Lekce 8. Vertikální úhly. Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou pokračováním stran druhého. TEORÉM. Vertikální úhly jsou stejné. Důkaz: = = 180 Podobně = = = 3 2 = 4 Řešení úloh: 64, 66 Domácí práce: odstavec 11, 66, 67
Matematický diktát. Možnost 1. 1. Doplňte větu: „Pokud úhly 1 a 2 sousedí, pak jejich součet…“ 2. Bude úhel sousedící s úhlem 30 stupňů ostrý, tupý nebo pravý? 3. Součet dvou úhlů je 180 stupňů. Jsou tyto úhly nutně sousedící? 4. Přímky AM a CE se protínají v bodě O, který leží mezi nimi. Získali jste vertikální úhly? Pokud ano, pojmenujte je. 5. Jaký je úhel, když svislý úhel s ním je 34 stupňů? 6. Jeden ze čtyř úhlů vyplývajících z průsečíku dvou přímek je roven 140 stupňům. Jaké jsou zbývající úhly? 7. Dva rohy mají společný vrchol, první úhel je 40 stupňů, druhý je 140 stupňů. Jsou tyto úhly svislé? Možnost 2. 1. Doplňte větu: „Dva úhly se nazývají sousední, pokud je jedna strana společná, a druhá...“ 2. Bude úhel sousedící s úhlem 130 stupňů ostrý, tupý nebo pravý? 3. Součet dvou úhlů se společnou stranou 180 stupňů. Jsou tyto úhly nutně sousedící? 4. Student sestrojil 2 svislé úhly. Kolik párů linek to vyprodukovalo? 5. Dva úhly mají společný vrchol, každý z těchto úhlů má 60 stupňů. Musí být tyto úhly svislé? 6. Jeden ze čtyř úhlů vyplývajících z průsečíku dvou přímek je roven 80 stupňům. Jaké jsou zbývající úhly? 7. Jaký je úhel, je-li svislý úhel s ním 120 stupňů?
Odpovědi. 1. Rovná se 180 stupňů 2. Tupý úhel 3. Ne 4. Úhly AOC a EOM, AOE a COM stupně a 40 stupňů 7. Ano 1. Další paprsky 2. Ostrý úhel 3. Ne 4. Jeden pár 5. Ne a 100 stupně stupňů
Geometrie je velmi mnohostranná věda. Rozvíjí logiku, představivost a inteligenci. Samozřejmě vzhledem ke své složitosti a obrovské množství teorémy a axiomy, to se školákům ne vždy líbí. Navíc je potřeba své závěry neustále dokazovat pomocí obecně uznávaných norem a pravidel.
Sousední a vertikální úhly jsou nedílnou součástí geometrie. Určitě je spousta školáků prostě zbožňuje z toho důvodu, že jejich vlastnosti jsou jasné a snadno prokazatelné.
Tvorba rohů
Libovolný úhel je vytvořen protnutím dvou přímek nebo nakreslením dvou paprsků z jednoho bodu. Mohou být nazývány buď jedním písmenem nebo třemi, které postupně označují body, ve kterých je úhel sestrojen.
Úhly se měří ve stupních a mohou se (v závislosti na jejich hodnotě) nazývat různě. Existuje tedy pravý úhel, ostrý, tupý a rozvinutý. Každému z názvů odpovídá určitá míra stupně nebo její interval.
Ostrý úhel je úhel, jehož velikost nepřesahuje 90 stupňů.
Tupý úhel je úhel větší než 90 stupňů.
Úhel se nazývá pravý, když jeho míra stupňů je 90.
V případě, že je tvořena jednou souvislou přímkou a její míra stupně je 180, nazývá se rozšířená.
Úhly, které mají společnou stranu, jejíž druhá strana na sebe navazuje, se nazývají sousední. Mohou být ostré nebo tupé. Průsečík přímky tvoří sousední úhly. Jejich vlastnosti jsou následující:
- Součet takových úhlů se bude rovnat 180 stupňům (existuje věta, která to dokazuje). Proto lze snadno vypočítat jeden z nich, pokud je druhý znám.
- Z prvního bodu vyplývá, že sousední úhly nemohou být tvořeny dvěma tupými nebo dvěma ostrými úhly.
Díky těmto vlastnostem je vždy možné vypočítat stupňovou míru úhlu danou hodnotou jiného úhlu nebo alespoň poměr mezi nimi.
Vertikální úhly
Úhly, jejichž strany jsou vzájemným pokračováním, se nazývají svislé. Jako takový pár může působit kterákoli z jejich odrůd. Vertikální úhly jsou vždy stejné.
Vznikají při protínání přímek. Spolu s nimi jsou vždy přítomny sousední úhly. Úhel může být současně sousedící pro jeden a vertikální pro jiný.
Při křížení libovolné čáry je také uvažováno několik dalších typů úhlů. Taková čára se nazývá sečna a tvoří odpovídající, jednostranné a napříč ležící úhly. Jsou si navzájem rovni. Lze na ně pohlížet ve světle vlastností, které mají vertikální a sousední úhly.
