Úkol 1. Zjistěte, zda je soustava vektorů lineárně nezávislá. Systém vektorů bude specifikován maticí systému, jejíž sloupce se skládají ze souřadnic vektorů.

.

Řešení. Nechte lineární kombinaci rovna nule. Zapsáním této rovnosti v souřadnicích dostaneme následující systém rovnice:

.

Takový systém rovnic se nazývá trojúhelníkový. Má jediné řešení . Proto vektory lineárně nezávislé.

Úkol 2. Zjistěte, zda je soustava vektorů lineárně nezávislá.

.

Řešení. vektory jsou lineárně nezávislé (viz Úloha 1). Dokažme, že vektor je lineární kombinací vektorů . Vektorové expanzní koeficienty jsou určeny ze soustavy rovnic

.

Tento systém, stejně jako trojúhelníkový, má jedinečné řešení.

Proto systém vektorů lineárně závislé.

Komentář. Jsou volány matice stejného typu jako v Úloze 1 trojúhelníkový a v problému 2 – stupňovitý trojúhelníkový . Otázka lineární závislosti soustavy vektorů je snadno vyřešena, pokud je matice složená ze souřadnic těchto vektorů stupňovitá. Pokud matice nemá speciální formu, pak pomocí konverze elementárních řetězců , při zachování lineárních vztahů mezi sloupy, může být redukován na stupňovitou trojúhelníkovou formu.

Konverze elementárních řetězců matice (EPS) se nazývají následující operace s maticí:

1) přeskupení linek;

2) násobení řetězce nenulovým číslem;

3) přidání dalšího řetězce do řetězce, vynásobeného libovolným číslem.

Úkol 3. Najděte maximum lineárně nezávislého subsystému a vypočítejte hodnost systému vektorů

.

Řešení. Zredukujeme matici systému pomocí EPS na stupňovitý trojúhelníkový tvar. Pro vysvětlení postupu označíme řádek s číslem matice k transformaci symbolem . Sloupec za šipkou označuje akce na řádcích převáděné matice, které je nutné provést, aby se získaly řádky nové matice.

.

Je zřejmé, že první dva sloupce výsledné matice jsou lineárně nezávislé, třetí sloupec je jejich lineární kombinací a čtvrtý nezávisí na prvních dvou. vektory se nazývají základní. Tvoří maximální lineárně nezávislý subsystém systému a hodnost systému je tři.

Základ, souřadnice

Úkol 4. Najděte základnu a souřadnice vektorů v této bázi na množině geometrických vektorů, jejichž souřadnice splňují podmínku .

Řešení. Množina je rovina procházející počátkem. Libovolná báze v rovině se skládá ze dvou nekolineárních vektorů. Souřadnice vektorů ve zvolené bázi jsou určeny řešením příslušné soustavy lineární rovnice.

Tento problém lze vyřešit ještě jiným způsobem, kdy základ najdete pomocí souřadnic.

Souřadnice prostory nejsou souřadnicemi v rovině, protože jsou spojeny vztahem , to znamená, že nejsou nezávislí. Nezávislé proměnné a (nazývají se volné) jednoznačně definují vektor v rovině, a proto je lze zvolit jako souřadnice v . Pak základ sestává z vektorů ležících a odpovídajících množinám volných proměnných A , to je .

Úkol 5. Najděte základ a souřadnice vektorů v tomto základu na množině všech vektorů v prostoru, jejichž liché souřadnice jsou navzájem stejné.

Řešení. Zvolme, jako v předchozí úloze, souřadnice v prostoru.

Protože , pak volné proměnné jednoznačně určují vektor od a jsou tedy souřadnicemi. Odpovídající základ tvoří vektory.

Úkol 6. Najděte základ a souřadnice vektorů v tomto základu na množině všech matic formuláře , Kde – libovolná čísla.

Řešení. Každá matice z je jedinečně reprezentovatelná ve tvaru:

Tento vztah je expanzí vektoru z vzhledem k bázi
se souřadnicemi .

Úkol 7. Najděte rozměr a základ lineárního trupu soustavy vektorů

.

Řešení. Pomocí EPS transformujeme matici ze souřadnic systémových vektorů do stupňovitého trojúhelníkového tvaru.

.

Sloupce poslední matice jsou lineárně nezávislé a sloupce lineárně vyjádřené jejich prostřednictvím. Proto vektory tvoří základ , A .

