Determinanty a jejich vlastnosti. Determinanty druhého řádu a jejich vlastnosti

Téma 1. Matice a systémy

Koncept matice

Definice 1.Matice

.

Tady, a i j (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - maticové prvky, i- číslo řádku, j m=n se nazývá matrice náměstí objednávková matice n.

i¹j se rovnají nule, se nazývá úhlopříčka:

singl

nula a označuje se θ.

- řádek matice; - maticový sloupec.

determinant(nebo determinant).

Determinanty 2. řádu

Definice 2. O omezovač druhého řádu matrice , to je

. (3)

Další označení: , .

Pojem determinantu tedy současně předpokládá metodu jeho výpočtu. Čísla se nazývají prvky determinantu. Úhlopříčka tvořená prvky se nazývá hlavní a prvky - boční

Příklad 1. Determinant matice se rovná

.

Determinanty 3. řádu

Definice 2. O omezovač třetího řádu je číslo označené symbolem

,

a definováno rovností

čísla - Prvky determinant. Prvky se tvoří Domovúhlopříčka, prvky - boční.

Při výpočtu determinantu, abyste si zapamatovali, které členy na pravé straně rovnosti (4) jsou brány se znaménkem „+“ a které se znaménkem „-“, použijte symbolické pravidlo trojúhelníků (Sarrusovo pravidlo):

Se znaménkem „+“ se berou součiny prvků hlavní úhlopříčky a prvků umístěných ve vrcholech trojúhelníků se základnami rovnoběžnými s hlavní úhlopříčkou; následuje znak „-“ – součin prvků vedlejší úhlopříčky a prvků umístěných ve vrcholech trojúhelníků se základnami rovnoběžnými s vedlejší úhlopříčkou.

Výpočet determinantu pomocí pravidla pro přiřazení sloupců.

1. První a druhý sloupec přiřadíme postupně vpravo od determinantu.

2. Vypočítáme součiny tří prvků diagonálně zleva doprava, shora dolů od A 11 až A 13 a vezměte je se znaménkem „+“. Poté vypočítáme součiny tří prvků diagonálně zleva doprava, zdola nahoru A 31 až A 13 a vezměte je se znaménkem „-“.

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

Příklad 2. Vypočítejte determinant pomocí pravidla pro přiřazení sloupců.

3. Determinanty n-tý řád. Nezletilí a algebraické sčítání. Výpočet determinantů řádkovým (sloupcovým) rozšířením.

Uvažujme o konceptu determinantu n-žádná objednávka. Determinant n- vysoký řád je číslo spojené s maticí n- určitého řádu a vypočtené podle určitého zákona.

,

zde jsou prvky determinantu. Ukázat pravidlo, podle kterého se determinant odhaluje n První řád, podívejme se na některé pojmy.

Definice 4. Méně důležitý určujícím prvkem n-tý řád se nazývá determinant ( n- 1) pořadí získané přeškrtnutím řádku a sloupce determinantu, v jehož průsečíku se tento prvek nachází.

Definice 5. Algebraický doplněk nějaký prvek determinantu n Tý řád se nazývá moll tohoto prvku vynásobený , tzn .

V determinantu třetího řádu lze uvažovat např.

, .

, .

Definice 6. Determinant n- vyššího řádu je číslo rovné součtu součinů prvků prvního řádku determinantu vynásobeného jejich algebraickými doplňky.

Toto pravidlo pro výpočet determinantu se nazývá rozšíření podél první řady.

Věta (o expanzi determinantu). Determinant lze vypočítat rozšířením přes libovolný řádek nebo sloupec.

– součet součinů prvků 1. sloupce algebraickými doplňky 2. sloupce.

Příklad 3. Vypočítejte determinant čtvrtého řádu .

Řešení. Třetí řádek vynásobíme (-1) a přidáme jej ke čtvrtému a poté rozšíříme determinant podél čtvrtého řádku:

Determinant třetího řádu byl rozšířen podél první řady.

Gaussova metoda.

