V této lekci se podíváme na různé exponenciální nerovnosti a naučíme se je řešit na základě techniky řešení nejjednodušších exponenciálních nerovností
1. Definice a vlastnosti exponenciální funkce
Připomeňme si definici a základní vlastnosti exponenciální funkce. Na těchto vlastnostech je založeno řešení všech exponenciálních rovnic a nerovnic.
Exponenciální funkce je funkcí tvaru , kde základem je stupeň a zde x je nezávislá proměnná, argument; y je závislá proměnná, funkce.
Rýže. 1. Graf exponenciální funkce
Graf ukazuje rostoucí a klesající exponenty, ilustrující exponenciální funkci se základem větším než jedna a menším než jedna, ale větším než nula.
Obě křivky procházejí bodem (0;1)
Vlastnosti exponenciální funkce:
Doména: ;
Rozsah hodnot: ;
Funkce je monotónní, zvyšuje se s, klesá s.
Monotónní funkce přebírá každou z jejích hodnot s jednou hodnotou argumentu.
Když , když se argument zvýší z mínus na plus nekonečno, funkce se zvýší od nuly včetně do plus nekonečna, tj. pro dané hodnoty argumentu máme monotónně rostoucí funkci (). Naopak, když argument roste z mínus do plus nekonečna, funkce klesá z nekonečna na nulu včetně, tj. pro dané hodnoty argumentu máme monotónně klesající funkci ().
2. Nejjednodušší exponenciální nerovnice, způsob řešení, příklad
Na základě výše uvedeného uvádíme metodu řešení jednoduchých exponenciálních nerovností:
Technika řešení nerovností:
Vyrovnejte základy stupňů;
Porovnejte metriky uložením nebo změnou na opačné znamení nerovnosti.
Řešení složitých exponenciálních nerovností obvykle spočívá v jejich redukci na nejjednodušší exponenciální nerovnosti.
Základ stupně je větší než jedna, což znamená, že znaménko nerovnosti je zachováno:
Pojďme se transformovat pravá strana podle vlastností stupně:
Základ stupně je menší než jedna, znaménko nerovnosti musí být obráceno:
Abychom vyřešili kvadratickou nerovnost, vyřešíme odpovídající kvadratickou rovnici:
Pomocí Vietovy věty najdeme kořeny:
Větve paraboly směřují nahoru.
Máme tedy řešení nerovnosti:
Je snadné uhodnout, že pravá strana může být reprezentována jako mocnina s exponentem nula:
Základ stupně je větší než jedna, znaménko nerovnosti se nemění, dostáváme:
Připomeňme si techniku řešení takových nerovností.
Zvažte zlomkovou racionální funkci:
Najdeme doménu definice:
Nalezení kořenů funkce:
Funkce má jeden kořen, 
Vybereme intervaly konstantního znaménka a určíme znaménka funkce na každém intervalu:
Rýže. 2. Intervaly stálosti znaménka
Tak jsme dostali odpověď.
Odpovědět: 
3. Řešení standardních exponenciálních nerovnic
Uvažujme nerovnosti se stejnými ukazateli, ale různými bázemi.
Jednou z vlastností exponenciální funkce je, že pro jakoukoli hodnotu argumentu nabývá striktně kladných hodnot, což znamená, že ji lze rozdělit na exponenciální funkci. Rozdělme danou nerovnost její pravou stranou:
Základ stupně je větší než jedna, znaménko nerovnosti je zachováno.
Pojďme si řešení ilustrovat:
Obrázek 6.3 ukazuje grafy funkcí a . Je zřejmé, že když je argument větší než nula, graf funkce je vyšší, tato funkce je větší. Když jsou hodnoty argumentů záporné, funkce jde níž, je menší. Když je argument stejný, funkce jsou stejné, což znamená daný bod je také řešením dané nerovnosti.
Rýže. 3. Ilustrace například 4
Transformujme danou nerovnost podle vlastností stupně:
Zde jsou některé podobné výrazy:
Rozdělme obě části na:
Nyní pokračujeme v řešení podobně jako v příkladu 4, obě části vydělte:
Základ stupně je větší než jedna, znaménko nerovnosti zůstává:
4. Grafické řešení exponenciálních nerovnic
Příklad 6 - Vyřešte nerovnost graficky:
Podívejme se na funkce na levé a pravé straně a sestavme graf pro každou z nich.
Funkce je exponenciální a zvyšuje se v celé své definiční oblasti, tj. pro všechny reálné hodnoty argumentu.
Funkce je lineární a klesá v celé své definiční oblasti, tedy pro všechny reálné hodnoty argumentu.
Pokud se tyto funkce prolínají, to znamená, že systém má řešení, pak je takové řešení jedinečné a lze jej snadno uhodnout. Za tímto účelem iterujeme přes celá čísla ()
Je snadné vidět, že kořen tohoto systému je:
Grafy funkcí se tedy protínají v bodě s argumentem rovným jedné.
Teď potřebujeme dostat odpověď. Význam dané nerovnosti je ten, že exponent musí být větší nebo roven lineární funkce, tedy být vyšší nebo se s ním shodovat. Odpověď je zřejmá: (Obrázek 6.4)
Rýže. 4. Ilustrace například 6
Podívali jsme se tedy na řešení různých standardních exponenciálních nerovností. Dále přejdeme k uvažování složitějších exponenciálních nerovností.
Bibliografie
Mordkovich A. G. Algebra a principy matematická analýza. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra a počátky matematické analýzy. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra a počátky matematické analýzy. - M.: Osvěta.
Matematika. md. Matematika-opakování. com. Diffur. kesu. ru.
Domácí práce
1. Algebra a počátky analýzy, ročníky 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, č. 472, 473;
2. Vyřešte nerovnici:
3. Vyřešte nerovnost.
Podívejme se, jak vyřešit exponenciální nerovnosti zahrnující mocniny s různými bázemi. Řešení takových nerovností je obdobné jako řešení odpovídajících.