Komentář. Základ v je zvolen nejednoznačně. Například vektory tvoří také základ .

Lineární závislost a lineární nezávislost vektory.
Základy vektorů. Afinní souřadnicový systém

V hledišti je vozík s čokoládami a každý dnešní návštěvník dostane sladkou dvojici - analytickou geometrii s lineární algebrou. Tento článek se dotkne dvou částí vyšší matematiky najednou a uvidíme, jak koexistují v jednom obalu. Dejte si pauzu, snězte Twix! ...sakra, jaká snůška nesmyslů. I když, dobře, nebudu bodovat, nakonec byste měli mít ke studiu pozitivní vztah.

Lineární závislost vektorů, lineární vektorová nezávislost, základ vektorů a další pojmy mají nejen geometrický výklad, ale především algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohledu lineární algebry není vždy „obyčejným“ vektorem, který můžeme zobrazit v rovině nebo v prostoru. Důkaz nemusíte hledat daleko, zkuste nakreslit vektor pětirozměrného prostoru . Nebo vektor počasí, pro který jsem právě šel do Gismetea: – teplota a Atmosférický tlak respektive. Příklad je samozřejmě nesprávný z hlediska vlastností vektorového prostoru, ale přesto nikdo nezakazuje formalizovat tyto parametry jako vektor. Dech podzimu...

Ne, nebudu vás nudit teorií, lineární vektorové prostory, úkolem je rozumět definice a věty. Nové pojmy (lineární závislost, nezávislost, lineární kombinace, báze atd.) platí pro všechny vektory z algebraického hlediska, ale budou uvedeny geometrické příklady. Vše je tedy jednoduché, dostupné a přehledné. Kromě problémů s analytickou geometrií se budeme zabývat také některými typickými úlohami algebra. Pro zvládnutí látky je vhodné seznámit se s lekcemi Vektory pro figuríny A Jak vypočítat determinant?

Lineární závislost a nezávislost rovinných vektorů.
Rovinná báze a afinní souřadnicový systém

Vezměme si rovinu vašeho počítačového stolu (stačí stůl, noční stolek, podlaha, strop, cokoli chcete). Úkolem bude Další kroky:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba řečeno, deska má délku a šířku, takže je intuitivní, že k sestavení základny budou zapotřebí dva vektory. Jeden vektor zjevně nestačí, tři vektory jsou příliš mnoho.

2) Na základě zvoleného základu nastavit souřadnicový systém(souřadnicová mřížka) pro přiřazení souřadnic všem objektům v tabulce.

Nedivte se, zpočátku budou vysvětlení na prstech. Navíc na vašem. Prosím umístěte ukazováček levá ruka na okraj desky stolu tak, aby se díval na monitor. Toto bude vektor. Nyní místo malíček pravá ruka na hranu stolu stejným způsobem - tak, aby směřoval na obrazovku monitoru. Toto bude vektor. Usmívej se, vypadáš skvěle! Co můžeme říci o vektorech? Datové vektory kolineární, což znamená lineární vyjádřili jeden přes druhého:
, no nebo naopak: , kde je nějaké číslo odlišné od nuly.

Můžete vidět obrázek této akce ve třídě. Vektory pro figuríny , kde jsem vysvětlil pravidlo pro násobení vektoru číslem.

Postaví vaše prsty základ v rovině počítačového stolu? Očividně ne. Kolineární vektory se pohybují tam a zpět napříč sama směr a rovina má délku a šířku.

Takové vektory se nazývají lineárně závislé.

Odkaz: Slova „lineární“, „lineární“ označují skutečnost, že v matematických rovnicích a výrazech nejsou žádné čtverce, krychle, jiné mocniny, logaritmy, siny atd. Existují pouze lineární (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárně závislé tehdy a teprve tehdy když jsou kolineární.

Překřížte prsty na stole tak, aby mezi nimi byl jiný úhel než 0 nebo 180 stupňů. Dva rovinné vektorylineární Ne závislé právě tehdy, pokud nejsou kolineární. Takže základ je získán. Není třeba se stydět, že základ se ukázal jako „zkosený“ nekolmými vektory různých délek. Velmi brzy uvidíme, že pro jeho konstrukci je vhodný nejen úhel 90 stupňů, ale nejen jednotkové vektory stejné délky

Žádný rovinný vektor jediná možnost se rozšiřuje podle základu:
, kde - reálná čísla. Čísla se volají vektorové souřadnice v tomto základu.

