Různé cesty důkaz Pythagorovy věty
student 9. "A" třídy
Městský vzdělávací ústav střední škola č. 8
Vědecký poradce:
učitel matematiky,
Městský vzdělávací ústav střední škola č. 8
Umění. Novoroždstvenskaja
Krasnodarský kraj.
Umění. Novoroždstvenskaja
ANOTACE.
Pythagorova věta je právem považována za nejdůležitější v průběhu geometrie a zaslouží si zvýšenou pozornost. Je základem pro řešení mnoha geometrických úloh, základem pro budoucí studium teoretických i praktických předmětů geometrie. Věta je obklopena množstvím historického materiálu souvisejícího s jejím vzhledem a metodami důkazu. Studium historie vývoje geometrie vštěpuje lásku k tomuto předmětu, podporuje rozvoj kognitivního zájmu, obecné kultury a kreativity a také rozvíjí badatelské dovednosti.
V důsledku rešeršní činnosti bylo dosaženo cíle práce, kterým bylo doplnění a zobecnění znalostí o důkazu Pythagorovy věty. Bylo možné najít a zvážit různé způsoby dokazování a prohlubování znalostí k tématu přesahující stránky školní učebnice.
Shromážděný materiál nás dále přesvědčuje, že Pythagorova věta je velkou větou geometrie a má obrovský teoretický i praktický význam.
Úvod. Historický odkaz 5 Hlavní část 8
3. Závěr 19
4. Použitá literatura 20
1. ÚVOD. HISTORICKÁ ODKAZ.
Podstatou pravdy je, že je pro nás navždy,
Když alespoň jednou v jejím vhledu spatříme světlo,
A Pythagorova věta po tolika letech
Pro nás, stejně jako pro něj, je to nepopiratelné, bezúhonné.
Aby se Pythagoras radoval, složil slib bohům:
Za dotek nekonečné moudrosti,
Zabil sto býků, díky těm věčným;
Po oběti pronesl modlitby a chvály.
Od té doby, když to býci ucítí, tlačí,
Že stezka opět vede lidi k nové pravdě,
Zuřivě řvou, takže nemá smysl poslouchat,
Takový Pythagoras v nich navěky vyvolával hrůzu.
Býci, bezmocní vzdorovat nové pravdě,
Co zůstává? - Jen zavřít oči, řvát, třást se.
Není známo, jak Pythagoras dokázal svou větu. Jisté je, že ji objevil pod silným vlivem egyptské vědy. Zvláštní případ Pythagorovy věty – vlastnosti trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5 – znali stavitelé pyramid dávno před narozením Pythagora a on sám se více než 20 let učil u egyptských kněží. Zachovala se legenda, která říká, že Pythagoras po prokázání své slavné věty obětoval bohům býka a podle jiných zdrojů dokonce 100 býků. To je však v rozporu s informacemi o morálních a náboženských názorech Pythagora. V literárních pramenech se můžete dočíst, že „zakázal i zabíjení zvířat, tím méně se jimi živil, protože zvířata mají duši, stejně jako my“. Pythagoras jedl pouze med, chléb, zeleninu a příležitostně ryby. V souvislosti s tím vším lze za věrohodnější považovat následující zápis: „... a i když zjistil, že v pravoúhlém trojúhelníku přepona odpovídá nohám, obětoval býka z pšeničného těsta.“
Popularita Pythagorovy věty je tak velká, že její důkazy najdeme i v beletrii, například v příběhu „Mladý Archimedes“ od slavného anglického spisovatele Huxleyho. Stejný důkaz, ale pro speciální případ rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku, je uveden v Platónově dialogu „Meno“.
Pohádka "Domov".
„Daleko, daleko, kde nelétají ani letadla, je země geometrie. V této neobvyklé zemi bylo jedno úžasné město - město Teorem. Jednoho dne jsem přišel do tohoto města nádherná dívka s názvem Hypotenze. Pokusila se pronajmout pokoj, ale ať se přihlásila kamkoli, byla odmítnuta. Nakonec se přiblížila k rozviklanému domu a zaklepala. Muž, který si říkal Pravý úhel, jí otevřel dveře a pozval Hypotenuse, aby s ním bydlela. Přepona zůstala v domě, ve kterém žil Pravý úhel a jeho dva malí synové jménem Katetes. Od té doby se život v domě Right Angle změnil novým způsobem. Přepona zasadila květiny na okno a zasadila červené růže v předzahrádce. Dům dostal tvar pravoúhlého trojúhelníku. Oběma nohám se přepona opravdu líbila a požádaly ji, aby zůstala navždy v jejich domě. Večer se tato přátelská rodina schází u rodinného stolu. Někdy si Right Angle hraje se svými dětmi na schovávanou. Nejčastěji musí hledat a přepona se skrývá tak dovedně, že může být velmi obtížné ji najít. Jednoho dne, při hraní, si Right Angle všiml zajímavé vlastnosti: pokud se mu podaří najít nohy, pak nalezení přepony není těžké. Pravý úhel tedy používá tento vzor, musím říci, velmi úspěšně. Pythagorova věta je založena na vlastnosti tohoto pravoúhlého trojúhelníku.“
(Z knihy A. Okuneva „Děkuji za lekci, děti“).
Vtipná formulace věty:
Pokud dostaneme trojúhelník
A navíc s pravým úhlem,
To je druhá mocnina přepony
Vždy snadno najdeme:
Narovnáme nohy,
Najdeme součet mocnin -
A to takovým jednoduchým způsobem
K výsledku dojdeme.
Při studiu algebry a počátků rozboru a geometrie v 10. třídě jsem se přesvědčil, že kromě metody dokazování Pythagorovy věty probírané v 8. třídě existují i jiné metody dokazování. Předkládám vám je k posouzení.
2. HLAVNÍ ČÁST.
Teorém. V pravoúhlém trojúhelníku je čtverec
Přepona se rovná součtu čtverců nohou.
1 ZPŮSOB.
Pomocí vlastností ploch mnohoúhelníků stanovíme pozoruhodný vztah mezi přeponou a rameny pravoúhlého trojúhelníku.
