Domov Bolest zubu Matici vyřešte Cramerovou metodou. Cramerova metoda: řešení soustav lineárních algebraických rovnic (slau)

Bolest zubu

Matici vyřešte Cramerovou metodou. Cramerova metoda: řešení soustav lineárních algebraických rovnic (slau)

Cramerova metoda je založena na použití determinantů při řešení systémů lineární rovnice. To výrazně urychluje proces řešení.

Cramerovu metodu lze použít k řešení soustavy tolika lineárních rovnic, kolik je v každé rovnici neznámých. Pokud determinant systému není roven nule, pak lze v řešení použít Cramerovu metodu, ale pokud je roven nule, pak nikoli. Cramerovu metodu lze navíc použít k řešení soustav lineárních rovnic, které mají jedinečné řešení.

Definice. Determinant složený z koeficientů pro neznámé se nazývá determinant systému a označuje se (delta).

Determinanty

se získají nahrazením koeficientů odpovídajících neznámých volnými členy:

;

Cramerův teorém. Pokud je determinant systému nenulový, pak má systém lineárních rovnic jedno jedinečné řešení a neznámá je rovna poměru determinantů. Jmenovatel obsahuje determinant systému a čitatel obsahuje determinant získaný z determinantu systému nahrazením koeficientů této neznámé volnými členy. Tato věta platí pro soustavu lineárních rovnic libovolného řádu.

Příklad 1.Řešte soustavu lineárních rovnic:

Podle Cramerův teorém my máme:

Takže řešení systému (2):

online kalkulačka, rozhodující metoda Kramer.

Tři případy při řešení soustav lineárních rovnic

Jak je zřejmé z Cramerův teorém, při řešení soustavy lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

První případ: soustava lineárních rovnic má jedinečné řešení

(systém je konzistentní a jednoznačný)

Druhý případ: soustava lineárních rovnic má nekonečný počet řešení

(systém je konzistentní a nejistý)

** ,

těch. koeficienty neznámých a volných členů jsou úměrné.

Třetí případ: soustava lineárních rovnic nemá řešení

(systém je nekonzistentní)

Takže systém m lineární rovnice s n nazývané proměnné nespojující, pokud nemá jediné řešení, a kloub, pokud má alespoň jedno řešení. Současná soustava rovnic, která má pouze jedno řešení, se nazývá určitý a více než jeden – nejistý.

Příklady řešení soustav lineárních rovnic Cramerovou metodou

Nechť je daný systém

Na základě Cramerovy věty

………….
,

Kde
-

systémový determinant. Zbývající determinanty získáme nahrazením sloupce koeficienty odpovídající proměnné (neznámé) volnými členy:

Příklad 2

Proto je systém definitivní. Abychom našli jeho řešení, vypočítáme determinanty

Pomocí Cramerových vzorců zjistíme:

Takže (1; 0; -1) je jediné řešení systému.

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku využívající Cramerovu metodu řešení.

Pokud v soustavě lineárních rovnic nejsou v jedné nebo více rovnicích žádné proměnné, pak v determinantu jsou odpovídající prvky rovny nule! Toto je další příklad.

Příklad 3 Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

Řešení. Najdeme determinant systému:

Pozorně si prohlédněte soustavu rovnic a determinant soustavy a zopakujte odpověď na otázku, ve kterých případech se jeden nebo více prvků determinantu rovná nule. Takže determinant není roven nule, proto je systém určitý. Abychom našli jeho řešení, vypočítáme determinanty pro neznámé

Pomocí Cramerových vzorců zjistíme:

Řešením systému je tedy (2; -1; 1).

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku využívající Cramerovu metodu řešení.

Začátek stránky

Pokračujeme v řešení systémů Cramerovou metodou společně

Jak již bylo zmíněno, pokud je determinant systému roven nule a determinanty neznámých nejsou rovny nule, systém je nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení. Ukažme si to na následujícím příkladu.

Příklad 6. Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

Řešení. Najdeme determinant systému:

Determinant systému je roven nule, proto je systém lineárních rovnic buď nekonzistentní a určitý, nebo nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení. Pro upřesnění počítáme determinanty pro neznámé

Determinanty neznámých se nerovnají nule, proto je systém nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení.

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku využívající Cramerovu metodu řešení.

