Vyřešte Bernoulliho rovnici. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu a Bernoulliho rovnice

Bernoulliho diferenciální rovnice je rovnice tvaru

kde n≠0,n≠1.

Tuto rovnici lze přeskupit pomocí substituce

PROTI lineární rovnice

Na praxi diferenciální rovnice Bernoulli obvykle nevede k lineární rovnici, ale je okamžitě řešen pomocí stejných metod jako lineární rovnice – buď Bernoulliho metoda, nebo metoda variace libovolné konstanty.

Podívejme se, jak řešit Bernoulliho diferenciální rovnici pomocí substituce y=uv (Bernoulliho metoda). Schéma řešení je stejné jako u .

Příklady. Řešte rovnice:

1) y’x+y=-xy².

Toto je Bernoulliho diferenciální rovnice. Pojďme to uvést do standardní podoby. Chcete-li to provést, vydělte obě části x: y’+y/x=-y². Zde p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Ale nepotřebujeme to řešit standardní pohled. Budeme pracovat se záznamovým formulářem uvedeným v podmínce.

1) Náhrada y=uv, kde u=u(x) a v=v(x) jsou některé nové funkce x. Pak y’=(uv)’=u’v+v’u. Výsledné výrazy dosadíme do podmínky: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Otevřeme závorky: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Nyní seskupme členy pomocí v: v+v’ux=-xu²v² (I) (nedotýkáme se členu se stupněm v, který je na pravé straně rovnice). Nyní požadujeme, aby se výraz v závorkách rovnal nule: u’x+u=0. A to je rovnice s oddělitelnými proměnnými u a x. Když to vyřešíme, najdeme tě. Dosadíme u=du/dx a oddělíme proměnné: x·du/dx=-u. Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme xu≠0:

(při hledání u C bereme jako rovné nule).

3) V rovnici (I) dosadíme =0 a nalezenou funkci u=1/x. Máme rovnici: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Po zjednodušení: v’=-(1/x)·v². Toto je rovnice s oddělitelnými proměnnými v a x. Nahradíme v’=dv/dx a oddělíme proměnné: dv/dx=-(1/x)·v². Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme v²≠0:

(vzali jsme -C, abychom se vynásobením obou stran -1 mohli zbavit mínusu). Takže vynásobte (-1):

(nelze vzít ne C, ale ln│C│ a v tomto případě by to bylo v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Ujistíme se, že toto je Bernoulliho rovnice. Vydělením obou částí dvěma dostaneme y’+y=(x/2) y². Zde p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Rovnici řešíme Bernoulliho metodou.

1) Náhrada y=uv, y’=u’v+v’u. Tyto výrazy dosadíme do původní podmínky: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Otevřete závorky: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Nyní seskupme výrazy obsahující v: +2v’u=xu²v² (II). Požadujeme, aby se výraz v závorkách rovnal nule: 2u’+2u=0, tedy u’+u=0. Toto je separovatelná rovnice pro u a x. Pojďme to vyřešit a najít tě. Dosadíme u’=du/dx, odkud du/dx=-u. Vynásobením obou stran rovnice dx a dělením u≠0 dostaneme: du/u=-dx. Pojďme integrovat:

3) Dosadit do (II) =0 a

Nyní dosadíme v’=dv/dx a oddělíme proměnné:

Pojďme integrovat:

Levá strana rovnosti je tabulkový integrál, integrál na pravé straně se najde pomocí vzorce integrace podle částí:

Dosazením nalezených v a du pomocí vzorce integrace podle částí máme:

A od té doby

Udělejme C=-C:

4) Protože y=uv, dosadíme nalezené funkce u a v:

3) Integrujte rovnici x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Vydělme obě strany rovnice x²(x-1)≠0 a přesuňte člen s y² na pravou stranu:

Toto je Bernoulliho rovnice

1) Náhrada y=uv, y’=u’v+v’u. Jako obvykle dosadíme tyto výrazy do původní podmínky: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Proto x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Seskupujeme výrazy obsahující v (v² – nedotýkejte se):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Nyní požadujeme, aby se výraz v závorkách rovnal nule: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, tedy x²(x-1)u’=x(x-2)u. V rovnici oddělíme proměnné u a x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme x²(x-1)u≠0:

Na levé straně rovnice je tabulkový integrál. Racionální zlomek na pravé straně je třeba rozložit na jednoduché zlomky:

Když x=1: 1-2=A·0+B·1, odkud B=-1.

