Kvadratické rovnice se učí v 8. třídě, takže zde není nic složitého. Schopnost je řešit je naprosto nezbytná.

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.

Před studiem konkrétních metod řešení si všimněte, že všechny kvadratické rovnice lze rozdělit do tří tříd:

1. Nemají kořeny;
2. Mít přesně jeden kořen;
3. Mít dva různé kořeny.

To je důležitý rozdíl mezi kvadratickými rovnicemi a lineárními rovnicemi, kde kořen vždy existuje a je jedinečný. Jak určit, kolik kořenů má rovnice? Na to je úžasná věc - diskriminační.

Diskriminační

Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0. Pak je diskriminantem jednoduše číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte znát nazpaměť. Odkud pochází, není nyní důležité. Další věc je důležitá: podle znaménka diskriminantu můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. A to:

1. Pokud D< 0, корней нет;
2. Jestliže D = 0, existuje právě jeden kořen;
3. Pokud D > 0, budou dva kořeny.

Vezměte prosím na vědomí: diskriminant označuje počet kořenů, a vůbec ne jejich znaky, jak z nějakého důvodu mnoho lidí věří. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:

Úkol. Kolik kořenů mají kvadratické rovnice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišme si koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnice má dva různé kořeny. Analyzujeme druhou rovnici podobným způsobem:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je záporný, nemá kořeny. Poslední rovnice zbývá:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - odmocnina bude jedna.

Vezměte prosím na vědomí, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhé, ano, je to únavné, ale nespletete si šance a nebudete dělat hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalitu.

Mimochodem, pokud na to přijdete, po chvíli už nebudete muset zapisovat všechny koeficienty. Takové operace budete provádět ve své hlavě. Většina lidí to začne dělat někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.

Kořeny kvadratické rovnice

Nyní přejděme k samotnému řešení. Pokud je diskriminant D > 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:

Základní kořenový vzorec kvadratická rovnice

Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců - dostanete stejné číslo, které bude odpovědí. Konečně, pokud D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

První rovnice:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Pojďme je najít:

Druhá rovnice:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Pojďme je najít

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnat)\]

Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Lze použít jakýkoli vzorec. Například ten první:

Jak můžete vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a umíte počítat, nebudou žádné problémy. Nejčastěji dochází k chybám při dosazování záporných koeficientů do vzorce. Zde opět pomůže technika popsaná výše: podívejte se na vzorec doslova, zapište si každý krok - a velmi brzy se zbavíte chyb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stává se, že kvadratická rovnice se mírně liší od toho, co je uvedeno v definici. Například:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Je snadné si všimnout, že v těchto rovnicích chybí jeden z členů. Takové kvadratické rovnice jsou ještě snadněji řešitelné než standardní: nevyžadují ani výpočet diskriminantu. Pojďme si tedy představit nový koncept:

Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá neúplná kvadratická rovnice, pokud b = 0 nebo c = 0, tzn. koeficient proměnné x nebo volného prvku je roven nule.

Samozřejmě je možný velmi obtížný případ, kdy jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b = c = 0. V tomto případě má rovnice tvar ax 2 = 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jediný kořen: x = 0.

Podívejme se na zbývající případy. Nechť b = 0, pak dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c = 0. Trochu ji transformujme:

Protože aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporného čísla, má poslední rovnost smysl pouze pro (−c /a) ≥ 0. Závěr:

1. Pokud je v neúplné kvadratické rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splněna nerovnost (−c /a) ≥ 0, budou kořeny dva. Vzorec je uveden výše;
2. Pokud (−c /a)< 0, корней нет.

Jak vidíte, diskriminant nebyl vyžadován – v neúplných kvadratických rovnicích nejsou vůbec žádné složité výpočty. Vlastně ani není nutné si pamatovat nerovnost (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjádřit hodnotu x 2 a podívat se, co je na druhé straně rovnítka. Pokud existuje kladné číslo, budou dva kořeny. Pokud je negativní, nebudou tam žádné kořeny.

Nyní se podívejme na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí rozložit polynom:

Vyjmutí společného faktoru ze závorek

Součin je nula, když je alespoň jeden z faktorů nulový. Odtud pramení kořeny. Na závěr se podívejme na několik z těchto rovnic:

Úkol. Řešte kvadratické rovnice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nejsou tam žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Doufám, že po prostudování tohoto článku se naučíte, jak najít kořeny úplné kvadratické rovnice.

Pomocí diskriminantu se řeší pouze úplné kvadratické rovnice, k řešení neúplných kvadratických rovnic se používají jiné metody, které najdete v článku „Řešení neúplných kvadratických rovnic“.

