Determinanty a jejich vlastnosti. Determinanty druhého řádu a jejich vlastnosti

LEKCE 2

2.1 STANOVENÍ DRUHÉHO OBJEDNÁVKY

Determinant druhého řádu(odpovídající této matrici

) se nazývá číslo

Příklad1: Vypočítejme determinant matice

Příklad 2 Vypočítejte determinanty druhého řádu:

2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

=

2.2 STANOVENÍ TŘETÍHO ŘÁDU

Nechť je dána čtvercová matice třetího řádu:

A=

Determinant (neboli determinant) třetího řádu odpovídající dané matici je číslo

detA = =

Příklad 3

První řešení:

Vzorec je dlouhý a je snadné udělat chybu kvůli neopatrnosti. Jak se vyhnout nepříjemným chybám? Za tímto účelem byl vynalezen druhý způsob výpočtu determinantu, který se vlastně shoduje s prvním. Říká se tomu Sarrusova metoda nebo metoda „paralelních pásů“. Spodní řádek je ten, že napravo od determinantu přiřaďte první a druhý sloupec a pečlivě nakreslete čáry tužkou:

Násobiče umístěné na „červených“ úhlopříčkách jsou ve vzorci zahrnuty se znaménkem „plus“. Násobiče umístěné na „modrých“ úhlopříčkách jsou ve vzorci zahrnuty se znaménkem mínus:

Příklad 3

Druhé řešení:

Porovnejte obě řešení. Je snadné vidět, že jde o STEJNOU věc, akorát ve druhém případě jsou faktory vzorce mírně přeskupeny, a co je nejdůležitější, pravděpodobnost, že uděláte chybu, je mnohem menší.

Příklad 4

Vypočítejte determinant třetího řádu:

Příklad 5

Vypočítejte determinant třetího řádu

PRAKTIKUM 2

ÚKOL N1, Že…

Řešení:

Že

Podle stavu , Pak

ÚKOL N 2Téma: Determinanty druhého řádu Je-li determinant druhého řádu

, Že…

Řešení:

V našem případě máme

Podle stavu , Pak

ÚKOL N 3

Téma: Determinanty druhého řádu Je-li determinant druhého řádu

, Že…

Řešení: Protože determinant druhého řádu je roven číslu získanému pravidlem:

Že

Podle stavu , Pak

ÚKOL N 4Téma: Determinanty druhého řádu Pokud je determinant druhého řádu, pak...

Řešení: Připomínáme, že determinant druhého řádu se rovná číslu získanému pravidlem:

V našem případě máme

Podle stavu , Pak

ÚKOL N 5Téma: Determinanty třetího řádu Hodnotu determinantu třetího řádu lze vypočítat pomocí „pravidla trojúhelníků“, které je schematicky naznačeno na obrázcích. Pak je určující...

Řešení:

ÚKOL N 6

Téma: Determinanty třetího řádu Hodnotu determinantu třetího řádu lze vypočítat pomocí „pravidla trojúhelníků“, které je schematicky naznačeno na obrázcích. Pak je určující...

Řešení: Determinant třetího řádu rovnající se součtušest termínů, z nichž tři jsou převzaty se znaménkem „+“ a tři se znaménkem „–“. Pravidlo pro výpočet členů se znaménkem „+“ je schematicky znázorněno na Obr. 1. Jeden z členů je roven součinu prvků determinantu ležících na hlavní diagonále. Každý z dalších dvou se nachází jako součin prvků ležících na rovnoběžce s touto diagonálou, s přidáním třetího faktoru z opačného rohu determinantu. Členy se znaménkem „−“ získáme stejným způsobem, ale vzhledem k druhé diagonále (obr. 2). Pak

SAMOSTATNÁ PRÁCE 2

ÚKOL N1Téma: Determinanty druhého řádu Je-li determinant druhého řádu , Že…

Přednáška 2.kvalifikátory

Determinanty druhého řádu

Determinanty třetího řádu

Algebraické doplňky a vedlejší

Rozšíření determinantu o řádek nebo sloupec

Vlastnosti determinantů

inverzní matice

Vlastnosti inverzní matice

1. Determinanty druhého řádu

Je zaveden pojem determinant pouze pro čtvercovou matici.

