (500.8.3) totožná s rovnicí (500.8.4)?

To znamená, že v tomto případě i při použití klasická metoda na zápisu nemá smysl šetřit a nejprve je potřeba se zbavit neznámé hodnoty na levé straně, která má záporné znaménko.

5 - x = 3 (500.8)

5 = 3 + x (500.8.5)

3 + x = 5 (500.8.6)

x = 5-3 (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

Celý záznam bude vypadat takto:

5 - x = 3, (500.8)

5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)

5 = 3 + x, (500.9.3)

3 + x = 5, (500.8.6)

3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

x = 5–3, (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

Ještě to přidám. Kompletní záznam řešení je potřeba ne pro učitele, ale pro lepší pochopení metody řešení rovnic. A když zaměníme levou a pravou stranu rovnice, je to, jako bychom změnili pohled na stupnici z pohledu kupujícího na pohled prodávajícího, ale rovnost zůstává stejná.

Bohužel se mi nikdy nepodařilo přimět dceru, aby řešení zapsala úplně, a to ani v konceptech. Má železný argument: "Tak nás to neučili." Mezitím se zvyšuje složitost sestavovaných rovnic, klesá procento hádání, jakou akci je třeba provést k určení neznámé veličiny, a známky klesají. Nevím co s tím...

Poznámka: v moderní matematice je zvykem rozlišovat mezi rovností a rovnicí, tzn. 1 = 1 je jen číselná rovnost, a pokud je v jedné z částí rovnosti neznámá, kterou je třeba najít, pak už se jedná o rovnici. Pokud jde o mě, takové rozlišování významů nedává moc smysl, ale pouze komplikuje vnímání materiálu. Věřím, že jakákoliv rovnost může být nazývána rovnicí a každá rovnice je založena na rovnosti. A kromě toho se nabízí otázka: x = 6, je to již rovnost nebo je to stále rovnice?

Nejjednodušší rovnice, analogie s časem

Samozřejmě analogie s měřítky při řešení rovnic není zdaleka jediná. Například řešení rovnic lze uvažovat i z časového hlediska. Pak bude podmínka popsaná rovnicí (500.1) znít takto:

Poté, co jsme přidali do neznámého množství X 2 další jednotky, nyní máme 8 jednotek (současnost). Nás však z toho či onoho důvodu nezajímá, kolik jich je, ale kolik jich bylo v minulém čase. Proto, abychom zjistili, kolik těchto stejných jednotek máme, musíme provést opačnou akci, tj. odečtěte 2 od 8 (rovnice 500.3). Tento přístup přesně odpovídá tomu, co je prezentováno v učebnicích, ale podle mého názoru není tak jasný jako analogie se stupnicemi. Názory na tuto věc se však mohou lišit.

Příklad řešení rovnice se závorkami

Tento článek jsem napsala v létě, když moje dcera maturovala ve 4. třídě, ale o necelých šest měsíců později je ve škole požádali, aby řešily rovnice následujícího tvaru:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)

Nikdo ve třídě nebyl schopen vyřešit tuto rovnici, a přesto není na jejím řešení při použití metody, kterou jsem navrhl, nic složitého, ale plná forma zápisu zabere příliš mnoho místa:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50–5x), = 100–97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x), (500.10.9)

(500.10.10)

75:3, = 50–5x, (500.10.11)

25 = 50–5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x = 50–25, (500.10.16)

5x = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 25:5, (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

Nicméně v této fázi v takové plná forma není třeba nahrávat. Protože jsme se dostali k dvojitým závorkám, není nutné vytvářet samostatnou rovnici pro matematické operace na levé a pravé straně, takže zápis řešení do konceptu může vypadat takto:

97 + 75: (50 - 5x), : 3 = 300, : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x), (500.10.9)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)

25 = 50–5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

Celkem bylo v této fázi potřeba sepsat 14 rovnic k vyřešení té původní.

V tomto případě může zápis řešení rovnice v čisté kopii vypadat takto:

97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)

75:3 = 50 - 5x (500.10.11)

25 = 50 - 5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5x = 50-25 (500.10.16)

5x = 25 500.10.17)

x = 25:5 (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

Tito. se zkrácenou formou zápisu nám ještě zbývá vytvořit 12 rovnic. Úspory při nahrávání jsou minimální, ale žák páté třídy může mít ve skutečnosti problémy s pochopením požadovaných úkonů.