Důkaz.
a, c a přepona S(obr. 1, a).
Pojďme to dokázat c²=a²+b².
Důkaz.
Doplníme trojúhelník na čtverec se stranou a + b jak je znázorněno na Obr. 1, b. Plocha S tohoto čtverce je (a + b)². Na druhou stranu je tento čtverec tvořen čtyřmi stejnými pravoúhlými trojúhelníky, z nichž každý má plochu ½ au a čtverec se stranou S, proto S = 4 * ½ au + c² = 2au + c².
Tím pádem,
(a + b)² = 2 au + c²,
c²=a²+b².
Věta byla prokázána.
2 METODA.
Po prostudování tématu „Podobné trojúhelníky“ jsem zjistil, že podobnost trojúhelníků můžete aplikovat na důkaz Pythagorovy věty. Jmenovitě jsem použil tvrzení, že větev pravoúhlého trojúhelníku je střední hodnota úměrná přeponě a segmentu přepony uzavřené mezi větví a nadmořskou výškou nakreslenou z vrcholu. pravý úhel.
Uvažujme pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem C, CD – výška (obr. 2). Pojďme to dokázat AC² +NE² = AB²
.
Důkaz.
Na základě tvrzení o noze pravoúhlého trojúhelníku:
AC = , SV = .
Umocněme a sečteme výsledné rovnosti:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), kde pak AD+DB=AB
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Důkaz je kompletní.
3 METODA.
Chcete-li dokázat Pythagorovu větu, můžete použít definici kosinusu ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku. Podívejme se na Obr. 3.
Důkaz:
Nechť ABC je daný pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem C. Nakreslete výšku CD z vrcholu pravého úhlu C.
Podle definice kosinu úhlu:
cos A = AD/AC = AC/AB. Proto AB * AD = AC²
Rovněž,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Proto AB * BD = BC².
Sečtením výsledných rovností člen po členu a poznámkou, že AD + DB = AB, dostaneme:
AC² + slunce² = AB (AD + DB) = AB²
Důkaz je kompletní.
4 METODA.
Po prostudování tématu „Vztahy mezi stranami a úhly pravoúhlého trojúhelníku“ si myslím, že Pythagorovu větu lze dokázat i jiným způsobem.
Zvažte pravoúhlý trojúhelník s nohami a, c a přepona S. (obr. 4).
Pojďme to dokázat c²=a²+b².
Důkaz.
hřích B= vysoká kvalita ; cos B= a/c , pak umocněním výsledných rovností dostaneme:
hřích² B= v²/s²; cos² V= a²/c².
Když je sečteme, dostaneme:
hřích² V+cos² B=в²/с²+ а²/с², kde sin² V+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², tedy
c²= a² + b².
Důkaz je kompletní.
5 ZPŮSOB.
Tento důkaz je založen na řezání čtverců postavených na nohách (obr. 5) a umístění výsledných částí na čtverec postavený na přeponě.
6 METODA.
Pro důkaz na straně slunce stavíme BCD ABC(obr. 6). Víme, že plochy podobných obrazců spolu souvisí jako čtverce jejich podobných lineárních rozměrů:
Odečtením druhé od první rovnosti dostaneme
c2 = a2 + b2.
Důkaz je kompletní.
7 ZPŮSOB.
Dáno(obr. 7):
ABC,= 90° , slunce= a, AC=b, AB = c.
Dokázat:c2 = a2 +b2.
Důkaz.
Nechte nohu b A. Pokračujme v segmentu NE za bod V a postavit trojúhelník BMD takže body M A A ležet na jedné straně přímky CD a kromě toho, BD =b, BDM= 90°, DM= a, tedy BMD= ABC na dvou stranách a úhel mezi nimi. Body A a M spojit se segmenty DOPOLEDNE. My máme M.D. CD A A.C. CD, to znamená, že je to rovné AC rovnoběžně s čárou M.D. Protože M.D.< АС, pak rovně CD A DOPOLEDNE. ne paralelní. Proto, AMDC- pravoúhlý lichoběžník.
V pravoúhlých trojúhelníkech ABC a BMD 1 + 2 = 90° a 3 + 4 = 90°, ale protože = =, pak 3 + 2 = 90°; Pak AVM=180° - 90° = 90°. Ukázalo se, že lichoběžník AMDC je rozdělena na tři nepřekrývající se pravoúhlé trojúhelníky, dále pak podle plošných axiomů
(a+b)(a+b)
Vydělením všech členů nerovnosti dostaneme
Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Důkaz je kompletní.
8 ZPŮSOB.
Tato metoda je založena na přeponě a nohách pravoúhlého trojúhelníku ABC. Sestrojí odpovídající čtverce a dokáže, že čtverec postavený na přeponě se rovná součtu čtverců postavených na nohách (obr. 8).
Důkaz.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, Prostředek, FBC = DBA.
Tím pádem, FBC=ABD(na dvou stranách a úhel mezi nimi).
2) 
,
kde AL DE, protože BD je společný základ, DL- celková výška.
3) 
, protože FB je základ, AB- celková výška.
4) 
5) Podobně lze prokázat, že 
6) Sečtením termínu po termínu dostaneme:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Důkaz je kompletní.
9 ZPŮSOB.
Důkaz.
1) Nechat ABDE- čtverec (obr. 9), jehož strana je rovna přeponě pravoúhlého trojúhelníku ABC= s, BC = a, AC =b).
2) Nechat DK PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. A DK = slunce, protože 1 + 2 = 90° (jako ostré úhly pravoúhlého trojúhelníku), 3 + 2 = 90° (jako úhel čtverce), AB= BD(strany náměstí).
Prostředek, ABC= BDK(podle přepony a ostrého úhlu).
3) Nechat EL D.K., A.M. E.L. Lze snadno dokázat, že ABC = BDK = DEL = EAM (s nohama A A b). Pak KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),S2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Důkaz je kompletní.
10 METODA.
Důkaz lze provést na postavě vtipně nazývané „pythagorejské kalhoty“ (obr. 10). Jeho myšlenkou je přeměnit čtverce postavené po stranách na stejné trojúhelníky, které dohromady tvoří čtverec přepony.