(5^((x^2) - x - 1)) - (2^((x^2) - x))\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Seskupujeme stupně se stejnými základy. Je vhodnější je oddělit na opačných stranách nerovnosti:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Z každé dvojice mocnin vyjmeme ze závorek společný faktor - mocninu s menším exponentem. Vyjmutí společného činitele ze závorek znamená vydělení každého členu tímto činitelem. Při dělení stupňů se stejnými základy ponecháme základ stejný a odečteme exponenty:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Můžete okamžitě dělit 20 (20=4∙5), ale praxe ukazuje, že dělení do dvou fází vám umožní vyhnout se možným chybám:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Protože základ je 2/5<1, показательная функция
klesá, proto se znaménko nerovnosti mezi exponenty mění na opak:
Vyřešme kvadratickou nerovnici pomocí intervalové metody. Nuly funkce na levé straně nerovnosti jsou x1=-1; x2=2. Označíme je na číselné řadě.
Pro kontrolu znaménka vezměte nulu: 0²-0-2=-2, do intervalu, do kterého nula patří, vložte „-“. Zbývající znaky uspořádáme do šachovnicového vzoru. Protože řešíme nerovnici, ve které je levá strana menší než nula, vybereme interval se znaménkem „-“.
Odpověď: x ∈ (-1; 2).
Variantou nerovnic tohoto typu je, že všechny mocniny mají stejné základy, ale liší se v koeficientech x v exponentech.
Na levé straně vyjmeme ze závorek stupeň s nejnižším exponentem
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Dospěli jsme k exponenciální nerovnosti. Od základu 7>1 je funkce
se zvyšuje, znaménko nerovnosti mezi ukazateli se nemění:
Abychom tuto nerovnost vyřešili pomocí intervalové metody, přesuneme všechny členy do levá strana a snížit zlomky na
Řešení většiny matematických problémů tím či oním způsobem zahrnuje transformaci numerických, algebraických nebo funkčních výrazů. Výše uvedené platí zejména pro rozhodnutí. Ve verzích Jednotné státní zkoušky z matematiky tento typ úloh zahrnuje zejména úlohu C3. Naučit se řešit úlohy C3 je důležité nejen pro účely úspěšného složení Jednotné státní zkoušky, ale také z toho důvodu, že se tato dovednost bude hodit při studiu kurzu matematiky na střední škole.
Při plnění úkolů C3 se musíte rozhodnout různé druhy rovnice a nerovnice. Mezi nimi jsou racionální, iracionální, exponenciální, logaritmické, trigonometrické, obsahující moduly ( absolutní hodnoty), stejně jako kombinované. Tento článek pojednává o hlavních typech exponenciálních rovnic a nerovnic různé metody jejich rozhodnutí. O řešení dalších typů rovnic a nerovnic si přečtěte v sekci „“ v článcích věnovaných metodám řešení úloh C3 z Možnosti jednotné státní zkoušky matematika.
Než začneme analyzovat konkrétní exponenciální rovnice a nerovnice, jako učitel matematiky vám navrhuji oprášit nějaký teoretický materiál, který budeme potřebovat.
Exponenciální funkce
Co je to exponenciální funkce?
Funkce formuláře y = a x, Kde A> 0 a A≠ 1 se nazývá exponenciální funkce.
Základní vlastnosti exponenciální funkce y = a x:
Graf exponenciální funkce
Graf exponenciální funkce je exponent:
Grafy exponenciálních funkcí (exponenty)
Řešení exponenciálních rovnic
Orientační se nazývají rovnice, ve kterých se neznámá proměnná nachází pouze v exponentech některých mocnin.
Pro řešení exponenciální rovnice musíte znát a umět používat následující jednoduchou větu:
Věta 1. Exponenciální rovnice A F(X) = A G(X) (Kde A > 0, A≠ 1) je ekvivalentní rovnici F(X) = G(X).
Kromě toho je užitečné zapamatovat si základní vzorce a operace se stupni:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Příklad 1Řešte rovnici:
Řešení: Používáme výše uvedené vzorce a substituce:
Rovnice pak zní:
Diskriminant výsledné kvadratické rovnice je kladný:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
To znamená, že tato rovnice má dva kořeny. Najdeme je:
Když přejdeme k obrácené substituci, dostaneme:
Druhá rovnice nemá kořeny, protože exponenciální funkce je přísně kladná v celém definičním oboru. Pojďme vyřešit to druhé:
Vezmeme-li v úvahu, co bylo řečeno ve větě 1, přejdeme k ekvivalentní rovnici: X= 3. Toto bude odpověď na úkol.
Odpovědět: X = 3.
Příklad 2Řešte rovnici:
Řešení: Rovnice nemá žádná omezení na rozsah přípustných hodnot, protože radikální výraz má smysl pro jakoukoli hodnotu X(exponenciální funkce y = 9 4 -X kladná a nerovná se nule).
Rovnici řešíme podle ekvivalentní transformace pomocí pravidel násobení a dělby moci:
Poslední přechod byl proveden v souladu s větou 1.
Odpovědět:X= 6.
Příklad 3Řešte rovnici:
Řešení: obě části původní rovnice lze dělit 0,2 X. Tento přechod bude ekvivalentní, protože tento výraz je větší než nula pro jakoukoli hodnotu X(exponenciální funkce je ve své definiční oblasti přísně pozitivní). Pak má rovnice tvar:
Odpovědět: X = 0.
Příklad 4.Řešte rovnici:
Řešení: rovnici zjednodušíme na elementární pomocí ekvivalentních transformací za použití pravidel dělení a násobení mocnin uvedených na začátku článku:
Dělení obou stran rovnice 4 X, stejně jako v předchozím příkladu, je ekvivalentní transformace, protože tento výraz se pro žádné hodnoty nerovná nule X.
Odpovědět: X = 0.
