V této části se budeme zabývat úkoly souvisejícími s různé systémy souřadnice dělením segmentu v daném poměru.
Souřadnice bodů jsou uvedeny: A(4; 3), V(7; 6), S(2; 11). Dokažme, že trojúhelník ABC obdélníkový.
Najděte délky stran trojúhelníku ABC. K tomuto účelu používáme vzorec, který nám umožňuje najít vzdálenost mezi dvěma body v rovině:
Délky stran budou stejné:
Vzhledem k tomu, že pro strany tohoto trojúhelníku platí Pythagorova věta
pak trojúhelník ABC– obdélníkový.
Body se dávají A(2; 1) a V(8; 4). Najděte souřadnice bodu M(X; na), který rozděluje segment v poměru 2:1.
Připomeňme si to M(X; na) rozděluje segment AB, Kde A(X A , y A), B(X B , y B), ve vztahu k λ: μ, pokud jeho souřadnice splňují podmínky:
,
.
Pojďme najít bod M pro daný segment
,
.
Takže pointa M(6; 3) rozděluje segment AB v poměru 2:1.
Najděte pravoúhlé souřadnice bodu A(
3π/4), pokud se pól shoduje s počátkem souřadnic a polární osa směřuje podél osy úsečky.
Zohlednění vzorců pro přechod z polárních na pravoúhlé souřadnicové systémy
X = r cosφ, y = r sinφ,
dostaneme
,
.
V pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému jsou souřadnice bodu A(–2; 2).
Pojďme najít polární souřadnice bodů, které mají následující pravoúhlé souřadnice:
A(
;
2),V(–4;
4), S(–7;
0).
Pro přechod z pravoúhlých souřadnic na polární používáme vzorce:
,
.
Pojďme získat souřadnice bodu A:
,
.
Tím pádem A(4; π/6) – polární souřadnice (obr. 15).
Za bod V(obr. 16) máme
,
.
Proto polární souřadnice bodu V(
, 3π/4).
Zvažte pointu S(–7; 0) (obr. 17). V tomto případě
,
,
.
Můžete napsat polární souřadnice bodu S(7; π).
Zjistíme délku vektoru A = 20i + 30j – 60k a jeho směrové kosiny.
Připomeňme, že směrové kosiny jsou kosiny úhlů, které jsou vektorové A (A 1 , A 2 , A 3) tvoří se souřadnicovými osami:
,
,
,
Kde 
.
Aplikováním těchto vzorců na tento vektor dostaneme
,
.
Vektor normalizujeme A = 3i + 4j – 12k .
Normalizovat vektor znamená najít vektor jednotkové délky A
0, směrovaný stejným způsobem jako tento vektor. Pro libovolný vektor A
(A 1 ,
A 2 ,
A 3) odpovídající vektor jednotkové délky lze najít násobením A
na zlomek 
.
.
V našem případě vektor jednotkové délky:
.
Pojďme najít skalární součin vektorů
A = 4i + 5j + 6k A b = 3i – 4j + k .
Abyste našli skalární součin vektorů, musíte vynásobit odpovídající souřadnice a výsledné součiny sečíst. Takže pro vektory A = A 1 i + A 2 j + A 3 k A b = b 1 i + b 2 j + b 3 k skalární součin má tvar:
(A , b ) = A 1 b 1 + A 2 b 2 + A 3 b 3 .
Pro tyto vektory dostáváme
(A , b ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Ukažme, že vektory A = 2i – 3j + 5k A b = i + 4j + 2k kolmý.
Dva vektory jsou kolmé, pokud je jejich bodový součin nula.
Pojďme najít skalární součin:
(A , b ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Tedy vektory A A b kolmý.
Pojďme zjistit, na jaké hodnotě parametru m vektory A = 2i + 3j + mk A b = 3i + mj – 2k kolmý.
Pojďme najít skalární součin vektorů A A b :
(A , b ) = 2∙3 + 3∙m – 2∙m = 6 + m.
Vektory jsou kolmé, pokud je jejich skalární součin nula. Rovnáme se nule produktu ( A , b ):
6 + m = 0.
Na m= – 6 vektorů A A b kolmý.
Příklad 10.