ABC přesuňte jej, jak ukazuje šipka, a zaujme polohu KDN. Zbytek postavy AKDCB rovná plocha náměstí AKDC toto je rovnoběžník AKNB.
Byl vytvořen paralelogramový model AKNB. Uspořádáme rovnoběžník tak, jak je načrtnuto v obsahu práce. Abychom ukázali transformaci rovnoběžníku na rovnoběžný trojúhelník, před studenty odřízneme trojúhelník na modelu a posuneme jej dolů. Tedy plocha náměstí AKDC ukázalo se, že se rovná ploše obdélníku. Podobně převedeme plochu čtverce na plochu obdélníku.
Udělejme transformaci pro čtverec postavený na straně A(obr. 11, a):
a) čtverec se přemění na stejný rovnoběžník (obr. 11.6):
b) rovnoběžník se otočí o čtvrt otáčky (obr. 12):
c) rovnoběžník se přemění na stejný obdélník (obr. 13): 11 ZPŮSOB.
Důkaz:
PCL - rovné (obr. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Důkaz je u konce .
12 ZPŮSOB.
Rýže. Obrázek 15 ukazuje další originální důkaz Pythagorovy věty.
Zde: trojúhelník ABC s pravým úhlem C; úsečka B.F. kolmý NE a jemu rovný, segment BÝT kolmý AB a jemu rovný, segment INZERÁT kolmý AC a rovná se mu; body F, C,D patří do stejné linie; čtyřúhelníky ADFB A ASVE stejné velikosti, protože ABF = ECB; trojúhelníky ADF A ESO stejné velikosti; odečtěte od obou stejných čtyřúhelníků trojúhelník, který sdílejí ABC, dostaneme
, c2 = a2 +
b2.
Důkaz je kompletní.
13 ZPŮSOB.
Plocha daného pravoúhlého trojúhelníku na jedné straně je rovna ,
s jiným, ,
3. ZÁVĚR.
V důsledku rešeršní činnosti bylo dosaženo cíle práce, kterým bylo doplnění a zobecnění znalostí o důkazu Pythagorovy věty. Bylo možné najít a zvážit různé způsoby, jak to dokázat a prohloubit znalosti k tématu přesahující stránky školní učebnice.
Materiál, který jsem shromáždil, mě ještě více přesvědčuje, že Pythagorova věta je velkou větou geometrie a má obrovský teoretický i praktický význam. Na závěr bych chtěl říci: důvodem popularity Pythagorovy věty o trojici je její krása, jednoduchost a význam!
4. POUŽITÉ LITERATURY.
1. Zábavná algebra. . Moskva "Věda", 1978.
2. Týdenní vzdělávací a metodická příloha novin „První září“, 24/2001.
3. Geometrie 7-9. atd.
4. Geometrie 7-9. atd.
(podle papyru 6619 Berlínského muzea). Podle Cantora harpedonapty neboli „tahače lan“ stavěly pravé úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3, 4 a 5.
Je velmi snadné reprodukovat jejich způsob konstrukce. Vezmeme lano dlouhé 12 m a navážeme na něj barevný pruh ve vzdálenosti 3 m od jednoho konce a 4 metry od druhého. Pravý úhel bude mezi stranami dlouhými 3 a 4 metry. Harpedonaptům by se dalo namítnout, že jejich způsob stavby se stává nadbytečným, pokud se použije například dřevěný čtverec, který používají všichni tesaři. Jsou totiž známy egyptské kresby, na kterých se takový nástroj nachází, například kresby zobrazující truhlářskou dílnu.
Poněkud více je známo o Pythagorově větě mezi Babyloňany. V jednom textu pocházejícím z doby Hammurabiho, tedy do roku 2000 před naším letopočtem. E. , je uveden přibližný výpočet přepony pravoúhlého trojúhelníku. Z toho můžeme usoudit, že v Mezopotámii byli schopni provádět výpočty s pravoúhlými trojúhelníky, alespoň v některých případech. Na jedné straně na základě současné úrovně znalostí o egyptské a babylonské matematice a na druhé straně na základě kritického studia řeckých pramenů dospěl Van der Waerden (nizozemský matematik) k závěru, že existuje vysoká pravděpodobnost, že věta o kvadrátu přepony byla v Indii známa již kolem 18. století před naším letopočtem. E.
Kolem roku 400 př.n.l. př. n. l. podle Prokla dal Platón metodu pro hledání pythagorejských trojic, spojující algebru a geometrii. Kolem roku 300 př.n.l. E. Nejstarší axiomatický důkaz Pythagorovy věty se objevil v Euklidových prvcích.
Formulace
Geometrické složení:
Věta byla původně formulována takto:
Algebraická formulace:
To znamená, že délku přepony trojúhelníku označíme a délky ramen označíme a:
Obě formulace věty jsou ekvivalentní, ale druhá formulace je elementárnější, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrzení lze ověřit, aniž bychom věděli cokoli o ploše a měřením pouze délek stran pravoúhlého trojúhelníku.
Obraťte Pythagorovu větu:
Důkaz
Na tento moment Ve vědecké literatuře bylo zaznamenáno 367 důkazů této věty. Pravděpodobně je Pythagorova věta jedinou větou s tak působivým počtem důkazů. Takovou rozmanitost lze vysvětlit pouze základním významem věty pro geometrii.
Samozřejmě, koncepčně všechny lze rozdělit do malého počtu tříd. Nejznámější z nich: důkazy plošnou metodou, axiomatické a exotické důkazy (např. diferenciální rovnice).
Prostřednictvím podobných trojúhelníků
Následující důkaz algebraické formulace je nejjednodušší z důkazů, konstruovaný přímo z axiomů. Zejména nepoužívá koncept plochy obrázku.