Taky se to říká vektorprezentovány jako lineární kombinace základní vektory. To znamená, že výraz se nazývá vektorový rozkladpodle základu nebo lineární kombinace základní vektory.

Například můžeme říci, že vektor je rozložen na ortonormální bázi roviny, nebo můžeme říci, že je reprezentován jako lineární kombinace vektorů.

Pojďme formulovat definice základu formálně: Základ letadla se nazývá dvojice lineárně nezávislých (nekolineárních) vektorů, , kde žádný rovinný vektor je lineární kombinací základních vektorů.

Podstatným bodem definice je fakt, že se berou vektory v určitém pořadí. Základny – to jsou dvě zcela odlišné základny! Jak se říká, nemůžete nahradit malíček levé ruky místo malíčku pravé ruky.

Na základ jsme přišli, ale nestačí nastavit souřadnicovou mřížku a přiřadit souřadnice každé položce na vašem počítači. Proč to nestačí? Vektory jsou volné a putují po celé rovině. Jak tedy přiřadit souřadnice těm malým špinavým místům na stole, která zbyla z divokého víkendu? Je potřeba výchozí bod. A takovým orientačním bodem je každému známý bod – počátek souřadnic. Pojďme pochopit souřadnicový systém:

Začnu „školním“ systémem. Již v úvodní lekci Vektory pro figuríny Zdůraznil jsem některé rozdíly mezi pravoúhlým souřadnicovým systémem a ortonormální bází. Zde je standardní obrázek:

Když mluví o pravoúhlý souřadnicový systém, pak nejčastěji znamenají počátek, souřadnicové osy a měřítko podél os. Zkuste do vyhledávače zadat „pravoúhlý souřadnicový systém“ a uvidíte, že mnoho zdrojů vám řekne o souřadnicových osách známých z 5.–6. ročníku a o tom, jak zakreslit body do roviny.

Na druhou stranu se zdá, že pravoúhlý souřadnicový systém lze zcela definovat z hlediska ortonormální báze. A to je skoro pravda. Znění je následující:

původ, A ortonormální základ je nastaven Kartézský pravoúhlý rovinný souřadnicový systém . Tedy pravoúhlý souřadnicový systém rozhodně je definována jedním bodem a dvěma jednotkovými ortogonálními vektory. Proto vidíte výkres, který jsem uvedl výše - v geometrických úlohách se často (ale ne vždy) kreslí vektory i souřadné osy.

Myslím, že každý chápe, že pomocí bodu (původu) a ortonormálního základu JAKÝKOLI BOD v rovině a JAKÝKOLI VEKTOR v rovině lze přiřadit souřadnice. Obrazně řečeno, „všechno v letadle se dá očíslovat“.

Musí být souřadnicové vektory jednotkové? Ne, mohou mít libovolnou nenulovou délku. Uvažujme bod a dva ortogonální vektory libovolné nenulové délky:

Takový základ se nazývá ortogonální. Počátek souřadnic s vektory je definován souřadnicovou sítí a jakýkoli bod v rovině, jakýkoli vektor má své souřadnice v dané bázi. Například, nebo. Zjevná nepříjemnost spočívá v tom, že vektory souřadnic PROTI obecný případ mají jiné délky než jednota. Jsou-li délky rovny jednotě, pak se získá obvyklý ortonormální základ.

! Poznámka : v ortogonální bázi, stejně jako níže v afinních základech roviny a prostoru, jsou uvažovány jednotky podél os PODMIŇOVACÍ ZPŮSOB. Například jedna jednotka na ose x obsahuje 4 cm a jedna jednotka na ose y obsahuje 2 cm.Tato informace je dostatečná k tomu, abychom v případě potřeby převedli „nestandardní“ souřadnice na „naše obvyklé centimetry“.

A druhá otázka, která již byla vlastně zodpovězena, je, zda úhel mezi základními vektory musí být roven 90 stupňům? Ne! Jak uvádí definice, základní vektory musí být pouze nekolineární. Úhel tedy může být jakýkoli kromě 0 a 180 stupňů.