Při x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, odkud A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Podle vlastností logaritmů: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, odkud u=x²/(x-1).

3) V rovnosti (III) dosadíme =0 a u=x²/(x-1). Dostaneme: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, nahradit:

Místo C vezmeme - C, takže vynásobením obou částí (-1) se zbavíme mínusů:

Nyní zredukujeme výrazy na pravé straně na společného jmenovatele a najdeme v:

4) Protože y=uv, dosazením nalezených funkcí u a v dostaneme:

Příklady autotestů:

1) Ujistíme se, že jde o Bernoulliho rovnici. Vydělením obou stran x dostaneme:

1) Náhrada y=uv, odkud y’=u’v+v’u. Tato y a y dosadíme do původního stavu:

2) Seskupte výrazy pomocí v:

Nyní požadujeme, aby se výraz v závorkách rovnal nule a najdeme u z této podmínky:

Pojďme integrovat obě strany rovnice:

3) V rovnici (*) dosadíme =0 a u=1/x²:

Integrujme obě strany výsledné rovnice.

Rovnice ve tvaru y' + P(x)y = Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou známé funkce x, lineární vzhledem k funkci y a její derivaci y', se nazývá lineární diferenciální rovnice prvního řádu.

Jestliže q(x)=0, rovnice se nazývá lineární homogenní rovnice. q(x)=0 – lineární nehomogenní rovnice.

Lineární rovnice je redukována na dvě rovnice se separovatelnými proměnnými pomocí substituce y = u*v, kde u = u(x) a v = v(x) jsou některé pomocné spojité funkce.

Takže y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),

pak původní rovnici přepíšeme ve tvaru: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).

Protože neznámou funkci y hledáme jako součin dvou funkcí, lze jednu z nich zvolit libovolně, druhou určit rovnicí (2).

Zvolme tak, aby v’ + P(x)*v = 0 (3). K tomu stačí, aby v(x) bylo částečné řešení rovnice (3) (při C = 0). Pojďme najít toto řešení:

V*P(x); = -;ln |v| = -;v = (4)

Dosazením funkce (4) do rovnice (2) získáme druhou rovnici se separovatelnými proměnnými, ze které najdeme funkci u(x):

u’ * = Q(x) ; du = Q(x)*; u = +C (5)

Nakonec dostaneme:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Bernoulliho rovnice:y’ + y = X* y 3

Tato rovnice má tvar: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou spojité funkce.

Jestliže n = 0, pak se Bernoulliho rovnice stává lineární diferenciální rovnicí. Pokud n = 1, rovnice se stane separovatelnou rovnicí.

Obecně, když n ≠ 0, 1, ekv. Bernoulliho redukujeme na lineární diferenciální rovnici pomocí substituce: z = y 1- n

Nová diferenciální rovnice pro funkci z(x) má tvar: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) a lze ji řešit stejným způsobem jako lineární diferenciály . Rovnice 1. řádu.

20. Diferenciální rovnice vyšších řádů.

Uvažujme rovnici, která explicitně neobsahuje funkci:

Pořadí této rovnice se sníží o jedničku pomocí substituce:

Tedy skutečně:

A dostaneme rovnici, ve které je pořadí sníženo o jednu:

Dif. rovnice řádu vyšší než druhá mají tvar a , kde jsou reálná čísla a funkci f(x) spojité na integračním intervalu X.