Nechat ABC existuje pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem C. Nakreslíme výšku od C a označte jeho základnu H. Trojúhelník ACH podobný trojúhelníku ABC ve dvou rozích. Stejně tak trojúhelník CBH podobný ABC. Zavedením notace
dostaneme
Co je ekvivalentní
Když to sečteme, dostaneme
, což je potřeba dokázatDůkazy plošnou metodou
Níže uvedené důkazy, navzdory své zdánlivé jednoduchosti, nejsou vůbec tak jednoduché. Všechny využívají vlastnosti plochy, jejichž důkaz je složitější než důkaz samotné Pythagorovy věty.
Důkaz prostřednictvím ekvikomplementace
- Uspořádejme čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky, jak je znázorněno na obrázku 1.
- Čtyřúhelník se stranami C je čtverec, protože součet dvou ostrých úhlů je 90° a přímý úhel je 180°.
- Plocha celého obrazce se rovná na jedné straně ploše čtverce se stranou (a + b) a na druhé straně součtu ploch čtyř trojúhelníků a plocha vnitřního náměstí.
Q.E.D.
Euklidův důkaz
Myšlenka Euklidova důkazu je následující: zkusme dokázat, že polovina plochy čtverce postaveného na přeponě se rovná součtu polovičních ploch čtverců postavených na nohách a potom ploch velký a dva malé čtverce jsou stejné.
Podívejme se na nákres vlevo. Na něm jsme sestrojili čtverce po stranách pravoúhlého trojúhelníku a nakreslili paprsek s z vrcholu pravého úhlu C kolmo na přeponu AB, rozřízl čtverec ABIK, postavený na přeponě, na dva obdélníky - BHJI a HAKJ, respektive. Ukazuje se, že plochy těchto obdélníků jsou přesně stejné jako plochy čtverců postavených na odpovídajících nohách.
Pokusme se dokázat, že plocha čtverce DECA se rovná ploše obdélníku AHJK. K tomu použijeme pomocné pozorování: Plocha trojúhelníku se stejnou výškou a základnou jako daný obdélník se rovná polovině plochy daného obdélníku. Je to důsledek definování plochy trojúhelníku jako poloviny součinu základny a výšky. Z tohoto pozorování vyplývá, že plocha trojúhelníku ACK se rovná ploše trojúhelníku AHK (na obrázku není znázorněna), což se zase rovná polovině plochy obdélníku AHJK.
Nyní dokažme, že plocha trojúhelníku ACK se také rovná polovině plochy čtverce DECA. Jediné, co je pro to třeba udělat, je dokázat rovnost trojúhelníků ACK a BDA (protože plocha trojúhelníku BDA se rovná polovině plochy čtverce podle výše uvedené vlastnosti). Tato rovnost je zřejmá: trojúhelníky jsou stejné na obou stranách a úhel mezi nimi. Totiž - AB=AK, AD=AC - rovnost úhlů CAK a BAD snadno prokážeme metodou pohybu: trojúhelník CAK otočíme o 90° proti směru hodinových ručiček, pak je zřejmé, že odpovídající strany dvou trojúhelníků v otázka se bude shodovat (vzhledem k tomu, že úhel ve vrcholu čtverce je 90°).
Zdůvodnění rovnosti ploch čtverce BCFG a obdélníku BHJI je zcela podobné.
Tím jsme dokázali, že plocha čtverce postaveného na přeponě je složena z ploch čtverců postavených na nohách. Myšlenku tohoto důkazu dále ilustruje animace výše.
Důkaz Leonarda da Vinciho
Hlavními prvky důkazu jsou symetrie a pohyb.
Podívejme se na výkres, jak je vidět ze symetrie, segment rozřízne čtverec na dvě stejné části (protože trojúhelníky jsou v konstrukci stejné).
Pomocí otočení o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček kolem bodu vidíme rovnost stínovaných čísel a.
Nyní je jasné, že plocha obrázku, kterou jsme vystínovali, se rovná součtu poloviny ploch malých čtverců (postavených na nohách) a plochy původního trojúhelníku. Na druhé straně se rovná polovině plochy velkého čtverce (postaveného na přeponě) plus plocha původního trojúhelníku. Poloviční součet ploch malých čtverců se tedy rovná polovině plochy velkého čtverce, a proto se součet ploch čtverců postavených na nohách rovná ploše čtverce postaveného na přepona.
Důkaz infinitezimální metodou
Následující důkaz pomocí diferenciálních rovnic je často připisován slavnému anglickému matematikovi Hardymu, který žil v první polovině 20. století.
Při pohledu na výkres zobrazený na obrázku a pozorování změny strany A, můžeme napsat následující vztah pro infinitezimální přírůstky strany S A A(pomocí podobnosti trojúhelníku):
Pomocí metody separace proměnných najdeme
Více obecný výraz změnit přeponu v případě přírůstků obou nohou
Integrací této rovnice a použitím počátečních podmínek získáme
Tím se dostáváme k požadované odpovědi
Jak je snadné vidět, kvadratická závislost v konečném vzorci se objevuje v důsledku lineární úměrnosti mezi stranami trojúhelníku a přírůstky, zatímco součet je spojen s nezávislými příspěvky přírůstku různých větví.
Jednodušší důkaz lze získat, pokud předpokládáme, že jedna z nohou nezaznamená zvýšení (v v tomto případě noha). Pak pro integrační konstantu dostaneme
Variace a zobecnění
Podobné geometrické tvary na třech stranách
Zobecnění pro podobné trojúhelníky, plocha zelených tvarů A + B = plocha modrého C
Pythagorova věta pomocí podobných pravoúhlých trojúhelníků
Euclid ve svém díle zobecnil Pythagorovu větu Začátky, rozšiřující plochy čtverců po stranách na plochy podobných geometrických obrazců:
Pokud postavíte podobné geometrické obrazce(viz euklidovská geometrie) na stranách pravoúhlého trojúhelníku, pak se součet dvou menších čísel bude rovnat ploše většího obrázku.
Hlavní myšlenkou tohoto zobecnění je, že plocha takového geometrického útvaru je úměrná čtverci libovolného z jeho lineárních rozměrů a zejména druhé mocnině délky kterékoli strany. Proto u podobných čísel s plochami A, B A C postavené na stranách s délkou A, b A C, my máme:
Ale podle Pythagorovy věty A 2 + b 2 = C 2 pak A + B = C.