Volal se bod v letadle původ, A nekolineární vektory, , sada afinní rovinný souřadnicový systém :

Někdy se takový souřadnicový systém nazývá šikmý Systém. Jako příklady výkres ukazuje body a vektory:

Jak jste pochopili, afinní souřadnicový systém je ještě méně vhodný; vzorce pro délky vektorů a segmentů, o kterých jsme hovořili ve druhé části lekce, v něm nefungují Vektory pro figuríny , mnoho lahodných vzorců souvisejících skalární součin vektorů . Ale platí pravidla pro sčítání vektorů a násobení vektoru číslem, vzorce pro rozdělení segmentu v tomto ohledu, stejně jako některé další typy problémů, na které se brzy podíváme.

A závěr je ten, že nejvhodnějším speciálním případem afinního souřadnicového systému je kartézský pravoúhlý systém. Proto ji musíš nejčastěji vidět, má drahá. ...Všechno v tomto životě je však relativní - existuje mnoho situací, ve kterých šikmý úhel (nebo nějaký jiný, např. polární) souřadnicový systém. A humanoidům by se takové systémy mohly líbit =)

Přejděme k praktické části. Všechny problémy v této lekci platí jak pro pravoúhlý souřadný systém, tak pro obecný afinní případ. Není zde nic složitého, veškerý materiál je dostupný i pro školáka.

Jak určit kolinearitu rovinných vektorů?

Typická věc. Aby byly dva rovinné vektory byly kolineární, je nutné a postačující, aby jejich odpovídající souřadnice byly proporcionální V podstatě se jedná o podrobný popis souřadnic po souřadnicích zřejmého vztahu.

Příklad 1

a) Zkontrolujte, zda jsou vektory kolineární .
b) Tvoří vektory základ? ?

Řešení:
a) Zjistěme, zda existuje pro vektory koeficient proporcionality tak, aby byly splněny rovnosti:

Určitě vám řeknu o „foppish“ typu aplikace tohoto pravidla, což v praxi docela dobře funguje. Cílem je okamžitě vytvořit poměr a zjistit, zda je správný:

Udělejme poměr z poměrů odpovídajících souřadnic vektorů:

Zkrátíme:
, takže odpovídající souřadnice jsou úměrné,

Vztah by mohl být vytvořen obráceně; toto je ekvivalentní možnost:

Pro autotest můžete využít skutečnost, že kolineární vektory jsou lineárně vyjádřeny přes sebe. V v tomto případě jsou tam rovnoprávnosti . Jejich platnost lze snadno ověřit pomocí elementárních operací s vektory:

b) Dva rovinné vektory tvoří základ, pokud nejsou kolineární (lineárně nezávislé). Zkoumáme kolinearitu vektorů . Vytvořme systém:

Z první rovnice vyplývá, že , z druhé rovnice vyplývá, že , což znamená systém je nekonzistentní (žádná řešení). Odpovídající souřadnice vektorů tedy nejsou proporcionální.

Závěr: vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Zjednodušená verze řešení vypadá takto:

Udělejme poměr z odpovídajících souřadnic vektorů :
, což znamená, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Obvykle tuto možnost recenzenti neodmítají, ale problém nastává v případech, kdy se některé souřadnice rovnají nule. Takhle: . Nebo takhle: . Nebo takhle: . Jak se zde dopracovat k proporci? (ve skutečnosti nelze dělit nulou). Z tohoto důvodu jsem zjednodušené řešení nazval „foppish“.

Odpovědět: a) , b) formulář.

Malý kreativní příklad pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 2

Na jaké hodnotě parametru jsou vektory budou kolineární?

Ve vzorovém řešení je parametr nalezen prostřednictvím podílu.

Existuje elegantní algebraický způsob, jak zkontrolovat kolinearitu vektorů. Systematizujme naše znalosti a přidejte je jako pátý bod:

Pro dva rovinné vektory jsou následující tvrzení ekvivalentní:

2) vektory tvoří základ;
3) vektory nejsou kolineární;

+ 5) determinant složený ze souřadnic těchto vektorů je nenulový.

resp. následující opačné výroky jsou ekvivalentní:
1) vektory jsou lineárně závislé;
2) vektory netvoří základ;
3) vektory jsou kolineární;
4) vektory mohou být lineárně vyjádřeny navzájem;
+ 5) determinant složený ze souřadnic těchto vektorů je roven nule.

V to opravdu, opravdu doufám tento moment již rozumíte všem termínům a prohlášením, se kterými se setkáte.