V úlohách týkajících se soustav lineárních rovnic jsou i takové, kde kromě písmen označujících proměnné existují i jiná písmena. Tato písmena představují číslo, nejčastěji skutečné. V praxi k takovým rovnicím a soustavám rovnic vedou problémy hledání obecných vlastností jakýchkoliv jevů či objektů. To znamená, že jste nějaké vymysleli nový materiál nebo zařízení a k popisu jeho vlastností, které jsou běžné bez ohledu na velikost či počet instance, je potřeba vyřešit soustavu lineárních rovnic, kde jsou místo nějakých koeficientů pro proměnné písmena. Příklady nemusíte hledat daleko.

Následující příklad je pro podobný problém, jen se zvyšuje počet rovnic, proměnných a písmen označujících určité reálné číslo.

Příklad 8. Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

Řešení. Najdeme determinant systému:

Hledání determinantů pro neznámé

Cramerova metoda se používá k řešení soustav lineárních algebraické rovnice(SLAE), ve kterém se počet neznámých proměnných rovná počtu rovnic a determinant hlavní matice je odlišný od nuly. V tomto článku budeme analyzovat, jak se neznámé proměnné nacházejí pomocí Cramerovy metody a získáme vzorce. Poté přejdeme k příkladům a podrobně si popíšeme řešení soustav lineárních algebraických rovnic Cramerovou metodou.

Navigace na stránce.

Cramerova metoda - odvození vzorců.

Potřebujeme vyřešit soustavu lineárních rovnic tvaru

Kde x 1, x 2, …, x n jsou neznámé proměnné, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- číselné koeficienty, b 1, b 2, ..., b n - volné členy. Řešením SLAE je taková množina hodnot x 1 , x 2 , …, x n, pro kterou se všechny rovnice systému stávají identitami.

V maticovém tvaru lze tento systém zapsat jako A ⋅ X = B, kde - hlavní matice systému, jejími prvky jsou koeficienty neznámých proměnných, - matice je sloupec volných členů a - matice je sloupec neznámých proměnných. Po nalezení neznámých proměnných x 1, x 2, …, x n se matice stává řešením soustavy rovnic a rovnost A ⋅ X = B se stává identitou.

Budeme předpokládat, že matice A je nesingulární, to znamená, že její determinant je nenulový. V tomto případě má systém lineárních algebraických rovnic jedinečné řešení, které lze nalézt Cramerovou metodou. (Metody řešení soustav pro jsou diskutovány v části řešení soustav lineárních algebraických rovnic).

Cramerova metoda je založena na dvou vlastnostech maticového determinantu:

Začněme tedy hledat neznámou proměnnou x 1. K tomu vynásobíme obě části první rovnice soustavy A 1 1, obě části druhé rovnice A 2 1 a tak dále, obě části n-té rovnice A n 1 (tj. vynásobte rovnice systému odpovídajícími algebraickými doplňky prvního sloupce matice A):

Sečtěte všechny levé strany rovnice systému, seskupte členy pro neznámé proměnné x 1, x 2, ..., x n, a přirovnejme tento součet k součtu všech pravých stran rovnic:

Pokud se obrátíme na dříve zmíněné vlastnosti determinantu, máme

a předchozí rovnost má formu

kde

Podobně zjistíme x 2. Za tímto účelem vynásobíme obě strany rovnic systému algebraickými doplňky druhého sloupce matice A:

Sečteme všechny rovnice soustavy, seskupíme členy pro neznámé proměnné x 1, x 2, ..., x n a aplikujeme vlastnosti determinantu:

Kde
.

Zbývající neznámé proměnné jsou nalezeny podobně.

Pokud určíme

Pak dostaneme vzorce pro hledání neznámých proměnných pomocí Cramerovy metody .

Komentář.

Pokud je soustava lineárních algebraických rovnic homogenní, tzn , pak má jen triviální řešení (zavináč). Opravdu, pro nula volných termínů, všechny determinanty se budou rovnat nule, protože budou obsahovat sloupec nulových prvků. Proto ty vzorce dá .

Algoritmus pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic Cramerovou metodou.

Pojďme to napsat algoritmus pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic Cramerovou metodou.

Příklady řešení soustav lineárních algebraických rovnic Cramerovou metodou.

Podívejme se na řešení několika příkladů.

Příklad.

Najděte řešení nehomogenního systému lineárních algebraických rovnic pomocí Cramerovy metody .