Které kvadratické rovnice se nazývají úplné? Tento rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c se nerovnají nule. Abychom mohli vyřešit úplnou kvadratickou rovnici, musíme vypočítat diskriminant D.

D = b 2 – 4ac.

Podle hodnoty diskriminantu zapíšeme odpověď.

Pokud je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.

Pokud je diskriminant nulový, pak x = (-b)/2a. Když je diskriminant kladné číslo (D > 0),

potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.

Například. Vyřešte rovnici x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odpověď: 2.

Vyřešte rovnici 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odpověď: žádné kořeny.

Vyřešte rovnici 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 – √81)/(2 2)= (-5 – 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odpověď: – 3,5; 1.

Představme si tedy řešení úplných kvadratických rovnic pomocí diagramu na obrázku 1.

Pomocí těchto vzorců můžete vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici. Jen je potřeba si dávat pozor rovnice byla zapsána jako polynom standardního tvaru

A x 2 + bx + c, jinak můžete udělat chybu. Například při psaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 se můžete mylně rozhodnout, že

a = 1, b = 3 a c = 2. Potom

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 a pak má rovnice dva kořeny. A to není pravda. (Viz řešení příkladu 2 výše).

Pokud tedy rovnice není zapsána jako polynom standardního tvaru, musí být nejprve úplná kvadratická rovnice zapsána jako polynom standardního tvaru (monomial s největším exponentem by měl být na prvním místě, tzn. A x 2 , pak s méně – bx a poté volný člen S.

Při řešení redukované kvadratické rovnice a kvadratické rovnice se sudým koeficientem ve druhém členu můžete použít jiné vzorce. Pojďme se s těmito vzorci seznámit. Pokud má v úplné kvadratické rovnici druhý člen sudý koeficient (b = 2k), můžete rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 2.

Úplná kvadratická rovnice se nazývá redukovaná, pokud koeficient at x 2 se rovná jedné a rovnice má tvar x 2 + px + q = 0. Takovou rovnici je možné dát k řešení, nebo ji získat vydělením všech koeficientů rovnice koeficientem A, stojící na x 2 .

Obrázek 3 ukazuje schéma řešení zmenšeného čtverce
rovnic. Podívejme se na příklad použití vzorců probíraných v tomto článku.

Příklad. Vyřešte rovnici

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Vyřešme tuto rovnici pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 – 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odpověď: –1 – √3; –1 + √3

Můžete si všimnout, že koeficient x v této rovnici je sudé číslo, to znamená b = 6 nebo b = 2k, odkud k = 3. Pak zkusme rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odpověď: –1 – √3; –1 + √3. Když si všimneme, že všechny koeficienty v této kvadratické rovnici jsou dělitelné 3 a provedeme dělení, dostaneme redukovanou kvadratickou rovnici x 2 + 2x – 2 = 0 Vyřešte tuto rovnici pomocí vzorců pro redukovanou kvadratickou rovnici
rovnice obrázek 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odpověď: –1 – √3; –1 + √3.

Jak vidíte, při řešení této rovnice pomocí různých vzorců jsme dostali stejnou odpověď. Proto po důkladném zvládnutí vzorců znázorněných na diagramu na obrázku 1 budete vždy schopni vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici.

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

S tímto matematickým programem můžete řešit kvadratickou rovnici.

Program nejen dává odpověď na problém, ale také zobrazuje proces řešení dvěma způsoby:
- pomocí diskriminantu
- pomocí Vietovy věty (pokud je to možné).

Navíc se odpověď zobrazuje jako přesná, nikoli přibližná.
Například pro rovnici \(81x^2-16x-1=0\) se odpověď zobrazí v následujícím tvaru:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a ne takto: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Tento program může být užitečný pro studenty středních škol střední školy v přípravě na testy a zkoušky, při testování znalostí před Jednotnou státní zkouškou, pro rodiče ke zvládnutí řešení mnoha problémů z matematiky a algebry. Nebo je pro vás možná příliš drahé najmout si lektora nebo koupit nové učebnice? Nebo to jen chcete mít co nejrychleji hotové? domácí práce v matematice nebo algebře? V tomto případě můžete využít i naše programy s detailními řešeními.

Tímto způsobem můžete provádět vlastní školení a/nebo školení vašich mladších bratrů nebo sester, přičemž se úroveň vzdělání v oblasti řešení problémů zvyšuje.

Pokud nejste obeznámeni s pravidly vstupu kvadratický polynom, doporučujeme se s nimi seznámit.

Pravidla pro zadání kvadratického polynomu

Jakékoli latinské písmeno může fungovat jako proměnná.
Například: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atd.

Čísla lze zadávat jako celá nebo zlomková čísla.
Zlomková čísla lze navíc zadávat nejen ve formě desetinného místa, ale také ve formě obyčejného zlomku.