Determinant je číslo, které se počítá podle určitých pravidel. Určující pořadí je řád čtvercové matice. Pokud byly pro specifikaci matic použity kulaté závorky, pak se v teorii determinantů používají rovné závorky.

Přiřaďme každé čtvercové matici určité číslo, které budeme nazývat determinant matice, a uveďte pravidlo pro jeho výpočet. Označení :

.

Příklad 1.
.

2. Determinanty třetího řádu

Každý produkt neobsahuje čísla z jednoho sloupce nebo jednoho řádku.

Uveďme diagram pro zapamatování pořadí získávání členů v determinantu.

Součin čísel na jedné diagonále se bere se znaménkem „+“ (toto je hlavní úhlopříčka matice) a na druhé s opačným znaménkem.

Příklad 2.

3. Algebraická doplňovačka a vedlejší

Pro výpočet determinantů řádu větších než tři se používají jiné výpočetní metody.

Příklad 3 Méně důležitý
determinant Tady je.

.

Je užitečné si to zapamatovat
A
.

Příklad 4. V příkladu 3 algebraické sčítání

4. Rozšíření determinantu v řádku nebo sloupci

Výpočet determinantu pořadí lze redukovat na výpočet determinantů pořadí
pomocí následujících vzorců.

Toto číslo se rovná součtu produktů Prvkyžádný čt linky na jejich algebraické doplňky.

Příklad 5. Vypočítejte determinant třetího řádu
rozšíření podél první řady.

Řešení

Toto číslo se rovná součtu součinů prvků libovolného sloupec na nich algebraické sčítání.

Bez ohledu na metodu rozkladu je vždy získána stejná odpověď.

5. Vlastnosti determinantů

1. Při transpozici čtvercové matice jeho determinant se nemění:
.

Závěr. Vlastnosti determinantů formulovaných pro řádky jsou platné i pro sloupce.

2. Při přeskupení dvou strun (sloupce) determinant změní znaménko na opačné. Například,
.

3. Určující je nula , Pokud:

a) má nulový řádek (sloupec)
;

b) má proporcionální (shodné) řádky (sloupce)
.

4. Společný faktor v řádku (sloupci) lze vyjmout jako určující znak. Například,
.

5. Determinant se nemění , pokud k prvkům řádku přičtete (odečtete) odpovídající prvky jiného řádku, vynásobené libovolným číslem.

Například,
.

6. Jestliže v determinantu každý prvek řádku je součet dva členy, pak se tento determinant rovná součtu dvou determinantů:

.

7. Determinant součinu dvou čtvercových matic stejného řádu se rovná součinu determinantů těchto matic:

.

8. Determinant čtvercové trojúhelníkové matice rovná se součinu prvků na hlavní diagonále:

.

6. Inverzní matice

Namísto operace dělení matic je zaveden koncept inverzní matice.

Označuje se inverzní maticí
, to je .

Analogie s čísly je zřejmá: pro číslo 2 je číslo ½ inverzní, protože
. Proto se označuje matice inverzní k A
.

Věta „Nezbytná a postačující podmínka existence inverzní matice». Aby byla čtvercová matice měl inverzní matici
, je nutné a postačující, aby determinant matice nebyla rovna nule.

Pravidlo pro nalezení inverzní matice

0) Podívejme se, zda je matice čtvercová. Pokud ne, pak inverzní matice neexistuje; pokud je čtvercový, přejděte ke kroku 1.

1) Výpočet determinantu matice
: pokud není nula, pak inverzní matice existuje:
; pokud se rovná nule, pak neexistuje žádná inverzní matice.

2) Pro každý prvek matice vypočítáme jeho algebraický doplněk .

3) Sestavíme matici algebraických sčítání, kterou pak transponujeme:
.

4) Každý prvek matice
dělit determinantem :
Získáme inverzní matici této matice.