Příklad 5.Řešte rovnici:
Řešení: funkce y = 3X, stojící na levé straně rovnice, se zvyšuje. Funkce y = —X-2/3 na pravé straně rovnice se snižuje. To znamená, že pokud se grafy těchto funkcí protnou, tak maximálně jeden bod. V v tomto případě není těžké uhodnout, že se grafy v bodě protínají X= -1. Jiné kořeny nebudou.
Odpovědět: X = -1.
Příklad 6.Řešte rovnici:
Řešení: rovnici zjednodušujeme pomocí ekvivalentních transformací, přičemž máme všude na paměti, že exponenciální funkce je přísně větší než nula pro jakoukoli hodnotu X a pomocí pravidel pro výpočet součinu a podílu mocnin uvedených na začátku článku:
Odpovědět: X = 2.
Řešení exponenciálních nerovností
Orientační se nazývají nerovnice, ve kterých je neznámá proměnná obsažena pouze v exponentech některých mocnin.
Pro řešení exponenciální nerovnosti je nutná znalost následující věty:
Věta 2. Li A> 1, pak nerovnost A F(X) > A G(X) je ekvivalentní nerovnosti stejného významu: F(X) > G(X). Pokud 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) je ekvivalentní nerovnosti s opačným významem: F(X) < G(X).
Příklad 7. Vyřešte nerovnost:
Řešení: Uveďme původní nerovnost ve tvaru:
Vydělme obě strany této nerovnosti 3 2 X, v tomto případě (kvůli pozitivitě funkce y= 3 2X) znaménko nerovnosti se nezmění:
Použijme substituci:
Pak bude mít nerovnost tvar:
Řešením nerovnosti je tedy interval:
přechodem na zpětnou substituci dostaneme:
Vzhledem k pozitivitě exponenciální funkce je levá nerovnost splněna automaticky. Pomocí dobře známé vlastnosti logaritmu přejdeme k ekvivalentní nerovnosti:
Protože základem stupně je číslo větší než jedna, ekvivalentem (podle věty 2) je přechod k následující nerovnosti:
Tak se konečně dostáváme Odpovědět:
Příklad 8. Vyřešte nerovnost:
Řešení: Pomocí vlastností násobení a dělení mocnin přepíšeme nerovnici do tvaru:
Představme si novou proměnnou:
Když vezmeme v úvahu tuto substituci, nerovnost má tvar:
Vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku 7 dostaneme následující ekvivalentní nerovnost:
Takže následující hodnoty proměnné splňují nerovnost t:
Poté, když přejdeme na zpětnou substituci, dostaneme:
Protože základ stupně je zde větší než jedna, přechod k nerovnosti bude ekvivalentní (podle věty 2):
Konečně se dostáváme Odpovědět:
Příklad 9. Vyřešte nerovnost:
Řešení:
Obě strany nerovnosti rozdělíme výrazem:
Je vždy větší než nula (kvůli kladnosti exponenciální funkce), takže není potřeba měnit znaménko nerovnosti. Dostaneme:
t se nachází v intervalu:
Když přejdeme k obrácené substituci, zjistíme, že původní nerovnost se rozdělí na dva případy:
První nerovnost nemá řešení kvůli kladnosti exponenciální funkce. Pojďme vyřešit to druhé:
Příklad 10. Vyřešte nerovnost:
Řešení:
Větve paraboly y = 2X+2-X 2 směřují dolů, proto je shora omezena hodnotou, které dosáhne ve svém vrcholu:
Větve paraboly y = X 2 -2X+2 v indikátoru směřují nahoru, což znamená, že je zdola omezeno hodnotou, které dosáhne ve svém vrcholu:
Zároveň se také ukazuje, že funkce je zespodu ohraničená y = 3 X 2 -2X+2, což je na pravé straně rovnice. Dosáhne svého cíle nejnižší hodnota ve stejném bodě jako parabola v exponentu a tato hodnota je rovna 3 1 = 3. Původní nerovnost tedy může být pravdivá pouze tehdy, pokud funkce vlevo a funkce vpravo nabývají hodnoty rovné 3 ve stejném bodě (u průsečíku Rozsah hodnot těchto funkcí je pouze toto číslo). Tato podmínka je splněna v jediném bodě X = 1.
Odpovědět: X= 1.
Aby se naučili rozhodovat exponenciální rovnice a nerovnice, v jejich řešení je nutné neustále trénovat. S tímto nelehkým úkolem vám mohou pomoci různé věci. metodické příručky, problémové knihy v elementární matematice, sbírky soutěžních úloh, hodiny matematiky ve škole, ale i individuální sezení s profesionálním lektorem. Upřímně vám přeji úspěch v přípravě a skvělé výsledky u zkoušky.
Sergej Valerijevič
P.S. Vážení hosté! Požadavky na řešení vašich rovnic prosím nepište do komentářů. Bohužel na to nemám absolutně čas. Takové zprávy budou smazány. Přečtěte si prosím článek. Možná v něm najdete odpovědi na otázky, které vám nedovolily vyřešit váš úkol vlastními silami.
Exponenciální rovnice a nerovnice jsou ty, ve kterých je neznámá obsažena v exponentu.
Řešení exponenciálních rovnic často vede k řešení rovnice a x = a b, kde a > 0, a ≠ 1, x je neznámá. Tato rovnice má jeden kořen x = b, protože platí následující věta:
Teorém. Pokud a > 0, a ≠ 1 a a x 1 = a x 2, pak x 1 = x 2.
Doložme uvažované tvrzení.
Předpokládejme, že neplatí rovnost x 1 = x 2, tzn. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, pak exponenciální funkce y = a x roste a proto musí být splněna nerovnost a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. V obou případech jsme dostali rozpor s podmínkou a x 1 = a x 2.
Zvažme několik problémů.
Vyřešte rovnici 4 ∙ 2 x = 1.
Řešení.
Zapišme rovnici ve tvaru 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, z čehož dostaneme x + 2 = 0, tzn. x = -2.
Odpovědět. x = -2.
Řešte rovnici 2 3x ∙ 3 x = 576.
Řešení.