Pravidla pro zadávání desetinných zlomků.
V desetinných číslech zlomek lze od celku oddělit buď tečkou nebo čárkou.
Můžete například zadat desetinná místa takto: 2,5x - 3,5x^2

Pravidla pro zadávání obyčejných zlomků.
Pouze celé číslo může fungovat jako čitatel, jmenovatel a celá část zlomku.

Jmenovatel nemůže být záporný.

Při zadávání číselného zlomku se čitatel odděluje od jmenovatele znaménkem dělení: /
Celá část oddělené od zlomku ampersandem: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Výsledek: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Při zadávání výrazu můžete použít závorky. V tomto případě se při řešení kvadratické rovnice nejprve zjednoduší zavedený výraz.
Například: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Rozhodni se

Bylo zjištěno, že některé skripty potřebné k vyřešení tohoto problému nebyly načteny a program nemusí fungovat.
Možná máte povolený AdBlock.
V takovém případě jej deaktivujte a obnovte stránku.

JavaScript je ve vašem prohlížeči zakázán.
Aby se řešení objevilo, musíte povolit JavaScript.
Zde je návod, jak povolit JavaScript ve vašem prohlížeči.

Protože Existuje mnoho lidí ochotných problém vyřešit, váš požadavek byl zařazen do fronty.
Za několik sekund se řešení objeví níže.
Prosím, čekejte sek...

jestli ty zaznamenal chybu v řešení, pak o tom můžete napsat do formuláře zpětné vazby.
Nezapomeň uveďte jaký úkol ty rozhodneš co zadejte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teorie.

Kvadratická rovnice a její kořeny. Neúplné kvadratické rovnice

Každá z rovnic
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
vypadá jako
\(ax^2+bx+c=0, \)
kde x je proměnná, a, b a c jsou čísla.
V první rovnici a = -1, b = 6 a c = 1,4, ve druhé a = 8, b = -7 a c = 0, ve třetí a = 1, b = 0 a c = 4/9. Takové rovnice se nazývají kvadratické rovnice.

Definice.
Kvadratická rovnice se nazývá rovnice tvaru ax 2 +bx+c=0, kde x je proměnná, a, b a c jsou nějaká čísla a \(a \neq 0 \).

Čísla a, b a c jsou koeficienty kvadratické rovnice. Číslo a se nazývá první koeficient, číslo b je druhý koeficient a číslo c je volný člen.

V každé z rovnic tvaru ax 2 +bx+c=0, kde \(a\neq 0\), je největší mocninou proměnné x čtverec. Odtud název: kvadratická rovnice.

Všimněte si, že kvadratická rovnice se také nazývá rovnice druhého stupně, protože její levá strana je polynomem druhého stupně.

Kvadratická rovnice, ve které je koeficient x 2 roven 1, se nazývá daná kvadratická rovnice. Například uvedené kvadratické rovnice jsou rovnicemi
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Pokud je v kvadratické rovnici ax 2 +bx+c=0 alespoň jeden z koeficientů b nebo c roven nule, pak se taková rovnice nazývá neúplná kvadratická rovnice. Tedy rovnice -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 jsou neúplné kvadratické rovnice. V prvním z nich b=0, ve druhém c=0, ve třetím b=0 a c=0.

Existují tři typy neúplných kvadratických rovnic:
1) ax 2 +c=0, kde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Zvažme řešení rovnic každého z těchto typů.

K vyřešení neúplné kvadratické rovnice tvaru ax 2 +c=0 pro \(c \neq 0 \) se její volný člen přenese do pravá strana a vydělte obě strany rovnice a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Šipka doprava x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Protože \(c \neq 0 \), pak \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jestliže \(-\frac(c)(a)>0\), pak má rovnice dva kořeny.

Jestliže \(-\frac(c)(a) Chcete-li vyřešit neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 +bx=0 pomocí \(b \neq 0 \), rozšiřte ji levá strana podle faktorů a získejte rovnici
\(x(ax+b)=0 \Šipka doprava \left\( \začátek(pole)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(pole) \vpravo. \Šipka doprava \levá\( \začátek (pole)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(pole) \vpravo. \)

To znamená, že neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 +bx=0 pro \(b \neq 0 \) má vždy dva kořeny.

Neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 =0 je ekvivalentní rovnici x 2 =0, a proto má jeden kořen 0.

Vzorec pro kořeny kvadratické rovnice

Uvažujme nyní, jak řešit kvadratické rovnice, ve kterých jsou koeficienty neznámých i volný člen nenulové.