Ne vždy je možné takové rovnice řešit analyticky a většinou se používají přibližné metody. V některých případech je však možné najít společné rozhodnutí.

Teorém.

Obecné řešení y 0 lineární homogenní diferenciální rovnice na intervalu X se zapnutými spojitými koeficienty X je lineární kombinace n lineárně nezávislá dílčí řešení LODE s libovolným konstantní koeficienty , to je .

Teorém.

Společné rozhodnutí y lineární nehomogenní diferenciál

rovnice na intervalu X s průběžnými na stejné

mezi X koeficienty a funkce f(x) představuje částku

Kde y 0 je obecné řešení odpovídajícího LODE a je nějakým konkrétním řešením původního LODE.

Tedy obecné řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice s konstantami

hledání koeficientů ve tvaru , kde - některé

jeho soukromé řešení a – obecné řešení odpovídajícího homogenního diferenciálu

rovnic

21. Testy a události. Typy událostí. Příklady.

Testování je vytvoření určitého souboru podmínek pro výskyt událostí. Příklad: házení kostkou

Událost – výskyt/nenastoupení jednoho nebo druhého výsledku testu; Výsledek testu. Příklad: házení čísla 2

Náhodná událost je událost, která může, ale nemusí nastat během daného testu. Příklad: házení čísla větším než 5

Spolehlivý – událost, která nevyhnutelně nastane během daného testu. Příklad: házení čísla většího nebo rovného 1

Možné – událost, která se může stát během daného testu. Příklad: hození čísla 6

Impossible – událost, která nemůže nastat během daného testu. Příklad: hození čísla 7

Nechť A je nějaká událost. Dějem jemu protilehlým budeme rozumět děj spočívající v nenastávání děje A. Označení: Ᾱ. Příklad: A – padne číslo 2, Ᾱ – padne jakékoli jiné číslo

Události A a B jsou neslučitelné, pokud výskyt jedné z nich vylučuje výskyt druhé ve stejném pokusu. Příklad: získání čísel 1 a 3 v jednom hodu.

Události A a B se nazývají společné, pokud mohou nastat v jednom pokusu. Příklad: získání čísla většího než 2 a čísla 4 ve stejném hodu.

22. Kompletní skupina událostí. Příklady.

Kompletní skupina událostí - události A, B, C, D, ..., L, které jsou považovány za jediné možné, pokud v důsledku každého testu alespoň jedna z nich určitě nastane. Příklad: na kostce se objeví číslo 1, číslo 2, 3, 4, 5, 6.

23. Četnost událostí. Statistická definice pravděpodobnosti.

Nechť se provede n testů a událost A nastane mkrát. Tento poměr m:n je četnost výskytu události A.

Def. Pravděpodobnost náhodné události je konstantní číslo spojené s danou událostí, kolem kterého kolísá frekvence výskytu této události v dlouhých sériích testů.

Pravděpodobnost se vypočítá před experimentem a frekvence po něm.

24. Klasická definice pravděpodobnosti. Vlastnosti pravděpodobnosti události.

Pravděpodobnost události x je poměr počtu výsledků příznivých pro událost A k celkovému počtu všech stejně možných párově nekompatibilních a jednoznačně možných výsledků experimentu. P(A) =

Vlastnosti pravděpodobnosti události:

Pro jakoukoli událost A 0<=m<=n

Vydělením každého členu n dostaneme pro pravděpodobnost libovolného jevu A: 0<=Р(А) <=1

Pokud m=0, pak je událost nemožná: P(A)=0

Pokud m=n, pak je událost spolehlivá: P(A)=1

Pokud m

25. Geometrická definice pravděpodobnosti. Příklady.

Klasická definice pravděpodobnosti vyžaduje zvážení konečného počtu elementárních výsledků a stejně možných. V praxi však často existují testy, ve kterých je počet možných výsledků nekonečný.