Protože 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, rovnici lze zapsat jako 8 x ∙ 3 x = 24 2 nebo jako 24 x = 24 2.
Odtud dostaneme x = 2.
Odpovědět. x = 2.
Vyřešte rovnici 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.
Řešení.
Vyjmeme-li společný faktor 3 x - 2 ze závorek na levé straně, dostaneme 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
odkud 3 x - 2 = 1, tzn. x – 2 = 0, x = 2.
Odpovědět. x = 2.
Řešte rovnici 3 x = 7 x.
Řešení.
Protože 7 x ≠ 0, rovnici lze zapsat jako 3 x /7 x = 1, odkud (3/7) x = 1, x = 0.
Odpovědět. x = 0.
Vyřešte rovnici 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.
Řešení.
Nahrazením 3 x = a se tato rovnice zmenší na kvadratická rovnice a 2 – 4a – 45 = 0.
Řešením této rovnice najdeme její kořeny: a 1 = 9 a 2 = -5, odkud 3 x = 9, 3 x = -5.
Rovnice 3 x = 9 má kořen 2 a rovnice 3 x = -5 nemá kořeny, protože exponenciální funkce nemůže nabývat záporných hodnot.
Odpovědět. x = 2.
Řešení exponenciálních nerovností často vede k řešení nerovností a x > a b nebo a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Podívejme se na některé problémy.
Vyřešte nerovnost 3 x< 81.
Řešení.
Nerovnici zapišme ve tvaru 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, pak je funkce y = 3 x rostoucí.
Proto pro x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Tedy v x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Odpovědět. X< 4.
Vyřešte nerovnici 16 x +4 x – 2 > 0.
Řešení.
Označme 4 x = t, pak dostaneme kvadratickou nerovnost t2 + t – 2 > 0.
Tato nerovnost platí pro t< -2 и при t > 1.
Protože t = 4 x, dostaneme dvě nerovnosti 4 x< -2, 4 х > 1.
První nerovnost nemá řešení, protože 4 x > 0 pro všechna x € R.
Druhou nerovnost zapíšeme ve tvaru 4 x > 4 0, odkud x > 0.
Odpovědět. x > 0.
Graficky vyřešte rovnici (1/3) x = x – 2/3.
Řešení.
1) Sestavme grafy funkcí y = (1/3) x a y = x – 2/3.
2) Na základě našeho obrázku můžeme usoudit, že grafy uvažovaných funkcí se protínají v bodě s úsečkou x ≈ 1. Kontrola prokáže, že
x = 1 je kořen této rovnice:
(1/3) 1 = 1/3 a 1 – 2/3 = 1/3.
Jinými slovy, našli jsme jeden z kořenů rovnice. 
3) Nalezněme jiné kořeny nebo dokažme, že žádné nejsou. Funkce (1/3) x je klesající a funkce y = x – 2/3 rostoucí. Proto pro x > 1 jsou hodnoty první funkce menší než 1/3 a druhé - více než 1/3; v x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 a x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Odpovědět. x = 1.
Všimněte si, že z řešení této úlohy zejména vyplývá, že pro x je splněna nerovnost (1/3) x > x – 2/3< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Mnoho lidí si myslí, že exponenciální nerovnosti jsou něco složitého a nepochopitelného. A že naučit se je řešit je téměř velké umění, kterému jsou schopni porozumět jen Vyvolení...
Úplný nesmysl! Exponenciální nerovnosti jsou snadné. A vždy se řeší jednoduše. No, skoro vždycky. :)
Dnes se na toto téma podíváme zevnitř i zvenčí. Tato lekce bude velmi užitečná pro ty, kteří právě začínají rozumět této části školní matematiky. Začněme s jednoduché úkoly a přejdeme ke složitějším problémům. Dnes to nebude žádná tvrdá práce, ale to, co se chystáte číst, bude stačit k vyřešení většiny nerovností ve všech druzích testů a testů. samostatná práce. A na této vaší zkoušce také.
Jako vždy začneme definicí. Exponenciální nerovnost je jakákoli nerovnost, která obsahuje exponenciální funkci. Jinými slovy, vždy to může být redukováno na nerovnost tvaru
\[((a)^(x)) \gt b\]
Kde role $b$ může být obyčejné číslo, nebo možná něco tvrdšího. Příklady? Ano prosím:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\konec (zarovnat)\]
Myslím, že význam je jasný: existuje exponenciální funkce $((a)^(x))$, je s něčím porovnána a pak požádána o nalezení $x$. Zejména klinické případy místo proměnné $x$ mohou dát nějakou funkci $f\left(x \right)$ a tím tu nerovnost trochu zkomplikovat. :)
Samozřejmě, v některých případech se může nerovnost jevit vážnější. Například:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Nebo dokonce toto:
Obecně platí, že složitost takových nerovností může být velmi odlišná, ale nakonec se stále redukují na jednoduchou konstrukci $((a)^(x)) \gt b$. A na takovou konstrukci nějak přijdeme (zejména v klinických případech, kdy nás nic nenapadá, nám pomohou logaritmy). Proto vás nyní naučíme, jak takové jednoduché stavby řešit.
Řešení jednoduchých exponenciálních nerovnic
Uvažujme o něčem velmi jednoduchém. Například toto:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Je zřejmé, že číslo napravo lze přepsat jako mocninu dvou: $4=((2)^(2))$. Původní nerovnost lze tedy přepsat do velmi pohodlné formy:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
A teď mě svrbí ruce, abych „přeškrtl“ dvojky v základech mocnin, abych dostal odpověď $x \gt 2$. Ale než něco přeškrtneme, připomeňme si mocniny dvou:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Jak vidíme, než větší číslo je v exponentu, tím větší je výstupní číslo. "Díky, Cape!" - vykřikne jeden ze studentů. je to jinak? Bohužel se to stává. Například:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
I zde je vše logické: čím větší stupeň, tím vícekrát se číslo 0,5 násobí samo sebou (tedy dělí napůl). Výsledná posloupnost čísel se tedy zmenšuje a rozdíl mezi první a druhou posloupností je pouze v základu:
- Je-li základna stupně $a \gt 1$, pak se vzrůstajícím exponentem $n$ vzroste i číslo $((a)^(n))$;
- A naopak, je-li $0 \lt a \lt 1$, pak s rostoucím exponentem $n$ bude číslo $((a)^(n))$ klesat.