Pojďme vyřešit kvadratickou rovnici v obecný pohled a jako výsledek dostaneme vzorec pro kořeny. Tento vzorec pak lze použít k řešení libovolné kvadratické rovnice.

Řešte kvadratickou rovnici ax 2 +bx+c=0

Vydělením obou stran a získáme ekvivalentní redukovanou kvadratickou rovnici
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Pojďme transformovat tuto rovnici výběrem druhé mocniny binomu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \šipka doprava \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Šipka doprava \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Šipka doprava \left(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Šipka doprava \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Šipka doprava x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Šipka doprava \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikální výraz se nazývá diskriminant kvadratické rovnice ax 2 +bx+c=0 („diskriminační“ v latině - diskriminátor). Označuje se písmenem D, tzn.
\(D = b^2-4ac\)

Nyní pomocí diskriminačního zápisu přepíšeme vzorec pro kořeny kvadratické rovnice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kde \(D= b^2-4ac \)

Je zřejmé, že:
1) Je-li D>0, pak má kvadratická rovnice dva kořeny.
2) Je-li D=0, pak má kvadratická rovnice jeden kořen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jestliže D Tedy v závislosti na hodnotě diskriminantu může mít kvadratická rovnice dva kořeny (pro D > 0), jeden kořen (pro D = 0) nebo nemá kořeny (pro D Při řešení kvadratické rovnice pomocí tohoto vzorce, je vhodné postupovat následujícím způsobem:
1) vypočítejte diskriminant a porovnejte jej s nulou;
2) pokud je diskriminant kladný nebo roven nule, použijte kořenový vzorec, pokud je diskriminant záporný, zapište, že žádné kořeny nejsou.

Vietova věta

Daná kvadratická rovnice ax 2 -7x+10=0 má kořeny 2 a 5. Součet kořenů je 7 a součin je 10. Vidíme, že součet kořenů je roven druhému koeficientu převzatému z opačné znamení a součin kořenů se rovná volnému členu. Tuto vlastnost má každá redukovaná kvadratická rovnice, která má kořeny.

Součet kořenů výše uvedené kvadratické rovnice se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem a součin kořenů se rovná volnému členu.

Tito. Vietův teorém říká, že kořeny x 1 a x 2 redukované kvadratické rovnice x 2 +px+q=0 mají vlastnost:
\(\left\( \begin(pole)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(pole) \right. \)

Bibliografický popis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metody řešení kvadratických rovnic // Young scientist. 2016. č. 6.1. P. 17-20..02.2019).



Náš projekt je o způsobech řešení kvadratických rovnic. Cíl projektu: naučit se řešit kvadratické rovnice způsoby, které nejsou součástí školního vzdělávacího programu. Úkol: najít vše možné způsobyřešení kvadratických rovnic a naučit se je sami používat a seznámit s těmito metodami své spolužáky.

Co jsou to „kvadratické rovnice“?

Kvadratická rovnice- rovnice tvaru sekera2 + bx + c = 0, Kde A, b, C- nějaká čísla ( a ≠ 0), X- neznámý.

Čísla a, b, c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice.

• a se nazývá první koeficient;
• b se nazývá druhý koeficient;
• c - volný člen.

Kdo jako první „vynalezl“ kvadratické rovnice?

Některé algebraické techniky pro řešení lineárních a kvadratických rovnic byly známy již před 4000 lety Starověký Babylon. Objev starobabylonských hliněných tabulek, pocházejících někde mezi 1800 a 1600 př. n. l., poskytuje nejranější důkazy o studiu kvadratických rovnic. Stejné tablety obsahují metody pro řešení určitých typů kvadratických rovnic.

Potřeba řešit rovnice nejen prvního, ale i druhého stupně již v dávných dobách byla vyvolána nutností řešit problémy související se zjišťováním výměr pozemků a s výkopovými pracemi vojenského charakteru. stejně jako s rozvojem samotné astronomie a matematiky.

Pravidlo pro řešení těchto rovnic, stanovené v babylonských textech, se v podstatě shoduje s tím moderním, ale není známo, jak Babyloňané k tomuto pravidlu dospěli. Téměř všechny dosud nalezené klínopisné texty poskytují pouze problémy s řešeními ve formě receptů, bez náznaku, jak byly nalezeny. I přes vysoká úroveň vývoj algebry v Babylonu, klínové texty postrádají pojem záporného čísla a obecné metodyřešení kvadratických rovnic.

Babylonští matematici asi ze 4. století před naším letopočtem. použil metodu doplňku čtverce k řešení rovnic s kladnými kořeny. Kolem roku 300 př.n.l Euklides přišel s obecnější metodou geometrického řešení. Prvním matematikem, který našel řešení rovnic se zápornými kořeny ve formě algebraického vzorce, byl indický vědec Brahmagupta(Indie, 7. století našeho letopočtu).

