A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Řešení. Hledají společné rozhodnutí soustavy rovnic

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

Gaussova metoda. Za tímto účelem zapíšeme tento homogenní systém do souřadnic:

Systémová matice

Povolený systém má tvar: (r A = 2, n= 3). Systém je kooperativní a nejistý. Jeho obecné řešení ( X 2 – volná proměnná): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Přítomnost nenulového konkrétního řešení například ukazuje, že vektory A 1 , A 2 , A 3 lineárně závislé.

Příklad 2

Zjistěte, zda tento systém lineárně závislé nebo lineárně nezávislé vektory:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Řešení. Uvažujme homogenní soustavu rovnic A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

nebo v rozbalené formě (podle souřadnic)

Systém je homogenní. Pokud je nedegenerovaný, tak má unikátní řešení. Když homogenní systém– nulové (triviální) řešení. To znamená, že v tomto případě je systém vektorů nezávislý. Pokud je systém degenerovaný, pak má nenulová řešení, a proto je závislý.

Zkontrolujeme degeneraci systému:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Systém je nedegenerovaný a tedy i vektory A 1 , A 2 , A 3 lineárně nezávislé.

Úkoly. Zjistěte, zda je daný systém vektorů lineárně závislý nebo lineárně nezávislý:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dokažte, že systém vektorů bude lineárně závislý, pokud bude obsahovat:

a) dva stejné vektory;

b) dva proporcionální vektory.

Definice. Lineární kombinace vektorů a 1 , ..., a n s koeficienty x 1 , ..., x n se nazývá vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviální, jsou-li všechny koeficienty x 1 , ..., x n rovny nule.

Definice. Nazývá se lineární kombinace x 1 a 1 + ... + x n a n netriviální, pokud alespoň jeden z koeficientů x 1, ..., x n není roven nule.

lineárně nezávislý, pokud neexistuje žádná netriviální kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru.

To znamená, že vektory a 1, ..., a n jsou lineárně nezávislé, pokud x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 právě tehdy, když x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definice. Nazývají se vektory a 1, ..., a n lineárně závislé, pokud existuje netriviální kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru.

Vlastnosti lineárně závislých vektorů:

Pro 2 a 3 rozměrné vektory.

Dvě lineární závislé vektory- kolineární. (Kolineární vektory jsou lineárně závislé.)

Pro 3-rozměrné vektory.

Tři lineárně závislé vektory jsou koplanární. (Tři koplanární vektory jsou lineárně závislé.)

• Pro n-rozměrné vektory.

  n + 1 vektorů je vždy lineárně závislých.

Příklady úloh o lineární závislosti a lineární nezávislosti vektorů:

Příklad 1. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) lineárně nezávislé .

Řešení:

Vektory budou lineárně závislé, protože rozměr vektorů je menší než počet vektorů.

Příklad 2. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) lineárně nezávislé.

Řešení:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

odečíst druhý od prvního řádku; přidat druhý řádek ke třetímu řádku:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Toto řešení ukazuje, že systém má mnoho řešení, to znamená, že existuje nenulová kombinace hodnot čísel x 1, x 2, x 3 taková, že lineární kombinace vektorů a, b, c je rovna nulový vektor, například:

A + b + c = 0

což znamená, že vektory a, b, c jsou lineárně závislé.

Odpovědět: vektory a, b, c jsou lineárně závislé.

Příklad 3. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) lineárně nezávislé.

Řešení: Pojďme najít hodnoty koeficientů, při kterých bude lineární kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Tuto vektorovou rovnici lze zapsat jako soustavu lineárních rovnic

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2 x 3 = 0

Pojďme tento systém vyřešit pomocí Gaussovy metody

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

odečíst první od druhého řádku; odečtěte první od třetího řádku:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

odečíst druhý od prvního řádku; přidejte druhý do třetího řádku.

Lineární závislost a lineární nezávislost vektory.
Základy vektorů. Afinní souřadnicový systém

V hledišti je vozík s čokoládami a každý dnešní návštěvník dostane sladkou dvojici - analytickou geometrii s lineární algebrou. Tento článek se dotkne dvou částí vyšší matematiky najednou a uvidíme, jak koexistují v jednom obalu. Dejte si pauzu, snězte Twix! ...sakra, jaká snůška nesmyslů. I když, dobře, nebudu bodovat, nakonec byste měli mít ke studiu pozitivní vztah.

Lineární závislost vektorů, lineární vektorová nezávislost, základ vektorů a další pojmy mají nejen geometrický výklad, ale především algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohledu lineární algebry není vždy „obyčejným“ vektorem, který můžeme zobrazit v rovině nebo v prostoru. Důkaz nemusíte hledat daleko, zkuste nakreslit vektor pětirozměrného prostoru . Nebo vektor počasí, pro který jsem právě šel do Gismetea: – teplota a Atmosférický tlak respektive. Příklad je samozřejmě nesprávný z hlediska vlastností vektorového prostoru, ale přesto nikdo nezakazuje formalizovat tyto parametry jako vektor. Dech podzimu...