Pojďme najít skalární součin (3 A + 4b , 2A – 3b ), pokud | A | = 2, |b | = 1 a úhel φ mezi A A b rovná se π/3.
Využijme vlastnosti skalárního součinu:
(α A , β b ) = αβ( A , b ),
(A + b , C ) = (A , C ) + (b , C ),
(A , b ) = (b , A )
(A , A ) = |A | 2 ,
stejně jako definice skalárního součinu ( A , b ) = |A |∙|b |∙cosφ. Přepišme skalární součin do tvaru
(3A + 4b , 2A – 3b ) = 6(A , A ) – 9(A , b ) + 8(b , A ) – 12(b , b ) =
6|A | 2 – (A , b ) – 12|b | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Příklad 11.
Určíme úhel mezi vektory
A = i + 2j + 3k A b = 6i + 4j – 2k .
K nalezení úhlu použijeme definici skalárního součinu dvou vektorů
(A , b ) = |A |∙|b |∙cosφ,
kde φ je úhel mezi vektory A A b . Vyjádřeme cosφ z tohoto vzorce
.
Vezmeme-li v úvahu, že ( A
,
b
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, dostaneme:
.
Proto, 
.
Příklad 12.
A = 5i – 2j + 3k A b = i + 2j – 4k .
Je známo, že vektorový součin vektorů A = A 1 i + A 2 j + A 3 k A b = b 1 i + b 2 j + b 3 k se zjistí podle vzorce
.
Proto pro tyto vektory
2i + 23j + 12k .
Uvažujme příklad, kdy pro zjištění modulu vektorového součinu bude použita definice vektorového součinu, a nikoli jeho vyjádření pomocí souřadnic faktorů, jak tomu bylo v předchozím příkladu.
Příklad 13.
Pojďme najít modul vektorového součinu vektorů A + 2b a 2 A – 3b , pokud | A | = 1, |b | = 2 a úhel mezi vektory A A b rovný 30°.
Z definice vektorového součinu je zřejmé, že pro libovolné vektory A A b jeho modul je
|[A , b ] | = |A | ∙ |b | ∙ hřích φ.
Zohlednění vlastností vektorového součinu
[A , b ] = – [b , A ],
[A , A ] = 0,
[α A + β b , C ] = α[ A , C ] + β[ b , C ],
dostaneme
[A + 2b , 2A – 3b ] = 2[A , A ] – 3[A , b ] + 4[b , A ] – 6[b , b ] = –7[A , b ].
To znamená, že modul vektorového součinu je roven
|[A + 2b , 2A – 3b ]| = |–7[A , b ]| = 7 ∙ |A | ∙ |b | ∙ hřích 30° = 7∙1∙2∙0,5 = 7.
Příklad 14.
Pojďme vypočítat plochu rovnoběžníku postaveného na vektorech
A = 6i + 3j – 2k A b = 3i – 2j + 6k .
Je známo, že modul vektorového součinu dvou vektorů rovná ploše paralelogram konstruovaný na těchto vektorech. Pojďme najít vektorový součin pomocí vzorce:
,
Kde A = A 1 i + A 2 j + A 3 k A b = b 1 i + b 2 j + b 3 k . Poté vypočítáme jeho modul.
Pro tyto vektory dostáváme
14i – 42j – 21k .
Proto je plocha rovnoběžníku
S = |[A , b ]| = (čtverečních jednotek).
Příklad 15.
Vypočítejte obsah trojúhelníku s vrcholy A(1;2;1), V(3;3;4), S(2;1;3).
Je zřejmé, že oblast trojúhelníku ABC rovná polovině plochy rovnoběžníku postaveného na vektorech 
A 
.
Na druhé straně je plocha rovnoběžníku postavená na vektorech 
A 
, se rovná modulu vektorového součinu [ 
]. Tím pádem
|[
]|.
Najdeme souřadnice vektorů 
A 
, odečtením odpovídajících souřadnic začátku od souřadnic konce vektoru, získáme
= (3 –
1)i
+ (3 – 2)j
+ (4 – 1)k
= 2i
+ j
+ 3k
,
= (2 –
1)i
+ (1 – 2)j
+ (3 – 1)k
= i
– j
+ 2k
.
Pojďme najít vektorový produkt:
[
,
]
=
5i
– j
– 3k
.