Gaussova metoda spočívá v tom, že původní systém se odstraněním neznámého přemění na postupně mysl. V tomto případě se transformace provádějí na řádcích v rozšířené matici, protože transformace, které vylučují neznámé, jsou ekvivalentní elementárním transformacím řádků matice.

Gaussova metoda se skládá z tah vpřed A zvrátit. Přímým přístupem Gaussovy metody je redukce rozšířené matice systému (1) do stupňovité formy pomocí elementárních transformací přes řádky. Poté je systém testován na konzistenci a jistotu. Poté je soustava rovnic rekonstruována pomocí krokové matice. Řešením tohoto stupňovitého systému rovnic je opak Gaussovy metody, ve které, počínaje poslední rovnicí, neznámé s velkými sériové číslo a jejich hodnoty se dosadí do předchozí rovnice systému.

Studium systému na konci pohybu vpřed se provádí podle Kronecker-Capelliho věty porovnáním řad systémové matice A a rozšířené matice A´. Možné jsou následující případy.

1) Pokud , pak je systém nekonzistentní (podle Kronecker-Capelliho věty).

2) Jestliže , pak je systém (1) určitý a naopak (bez důkazu).

3) Jestliže , pak je systém (1) nejistý a naopak (bez důkazu).

Nerovnost neplatí, protože matice A je součástí matice A´, neplatí nerovnost, protože počet sloupců matice A je stejný P. Navíc pro systém se čtvercovou maticí, tedy pokud P = T, rovnosti jsou ekvivalentní skutečnosti, že .

Pokud je systém nejistý, to znamená, že je proveden, pak jsou některé jeho neznámé prohlášeny za volné a zbytek je vyjádřen jejich prostřednictvím. Počet volných neznámých je . Pokud při provádění opačného postupu Gaussovy metody v další rovnici po dosazení dříve nalezených proměnných zůstane více než jedna neznámá, pak jsou všechny neznámé kromě jedné prohlášeny za volné neznámé.

Podívejme se na implementaci Gaussovy metody na příkladech.

Příklad 4. Řešte soustavu rovnic

Řešení. Vyřešme soustavu pomocí Gaussovy metody. Vypíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí elementárních řádkových transformací (přímý pohyb) ji převedeme do stupňovité podoby.

~ ~ ~

~ ~ .

Proto je systém konzistentní a má unikátní řešení, tzn. je jisté.

Vytvořme stupňovitý systém a vyřešme jej (obrácený).

Kontrolu lze snadno provést substitucí.

Odpovědět: .

Téma 2. Vektorová algebra.

Promítání vektoru na osu.

Definice 2. Vektorová projekce na osu l je číslo rovné délce segmentu AB tato osa, uzavřená mezi průměty začátku a konce vektoru, braná se znaménkem „+“, pokud segment AB orientovaný (počítáno od A Na V) V pozitivní stránka sekery l a znak „-“ - jinak (viz obr. 2).

Označení: .

Věta 1. Průmět vektoru na osu je roven součinu jeho modulu a kosinu úhlu mezi vektorem a kladným směrem osy (obr. 3): Obr.

. (1)

Obr.3. Obr.4.

Důkaz. Z (obr. 3) získáme . Směr segmentu se shoduje s kladným směrem osy, proto je rovnost pravdivá. V případě opačné orientace (obr. 4) máme . Věta byla prokázána.

Podívejme se na vlastnosti projekcí.

Vlastnictví 1. Průmět součtu dvou vektorů a na osu je roven součtu jejich průmětů na stejnou osu, tzn.

Obr.5.

Důkaz v případě jednoho z možných uspořádání vektorů vyplývá z obrázku 5. Podle definice 2

Vlastnost 1 platí pro libovolný konečný počet členů vektorů.

Vlastnictví 2. Když je vektor vynásoben číslem l, jeho průmět se násobí tímto číslem

. (2)

Dokažme rovnost (2). Když vektory a svírají s osou stejný úhel. Podle věty 1

Když vektory a tvoří úhly a s osou, resp. Věta 1

Pro , získáme zřejmou rovnost

Důsledek z vlastností 1 a 2. Průmět lineární kombinace vektorů je roven stejné lineární kombinaci průmětů těchto vektorů, tzn.