P.S. Až když došlo na dvojité závorky, dceru zaujala mnou navržená metoda řešení rovnic, ale zároveň je v její písemné podobě i v návrhu stále 2x méně rovnic, protože přeskakuje konečnou rovnice jako (500.10.4), (500.10. 7) a podobně a při záznamu okamžitě ponechává prostor pro další matematická operace. V důsledku toho záznam v jejím návrhu vypadal asi takto:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

Ve výsledku jsme dostali pouze 8 rovnic, což je ještě méně, než je potřeba při zápisu řešení ve zkrácené podobě. V zásadě mi to nevadí, ale bylo by to užitečné.

To je vlastně vše, co jsem chtěl říci o řešení nejjednodušších rovnic obsahujících jednu neznámou veličinu. K řešení rovnic obsahujících dvě neznámé veličiny budete potřebovat

Poté, co jste získali obecnou představu o rovnosti a seznámili se s jedním z jejich typů - numerické rovnosti, můžete začít mluvit o jiném typu rovnosti, který je z praktického hlediska velmi důležitý - o rovnicích. V tomto článku se podíváme na co je rovnice a co se nazývá kořen rovnice. Zde uvedeme odpovídající definice a také různé příklady rovnic a jejich kořenů.

Navigace na stránce.

Co je rovnice?

Cílený úvod do rovnic obvykle začíná v hodinách matematiky na 2. stupni. V tomto okamžiku je dáno následující definice rovnice:

Definice.

Rovnice je rovnost obsahující neznámé číslo, které je třeba najít.

Neznámá čísla v rovnicích se obvykle označují pomocí malých čísel. latinská písmena, například p, t, u atd., ale nejčastěji používaná písmena jsou x, y a z.

Rovnice je tedy určena z hlediska formy zápisu. Jinými slovy, rovnost je rovnice, když se podřizuje stanoveným pravidlům psaní – obsahuje písmeno, jehož hodnotu je třeba najít.

Uveďme příklady těch úplně prvních a většiny jednoduché rovnice. Začněme rovnicemi ve tvaru x=8, y=3 atd. Rovnice, které obsahují znaménka spolu s čísly a písmeny, vypadají trochu komplikovaněji aritmetické operace například x+2=3, z−2=5, 3·t=9, 8:x=2.

Rozmanitost rovnic se po seznámení rozrůstá - začínají se objevovat rovnice se závorkami, např. 2·(x−1)=18 a x+3·(x+2·(x−2))=3. Neznámé písmeno v rovnici se může objevit vícekrát, například x+3+3·x−2−x=9, také písmena mohou být na levé straně rovnice, na její pravé straně nebo na obou stranách rovnice. rovnice, například x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 nebo 3·x−4=2·(x+12) .

Dále po studiu přirozená čísla dochází k seznámení s celými, racionálními, reálnými čísly, studují se nové matematické objekty: mocniny, odmocniny, logaritmy atd., přičemž se objevují stále nové typy rovnic obsahující tyto věci. Jejich příklady najdete v článku základní typy rovnic studovat ve škole.

V 7. třídě spolu s písmeny, která znamenají nějaká konkrétní čísla, začínají uvažovat o písmenech, která mohou nabývat různých hodnot, říká se jim proměnné (viz článek). Zároveň je do definice rovnice zavedeno slovo „proměnná“ a stává se takto:

Definice.

Rovnice nazývaná rovnost obsahující proměnnou, jejíž hodnotu je třeba najít.

Například rovnice x+3=6·x+7 je rovnice s proměnnou x a 3·z−1+z=0 je rovnice s proměnnou z.

Při hodinách algebry v téže 7. třídě se setkáváme s rovnicemi obsahujícími ne jednu, ale dvě různé neznámé proměnné. Říká se jim rovnice ve dvou proměnných. V budoucnu je v rovnicích povolena přítomnost tří nebo více proměnných.

Definice.

Rovnice s jednou, dvěma, třemi atd. proměnné– jedná se o rovnice obsahující ve svém zápisu jednu, dvě, tři, ... neznámé proměnné, resp.

Například rovnice 3,2 x+0,5=1 je rovnice s jednou proměnnou x, rovnice ve tvaru x−y=3 je rovnice se dvěma proměnnými x a y. A ještě jeden příklad: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Je jasné, že takovou rovnicí je rovnice se třemi neznámými proměnnými x, y a z.

Co je kořenem rovnice?

Definice rovnice přímo souvisí s definicí kořene této rovnice. Pojďme provést nějakou úvahu, která nám pomůže pochopit, co je kořenem rovnice.