Pojďme najít modul vektorového produktu:
|[
]|
=
.
Proto můžeme získat oblast trojúhelníku:
(čtverečních jednotek).
Příklad 16.
Pojďme vypočítat plochu rovnoběžníku postaveného na vektorech A + 3b a 3 A – b , pokud | A | = 2, |b | = 1 a úhel mezi A A b rovný 30°.
Nalezneme modul vektorového součinu pomocí jeho definice a vlastností uvedených v příkladu 13, dostaneme
[A + 3b , 3A – b ] = 3[A , A ] – [A , b ] + 9[b , A ] – 3[b , b ] = –10[A , b ].
To znamená, že požadovaná plocha se rovná
S = |[A + 3b , 3A – b ]| = |–10[A , b ]| = 10 ∙ |A | ∙ |b | ∙ hřích 30° =
10∙2∙1∙0,5 = 10 (čtverečních jednotek).
Následující příklady budou zahrnovat použití smíšeného produktu vektorů.
Příklad 17.
Ukažte, že vektory A = i + 2j – k , b = 3i + k A S = 5i + 4j – k koplanární.
Vektory jsou koplanární, pokud je jejich smíšený součin nulový. Pro libovolné vektory
A = A 1 i + A 2 j + A 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , C = C 1 i + C 2 j + C 3 k
namíchaný produkt najdeme podle vzorce:
.
Pro tyto vektory dostáváme
.
Tyto vektory jsou tedy koplanární.
Najděte objem trojúhelníkového jehlanu s vrcholy A(1;1;1), V(3;2;1), S(2;4;3), D(5;2;4).
Najdeme souřadnice vektorů 
,
A 
, které se shodují s okraji pyramidy. Odečtením odpovídajících souřadnic začátku od souřadnic konce vektoru získáme
= 2i
+ 3j
,
= i
+ 3j
+ 2k
,
= 4i
+ j
+ 3k
.
Je známo, že objem pyramidy je roven 1/6 objemu rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech 
,
A 
. Tím pádem,
.
Na druhé straně je objem rovnoběžnostěnu roven modulu smíšeného produktu
PROTI paralelní
= |(
,
,
)|.
Pojďme najít smíšený produkt
(
,
,
)
=
.
Takže objem pyramidy je
(kubické jednotky).
Na následujících příkladech si ukážeme možné aplikace vektorové algebry.
Příklad 19.
Zkontrolujeme, zda jsou vektory 2 kolineární A + b A A – 3b , Kde A = 2i + j – 3k A b = i + 2j + 4k .
Najdeme souřadnice vektorů 2 A + b A A – 3b :
2A + b = 2(2i + j – 3k ) + i + 2j + 4k = 5i + 4j – 2k ,
A – 3b = 2i + j – 3k – 3(i + 2j + 4k ) = –i – 5j – 15k .
Je známo, že kolineární vektory mají proporcionální souřadnice. Vezmeme-li v úvahu, že
,
zjistíme, že existují 2 vektory A + b A A – 3b nekolineární.
Tento problém se dal vyřešit i jinak. Kritériem pro kolinearitu vektorů je rovnost vektorového součinu k nule:
2[A , A ] – 6[A , b ] + [b , A ] – 3[b , b ] = –7[A , b ].
Pojďme najít vektorový součin vektorů A A b :
10i – 11j + 3k ≠ 0.
Proto,
= –7[A , b ] ≠ 0
a vektory 2 A + b A A – 3b nekolineární.
Příklad 20.
Pojďme najít dílo síly F (3; 2; 1), kdy je bod jeho uplatnění A(2; 4;–6), pohybující se přímočaře, se pohybuje k bodu V(5; 2; 3).
Je známo, že dílo síly je skalárním součinem síly F
k vektoru posunutí 
.
Najdeme souřadnice vektoru 
:
= 3i
– 2j
+ 9k
.
Proto práce síly F posunutím bodu A přesně V se bude rovnat skalárnímu součinu
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Příklad 21.
Květen síla F (2;3;–1) se aplikuje do bodu A(4;2;3). Pod silou F tečka A přesune do bodu V(3;1;2). Najdeme modul momentu síly F vzhledem k bodu V.