Shrnutím těchto faktů získáme nejdůležitější tvrzení, na kterém je založeno celé řešení exponenciálních nerovnic:
Jestliže $a \gt 1$, pak nerovnost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $x \gt n$. Pokud $0 \lt a \lt 1$, pak nerovnost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $x \lt n$.
Jinými slovy, pokud je základna větší než jedna, můžete ji jednoduše odstranit - znaménko nerovnosti se nezmění. A pokud je základna menší než jedna, lze ji také odstranit, ale zároveň budete muset změnit znaménko nerovnosti.
Upozorňujeme, že jsme nezohlednili možnosti $a=1$ a $a\le 0$. Protože v těchto případech vzniká nejistota. Řekněme, jak vyřešit nerovnici ve tvaru $((1)^(x)) \gt 3$? Jedna každé mocnosti opět dá jednu – nikdy nedostaneme tři nebo více. Tito. neexistují žádná řešení.
S negativními důvody je vše ještě zajímavější. Zvažte například tuto nerovnost:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
Na první pohled je vše jednoduché:
Že jo? Ale ne! Stačí dosadit pár sudých a pár lichých čísel místo $x$, abyste se ujistili, že řešení je nesprávné. Podívej se:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(zarovnat)\]
Jak vidíte, znamení se střídají. Ale existují i zlomkové mocniny a další nesmysly. Jak byste například uspořádali výpočet $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (mínus dvě na mocninu sedmi)? V žádném případě!
Proto pro jednoznačnost předpokládáme, že ve všech exponenciálních nerovnostech (a mimochodem také rovnicích) $1\ne a \gt 0$. A pak je vše vyřešeno velmi jednoduše:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Šipka doprava \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\konec (zarovnat) \vpravo.\]
Obecně si ještě jednou zapamatujte hlavní pravidlo: pokud je základ v exponenciální rovnici větší než jedna, můžete jej jednoduše odstranit; a pokud je základna menší než jedna, lze ji také odstranit, ale změní se znaménko nerovnosti.
Příklady řešení
Podívejme se tedy na několik jednoduchých exponenciálních nerovností:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\konec (zarovnat)\]
Primární úkol je ve všech případech stejný: snížit nerovnosti na nejjednodušší tvar $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Přesně to nyní uděláme s každou nerovností a zároveň si zopakujeme vlastnosti stupňů a exponenciálních funkcí. Tak pojďme!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Co zde můžete dělat? No a nalevo už máme orientační výraz - není třeba nic měnit. Ale napravo je nějaké svinstvo: zlomek a dokonce i odmocnina ve jmenovateli!
Připomeňme si však pravidla pro práci se zlomky a mocninami:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\konec (zarovnat)\]
Co to znamená? Za prvé, zlomku se můžeme snadno zbavit tím, že ho přeměníme na mocninu s negativní ukazatel. A za druhé, protože jmenovatel má odmocninu, bylo by hezké jej převést na mocninu – tentokrát s desetinným exponentem.
Aplikujme tyto akce postupně na pravou stranu nerovnosti a uvidíme, co se stane:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac) 1)(3))) \vpravo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \vpravo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Nezapomeňte, že při zvýšení stupně na mocninu se exponenty těchto stupňů sčítají. A vůbec, při práci s exponenciálními rovnicemi a nerovnicemi je bezpodmínečně nutné znát alespoň ta nejjednodušší pravidla pro práci s mocninami:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\konec (zarovnat)\]
Vlastně, poslední pravidlo právě jsme to aplikovali. Proto bude naše původní nerovnost přepsána takto:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Šipka doprava ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Teď se zbavíme těch dvou na základně. Protože 2 > 1, znaménko nerovnosti zůstane stejné:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Šipka doprava x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
To je řešení! Hlavní problém není vůbec v exponenciální funkci, ale v kompetentní transformaci původního výrazu: musíte jej pečlivě a rychle uvést do jeho nejjednodušší podoby.
Zvažte druhou nerovnost:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Tak-tak. Čekají nás zde desetinné zlomky. Jak jsem již mnohokrát řekl, v jakýchkoli výrazech s mocninami byste se měli zbavit desetinných míst - často je to jediný způsob, jak vidět rychlé a jednoduché řešení. Zde se zbavíme:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Šipka doprava ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\konec (zarovnat)\]
Opět zde máme nejjednodušší nerovnost a i se základem 1/10, tzn. méně než jeden. No, odstraníme základy a současně změníme znaménko z „méně“ na „více“ a dostaneme:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\konec (zarovnat)\]
Dostali jsme konečnou odpověď: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Poznámka: odpověď je přesně množina a v žádném případě konstrukce ve tvaru $x \lt -1$. Protože formálně taková konstrukce vůbec není množina, ale nerovnost vzhledem k proměnné $x$. Ano, je to velmi jednoduché, ale není to odpověď!
Důležitá poznámka. Tato nerovnost by se dala vyřešit i jinak – zmenšením obou stran na mocninu se základnou větší než jedna. Podívej se:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Po takové transformaci opět získáme exponenciální nerovnost, ale se základem 10 > 1. To znamená, že můžeme desítku jednoduše odškrtnout - znaménko nerovnosti se nezmění. Dostaneme:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\konec (zarovnat)\]
Jak vidíte, odpověď byla úplně stejná. Zároveň jsme se ušetřili nutnosti měnit ceduli a obecně pamatovat na jakákoli pravidla. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Nenechte se tím však vyděsit. Bez ohledu na to, co je v indikátorech, samotná technologie pro řešení nerovnosti zůstává stejná. Nejprve si tedy všimněme, že 16 = 2 4. Přepišme původní nerovnost s ohledem na tuto skutečnost:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Hurá! Máme obvyklou kvadratickou nerovnost! Znak se nikde nezměnil, protože základ je dva - číslo větší než jedna.