Brahmagupta stanovil obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic zredukovaných na jedinou kanonickou formu:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficienty v této rovnici mohou být také záporné. Brahmaguptovo pravidlo je v podstatě stejné jako naše.

Veřejné soutěže v řešení obtížných problémů byly v Indii běžné. Jedna ze starých indických knih říká o takových soutěžích toto: „Jak slunce zatemňuje hvězdy svým leskem, tak učený muž zastíní slávu v lidová shromáždění, navrhování a řešení algebraických problémů." Problémy byly často prezentovány v poetické formě.

V algebraickém pojednání Al-Chwarizmi je uvedena klasifikace lineárních a kvadratických rovnic. Autor počítá 6 typů rovnic a vyjadřuje je takto:

1) „Čtverce se rovnají odmocninám“, tj. ax2 = bx.

2) „Čtverce se rovnají číslům“, tj. ax2 = c.

3) „Kořeny se rovnají číslu“, tj. ax2 = c.

4) „Čtverce a čísla se rovnají odmocninám“, tj. ax2 + c = bx.

5) „Čtverce a odmocniny se rovnají číslu“, tj. ax2 + bx = c.

6) „Odmocniny a čísla se rovnají čtvercům“, tj. bx + c == ax2.

Pro Al-Khwarizmiho, který se vyvaroval použití záporných čísel, jsou členy každé z těchto rovnic sčítání, nikoli odečitatelné. V tomto případě se zjevně neberou v úvahu rovnice, které nemají kladná řešení. Autor uvádí metody řešení těchto rovnic pomocí technik al-jabr a al-mukabal. Jeho rozhodnutí se samozřejmě úplně neshoduje s naším. Nemluvě o tom, že je to čistě rétorické, nutno podotknout, že například při řešení neúplné kvadratické rovnice prvního typu Al-Khorezmi, jako všichni matematici do 17. století, nepočítá s nulovým řešením, asi proto, že v konkrétní praxi na úkolech nezáleží. Při řešení úplných kvadratických rovnic Al-Khwarizmi na parciální číselné příklady stanoví pravidla řešení a následně jejich geometrické důkazy.

Formuláře pro řešení kvadratických rovnic podle modelu Al-Khwarizmiho v Evropě byly poprvé uvedeny v „Knize počítadla“ napsané v roce 1202. italský matematik Leonard Fibonacci. Autor nezávisle vyvinul některé nové algebraické příklady řešení problémů a jako první v Evropě přistoupil k zavedení záporných čísel.

Tato kniha přispěla k rozšíření algebraických znalostí nejen v Itálii, ale také v Německu, Francii a dalších evropských zemích. Mnoho problémů z této knihy bylo použito téměř ve všech evropských učebnicích 14.–17. století. Obecné pravidlořešení kvadratických rovnic redukovaných na jediný kanonický tvar x2 + bх = с pro všechny možné kombinace znaků a koeficientů b, c bylo v Evropě formulováno v roce 1544. M. Stiefel.

Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice v obecném tvaru je k dispozici od Viète, ale Viète rozpoznal pouze kladné kořeny. italští matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli mezi prvními v 16. století. Kromě pozitivních se berou v úvahu i kořeny negativní. Teprve v 17. stol. díky úsilí Girard, Descartes, Newton a dalších vědců dostává metoda řešení kvadratických rovnic moderní podobu.

Podívejme se na několik způsobů řešení kvadratických rovnic.

Standardní metody řešení kvadratických rovnic z školní osnovy:

1. Faktorizace levé strany rovnice.
2. Metoda výběru celého čtverce.
3. Řešení kvadratických rovnic pomocí vzorce.
4. Grafické řešení kvadratická rovnice.
5. Řešení rovnic pomocí Vietovy věty.

Zastavme se podrobněji u řešení redukovaných a neredukovaných kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty.

Připomeňme, že k řešení výše uvedených kvadratických rovnic stačí najít dvě čísla, jejichž součin je roven volnému členu a jejichž součet se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem.

Příklad.X 2 -5x+6=0

Musíte najít čísla, jejichž součin je 6 a jejichž součet je 5. Tato čísla budou 3 a 2.

Odpověď: x 1 =2, x 2 =3.

Tuto metodu ale můžete použít i pro rovnice s prvním koeficientem, který se nerovná jedné.

Příklad.3x 2 +2x-5=0

Vezměte první koeficient a vynásobte jej volným členem: x 2 +2x-15=0

Kořeny této rovnice budou čísla, jejichž součin je - 15 a jejichž součet je - 2. Tato čísla jsou 5 a 3. Chcete-li najít kořeny původní rovnice, vydělte výsledné kořeny prvním koeficientem.