Ne, nebudu vás nudit teorií, lineární vektorové prostory, úkolem je rozumět definice a věty. Nové pojmy (lineární závislost, nezávislost, lineární kombinace, báze atd.) platí pro všechny vektory z algebraického hlediska, ale budou uvedeny geometrické příklady. Vše je tedy jednoduché, dostupné a přehledné. Kromě problémů analytické geometrie se budeme zabývat také některými typickými problémy algebry. Pro zvládnutí látky je vhodné seznámit se s lekcemi Vektory pro figuríny A Jak vypočítat determinant?

Lineární závislost a nezávislost rovinných vektorů.
Rovinná báze a afinní souřadnicový systém

Vezměme si rovinu vašeho počítačového stolu (stačí stůl, noční stolek, podlaha, strop, cokoli chcete). Úkolem bude Další kroky:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba řečeno, deska má délku a šířku, takže je intuitivní, že k sestavení základny budou zapotřebí dva vektory. Jeden vektor zjevně nestačí, tři vektory jsou příliš mnoho.

2) Na základě zvoleného základu nastavit souřadnicový systém(souřadnicová mřížka) pro přiřazení souřadnic všem objektům v tabulce.

Nedivte se, zpočátku budou vysvětlení na prstech. Navíc na vašem. Prosím umístěte ukazováček levá ruka na okraj desky stolu tak, aby se díval na monitor. Toto bude vektor. Nyní místo malíček pravá ruka na hranu stolu stejným způsobem - tak, aby směřoval na obrazovku monitoru. Toto bude vektor. Usmívej se, vypadáš skvěle! Co můžeme říci o vektorech? Datové vektory kolineární, což znamená lineární vyjádřili jeden přes druhého:
, no nebo naopak: , kde je nějaké číslo odlišné od nuly.

Můžete vidět obrázek této akce ve třídě. Vektory pro figuríny, kde jsem vysvětlil pravidlo pro násobení vektoru číslem.

Postaví vaše prsty základ v rovině počítačového stolu? Očividně ne. Kolineární vektory se pohybují tam a zpět napříč sama směr a rovina má délku a šířku.

Takové vektory se nazývají lineárně závislé.

Odkaz: Slova „lineární“, „lineární“ označují skutečnost, že v matematických rovnicích a výrazech nejsou žádné čtverce, krychle, jiné mocniny, logaritmy, siny atd. Existují pouze lineární (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárně závislé právě tehdy, jsou-li kolineární.

Překřížte prsty na stole tak, aby mezi nimi byl jiný úhel než 0 nebo 180 stupňů. Dva rovinné vektorylineární Ne závislé právě tehdy, pokud nejsou kolineární. Takže základ je získán. Není třeba se stydět, že základ se ukázal jako „zkosený“ nekolmými vektory různých délek. Velmi brzy uvidíme, že pro jeho konstrukci je vhodný nejen úhel 90 stupňů, ale nejen jednotkové vektory stejné délky

Žádný rovinný vektor jediná možnost se rozšiřuje podle základu:
, kde jsou reálná čísla. Čísla se volají vektorové souřadnice v tomto základu.

Taky se to říká vektorprezentovány jako lineární kombinace základní vektory. To znamená, že výraz se nazývá vektorový rozkladpodle základu nebo lineární kombinace základní vektory.

Například můžeme říci, že vektor je rozložen na ortonormální bázi roviny, nebo můžeme říci, že je reprezentován jako lineární kombinace vektorů.

Pojďme formulovat definice základu formálně: Základ letadla se nazývá dvojice lineárně nezávislých (nekolineárních) vektorů, , kde žádný rovinný vektor je lineární kombinací základních vektorů.

Podstatným bodem definice je fakt, že se berou vektory v určitém pořadí. Základny – to jsou dvě zcela odlišné základny! Jak se říká, nemůžete nahradit malíček své levé ruky místo malíčku pravé ruky.

Na základ jsme přišli, ale nestačí nastavit souřadnicovou mřížku a přiřadit souřadnice každé položce na vašem počítači. Proč to nestačí? Vektory jsou volné a putují po celé rovině. Jak tedy přiřadit souřadnice těm malým špinavým místům na stole, která zbyla z divokého víkendu? Je potřeba výchozí bod. A takovým orientačním bodem je každému známý bod – počátek souřadnic. Pojďme pochopit souřadnicový systém:

Začnu „školním“ systémem. Již v úvodní lekci Vektory pro figuríny Zdůraznil jsem některé rozdíly mezi pravoúhlým souřadnicovým systémem a ortonormální bází. Zde je standardní obrázek:

Když mluví o pravoúhlý souřadnicový systém, pak nejčastěji znamenají počátek, souřadnicové osy a měřítko podél os. Zkuste do vyhledávače zadat „pravoúhlý souřadnicový systém“ a uvidíte, že mnoho zdrojů vám řekne o souřadnicových osách známých z 5.–6. ročníku a o tom, jak zakreslit body do roviny.

