Jak správně řešit lineární rovnice. Na co pamatovat při řešení lineárních rovnic

V tomto videu budeme analyzovat celou sadu lineárních rovnic, které jsou řešeny pomocí stejného algoritmu - proto se nazývají nejjednodušší.

Nejprve si definujme: co je lineární rovnice a která se nazývá nejjednodušší?

Lineární rovnice je taková, ve které existuje pouze jedna proměnná, a to pouze do prvního stupně.

Nejjednodušší rovnice znamená konstrukci:

Všechny ostatní lineární rovnice jsou redukovány na nejjednodušší pomocí algoritmu:

1. Rozbalte závorky, pokud existují;
2. Přesunout členy obsahující proměnnou na jednu stranu rovnítka a členy bez proměnné na druhou;
3. Uveďte podobné výrazy vlevo a vpravo od rovnítka;
4. Výslednou rovnici vydělte koeficientem proměnné $x$.

Tento algoritmus samozřejmě ne vždy pomůže. Faktem je, že někdy po všech těchto machinacích vyjde koeficient proměnné $x$ roven nule. V tomto případě jsou možné dvě možnosti:

1. Rovnice nemá vůbec žádná řešení. Když například vyjde něco jako $0\cdot x=8$, tzn. vlevo je nula a vpravo číslo jiné než nula. Ve videu níže se podíváme na několik důvodů, proč je tato situace možná.
2. Řešením jsou všechna čísla. Jediný případ, kdy je to možné, je, když byla rovnice zredukována na konstrukci $0\cdot x=0$. Je celkem logické, že ať dosadíme čímkoli $x$, stejně nám to vyjde „nula se rovná nule“, tzn. správná číselná rovnost.

Nyní se podívejme, jak to vše funguje na příkladech z reálného života.

Příklady řešení rovnic

Dnes se zabýváme lineárními rovnicemi, a to pouze těmi nejjednoduššími. Obecně lineární rovnice znamená jakoukoli rovnost, která obsahuje právě jednu proměnnou a jde pouze do prvního stupně.

Takové konstrukce jsou řešeny přibližně stejným způsobem:

1. Nejprve musíte rozšířit závorky, pokud nějaké existují (jako v našem posledním příkladu);
2. Pak kombinujte podobné
3. Nakonec izolujte proměnnou, tzn. přesuňte vše, co je s proměnnou spojeno – pojmy, ve kterých je obsažena – na jednu stranu a vše, co zůstane bez ní, přesuňte na druhou stranu.

Pak je zpravidla třeba dát podobné na každou stranu výsledné rovnosti a poté už jen zbývá vydělit koeficientem „x“ a dostaneme konečnou odpověď.

Teoreticky to vypadá hezky a jednoduše, ale v praxi mohou i zkušení středoškoláci dělat útočné chyby v celkem jednoduchých lineárních rovnicích. Chyby se obvykle dělají buď při otevírání závorek nebo při výpočtu „plusů“ a „mínusů“.

Navíc se stává, že lineární rovnice nemá vůbec žádná řešení, nebo že řešením je celá číselná osa, tzn. jakékoliv číslo. Na tyto jemnosti se podíváme v dnešní lekci. Ale začneme, jak jste již pochopili, od samotného jednoduché úkoly.

Schéma řešení jednoduchých lineárních rovnic

Nejprve mi dovolte znovu napsat celé schéma řešení nejjednodušších lineárních rovnic:

1. Rozbalte závorky, pokud existují.
2. Izolujeme proměnné, tzn. Přesuneme vše, co obsahuje „X“ na jednu stranu a vše bez „X“ na druhou.
3. Uvádíme podobné termíny.
4. Vše vydělíme koeficientem „x“.

Toto schéma samozřejmě nefunguje vždy, jsou v něm určité jemnosti a triky a nyní je poznáme.

Řešení reálných příkladů jednoduchých lineárních rovnic

Úkol č. 1

První krok vyžaduje, abychom otevřeli závorky. Ale v tomto příkladu nejsou, takže tento krok vynecháme. Ve druhém kroku musíme izolovat proměnné. Pozor: mluvíme pouze o jednotlivých termínech. Pojďme si to napsat:

Podobné výrazy uvádíme vlevo a vpravo, ale to zde již bylo provedeno. Proto přejdeme ke čtvrtému kroku: dělení koeficientem:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tak jsme dostali odpověď.

Úkol č. 2

V tomto problému vidíme závorky, takže je rozbalíme:

Nalevo i napravo vidíme přibližně stejný design, ale jednejme podle algoritmu, tzn. oddělení proměnných:

Zde jsou některé podobné:

Na jakých kořenech to funguje? Odpověď: pro všechny. Proto můžeme napsat, že $x$ je libovolné číslo.

Úkol č. 3

Zajímavější je třetí lineární rovnice:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Závorek je zde více, ale nejsou ničím násobeny, jsou před nimi pouze různá znaménka. Pojďme si je rozebrat:

Provedeme druhý, nám již známý krok:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Pojďme si to spočítat:

Provádíme poslední krok - vydělte vše koeficientem „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na co pamatovat při řešení lineárních rovnic

Pokud pomineme příliš jednoduché úkoly, rád bych řekl následující:

• Jak jsem řekl výše, ne každá lineární rovnice má řešení – někdy prostě nejsou kořeny;
• I když jsou kořeny, může mezi nimi být nula – na tom není nic špatného.

Nula je stejné číslo jako ostatní; neměli byste je nijak diskriminovat nebo předpokládat, že když dostanete nulu, udělali jste něco špatně.

Další funkce souvisí s otevíráním závorek. Vezměte prosím na vědomí: když je před nimi „mínus“, odstraníme ho, ale v závorkách změníme znaménka na naproti. A pak jej můžeme otevřít pomocí standardních algoritmů: dostaneme to, co jsme viděli ve výpočtech výše.

Pochopení tohoto prostého faktu vám pomůže vyhnout se hloupým a zraňujícím chybám na střední škole, kdy se takové věci považují za samozřejmost.

Řešení složitých lineárních rovnic

Přejděme ke složitějším rovnicím. Nyní budou konstrukce složitější a při provádění různých transformací se objeví kvadratická funkce. Neměli bychom se toho však bát, protože pokud podle plánu autora řešíme lineární rovnici, pak se během transformačního procesu zcela jistě zruší všechny monomily obsahující kvadratickou funkci.