Řekněme, že máme rovnici s jedním písmenem (proměnnou). Pokud se místo písmene obsaženého v záznamu této rovnice dosadí určité číslo, pak se rovnice změní v číselnou rovnost. Navíc výsledná rovnost může být buď pravdivá, nebo nepravdivá. Pokud například v rovnici a+1=5 dosadíte místo písmene a číslo 2, dostanete nesprávnou číselnou rovnost 2+1=5. Pokud do této rovnice dosadíme číslo 4 místo a, dostaneme správnou rovnost 4+1=5.

V praxi se v drtivé většině případů zajímají ty hodnoty proměnné, jejichž dosazení do rovnice dává správnou rovnost; tyto hodnoty se nazývají kořeny nebo řešení této rovnice.

Definice.

Kořen rovnice- jedná se o hodnotu písmene (proměnné), při jejímž dosazení se rovnice změní ve správnou číselnou rovnost.

Všimněte si, že kořen rovnice v jedné proměnné se také nazývá řešení rovnice. Jinými slovy, řešení rovnice a kořen rovnice jsou totéž.

Vysvětleme si tuto definici na příkladu. Abychom to udělali, vraťme se k rovnici napsané výše a+1=5. Podle uvedené definice kořene rovnice je kořenem této rovnice číslo 4, protože při dosazení tohoto čísla místo písmene a dostaneme správnou rovnost 4+1=5 a číslo 2 není její kořen, protože odpovídá nesprávné rovnosti tvaru 2+1= 5 .

V tomto bodě vyvstává řada přirozených otázek: „Má nějaká rovnice kořen a kolik kořenů má daná rovnice? Odpovíme jim.

Existují rovnice, které mají kořeny, a rovnice, které kořeny nemají. Například rovnice x+1=5 má kořen 4, ale rovnice 0 x=5 nemá kořeny, protože bez ohledu na to, jaké číslo do této rovnice dosadíme místo proměnné x, dostaneme nesprávnou rovnost 0=5 .

Pokud jde o počet kořenů rovnice, existují jak rovnice, které mají určitý konečný počet kořenů (jeden, dva, tři atd.), tak rovnice, které mají nekonečný počet kořenů. Například rovnice x−2=4 má jediný kořen 6, kořeny rovnice x 2 =9 jsou dvě čísla −3 a 3, rovnice x·(x−1)·(x−2)=0 má tři kořeny 0, 1 a 2 a řešením rovnice x=x je libovolné číslo, to znamená, že má nekonečný počet kořenů.

Je třeba říci několik slov o akceptovaném zápisu kořenů rovnice. Pokud rovnice nemá kořeny, pak obvykle píší „rovnice nemá kořeny“ nebo používají znak prázdné množiny ∅. Pokud má rovnice kořeny, pak se píší oddělené čárkami nebo jako prvky sady ve složených závorkách. Pokud jsou například kořeny rovnice čísla −1, 2 a 4, pak napište −1, 2, 4 nebo (−1, 2, 4). Je také přípustné zapsat kořeny rovnice ve formě jednoduchých rovnosti. Pokud například rovnice obsahuje písmeno x a kořeny této rovnice jsou čísla 3 a 5, pak můžete napsat x=3, x=5 a často se přidávají indexy x 1 =3, x 2 =5 na proměnnou, jako by udával kořeny čísel rovnice. Ve tvaru se obvykle zapisuje nekonečná množina kořenů rovnice, pokud je to možné, používá se i zápis pro množiny přirozených čísel N, celá čísla Z a reálná čísla R. Pokud je například kořen rovnice s proměnnou x libovolné celé číslo, pak napište , a pokud jsou kořeny rovnice s proměnnou y libovolné reálné číslo od 1 do 9 včetně, napište .

Pro rovnice se dvěma, třemi nebo více proměnnými se zpravidla termín „kořen rovnice“ nepoužívá, v těchto případech se říká „řešení rovnice“. Co se nazývá řešení rovnic s několika proměnnými? Uveďme odpovídající definici.

Definice.

Řešení rovnice se dvěma, třemi atd. proměnné nazývá se pár, tři atd. hodnoty proměnných, čímž se tato rovnice změní na správnou číselnou rovnost.

Ukažme si vysvětlující příklady. Uvažujme rovnici se dvěma proměnnými x+y=7. Dosadíme místo x číslo 1 a místo y číslo 2 a máme rovnost 1+2=7. Je zřejmé, že je nesprávná, proto dvojice hodnot x=1, y=2 není řešením zapsané rovnice. Pokud vezmeme pár hodnot x=4, y=3, tak po dosazení do rovnice dospějeme ke správné rovnosti 4+3=7, proto je tato dvojice hodnot proměnných z definice řešením na rovnici x+y=7.