Odpověď: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Řešení rovnic metodou "házení".

Uvažujme kvadratickou rovnici ax 2 + bx + c = 0, kde a≠0.

Vynásobením obou stran a dostaneme rovnici a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Nechť ax = y, odkud x = y/a; pak dojdeme k rovnici y 2 + by + ac = 0, ekvivalentní dané rovnici. Jeho kořeny pro 1 a 2 najdeme pomocí Vietovy věty.

Nakonec dostaneme x 1 = y 1 /a a x 2 = y 2 /a.

U této metody se koeficient a násobí volným členem, jako by mu byl „přihozen“, proto se nazývá metoda „házení“. Tato metoda se používá, když lze kořeny rovnice snadno najít pomocí Vietovy věty a hlavně, když je diskriminant přesný čtverec.

Příklad.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Koeficient 2 „hodíme“ na volný člen a provedeme substituci a dostaneme rovnici y 2 - 11y + 30 = 0.

Podle Vietovy inverzní věty

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpověď: x 1 = 2,5; X 2 = 3.

7. Vlastnosti koeficientů kvadratické rovnice.

Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Jestliže a+ b + c = 0 (tj. součet koeficientů rovnice je nulový), pak x 1 = 1.

2. Jestliže a - b + c = 0 nebo b = a + c, pak x 1 = - 1.

Příklad.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Protože a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), pak x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odpověď: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Příklad.132x 2 + 247x + 115 = 0

Protože a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), pak x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odpověď: x 1 = -1; X 2 =- 115/132

Existují další vlastnosti koeficientů kvadratické rovnice. ale jejich použití je složitější.

8. Řešení kvadratických rovnic pomocí nomogramu.

Obr 1. Nomogram

Jedná se o starou a v současnosti zapomenutou metodu řešení kvadratických rovnic, umístěnou na s. 83 sborníku: Bradis V.M. Čtyřmístné matematické tabulky. - M., Vzdělávání, 1990.

Tabulka XXII. Nomogram pro řešení rovnice z 2 + pz + q = 0. Tento nomogram umožňuje bez řešení kvadratické rovnice určit kořeny rovnice z jejích koeficientů.

Křivočará stupnice nomogramu se sestaví podle vzorců (obr. 1):

Věřící OS = p, ED = q, OE = a(vše v cm), z obr. 1 podobnosti trojúhelníků SAN A CDF dostaneme poměr

což po substitucích a zjednodušeních dává rovnici z 2 + pz + q = 0, a dopis z znamená značku libovolného bodu na zakřivené stupnici.

Rýže. 2 Řešení kvadratických rovnic pomocí nomogramu

Příklady.

1) Pro rovnici z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram dává kořeny z 1 = 8,0 az 2 = 1,0

Odpověď: 8,0; 1,0.

2) Pomocí nomogramu vyřešíme rovnici

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Vydělte koeficienty této rovnice 2, dostaneme rovnici z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram dává kořeny z 1 = 4 az 2 = 0,5.

Odpověď: 4; 0,5.

9. Geometrická metoda řešení kvadratických rovnic.

Příklad.X 2 + 10x = 39.

V originále je tento problém formulován takto: „Čtverec a deset odmocnin se rovná 39.“

Uvažujme čtverec se stranou x, obdélníky jsou konstruovány na jeho stranách tak, že druhá strana každého z nich je 2,5, tedy plocha každého z nich je 2,5x. Výsledný obrazec je poté doplněn do nového čtverce ABCD, přičemž v rozích jsou přidány čtyři čtverce. rovný čtverec, strana každého z nich je 2,5 a plocha je 6,25

Rýže. 3 Grafická metoda řešení rovnice x 2 + 10x = 39

Plochu S čtverce ABCD lze znázornit jako součet ploch: původního čtverce x 2, čtyř obdélníků (4∙2,5x = 10x) a čtyř dalších čtverců (6,25∙4 = 25), tzn. S = x 2 + 10x = 25. Nahradíme-li x 2 + 10x číslem 39, dostaneme, že S = 39 + 25 = 64, což znamená, že strana čtverce je ABCD, tzn. segment AB = 8. Pro požadovanou stranu x původního čtverce získáme

10. Řešení rovnic pomocí Bezoutovy věty.

Bezoutova věta. Zbytek dělení polynomu P(x) binomem x - α je roven P(α) (tj. hodnotě P(x) v x = α).

Je-li číslo α kořenem polynomu P(x), pak je tento polynom beze zbytku dělitelný x -α.

Příklad.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Vydělte P(x) (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-l=0; x=1 nebo x-3=0, x=3; Odpověď: x1 =2, x2 =3.