Téma úhlů se tedy zdá celkem jednoduché a srozumitelné. Všechny jejich vlastnosti jsou snadno zapamatovatelné a prokazatelné. Řešení problémů se nezdá obtížné, pokud úhly odpovídají číselná hodnota. Později, až začne studium hříchu a cos, se budete muset hodně naučit nazpaměť složité vzorce, jejich závěry a důsledky. Do té doby si můžete jen užívat snadné hádanky, kde je potřeba najít sousední úhly.
KAPITOLA I.
ZÁKLADNÍ POJMY.
§jedenáct. PŘIlehlé A SVISLÉ ROHY.
1. Sousední úhly.
Prodloužíme-li stranu libovolného úhlu za jeho vrchol, dostaneme dva úhly (obr. 72): / A slunce a / SVD, ve kterém je jedna strana BC společná a další dvě A a BD tvoří přímku.
Dva úhly, ve kterých je jedna strana společná a další dva tvoří přímku, se nazývají sousední úhly.
Sousední úhly lze získat i tímto způsobem: nakreslíme-li paprsek z nějakého bodu na přímce (neležící na dané přímce), získáme sousední úhly.
Například, /
ADF a /
FDВ - sousední úhly (obr. 73).
Sousední úhly mohou mít širokou škálu poloh (obr. 74).
Sousední úhly se sčítají k přímému úhlu, takže umma dvou sousedních úhlů je stejné 2d.
Pravý úhel lze tedy definovat jako úhel rovný jeho sousednímu úhlu.
Když známe velikost jednoho ze sousedních úhlů, můžeme najít velikost druhého úhlu, který k němu přiléhá.
Pokud je například jeden ze sousedních úhlů 3/5 d, pak se druhý úhel bude rovnat:
2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.
2. Vertikální úhly.
Prodloužíme-li strany úhlu za jeho vrchol, dostaneme svislé úhly. Na obrázku 75 jsou úhly EOF a AOC svislé; úhly AOE a COF jsou také vertikální.
Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou pokračováním stran druhého úhlu.
Nechat / 1 = 7 / 8 d(Obrázek 76). Sousedí s ním / 2 se bude rovnat 2 d- 7 / 8 d, tj. 1 1/8 d.
Stejným způsobem můžete vypočítat, čemu se rovnají /
3 a /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Obrázek 77).
To vidíme / 1 = / 3 a / 2 = / 4.
Můžete vyřešit několik dalších stejných problémů a pokaždé dostanete stejný výsledek: svislé úhly jsou navzájem stejné.
Abychom se však ujistili, že vertikální úhly jsou vždy stejné, nestačí uvažovat jednotlivě číselné příklady, protože závěry vyvozené na základě konkrétních příkladů mohou být někdy chybné.
Je třeba ověřit platnost vlastností svislých úhlů úvahou, důkazem.
Důkaz lze provést následovně (obr. 78):
/
a+/
C = 2d;
/
b+/
C = 2d;
(protože součet sousedních úhlů je 2 d).
/ a+/ C = / b+/ C
(jakož i levá strana tato rovnost je rovna 2 d a jeho pravá strana je také rovna 2 d).
Tato rovnost zahrnuje stejný úhel S.
Pokud odečteme stejná množství od stejných množství, zůstanou stejná množství. Výsledkem bude: / A = / b, tj. vertikální úhly jsou si navzájem rovné.
Při zvažování problematiky vertikálních úhlů jsme si nejprve vysvětlili, které úhly se nazývají vertikální, tzn. definice vertikální úhly.
Poté jsme učinili úsudek (výrok) o rovnosti vertikálních úhlů a přesvědčili se o platnosti tohoto úsudku prostřednictvím důkazu. Takové rozsudky, jejichž platnost musí být prokázána, se nazývají teorémy. V této části jsme tedy uvedli definici vertikálních úhlů a také uvedli a dokázali větu o jejich vlastnostech.
V budoucnu se při studiu geometrie budeme muset neustále setkávat s definicemi a důkazy vět.
3. Součet úhlů, které mají společný vrchol.
Na výkresu 79 /
1, /
2, /
3 a /
4 jsou umístěny na jedné straně přímky a mají na této přímce společný vrchol. V součtu tyto úhly tvoří úhel přímý, tzn.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
Na výkresu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 a / 5 mají společný vrchol. V součtu tyto úhly tvoří plný úhel, tzn. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Cvičení.
1. Jeden ze sousedních úhlů je 0,72 d. Vypočítejte úhel, který svírají osy těchto sousedních úhlů.
2. Dokažte, že osy dvou sousedních úhlů svírají pravý úhel.
3. Dokažte, že pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou stejné i jejich sousední úhly.
4. Kolik párů sousedních úhlů je na obrázku 81?
5. Může se dvojice sousedních úhlů skládat ze dvou ostrých úhlů? ze dvou tupých úhlů? z pravého a tupého úhlu? z pravého a ostrého úhlu?
6. Pokud je jeden ze sousedních úhlů pravý, co pak lze říci o velikosti úhlu, který k němu přiléhá?
7. Je-li v průsečíku dvou přímek jeden úhel pravý, co pak lze říci o velikosti ostatních tří úhlů?