ODA. Pokud se bod náhodně objeví v jednorozměrné, dvourozměrné nebo trojrozměrné oblasti míry S (míra je jeho délka, plocha nebo objem), pak je pravděpodobnost jeho výskytu v části této oblasti míry S rovna na

kde S je geometrická míra vyjadřující celkový počet vše možné a stejně možné výsledky tohoto pokusu a S i– míra vyjadřující počet výsledků příznivých pro událost A.

Příklad 1 Kružnice o poloměru R je umístěna v menší kružnici o poloměru r. Určete pravděpodobnost, že bod náhodně hozený do větší kružnice také spadne do malého kruhu.

Příklad 2 Nechť segment délky l je zahrnut do segmentu délky L. Najděte pravděpodobnost události A „náhodně vržený bod padne na segment délky l“.

Příklad 3. V kruhu je náhodně vybrán bod. Jaká je pravděpodobnost, že jeho vzdálenost ke středu kruhu je větší než polovina?

Příklad 4. Obě osoby se dohodly, že se sejdou na určitém místě mezi druhou a třetí hodinou odpoledne. První osoba, která přijde, čeká na druhou osobu 10 minut a poté odejde. Jaká je pravděpodobnost, že se tyto osoby setkají, pokud se každá z nich může dostavit kdykoliv během určené hodiny, bez ohledu na druhou?

26. Prvky kombinatoriky: Umístění, permutace, kombinace.

1) Permutace se nazývá řád stanovený v konečné množině.

Počet všech různých permutací se vypočítá podle vzorce

2) Umístění z n prvky podle m volal cokoliv spořádaný podmnožina hlavní množiny obsahující m prvků.

3) Kombinace z n prvky podle m volal cokoliv neuspořádaně podmnožina hlavní množiny obsahující prvky.

Volá se diferenciální rovnice y" +a 0 (x)y=b(x)y n Bernoulliho rovnice.
Protože s n=0 dostaneme lineární rovnici a s n=1 - se separovatelnými proměnnými, předpokládáme, že n ≠ 0 an ≠ 1. Vydělte obě strany (1) y n. Pak, uvedení , máme . Nahrazením tohoto výrazu dostaneme , nebo, což je totéž, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Toto je lineární rovnice, kterou víme, jak vyřešit.

Účel služby. Pro kontrolu řešení lze použít online kalkulačku Bernoulliho diferenciální rovnice.

=

Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice y" + 2xy = 2xy 3. Toto je Bernoulliho rovnice pro n=3. Vydělením obou stran rovnice y 3 dostaneme. Proveďte změnu. Pak a proto se rovnice přepíše jako -z " + 4xz = 4x. Řešením této rovnice metodou variace libovolné konstanty získáme kde nebo co je to samé, .

Příklad 2 y"+y+y2=0
y"+y = -y 2

Dělit y 2
y"/y2 + 1/y = -1

Provádíme výměnu:
z=l/yn-1, tj. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

Dostaneme: -z" + z = -1 nebo z" - z = 1

Příklad 3 xy’+2y+x 5 y 3 e x = 0
Řešení.
a) Řešení pomocí Bernoulliho rovnice.
Uveďme to ve tvaru: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Toto je Bernoulliho rovnice pro n=3. Vydělením obou stran rovnice y 3 dostaneme: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Provedeme náhradu: z=1/y 2. Potom z"=-2/y 3 a proto je rovnice přepsána ve tvaru: -xz"/2+2z=-x 5 e x. Toto je nehomogenní rovnice. Uvažujme odpovídající homogenní rovnici: -xz"/2+2z=0
1. Když to vyřešíme, dostaneme: z"=4z/x

Integrací získáme:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Nyní hledáme řešení původní rovnice ve tvaru: y(x) = C(x)x 4, y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x5/2 = -x5ex nebo C(x)" = 2ex. Integrací dostaneme: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Z podmínky y(x)=C(x)y získáme: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) nebo y = Cx 4 +2x 4 e x. Protože z=1/y 2, dostaneme: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Bernoulliho rovnice je jedním z nejznámějších nelineární diferenciální rovnice 1. řádu. Píše se ve formuláři