Na druhou stranu se zdá, že pravoúhlý souřadnicový systém lze zcela definovat z hlediska ortonormální báze. A to je skoro pravda. Znění je následující:

původ, A ortonormální základ je nastaven Kartézský pravoúhlý rovinný souřadnicový systém . Tedy pravoúhlý souřadnicový systém rozhodně je definována jedním bodem a dvěma jednotkovými ortogonálními vektory. Proto vidíte výkres, který jsem uvedl výše - v geometrických úlohách se často (ale ne vždy) kreslí vektory i souřadné osy.

Myslím, že každý chápe, že pomocí bodu (původu) a ortonormálního základu JAKÝKOLI BOD v rovině a JAKÝKOLI VEKTOR v rovině lze přiřadit souřadnice. Obrazně řečeno, „všechno v letadle se dá očíslovat“.

Musí být souřadnicové vektory jednotkové? Ne, mohou mít libovolnou nenulovou délku. Uvažujme bod a dva ortogonální vektory libovolné nenulové délky:

Takový základ se nazývá ortogonální. Počátek souřadnic s vektory je definován souřadnicovou sítí a jakýkoli bod v rovině, jakýkoli vektor má své souřadnice v dané bázi. Například, nebo. Zjevná nepříjemnost spočívá v tom, že vektory souřadnic PROTI obecný případ mají jiné délky než jednota. Jsou-li délky rovny jednotě, pak se získá obvyklý ortonormální základ.

! Poznámka : v ortogonální bázi, stejně jako níže v afinních základech roviny a prostoru, jsou uvažovány jednotky podél os PODMIŇOVACÍ ZPŮSOB. Například jedna jednotka na ose x obsahuje 4 cm a jedna jednotka na ose y obsahuje 2 cm.Tato informace je dostatečná k tomu, abychom v případě potřeby převedli „nestandardní“ souřadnice na „naše obvyklé centimetry“.

A druhá otázka, která již byla vlastně zodpovězena, je, zda úhel mezi základními vektory musí být roven 90 stupňům? Ne! Jak uvádí definice, základní vektory musí být pouze nekolineární. Úhel tedy může být jakýkoli kromě 0 a 180 stupňů.

Volal se bod v letadle původ, A nekolineární vektory, , sada afinní rovinný souřadnicový systém :

Někdy se takový souřadnicový systém nazývá šikmý Systém. Jako příklady výkres ukazuje body a vektory:

Jak jste pochopili, afinní souřadnicový systém je ještě méně vhodný; vzorce pro délky vektorů a segmentů, o kterých jsme hovořili ve druhé části lekce, v něm nefungují Vektory pro figuríny, mnoho lahodných vzorců souvisejících skalární součin vektorů. Ale platí pravidla pro sčítání vektorů a násobení vektoru číslem, vzorce pro dělení segmentu v tomto vztahu, stejně jako některé další typy problémů, které budeme brzy zvažovat.

A závěr je ten, že nejvhodnějším speciálním případem afinního souřadnicového systému je kartézský pravoúhlý systém. Proto ji musíš nejčastěji vidět, má drahá. ...Všechno v tomto životě je však relativní - existuje mnoho situací, ve kterých šikmý úhel (nebo nějaký jiný, např. polární) souřadnicový systém. A humanoidům by se takové systémy mohly líbit =)

Přejděme k praktické části. Všechny problémy v této lekci platí jak pro pravoúhlý souřadný systém, tak pro obecný afinní případ. Není zde nic složitého, veškerý materiál je dostupný i pro školáka.

Jak určit kolinearitu rovinných vektorů?

Typická věc. Aby byly dva rovinné vektory byly kolineární, je nutné a postačující, aby jejich odpovídající souřadnice byly proporcionální V podstatě se jedná o podrobný popis souřadnic po souřadnicích zřejmého vztahu.

Příklad 1

a) Zkontrolujte, zda jsou vektory kolineární .
b) Tvoří vektory základ? ?

Řešení:
a) Zjistěme, zda existuje pro vektory koeficient proporcionality tak, aby byly splněny rovnosti:

Určitě vám řeknu o „foppish“ typu aplikace tohoto pravidla, který v praxi docela dobře funguje. Cílem je okamžitě vytvořit poměr a zjistit, zda je správný:

Udělejme poměr z poměrů odpovídajících souřadnic vektorů:

Zkrátíme:
, takže odpovídající souřadnice jsou úměrné,

Vztah by mohl být vytvořen obráceně; toto je ekvivalentní možnost:

Pro autotest můžete využít skutečnost, že kolineární vektory jsou lineárně vyjádřeny přes sebe. V v tomto případě jsou tam rovnoprávnosti . Jejich platnost lze snadno ověřit pomocí elementárních operací s vektory:

b) Dva rovinné vektory tvoří základ, pokud nejsou kolineární (lineárně nezávislé). Zkoumáme kolinearitu vektorů . Vytvořme systém:

Z první rovnice vyplývá, že , z druhé rovnice vyplývá, že , což znamená systém je nekonzistentní(žádná řešení). Odpovídající souřadnice vektorů tedy nejsou proporcionální.