Podívejme se blíže na nový, pátý bod: dva rovinné vektory jsou kolineární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule:. K použití této vlastnosti Přirozeně musíte být schopni najít determinanty .

Pojďme se rozhodnout Příklad 1 druhým způsobem:

a) Vypočítejme determinant tvořený souřadnicemi vektorů :
, což znamená, že tyto vektory jsou kolineární.

b) Dva rovinné vektory tvoří základ, pokud nejsou kolineární (lineárně nezávislé). Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi :
, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Odpovědět: a) , b) formulář.

Vypadá mnohem kompaktněji a hezčí než řešení s proporcemi.

Pomocí uvažovaného materiálu je možné stanovit nejen kolinearitu vektorů, ale také dokázat rovnoběžnost úseček a přímek. Podívejme se na několik problémů se specifickými geometrickými tvary.

Příklad 3

Jsou dány vrcholy čtyřúhelníku. Dokažte, že čtyřúhelník je rovnoběžník.

Důkaz: V problému není potřeba vytvářet výkres, protože řešení bude čistě analytické. Připomeňme si definici rovnoběžníku:
Rovnoběžník Čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné ve dvojicích, se nazývá.

Je tedy nutné prokázat:
1) rovnoběžnost protilehlých stran a;
2) rovnoběžnost protilehlých stran a.

dokazujeme:

1) Najděte vektory:

2) Najděte vektory:

Výsledkem je stejný vektor („podle školy“ – stejné vektory). Kolinearita je zcela zřejmá, ale je lepší formalizovat rozhodnutí jasně, s uspořádáním. Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi:
, což znamená, že tyto vektory jsou kolineární, a .

Závěr: Protilehlé strany čtyřúhelníku jsou rovnoběžné ve dvojicích, což znamená, že jde podle definice o rovnoběžník. Q.E.D.

Více dobrých a jiných čísel:

Příklad 4

Jsou dány vrcholy čtyřúhelníku. Dokažte, že čtyřúhelník je lichoběžník.

Pro přesnější formulaci důkazu je samozřejmě lepší získat definici lichoběžníku, ale stačí si jednoduše zapamatovat, jak vypadá.

Toto je úkol, který musíte vyřešit sami. Kompletní řešení na konci lekce.

A nyní je čas se pomalu přesunout z letadla do vesmíru:

Jak určit kolinearitu prostorových vektorů?

Pravidlo je velmi podobné. Aby dva prostorové vektory byly kolineární, nutné a dostatečné, takže jejich odpovídající souřadnice jsou úměrné.

Příklad 5

Zjistěte, zda jsou následující prostorové vektory kolineární:

A);
b)
PROTI)

Řešení:
a) Zkontrolujeme, zda existuje koeficient úměrnosti pro odpovídající souřadnice vektorů:

Systém nemá žádné řešení, což znamená, že vektory nejsou kolineární.

„Zjednodušené“ je formalizováno kontrolou poměru. V tomto případě:
– odpovídající souřadnice nejsou proporcionální, což znamená, že vektory nejsou kolineární.

Odpovědět: vektory nejsou kolineární.

b-c) To jsou body pro nezávislé rozhodnutí. Vyzkoušejte to dvěma způsoby.

Existuje metoda pro kontrolu kolinearity prostorových vektorů prostřednictvím determinantu třetího řádu, tato metoda popsaný v článku Vektorový součin vektorů .

Podobně jako v případě roviny lze uvažované nástroje použít ke studiu rovnoběžnosti prostorových segmentů a přímek.

Vítejte v druhé sekci:

Lineární závislost a nezávislost vektorů v trojrozměrném prostoru.
Prostorová báze a afinní souřadnicový systém

Mnoho vzorců, které jsme zkoumali v letadle, bude platit pro vesmír. Snažil jsem se minimalizovat teoretické poznámky, protože lví podíl informace již byly sežvýkané. Doporučuji si však pozorně přečíst úvodní část, protože se objeví nové termíny a pojmy.

Nyní místo roviny počítačového stolu zkoumáme trojrozměrný prostor. Nejprve si vytvoříme jeho základ. Někdo je teď uvnitř, někdo venku, ale v žádném případě nemůžeme uniknout třem rozměrům: šířce, délce a výšce. Pro konstrukci základny tedy budou zapotřebí tři prostorové vektory. Jeden nebo dva vektory nestačí, čtvrtý je nadbytečný.