Nuly funkce na číselné ose
Uspořádáme znaménka funkce $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - samozřejmě, že její graf bude parabola s větvemi nahoru, takže tam budou „plusy " na stranách. Zajímá nás oblast, kde je funkce menší než nula, tzn. $x\in \left(2;5 \right)$ je odpověď na původní problém.
Nakonec zvažte další nerovnost:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Opět vidíme exponenciální funkci s desetinným zlomkem na základně. Převedeme tento zlomek na společný zlomek:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2)))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
V tomto případě jsme použili poznámku uvedenou dříve - základ jsme zredukovali na číslo 5 > 1, abychom si zjednodušili další řešení. Udělejme totéž s pravou stranou:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Přepišme původní nerovnost s ohledem na obě transformace:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Šipka doprava ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \vpravo)))\ge ((5)^(-2))\]
Základny na obou stranách jsou stejné a přesahují jednu. Napravo a nalevo nejsou žádné další výrazy, takže jednoduše „přeškrtneme“ pětky a získáme velmi jednoduchý výraz:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(zarovnat)\]
Zde je třeba být opatrnější. Mnoho studentů rádo jednoduše extrahuje Odmocnina obou stran nerovnosti a napište něco jako $x\le 1\Šipka doprava x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. V žádném případě byste to neměli dělat, protože kořen přesného čtverce je modul a v žádném případě původní proměnná:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\vpravo|\]
Práce s moduly však není nejpříjemnější zážitek, že? Takže nebudeme pracovat. Místo toho jednoduše přesuneme všechny členy doleva a vyřešíme obvyklou nerovnost pomocí intervalové metody:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(zarovnat)$
Získané body opět označíme na číselné ose a podíváme se na znaménka:
Upozornění: tečky jsou stínované Protože jsme řešili nepřísnou nerovnici, všechny body v grafu jsou stínované. Odpověď tedy bude: $x\in \left[ -1;1 \right]$ není interval, ale segment.
Obecně bych rád poznamenal, že na exponenciálních nerovnostech není nic složitého. Význam všech transformací, které jsme dnes provedli, spočívá v jednoduchém algoritmu:
- Najděte základ, na který snížíme všechny stupně;
- Opatrně proveďte transformace, abyste získali nerovnost ve tvaru $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Samozřejmě místo proměnných $x$ a $n$ jich může být mnohem více komplexní funkce, ale význam se nezmění;
- Přeškrtněte základy stupňů. V tomto případě se znaménko nerovnosti může změnit, pokud je základ $a \lt 1$.
Ve skutečnosti se jedná o univerzální algoritmus pro řešení všech takových nerovností. A vše ostatní, co vám na toto téma řeknou, jsou jen konkrétní techniky a triky, které proměnu zjednoduší a urychlí. O jedné z těchto technik si nyní povíme. :)
Racionalizační metoda
Podívejme se na další sadu nerovností:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Co je na nich tedy zvláštního? Jsou lehké. I když, přestaň! Je číslo π umocněno? Jaký nesmysl?
Jak zvýšit číslo $2\sqrt(3)-3$ na mocninu? Nebo $3-2\sqrt(2)$? Autoři problémů evidentně vypili příliš mnoho hlohu, než se posadili do práce. :)
Ve skutečnosti na těchto úkolech není nic děsivého. Dovolte mi připomenout: exponenciální funkce je výraz ve tvaru $((a)^(x))$, kde základ $a$ je libovolné kladné číslo kromě jedničky. Číslo π je kladné – to už víme. Čísla $2\sqrt(3)-3$ a $3-2\sqrt(2)$ jsou také kladná – to lze snadno zjistit, když je porovnáte s nulou.
Ukazuje se, že všechny tyto „děsivé“ nerovnosti jsou vyřešeny nijak neliší od jednoduchých výše uvedených? A řeší se stejně? Ano, to je naprosto správné. Na jejich příkladu bych se však rád zamyslel nad jednou technikou, která výrazně šetří čas na samostatnou práci a zkoušky. Budeme mluvit o metodě racionalizace. Takže pozor:
Jakákoli exponenciální nerovnost ve tvaru $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ vpravo) \gt 0 $.