Rovnice s několika proměnnými, stejně jako rovnice s jednou proměnnou, nemusí mít žádné kořeny, mohou mít konečný počet kořenů nebo mohou mít nekonečný počet kořenů.

Dvojice, trojice, čtveřice atd. Hodnoty proměnných jsou často psány stručně a jejich hodnoty jsou odděleny čárkami v závorkách. V tomto případě zapsaná čísla v závorkách odpovídají proměnným v abecedním pořadí. Ujasněme si tento bod návratem k předchozí rovnici x+y=7. Řešení této rovnice x=4, y=3 lze stručně zapsat jako (4, 3).

Největší pozornost ve školním kurzu matematiky, algebry a počátků analýzy je věnována hledání kořenů rovnic s jednou proměnnou. Pravidla tohoto procesu velmi podrobně probereme v článku. řešení rovnic.

Bibliografie.

• Matematika. 2 třídy Učebnice pro všeobecné vzdělání instituce s adj. na elektron dopravce. Ve 14 hodin 1. část / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova atd.] - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 2012. - 96 s.: nemoc. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: učebnice pro 7. třídu obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 240 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. třída: vzdělávací. pro všeobecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2009. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Jaká je rovnice

• Co to znamená řešit rovnici

• Základní pravidla pro řešení rovnic.

• Klasifikace rovnic.

• Rovnice je rovnost, ve které je neznámá reprezentována písmenem. Hodnota písmene, při které je z rovnice získána správná číselná rovnost, se nazývá kořen rovnice.

Vyřešte rovnici

• Vyřešte rovnici - znamená najít všechny její kořeny (nebo se ujistit, že rovnice nemá jediný kořen).

• Chcete-li najít neznámý člen, musíte od součtu odečíst známý člen (pokud a + x = b, pak x = b – a)

• 7 + x = 23

• x = 23 – 7

• x = 16

• Chcete-li najít neznámý minuend, musíte přidat subtrahend a rozdíl.

• (pokud x – a = d, pak x = a + d)

• x-8 = 5

• x = 8+5

• x=13

• Chcete-li najít neznámý subtrahend, musíte odečíst rozdíl od minuendu

• (pokud a - x = b, pak x = a-b)

• 9 = 1,3

• x = 9-1,3

• x = 7,7

• Chcete-li najít neznámý faktor, musíte produkt vydělit známým faktorem

• (pokud ax = b, pak x = b: a)

• 0,2x = 6

• x = 6:0,2

• x=30

• Chcete-li najít neznámou dividendu, musíte vynásobit podíl dělitelem (pokud x: a = b, pak x = ab)

• x: 0,3 = 4

• x = 4 * 0,3

• x = 1,2

• Chcete-li najít neznámého dělitele, musíte dividendu vydělit podílem

• (pokud a: x = b, pak x = a: b)

• 0,8:x=-5

• x=0,8(-5)

• x = -0,16

• Kořeny rovnice se nemění, pokud se některý člen přesune z jedné části rovnice do druhé a změní se její znaménko.

• 3x – 8 = x – 14

• 3x –x = -14 + 8

• 2x = -6

• x = -3

• Kořeny rovnice se nemění, pokud jsou obě strany vynásobeny nebo vyděleny stejným číslem, které se nerovná nule.

Řešením rovnice je x =

• Řešením rovnice je x =

• Rovnice (kde a 0, a je ekvivalentní rovnici f (x) = g (x)

• Pomocí substituce se rovnice tvaru redukuje na kvadratickou rovnici

• Rovnice obsahující proměnnou pod logaritmickým znaménkem se nazývá logaritmická.

• Řešení logaritmické rovnice tvaru

• je založena na skutečnosti, že taková rovnice je ekvivalentní rovnici f(x)=g(x) za dalších podmínek f(x)

• Podle definice logaritmu

• Lineární rovnice s jednou neznámou je rovnice tvaru Tato rovnice má vždy jedinečné řešení:

• Kvadratická rovnice s jednou neznámou je rovnice tvaru

• Diskriminant kvadratické rovnice je číslo

• Pokud D > 0, pak rovnice nemá řešení

• Pokud D=0, pak rovnice má jedinečné řešení:

• Pokud D > 0, pak má rovnice dvě řešení:

• Neúplná kvadratická rovnice je rovnice, ve které je alespoň jeden z koeficientů nulový. Při C=0 rovnice nabývá tvaru

• Redukovaná kvadratická rovnice je rovnice tvaru, tedy kvadratická rovnice, ve které je první koeficient roven jedné.