A opět se zahříváme na prstech. Zvedněte prosím ruku a roztáhněte ji různými směry palec, ukazováček a prostředníček . Budou to vektory, vypadají různými směry, mají různé délky a různé úhly mezi sebou. Gratulujeme, základ trojrozměrného prostoru je připraven! Mimochodem, není potřeba to učitelům demonstrovat, ať kroutíte prsty sebevíc, ale z definic není úniku =)

Dále se zeptejme důležitá záležitost, tvoří základ libovolné tři vektory trojrozměrný prostor ? Zatlačte pevně třemi prsty na horní část stolu počítače. Co se stalo? Tři vektory jsou umístěny ve stejné rovině a zhruba řečeno, ztratili jsme jeden z rozměrů - výšku. Takové vektory jsou koplanární a je zcela zřejmé, že základ trojrozměrného prostoru není vytvořen.

Je třeba poznamenat, že koplanární vektory nemusí ležet ve stejné rovině, mohou být v rovnoběžných rovinách (jen to nedělejte prsty, to udělal pouze Salvador Dalí =)).

Definice: volají se vektory koplanární, pokud existuje rovina, se kterou jsou rovnoběžné. Zde je logické dodat, že pokud taková rovina neexistuje, pak vektory nebudou koplanární.

Tři koplanární vektory jsou vždy lineárně závislé, to znamená, že jsou lineárně vyjádřeny přes sebe. Pro jednoduchost si znovu představme, že leží ve stejné rovině. Za prvé, vektory nejsou pouze koplanární, mohou být také kolineární, potom může být jakýkoli vektor vyjádřen prostřednictvím jakéhokoli vektoru. Ve druhém případě, pokud například vektory nejsou kolineární, pak je třetí vektor vyjádřen přes ně jedinečným způsobem: (a proč je snadné uhodnout z materiálů v předchozí části).

Opak je také pravdou: tři nekoplanární vektory jsou vždy lineárně nezávislé, to znamená, že se navzájem nevyjadřují. A samozřejmě pouze takové vektory mohou tvořit základ trojrozměrného prostoru.

Definice: Základ trojrozměrného prostoru se nazývá trojice lineárně nezávislých (nekoplanárních) vektorů, odebrané v určitém pořadí a libovolný vektor prostoru jediná možnost je rozložena na danou bázi, kde jsou souřadnice vektoru v této bázi

Připomínám, že můžeme také říci, že vektor je reprezentován ve tvaru lineární kombinace základní vektory.

Pojem souřadnicového systému je zaveden úplně stejně jako v případě roviny, stačí jeden bod a libovolné tři lineárně nezávislé vektory:

původ, A nekoplanární vektory, odebrané v určitém pořadí, sada afinní souřadnicový systém trojrozměrného prostoru :

Samozřejmě, že souřadnicová síť je „šikmá“ a nepohodlná, ale přesto nám vytvořený souřadnicový systém umožňuje rozhodně určit souřadnice libovolného vektoru a souřadnice libovolného bodu v prostoru. Podobně jako v rovině nebudou některé vzorce, které jsem již zmínil, fungovat v afinním souřadnicovém systému prostoru.

Nejznámější a nejpohodlnější speciální případ afinního souřadnicového systému, jak každý tuší, je pravoúhlý prostorový souřadnicový systém:

Bod ve vesmíru tzv původ, A ortonormální základ je nastaven Kartézský pravoúhlý prostorový souřadnicový systém . Známý obrázek:

Než přejdeme k praktickým úkolům, znovu systematizujeme informace:

Pro tři prostorové vektory jsou následující tvrzení ekvivalentní:
1) vektory jsou lineárně nezávislé;
2) vektory tvoří základ;
3) vektory nejsou koplanární;
4) vektory nelze vzájemně lineárně vyjádřit;
5) determinant, složený ze souřadnic těchto vektorů, je odlišný od nuly.

Myslím, že opačná tvrzení jsou pochopitelná.

Lineární závislost/nezávislost prostorových vektorů se tradičně kontroluje pomocí determinantu (bod 5). Zbývající praktické úkoly bude mít výrazný algebraický charakter. Je čas pověsit geometrickou hůl a ovládat baseballovou pálkou lineární algebry:

Tři vektory prostoru jsou koplanární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule: .