To je celá metoda :) Mysleli jste, že by existovala nějaká další hra? Nic takového! Tento jednoduchý fakt, napsaný doslova na jednom řádku, nám ale značně zjednoduší práci. Podívej se:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matice)\]
Takže už neexistují žádné exponenciální funkce! A nemusíte si pamatovat, zda se znak změní nebo ne. Ale vzniká nový problém: co dělat s tou zkurvenou násobilkou \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nevíme, o co jde přesná hodnotačísla π. Zdá se však, že kapitán naznačuje zřejmé:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\cca 3,14... \gt 3\Šipka doprava \text()\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Obecně platí, že přesná hodnota π se nás ve skutečnosti netýká - je důležité pouze pochopit, že v každém případě $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. toto je kladná konstanta a můžeme jí vydělit obě strany nerovnosti:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(zarovnat)\]
Jak vidíte, v určité chvíli jsme museli dělit mínus jedna – a znaménko nerovnosti se změnilo. Na konci jsem kvadratický trinom rozšířil pomocí Vietovy věty - je zřejmé, že kořeny se rovnají $((x)_(1))=5$ a $((x)_(2))=-1$ . Pak je vše rozhodnuto klasická metoda intervaly:
Řešení nerovnice intervalovou metodou Všechny body jsou odstraněny, protože původní nerovnost je přísná. Zajímá nás oblast se zápornými hodnotami, takže odpověď je $x\in \left(-1;5 \right)$. To je řešení. :)
Pojďme k dalšímu úkolu:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Vše je zde obecně jednoduché, protože vpravo je jednotka. A pamatujeme si, že jednička je jakékoli číslo umocněné na nulu. I když je toto číslo iracionálním výrazem na základně vlevo:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\konec (zarovnat)\]
No, pojďme si to racionalizovat:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Zbývá jen přijít na znamení. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ neobsahuje proměnnou $x$ - je to jen konstanta a my potřebujeme zjistit její znaménko. Chcete-li to provést, poznamenejte si následující:
\[\begin(matice) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \vpravo)=0 \\\konec (matice)\]
Ukazuje se, že druhý faktor není jen konstanta, ale záporná konstanta! A při jejím dělení se znaménko původní nerovnosti změní na opak:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Nyní je vše zcela zřejmé. Kořeny kvadratický trinom, stojící vpravo: $((x)_(1))=0$ a $((x)_(2))=2$. Označíme je na číselné ose a podíváme se na znaménka funkce $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Případ, kdy nás zajímají boční intervaly Zajímají nás intervaly označené znaménkem plus. Zbývá jen napsat odpověď:
Pojďme k dalšímu příkladu:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ vpravo))^(16-x)))\]
Zde je vše zcela zřejmé: báze obsahují mocniny stejného čísla. Proto vše stručně napíšu:
\[\begin(matice) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \vpravo))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matice)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vlevo(16-x \vpravo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(zarovnat)\]
Jak vidíte, během transformačního procesu jsme museli násobit záporné číslo, takže se změnilo znaménko nerovnosti. Na úplný závěr jsem opět aplikoval Vietovu větu k faktoru kvadratického trinomu. Ve výsledku bude odpověď následující: $x\in \left(-8;4 \right)$ - každý si to může ověřit nakreslením číselné osy, označením bodů a spočtením znamének. Mezitím přejdeme k poslední nerovnosti z naší „množiny“:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Jak vidíte, na základně je opět iracionální číslo a napravo je opět jednotka. Proto naši exponenciální nerovnost přepíšeme takto:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ vpravo))^(0))\]
Aplikujeme racionalizaci:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Je však zcela zřejmé, že $1-\sqrt(2) \lt 0$, protože $\sqrt(2)\cca 1,4... \gt 1$. Proto je druhým faktorem opět záporná konstanta, kterou lze obě strany nerovnosti vydělit:
\[\začátek(matice) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\konec(matice)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(zarovnat)\]
Přesuňte se na jinou základnu
Samostatným problémem při řešení exponenciálních nerovností je hledání „správného“ základu. Bohužel ne vždy je na první pohled na úkol zřejmé, co si vzít za základ a co dělat podle stupně tohoto základu.
Ale nebojte se: neexistuje zde žádná magie ani „tajná“ technologie. V matematice lze jakoukoli dovednost, kterou nelze algoritmizovat, snadno rozvíjet praxí. K tomu ale budete muset řešit problémy různé úrovně potíže. Například takto:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ konec(zarovnat)\]
Obtížný? děsivé? Je to jednodušší než trefit kuře na asfaltu! Zkusme to. První nerovnost:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
No, myslím, že zde je vše jasné:
Přepíšeme původní nerovnost a vše zredukujeme na základ dvě:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Šipka doprava \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Ano, ano, slyšeli jste správně: právě jsem použil výše popsanou racionalizační metodu. Nyní musíme pracovat opatrně: máme zlomkovou racionální nerovnost (to je ta, která má ve jmenovateli proměnnou), takže než cokoliv přirovnáme k nule, musíme vše uvést do společného jmenovatele a zbavit se konstantního faktoru. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Nyní používáme standardní metoda intervalech. Nuly v čitateli: $x=\pm 4$. Jmenovatel jde na nulu pouze tehdy, když $x=0$. Na číselné ose jsou celkem tři body, které je potřeba označit (všechny body jsou vypíchnuté, protože znaménko nerovnosti je přísné). Dostaneme:
Více těžký případ: tři kořeny Jak asi tušíte, stínování označuje intervaly, ve kterých výraz nalevo nabývá záporných hodnot. Proto bude konečná odpověď obsahovat dva intervaly najednou:
Konce intervalů nejsou v odpovědi zahrnuty, protože původní nerovnost byla přísná. Žádné další ověřování této odpovědi není nutné. V tomto ohledu jsou exponenciální nerovnosti mnohem jednodušší než logaritmické: žádné ODZ, žádná omezení atd.
Pojďme k dalšímu úkolu:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Ani zde nejsou žádné problémy, protože již víme, že $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, takže celá nerovnost může být přepsána následovně:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Šipka doprava ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \vpravo) \vpravo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Pozor: ve třetím řádku jsem se rozhodl neztrácet čas maličkostmi a rovnou vše vydělit (−2). Minul šel do první závorky (nyní jsou plusy všude) a dvě byly sníženy s konstantním faktorem. To je přesně to, co byste měli udělat při přípravě skutečných displejů na nezávislých a testy— není třeba popisovat každou akci a proměnu.