Řešení.

Hlavní matice systému má tvar . Vypočítejme její determinant pomocí vzorce :

Vzhledem k tomu, že determinant hlavní matice systému je odlišný od nuly, má SLAE jedinečné řešení a lze jej nalézt Cramerovou metodou. Zapišme si determinanty a . První sloupec hlavní matice soustavy nahradíme sloupcem volných členů a získáme determinant . Podobně nahradíme druhý sloupec hlavní matice sloupcem volných členů a dostaneme .

Vypočítáme tyto determinanty:

Najděte neznámé proměnné x 1 a x 2 pomocí vzorců :

Pojďme zkontrolovat. Získané hodnoty x 1 a x 2 dosadíme do původní soustavy rovnic:

Obě rovnice systému se stávají identitami, proto bylo řešení nalezeno správně.

Odpovědět:

Některé prvky hlavní matice SLAE se mohou rovnat nule. V tomto případě budou v rovnicích systému chybět odpovídající neznámé proměnné. Podívejme se na příklad.

Příklad.

Najděte řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerovy metody .

Řešení.

Přepišme systém do formuláře , takže se hlavní matice systému stane viditelnou . Najdeme jeho determinant pomocí vzorce

My máme

Determinant hlavní matice je nenulový, proto má systém lineárních rovnic jedinečné řešení. Pojďme to najít pomocí Cramerovy metody. Pojďme vypočítat determinanty :

Tím pádem,

Odpovědět:

Označení neznámých proměnných v rovnicích systému se mohou lišit od x 1, x 2, ..., x n. To nemá vliv na proces rozhodování. Ale pořadí neznámých proměnných v rovnicích systému je velmi důležité při sestavování hlavní matice a nezbytných determinantů Cramerovy metody. Ujasněme si tento bod na příkladu.

Příklad.

Pomocí Cramerovy metody najděte řešení soustavy tří lineárních algebraických rovnic o třech neznámých .

Řešení.

V tomto příkladu mají neznámé proměnné jiný zápis (x, yaz místo x1, x2 a x3). Na řešení to nemá vliv, ale pozor na popisky proměnných. NEMŮŽETE to brát jako hlavní matrici systému . Je nutné nejprve seřadit neznámé proměnné ve všech rovnicích soustavy. K tomu přepíšeme soustavu rovnic jako . Nyní je jasně viditelná hlavní matice systému . Vypočítejme jeho determinant:

Determinant hlavní matice je nenulový, proto má systém rovnic jedinečné řešení. Pojďme to najít pomocí Cramerovy metody. Zapišme si determinanty (pozor na zápis) a vypočítejte je:

Zbývá najít neznámé proměnné pomocí vzorců :

Pojďme zkontrolovat. Chcete-li to provést, vynásobte hlavní matici výsledným řešením (pokud je to nutné, viz část):

Ve výsledku jsme získali sloupec volných členů původní soustavy rovnic, takže řešení bylo nalezeno správně.

Odpovědět:

x = 0, y = -2, z = 3.

Příklad.

Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou , kde a a b jsou nějaká reálná čísla.

Řešení.

Odpovědět:

Příklad.

Najděte řešení soustavy rovnic Cramerovou metodou, - nějaké reálné číslo.

Řešení.

Vypočítejme determinant hlavní matice soustavy: . výraz je interval, tedy pro jakékoli reálné hodnoty. V důsledku toho má systém rovnic jedinečné řešení, které lze nalézt Cramerovou metodou. Vypočítáme a:

Abyste zvládli tento odstavec, musíte být schopni odhalit determinanty „dva po dvou“ a „tři po třech“. Pokud jste špatní s kvalifikacemi, prostudujte si prosím lekci Jak vypočítat determinant?

Nejprve se blíže podíváme na Cramerovo pravidlo pro soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Proč? - Po všem nejjednodušší systém lze vyřešit školní metoda, metodou sčítání po jednotlivých termínech!

Faktem je, že i když někdy se takový úkol vyskytne - vyřešit pomocí Cramerových vzorců soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Za druhé, jednodušší příklad vám pomůže pochopit, jak používat Cramerovo pravidlo více složitý případ– soustavy tří rovnic o třech neznámých.

Navíc existují soustavy lineárních rovnic se dvěma proměnnými, které je vhodné řešit pomocí Cramerova pravidla!