• Určete znaménka kořenů rovnice

VIETTEHO VĚTA

• Pokud má daná kvadratická rovnice reálné kořeny, pak je jejich součet roven druhému koeficientu branému se znaménkem mínus, tzn. –р a jejich produktem je volný termín q.

• Rovnice tvaru se nazývá bikvadratická.

• Taková rovnice se řeší metodou změny proměnné. Tak to označme. Původní rovnice bude mít tvar, tj. je to obyčejná kvadratická rovnice.

• Symetrická rovnice třetího stupně je rovnice tvaru Všimněte si, že

• těch. řešení této rovnice je ekvivalentní množině

• Symetrická rovnice čtvrtého stupně je kterákoli z následujících dvou rovnic:

• K vyřešení první rovnice zavedeme novou proměnnou a k vyřešení druhé -

• proměnná Máme: tzn. jsou získány obyčejné kvadratické rovnice.

• Modul čísla x je samotné číslo, pokud je nezáporné, nebo číslo –x, pokud je číslo x záporné. Označení:

• Formální zápis této definice je:

• Řešte rovnici:

Vzorec pro kořeny rovnice

• Vzorec pro kořeny rovnice

• sin x=a () má tvar

• cos x=a

• tan x=a

• ctg x=a

• Goniometrické rovnice lze řešit pomocí metody proměnné změny

• Goniometrická rovnice tvaru

• všechny členy, které mají stejný stupeň s ohledem na sinus a kosinus, se nazývají

• homogenní. Homogenní rovnici lze snadno redukovat na relativní rovnici, pokud jsou všechny její členy děleny. Navíc, pokud, pak takové dělení nepovede ke ztrátě řešení, protože hodnota nesplňuje rovnici. Pokud ano, je vyjmuto ze závorek.

• Rovnice ve tvaru je ekvivalentní rovnici kde

• Nejčastěji používanou metodou je, že všechny členy rovnice na pravé straně se přenesou na levou stranu; po kterém levý

• část rovnice je faktorizována pomocí vzorců pro rozklad goniometrických funkcí na součin, vzorců pro snížení stupně a vzorců pro převod součinu goniometrických funkcí na systém.

Zlomkové racionální rovnice

• Racionální algebraická rovnice je rovnice ve tvaru kde a jsou polynomy.

• Výraz má smysl pouze tehdy, je-li splněna podmínka

• To znamená, že racionální rovnice má za dané podmínky řešení

Iracionální rovnice

• Rovnice obsahující jeden radikál druhého stupně

• Zvýšení obou stran rovnice na mocninu.

• Když jsou obě strany rovnice zvýšeny na sudou mocninu, výsledkem je rovnice, která není ekvivalentní té původní. Přímá kontrola získaných kořenů v původní rovnici pomáhá zbavit se cizích kořenů, tzn. kořeny se střídavě dosazují do výchozí rovnice a kontrolují se, zda je číselná rovnost správná.

• Součin (kvocient) dvou výrazů je roven nule.

• Součin dvou výrazů je roven nule, pokud je alespoň jeden z výrazů roven nule a druhý dává smysl. Formálně se to píše takto:

• Formální zápis pro podíl dvou výrazů rovný nule:

• Rovnice obsahující dva (tři) znaky radikálu druhého stupně

• Umocnění obou stran rovnice.

Nejprve musí být rovnice transformována tak, aby radikály byly v jedné části a zbývající členy původní rovnice byly ve druhé. To se provádí, pokud jsou v rovnici dva radikály. Pokud jsou tři, pak dva z nich zůstanou v jedné části rovnice a třetí se přenese do druhé. Poté se obě strany rovnice odmocní a provedou se potřebné transformace. Dále jsou všechny členy rovnice, které neobsahují radikály, opět přeneseny na jednu stranu rovnice a zbývající radikál (nyní je pouze jeden!) na druhou. Výsledná rovnice se znovu odmocní a výsledkem je rovnice, která neobsahuje radikály.

Rovnice obsahující radikály třetího a vyššího stupně.

• Při řešení rovnic obsahujících radikály třetího stupně může být užitečné použít následující identity:

• Řešte rovnici:

• Řešení: Zvedneme obě strany této rovnice na třetí mocninu a použijeme výše uvedenou identitu:

• Všimněte si, že výraz v závorce je roven 1, což vyplývá z původní rovnice. Vezmeme-li toto v úvahu a zavedeme podobné podmínky, získáme:

• Otevřeme závorky, přidáme podobné členy a vyřešíme kvadratickou rovnici. Jeho kořeny jsou x=5 a x=-25/2. Pokud předpokládáme (podle definice), že liché kořeny lze také extrahovat ze záporných čísel, pak obě získaná čísla jsou řešením původní rovnice.