Příklad č. 1

Prvním krokem je samozřejmě otevření závorek. Udělejme to velmi opatrně:

Nyní se podívejme na soukromí:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Zde jsou některé podobné:

Je zřejmé, že tato rovnice nemá řešení, takže to napíšeme do odpovědi:

\[\varnothing\]

nebo tam nejsou kořeny.

Příklad č. 2

Provádíme stejné akce. První krok:

Posuňme vše s proměnnou doleva a bez ní - doprava:

Zde jsou některé podobné:

Je zřejmé, že tato lineární rovnice nemá řešení, takže ji napíšeme takto:

\[\varnothing\],

nebo tam nejsou kořeny.

Nuance řešení

Obě rovnice jsou kompletně vyřešeny. Na příkladu těchto dvou výrazů jsme se opět přesvědčili, že ani v těch nejjednodušších lineárních rovnicích nemusí být vše tak jednoduché: může být buď jeden, nebo žádný, nebo nekonečně mnoho kořenů. V našem případě jsme uvažovali dvě rovnice, obě prostě nemají kořeny.

Rád bych vás ale upozornil na jiný fakt: jak pracovat se závorkami a jak je otevírat, pokud je před nimi znaménko mínus. Zvažte tento výraz:

Před otevřením musíte vše vynásobit „X“. Pozor: násobí se každý jednotlivý termín. Uvnitř jsou dva termíny – respektive dva termíny a násobený.

A teprve po dokončení těchto zdánlivě elementárních, ale velmi důležitých a nebezpečných proměn, můžete otevřít závorku z pohledu toho, že je za ní znaménko mínus. Ano, ano: teprve teď, když jsou transformace dokončeny, si pamatujeme, že před závorkami je znaménko mínus, což znamená, že vše níže jednoduše mění znaménka. Zároveň zmizí samotné závorky a hlavně zmizí i přední „mínus“.

Totéž uděláme s druhou rovnicí:

Ne náhodou věnuji pozornost těmto malým, zdánlivě bezvýznamným skutečnostem. Protože řešení rovnic je vždy sledem elementárních transformací, kdy neschopnost jasně a kompetentně provádět jednoduché úkony vede k tomu, že za mnou chodí středoškoláci a znovu se učí takto jednoduché rovnice řešit.

Samozřejmě přijde den, kdy tyto dovednosti vypilujete až k automatizaci. Už nebudete muset pokaždé provádět tolik transformací, vše napíšete na jeden řádek. Ale zatímco se teprve učíte, je potřeba psát každou akci zvlášť.

Řešení i složitějších lineárních rovnic

To, co nyní budeme řešit, lze jen stěží označit za nejjednodušší úkol, ale smysl zůstává stejný.

Úkol č. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všechny prvky v první části:

Udělejme trochu soukromí:

Zde jsou některé podobné:

Dokončíme poslední krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Zde je naše konečná odpověď. A přestože jsme v procesu řešení měli koeficienty s kvadratickou funkcí, ty se navzájem rušily, čímž je rovnice lineární a ne kvadratická.

Úkol č. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Pečlivě proveďte první krok: vynásobte každý prvek z první závorky každým prvkem z druhé závorky. Po transformacích by měly být celkem čtyři nové termíny:

Nyní pečlivě proveďte násobení v každém termínu:

Posuňme výrazy s "X" doleva a ty bez - doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Zde jsou podobné termíny:

Opět jsme dostali konečnou odpověď.

Nuance řešení

Nejdůležitější poznámka k těmto dvěma rovnicím je následující: jakmile začneme násobit závorky, které obsahují více než jeden člen, děje se to podle následujícího pravidla: vezmeme první člen z prvního a násobíme každým prvkem z druhý; pak vezmeme druhý prvek z prvního a podobně vynásobíme každým prvkem z druhého. Ve výsledku budeme mít čtyři volební období.

O algebraickém součtu

Tímto posledním příkladem bych chtěl studentům připomenout, co je to algebraický součet. V klasické matematice pod pojmem $1-7$ rozumíme jednoduchou konstrukci: odečtěte sedm od jedné. V algebře tím myslíme následující: k číslu „jedna“ přidáme další číslo, a to „mínus sedm“. Tím se algebraický součet liší od běžného aritmetického součtu.

Jakmile při provádění všech transformací, každého sčítání a násobení začnou vidět konstrukce podobné výše popsaným, nebudete mít v algebře při práci s polynomy a rovnicemi prostě žádné problémy.

Nakonec se podívejme na několik dalších příkladů, které budou ještě složitější než ty, na které jsme se právě dívali, a abychom je vyřešili, budeme muset mírně rozšířit náš standardní algoritmus.

Řešení rovnic se zlomky

Abychom takové úlohy vyřešili, budeme muset do našeho algoritmu přidat ještě jeden krok. Nejprve mi však dovolte připomenout náš algoritmus:

1. Otevřete závorky.
2. Samostatné proměnné.
3. Přineste podobné.
4. Vydělte poměrem.

Bohužel, tento úžasný algoritmus se při vší své účinnosti ukazuje jako ne zcela vhodný, když máme před sebou zlomky. A v tom, co uvidíme níže, máme v obou rovnicích zlomek nalevo i napravo.

Jak v tomto případě pracovat? Ano, je to velmi jednoduché! Chcete-li to provést, musíte do algoritmu přidat ještě jeden krok, který lze provést před i po první akci, konkrétně zbavit se zlomků. Algoritmus tedy bude následující:

1. Zbavte se zlomků.
2. Otevřete závorky.
3. Samostatné proměnné.
4. Přineste podobné.
5. Vydělte poměrem.

Co to znamená „zbavit se zlomků“? A proč to lze udělat jak po, tak před prvním standardním krokem? Ve skutečnosti jsou v našem případě všechny zlomky ve jmenovateli číselné, tzn. Všude je jmenovatelem jen číslo. Pokud tedy vynásobíme obě strany rovnice tímto číslem, zbavíme se zlomků.

Příklad č. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme se zlomků v této rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: vše se násobí „čtyři“ jednou, tzn. to, že máte dvě závorky, neznamená, že musíte každou násobit „čtyřmi“. Zapišme si:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nyní rozšíříme:

Vylučujeme proměnnou:

Provádíme redukci podobných termínů:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Máme konečné rozhodnutí, přejdeme k druhé rovnici.

Příklad č. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Zde provádíme všechny stejné akce:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyřešen.

To je vlastně vše, co jsem vám dnes chtěl říct.

Klíčové body

Klíčová zjištění jsou:

• Znát algoritmus pro řešení lineárních rovnic.
• Schopnost otevřít závorky.
• Nedělejte si starosti, pokud vidíte kvadratické funkce s největší pravděpodobností v procesu dalších transformací budou klesat.
• V lineárních rovnicích existují tři typy kořenů, dokonce i ty nejjednodušší: jeden jediný kořen, celá číselná osa je kořen a žádné kořeny.