Zvažte soustavu rovnic

V prvním kroku vypočítáme determinant, tzv hlavní determinant systému.

Gaussova metoda.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další dva determinanty:
A

V praxi lze také označit výše uvedené kvalifikátory Latinské písmeno.

Kořeny rovnice najdeme pomocí vzorců:
,

Příklad 7

Řešte soustavu lineárních rovnic

Řešení: Vidíme, že koeficienty rovnice jsou poměrně velké, na pravé straně jsou desetinná místa s čárkou. Čárka je v něm poměrně vzácným hostem praktické úkoly v matematice jsem tento systém převzal z ekonometrického problému.

Jak takový systém vyřešit? Můžete se pokusit vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé, ale v tomto případě pravděpodobně skončíte se strašlivými efektními zlomky, se kterými je extrémně nepohodlné pracovat, a návrh řešení bude vypadat prostě hrozně. Druhou rovnici můžete vynásobit 6 a odečíst člen po členu, ale i zde vzniknou stejné zlomky.

Co dělat? V takových případech přijdou na pomoc Cramerovy vzorce.

;

Odpovědět: ,

Oba kořeny mají nekonečné ocasy a nacházejí se přibližně, což je pro ekonometrické problémy docela přijatelné (a dokonce běžné).

Komentáře zde nejsou potřeba, protože úloha je řešena pomocí hotových vzorců, existuje však jedno upozornění. Kdy použít tato metoda, povinný Fragmentem návrhu úlohy je následující fragment: „To znamená, že systém má jedinečné řešení“. Jinak vás recenzent může potrestat za nerespektování Cramerovy věty.

Nebylo by zbytečné kontrolovat, což je vhodné provést na kalkulačce: nahradíme přibližné hodnoty v levá strana každá rovnice systému. Výsledkem je, že s malou chybou byste měli dostat čísla, která jsou na správných stranách.

Příklad 8

Uveďte odpověď v obyčejných nesprávných zlomcích. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí(příklad dokončení a odpovědi na konci lekce).

Pojďme se podívat na Cramerovo pravidlo pro systém tří rovnic se třemi neznámými:

Najdeme hlavní determinantu systému:

Jestliže , pak systém má nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní (nemá žádná řešení). V tomto případě Cramerovo pravidlo nepomůže, musíte použít Gaussovu metodu.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další tři determinanty:
, ,

A nakonec se odpověď vypočítá pomocí vzorců:

Jak vidíte, případ „tři na tři“ se v zásadě neliší od případu „dva na dva“; sloupec volných výrazů postupně „kráčí“ zleva doprava podél sloupců hlavního determinantu.

Příklad 9

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Řešení: Vyřešme soustavu pomocí Cramerových vzorců.

, což znamená, že systém má jedinečné řešení.

Odpovědět: .

Vlastně zde opět není co komentovat, protože řešení se řídí hotovými vzorci. Ale je tu pár připomínek.

Stává se, že v důsledku výpočtů se získají „špatné“ neredukovatelné zlomky, například: .
Doporučuji následující „léčebný“ algoritmus. Pokud nemáte po ruce počítač, postupujte takto:

1) Ve výpočtech může být chyba. Jakmile narazíte na „špatný“ zlomek, musíte okamžitě zkontrolovat Je podmínka přepsána správně?. Pokud je podmínka přepsána bez chyb, pak je potřeba determinanty přepočítat pomocí rozšíření v jiném řádku (sloupci).

2) Pokud v důsledku kontroly nebyly zjištěny žádné chyby, pravděpodobně došlo k překlepu v podmínkách úlohy. V tomto případě klidně a OPATRNĚ propracujte úkol až do konce a pak určitě zkontrolujte a po rozhodnutí to sepíšeme na čistý list. Kontrola zlomkové odpovědi je samozřejmě nepříjemný úkol, ale bude to odzbrojující argument pro učitele, který opravdu rád dá mínus za každou hovadinu typu . Jak zacházet se zlomky je podrobně popsáno v odpovědi na příklad 8.

Máte-li po ruce počítač, pak ke kontrole použijte automatizovaný program, který si můžete zdarma stáhnout hned na začátku lekce. Mimochodem, nejvýhodnější je používat program hned (ještě před spuštěním řešení), hned uvidíte mezikrok, kde jste udělali chybu! Stejná kalkulačka automaticky vypočítá řešení systému maticová metoda.