7. Hledání inverzní matice pro matice druhého řádu

Příklad 6. Daná matrice
. Najděte inverzní matici.

Řešení.

Zkouška. Ujistíme se, že inverzní matice byla skutečně nalezena. Pojďme najít součin matic A
.

8. Vlastnosti inverzní matice

1.
,

kde A a B jsou nesingulární čtvercové matice stejného řádu.

2.
.

3.
.

4.
.

Kontrolní otázky

Co je determinant druhého řádu?

Jak vypočítat determinant třetího řádu?

Jak vypočítat determinant 3. řádu pomocí trojúhelníkového pravidla?

Jaký je algebraický doplněk prvku determinantu? Uveďte příklady na determinanty 2. a 3. řádu.

Napište rozšíření determinantu třetího řádu přes prvky libovolného řádku a libovolného sloupce.

Praktická lekce

Předmět: Výpočet determinantů.

cíle: h posílit koncepty determinantů a jejich vlastností, formovat a upevňovat dovednosti a schopnosti vypočítat determinanty 2. a 3. řádu; rozvíjet schopnost sumarizovat získané poznatky, provádět analýzy a srovnávání, podporovat rozvoj logické myšlení; pěstovat u studentů vědomý postoj k procesu učení.

I. Obecné teoretické principy

Determinant druhého řádu je číslo

Determinant třetího řádu je číslo

Vlastnosti determinantů

Nemovitost 1.
Determinant se nezmění, pokud jsou všechny řádky nahrazeny odpovídajícími sloupci a naopak.

Nemovitost 2.
Při záměně libovolných dvou řádků nebo sloupců se determinant změní znaménko.

Nemovitost 3.
Determinant je roven nule, pokud má dva stejné řádky (sloupce).

Nemovitost 4.
Ze znaménka determinantu lze vyjmout faktor společný všem prvkům řádku nebo sloupce.

Nemovitost 5.
Pokud se k prvkům řádku nebo sloupce přidají odpovídající prvky jiného řádku nebo sloupce, determinant se nezmění.

Důsledek vlastností 4 a 5: Pokud k prvkům řádku nebo sloupce přidáte odpovídající prvky jiného řádku nebo sloupce, vynásobené určitým číslem, pak se determinant nezmění.

Kontrolní otázky:

1.Uveďte definici matice.
2. Co znamená symbol? ?
3. Která matice se nazývá transponovaná vzhledem k matici A?
4. Která matice se nazývá čtverec řádu n?
5. Definujte determinant 2. řádu.

6. Uveďte definici determinantu 3. řádu.

7. Co je determinantem transponované matice?

8. Jak se změní hodnota determinantu, když se v matici prohodí 2 řádky (sloupce)?

9. Je možné vyjmout společný činitel řádku nebo sloupce ze znaménka determinantu?

10.Co je determinant, jestliže všechny prvky určitého řádku (sloupce) jsou rovny 0?

11.Čemu se rovná determinant, má-li dva stejné řádky (sloupce)?

12. Formulujte pravidlo pro výpočet determinantu 2. řádu.

13. Formulujte pravidlo pro výpočet determinantu 3. řádu.

II . Formování dovedností a schopností.

Příklad 1. Očíslujete determinant : a) podle pravidla trojúhelníku b) podle Sarrusova pravidla;

c) metodou rozšíření o prvky první řady

Řešení:

b) sečtěte první dva sloupce a vypočítejte součin tří prvků podél hlavní úhlopříčky a rovnoběžně s ní se znaménkem (+) a poté podél vedlejší úhlopříčky a rovnoběžně s ní se znaménkem (-):

dostaneme:

Příklad 2 Vypočítat determinant dvěma způsoby: pomocí rozšíření prvního řádku a pravidla trojúhelníku.

Řešení:

Příklad 3 Vypočítejte determinant pomocí vlastností:

III .Zpevnění studovaného materiálu.

Č.1. Vypočítejte determinanty:

№ 2. Řešte rovnice:

č. 4. Vypočítejte determinanty pomocí vlastností:

1 .
. 2.
. 3.
. 4 .
.