Je známo, že moment síly je roven vektorovému součinu síly a posunutí. Pojďme najít vektor posunutí 
:
= (3 –
4)i
+
(1 – 2)j
+ (2 – 3)k
= – i
–
j
– k
.
Pojďme najít moment síly jako vektorový součin:
= – 4i + 3j + k .
Proto je modul momentu síly roven modulu vektorového součinu:
|[F
,
]|
=
.
60) Je dána soustava vektorů a =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). Prozkoumejte to dál lineární závislost.
a) Systém vektorů je lineárně závislý;
b) Systém vektorů je lineárně nezávislý;
c) neexistuje správná odpověď.
61) Prozkoumejte vektorový systém
a =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) na lineární vztah.
a) soustava vektorů je lineárně nezávislá;
b) soustava vektorů je lineárně závislá;
c) neexistuje správná odpověď.
62) Je soustava vektorů a =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =( , 1) lineárně závislé?
a) ne, není;
b) ano, je.
63) Je vektor vyjádřen b =(2, -1, 3) přes vektorový systém = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) ne, nevyjádřeno;
b) ano, je to vyjádřeno.
64) Prozkoumejte soustavu vektorů pro lineární závislost
a = , b = , c = .
a) lineárně nezávislý;
b) lineárně závislé;
c) neexistuje správná odpověď.
65) Prozkoumejte soustavu vektorů pro lineární závislost
a = , b = , c =
a) lineárně nezávislý;
b) lineárně závislé;
c) neexistuje správná odpověď.
66) Je soustava vektorů lineárně závislá?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) lineárně závislý;
b) lineárně nezávislé;
c) neexistuje správná odpověď.
67) Nechť je počet lineárně nezávislých řádků matice roven m a počet lineárně nezávislých sloupců matice roven n. Vyberte správné tvrzení.
d) odpověď závisí na matici.
68) Bázové vektory lineárního prostoru jsou
a) lineárně závislý;
b) lineárně nezávislé;
c) odpověď závisí na konkrétním základě.
69) co je vektor?
a) jedná se o paprsek, který ukazuje směr pohybu
b) jedná se o směrovaný segment se začátkem v bodě A a koncem v bodě B, který se může pohybovat rovnoběžně sám se sebou
c) toto je údaj, který se skládá z mnoha bodů, které jsou od sebe stejně vzdálené.
d) jedná se o úsečku se začátkem v bodě A a koncem v bodě B, kterou nelze posouvat rovnoběžně se sebou
70) Je-li lineární kombinace 1 + 2 +….+ƛ r může představovat nulový vektor mezi čísly ƛ 1,ƛ 2,…,ƛ r existuje alespoň jeden nenulový, pak soustava vektorů a 1, a 2,…., a str volal:
a) lineárně nezávislý;
b) lineárně závislé;
c) triviální;
d) netriviální.
71) Je-li lineární kombinace 1 + 2 +….+ƛ r představuje nulový vektor pouze tehdy, když jsou všechna čísla ƛ 1,ƛ 2,…,ƛ r jsou rovny nule, pak soustava vektorů a 1, a 2,…., a str volal:
a) lineárně nezávislý;
b) lineárně závislé;
c) triviální;
d) netriviální.
72) Základem vektorového prostoru je takový systém vektorů, který je specifikován v určitém pořadí a splňuje podmínky:
a) Systém je lineárně nezávislý;
b) Libovolný vektor prostoru je lineární kombinací daného systému;
c) Oba jsou správně;
d) Oba jsou nesprávné.
73) Podmnožina prostoru R n, která má vlastnost být uzavřená s ohledem na operace sčítání a násobení čísly, se nazývá:
a) Lineární předprostor prostoru Rn;
b) projekce prostoru R n ;
c) Lineární podprostor prostoru Rn;
d) neexistuje správná odpověď.
74) Pokud konečný systém vektorů obsahuje lineárně závislý subsystém, pak:
a) Lineárně závislé;
b) lineárně nezávislé;
75) Je-li soustava lineární závislý vektor přidejte jeden nebo více vektorů, výsledný systém bude:
a) Lineárně závislé;
b) lineárně nezávislé;
c) Ani lineárně závislé, ani lineárně nezávislé.