Druhá poznámka. Čas od času existují systémy, v jejichž rovnicích některé proměnné chybí, například:

Zde v první rovnici není žádná proměnná, ve druhé není žádná proměnná. V takových případech je velmi důležité správně a OPATRNĚ zapsat hlavní determinant:
– místo chybějících proměnných jsou umístěny nuly.
Mimochodem, je racionální otevírat determinanty s nulami podle řádku (sloupce), ve kterém je nula umístěna, protože je znatelně méně výpočtů.

Příklad 10

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Toto je příklad pro samostatné řešení (ukázka finálního návrhu a odpověď na konci lekce).

Pro případ soustavy 4 rovnic se 4 neznámými jsou Cramerovy vzorce psány podle podobných principů. Živý příklad můžete vidět v lekci Vlastnosti determinantů. Snížení řádu determinantu - pět determinantů 4. řádu je celkem řešitelných. I když úkol již velmi připomíná profesorovu botu na hrudi šťastného studenta.

Řešení soustavy pomocí inverzní matice

Metoda inverzní matice- to je v podstatě speciální případ maticová rovnice(Viz příklad č. 3 zadané lekce).

Chcete-li prostudovat tuto část, musíte být schopni rozšířit determinanty, najít inverzní hodnotu matice a provést násobení matic. V průběhu vysvětlování budou poskytnuty příslušné odkazy.

Příklad 11

Řešte soustavu maticovou metodou

Řešení: Zapišme systém v maticovém tvaru:
, Kde

Podívejte se prosím na soustavu rovnic a matic. Myslím, že každý chápe princip, kterým zapisujeme prvky do matic. Jediná poznámka: pokud by v rovnicích chyběly nějaké proměnné, pak by se na odpovídající místa v matici musely umístit nuly.

Inverzní matici najdeme pomocí vzorce:
, kde je transponovaná matice algebraické sčítání odpovídající prvky matice.

Nejprve se podívejme na determinant:

Zde je determinant rozšířen na prvním řádku.

Pozornost! Jestliže , pak inverzní matice neexistuje a systém není možné řešit maticovou metodou. V tomto případě je systém řešen metodou eliminace neznámých (Gaussova metoda).

Nyní musíme vypočítat 9 nezletilých a zapsat je do matice nezletilých

Odkaz: Je užitečné znát význam dvojitých indexů v lineární algebře. První číslice je číslo řádku, ve kterém se prvek nachází. Druhá číslice je číslo sloupce, ve kterém se prvek nachází:

To znamená, že dvojitý dolní index označuje, že prvek je v prvním řádku, třetím sloupci a například prvek je ve 3 řádcích, 2 sloupcích.

Při řešení je lepší podrobně popsat výpočet nezletilých, i když s jistými zkušenostmi se dá zvyknout na jejich počítání s chybami ústně.

Cramerova metoda neboli tzv. Cramerovo pravidlo je metoda hledání neznámých veličin ze soustav rovnic. Lze ji použít pouze v případě, že počet hledaných hodnot je ekvivalentní počtu algebraických rovnic v systému, to znamená, že hlavní matice vytvořená ze systému musí být čtvercová a nesmí obsahovat nulové řádky, a také pokud její determinant musí nebýt nula.

Věta 1

Cramerův teorém Pokud se hlavní determinant $D$ hlavní matice, sestavený na základě koeficientů rovnic, nerovná nule, pak je soustava rovnic konzistentní a má jedinečné řešení. Řešení takového systému se vypočítává pomocí tzv. Cramerových vzorců pro řešení soustav lineárních rovnic: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Co je Cramerova metoda?

Podstata Cramerovy metody je následující:

Abychom našli řešení systému pomocí Cramerovy metody, nejprve vypočteme hlavní determinant matice $D$. Když se vypočítaný determinant hlavní matice při výpočtu Cramerovou metodou rovná nule, pak systém nemá jediné řešení nebo má nekonečný počet řešení. V tomto případě se pro nalezení obecné nebo nějaké základní odpovědi pro systém doporučuje použít Gaussovu metodu.
Potom je třeba nahradit nejvzdálenější sloupec hlavní matice sloupcem volných členů a vypočítat determinant $D_1$.
Opakujte totéž pro všechny sloupce a získáte determinanty od $D_1$ do $D_n$, kde $n$ je číslo sloupce zcela vpravo.
Po nalezení všech determinantů $D_1$...$D_n$ lze neznámé proměnné vypočítat pomocí vzorce $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Techniky výpočtu determinantu matice