Literatura

1. Pismenny, D. T. Poznámky k přednáškám z vyšší matematiky: kompletní kurz D. T. Pismennyho. – 9. vyd. – M.: Iris-press, 2009. 608 s.: ill. – ( Vysokoškolské vzdělání).

2. Lungu, K. N. Sbírka úloh z vyšší matematiky. 1. ročník / K. N. Lungu, D. T. Pismenny, S. N. Fedin, Yu. A. Shevchenko. – 7. vyd. – M.: Iris-press, 2008. 576 s.: – (Vysoké školství).

V praxi se výzkumník často musí vypořádat s neznámými veličinami propojenými určitými předem určenými závislostmi, které lze vyjádřit libovolnými vzorci. Pokud je splněno několik podmínek:

1. koeficienty ve vzorcích jsou konstantní,
2. neznámé jsou ve vzorcích zahrnuty pouze do prvního stupně,
3. mezi samotnými neznámými nejsou žádná díla,

pak se takové závislosti nazývají lineární.

Příklad. V laboratoři má 10 vzorků celkovou hmotnost 280 g. Zjistěte průměrnou hmotnost jednoho vzorku, pokud nádoba váží 15 g.

Řešení. K zodpovězení otázky použijeme jednoduchou rovnici:

označující x průměrnou hmotnost jednoho vzorku. Řešení sestavené rovnice bude 26,5 g.

Příklad. V laboratoři má 10 vzorků přijatých z 1. oddělení a 10 vzorků přijatých z 2. oddělení celkovou hmotnost 280 g a 5 vzorků z první sady a 2 vzorky z druhé sady mají celkovou hmotnost 128 g. Najít průměrná hmotnost vzorků v každé sadě.

Řešení. Abychom odpověděli na otázku, vytvořte dvě rovnice, které označují x průměrnou hmotnost vzorku horniny 1 a y průměrnou hmotnost vzorku horniny 2,

10x+10y=280; 5x+2y=128,

řešením kterých dohromady dostaneme x=24 g; y = 4 g.

V obou uvažovaných příkladech jsme se zabývali lineární závislosti: v prvním případě – s lineárním rovnice, a ve druhém – s lineárním soustava rovnic.

Nahradíme koeficienty písmeny a dostaneme lineární systém rovnice:

Definice 1. Matice budeme nazývat jakoukoli obdélníkovou tabulku složenou z čísel a ij

Definice 2. Elementy a ij ze kterých je matice složena, se nazývají prvky této matice

Definice 3. Determinant druhého řádu nebo determinant, odpovídající matici (1.2) zavoláme na číslo D takové, že

(1.3)

Determinant se značí písmeny D nebo a píše se

Je třeba poznamenat, že determinant je sice podle definice 3 číslo, ale dokud není jeho hodnota nalezena ve formě jednotného čísla (pomocí vzorce 1.2 nebo jiné platné metody), zapisuje se ve formě tabulky. Pak můžeme mluvit například o přeskupení řádků nebo sloupců v této tabulce. V tomto případě by se mělo říci „determinant odpovídající matici“. V praxi se ale většinou pro zjednodušení druhá část tohoto sousloví vynechává a pak zbývá jediné slovo – určovatel. Pro rozlišení toho, co je myšleno - samotný determinant ve formě tabulky nebo jeho nalezená hodnota, se v druhém případě používá slovo determinant. Pokud tedy říkají např. „počet řádků v determinantu...“, pak mají na mysli determinant odpovídající matici, ale ještě nevypočítaný na jediné číslo. A pokud říkají determinant, znamená to, že tento determinant je reprezentován jednotné číslo vypočítané buď podle vzorce nebo jiným přijatelným způsobem.

Příklad. Je dána soustava rovnic

Sestavte matici soustavy a vypočítejte determinant.