Závěr: vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Zjednodušená verze řešení vypadá takto:

Udělejme poměr z odpovídajících souřadnic vektorů :
, což znamená, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Obvykle tuto možnost recenzenti neodmítají, ale problém nastává v případech, kdy se některé souřadnice rovnají nule. Takhle: . Nebo takhle: . Nebo takhle: . Jak se zde dopracovat k proporci? (ve skutečnosti nelze dělit nulou). Z tohoto důvodu jsem zjednodušené řešení nazval „foppish“.

Odpovědět: a) , b) formulář.

Malý kreativní příklad pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 2

Na jaké hodnotě parametru jsou vektory budou kolineární?

Ve vzorovém řešení je parametr nalezen prostřednictvím podílu.

Existuje elegantní algebraický způsob, jak zkontrolovat kolinearitu vektorů. Systematizujme naše znalosti a přidejte je jako pátý bod:

Pro dva rovinné vektory jsou následující tvrzení ekvivalentní:

2) vektory tvoří základ;
3) vektory nejsou kolineární;

+ 5) determinant složený ze souřadnic těchto vektorů je nenulový.

resp. následující opačné výroky jsou ekvivalentní:
1) vektory jsou lineárně závislé;
2) vektory netvoří základ;
3) vektory jsou kolineární;
4) vektory mohou být lineárně vyjádřeny navzájem;
+ 5) determinant složený ze souřadnic těchto vektorů je roven nule.

V to opravdu, opravdu doufám tento moment již rozumíte všem termínům a prohlášením, se kterými se setkáte.

Podívejme se blíže na nový, pátý bod: dva rovinné vektory jsou kolineární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule:. K použití této vlastnosti Přirozeně musíte být schopni najít determinanty.

Pojďme se rozhodnout Příklad 1 druhým způsobem:

a) Vypočítejme determinant tvořený souřadnicemi vektorů :
, což znamená, že tyto vektory jsou kolineární.

b) Dva rovinné vektory tvoří základ, pokud nejsou kolineární (lineárně nezávislé). Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi :
, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Odpovědět: a) , b) formulář.

Vypadá mnohem kompaktněji a hezčí než řešení s proporcemi.

Pomocí uvažovaného materiálu je možné stanovit nejen kolinearitu vektorů, ale také dokázat rovnoběžnost úseček a přímek. Podívejme se na několik problémů se specifickými geometrickými tvary.

Příklad 3

Jsou dány vrcholy čtyřúhelníku. Dokažte, že čtyřúhelník je rovnoběžník.

Důkaz: V problému není potřeba vytvářet výkres, protože řešení bude čistě analytické. Připomeňme si definici rovnoběžníku:
Rovnoběžník Čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné ve dvojicích, se nazývá.

Je tedy nutné prokázat:
1) rovnoběžnost protilehlých stran a;
2) rovnoběžnost protilehlých stran a.

Dokazujeme:

1) Najděte vektory:

2) Najděte vektory:

Výsledkem je stejný vektor („podle školy“ – stejné vektory). Kolinearita je zcela zřejmá, ale je lepší formalizovat rozhodnutí jasně, s uspořádáním. Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi:
, což znamená, že tyto vektory jsou kolineární, a .

Závěr: Protilehlé strany čtyřúhelníku jsou rovnoběžné ve dvojicích, což znamená, že jde podle definice o rovnoběžník. Q.E.D.

Více dobrých a jiných čísel:

Příklad 4

Jsou dány vrcholy čtyřúhelníku. Dokažte, že čtyřúhelník je lichoběžník.

Pro přesnější formulaci důkazu je samozřejmě lepší získat definici lichoběžníku, ale stačí si jednoduše zapamatovat, jak vypadá.

Toto je úkol, který musíte vyřešit sami. Kompletní řešení na konci lekce.

A nyní je čas se pomalu přesunout z letadla do vesmíru:

Jak určit kolinearitu prostorových vektorů?

Pravidlo je velmi podobné. Aby byly dva prostorové vektory kolineární, je nutné a postačující, aby jejich odpovídající souřadnice byly proporcionální.

Příklad 5

Zjistěte, zda jsou následující prostorové vektory kolineární:

A);
b)
PROTI)

Řešení:
a) Zkontrolujeme, zda existuje koeficient úměrnosti pro odpovídající souřadnice vektorů:

Systém nemá žádné řešení, což znamená, že vektory nejsou kolineární.

„Zjednodušené“ je formalizováno kontrolou poměru. V tomto případě:
– odpovídající souřadnice nejsou proporcionální, což znamená, že vektory nejsou kolineární.

Odpovědět: vektory nejsou kolineární.

b-c) Toto jsou body pro nezávislé rozhodnutí. Vyzkoušejte to dvěma způsoby.

Existuje metoda pro kontrolu kolinearity prostorových vektorů prostřednictvím determinantu třetího řádu, tato metoda popsaný v článku Vektorový součin vektorů.

Podobně jako v případě roviny lze uvažované nástroje použít ke studiu rovnoběžnosti prostorových segmentů a přímek.