A naopak, pokud to dokážeme A + B = C pro tři podobné geometrické útvary bez použití Pythagorovy věty, pak můžeme dokázat samotnou větu pohybující se v opačném směru. Například počáteční středový trojúhelník lze znovu použít jako trojúhelník C na přeponě a dva podobné pravoúhlé trojúhelníky ( A A B), postavené na dalších dvou stranách, které jsou tvořeny dělením středového trojúhelníku jeho výškou. Součet ploch dvou menších trojúhelníků je tedy zjevně roven ploše třetího A + B = C a splnění předchozího důkazu v obrácené pořadí, získáme Pythagorovu větu a 2 + b 2 = c 2 .
Kosinová věta
Pythagorova věta je speciální případ obecnější věta o kosinech, která dává do souvislosti délky stran v libovolném trojúhelníku:
kde θ je úhel mezi stranami A A b.
Pokud je θ 90 stupňů, pak cos θ = 0 a vzorec se zjednoduší na obvyklou Pythagorovu větu.
Volný trojúhelník
Do libovolného vybraného rohu libovolného trojúhelníku se stranami a, b, c Vepišme rovnoramenný trojúhelník tak, že shodné úhly u jeho základny θ se rovnají zvolenému úhlu. Předpokládejme, že vybraný úhel θ leží proti určené straně C. Výsledkem je trojúhelník ABD s úhlem θ, který je umístěn na opačné straně A a večírky r. Druhý trojúhelník je tvořen úhlem θ, který je umístěn proti straně b a večírky S délka s, jak je znázorněno na obrázku. Thabit Ibn Qurra tvrdil, že strany v těchto třech trojúhelníkech spolu souvisí následovně:
Jak se úhel θ blíží π/2, základna rovnoramenného trojúhelníku se zmenšuje a obě strany r a s se navzájem stále méně překrývají. Když θ = π/2, ADB se stane pravoúhlým trojúhelníkem, r + s = C a získáme počáteční Pythagorovu větu.
Podívejme se na jeden z argumentů. Trojúhelník ABC má stejné úhly jako trojúhelník ABD, ale v opačném pořadí. (Mají dva trojúhelníky společný úhel ve vrcholu B mají oba úhel θ a mají také stejný třetí úhel, součtem úhlů trojúhelníku) Podle toho je ABC podobný odrazu ABD trojúhelníku DBA, jak je znázorněno na dolním obrázku. Zapišme vztah mezi protilehlými stranami a těmi, které sousedí s úhlem θ,
Také odraz jiného trojúhelníku,
Vynásobíme zlomky a sečteme tyto dva poměry:
Q.E.D.
Zobecnění pro libovolné trojúhelníky pomocí rovnoběžníků
Zobecnění pro libovolné trojúhelníky,
zelená plocha pozemek = plocha modrý
Důkaz teze, že na obrázku výše
Udělejme další zobecnění pro nepravoúhlé trojúhelníky použitím rovnoběžníků na třech stranách místo čtverců. (čtverce jsou zvláštní případ.) Horní obrázek ukazuje, že u ostrého trojúhelníku se plocha rovnoběžníku na dlouhé straně rovná součtu rovnoběžníků na ostatních dvou stranách za předpokladu, že rovnoběžník na dlouhé strana je konstruována tak, jak je znázorněno na obrázku (rozměry označené šipkami jsou stejné a určují strany spodního rovnoběžníku). Toto nahrazení čtverců rovnoběžníky má jasnou podobnost s počáteční Pythagorovou větou, o níž se předpokládá, že ji zformuloval Pappus z Alexandrie v roce 4 nl. E.
Spodní obrázek ukazuje průběh důkazu. Podívejme se na levou stranu trojúhelníku. Levý zelený rovnoběžník má stejnou plochu jako levá strana modrý rovnoběžník, protože mají stejnou základnu b a výška h. Také levý zelený rovnoběžník má stejnou plochu jako levý zelený rovnoběžník na horním obrázku, protože mají společnou základnu (nahoře levá strana trojúhelník) a celkovou výšku kolmou k této straně trojúhelníku. Podobným uvažováním pro pravou stranu trojúhelníku dokážeme, že spodní rovnoběžník má stejnou plochu jako dva zelené rovnoběžníky.
Komplexní čísla
Pythagorova věta se používá k nalezení vzdálenosti mezi dvěma body v kartézském souřadnicovém systému a tato věta platí pro všechny skutečné souřadnice: vzdálenost s mezi dvěma body ( a, b) A ( CD) rovná se
Pokud se s komplexními čísly zachází jako s vektory s reálnými složkami, nejsou se vzorcem žádné problémy X + já y = (X, y). . Například vzdálenost s mezi 0 + 1 i a 1 + 0 i vypočítaný jako modul vektoru (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), nebo
Pro operace s vektory se složitými souřadnicemi je však nutné provést určitá vylepšení pythagorejského vzorce. Vzdálenost mezi body s komplexní čísla (A, b) A ( C, d); A, b, C, A d vše složité, formulujme pomocí absolutní hodnoty. Vzdálenost s na základě vektorového rozdílu (A − C, b − d) v následujícím tvaru: nechť rozdíl A − C = p+i q, Kde p- skutečná část rozdílu, q je imaginární část a i = √(−1). Stejně tak nech b − d = r+i s. Pak:
kde je komplexně konjugované číslo pro . Například vzdálenost mezi body (A, b) = (0, 1) A (C, d) = (i, 0) , spočítáme rozdíl (A − C, b − d) = (−i, 1) a výsledek by byl 0, kdyby nebyly použity komplexní konjugáty. Proto pomocí vylepšeného vzorce dostaneme
Modul je definován následovně:
Stereometrie
Významným zobecněním Pythagorovy věty pro trojrozměrný prostor je de Goyova věta, pojmenovaná po J.-P. de Gois: pokud má čtyřstěn pravý úhel (jako v krychli), pak se čtverec plochy protilehlé pravému úhlu rovná součtu čtverců ploch ostatních tří ploch. Tento závěr lze shrnout jako „ n-rozměrný Pythagorův teorém":
Pythagorova věta trojrozměrný prostor spojuje úhlopříčku AD na tři strany.