Řešení. Z systémové koeficienty Vytvoříme matici: a jeho odpovídající determinant

Provedeme výpočty pomocí vzorce (2), dostaneme

Definice 4. Nazývá se počet řádků (nebo sloupců) v determinantu pořadí determinantu

V příkladu byl vypočten determinant druhého řádu.

Determinanty mají následující vlastnosti.

Nemovitost 1. Determinant se nezmění, pokud jsou jeho řádky nahrazeny sloupci a naopak.

Pojďme to ukázat. Nechť je dán determinant druhého řádu

Řádky nahradíme sloupci a opět vypočítejme výsledný determinant

Porovnáním D s D * můžeme vidět, že D = D * .

Definice 5. Operace nahrazení řádků sloupci (nebo naopak) v determinantu se nazývá transpozice.

Nemovitost 2. Když jsou přeskupeny dva řádky nebo sloupce, determinant změní své znaménko.

Tuto vlastnost ověříme na příkladu jako u vlastnosti 1. Nechť je dán determinant

Prohodíme v něm sloupce a vypočítáme výsledný determinant.

Při porovnání výsledků jsme přesvědčeni, že determinant skutečně změnil své znaménko. Nyní prohodíme řádky a znovu ověříme platnost této vlastnosti.

Determinant čtvercová matice je číslo, které se vypočítá takto:

a) Je-li řád čtvercové matice 1, tzn. skládá se z 1 čísla, pak je determinant roven tomuto číslu;

b) Je-li řád čtvercové matice 2, tzn. skládá se ze 4 čísel, pak je determinant roven rozdílu součinu prvků hlavní úhlopříčky a součinu prvků vedlejší úhlopříčky;

c) Je-li řád čtvercové matice 3, tzn. skládá se z 9 čísel, pak je determinant roven součtu součinů prvků hlavní úhlopříčky a dvou trojúhelníků rovnoběžných s touto úhlopříčkou, z nichž součet součinů prvků vedlejší úhlopříčky a dvou rovnoběžných trojúhelníků k této úhlopříčce se odečte.

Příklady

Vlastnosti determinantů

1. Determinant se nezmění, pokud jsou řádky nahrazeny sloupci a sloupce řádky

1. Determinant, který má 2 stejné řady, je roven nule
2. Společný faktor libovolného řádku (řádku nebo sloupce) determinantu lze vyjmout ze znaménka determinantu

4. Při přeskupení dvou paralelních řad změní determinant znaménko na opačné

5. Jsou-li prvky libovolné řady determinantu součty dvou členů, pak lze determinant rozšířit na součet dvou odpovídajících determinantů

6. Determinant se nezmění, pokud se k prvkům jedné řady přidají odpovídající prvky paralelní řady, vynásobené libovolným číslem

Vedlejší prvek determinantu a jeho algebraický doplněk

Vedlejší prvek a IJ determinant n-tého řádu je determinant n-1 řádu získaný z původního přeškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce

Algebraický doplněk prvku a IJ determinant je jeho minor vynásobený (-1) i+ j

Příklad

inverzní matice

Matice se nazývá nedegenerované, pokud její determinant není roven nule, jinak se matice nazývá singulární

Matice se nazývá svaz, pokud se skládá z odpovídajících algebraických doplňků a je transponován

Matice se nazývá zvrátit k dané matici, pokud je jejich součin roven matici identity stejného řádu jako daná matice

Věta o existenci inverzní matice

Jakákoli nesingulární matice má inverzní hodnotu rovnou spojenecké matici dělené determinantem této matice

Algoritmus pro nalezení inverzní matice A

1. Vypočítat determinant

1. Transponovací matice

1. Sestrojte sjednocovací matici, vypočítejte všechny algebraické doplňky transponované matice

1. Použijte vzorec:

Matrix minor je determinant skládající se z prvků umístěných v průsečíku vybraných k řádků a k sloupců dané matice o velikosti mxn

Hodnost matice je nejvyšší řád matice minor, který je nenulový

Zápis r(A), rangA

Hodnost se rovná počtu nenulových řádků krokové matice.

Příklad

Systémy lineární rovnice.