Upozorňuji na malý technická nuance: souřadnice vektorů lze zapisovat nejen do sloupců, ale i do řádků (hodnota determinantu se od toho nezmění - viz. vlastnosti determinantů). Ale mnohem lepší je to ve sloupcích, protože je to výhodnější pro řešení některých praktických problémů.

Pro ty čtenáře, kteří trochu zapomněli na metody výpočtu determinantů, nebo jim možná vůbec málo rozumějí, doporučuji jednu ze svých nejstarších lekcí: Jak vypočítat determinant?

Příklad 6

Zkontrolujte, zda následující vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru:

Řešení: Ve skutečnosti celé řešení spočívá ve výpočtu determinantu.

a) Vypočítejme determinant složený z vektorových souřadnic (determinant je uveden v prvním řádku):

, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé (nikoli koplanární) a tvoří základ trojrozměrného prostoru.

Odpovědět: tyto vektory tvoří základ

b) Toto je bod pro nezávislé rozhodnutí. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Nechybí ani kreativní úkoly:

Příklad 7

Při jaké hodnotě parametru budou vektory koplanární?

Řešení: Vektory jsou koplanární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic těchto vektorů roven nule:

V podstatě potřebujete vyřešit rovnici s determinantem. Snášíme nuly jako draci na jerboa - nejlepší je otevřít determinant ve druhém řádku a okamžitě se zbavit mínusů:

Provádíme další zjednodušení a redukujeme záležitost na nejjednodušší lineární rovnici:

Odpovědět: na

Zde je snadné to zkontrolovat; k tomu je třeba dosadit výslednou hodnotu do původního determinantu a ujistit se, že , znovu jej otevřete.

Na závěr se podívejme ještě na jednu typický úkol, který má více algebraický charakter a je tradičně zahrnut do kurzu lineární algebry. Je to tak běžné, že si zaslouží vlastní téma:

Dokažte, že 3 vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru
a najít souřadnice 4. vektoru v tomto základu

Příklad 8

Jsou uvedeny vektory. Ukažte, že vektory tvoří základ v trojrozměrném prostoru a najděte v tomto základu souřadnice vektoru.

Řešení: Nejprve se vypořádejme s podmínkou. Podle podmínky jsou dány čtyři vektory, a jak vidíte, v nějakém základu již mají souřadnice. Jaký je tento základ, nás nezajímá. A následující věc je zajímavá: mohou se vytvořit tři vektory nový základ. A první fáze se zcela shoduje s řešením příkladu 6, je třeba zkontrolovat, zda jsou vektory skutečně lineárně nezávislé:

Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi:

, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ trojrozměrného prostoru.

! Důležité : vektorové souřadnice Nezbytně zapsat do sloupců determinant, nikoli v řetězcích. V opačném případě nastane zmatek v dalším algoritmu řešení.

Definice. Lineární kombinace vektorů a 1 , ..., a n s koeficienty x 1 , ..., x n se nazývá vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviální, jsou-li všechny koeficienty x 1 , ..., x n rovny nule.

Definice. Nazývá se lineární kombinace x 1 a 1 + ... + x n a n netriviální, pokud alespoň jeden z koeficientů x 1, ..., x n není roven nule.

lineárně nezávislý, pokud neexistuje žádná netriviální kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru.

To znamená, že vektory a 1, ..., a n jsou lineárně nezávislé, pokud x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 právě tehdy, když x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definice. Nazývají se vektory a 1, ..., a n lineárně závislé, pokud existuje netriviální kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru.

Vlastnosti lineárně závislých vektorů:

Pro 2 a 3 rozměrné vektory.

Dva lineárně závislé vektory jsou kolineární. (Kolineární vektory jsou lineárně závislé.)

Pro 3-rozměrné vektory.

Tři lineárně závislé vektory jsou koplanární. (Tři koplanární vektory jsou lineárně závislé.)

• Pro n-rozměrné vektory.

  n + 1 vektorů je vždy lineárně závislých.

Příklady úloh o lineární závislosti a lineární nezávislosti vektorů:

Příklad 1. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) lineárně nezávislé .

Řešení:

Vektory budou lineárně závislé, protože rozměr vektorů je menší než počet vektorů.

Příklad 2. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) lineárně nezávislé.