Další zobecnění: Pythagorova věta může být aplikována na stereometrii v následující podobě. Uvažujme pravoúhlý rovnoběžnostěn, jak je znázorněno na obrázku. Pojďme zjistit délku úhlopříčky BD pomocí Pythagorovy věty:
kde tři strany tvoří pravoúhlý trojúhelník. K nalezení délky úhlopříčky AD použijeme vodorovnou úhlopříčku BD a svislou hranu AB, k tomu opět použijeme Pythagorovu větu:
nebo, když vše napíšeme do jedné rovnice:
Tento výsledek je trojrozměrný výraz pro určení velikosti vektoru proti(úhlopříčka AD), vyjádřená jejími kolmými složkami ( proti k ) (tři vzájemně kolmé strany):
Tuto rovnici lze považovat za zobecnění Pythagorovy věty pro vícerozměrný prostor. Výsledkem však ve skutečnosti není nic jiného než opakovaná aplikace Pythagorovy věty na posloupnost pravoúhlých trojúhelníků v postupně kolmých rovinách.
Vektorový prostor
V případě ortogonálního systému vektorů existuje rovnost, která se také nazývá Pythagorova věta:
Jestliže - to jsou projekce vektoru na souřadnicové osy, pak se tento vzorec shoduje s euklidovskou vzdáleností - a znamená, že délka vektoru je rovna druhé odmocnině součtu druhých mocnin jeho složek.
Obdoba této rovnosti v případě nekonečné soustavy vektorů se nazývá Parsevalova rovnost.
Neeuklidovská geometrie
Pythagorova věta je odvozena z axiomů euklidovské geometrie a ve skutečnosti neplatí pro neeuklidovskou geometrii ve formě, ve které je napsána výše. (To znamená, že Pythagorova věta se ukazuje jako jakýsi ekvivalent Euklidova postulátu rovnoběžnosti) Jinými slovy, v neeuklidovské geometrii bude vztah mezi stranami trojúhelníku nutně ve formě odlišné od Pythagorovy věty. Například ve sférické geometrii jsou všechny tři strany pravoúhlého trojúhelníku (řekněme A, b A C), které omezují oktant (osmou část) jednotkové koule, mají délku π/2, což je v rozporu s Pythagorovou větou, protože A 2 + b 2 ≠ C 2 .
Uvažujme zde dva případy neeuklidovské geometrie – sférickou a hyperbolickou geometrii; v obou případech, pokud jde o euklidovský prostor pro pravoúhlé trojúhelníky, vyplývá výsledek, který nahrazuje Pythagorovu větu, z kosinové věty.
Pythagorova věta však zůstává platná pro hyperbolickou a eliptickou geometrii, pokud je požadavek, aby trojúhelník byl pravoúhlý, nahrazen podmínkou, že součet dvou úhlů trojúhelníku se musí rovnat třetímu, řekněme A+B = C. Potom vztah mezi stranami vypadá takto: součet ploch kružnic s průměry A A b rovná se ploše kruhu s průměrem C.
Sférická geometrie
Pro libovolný pravoúhlý trojúhelník na kouli s poloměrem R(například je-li úhel γ v trojúhelníku pravý) se stranami A, b, C Vztah mezi stranami bude vypadat takto:
Tuto rovnost lze odvodit jako zvláštní případ sférická kosinová věta, která platí pro všechny sférické trojúhelníky:
kde cosh je hyperbolický kosinus. Tento vzorec je speciálním případem hyperbolické kosinové věty, která platí pro všechny trojúhelníky:
kde γ je úhel, jehož vrchol je opačný ke straně C.
Kde G ij nazývaný metrický tenzor. Může to být funkce polohy. Takové křivočaré prostory zahrnují Riemannovu geometrii as obecný příklad. Tato formulace je také vhodná pro euklidovský prostor při použití křivočarých souřadnic. Například pro polární souřadnice:
Vektorové kresby
Pythagorova věta spojuje dva výrazy pro velikost vektorového součinu. Jeden přístup k definování křížového produktu vyžaduje, aby splňoval rovnici:
Tento vzorec používá bodový produkt. Pravá strana rovnice se nazývá Gramův determinant pro A A b, která se rovná ploše rovnoběžníku tvořeného těmito dvěma vektory. Na základě tohoto požadavku, stejně jako požadavku, aby vektorový součin byl kolmý na jeho složky A A b z toho vyplývá, že kromě triviálních případů z 0- a 1-rozměrného prostoru je křížový součin definován pouze ve třech a sedmi dimenzích. Použijeme definici úhlu v n-rozměrný prostor:
Tato vlastnost křížového produktu udává jeho velikost takto:
Prostřednictvím základní trigonometrické identity Pythagora získáváme jinou formu zápisu jeho hodnoty:
Alternativním přístupem k definování křížového produktu je použití výrazu pro jeho velikost. Poté, uvažováním v opačném pořadí, získáme spojení se skalárním součinem:
viz také
Poznámky
- Téma historie: Pythagorova věta v babylonské matematice
- ( , str. 351) str. 351
- ( , svazek I, str. 144)
- Diskuse historická fakta uvedeno v (, str. 351) str. 351
- Kurt von Fritz (duben 1945). „Objev nesouměřitelnosti Hippasem z Metaponta“. The Annals of Mathematics, druhá řada(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, „Příběh s uzly“, M., Mir, 1985, str. 7
- Asger Aaboe Epizody z rané historie matematiky. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
- Návrh Pythonu od Elisha Scott Loomis
- Euklidova Elementy: Kniha VI, Tvrzení VI 31: „V pravoúhlých trojúhelníkech se obrazec na straně svírající pravý úhel rovná podobným a podobně popsaným obrazcům na stranách obsahujících pravý úhel.”