Soustava lineárních rovnic obsahující m rovnic a n neznámých se nazývá soustava tvaru

kde jsou čísla A IJ - systémové koeficienty, čísla b i - volné členy

Maticový záznamový formulář soustav lineárních rovnic

Systémové řešení n hodnot neznámých c 1, c 2,…, c n se nazývá, při jejich dosazení do systému se všechny rovnice systému promění ve skutečné rovnosti. Řešení systému lze zapsat jako sloupcový vektor.

Systém rovnic se nazývá kloub, pokud má alespoň jedno řešení, a nespojující, pokud neexistují žádná řešení.

Kroneckerova-Capelliho věta

Systém LU je konzistentní tehdy a pouze tehdy, když je hodnost hlavní matice stejná jako hodnost rozšířené matice

Metody řešení LU systému

1. Gaussova metoda(pomocí elementárních transformací zredukujte rozšířenou matici na krokovou matici a poté na kanonickou)

Mezi elementární transformace patří:

Změna uspořádání řádků (sloupců)

Přidání dalšího řádku (sloupce) vynásobeného číslem jiným než 0.

Vytvořme rozšířenou matici:

Vyberme prokladový prvek v prvním sloupci a prvním řádku, prvek 1., a nazvěme jej proklad. Řádek obsahující úvodní prvek se nezmění. Pojďme resetovat prvky pod hlavní úhlopříčkou. Chcete-li to provést, přidejte první řádek k druhému řádku, vynásobený (-2). Přidejte první řádek ke třetímu řádku, vynásobte (-1), dostaneme:

Prohodíme druhý a třetí řádek. V duchu přeškrtněte první sloupec a první řádek a pokračujte v algoritmu pro zbývající matici. Ke třetímu řádku přidáme druhý, vynásobený 5.

Rozšířenou matici jsme převedli do stupňovité podoby. Vrátíme-li se k rovnicím soustavy, začínáme od posledního řádku a postupujeme nahoru, určujeme neznámé jednu po druhé.

2. Maticová metoda (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; matice inverzní k hlavní matici vynásobená sloupcem volných členů)

3. Cramerova metoda.

Řešení systému najdeme podle vzorce:

Kde je determinant upravené hlavní matice, ve které je i-tý sloupec změněn na sloupec volných členů, a je hlavním determinantem, skládajícím se z koeficientů neznámých.

vektory.

Vektor je řízený segment

Libovolný vektor je dán délkou (modulem) a směrem.

Označení: nebo

kde A je začátek vektoru, B je konec vektoru a délka vektoru.

Vektorové klasifikace

Nulový vektor je vektor, jehož délka je nula

Jednotkový vektor je vektor, jehož délka je rovna jedné

Stejné vektory– jedná se o dva vektory, které mají stejnou délku a směr

Opačné vektory– jedná se o dva vektory, jejichž délky jsou stejné a směry opačné

Kolineární vektory– jedná se o dva vektory, které leží na stejné přímce nebo na rovnoběžných liniích

Kodirectional vektory jsou dva kolineární vektory se stejným směrem

Opačný směr vektory jsou dva kolineární vektory s opačnými směry

Koplanární vektory jsou tři vektory, které leží ve stejné rovině nebo na rovnoběžných rovinách

Obdélníkový systém souřadnice v rovině jsou dvě vzájemně kolmé čáry se zvoleným směrem a počátkem, přičemž vodorovná čára se nazývá osa úsečky a svislá čára se nazývá osa pořadnice

Každému bodu v pravoúhlém souřadnicovém systému přiřadíme dvě čísla: úsečku a pořadnici

Obdélníkový systém souřadnice v prostoru jsou tři vzájemně kolmé přímky se zvoleným směrem a počátkem, přičemž vodorovná přímka směřující k nám se nazývá osa úsečky, vodorovná přímka směřující vpravo od nás je osou pořadnice a svislá přímka směřující nahoru se nazývá aplikační osa

Každému bodu v pravoúhlém souřadnicovém systému přiřadíme tři čísla: úsečka, pořadnice a aplikace