Doufám, že vám tato lekce pomůže zvládnout jednoduché, ale velmi důležité téma pro další porozumění celé matematice. Pokud něco není jasné, přejděte na web a vyřešte příklady tam uvedené. Zůstaňte naladěni, čeká na vás mnoho dalších zajímavých věcí!

Lineární rovnice. Řešení, příklady.

Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)

Lineární rovnice.

Lineární rovnice- není to nejtěžší téma školní matematiky. Existují však triky, které mohou zmást i trénovaného studenta. Pojďme na to přijít?)

Typicky je lineární rovnice definována jako rovnice ve tvaru:

sekera + b = 0 Kde a a b– libovolná čísla.

2x + 7 = 0. Tady a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Zde a=0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Zde a=12, b = 1/2

Nic složitého, že? Zvláště pokud si nevšimnete slov: "kde a a b jsou jakákoli čísla"... A když si toho všimneš a bezstarostně o tom přemýšlíš?) Přece kdyby a=0, b=0(jsou možná nějaká čísla?), pak dostaneme legrační výraz:

Ale to není vše! Pokud, řekněme, a=0, A b=5, Ukázalo se, že jde o něco zcela neobvyklého:

Což je otravné a podrývá to důvěru v matematiku, že ano...) Zejména při zkouškách. Ale z těchto podivných výrazů musíte také najít X! Což vůbec neexistuje. A překvapivě je toto X velmi snadné najít. Naučíme se to dělat. V této lekci.

Jak poznat lineární rovnici podle jejího vzhledu? Záleží co vzhled.) Trik je v tom, že nejen rovnice tvaru se nazývají lineární rovnice sekera + b = 0 , ale také jakékoli rovnice, které lze do této podoby redukovat transformacemi a zjednodušeními. A kdo ví, jestli spadne nebo ne?)

V některých případech lze jasně rozpoznat lineární rovnici. Řekněme, že máme rovnici, ve které jsou pouze neznámé do prvního stupně a čísla. A v rovnici není zlomky děleno neznámý , to je důležité! A rozdělení podle číslo, nebo číselný zlomek - to je vítáno! Například:

Toto je lineární rovnice. Jsou zde zlomky, ale ve čtverci, krychli atd. nejsou žádná x a ve jmenovatelích žádná x, tzn. Ne dělení x. A tady je rovnice

nelze nazvat lineární. Zde jsou všechna X na prvním stupni, ale jsou dělení výrazem s x. Po zjednodušení a transformacích můžete získat lineární rovnici, kvadratickou rovnici nebo cokoliv chcete.

Ukazuje se, že je nemožné rozpoznat lineární rovnici v nějakém komplikovaném příkladu, dokud ji téměř nevyřešíte. To je znepokojující. Ale v úkolech se zpravidla neptají na tvar rovnice, že? Úkoly vyžadují rovnice rozhodni se. To mi dělá radost.)

Řešení lineárních rovnic. Příklady.

Celé řešení lineárních rovnic sestává z identických transformací rovnic. Mimochodem, tyto transformace (z toho dvě!) jsou základem řešení všechny rovnice matematiky. Jinými slovy, řešení žádný rovnice začíná právě těmito transformacemi. V případě lineárních rovnic je (řešení) založeno na těchto transformacích a končí plnou odpovědí. Dává smysl následovat odkaz, ne?) Navíc jsou tam i příklady řešení lineárních rovnic.

Nejprve se podívejme na nejjednodušší příklad. Bez jakýchkoliv nástrah. Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit tuto rovnici.

x - 3 = 2 - 4x

Toto je lineární rovnice. Všechna X jsou v první mocnině, neexistuje žádné dělení podle X. Ale ve skutečnosti nám nezáleží na tom, jaký druh rovnice to je. Musíme to vyřešit. Schéma je zde jednoduché. Sesbírejte vše s X na levé straně rovnice, vše bez X (čísel) na pravé.

Chcete-li to provést, musíte provést přenos - 4x palec levá strana, samozřejmě se změnou znamení a - 3 - doprava. Mimochodem, tohle je první identická transformace rovnic. Překvapený? To znamená, že jste nesledovali odkaz, ale marně...) Dostáváme:

x + 4x = 2 + 3

Zde jsou podobné, uvažujeme:

Co potřebujeme k úplnému štěstí? Ano, takže nalevo je čisté X! Pětka stojí v cestě. Zbavit se pěti s pomocí druhá identická transformace rovnic. Obě strany rovnice totiž vydělíme 5. Dostaneme připravenou odpověď:

Elementární příklad, samozřejmě. To je na zahřátí.) Není moc jasné, proč jsem si zde pamatoval stejné transformace? OK. Vezmeme býka za rohy.) Pojďme se rozhodnout něco pevnějšího.

Zde je například rovnice:

kde začneme? S X - doleva, bez X - doprava? Mohlo by to tak být. Malé krůčky po dlouhé cestě. Nebo můžete okamžitě, univerzálně a mocným způsobem. Pokud samozřejmě máte ve svém arzenálu identické transformace rovnic.

Položím vám klíčovou otázku: Co se vám na této rovnici nejvíce nelíbí?

95 ze 100 lidí odpoví: zlomky ! Odpověď je správná. Pojďme se jich tedy zbavit. Proto okamžitě začínáme s druhá transformace identity. Čím je třeba vynásobit zlomek vlevo, aby se jmenovatel úplně zmenšil? Správně, ve 3. A vpravo? 4. Ale matematika nám umožňuje obě strany vynásobit stejné číslo. Jak se můžeme dostat ven? Vynásobme obě strany 12! Tito. na společného jmenovatele. Pak se zmenší trojka i čtyřka. Nezapomeňte, že je potřeba každou část vynásobit zcela. První krok vypadá takto:

Rozšíření závorek:

Poznámka! Čitatel (x+2) Dal jsem to do závorek! Při násobení zlomků se totiž násobí celý čitatel! Nyní můžete zmenšit zlomky:

Rozbalte zbývající závorky:

Ne příklad, ale čisté potěšení!) Nyní si připomeňme kouzlo z juniorské třídy: s X - doleva, bez X - doprava! A použijte tuto transformaci:

Zde jsou některé podobné:

A obě části vydělte 25, tzn. aplikujte znovu druhou transformaci:

To je vše. Odpovědět: X=0,16

Poznámka: abychom původní matoucí rovnici uvedli do pěkné podoby, použili jsme dvě (jen dvě!) proměny identity– překlad zleva doprava se změnou znaménka a násobením-dělením rovnice stejným číslem. Toto je univerzální metoda! Tímto způsobem budeme pracovat s žádný rovnice! Naprosto kdokoli. Proto únavně opakuji o těchto identických transformacích pořád dokola.)