Řešení:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

odečíst druhý od prvního řádku; přidat druhý řádek ke třetímu řádku:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Toto řešení ukazuje, že systém má mnoho řešení, to znamená, že existuje nenulová kombinace hodnot čísel x 1, x 2, x 3 taková, že lineární kombinace vektorů a, b, c je rovna nulový vektor, například:

A + b + c = 0

což znamená, že vektory a, b, c jsou lineárně závislé.

Odpovědět: vektory a, b, c jsou lineárně závislé.

Příklad 3. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) lineárně nezávislé.

Řešení: Pojďme najít hodnoty koeficientů, při kterých bude lineární kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Tuto vektorovou rovnici lze zapsat jako soustavu lineárních rovnic

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2 x 3 = 0

Pojďme tento systém vyřešit pomocí Gaussovy metody

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

odečíst první od druhého řádku; odečtěte první od třetího řádku:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

odečíst druhý od prvního řádku; přidejte druhý do třetího řádku.

Nechat L je libovolný lineární prostor, a i Î L,- jeho prvky (vektory).

Definice 3.3.1. Výraz , kde , - libovolná reálná čísla, nazývaná lineární kombinace vektory a 1, a 2,…, a n.

Pokud je vektor R = , pak to říkají R rozložené na vektory a 1, a 2,…, a n.

Definice 3.3.2. Nazývá se lineární kombinace vektorů netriviální, pokud je mezi čísly alespoň jedno nenulové. Jinak se nazývá lineární kombinace triviální.

Definice 3.3.3 . Vektory a 1 , a 2 ,…, a n se nazývají lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace taková, že

= 0 .

Definice 3.3.4. Vektory a 1 , a 2 ,…, a n se nazývají lineárně nezávislé, pokud rovnost = 0 je možné pouze v případě, že všechna čísla l 1, l 2,…, l n jsou současně rovny nule.

Všimněte si, že každý nenulový prvek a 1 může být považován za lineárně nezávislý systém, protože rovnost l a 1 = 0 možné pouze pokud l= 0.

Věta 3.3.1. Nutné a dostatečný stav lineární závislost a 1, a 2,…, a n je možnost rozložit alespoň jeden z těchto prvků na zbytek.

Důkaz. Nutnost. Nechť prvky a 1 , a 2 ,…, a n lineárně závislé. Znamená to, že = 0 a alespoň jedno z čísel l 1, l 2,…, l n odlišný od nuly. Nechte pro jistotu l 1 ¹ 0. Potom

tj. prvek a 1 se rozloží na prvky a 2 , a 3 , …, a n.

Přiměřenost. Nechť prvek a 1 rozložíme na prvky a 2 , a 3 , …, a n, tj. a 1 = . Pak = 0 , proto existuje netriviální lineární kombinace vektorů a 1 , a 2 ,…, a n, rovnat se 0 , takže jsou lineárně závislé .

Věta 3.3.2. Pokud alespoň jeden z prvků a 1 , a 2 ,…, a n nula, pak jsou tyto vektory lineárně závislé.

Důkaz . Nechat A n= 0 , pak = 0 , což znamená lineární závislost těchto prvků.

Věta 3.3.3. Pokud mezi n vektory nějaké p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Důkaz. Nechť pro jistotu prvky a 1 , a 2 ,…, a p lineárně závislé. To znamená, že existuje netriviální lineární kombinace taková, že = 0 . Zadaná rovnost zůstane zachována, pokud prvek přidáme do obou jeho částí. Pak + = 0 a alespoň jedno z čísel l 1, l 2,…, lp odlišný od nuly. Proto vektory a 1 , a 2 ,…, a n jsou lineárně závislé.

Důsledek 3.3.1. Pokud je n prvků lineárně nezávislých, pak kterékoli k z nich jsou lineárně nezávislé (k< n).

Věta 3.3.4. Pokud vektory a 1, a 2,…, a n- 1 jsou lineárně nezávislé a prvky a 1, a 2,…, a n- 1,a n jsou lineárně závislé, pak vektor A n lze rozšířit do vektorů a 1, a 2,…, a n- 1 .

Důkaz. Protože podle podmínky a 1 , a 2 ,…,A n- 1,a n jsou lineárně závislé, pak existuje jejich netriviální lineární kombinace = 0 , a (jinak se ukáží jako lineární závislé vektory a 1, a 2,…, a n- 1). Ale pak ten vektor

,

Q.E.D.