Závěr: Schopnost rychle a racionálně řešit kvadratické rovnice je prostě nezbytná pro řešení složitějších rovnic, například zlomkových racionálních rovnic, rovnic vyšších stupňů, bikvadratické rovnice a na střední škole goniometrické, exponenciální a logaritmické rovnice. Po prostudování všech nalezených metod řešení kvadratických rovnic můžeme našim spolužákům doporučit kromě standardních metod řešení také přenosovou metodou (6) a rovnice řešit pomocí vlastnosti koeficientů (7), protože jsou dostupnější. k pochopení.

Literatura:

1. Bradis V.M. Čtyřmístné matematické tabulky. - M., Vzdělávání, 1990.
2. Algebra 8. ročník: učebnice pro 8. ročník. obecné vzdělání instituce Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. vyd., revidováno. - M.: Vzdělávání, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole. Manuál pro učitele. / Ed. V.N. mladší. - M.: Vzdělávání, 1964.

Toto téma se může na první pohled zdát obtížné, protože mnohým tomu tak není jednoduché vzorce. Nejen, že samotné kvadratické rovnice mají dlouhé zápisy, ale kořeny se také nacházejí prostřednictvím diskriminantu. Celkem se získají tři nové vzorce. Není moc snadné si zapamatovat. To je možné pouze po častém řešení takových rovnic. Pak si všechny vzorce budou samy pamatovat.

Obecný pohled na kvadratickou rovnici

Zde navrhujeme jejich explicitní záznam, kdy se nejprve zapíše největší stupeň a poté v sestupném pořadí. Často dochází k situacím, kdy jsou podmínky nekonzistentní. Pak je lepší rovnici přepsat v sestupném pořadí podle stupně proměnné.

Představme si nějaký zápis. Jsou uvedeny v tabulce níže.

Pokud přijmeme tyto zápisy, všechny kvadratické rovnice se zredukují na následující zápis.

Navíc koeficient a ≠ 0. Nechť je tento vzorec označen číslem jedna.

Když je dána rovnice, není jasné, kolik kořenů bude v odpovědi. Protože vždy je možná jedna ze tří možností:

• řešení bude mít dva kořeny;
• odpověď bude jedno číslo;
• rovnice nebude mít vůbec žádné kořeny.

A dokud není rozhodnutí dokončeno, je obtížné pochopit, která možnost se objeví v konkrétním případě.

Typy záznamů kvadratických rovnic

V úkolech mohou být různé položky. Ne vždy budou vypadat obecný vzorec kvadratická rovnice. Někdy v něm budou některé termíny chybět. To, co bylo napsáno výše, je úplná rovnice. Pokud v něm odstraníte druhý nebo třetí termín, získáte něco jiného. Tyto záznamy se také nazývají kvadratické rovnice, pouze neúplné.

Navíc mohou zmizet pouze členy s koeficienty „b“ a „c“. Číslo "a" se za žádných okolností nemůže rovnat nule. Protože v tomto případě se vzorec změní na lineární rovnici. Vzorce pro neúplný tvar rovnic budou následující:

Existují tedy pouze dva typy, kromě úplných existují také neúplné kvadratické rovnice. Nechť je první vzorec číslo dvě a druhý - tři.

Diskriminant a závislost počtu kořenů na jeho hodnotě

Toto číslo potřebujete znát, abyste mohli vypočítat kořeny rovnice. Vždy se dá vypočítat, bez ohledu na to, jaký je vzorec kvadratické rovnice. Abyste mohli vypočítat diskriminant, musíte použít níže napsanou rovnost, která bude mít číslo čtyři.

Po dosazení hodnot koeficientů do tohoto vzorce můžete získat čísla pomocí různá znamení. Pokud je odpověď ano, pak odpovědí na rovnici budou dva různé kořeny. Na záporné číslo kořeny kvadratické rovnice budou chybět. Pokud se rovná nule, bude pouze jedna odpověď.

Jak vyřešit úplnou kvadratickou rovnici?

Ve skutečnosti se o této otázce již začalo uvažovat. Protože nejprve musíte najít diskriminant. Poté, co se zjistí, že existují kořeny kvadratické rovnice a jejich počet je znám, musíte pro proměnné použít vzorce. Pokud existují dva kořeny, musíte použít následující vzorec.

Protože obsahuje znaménko „±“, budou zde dvě hodnoty. Výraz pod odmocninou je diskriminant. Proto lze vzorec přepsat jinak.

Formule číslo pět. Ze stejného záznamu je zřejmé, že pokud je diskriminant roven nule, pak oba kořeny budou mít stejné hodnoty.