Vítejte v druhé sekci:

Lineární závislost a nezávislost vektorů v trojrozměrném prostoru.
Prostorová báze a afinní souřadnicový systém

Mnoho vzorců, které jsme zkoumali v letadle, bude platit pro vesmír. Snažil jsem se minimalizovat teoretické poznámky, protože lví podíl informace již byly sežvýkané. Doporučuji si však pozorně přečíst úvodní část, protože se objeví nové termíny a pojmy.

Nyní místo roviny počítačového stolu zkoumáme trojrozměrný prostor. Nejprve si vytvoříme jeho základ. Někdo je teď uvnitř, někdo venku, ale v žádném případě nemůžeme uniknout třem rozměrům: šířce, délce a výšce. Pro konstrukci základny tedy budou zapotřebí tři prostorové vektory. Jeden nebo dva vektory nestačí, čtvrtý je nadbytečný.

A opět se zahříváme na prstech. Zvedněte prosím ruku a roztáhněte ji různými směry palec, ukazováček a prostředníček . Budou to vektory, vypadají různými směry, mají různé délky a různé úhly mezi sebou. Gratulujeme, základ trojrozměrného prostoru je připraven! Mimochodem, není potřeba to učitelům demonstrovat, ať kroutíte prsty sebevíc, ale z definic není úniku =)

Dále se zeptejme důležitá záležitost, tvoří základ libovolné tři vektory trojrozměrný prostor ? Zatlačte pevně třemi prsty na horní část stolu počítače. Co se stalo? Tři vektory jsou umístěny ve stejné rovině a zhruba řečeno, ztratili jsme jeden z rozměrů - výšku. Takové vektory jsou koplanární a je zcela zřejmé, že základ trojrozměrného prostoru není vytvořen.

Je třeba poznamenat, že koplanární vektory nemusí ležet ve stejné rovině, mohou být v rovnoběžných rovinách (jen to nedělejte prsty, to udělal pouze Salvador Dalí =)).

Definice: volají se vektory koplanární, pokud existuje rovina, se kterou jsou rovnoběžné. Zde je logické dodat, že pokud taková rovina neexistuje, pak vektory nebudou koplanární.

Tři koplanární vektory jsou vždy lineárně závislé, to znamená, že jsou lineárně vyjádřeny přes sebe. Pro jednoduchost si znovu představme, že leží ve stejné rovině. Za prvé, vektory nejsou pouze koplanární, mohou být také kolineární, potom může být jakýkoli vektor vyjádřen prostřednictvím jakéhokoli vektoru. Ve druhém případě, pokud například vektory nejsou kolineární, pak je třetí vektor vyjádřen přes ně jedinečným způsobem: (a proč je snadné uhodnout z materiálů v předchozí části).

Opak je také pravdou: tři nekoplanární vektory jsou vždy lineárně nezávislé, to znamená, že se navzájem nevyjadřují. A samozřejmě pouze takové vektory mohou tvořit základ trojrozměrného prostoru.

Definice: Základ trojrozměrného prostoru se nazývá trojice lineárně nezávislých (nekoplanárních) vektorů, odebrané v určitém pořadí a libovolný vektor prostoru jediná možnost je rozložena na danou bázi, kde jsou souřadnice vektoru v této bázi

Připomínám, že můžeme také říci, že vektor je reprezentován ve tvaru lineární kombinace základní vektory.

Pojem souřadnicového systému je zaveden úplně stejně jako v případě roviny, stačí jeden bod a libovolné tři lineárně nezávislé vektory:

původ, A nekoplanární vektory, odebrané v určitém pořadí, sada afinní souřadnicový systém trojrozměrného prostoru :

Samozřejmě, že souřadnicová síť je „šikmá“ a nepohodlná, ale přesto nám vytvořený souřadnicový systém umožňuje rozhodně určit souřadnice libovolného vektoru a souřadnice libovolného bodu v prostoru. Podobně jako v rovině nebudou některé vzorce, které jsem již zmínil, fungovat v afinním souřadnicovém systému prostoru.

Nejznámější a nejpohodlnější speciální případ afinního souřadnicového systému, jak každý tuší, je pravoúhlý prostorový souřadnicový systém:

Bod ve vesmíru tzv původ, A ortonormální základ je nastaven Kartézský pravoúhlý prostorový souřadnicový systém . Známý obrázek:

Než přejdeme k praktickým úkolům, znovu systematizujeme informace:

Pro tři prostorové vektory jsou následující tvrzení ekvivalentní:
1) vektory jsou lineárně nezávislé;
2) vektory tvoří základ;
3) vektory nejsou koplanární;
4) vektory nelze vzájemně lineárně vyjádřit;
5) determinant, složený ze souřadnic těchto vektorů, je odlišný od nuly.

Myslím, že opačná tvrzení jsou pochopitelná.

Lineární závislost/nezávislost prostorových vektorů se tradičně kontroluje pomocí determinantu (bod 5). Zbývající praktické úkoly bude mít výrazný algebraický charakter. Je čas pověsit geometrickou hůl a ovládat baseballovou pálkou lineární algebry:

Tři vektory prostoru jsou koplanární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule: .