Dále přichází na řadu známá metoda intervalů. Čitatel nuly: ale žádné nejsou. Protože diskriminant bude negativní. Jmenovatel se vynuluje pouze tehdy, když $x=0$ - stejně jako minule. Je jasné, že napravo od $x=0$ bude mít zlomek kladné hodnoty a nalevo záporné. Protože nás zajímají záporné hodnoty, konečná odpověď je: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
Co byste měli dělat s desetinnými zlomky v exponenciálních nerovnostech? Správně: zbavte se jich a přeměňte je na obyčejné. Zde budeme překládat:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Šipka doprava ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\vpravo))^(x)). \\\konec (zarovnat)\]
Co jsme tedy získali v základech exponenciálních funkcí? A dostali jsme dvě vzájemně inverzní čísla:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Šipka doprava ((\left(\frac(25)(4) \ vpravo))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \vpravo))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Původní nerovnost lze tedy přepsat takto:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\konec (zarovnat)\]
Samozřejmě, že při násobení mocnin se stejným základem se jejich exponenty sčítají, což se stalo v druhém řádku. Navíc jsme reprezentovali jednotku vpravo, také jako sílu v základu 4/25. Zbývá jen racionalizovat:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Všimněte si, že $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tzn. druhý faktor je záporná konstanta a při jejím dělení se znaménko nerovnosti změní:
\[\begin(zarovnat) & x+1-0\le 0\Šipka doprava x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Konečně poslední nerovnost z aktuální „množiny“:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
V zásadě je myšlenka řešení zde také jasná: všechny exponenciální funkce zahrnuté v nerovnosti musí být redukovány na základ „3“. Ale k tomu si budete muset trochu pohrát s kořeny a pravomocemi:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\konec (zarovnat)\]
S přihlédnutím k těmto skutečnostem lze původní nerovnost přepsat takto:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\vpravo))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\konec (zarovnat)\]
Věnujte pozornost 2. a 3. řádku výpočtů: než s nerovností něco uděláte, nezapomeňte ji uvést do tvaru, o kterém jsme mluvili od samého začátku lekce: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Pokud máte vlevo nebo vpravo nějaké levotočivé faktory, další konstanty atd., nelze provést racionalizaci nebo „přeškrtnutí“ důvodů! Nespočet úkolů bylo dokončeno nesprávně kvůli nepochopení tohoto jednoduchého faktu. Sám tento problém neustále pozoruji u svých studentů, když právě začínáme analyzovat exponenciální a logaritmické nerovnosti.
Ale vraťme se k našemu úkolu. Zkusme se tentokrát obejít bez racionalizace. Připomeňme si: základ stupně je větší než jedna, takže trojky lze jednoduše přeškrtnout - znaménko nerovnosti se nezmění. Dostaneme:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(zarovnat)\]
To je vše. Konečná odpověď: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Izolace stabilního výrazu a nahrazení proměnné
Na závěr navrhuji vyřešit ještě čtyři exponenciální nerovnice, které jsou již pro nepřipravené studenty značně obtížné. Abyste se s nimi vyrovnali, musíte si pamatovat pravidla pro práci s tituly. Zejména uvedení společných faktorů ze závorek.
Ale nejdůležitější je naučit se rozumět tomu, co přesně lze ze závorek vyjmout. Takový výraz se nazývá stabilní – lze jej označit novou proměnnou a zbavit se tak exponenciální funkce. Pojďme se tedy podívat na úkoly:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Začněme úplně od prvního řádku. Zapišme tuto nerovnost samostatně:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Všimněte si, že $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, takže pravá ruka stranu lze přepsat:
Všimněte si, že v nerovnosti nejsou žádné další exponenciální funkce kromě $((5)^(x+1))$. A obecně platí, že proměnná $x$ se nikde jinde nevyskytuje, takže zaveďme novou proměnnou: $((5)^(x+1))=t$. Získáme následující konstrukci:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(zarovnat)\]
Vrátíme se k původní proměnné ($t=((5)^(x+1))$), a zároveň si pamatujeme, že 1=5 0 . My máme:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\konec (zarovnat)\]
To je řešení! Odpověď: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pojďme k druhé nerovnosti:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Všechno je tu stejné. Všimněte si, že $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Poté lze levou stranu přepsat:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \vpravo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Šipka doprava ((3)^(x))\ge 9\Šipka doprava ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Šipka doprava x\v \left[ 2;+\infty \vpravo). \\\konec (zarovnat)\]
Přibližně takto potřebujete sestavit řešení pro skutečné testy a samostatnou práci.
No, zkusíme něco složitějšího. Zde je například nerovnost:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Co je tady za problém? Za prvé, základy exponenciálních funkcí vlevo jsou různé: 5 a 25. Nicméně 25 = 5 2, takže první člen lze transformovat:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(zarovnat )\]
Jak vidíte, nejprve jsme vše přivedli na stejný základ a pak jsme si všimli, že první člen lze snadno zredukovat na druhý - stačí rozšířit exponent. Nyní můžete bezpečně zavést novou proměnnou: $((5)^(2x+2))=t$ a celá nerovnost bude přepsána následovně:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(zarovnat)\]
A opět žádné potíže! Konečná odpověď: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Přejděme ke konečné nerovnosti v dnešní lekci:
\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
První věc, které byste měli věnovat pozornost, je samozřejmě desetinný na základně prvního stupně. Je nutné se toho zbavit a zároveň přivést všechny exponenciální funkce na stejnou základnu - číslo „2“:
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Šipka doprava ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Skvělé, udělali jsme první krok – vše vedlo ke stejnému základu. Nyní musíte vybrat stabilní výraz. Všimněte si, že $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Pokud zavedeme novou proměnnou $((2)^(4x+6))=t$, pak lze původní nerovnost přepsat takto:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\konec (zarovnat)\]
Přirozeně může vyvstat otázka: jak jsme zjistili, že 256 = 2 8? Bohužel zde stačí znát mocniny dvojky (a zároveň i mocniny trojky a pětky). No, nebo rozdělte 256 2 (můžete dělit, protože 256 je sudé číslo), dokud nedostaneme výsledek. Bude to vypadat nějak takto:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Totéž platí se třemi (čísla 9, 27, 81 a 243 jsou jeho stupně) a se sedmi (čísla 49 a 343 by bylo také hezké si zapamatovat). Pětka má také „krásné“ stupně, které potřebujete vědět:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\konec (zarovnat)\]
Samozřejmě, pokud si přejete, všechna tato čísla mohou být obnovena ve vaší mysli tím, že je jednoduše postupně vynásobíte. Když však musíte vyřešit několik exponenciálních nerovností a každá další je obtížnější než ta předchozí, pak to poslední, na co byste chtěli myslet, jsou mocniny některých čísel. A v tomto smyslu jsou tyto problémy složitější než „klasické“ nerovnice, které se řeší intervalovou metodou.
Doufám, že vám tato lekce pomohla při zvládnutí tohoto tématu. Pokud je něco nejasné, zeptejte se v komentářích. A uvidíme se na dalších lekcích. :)