Téma 1. Matice a systémy

Koncept matice

Definice 1.Matice velikost je obdélníková tabulka čísel nebo abecedních výrazů zapsaných ve formuláři

.

Tady, a i j (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - maticové prvky, i- číslo řádku, j- číslo sloupce. Matice se obvykle označují velkými písmeny latinka A, B, C atd., stejně jako nebo . Na m=n se nazývá matrice náměstí objednávková matice n.

Čtvercová matice, ve které mají všechny prvky nestejné indexy i¹j se rovnají nule, se nazývá úhlopříčka:

Pokud jsou všechny nenulové prvky diagonální matice rovny jedné, pak se matice zavolá singl. Matice identity se obvykle označuje písmenem E.

Zavolá se matice, jejíž prvky jsou všechny nulové nula a označuje se θ.

Existují také matice skládající se z jednoho řádku nebo jednoho sloupce.

- řádek matice; - maticový sloupec.

Číselná charakteristika čtvercové matice je determinant(nebo determinant).

Determinanty 2. a 3. řádu, jejich vlastnosti.

Determinanty 2. řádu

Definice 2. O omezovač druhého řádu matrice (nebo jednoduše determinant druhého řádu) je číslo označené symbolem a definované rovností , to je

. (3)

Další označení: , .

Chcete-li najít determinant matice, musíte použít vzorce, které jsou platné pro determinanty 2. a 3. řádu.

Vzorec

Nechť je dána matice druhého řádu $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $. Poté se jeho determinant vypočítá pomocí vzorce:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$

Od součinu prvků umístěných na hlavní diagonále $ a_(11)\cdot a_(22) $ se odečte součin prvků umístěných na vedlejší diagonále $ a_(12)\cdot a_(21) $. Toto pravidlo platí pouze (!) pro determinant 2. řádu.

Pokud je dána matice třetího řádu $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, pak by měl být jeho determinant vypočten pomocí vzorce:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$

Příklady řešení

Příklad 1

Nechť je dána matice $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $.Vypočítejte její determinant.

Řešení

Jak najít determinant matice? Věnujme pozornost skutečnosti, že matice je čtverec druhého řádu, to znamená, že počet sloupců se rovná počtu řádků a každý obsahuje 2 prvky. Aplikujme proto první vzorec. Vynásobme prvky na hlavní diagonále a odečteme od nich součin prvků na vedlejší diagonále: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Pokud nemůžete svůj problém vyřešit, pošlete nám jej. Poskytneme podrobné řešení. Budete moci sledovat průběh výpočtu a získávat informace. To vám pomůže získat známku od učitele včas!

Odpovědět

$$ \Delta = -2 $$

Příklad 2

Je dána matice $ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $. Musíme vypočítat determinant.

Řešení

Protože problémem je čtvercová matice 3. řádu, determinant by měl být nalezen pomocí druhého vzorce. Pro zjednodušení řešení problému stačí dosadit do vzorce místo proměnných $ a_(ij) $ hodnoty z matice našeho problému: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Stojí za zmínku, že když najdeme produkty prvků na sekundární diagonále a podobné, je před produkty umístěno znaménko mínus.

Odpovědět

$$ \Delta = 31 $$

Definice 6. Determinant třetího řádu odpovídající matici systému (1.4) je číslo D rovné

Pro výpočet determinantu třetího řádu se používají dvě výpočetní schémata, která umožňují vypočítat determinanty třetího řádu bez větších potíží. Tato schémata jsou známá jako „ trojúhelníkové pravidlo" (nebo "pravidlo hvězdičky") a " Sarrus vládne ".

Podle pravidla trojúhelníku se prvky spojené čarami v diagramu nejprve vynásobí a sečtou

těch. dostaneme součet produktů: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32.

Vezměte prosím na vědomí, že prvky spojené jednou čarou, rovnou nebo přerušenou, se násobí a poté se sčítají výsledné produkty.