Kde A(X) A b(X) jsou spojité funkce. Li m= 0, pak se Bernoulliho rovnice stane lineární diferenciální rovnicí. V případě kdy m= 1, rovnice se stane separovatelnou rovnicí. Obecně, kdy m≠ 0,1, Bernoulliho rovnice je pomocí substituce redukována na lineární diferenciální rovnici

Nová diferenciální rovnice pro funkci z(X) má tvar

a lze je řešit pomocí metod popsaných na stránce Lineární diferenciální rovnice prvního řádu.

BERNOULIHO METODA.

Uvažovanou rovnici lze vyřešit Bernoulliho metodou. K tomu hledáme řešení původní rovnice ve formě součinu dvou funkcí: kde u, v- funkce od X. Diferencujte: Dosaďte do původní rovnice (1): (2) As proti Vezměme libovolné nenulové řešení rovnice: (3) Rovnice (3) je rovnice se separovatelnými proměnnými. Poté, co jsme našli jeho konkrétní řešení v = v(x), nahraďte jej do (2). Protože splňuje rovnici (3), výraz v závorkách bude nulový. Dostaneme: Toto je také oddělitelná rovnice. Najdeme její obecné řešení a s ním i řešení původní rovnice y = UV.

64. Rovnice v totálních diferenciálech. Integrační faktor. Metody řešení

Diferenciální rovnice prvního řádu tvaru

volal rovnice v totálních diferenciálech, jestliže jeho levá strana představuje totální diferenciál nějaké funkce, tzn.

Teorém. Aby rovnice (1) byla rovnicí totálních diferenciálů, je nutné a postačující, aby v nějaké jednoduše spojené oblasti změny proměnných byla splněna podmínka

Obecný integrál rovnice (1) má tvar nebo

Příklad 1 Řešte diferenciální rovnici.

Řešení. Ověřte si, že tato rovnice je totální diferenciální rovnice:

tak to je podmínka (2) je splněna. Tato rovnice je tedy rovnicí v totálních diferenciálech a

tedy kde je stále nedefinovaná funkce.

Integrací, dostaneme . Parciální derivace nalezené funkce se musí rovnat, což dává odkud tak, že Tedy,.

Obecný integrál původní diferenciální rovnice.

Při integraci některých diferenciálních rovnic lze členy seskupit takovým způsobem, že se získají snadno integrovatelné kombinace.

65. Obyčejné diferenciální lineární rovnice vyšších řádů: homogenní a nehomogenní. Lineární diferenciální operátor, jeho vlastnosti (s důkazem).

Lineární diferenciální operátor a jeho vlastnosti. Množina funkcí majících na intervalu ( A , b ) Neméně n derivace, tvoří lineární prostor. Zvažte operátora L n (y ), který zobrazuje funkci y (X ), mající derivace, na funkci mající k - n deriváty.

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je rovnice, která je lineární s ohledem na neznámou funkci a její derivaci. Vypadá to, že

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

kde p(x) a q(x) jsou dané funkce x, spojité v oblasti, ve které je třeba integrovat rovnici (1).

Jestliže q(x)\equiv0 , pak je volána rovnice (1). lineárně homogenní. Je to separovatelná rovnice a má obecné řešení

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Obecné řešení nehomogenní rovnice lze nalézt metoda variace libovolné konstanty, která spočívá v tom, že řešení rovnice (1) se hledá ve tvaru

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\vpravo), kde C(x) je nová neznámá funkce x.

Příklad 1 Vyřešte rovnici y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Řešení. Použijme metodu variace konstanty. Uvažujme homogenní rovnici y"+2xy=0 odpovídající této nehomogenní rovnici. Jedná se o rovnici se separovatelnými proměnnými. Její obecné řešení má tvar y=Ce^(-x^2) .