Jak vidíte, princip řešení lineárních rovnic je jednoduchý. Vezmeme rovnici a zjednodušujeme ji pomocí identických transformací, dokud nedostaneme odpověď. Hlavní problémy jsou zde ve výpočtech, nikoli v principu řešení.

Jenže... V procesu řešení těch nejelementárnějších lineárních rovnic jsou taková překvapení, že vás mohou přivést až do silného omámení...) Naštěstí mohou být taková překvapení jen dvě. Říkejme jim speciální případy.

Speciální případy řešení lineárních rovnic.

První překvapení.

Předpokládejme, že narazíte na velmi základní rovnici, něco jako:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Lehce znuděně to posuneme s X doleva, bez X - doprava... Se změnou znaménka je vše perfektní... Dostáváme:

2x-5x+3x=5-2-3

Počítáme, a... ups!!! Dostaneme:

Tato rovnost sama o sobě není závadná. Nula je opravdu nula. Ale X chybí! A do odpovědi musíme napsat, čemu se rovná x? Jinak se řešení nepočítá, ne...) Deadlock?

Uklidnit! V takových pochybných případech vás zachrání nejobecnější pravidla. Jak řešit rovnice? Co to znamená řešit rovnici? To znamená, najděte všechny hodnoty x, které po dosazení do původní rovnice, nám dá skutečnou rovnost.

Ale máme skutečnou rovnost již Stalo! 0=0, o kolik přesnější?! Zbývá zjistit, v jakém x se to stane. Do jakých hodnot X lze dosadit originál rovnice, pokud jsou tato x budou stále sníženy na nulu? no tak?)

Ano!!! X lze nahradit žádný! Které chcete? Alespoň 5, alespoň 0,05, alespoň -220. Budou se stále zmenšovat. Pokud mi nevěříte, můžete si to ověřit.) Dosaďte libovolné hodnoty X do originál vyrovnat a vypočítat. Po celou dobu budete mít čistou pravdu: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 a tak dále.

Zde je vaše odpověď: x - libovolné číslo.

Odpověď může být zapsána různými matematickými symboly, podstata se nemění. Toto je zcela správná a úplná odpověď.

Druhé překvapení.

Vezměme stejnou elementární lineární rovnici a změňme v ní pouze jedno číslo. O tom se rozhodneme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po stejných identických transformacích dostaneme něco zajímavého:

Takhle. Vyřešili jsme lineární rovnici a dostali jsme podivnou rovnost. Mluvení matematický jazyk, máme falešná rovnost. A mluvení jednoduchým jazykem, to není pravda. Vztekat se. Ale přesto je tento nesmysl velmi dobrým důvodem pro správné řešení rovnice.)

Opět uvažujeme na základě hlavní pravidla. Co nám dá x, když dosadíme do původní rovnice skutečný rovnost? Ano, žádný! Taková X neexistují. Bez ohledu na to, co vložíte, vše se zredukuje, zůstanou jen nesmysly.)

Zde je vaše odpověď: neexistují žádná řešení.

To je také zcela úplná odpověď. V matematice se takové odpovědi často nacházejí.

Takhle. Teď doufám, že vás zmizení X v procesu řešení jakékoli (nejen lineární) rovnice vůbec nezmate. To je již známá věc.)

Nyní, když jsme se vypořádali se všemi úskalími v lineárních rovnicích, má smysl je řešit.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

V této lekci se podíváme na metody řešení soustavy lineárních rovnic. V kurzu vyšší matematiky se vyžaduje řešení systémů lineárních rovnic jak ve formě samostatných úloh, například „Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců“, tak v průběhu řešení jiných problémů. Systémy lineárních rovnic je třeba probírat téměř ve všech oborech vyšší matematiky.

Nejprve trocha teorie. Co v v tomto případě znamená matematické slovo "lineární"? To znamená, že rovnice soustavy Všechno včetně proměnných v prvním stupni: bez nějakých ozdobných věcí jako atd., ze kterých mají radost jen účastníci matematických olympiád.

Ve vyšší matematice se k označení proměnných nepoužívají pouze písmena známá z dětství.
Poměrně oblíbenou možností jsou proměnné s indexy: .
Nebo počáteční písmena latinka, malé a velké:
Není tak vzácné najít řecká písmena: – známá mnoha jako „alfa, beta, gama“. A také sada s indexy, řekněme, s písmenem „mu“:

Použití té či oné sady písmen závisí na úseku vyšší matematiky, ve kterém se setkáváme se systémem lineárních rovnic. Takže například v systémech lineárních rovnic, se kterými se setkáváme při řešení integrálů, diferenciální rovnice Je tradiční používat notaci

Ale bez ohledu na to, jak jsou proměnné označeny, principy, metody a metody řešení soustavy lineárních rovnic se nemění. Pokud tedy narazíte na něco děsivého jako , nespěchejte se strachem zavírat knihu problémů, koneckonců můžete místo toho nakreslit slunce, místo toho ptáka a místo toho obličej (učitele). A jakkoli se to může zdát legrační, systém lineárních rovnic s těmito zápisy lze také vyřešit.

Mám pocit, že článek bude docela dlouhý, takže malý obsah. Sekvenční „debriefing“ tedy bude vypadat takto:

– Řešení soustavy lineárních rovnic substituční metodou (“ školní metoda») ;
– Řešení soustavy sčítáním (odčítáním) rovnic soustavy po členech;
– Řešení soustavy pomocí Cramerových vzorců;
– Řešení soustavy pomocí inverzní matice;
– Řešení soustavy Gaussovou metodou.

Systémy lineárních rovnic zná každý ze školních kurzů matematiky. V podstatě začínáme s opakováním.

Řešení soustavy lineárních rovnic substituční metodou

Tato metoda lze také nazvat „školní metodou“ nebo metodou odstraňování neznámých. Obrazně řečeno, lze ji také nazvat „nedokončenou Gaussovou metodou“.

Příklad 1

Zde dostáváme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými. Všimněte si, že volné členy (čísla 5 a 7) jsou umístěny na levé straně rovnice. Obecně řečeno, nezáleží na tom, kde jsou, vlevo nebo vpravo, jde jen o to, že v úlohách ve vyšší matematice jsou často umístěny tak. A takový záznam by neměl vést k záměně, v případě potřeby lze systém vždy zapsat „jako obvykle“: . Nezapomeňte, že při přesunu termínu z části na část je třeba změnit znaménko.