• Odpověď: 5.-25.2

V jakých hodnotách A

• V jakých hodnotách A má rovnice dva kořeny, z nichž jeden je větší než 1 a druhý menší?

• Řešení: Zvažte funkci:

• a vytvořte náčrt jeho grafu. Na a=0 funkce se stává lineární a má dva průsečíky s osou Ach( kořeny rovnice y=0) a nevydrží to.

• Na a>0 Grafem funkce je parabola, jejíž větve směřují nahoru. Nutná a postačující podmínka pro existenci kořenů taková, že a v tomto případě je jedinou podmínkou:

• Li a podle toho i podmínka (obr.)

• Řešení problému je tedy formálně dáno množinou:

• Odpovědět:

• Systém rovnic se skládá ze dvou nebo více algebraických rovnic.

• Systémové řešení je soubor proměnných hodnot, které po nahrazení změní každou rovnici systému na číselnou nebo doslovnou identitu.

• Vyřešte systém - znamená najít všechna jeho řešení nebo dokázat, že žádná neexistují.

Grafické řešení systémů

• Grafický způsob řešení soustav rovnic je následující:

• Jsou sestrojeny grafy každé rovnice systému;

• Jsou určeny průsečíky grafů;

• Zaznamená se odpověď: souřadnice průsečíků sestrojených grafů.

• Grafická metoda řešení soustav rovnic ve většině případů neposkytuje přesné řešení soustavy, ale může být užitečná pro vizuální ilustraci úvahy.

Řešení:

• Řešení: Grafy první a třetí rovnice jsou rovné; Grafem druhé rovnice je kubická parabola (obr.). Ze tří průsečíků je pouze jeden společný pro všechny grafy rovnic systému.

• Odpověď: (0;0)

Ekvivalence rovnic

• Rovnice se nazývají ekvivalentní (ekvivalentní), pokud všechny kořeny první rovnice jsou kořeny druhé rovnice a všechny kořeny druhé rovnice jsou kořeny první.

• Ekvivalentní transformace rovnice jsou transformace vedoucí k ekvivalentní rovnici:

• 1) Přidání libovolného čísla na obě strany rovnice současně (zejména převod členů z jedné části rovnice do druhé se změnou znaménka)

• 2) Vynásobení (a dělení) obou stran rovnice současně jakýmkoli jiným číslem než nula.

• Také pro rovnice v doméně reálných čísel:

• 3) Zvýšením obou stran rovnice na lichou mocninu

• 4) Zvýšení obou stran rovnice, za předpokladu, že nejsou záporné, na jakoukoli sudou přirozenou moc

Yu.N.Makarychev – „Algebra. Doplňkové kapitoly do školní učebnice. 8. třída." 2003

Yu.N.Makarychev – „Algebra. Další kapitoly do školní učebnice. 9. třída." 2003

Prezentaci připravuje:

• Shmanova Victoria

• Deeva Alexandra

• 11. třída

• Městský vzdělávací ústav "Střední škola č. 1"

• Shumikha

• 2007

• Podrobné informace po telefonu 83524521413

• Zvláštní poděkování patří učitelům střední školy č. 1:

• Teregulová Irina Viktorovna

• Šmanov Anatolij Ivanovič

Ve školním kurzu matematiky dítě poprvé slyší pojem „rovnice“. Co to je, zkusme na to společně přijít. V tomto článku se podíváme na typy a způsoby řešení.

Matematika. Rovnice

Pro začátek vám doporučujeme pochopit samotný koncept, co to je? Jak říká mnoho učebnic matematiky, rovnice jsou nějaké výrazy, mezi kterými musí být rovnítko. Tyto výrazy obsahují písmena, tzv. proměnné, jejichž hodnotu je třeba najít.

Toto je systémový atribut, který mění svou hodnotu. Dobrým příkladem proměnných jsou:

• teplota vzduchu;
• výška dítěte;
• hmotnost a tak dále.

V matematice se označují písmeny, například x, a, b, c... Obvykle matematický úkol zní takto: najděte hodnotu rovnice. To znamená, že je nutné zjistit hodnotu těchto proměnných.

Odrůdy

Rovnice (o čem jsme hovořili v předchozím odstavci) může mít následující tvar:

• lineární;
• náměstí;
• krychlový;
• algebraický;
• transcendentální.

Pro podrobnější seznámení se všemi typy zvážíme každý zvlášť.