- Lawrence S. Leff citovaná práce. - Barronova vzdělávací řada. - S. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...zobecnění Pythagorovy věty // Velké okamžiky v matematice (před rokem 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (celým jménem Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 n. l.) byl lékař žijící v Bagdádu, který rozsáhle psal o Euklidových prvcích a dalších matematických předmětech.
- Aydin Sayili (březen 1960). "Zobecnění Pythagorovy věty Thâbit ibn Qurra." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally Cvičení 2.10 (ii) // Citovaná práce. - S. 62. - ISBN 0821844032
- Podrobnosti o takové konstrukci viz George Jennings Obrázek 1.32: Zobecněná Pythagorova věta // Moderní geometrie s aplikacemi: se 150 obrazci. - 3. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy Položka C: Norma pro libovolné n-tuple ... // Úvod do analýzy . - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Viz také strany 47–50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderní diferenciální geometrie křivek a ploch s Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Maticová analýza. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking citovaná práce. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein CRC stručná encyklopedie matematiky. - 2. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Když jste se poprvé začali učit o odmocninách a jak řešit iracionální rovnice (rovnice zahrnující neznámou pod znaménkem odmocniny), pravděpodobně jste poprvé ochutnali jejich praktické využití. Schopnost extrahovat Odmocnina z čísel je také nutné řešit úlohy pomocí Pythagorovy věty. Tato věta dává do souvislosti délky stran libovolného pravoúhlého trojúhelníku.
Délky ramen pravoúhlého trojúhelníku (těch dvou stran, které se setkávají v pravém úhlu) označíme písmeny a a délku přepony (nejdelší strana trojúhelníku umístěnou proti pravému úhlu) označíme dopis. Potom jsou příslušné délky spojeny následujícím vztahem:
Tato rovnice vám umožňuje najít délku strany pravoúhlého trojúhelníku, když je známa délka jeho dalších dvou stran. Navíc umožňuje určit, zda je dotyčný trojúhelník pravoúhlý, za předpokladu, že jsou předem známy délky všech tří stran.
Řešení úloh pomocí Pythagorovy věty
Pro upevnění materiálu vyřešíme následující úlohy pomocí Pythagorovy věty.
Takže za předpokladu:
- Délka jedné z nohou je 48, přepona je 80.
- Délka nohy je 84, přepona je 91.
Pojďme k řešení:
a) Dosazením dat do výše uvedené rovnice získáte následující výsledky:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 resp b = -64
Protože délku strany trojúhelníku nelze vyjádřit záporné číslo, druhá možnost se automaticky zahodí.
Odpověď na první obrázek: b = 64.
b) Délka ramene druhého trojúhelníku se zjistí stejným způsobem:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 resp b = -35
Stejně jako v předchozím případě se zamítavé rozhodnutí ruší.
Odpověď na druhý obrázek: b = 35
Je nám dáno:
- Délky menších stran trojúhelníku jsou 45 a 55 a větší strany jsou 75.
- Délky menších stran trojúhelníku jsou 28 a 45 a větší strany jsou 53.
Pojďme vyřešit problém:
a) Je třeba zkontrolovat, zda se součet druhých mocnin délek kratších stran daného trojúhelníku rovná druhé mocnině délky většího:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Proto první trojúhelník není pravoúhlý.
b) Provede se stejná operace:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Proto je druhý trojúhelník pravoúhlý.
Nejprve najdeme délku největšího segmentu tvořeného body se souřadnicemi (-2, -3) a (5, -2). K tomu používáme známý vzorec najít vzdálenost mezi body v pravoúhlém souřadnicovém systému:
Podobně zjistíme délku segmentu uzavřeného mezi body se souřadnicemi (-2, -3) a (2, 1):
Nakonec určíme délku úseku mezi body se souřadnicemi (2, 1) a (5, -2):
Protože platí rovnost:
pak je odpovídající trojúhelník pravoúhlý.
Můžeme tedy formulovat odpověď na úlohu: protože součet druhých mocnin stran s nejkratší délkou je roven druhé mocnině strany s nejdelší délkou, jsou body vrcholy pravoúhlého trojúhelníku.
Základna (umístěná přísně vodorovně), zárubeň (umístěná přísně svisle) a kabel (natažený diagonálně) tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro zjištění délky kabelu lze použít Pythagorovu větu:
Délka kabelu tedy bude přibližně 3,6 metru.
Dáno: vzdálenost z bodu R do bodu P (noha trojúhelníku) je 24, z bodu R do bodu Q (hypotenza) je 26.
Pomozme tedy Vitě vyřešit problém. Protože strany trojúhelníku zobrazené na obrázku mají tvořit pravoúhlý trojúhelník, můžete použít Pythagorovu větu k nalezení délky třetí strany:
Šířka jezírka je tedy 10 metrů.
Sergej Valerijevič
Pythagorova věta- jedna ze základních vět euklidovské geometrie, zakládající vztah
mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku.
Předpokládá se, že to dokázal řecký matematik Pythagoras, po kterém byl pojmenován.
Geometrická formulace Pythagorovy věty.
Věta byla původně formulována takto:
V pravoúhlém trojúhelníku se plocha čtverce postaveného na přeponě rovná součtu ploch čtverců,
postavené na nohách.
Algebraická formulace Pythagorovy věty.
V pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu čtverců délek nohou.
Tedy označující délku přepony trojúhelníku o C, a délky nohou skrz A A b:
Obě formulace Pythagorova věta jsou ekvivalentní, ale druhá formulace je elementárnější, tomu tak není
vyžaduje koncept oblasti. To znamená, že druhé tvrzení lze ověřit, aniž bychom věděli cokoli o oblasti a
měřením pouze délek stran pravoúhlého trojúhelníku.
Obraťte Pythagorovu větu.
Pokud je čtverec jedné strany trojúhelníku roven součtu čtverců ostatních dvou stran, pak
pravoúhlý trojuhelník.
Nebo, jinými slovy:
Pro každou trojici kladných čísel A, b A C, takové, že
existuje pravoúhlý trojúhelník s nohami A A b a přepona C.
Pythagorova věta pro rovnoramenný trojúhelník.
Pythagorova věta pro rovnostranný trojúhelník.