Co to znamená řešit soustavu lineárních rovnic? Řešení soustavy rovnic znamená nalezení mnoha jejích řešení. Řešením systému je množina hodnot všech proměnných v něm obsažených, který změní KAŽDOU rovnici systému ve skutečnou rovnost. Navíc systém může být nespojující (nemám řešení).Neboj se, je to tak obecná definice=) Budeme mít pouze jednu hodnotu „x“ a jednu hodnotu „y“, které splňují každou rovnici c-we.

Existuje grafická metodařešení systému, které naleznete ve tř Nejjednodušší problémy s linkou. Tam jsem o tom mluvil geometrický smysl soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Ale teď je to éra algebry a čísel – čísel, akcí – akcí.

Pojďme se rozhodnout: z první rovnice vyjádříme:
Výsledný výraz dosadíme do druhé rovnice:

Otevřeme závorky, přidáme podobné výrazy a zjistíme hodnotu:

Dále si pamatujeme, pro co jsme tančili:
Hodnotu již známe, zbývá jen najít:

Odpovědět:

Poté, co byl JAKÝKOLI způsob vyřešen JAKÝKOLI systém rovnic, důrazně doporučuji zkontrolovat (ústně, na konceptu nebo na kalkulačce). Naštěstí to jde snadno a rychle.

1) Dosaďte nalezenou odpověď do první rovnice:

– je dosaženo správné rovnosti.

2) Dosaďte nalezenou odpověď do druhé rovnice:

– je dosaženo správné rovnosti.

Nebo, jednodušeji řečeno, „vše se spojilo“

Uvažovaný způsob řešení není jediný, z první rovnice bylo možné vyjádřit , a ne .
Můžete to udělat opačně – vyjádřit něco z druhé rovnice a dosadit to do rovnice první. Mimochodem, všimněte si, že nejnevýhodnější ze čtyř metod je vyjádřit z druhé rovnice:

Výsledkem jsou zlomky, ale proč? Existuje racionálnější řešení.

V některých případech se však bez zlomků stále neobejdete. V tomto ohledu bych vás chtěl upozornit na to, JAK jsem výraz zapsal. Ne takto: a v žádném případě takto: .

Pokud se ve vyšší matematice zabýváte zlomková čísla, pak se pokuste provést všechny výpočty v obyčejných nesprávných zlomcích.

Přesně, a ne nebo!

Čárku lze použít pouze někdy, zejména pokud se jedná o konečnou odpověď na nějaký problém, a s tímto číslem není třeba provádět žádné další akce.

Mnoho čtenářů si pravděpodobně pomyslelo: „Proč to dělat? podrobné vysvětlení, jako u opravné třídy, a tak je vše jasné.“ Nic takového, vypadá to tak jednoduše školní příklad a kolik VELMI důležitých závěrů! Tady je další:

Měli byste se snažit dokončit jakýkoli úkol co nejracionálnějším způsobem. Už jen proto, že šetří čas a nervy a také snižuje pravděpodobnost, že uděláte chybu.

Pokud v nějaké úloze ve vyšší matematice narazíte na soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými, pak můžete vždy použít substituční metodu (pokud není naznačeno, že je potřeba soustavu řešit jinou metodou). myslíš si, že jsi blázen a snížíš si známku za používání „školní metody“
V některých případech je navíc vhodné použít substituční metodu s větším počtem proměnných.

Příklad 2

Řešte soustavu lineárních rovnic se třemi neznámými

Podobný systém rovnic často vzniká při použití metody tzv nejisté koeficienty když najdeme integrál zlomkové racionální funkce. Dotyčný systém jsem odtud převzal já.

Při hledání integrálu je cílem rychle najít hodnoty koeficientů a neuchýlit se ke Cramerovým vzorcům, metodě inverzní matice atd. Proto je v tomto případě vhodná substituční metoda.

Když je daná nějaká soustava rovnic, je v první řadě žádoucí zjistit, zda je možné ji OKAMŽITĚ nějak zjednodušit? Při analýze rovnic systému si všimneme, že druhou rovnici systému lze vydělit 2, což děláme:

Odkaz: matematický znak znamená „z toho plyne tamto“ a často se používá při řešení problémů.

Nyní pojďme analyzovat rovnice, potřebujeme vyjádřit nějakou proměnnou z hlediska ostatních. Jakou rovnici mám zvolit? Pravděpodobně jste již uhodli, že nejjednodušší způsob pro tento účel je vzít první rovnici systému:

Zde, bez ohledu na to, jakou proměnnou vyjádřit, lze stejně snadno vyjádřit nebo .

Dále dosadíme výraz pro do druhé a třetí rovnice systému:

Otevíráme závorky a uvádíme podobné termíny:

Vydělte třetí rovnici 2:

Z druhé rovnice vyjádříme a dosadíme do třetí rovnice:

Téměř vše je připraveno, ze třetí rovnice najdeme:
Z druhé rovnice:
Z první rovnice:

Kontrola: Dosaďte nalezené hodnoty proměnných do levé strany každé rovnice systému:

1)
2)
3)

Získají se odpovídající pravé strany rovnic, takže řešení je nalezeno správně.

Příklad 3

Řešte soustavu lineárních rovnic se 4 neznámými

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí(odpověď na konci lekce).

Řešení soustavy sčítáním (odčítáním) rovnic soustavy po členech

Při řešení soustav lineárních rovnic byste se měli snažit použít nikoli „školní metodu“, ale metodu sčítání (odčítání) rovnic soustavy po členech. Proč? To šetří čas a zjednodušuje výpočty, nicméně nyní bude vše jasnější.

Příklad 4

Řešte soustavu lineárních rovnic:

Vzal jsem stejný systém jako v prvním příkladu.
Při analýze soustavy rovnic si všimneme, že koeficienty proměnné mají stejnou velikost a opačné znaménko (–1 a 1). V takové situaci mohou být rovnice přidány po členech:

Činnosti zakroužkované červeně se provádějí MENTÁLNĚ.
Jak vidíte, v důsledku sčítání po jednotlivých termínech jsme proměnnou ztratili. To je ve skutečnosti co podstatou metody je zbavit se jedné z proměnných.