K výpočtu determinantu matice s rozměrem větším než 2 x 2 můžete použít několik metod:

Pravidlo trojúhelníků, neboli Sarrusovo pravidlo, připomínající stejné pravidlo. Podstata trojúhelníkové metody spočívá v tom, že při výpočtu determinantu se součiny všech čísel spojených na obrázku červenou čárou vpravo zapisují se znaménkem plus a všechna čísla jsou spojena podobným způsobem na obrázku vlevo. jsou psány se znaménkem mínus. Obě pravidla jsou vhodná pro matice velikosti 3 x 3. V případě Sarrusova pravidla se nejprve přepíše samotná matice a vedle ní se znovu přepíše její první a druhý sloupec. Maticí a těmito doplňkovými sloupci se kreslí úhlopříčky, členy matice ležící na hlavní diagonále nebo rovnoběžně s ní se píší se znaménkem plus a prvky ležící na vedlejší diagonále nebo rovnoběžně s ní se znaménkem mínus.

Obrázek 1. Trojúhelníkové pravidlo pro výpočet determinantu pro Cramerovu metodu

Pomocí metody známé jako Gaussova metoda se tato metoda také někdy nazývá redukce řádu determinantu. V tomto případě je matrice transformována a redukována na trojúhelníkový pohled a pak se všechna čísla na hlavní diagonále vynásobí. Je třeba si uvědomit, že při hledání determinantu tímto způsobem nemůžete násobit nebo dělit řádky nebo sloupce čísly, aniž byste je vyňali jako násobitel nebo dělitel. V případě hledání determinantu je možné pouze vzájemně odečítat a sčítat řádky a sloupce s tím, že se odečtený řádek předem vynásobí nenulovým faktorem. Také vždy, když měníte uspořádání řádků nebo sloupců matice, měli byste pamatovat na nutnost změnit konečné znaménko matice.
Při řešení SLAE se 4 neznámými pomocí Cramerovy metody je nejlepší použít k hledání a nalezení determinantů Gaussovu metodu nebo určit determinant hledáním nezletilých.

Řešení soustav rovnic Cramerovou metodou

Aplikujme Cramerovu metodu pro soustavu 2 rovnic a dvou požadovaných veličin:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Pro větší pohodlí si jej zobrazíme v rozšířené podobě:

$A = \begin(pole)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(pole)$

Pojďme najít determinant hlavní matice, nazývaný také hlavní determinant systému:

$D = \begin(pole)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(pole) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Pokud se hlavní determinant nerovná nule, pak pro vyřešení slough Cramerovou metodou je nutné vypočítat několik dalších determinantů ze dvou matic se sloupci hlavní matice nahrazenými řadou volných členů:

$D_1 = \begin(pole)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(pole) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(pole)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(pole) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Nyní najdeme neznámé $x_1$ a $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Příklad 1

Cramerova metoda pro řešení SLAE s hlavní maticí 3. řádu (3 x 3) a třemi požadovanými.

Řešte soustavu rovnic:

$\začátek(případů) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \konec (případů)$

Vypočítejme hlavní determinant matice pomocí pravidla uvedeného výše pod bodem číslo 1:

$D = \begin(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64 $

A nyní tři další determinanty:

$D_1 = \begin(pole)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(pole) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \begin(pole)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 USD

Najdeme požadované množství:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

V první části jsme se podívali na nějaký teoretický materiál, na substituční metodu a také na metodu sčítání systémových rovnic po členech. Doporučuji všem, kteří se na stránky dostali přes tuto stránku, aby si přečetli první díl. Možná se některým návštěvníkům bude zdát látka příliš jednoduchá, ale v procesu řešení soustav lineárních rovnic jsem učinil řadu velmi důležitých připomínek a závěrů týkajících se řešení matematických úloh obecně.

Nyní budeme analyzovat Cramerovo pravidlo a také řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice (maticová metoda). Všechny materiály jsou prezentovány jednoduše, podrobně a jasně, téměř všichni čtenáři se budou moci naučit řešit systémy pomocí výše uvedených metod.