Upozorňuji na malý technická nuance: souřadnice vektorů lze zapisovat nejen do sloupců, ale i do řádků (hodnota determinantu se od toho nezmění - viz vlastnosti determinantů). Ale mnohem lepší je to ve sloupcích, protože je to výhodnější pro řešení některých praktických problémů.

Pro ty čtenáře, kteří trochu zapomněli na metody výpočtu determinantů, nebo jim možná vůbec nerozumějí, doporučuji jednu ze svých nejstarších lekcí: Jak vypočítat determinant?

Příklad 6

Zkontrolujte, zda následující vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru:

Řešení: Ve skutečnosti celé řešení spočívá ve výpočtu determinantu.

a) Vypočítejme determinant složený z vektorových souřadnic (determinant je uveden v prvním řádku):

, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé (nikoli koplanární) a tvoří základ trojrozměrného prostoru.

Odpovědět: tyto vektory tvoří základ

b) Toto je bod pro nezávislé rozhodnutí. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Nechybí ani kreativní úkoly:

Příklad 7

Při jaké hodnotě parametru budou vektory koplanární?

Řešení: Vektory jsou koplanární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic těchto vektorů roven nule:

V podstatě potřebujete vyřešit rovnici s determinantem. Snášíme nuly jako draci na jerboa - nejlepší je otevřít determinant ve druhém řádku a okamžitě se zbavit mínusů:

Provádíme další zjednodušení a redukujeme záležitost na nejjednodušší lineární rovnice:

Odpovědět: na

Zde je snadné to zkontrolovat; k tomu je třeba dosadit výslednou hodnotu do původního determinantu a ujistit se, že , znovu jej otevřete.

Na závěr se podívejme ještě na jednu typický úkol, který má více algebraický charakter a je tradičně zahrnut do kurzu lineární algebry. Je to tak běžné, že si zaslouží vlastní téma:

Dokažte, že 3 vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru
a najít souřadnice 4. vektoru v tomto základu

Příklad 8

Jsou uvedeny vektory. Ukažte, že vektory tvoří základ v trojrozměrném prostoru a najděte v tomto základu souřadnice vektoru.

Řešení: Nejprve se vypořádejme s podmínkou. Podle podmínky jsou dány čtyři vektory, a jak vidíte, v nějakém základu již mají souřadnice. Jaký je tento základ, nás nezajímá. A následující věc je zajímavá: tři vektory mohou dobře tvořit nový základ. A první fáze se zcela shoduje s řešením příkladu 6, je třeba zkontrolovat, zda jsou vektory skutečně lineárně nezávislé:

Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi:

, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ trojrozměrného prostoru.

! Důležité : vektorové souřadnice Nezbytně zapsat do sloupců determinant, nikoli v řetězcích. V opačném případě nastane zmatek v dalším algoritmu řešení.

Námi představený lineární operace s vektory umožňují vytvářet různé výrazy pro vektorové veličiny a transformovat je pomocí vlastností nastavených pro tyto operace.

Na základě dané sady vektorů a 1, ..., a n můžete vytvořit vyjádření tvaru

kde a 1, ..., an jsou libovolná reálná čísla. Tento výraz se nazývá lineární kombinace vektorů a 1, ..., a n. Čísla α i, i = 1, n, představují lineární kombinační koeficienty. Nazývá se také sada vektorů systém vektorů.

V souvislosti se zavedeným konceptem lineární kombinace vektorů vyvstává problém popsat množinu vektorů, kterou lze zapsat jako lineární kombinaci dané soustavy vektorů a 1, ..., a n. Kromě toho existují přirozené otázky o podmínkách, za kterých existuje zobrazení vektoru ve formě lineární kombinace, a o jedinečnosti takového zobrazení.

Definice 2.1. Volají se vektory a 1, ..., an lineárně závislé, jestliže existuje množina koeficientů α 1 , ... , α n taková, že

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

a alespoň jeden z těchto koeficientů je nenulový. Pokud zadaná množina koeficientů neexistuje, zavolají se vektory lineárně nezávislý.

Jestliže α 1 = ... = α n = 0, pak samozřejmě α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. S ohledem na to můžeme říci toto: vektory a 1, ... a n jsou lineárně nezávislé, pokud z rovnosti (2.2) vyplývá, že všechny koeficienty α 1 , ... , α n jsou rovny nule.

Následující teorém vysvětluje, proč se nový koncept nazývá termínem „závislost“ (nebo „nezávislost“), a poskytuje jednoduché kritérium pro lineární závislost.

Věta 2.1. Aby vektory a 1, ..., an, n > 1 byly lineárně závislé, je nutné a postačující, aby jeden z nich byl lineární kombinací ostatních.

◄ Nezbytnost. Předpokládejme, že vektory a 1, ..., an jsou lineárně závislé. Podle definice 2.1 lineární závislosti je v rovnosti (2.2) vlevo alespoň jeden nenulový koeficient, například α 1. Ponecháme-li první člen na levé straně rovnosti, přesuneme zbytek na pravá strana, mění svá znamení, jako obvykle. Vydělením výsledné rovnosti α 1 dostaneme

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

těch. reprezentace vektoru a 1 jako lineární kombinace zbývajících vektorů a 2, ..., a n.