Lineární rovnice jsou celkem neškodné a srozumitelné téma školní matematiky. Ale kupodivu je počet chyb z ničeho nic při řešení lineárních rovnic jen o něco menší než v jiných tématech - kvadratické rovnice, logaritmy, trigonometrie a další. Příčinou většiny chyb jsou banální shodné transformace rovnic. Především se jedná o zmatek ve znacích při přenosu členů z jedné části rovnice do druhé a také o chyby při práci se zlomky a zlomkovými koeficienty. Ano ano! Zlomky se objevují i ​​v lineárních rovnicích! Všude okolo. Níže určitě analyzujeme takové zlé rovnice.)

No, netahejme kočku za ocas a pojďme na to přijít, ne? Pak si to přečteme a ponoříme se do toho.)

Co je lineární rovnice? Příklady.

Typicky lineární rovnice vypadá takto:

sekera + b = 0,

Kde a a b jsou libovolná čísla. Jakýkoli druh: celá čísla, zlomky, záporné, iracionální - mohou být jakékoli!

Například:

7x + 1 = 0 (zde a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (zde a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (zde a = 1/2, b = -1,1)

Obecně, doufám, rozumíte.) Všechno je jednoduché, jako v pohádce. Prozatím... A když se blíže podíváte na obecný zápis ax+b=0, a trochu se zamyslíte? Koneckonců, a a b jsou jakákoli čísla! A pokud máme, řekněme, a = 0 a b = 0 (lze vzít jakákoli čísla!), co pak dostaneme?

0 = 0

Ale to není všechno! Co když řekněme a = 0, b = -10? Pak se ukáže, že je to nějaký nesmysl:

0 = 10.

Což je velmi, velmi nepříjemné a podrývá to důvěru v matematiku, kterou jsme získali potem a krví... Zejména při testech a zkouškách. Ale z těchto nepochopitelných a podivných rovností musíte také najít X! Která vůbec neexistuje! A zde i dobře připravení studenti mohou někdy upadnout do toho, čemu se říká strnulost... Ale nebojte se! V této lekci se také podíváme na všechna taková překvapení. A určitě najdeme X z takových rovností.) Navíc toto stejné X lze najít velmi, velmi jednoduše. Ano ano! Překvapivé, ale pravdivé.)

Dobře, to je pochopitelné. Jak ale podle vzhledu úlohy poznáte, že jde o lineární rovnici a ne o nějakou jinou? Bohužel ne vždy je možné rozpoznat typ rovnice jen podle vzhledu. Jde o to, že lineárními se neoznačují pouze rovnice ve tvaru ax + b = 0, ale také jakékoli jiné rovnice, které lze tak či onak do tohoto tvaru identickými transformacemi redukovat. Jak víš, jestli se to sčítá nebo ne? Dokud ten příklad těžko vyřešíte – skoro vůbec. To je znepokojující. Ale u některých typů rovnic můžete jedním letmým pohledem okamžitě s jistotou zjistit, zda je lineární nebo ne.

Za tímto účelem se ještě jednou podívejme na obecnou strukturu libovolné lineární rovnice:

sekera + b = 0

Poznámka: v lineární rovnici Vždy je přítomna pouze proměnná x v prvním stupni a pár čísel! To je vše! Nic jiného. Zároveň nejsou žádná X ve čtverci, v krychli, pod odmocninou, pod logaritmem a další exotické věci. A (co je nejdůležitější!) neexistují žádné zlomky s X ve jmenovatelích! Ale zlomky s čísly ve jmenovatelích nebo dělení za číslo- snadno!

Například:

Toto je lineární rovnice. Rovnice obsahuje pouze X k první mocnině a číslům. A ve vyšších mocninách nejsou žádná X – na druhou, na krychli a tak dále. Ano, jsou zde zlomky, ale zároveň jmenovatele zlomků obsahují pouze čísla. Totiž dva a tři. Jinými slovy, neexistuje dělení x.

A tady je rovnice

Už to nelze nazvat lineární, i když i zde existují pouze čísla a X k první mocnině. Protože mimo jiné existují i ​​zlomky s X ve jmenovatelích. A po zjednodušení a transformacích se z takové rovnice může stát cokoliv: lineární, kvadratická – cokoliv.

Jak řešit lineární rovnice? Příklady.

Jak tedy řešíte lineární rovnice? Čtěte dál a nechte se překvapit.) Celé řešení lineárních rovnic je založeno pouze na dvou hlavních věcech. Pojďme si je vyjmenovat.

1) Soubor elementárních dějů a pravidel matematiky.

Jedná se o používání závorek, otevírání závorek, práce se zlomky, práce se zápornými čísly, násobilky a tak dále. Tyto znalosti a dovednosti jsou nezbytné nejen pro řešení lineárních rovnic, ale pro celou matematiku obecně. A pokud s tím máte problémy, vzpomeňte si na nižší ročníky. Jinak to budeš mít těžké...

2)

Jsou jen dva. Ano ano! Navíc tyto velmi základní transformace identity jsou základem řešení nejen lineárních, ale obecně jakýchkoli matematických rovnic! Jedním slovem, řešení jakékoli jiné rovnice - kvadratické, logaritmické, trigonometrické, iracionální atd. – zpravidla se začíná těmito úplně základními přeměnami. Ale řešení lineárních rovnic jimi (transformacemi) ve skutečnosti končí. Hotová odpověď.) Tak nebuďte líní a mrkněte na odkaz.) Navíc jsou tam podrobně rozebrány i lineární rovnice.

No, myslím, že je čas začít hledat příklady.

Pro začátek se jako rozcvička podíváme na pár základních věcí. Bez jakýchkoli zlomků nebo jiných zvonků a píšťalek. Například tato rovnice:

x – 2 = 4 – 5x

Jedná se o klasickou lineární rovnici. Všechna X jsou maximálně v první mocnině a nikde není dělení X. Schéma řešení v takových rovnicích je vždy stejné a strašně jednoduché: všechny členy s X musí být shromážděny nalevo a všechny členy bez X (tj. čísla) musí být shromážděny napravo. Začněme tedy sbírat.