Lineární rovnice

Jde o první druh, se kterým se seznamují školáci. Jsou vyřešeny poměrně rychle a jednoduše. Co je tedy lineární rovnice? Toto je vyjádření tvaru: ah=c. Není to příliš jasné, takže uveďme několik příkladů: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.

Podívejme se na příklady rovnic. K tomu potřebujeme shromáždit všechna známá data na jedné straně a neznámá na druhé: x=26/2; x = 40/5; x=6/1,2. Zde byla použita základní pravidla matematiky: a*c=e, z toho c=e/a; a=e/c. Abychom dokončili řešení rovnice, provedeme jednu akci (v našem případě dělení) x = 13; x=8; x=5. To byly příklady násobení, nyní se podíváme na odčítání a sčítání: x+3=9; 10x-5=15. Známá data přenášíme jedním směrem: x=9-3; x = 20/10. Proveďte poslední akci: x=6; x=2.

Možnosti jsou také možné lineární rovnice, kde je použito více než jedna proměnná: 2x-2y=4. Aby bylo možné vyřešit, je nutné ke každé části přidat 2y, dostaneme 2x-2y + 2y = 4-2y, jak jsme si všimli, levá strana rovnítka -2y a +2y se ruší a zbývá nám: 2x=4-2y. Posledním krokem je vydělení každé části dvěma, dostaneme odpověď: x se rovná dvěma mínus y.

Problémy s rovnicemi se nacházejí i na Ahmesových papyrech. Zde je jeden problém: součet čísla a jeho čtvrté části je 15. Abychom jej vyřešili, napíšeme následující rovnici: x plus jedna čtvrtina x se rovná patnácti. Na základě výsledku řešení vidíme další příklad, dostaneme odpověď: x=12. Ale tento problém lze vyřešit i jinak, totiž egyptskou nebo, jak se tomu říká jinak, metodou domněnky. Papyrus používá následující řešení: vezměte čtyři a z toho čtvrtou, tedy jednu. Celkem dají pět, nyní je třeba patnáct vydělit součtem, dostaneme tři, posledním krokem je vynásobení tří čtyřmi. Dostaneme odpověď: 12. Proč v řešení dělíme patnáct pěti? Takže zjistíme, kolikrát patnáct, tedy výsledek, který potřebujeme získat, je méně než pět. Problémy se tímto způsobem řešily ve středověku, vešlo ve známost jako metoda falešné polohy.

Kvadratické rovnice

Kromě dříve diskutovaných příkladů existují další. Které přesně? Kvadratická rovnice, co to je? Vypadají jako sekera 2 +bx+c=0. Chcete-li je vyřešit, musíte se seznámit s některými pojmy a pravidly.

Nejprve musíte najít diskriminant pomocí vzorce: b 2 -4ac. Existují tři možné výsledky rozhodnutí:

• diskriminant je větší než nula;
• menší než nula;
• rovna nule.

V první možnosti můžeme získat odpověď ze dvou kořenů, které najdeme podle vzorce: -b+-kořen diskriminantu děleno dvojnásobkem prvního koeficientu, tedy 2a.

V druhém případě rovnice nemá kořeny. Ve třetím případě se kořen najde pomocí vzorce: -b/2a.

Pro podrobnější úvod se podívejme na příklad kvadratické rovnice: tři x na druhou mínus čtrnáct x mínus pět se rovná nule. Pro začátek, jak bylo napsáno dříve, hledáme diskriminant, v našem případě je roven 256. Všimněte si, že výsledné číslo je větší než nula, proto bychom měli dostat odpověď sestávající ze dvou kořenů. Výsledný diskriminant dosadíme do vzorce pro hledání kořenů. Výsledkem je, že: x se rovná pěti a mínus jedna třetina.

Speciální případy v kvadratických rovnicích

Toto jsou příklady, ve kterých jsou některé hodnoty nula (a, b nebo c) a možná více než jedna.

Vezměme například následující rovnici, která je kvadratická: dvě x na druhou se rovná nule, zde vidíme, že b a c se rovnají nule. Zkusme to vyřešit, k tomu vydělíme obě strany rovnice dvěma, máme: x 2 =0. Ve výsledku dostaneme x=0.

Jiný případ je 16x 2 -9=0. Zde pouze b=0. Vyřešíme rovnici, volný koeficient přeneseme na pravou stranu: 16x 2 = 9, nyní každou část vydělíme šestnácti: x 2 = devět šestnáctin. Protože máme x na druhou, odmocnina z 9/16 může být záporná nebo kladná. Odpověď zapíšeme takto: x se rovná plus/mínus tři čtvrtiny.