Poté se prvky spojené ve schématu vynásobí a sečtou

těch. dostaneme další součet produktů a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32. A nakonec, pro výpočet determinantu, se druhý odečte od prvního součtu. Pak konečně získáme vzorec pro výpočet determinantu třetího řádu:

D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).

Podle Sarrusova pravidla se k determinantu zprava přičtou první dva sloupce a pak se vypočítá součet součinů prvků determinantu v jednom směru a součet součinů prvků ve směru druhém. se od něj odečte (viz obrázek):

Můžete si být jisti, že výsledek bude stejný jako při výpočtu determinantu pomocí pravidla trojúhelníku.

Příklad. Vypočítat determinant

Řešení. Vypočítejme determinant pomocí pravidla hvězdičky

A podle Sarrusova pravidla

Tito. získáme stejný výsledek pro obě výpočetní schémata, jak se očekávalo.

Všimněte si, že všechny vlastnosti formulované pro determinanty druhého řádu jsou platné pro determinanty třetího řádu, jak si můžete sami ověřit. Na základě těchto vlastností formulujeme obecné vlastnosti pro determinanty libovolného řádu.

Determinant čtvercová matice je číslo, které se vypočítá takto:

a) Je-li řád čtvercové matice 1, tzn. skládá se z 1 čísla, pak je determinant roven tomuto číslu;

b) Je-li řád čtvercové matice 2, tzn. skládá se ze 4 čísel, pak je determinant roven rozdílu součinu prvků hlavní úhlopříčky a součinu prvků vedlejší úhlopříčky;

c) Je-li řád čtvercové matice 3, tzn. skládá se z 9 čísel, pak z determinantu rovnající se součtu součiny prvků hlavní úhlopříčky a dvou trojúhelníků rovnoběžných s touto úhlopříčkou, od kterých se odečetl součet součinů prvků vedlejší úhlopříčky a dvou trojúhelníků rovnoběžných s touto úhlopříčkou.

Příklady

Vlastnosti determinantů

1. Determinant se nezmění, pokud jsou řádky nahrazeny sloupci a sloupce řádky

1. Determinant, který má 2 stejné řady, je roven nule
2. Společný faktor libovolného řádku (řádku nebo sloupce) determinantu lze vyjmout ze znaménka determinantu

4. Při přeskupení dvou paralelních řad změní determinant znaménko na opačné

5. Jsou-li prvky libovolné řady determinantu součty dvou členů, pak lze determinant rozšířit na součet dvou odpovídajících determinantů

6. Determinant se nezmění, pokud se k prvkům jedné řady přidají odpovídající prvky paralelní řady, vynásobené libovolným číslem

Vedlejší prvek determinantu a jeho algebraický doplněk

Vedlejší prvek a IJ determinant n-tého řádu je determinant n-1 řádu získaný z původního přeškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce

Algebraický doplněk prvku a IJ determinant je jeho minor vynásobený (-1) i+ j

Příklad

inverzní matice

Matice se nazývá nedegenerované, pokud její determinant není roven nule, jinak se matice nazývá singulární

Matice se nazývá svaz, pokud se skládá z odpovídajících algebraických doplňků a je transponován

Matice se nazývá zvrátit k dané matici, pokud je jejich součin roven matici identity stejného řádu jako daná matice

Věta o existenci inverzní matice

Jakákoli nesingulární matice má inverzní hodnotu rovnou spojenecké matici dělené determinantem této matice

Algoritmus pro nalezení inverzní matice A

1. Vypočítat determinant

1. Transponovací matice

1. Sestrojte sjednocovací matici, vypočítejte všechny algebraické doplňky transponované matice

1. Použijte vzorec:

Matrix minor je determinant skládající se z prvků umístěných v průsečíku vybraných k řádků a k sloupců dané matice o velikosti mxn

Hodnost matice je nejvyšší řád matice minor, který je nenulový

Zápis r(A), rangA

Hodnost se rovná počtu nenulových řádků krokové matice.

Příklad

Systémy lineární rovnice.