Za tímto účelem spouštíme první transformaci identity. Musíme se posunout -5x doleva a -2 doprava. Se změnou znaménka, samozřejmě.) Takže přenášíme:

x + 5x = 4 + 2

Tady máš. Polovina bitvy je hotová: X byla shromážděna na hromádku, stejně jako čísla. Nyní uvádíme podobné vlevo a počítáme je vpravo. Dostaneme:

6x = 6

Co nám nyní chybí k úplnému štěstí? Ano, aby čisté X zůstalo vlevo! A šestka stojí v cestě. Jak se toho zbavit? Nyní spustíme druhou transformaci identity - vydělte obě strany rovnice 6. A - voila! Odpověď je připravena.)

x = 1

Samozřejmě, že příklad je zcela primitivní. Abychom získali obecnou představu. No, pojďme se rozhodnout něco významnějšího. Podívejme se například na tuto rovnici:

Podívejme se na to podrobně.) Toto je také lineární rovnice, i když by se zdálo, že zde jsou zlomky. Ale ve zlomcích existuje dělení dvěma a dělení třemi, ale neexistuje dělení výrazem s X! Pojďme se tedy rozhodnout. Pomocí stejných identických transformací, ano.)

Co bychom měli udělat jako první? S X - doleva, bez X - doprava? V zásadě to možné je. Leťte do Soči přes Vladivostok.) Nebo se můžete vydat nejkratší cestou, okamžitě pomocí univerzální a výkonné metody. Pokud znáte transformace identity, samozřejmě.)

Nejprve položím klíčovou otázku: co vás na této rovnici nejvíce vystihuje a co se vám nelíbí? 99 ze 100 lidí řekne: zlomky! A budou mít pravdu.) Nejprve se jich tedy zbavme. Bezpečné pro samotnou rovnici.) Začněme proto hned s druhá transformace identity- z násobení. Čím bychom měli vynásobit levou stranu, aby se jmenovatel úspěšně zmenšil? Přesně tak, dvojka. A pravá strana? Pro tři! Ale... Matematika je vrtošivá dáma. Vidíte, ona vyžaduje pouze násobení obou stran za stejné číslo! Násobení každé části jejím vlastním číslem nefunguje... Co budeme dělat? Něco... Hledej kompromis. Abychom uspokojili naše touhy (zbavit se zlomků) a neurazili matematiku.) Vynásobme obě části šesti!) Tedy společným jmenovatelem všech zlomků zahrnutých v rovnici. Pak se jedním šmahem sníží oba dva i tři!)

Pojďme se tedy množit. Celá levá strana a celá pravá strana! Proto používáme závorky. Takto vypadá samotný postup:

Nyní otevřeme stejné závorky:

Nyní, reprezentující 6 jako 6/1, vynásobme šest každým ze zlomků vlevo a vpravo. Toto je obvyklé násobení zlomků, ale budiž, popíšu to podrobně:

A tady - pozor! Čitatele (x-3) jsem dal do závorek! To vše proto, že při násobení zlomků se čitatel násobí úplně, úplně! A výraz x-3 musí být zpracován jako jedna integrální struktura. Ale pokud napíšete čitatel takto:

6x – 3,

Ale máme vše v pořádku a musíme to dotáhnout do konce. Co dělat dál? Otevřít závorky v čitateli vlevo? V žádném případě! Vy a já jsme vynásobili obě strany 6, abychom se zbavili zlomků a nemuseli se starat o otevírání závorek. V této fázi potřebujeme snížit naše zlomky. S pocitem hlubokého uspokojení zredukujeme všechny jmenovatele a dostaneme rovnici bez zlomků v pravítku:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

A nyní lze otevřít zbývající závorky:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

Rovnice je stále lepší a lepší! Nyní si znovu připomeňme první identickou transformaci. S rovnou tváří opakujeme kouzlo z juniorských tříd: s X - doleva, bez X - doprava. A použijte tuto transformaci:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Podobné uvádíme vlevo a počítáme vpravo:

13x = 39

Zbývá vydělit obě části 13. To znamená znovu použít druhou transformaci. Rozdělíme a dostaneme odpověď:

x = 3

Práce je hotová. Jak vidíte, v této rovnici jsme museli použít první transformaci jednou (přenos členů) a druhou dvakrát: na začátku řešení jsme použili násobení (6), abychom se zbavili zlomků, a na konci řešení jsme použili dělení (13), abychom se zbavili koeficientu před X. A řešení jakékoli (ano, jakékoli!) lineární rovnice sestává z kombinace těchto stejných transformací v té či oné sekvenci. Kde přesně začít, záleží na konkrétní rovnici. Někde je výhodnější začít převodem a jinde (jako v tomto příkladu) násobením (nebo dělením).

Pracujeme od jednoduchých po složité. Podívejme se nyní na přímou krutost. Se hromadou zlomků a závorek. A já vám řeknu, jak se nepřetěžovat.)

Zde je například rovnice:

Chvíli se díváme na rovnici, jsme zděšeni, ale přesto se dáváme dohromady! Hlavním problémem je, kde začít? Na pravé straně můžete přidat zlomky. Zlomky v závorkách můžete odečítat. Obě části můžete něčím vynásobit. Nebo rozdělit... Co je tedy ještě možné? Odpověď: všechno je možné! Matematika žádný z uvedených úkonů nezakazuje. A bez ohledu na to, jaký sled akcí a transformací zvolíte, odpověď bude vždy stejná – správná. Pokud ovšem v některém kroku neporušíte identitu svých proměn a tím neuděláte chyby...

A abychom se nemýlili, v tak sofistikovaných příkladech, jako je tento, je vždy nejužitečnější zhodnotit jeho vzhled a přijít na to ve své mysli: co lze v příkladu udělat, aby maximum zjednodušit to v jednom kroku?

Tak na to pojďme přijít. Vlevo jsou ve jmenovatelích šestky. Osobně je nemám rád, navíc se velmi snadno odstraňují. Dovolte mi vynásobit obě strany rovnice 6! Pak se úspěšně zredukují šestky vlevo, zlomky v závorkách zatím nikam nepůjdou. To je v pořádku. Budeme se jim věnovat trochu později.) Ale vpravo máme rušící jmenovatele 2 a 3. Právě touto akcí (vynásobením 6) dosáhneme maximálních zjednodušení v jednom kroku!

Po vynásobení celá naše zlá rovnice vypadá takto:

Pokud přesně nechápete, jak tato rovnice vznikla, pak jste dobře nepochopili analýzu předchozího příkladu. A mimochodem jsem to zkusil...

Pojďme si tedy prozradit:

Nyní by nejlogičtějším krokem bylo izolovat zlomky nalevo a poslat 5x na pravou stranu. Zároveň si podobné představíme na pravé straně. Dostaneme:

Už mnohem lepší. Nyní se levá strana připravila na násobení. Čím máme vynásobit levou stranu, aby se zmenšila pětka i čtyřka najednou? Dne 20! Ale máme také nevýhody na obou stranách rovnice. Proto bude nejvýhodnější vynásobit obě strany rovnice ne 20, ale -20. Pak najednou zmizí minusy i zlomky.