76) Tři vektory se nazývají koplanární, pokud:
a) Leží na rovnoběžných přímkách;
b) Leží na stejné přímce;
c) lineárně nezávislý;
d) Leží v rovnoběžných rovinách;
77) Dva vektory se nazývají kolineární, pokud:
a) Leží ve stejné rovině;
b) Leží v rovnoběžných rovinách;
c) lineárně nezávislý;
d) Leží na rovnoběžných liniích;
78) Aby byly dva vektory lineárně závislé, je nutné, aby byly:
a) zajištění;
b) koplanární;
c) lineárně nezávislý;
d) Neexistuje žádná správná možnost.
79) součin vektoru a=(A 1 ,A 2 ,A 3) číslo se nazývá vektor b, rovnat se
A) ( A 1 , A 2 , A 3)
b) (+ A 1 , +a 2 , +a 3)
V) ( /A 1 , /A 2 , /A 3)
80) leží-li dva vektory na stejné čáře, pak takové vektory jsou
a) rovné
b) spolurežírovaný
c) kolineární
d) opačně zaměřené
81) skalární součin vektorů je roven
a) součin jejich délek;
b) součin jejich délek kosinusem úhlu mezi nimi;
c) součin jejich délek sinem úhlu mezi nimi;
d) součin jejich délek tečnou úhlu mezi nimi;
82) součin vektoru A volal sám sebe
a) délka vektoru A
b) skalární čtverec vektoru A
c) vektorový směr A
d) neexistuje správná odpověď
83) je-li součin vektorů roven 0, pak se takové vektory nazývají
a) kolineární
b) spolurežírovaný
c) ortogonální
d) paralelní
84) délka vektoru je
a) jeho skalární čtverec
b) odmocnina jeho skalárního čtverce
c) součet jeho souřadnic
d) rozdíl mezi souřadnicemi konce a začátku vektoru
85) jaká jsou pravidla pro nalezení součtu vektorů (více odpovědí)
a) pravidlo trojúhelníku
b) pravidlo kruhu
c) pravidlo rovnoběžníku
d) Gaussovo pravidlo
e) pravidlo mnohoúhelníku
f) pravidlo obdélníku
86) pokud bod A se shoduje s pointou V, pak se zavolá vektor
a) jednotkový vektor
c) nulový vektor
d) triviální vektor
87), aby byly dva vektory kolineární, je to nutné
a) jejich souřadnice byly stejné
b) jejich souřadnice byly úměrné
c) jejich souřadnice byly opačné
d) jejich souřadnice byly rovné 0
88) jsou dány dva vektory a=2m+4n a b=m-n, kde m a n jsou jednotkové vektory svírající úhel 120 0. Najděte úhel mezi vektory a a b.
89) V rovině jsou dány dva jednotkové vektory m a n. Je známo, že úhel mezi nimi je 60 stupňů. Najděte délku vektoru a=m+2n (zaokrouhlete odpověď na 0,1)
90) Najděte úhel mezi úhlopříčkami rovnoběžníku postaveného na vektorech a=-4k a b=2i+j
91) jsou uvedeny délky vektorů |a|=2, |b|=3, |a-b|=1. Definujte |a+b|
92) Jsou dány tři vektory: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). Najděte souřadnice vektoru p=2a-b+c.
93) Najděte délku vektoru a=2i+3j-6k.
94) při jaké hodnotě λ jsou vektory a=λi-3j+2k a b=i+2j-λk kolmé?
95) Jsou dány vektory a=6i-4j+k a b=2i-4j+k. Najděte úhel tvořený vektor a-b s osou Oz.
96) Dané vektory = (4; –2; –6) a = (–3; 4; –12). Najděte projekci vektoru A k vektorové ose b.
97) Najděte úhel A trojúhelník s vrcholy A (–1; 3; 2), V(3; 5; –2) a
S(3; 3; –1). Zadejte svou odpověď jako 15cos A.
98) Najděte druhou mocninu modulu vektoru 
, kde a jsou jednotkové vektory svírající úhel 60 o.
99) Najděte bodový produkt 
A 
100) Jsou dány body A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). Určete typ čtyřúhelníku ABCD.
a) rovnoběžné;
b) obdélník;
c) lichoběžník;
101) Vektor = (3; 4) se rozloží na vektory = (3; –1) a = (1; –2). Zvolte správný rozklad.