Nejprve se blíže podíváme na Cramerovo pravidlo pro soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Proč? – Nejjednodušší systém lze totiž vyřešit školní metodou, metodou sčítání po semestru!

Faktem je, že i když někdy se takový úkol vyskytne - vyřešit pomocí Cramerových vzorců soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Za druhé, jednodušší příklad vám pomůže pochopit, jak použít Cramerovo pravidlo pro složitější případ – systém tří rovnic se třemi neznámými.

Navíc existují soustavy lineárních rovnic se dvěma proměnnými, které je vhodné řešit pomocí Cramerova pravidla!

Zvažte soustavu rovnic

V prvním kroku vypočítáme determinant, tzv hlavní determinant systému.

Gaussova metoda.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další dva determinanty:
A

V praxi mohou být výše uvedené kvalifikátory také označeny latinkou.

Kořeny rovnice najdeme pomocí vzorců:
,

Příklad 7

Řešte soustavu lineárních rovnic

Řešení: Vidíme, že koeficienty rovnice jsou poměrně velké, na pravé straně jsou desetinné zlomky s čárkou. Čárka je v praktických úlohách z matematiky poměrně vzácným hostem, tento systém jsem převzal z ekonometrického problému.

Co dělat? V takových případech přijdou na pomoc Cramerovy vzorce.

;

Odpovědět: ,

Oba kořeny mají nekonečné ocasy a nacházejí se přibližně, což je pro ekonometrické problémy docela přijatelné (a dokonce běžné).

Komentáře zde nejsou potřeba, protože úloha je řešena pomocí hotových vzorců, existuje však jedno upozornění. Při použití této metody povinný Fragmentem návrhu úlohy je následující fragment: „To znamená, že systém má jedinečné řešení“. Jinak vás recenzent může potrestat za nerespektování Cramerovy věty.

Nebylo by zbytečné kontrolovat, což lze pohodlně provést na kalkulačce: do levé strany každé rovnice systému dosadíme přibližné hodnoty. Výsledkem je, že s malou chybou byste měli dostat čísla, která jsou na správných stranách.

Příklad 8

Uveďte odpověď v obyčejných nesprávných zlomcích. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami (příklad konečného návrhu a odpověď na konci lekce).

Pojďme se podívat na Cramerovo pravidlo pro systém tří rovnic se třemi neznámými:

Najdeme hlavní determinantu systému:

Jestliže , pak systém má nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní (nemá žádná řešení). V tomto případě Cramerovo pravidlo nepomůže, musíte použít Gaussovu metodu.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další tři determinanty:
, ,

A nakonec se odpověď vypočítá pomocí vzorců:

Jak vidíte, případ „tři na tři“ se v zásadě neliší od případu „dva na dva“; sloupec volných výrazů postupně „kráčí“ zleva doprava podél sloupců hlavního determinantu.

Příklad 9

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Řešení: Vyřešme soustavu pomocí Cramerových vzorců.

, což znamená, že systém má jedinečné řešení.

Odpovědět: .

Vlastně zde opět není co komentovat, protože řešení se řídí hotovými vzorci. Ale je tu pár připomínek.

Máte-li po ruce počítač, pak ke kontrole použijte automatizovaný program, který si můžete zdarma stáhnout hned na začátku lekce. Mimochodem, nejvýhodnější je použít program hned (ještě před spuštěním řešení), hned uvidíte mezikrok, kde jste udělali chybu! Stejná kalkulačka automaticky vypočítá řešení soustavy pomocí maticové metody.

Příklad 10

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Toto je příklad pro samostatné řešení (ukázka finálního návrhu a odpověď na konci lekce).

Řešení soustavy pomocí inverzní matice

Metoda inverzní matice je v podstatě speciální případ maticová rovnice(Viz příklad č. 3 zadané lekce).

Příklad 11

Řešte soustavu maticovou metodou

Řešení: Zapišme systém v maticovém tvaru:
, Kde

Inverzní matici najdeme pomocí vzorce:
, kde je transponovaná matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice.

Nejprve se podívejme na determinant:

Zde je determinant rozšířen na prvním řádku.

Pozornost! Jestliže , pak inverzní matice neexistuje a systém není možné řešit maticovou metodou. V tomto případě je systém řešen metodou eliminace neznámých (Gaussova metoda).

Nyní musíme vypočítat 9 nezletilých a zapsat je do matice nezletilých