Takže vynásobíme:

Každý, kdo tomuto kroku stále nerozumí, znamená, že problém není v rovnicích. Problémy jsou v základech! Připomeňme si znovu zlaté pravidlo otevírací závorky:

Pokud je číslo vynásobeno nějakým výrazem v závorce, pak toto číslo musí být postupně vynásobeno každým členem právě tohoto výrazu. Navíc, pokud je číslo kladné, pak jsou znaménka výrazů zachována i po rozšíření. Pokud je záporná, změňte ji na opak:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Naše zápory zmizely po vynásobení obou stran -20. A nyní vynásobíme závorky se zlomky vlevo docela kladné číslo 20. Proto při otevření těchto závorek zůstanou zachovány všechny znaky, které byly uvnitř nich. Odkud se ale berou závorky v čitatelích zlomků, jsem již podrobně vysvětlil v předchozím příkladu.

Nyní můžete zmenšit zlomky:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Otevřete zbývající závorky. Opět to odhalujeme správně. První závorky jsou vynásobeny kladným číslem 4, a proto jsou všechna znaménka zachována i při jejich otevření. Ale druhé závorky jsou násobeny negativníčíslo je -5, a proto jsou všechna znaménka obrácená:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Zbývají jen maličkosti. S X vlevo, bez X vpravo:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

To je skoro vše. Nalevo potřebujete čisté X, ale v cestě stojí číslo -35. Obě strany tedy vydělíme (-35). Dovolte mi připomenout, že druhá transformace identity nám umožňuje násobit a dělit obě strany To je jednočíslo. Včetně záporných.) Pokud to není nula! Neváhejte a rozdělte se a získejte odpověď:

X = 2/35

Tentokrát se X ukázalo jako zlomkové. To je v pořádku. Takový příklad.)

Jak vidíme, princip řešení lineárních rovnic (i těch nejsložitějších) je vcelku jednoduchý: vezmeme původní rovnici a pomocí identických transformací ji postupně zjednodušujeme, dokud nedostaneme odpověď. Se základy, samozřejmě! Hlavními problémy jsou právě nedodržení základů (například před závorkami je mínus a při rozbalování zapomněli změnit znaménka) a také v banální aritmetice. Takže nezanedbávejte základy! Jsou základem veškeré ostatní matematiky!

Některé zábavné věci při řešení lineárních rovnic. Nebo zvláštní příležitosti.

Všechno by bylo v pořádku. Jenomže... Mezi lineárními rovnicemi se najdou i takové vtipné perličky, které vás při jejich řešení mohou přivést do silného omámení. Dokonce i vynikající student.)

Zde je například neškodně vypadající rovnice:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Široko zívající a mírně znudění sbíráme všechna X nalevo a všechna čísla napravo:

7x-4x-3x = 5-2-3

Uvádíme podobné, spočítejte a dostanete:

0 = 0

A je to! Dal jsem ukázkový trik! Tato rovnost sama o sobě nevyvolává námitky: nula se skutečně rovná nule. Ale X chybí! Beze stopy! A do odpovědi musíme napsat, čemu se x rovná. Jinak se rozhodnutí nepočítá, ano.) Co dělat?

Nepanikařte! V takových nestandardních případech nejvíce obecné pojmy a principy matematiky. Co je rovnice? Jak řešit rovnice? Co to znamená řešit rovnici?

Řešení rovnice znamená nalezení Všechno hodnoty proměnné x, která při dosazení do originál rovnice nám dá správnou rovnost (identitu)!

Ale máme skutečnou rovnost už se to stalo! 0=0, nebo spíše nikde!) Můžeme jen hádat, u kterých X tuto rovnost dostaneme. Jakými druhy X lze nahradit originál rovnice, jsou-li po substituci všechny budou stále sníženy na nulu? Ještě jsi na to nepřišel?

Jistě! X lze nahradit žádný!!! Naprosto jakékoli. Odešlete, co chcete. Alespoň 1, alespoň -23, alespoň 2,7 - cokoliv! Stále se budou snižovat a v důsledku toho zůstane čistá pravda. Zkuste to, nahraďte to a uvidíte sami.)

Zde je vaše odpověď:

x – libovolné číslo.

V vědecký záznam tato rovnost je napsána takto:

Tento záznam zní takto: "X je jakékoliv reálné číslo."

Nebo v jiné formě, v intervalech:

Navrhněte si to tak, jak se vám nejvíce líbí. Toto je správná a zcela úplná odpověď!

Nyní změním pouze jedno číslo v naší původní rovnici. Nyní vyřešme tuto rovnici:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

Opět převádíme podmínky, počítáme a dostáváme:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

A co si o tomto vtipu myslíte vy? Existovala obyčejná lineární rovnice, ale stala se z ní nepochopitelná rovnost

0 = 1…

Vědecky řečeno, máme falešná rovnost. Ale v ruštině to není pravda. Hovadina. Nesmysl.) Protože nula se v žádném případě nerovná jedné!

A nyní znovu zjistíme, jaký druh X nám po dosazení do původní rovnice poskytne skutečná rovnost? Který? Ale žádný! Bez ohledu na to, jaké X dosadíte, všechno se stejně zkrátí a všechno zůstane svinstvo.)

Zde je odpověď: žádná řešení.

V matematický zápis taková odpověď má tento formát:

Zní: "X patří do prázdné množiny."

Takové odpovědi se v matematice také vyskytují poměrně často: ne vždy mají nějaké rovnice v principu kořeny. Některé rovnice nemusí mít kořeny vůbec. Vůbec.

Zde jsou dvě překvapení. Doufám, že vás náhlé zmizení X z rovnice nenechá navždy zmatenými. To je docela známé.)

A pak slyším logickou otázku: budou na OGE nebo na Jednotnou státní zkoušku? O jednotné státní zkoušce jako o samotném úkolu - ne. Příliš jednoduché. Ale v OGE nebo ve slovních úlohách - snadno! Takže teď pojďme trénovat a rozhodnout se:

Odpovědi (v nepořádku): -2; -1; jakékoliv číslo; 2; žádná řešení; 7/13.

Všechno vyšlo? Skvělý! U zkoušky máte velkou šanci.

Něco se nesčítá? Hm... Smutek, samozřejmě. To znamená, že někde jsou ještě mezery. Buď v základech, nebo v identických proměnách. Nebo je to jen otázka prosté nepozornosti. Přečtěte si lekci znovu. Protože to není téma, které by se dalo v matematice tak snadno obejít...

Hodně štěstí! Určitě se na tebe usměje, věř mi!)