Důkazy Pythagorovy věty.
V současné době je ve vědecké literatuře zaznamenáno 367 důkazů této věty. Pravděpodobně teorém
Pythagorova věta je jediná s tak působivým počtem důkazů. Taková rozmanitost
lze vysvětlit pouze základním významem věty pro geometrii.
Samozřejmě, koncepčně všechny lze rozdělit do malého počtu tříd. Nejznámější z nich:
důkaz plošná metoda, axiomatický A exotické důkazy(Například,
používáním diferenciální rovnice).
1. Důkaz Pythagorovy věty pomocí podobných trojúhelníků.
Následující důkaz algebraické formulace je nejjednodušší z konstruovaných důkazů
přímo z axiomů. Zejména nepoužívá koncept plochy obrázku.
Nechat ABC existuje pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem C. Nakreslíme výšku od C a označují
jeho založení skrz H.
Trojúhelník ACH podobný trojúhelníku AB C ve dvou rozích. Stejně tak trojúhelník CBH podobný ABC.
Zavedením notace:
dostaneme:
,
což odpovídá -
Složený A 2 a b 2, dostaneme:
nebo , což je to, co bylo potřeba prokázat.
2. Důkaz Pythagorovy věty plošnou metodou.
Níže uvedené důkazy, navzdory své zdánlivé jednoduchosti, nejsou vůbec tak jednoduché. Všichni
využít vlastnosti plochy, jejichž důkazy jsou složitější než důkaz samotné Pythagorovy věty.
- Důkaz prostřednictvím ekvikomplementarity.
Uspořádáme čtyři stejné obdélníkové
trojúhelník, jak je znázorněno na obrázku
napravo.
Čtyřúhelník se stranami C- náměstí,
protože součet dvou ostrých úhlů je 90°, a
rozložený úhel - 180°.
Plocha celé postavy je na jedné straně stejná
plocha čtverce se stranou ( a+b), a na druhé straně součet obsahů čtyř trojúhelníků a
Q.E.D.
3. Důkaz Pythagorovy věty infinitezimální metodou.
Při pohledu na výkres zobrazený na obrázku a
sledovat změnu stranyA, můžeme
napište následující vztah pro nekonečno
malý boční přírůstkyS A A(pomocí podobnosti
trojúhelníky):
Pomocí metody proměnné separace zjistíme:
Obecnější vyjádření pro změnu přepony v případě přírůstků na obou stranách:
Integrací této rovnice a použitím počátečních podmínek získáme:
Tím se dostáváme k požadované odpovědi:
Jak je snadné vidět, kvadratická závislost v konečném vzorci se objevuje jako lineární
úměrnost mezi stranami trojúhelníku a přírůstky, zatímco součet se vztahuje k nezávis
příspěvky z přírůstku různých nohou.
Jednodušší důkaz lze získat, pokud předpokládáme, že jedna z nohou nezaznamená nárůst
(v tomto případě noha b). Pak pro integrační konstantu dostaneme:
Pythagorova věta
Podobně trojúhelník CBH je podobný ABC. Zavedením notace 
1. Umístěte čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky, jak je znázorněno na obrázku. 
Myšlenka Euklidova důkazu je následující: zkusme dokázat, že polovina plochy čtverce postaveného na přeponě se rovná součtu polovičních ploch čtverců postavených na nohách a potom ploch velký a dva malé čtverce jsou stejné. Podívejme se na nákres vlevo. Na něm jsme sestrojili čtverce po stranách pravoúhlého trojúhelníku a nakreslili paprsek s z vrcholu pravého úhlu C kolmo na přeponu AB, rozřízl čtverec ABIK, postavený na přeponě, na dva obdélníky - BHJI a HAKJ, respektive. Ukazuje se, že plochy těchto obdélníků jsou přesně stejné jako plochy čtverců postavených na odpovídajících nohách. Pokusme se dokázat, že plocha čtverce DECA se rovná ploše obdélníku AHJK. K tomu použijeme pomocné pozorování: Plocha trojúhelníku se stejnou výškou a základnou jako daný obdélník se rovná polovině plochy daného obdélníku. Je to důsledek definování plochy trojúhelníku jako poloviny součinu základny a výšky. Z tohoto pozorování vyplývá, že plocha trojúhelníku ACK se rovná ploše trojúhelníku AHK (na obrázku není znázorněna), což se zase rovná polovině plochy obdélníku AHJK. Nyní dokažme, že plocha trojúhelníku ACK se také rovná polovině plochy čtverce DECA. Jediné, co je pro to třeba udělat, je dokázat rovnost trojúhelníků ACK a BDA (protože plocha trojúhelníku BDA se rovná polovině plochy čtverce podle výše uvedené vlastnosti). Tato rovnost je zřejmá, trojúhelníky jsou stejné na obou stranách a úhel mezi nimi. Totiž - AB=AK,AD=AC - rovnost úhlů CAK a BAD snadno prokážeme metodou pohybu: trojúhelník CAK otočíme o 90° proti směru hodinových ručiček, pak je zřejmé, že odpovídající strany dvou trojúhelníků v otázka se bude shodovat (vzhledem k tomu, že úhel ve vrcholu čtverce je 90°). Zdůvodnění rovnosti ploch čtverce BCFG a obdélníku BHJI je zcela podobné. Tím jsme dokázali, že plocha čtverce postaveného na přeponě je složena z ploch čtverců postavených na nohách. 
Uvažujme výkres, jak je patrné ze symetrie, úsečka CI rozřízne čtverec ABHJ na dvě stejné části (protože trojúhelníky ABC a JHI jsou si konstrukčně stejné). Pomocí otočení o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček vidíme rovnost stínovaných čísel CAJI a GDAB. Nyní je jasné, že plocha obrázku, kterou jsme vystínovali, se rovná součtu poloviny ploch čtverců postavených na nohách a plochy původního trojúhelníku. Na druhou stranu se rovná polovině plochy čtverce postaveného na přeponě plus plocha původního trojúhelníku. Poslední krok důkazu je ponechán na čtenáři.