Pokud řešení kvadratických rovnic ještě nebylo vypracováno, je lepší zapsat hodnoty všech koeficientů před použitím diskriminačních a proměnných vzorců. Později tento okamžik nezpůsobí potíže. Hned na začátku je ale zmatek.

Jak vyřešit neúplnou kvadratickou rovnici?

Všechno je zde mnohem jednodušší. Nejsou ani potřeba další vzorce. A ty, které již byly sepsány pro diskriminující a neznámé, nebudou potřeba.

Nejprve uvažujme neúplná rovnice u čísla dvě. V této rovnosti je nutné neznámou veličinu vyjmout ze závorek a vyřešit lineární rovnici, která v závorce zůstane. Odpověď bude mít dva kořeny. První se nutně rovná nule, protože existuje multiplikátor sestávající ze samotné proměnné. Druhý získáme řešením lineární rovnice.

Neúplná rovnice číslo tři se řeší posunutím čísla z levé strany rovnosti doprava. Pak musíte vydělit koeficientem čelí neznámému. Zbývá jen vyjmout druhou odmocninu a nezapomenout ji zapsat dvakrát s opačnými znaménky.

Níže jsou uvedeny některé kroky, které vám pomohou naučit se řešit všechny druhy rovnosti, které se mění na kvadratické rovnice. Pomohou žákovi vyvarovat se chyb z nepozornosti. Tyto nedostatky mohou způsobit špatné známky při studiu rozsáhlého tématu „Kvadratické rovnice (8. třída). Následně nebude nutné tyto akce provádět neustále. Protože se objeví stabilní dovednost.

• Nejprve musíte napsat rovnici ve standardním tvaru. To znamená, že nejprve výraz s největším stupněm proměnné a poté - bez stupně a jako poslední - pouze číslo.

• Objeví-li se před koeficientem „a“ mínus, může to začátečníkovi při studiu kvadratických rovnic zkomplikovat práci. Je lepší se toho zbavit. Za tímto účelem musí být veškerá rovnost vynásobena „-1“. To znamená, že všechny výrazy změní znaménko na opačné.

• Stejným způsobem se doporučuje zbavit se zlomků. Jednoduše vynásobte rovnici příslušným faktorem tak, aby se jmenovatelé vyrovnali.

Příklady

Je potřeba vyřešit následující kvadratické rovnice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

První rovnice: x 2 − 7x = 0. Je neúplná, proto se řeší tak, jak je popsáno u vzorce číslo dvě.

Po vyjmutí ze závorek se ukáže: x (x - 7) = 0.

První kořen má hodnotu: x 1 = 0. Druhý bude nalezen z lineární rovnice: x - 7 = 0. Je snadné vidět, že x 2 = 7.

Druhá rovnice: 5x 2 + 30 = 0. Opět neúplné. Pouze se řeší tak, jak je popsáno u třetího vzorce.

Po přesunutí 30 na pravou stranu rovnice: 5x 2 = 30. Nyní je potřeba vydělit 5. Ukáže se: x 2 = 6. Odpovědi budou čísla: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Třetí rovnice: 15 − 2х − x 2 = 0. Zde a dále bude řešení kvadratických rovnic začínat jejich přepisováním v standardní pohled: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nyní je čas použít druhý užitečné rady a vše vynásobte mínus jedna. Ukazuje se x 2 + 2x - 15 = 0. Pomocí čtvrtého vzorce je třeba vypočítat diskriminant: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Je to kladné číslo. Z výše uvedeného vyplývá, že rovnice má dva kořeny. Je třeba je vypočítat pomocí pátého vzorce. Ukazuje se, že x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Potom x 1 = 3, x 2 = - 5.

Čtvrtá rovnice x 2 + 8 + 3x = 0 se transformuje na tuto: x 2 + 3x + 8 = 0. Její diskriminant je roven této hodnotě: -23. Protože toto číslo je záporné, odpověď na tento úkol bude následující: „Neexistují žádné kořeny“.

Pátá rovnice 12x + x 2 + 36 = 0 by měla být přepsána takto: x 2 + 12x + 36 = 0. Po aplikaci vzorce pro diskriminant dostaneme číslo nula. To znamená, že bude mít jeden kořen, a to: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šestá rovnice (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) vyžaduje transformace, které spočívají v tom, že musíte přinést podobné členy a nejprve otevřít závorky. Na místě prvního bude následující výraz: x 2 + 2x + 1. Po rovnosti se objeví tento záznam: x 2 + 3x + 2. Po sčítání podobných členů bude mít rovnice tvar: x 2 - x = 0. Stalo se neúplným. O něčem podobném již byla řeč o něco výše. Kořeny toho budou čísla 0 a 1.