Soustava lineárních rovnic obsahující m rovnic a n neznámých se nazývá soustava tvaru

kde jsou čísla A IJ - systémové koeficienty, čísla b i - volné členy

Maticový záznamový formulář soustav lineárních rovnic

Systémové řešení n hodnot neznámých c 1, c 2,…, c n se nazývá, při jejich dosazení do systému se všechny rovnice systému promění ve skutečné rovnosti. Řešení systému lze zapsat jako sloupcový vektor.

Systém rovnic se nazývá kloub, pokud má alespoň jedno řešení, a nespojující, pokud neexistují žádná řešení.

Kroneckerova-Capelliho věta

Systém LU je konzistentní tehdy a pouze tehdy, když je hodnost hlavní matice stejná jako hodnost rozšířené matice

Metody řešení LU systému

1. Gaussova metoda(pomocí elementárních transformací zredukujte rozšířenou matici na krokovou matici a poté na kanonickou)

Mezi elementární transformace patří:

Změna uspořádání řádků (sloupců)

Přidání dalšího řádku (sloupce) vynásobeného číslem jiným než 0.

Vytvořme rozšířenou matici:

Vyberme prokladový prvek v prvním sloupci a prvním řádku, prvek 1., a nazvěme jej proklad. Řádek obsahující úvodní prvek se nezmění. Pojďme resetovat prvky pod hlavní úhlopříčkou. Chcete-li to provést, přidejte první řádek k druhému řádku, vynásobený (-2). Přidejte první řádek ke třetímu řádku, vynásobte (-1), dostaneme:

Prohodíme druhý a třetí řádek. V duchu přeškrtněte první sloupec a první řádek a pokračujte v algoritmu pro zbývající matici. Ke třetímu řádku přidáme druhý, vynásobený 5.

Rozšířenou matici jsme převedli do stupňovité podoby. Vrátíme-li se k rovnicím soustavy, začínáme od posledního řádku a postupujeme nahoru, určujeme neznámé jednu po druhé.

2. Maticová metoda (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; matice inverzní k hlavní matici vynásobená sloupcem volných členů)

3. Cramerova metoda.

Řešení systému najdeme podle vzorce:

Kde je determinant upravené hlavní matice, ve které je i-tý sloupec změněn na sloupec volných členů, a je hlavním determinantem, skládajícím se z koeficientů neznámých.

vektory.

Vektor je řízený segment

Libovolný vektor je dán délkou (modulem) a směrem.

Označení: nebo

kde A je začátek vektoru, B je konec vektoru a délka vektoru.

Vektorové klasifikace

Nulový vektor je vektor, jehož délka je nula

Jednotkový vektor je vektor, jehož délka je rovna jedné

Stejné vektory– jedná se o dva vektory, které mají stejnou délku a směr

Opačné vektory– jedná se o dva vektory, jejichž délky jsou stejné a směry opačné

Kolineární vektory– jedná se o dva vektory, které leží na stejné přímce nebo na rovnoběžných liniích

Kodirectional vektory jsou dva kolineární vektory se stejným směrem

Opačný směr vektory jsou dva kolineární vektory s opačnými směry

Koplanární vektory jsou tři vektory, které leží ve stejné rovině nebo na rovnoběžných rovinách

Obdélníkový systém souřadnice v rovině jsou dvě vzájemně kolmé čáry se zvoleným směrem a počátkem, přičemž vodorovná čára se nazývá osa úsečky a svislá čára se nazývá osa pořadnice

Každému bodu v pravoúhlém souřadnicovém systému přiřadíme dvě čísla: úsečku a pořadnici

Obdélníkový systém souřadnice v prostoru jsou tři vzájemně kolmé přímky se zvoleným směrem a počátkem, přičemž vodorovná přímka směřující k nám se nazývá osa úsečky, vodorovná přímka směřující vpravo od nás je osou pořadnice a svislá přímka směřující nahoru se nazývá aplikační osa

Každému bodu v pravoúhlém souřadnicovém systému přiřadíme tři čísla: úsečka, pořadnice a aplikace