Hledáme obecné řešení nehomogenní rovnice ve tvaru y=C(x)e^(-x^2), kde C(x) je neznámá funkce x. Dosazením dostaneme C"(x)=2x, odkud C(x)=x^2+C. Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy bude y=(x^2+C)e^(-x^ 2), kde C - integrační konstanta.

Komentář. Může se ukázat, že diferenciální rovnice je lineární v x jako funkce y. Normální tvar takové rovnice je

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Příklad 2 Vyřešte rovnici \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Řešení. Tato rovnice je lineární, pokud uvažujeme x jako funkci y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Použijeme metodu variace libovolné konstanty. Nejprve vyřešíme odpovídající homogenní rovnici

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

což je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Jeho obecné řešení má tvar x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(konst).

Obecné řešení rovnice hledáme ve tvaru x=C(y)e^(\sin(y)), kde C(y) je neznámá funkce y. Nahrazení, dostáváme

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y nebo C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Odtud, integrace po částech, máme

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

Tak,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Dosazením této rovnice do x=C(y)e^(\sin(y)) získáme obecné řešení původní rovnice, a tedy i této rovnice:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Původní rovnici lze také integrovat následovně. Věříme

Y=u(x)v(x),

kde u(x) a v(x) jsou neznámé funkce x, z nichž jednu, například v(x), lze zvolit libovolně.

Dosazením y=u(x)v(x) do , po transformaci dostaneme

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Určením v(x) z podmínky v"+pv=0 pak z vu"+(pv+v")u=q(x) najdeme funkci u(x) a následně řešení y=uv rovnice \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) můžeme vzít libovolné časté řešení rovnice v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Příklad 3 Vyřešte Cauchyho problém: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Řešení. Hledáme obecné řešení rovnice ve tvaru y=u(x)v(x) ; máme y"=u"v+uv". Dosazením výrazu pro yay" do původní rovnice budeme mít

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) nebo x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Najdeme funkci v=v(x) z podmínky x(x-1)v"+v=0. Vezmeme-li jakékoli konkrétní řešení poslední rovnice, například v=\frac(x)(x-1) a jejím dosazením dostaneme rovnici u"=2x-1, ze které najdeme funkci u(x)=x^2-x+C. Proto obecné řešení rovnice x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) vůle

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), nebo y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Pomocí počáteční podmínky y|_(x=2)=4 získáme rovnici pro nalezení C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2 kde C=0; takže řešením uvedeného Cauchyho problému bude funkce y=x^2.

Příklad 4. Je známo, že existuje vztah mezi proudem i a elektromotorickou silou E v obvodu s odporem R a vlastní indukčností L E=Ri+L\frac(di)(dt), kde R a L jsou konstanty. Pokud uvažujeme E jako funkci času t, získáme lineární nehomogenní rovnici pro proudovou sílu i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Najděte aktuální sílu i(t) pro případ, kdy E=E_0=\text(konst) a i(0)=I_0.

Řešení. My máme \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Obecné řešení této rovnice má tvar i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Pomocí počáteční podmínky (13) získáme z C=I_0-\frac(E_0)(R), takže požadované řešení bude

I(t)=\frac(E_0)(R)+\levý(I_0-\frac(E_0)(R)\vpravo)\!e^(-(R/L)t).

To ukazuje, že při t\to+\infty má proudová síla i(t) tendenci ke konstantní hodnotě \frac(E_0)(R) .

Příklad 5. Je dána rodina C_\alfa integrálních křivek lineární nehomogenní rovnice y"+p(x)y=q(x).

Ukažte, že tečny v odpovídajících bodech ke křivkám C_\alpha definovaným lineární rovnicí se protínají v jednom bodě (obr. 13).