Přiměřenost. Nechť například první vektor a 1 může být reprezentován jako lineární kombinace zbývajících vektorů: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Přenesením všech členů z pravé strany na levou získáme a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tzn. lineární kombinace vektorů a 1, ..., a n s koeficienty α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, rovna nulový vektor. V této lineární kombinaci nejsou všechny koeficienty nulové. Podle Definice 2.1 jsou vektory a 1, ..., an lineárně závislé.

Definice a kritérium pro lineární závislost jsou formulovány tak, aby implikovaly přítomnost dvou nebo více vektorů. Můžeme však mluvit i o lineární závislosti jednoho vektoru. Abyste si tuto možnost uvědomili, místo „vektory jsou lineárně závislé“, musíte říci „systém vektorů je lineárně závislý“. Je snadné vidět, že výraz „systém jednoho vektoru je lineárně závislý“ znamená, že tento jediný vektor je nulový (v lineární kombinaci je pouze jeden koeficient a neměl by se rovnat nule).

Pojem lineární závislosti má jednoduchý geometrický výklad. Následující tři tvrzení objasňují tento výklad.

Věta 2.2. Dva vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou kolineární.

◄ Jsou-li vektory a a b lineárně závislé, pak jeden z nich, například a, je vyjádřen prostřednictvím druhého, tzn. a = λb pro nějaké reálné číslo λ. Podle definice 1.7 funguje vektorů na číslo, vektory aab jsou kolineární.

Nechť jsou nyní vektory aab kolineární. Pokud jsou oba nulové, je zřejmé, že jsou lineárně závislé, protože jakákoli jejich lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. Nechť jeden z těchto vektorů není roven 0, například vektor b. Označme λ poměr délek vektorů: λ = |a|/|b|. Kolineární vektory mohou být jednosměrný nebo opačně zaměřené. V druhém případě změníme znaménko λ. Potom při kontrole Definice 1.7 jsme přesvědčeni, že a = λb. Podle věty 2.1 jsou vektory a a b lineárně závislé.

Poznámka 2.1. V případě dvou vektorů, s přihlédnutím ke kritériu lineární závislosti, lze dokázanou větu přeformulovat následovně: dva vektory jsou kolineární právě tehdy, když jeden z nich je reprezentován jako součin druhého číslem. Toto je vhodné kritérium pro kolinearitu dvou vektorů.

Věta 2.3. Tři vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou koplanární.

◄ Jsou-li tři vektory a, b, c lineárně závislé, pak podle věty 2.1 je jeden z nich, například a, lineární kombinací ostatních: a = βb + γс. Spojme počátky vektorů b a c v bodě A. Pak budou mít vektory βb, γс společný počátek v bodě A a podél podle pravidla rovnoběžníku je jejich součet těch. vektor a bude vektor s počátkem A a konec, což je vrchol rovnoběžníku postaveného na složkových vektorech. Všechny vektory tedy leží ve stejné rovině, tj. koplanární.

Nechť vektory a, b, c jsou koplanární. Pokud je jeden z těchto vektorů nulový, bude to samozřejmě lineární kombinace ostatních. Stačí vzít všechny koeficienty lineární kombinace rovné nule. Můžeme tedy předpokládat, že všechny tři vektory nejsou nulové. Kompatibilní začala těchto vektorů ve společném bodě O. Nechť jejich konce jsou body A, B, C, resp. (obr. 2.1). Bodem C vedeme přímky rovnoběžné s přímkami procházejícími dvojicemi bodů O, A a O, B. Označením průsečíků jako A" a B" získáme rovnoběžník OA"CB", tedy OC" = OA" + OB". Vektor OA" a nenulový vektor a = OA jsou kolineární, a proto první z nich lze získat vynásobením druhého reálným číslem α:OA" = αOA. Podobně OB" = βOB, β ∈ R. Výsledkem je, že OC" = α OA + βOB, tj. vektor c je lineární kombinací vektorů a a b. Podle věty 2.1 jsou vektory a, b, c lineárně závislé.

Věta 2.4. Jakékoli čtyři vektory jsou lineárně závislé.

◄ Důkaz provedeme podle stejného schématu jako ve větě 2.3. Uvažujme libovolné čtyři vektory a, b, c a d. Pokud je jeden ze čtyř vektorů nula nebo jsou mezi nimi dva kolineární vektory nebo tři ze čtyř vektorů jsou koplanární, pak jsou tyto čtyři vektory lineárně závislé. Pokud jsou například vektory a a b kolineární, pak můžeme vytvořit jejich lineární kombinaci αa + βb = 0 s nenulovými koeficienty a poté k této kombinaci přidat zbývající dva vektory, přičemž jako koeficienty vezmeme nuly. Získáme lineární kombinaci čtyř vektorů rovných 0, ve kterých jsou nenulové koeficienty.