Další možnou odpovědí je, že rovnice nemá vůbec žádné kořeny. Podívejme se na tento příklad: 5x 2 +80=0, zde b=0. Chcete-li vyřešit, vrhněte volného člena do pravá strana, po těchto akcích dostaneme: 5x 2 = -80, nyní každou část vydělíme pěti: x 2 = mínus šestnáct. Pokud odmocníme libovolné číslo, nedostaneme zápornou hodnotu. Naše odpověď tedy zní: rovnice nemá kořeny.

Trinomiální expanze

Úloha na kvadratické rovnice může znít i takto: expand kvadratický trinom násobiteli. To lze provést pomocí následujícího vzorce: a(x-x 1)(x-x 2). K tomu, stejně jako v jiné verzi úlohy, je nutné najít diskriminant.

Zvažte následující příklad: 3x 2 -14x-5, faktor trinomu. Diskriminant najdeme pomocí nám již známého vzorce, ukáže se, že je roven 256. Okamžitě si všimneme, že 256 je větší než nula, takže rovnice bude mít dva kořeny. Najdeme je, stejně jako v předchozím odstavci, máme: x = pět a mínus jedna třetina. Použijme vzorec pro rozklad trinomu: 3(x-5)(x+1/3). Ve druhé závorce jsme dostali rovnítko, protože vzorec obsahuje znaménko mínus a kořen je také záporný, s využitím základních znalostí matematiky v součtu máme znaménko plus. Pro zjednodušení vynásobme první a třetí člen rovnice, abychom se zbavili zlomku: (x-5)(x+1).

Rovnice redukující na kvadratické

V této části se naučíme, jak řešit složitější rovnice. Začněme hned příkladem:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Můžeme si všimnout opakujících se prvků: (x 2 - 2x), pro jeho vyřešení je pro nás vhodné jej nahradit jinou proměnnou a následně okamžitě vyřešte obvyklou kvadratickou rovnici Upozorňujeme, že v takové úloze dostaneme čtyři kořeny, to by vás nemělo vyděsit. Značíme opakování proměnné a. Dostaneme: a 2 -2a-3=0. Náš další krok hledá diskriminant nové rovnice. Dostaneme 16, najdeme dva kořeny: mínus jedna a tři. Pamatujeme si, že jsme provedli náhradu, dosadili tyto hodnoty, ve výsledku máme rovnice: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2 x = 3. Řešíme je v první odpovědi: x je rovno jedné, ve druhé: x je rovno mínus jedna a tři. Odpověď píšeme takto: plus/mínus jedna a tři. Odpověď je zpravidla psána vzestupně.

Kubické rovnice

Podívejme se ještě na jednu možná varianta. Je to o o kubických rovnicích. Vypadají takto: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Níže se podíváme na příklady rovnic, ale nejprve trochu teorie. Mohou mít tři kořeny a existuje také vzorec pro nalezení diskriminantu pro kubickou rovnici.

Podívejme se na příklad: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Jak to vyřešit? Za tímto účelem jednoduše vyjmeme x ze závorek: x(3x 2 +4x+2)=0. Zbývá nám pouze vypočítat kořeny rovnice v závorkách. Diskriminant kvadratické rovnice v závorce je menší než nula, na základě toho má výraz kořen: x=0.

Algebra. Rovnice

Přejdeme k dalšímu pohledu. Nyní se krátce podíváme algebraické rovnice. Jeden z úkolů je následující: faktor 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Nejvhodnějším způsobem by bylo následující seskupení: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Všimněte si, že jsme reprezentovali 8x 2 z prvního výrazu jako součet 3x 2 a 5x 2. Nyní z každé závorky vyjmeme společný faktor 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Vidíme, že máme společný faktor: x na druhou plus jedna, vyjmeme ho ze závorek: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Další expanze není možná, protože obě rovnice mají záporný diskriminant.

Transcendentální rovnice

Doporučujeme, abyste se zabývali následujícím typem. Jedná se o rovnice, které obsahují transcendentální funkce, jmenovitě logaritmické, trigonometrické nebo exponenciální. Příklady: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 a tak dále. Jak se řeší, se dozvíte v kurzu trigonometrie.

Funkce

Posledním krokem je uvažovat o konceptu rovnice funkce. Na rozdíl od předchozích možností není tento typ řešen, ale je na jeho základě postaven graf. Chcete-li to provést, stojí za to dobře analyzovat rovnici, najít všechny potřebné body pro stavbu a vypočítat minimální a maximální body.