Řešení. Uvažujme tečnu k libovolné křivce C_\alfa v bodě M(x,y) Rovnice tečny v bodě M(x,y) má tvar

\eta-q(x)(\xi-x)=y, kde \xi,\eta jsou aktuální souřadnice tečného bodu.

Podle definice je v odpovídajících bodech x konstantní a y je proměnné. Vezmeme-li libovolné dvě tečny k přímkám C_\alpha v odpovídajících bodech, pro souřadnice bodu S jejich průsečíku získáme

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

To ukazuje, že všechny tečny ke křivkám C_\alpha v odpovídajících bodech (x je pevné) se protínají ve stejném bodě

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\vpravo).

Vynecháním argumentu x v soustavě získáme rovnici lokusu bodů S\dvojtečka f(\xi,\eta)=0.

Příklad 6. Najděte řešení rovnice y"-y=\cos(x)-\sin(x), splňující podmínku: y je omezeno na y\to+\infty .

Řešení. Obecné řešení této rovnice je y=Ce^x+\sin(x) . Jakékoli řešení rovnice získané z obecného řešení pro C\ne0 bude neomezené, protože pro x\to+\infty je funkce \sin(x) omezená a e^x\to+\infty . Z toho vyplývá, že tato rovnice má jedinečné řešení y=\sin(x) , ohraničené v x\to+\infty , které je získáno z obecného řešení v C=0 .

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho diferenciální rovnice vypadá jako

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, kde n\ne0;1 (pro n=0 an=1 je tato rovnice lineární).

Použití variabilní náhrady z=\frac(1)(y^(n-1)) Bernoulliho rovnice je redukována na lineární rovnici a integrována jako lineární.

Příklad 7. Vyřešte Bernoulliho rovnici y"-xy=-xy^3.

Řešení. Vydělte obě strany rovnice y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Provedení proměnné změny \frac(1)(y^2)=z\Šipka doprava-\frac(2y")(y^3)=z", kde \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po dosazení se poslední rovnice změní na lineární rovnici

-\frac(z")(2)-xz=-x nebo z"+2xz=2x, jehož obecné řešení je z=1+Ce^(-x^2).

Odtud získáme obecný integrál této rovnice

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) nebo y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komentář. Bernoulliho rovnici lze také integrovat metodou variace konstanty, jako je lineární rovnice, a pomocí substituce y(x)=u(x)v(x) .

Příklad 8. Vyřešte Bernoulliho rovnici xy"+y=y^2\ln(x). .

Řešení. Použijme metodu variace libovolné konstanty. Obecné řešení odpovídající homogenní rovnice xy"+y=0 má tvar y=\frac(C)(x). Obecné řešení rovnice hledáme ve tvaru y=\frac(C(x)) (x) , kde C(x) - nová neznámá funkce Dosazením do původní rovnice máme

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Abychom našli funkci C(x), získáme rovnici se separovatelnými proměnnými, ze které separací proměnných a integrací zjistíme

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Takže obecné řešení původní rovnice y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Některé nelineární rovnice prvního řádu lze redukovat na lineární rovnice nebo Bernoulliho rovnice pomocí úspěšně nalezené změny proměnných.

Příklad 9. Vyřešte rovnici y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Řešení. Zapišme tuto rovnici ve tvaru y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dělení obou stran rovnice 2\cos^2\frac(y)(2), dostaneme \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\jméno operátora(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Výměna, nahrazení \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje tuto rovnici na lineární \frac(dz)(dx)+z=-x, jehož obecné řešení je z=1-x+Ce^(-x) .

Nahradíme-li z jeho vyjádřením v y, získáme obecný integrál této rovnice \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

V některých rovnicích může být požadovaná funkce y(x) pod znaménkem integrálu. V těchto případech je někdy možné tuto rovnici redukovat na diferenciální rovnici derivací.

Příklad 10. Vyřešte rovnici x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Řešení. Když derivujeme obě strany této rovnice vzhledem k x, dostaneme

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) nebo Zdroj informací