Můžeme tedy předpokládat, že mezi vybranými čtyřmi vektory není žádný vektor nula, žádné dva nejsou kolineární a žádné tři nejsou koplanární. Za jejich společný začátek zvolíme bod O. Pak konce vektorů a, b, c, d budou nějaké body A, B, C, D (obr. 2.2). Bodem D vedeme tři roviny rovnoběžné s rovinami OBC, OCA, OAB a průsečíky těchto rovin nechť A", B", C" s přímkami OA, OB, OS, resp. rovnoběžnostěn OA" C "B" C" B"DA" a na jeho hranách vycházejících z vrcholu O leží vektory a, b, c. Protože čtyřúhelník OC"DC" je rovnoběžník, pak OD = OC" + OC". Segment OC" je zase diagonální rovnoběžník OA"C"B", takže OC" = OA" + OB" a OD = OA" + OB" + OC" .

Zbývá poznamenat, že dvojice vektorů OA ≠ 0 a OA" , OB ≠ 0 a OB" , OC ≠ 0 a OC" jsou kolineární, a proto je možné zvolit koeficienty α, β, γ tak, OA" = aOA, OB" = pOB a OC" = yOC. Nakonec dostaneme OD = αOA + βOB + γOC. V důsledku toho je vektor OD vyjádřen prostřednictvím dalších tří vektorů a všechny čtyři vektory jsou podle věty 2.1 lineárně závislé.

Nazývá se vektorový systém lineárně závislé, pokud existují čísla, mezi nimiž se alespoň jedno liší od nuly, takže rovnost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Pokud je tato rovnost splněna pouze v případě, kdy all , pak se zavolá systém vektorů lineárně nezávislý.

Teorém. Vektorový systém bude lineárně závislé právě tehdy, když alespoň jeden z jeho vektorů je lineární kombinací ostatních.

Příklad 1. Polynom je lineární kombinace polynomů https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polynomy tvoří lineárně nezávislý systém, protože polynom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Příklad 2 Maticový systém, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je lineárně nezávislý, protože lineární kombinace je rovna nulová matice pouze v případě, že https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineárně závislé.

Řešení.

Udělejme lineární kombinaci těchto vektorů https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" výška=" 22">.

Když vyrovnáme stejné souřadnice stejných vektorů, dostaneme https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Konečně se dostáváme

A

Systém má jedinečné triviální řešení, takže lineární kombinace těchto vektorů je rovna nule pouze v případě, kdy jsou všechny koeficienty rovny nule. Proto je tento systém vektorů lineárně nezávislý.

Příklad 4. Vektory jsou lineárně nezávislé. Jaké budou vektorové systémy?

A).;

b).?

Řešení.

A). Udělejme lineární kombinaci a srovnejme ji s nulou

Pomocí vlastností operací s vektory v lineárním prostoru přepíšeme poslední rovnost ve formuláři

Protože vektory jsou lineárně nezávislé, koeficienty at se musí rovnat nule, tj..gif" width="12" height="23 src=">

Výsledný systém rovnic má jedinečné triviální řešení .

Od rovnosti (*) provede se pouze tehdy, když https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineárně nezávislé;

b). Udělejme rovnost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplikováním podobné úvahy dostáváme

Řešením soustavy rovnic Gaussovou metodou získáme

nebo

Druhý systém má nekonečné množství řešení https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Existuje tedy ne nulová množina koeficientů, pro které platí rovnost (**) . Proto systém vektorů – lineárně závislé.

Příklad 5 Systém vektorů je lineárně nezávislý a systém vektorů je lineárně závislý..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

V rovnosti (***) . Ve skutečnosti by byl systém lineárně závislý.

Ze vztahu (***) dostaneme nebo Označme .

Dostaneme

Úlohy k samostatnému řešení (ve třídě)

1. Systém obsahující nulový vektor je lineárně závislý.

2. Systém skládající se z jednoho vektoru A, je lineárně závislý právě tehdy, když, a=0.

3. Systém sestávající ze dvou vektorů je lineárně závislý právě tehdy, když jsou vektory proporcionální (to znamená, že jeden z nich se získá od druhého vynásobením číslem).

4. Pokud přidáte vektor k lineárně závislému systému, dostanete lineárně závislý systém.

5. Pokud je vektor odstraněn z lineárně nezávislého systému, pak je výsledný systém vektorů lineárně nezávislý.

6. Pokud systém S je lineárně nezávislý, ale stane se lineárně závislým při přidání vektoru b, pak vektor b lineárně vyjádřený systémovými vektory S.

C). Systém matic , , v prostoru matic druhého řádu.

10. Nechť systém vektorů A,b,C vektorový prostor je lineárně nezávislý. Prokázat lineární nezávislost následující systémy vektory:

A).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– libovolné číslo

C).a+b, a+c, b+c.

11. Nechat A,b,C– tři vektory v rovině, ze kterých lze sestavit trojúhelník. Budou tyto vektory lineárně závislé?

12. Jsou dány dva vektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Najděte další dva čtyřrozměrné vektory a3 aa4 takže systém a1,a2,a3,a4 byl lineárně nezávislý .