S maticí A, pokud existuje číslo l takové, že AX = lX.

V tomto případě se volá číslo l vlastní hodnota operátor (matice A) odpovídající vektoru X.

Jinými slovy, vlastní vektor je vektor, který se působením lineárního operátoru transformuje na vektor kolineární, tzn. stačí vynásobit nějakým číslem. Naproti tomu nevhodné vektory jsou složitější na transformaci.

Zapišme si definici vlastního vektoru ve formě soustavy rovnic:

Přesuňme všechny termíny na levou stranu:

Druhý systém lze zapsat v maticové formě takto:

(A - lE)X = O

Výsledná soustava má vždy nulové řešení X = O. Nazývají se takové soustavy, ve kterých jsou všechny volné členy rovny nule homogenní. Pokud je matice takového systému čtvercová a její determinant není roven nule, pak pomocí Cramerových vzorců vždy dostaneme jedinečné řešení - nulu. Lze dokázat, že systém má nenulová řešení právě tehdy, když je determinant této matice roven nule, tzn.

|A - lE| = = 0

Tato rovnice s neznámým l se nazývá charakteristická rovnice (charakteristický polynom) matice A (lineární operátor).

Lze prokázat, že charakteristický polynom lineárního operátoru nezávisí na volbě báze.

Najdeme například vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru definovaného maticí A = .

Chcete-li to provést, pojďme skládat charakteristická rovnice|A - lE| = = (1 - 1) 2 - 36 = 1 - 2 1 + 1 2 - 36 = 1 2 - 21 - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; vlastní čísla l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l2 = (2 + 12)/2 = 7.

Abychom našli vlastní vektory, řešíme dvě soustavy rovnic

(A + 5E) X = O

(A-7E)X = O

Pro první z nich má formu expandovaná matice

,

odkud x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = -(2/3)s, tj. X(1) = (-(2/3)s; s).

Pro druhý z nich má formu expandovaná matice

,

kde x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, tzn. X(2) = ((2/3)si; s1).

Vlastními vektory tohoto lineárního operátoru jsou tedy všechny vektory tvaru (-(2/3)с; с) s vlastní hodnotou (-5) a všechny vektory tvaru ((2/3)с 1 ; с 1) s vlastní hodnota 7.

Lze prokázat, že matice operátoru A v bázi skládající se z jeho vlastních vektorů je diagonální a má tvar:

,

kde l i jsou vlastní čísla této matice.

Platí to i obráceně: je-li matice A v nějaké bázi diagonální, pak všechny vektory této báze budou vlastními vektory této matice.

Lze také dokázat, že pokud má lineární operátor n párově odlišných vlastních čísel, pak jsou příslušné vlastní vektory lineárně nezávislé a matice tohoto operátoru v odpovídající bázi má diagonální tvar.

Ilustrujme si to na předchozím příkladu. Vezměme libovolné nenulové hodnoty c a c 1, ale takové, že vektory X (1) a X (2) jsou lineárně nezávislé, tzn. by tvořily základ. Nechť například c = c 1 = 3, pak X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Pojďme se přesvědčit lineární nezávislost tyto vektory:

12 ≠ 0. V tomto novém základu bude mít matice A tvar A * = .

Abychom to ověřili, použijeme vzorec A * = C -1 AC. Nejprve najdeme C -1.

C-1 = ;

Kvadratické tvary

Kvadratický tvar f(x 1, x 2, x n) z n proměnných se nazývá součet, jehož každý člen je buď druhou mocninou jedné z proměnných, nebo součinem dvou různých proměnných, braný s určitým koeficientem: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Zavolá se matice A složená z těchto koeficientů matice kvadratická forma. To je vždy symetrický matice (tj. matice symetrická k hlavní diagonále, a ij = a ji).

V maticovém zápisu je kvadratická forma f(X) = X T AX, kde

Vskutku

Zapišme například kvadratickou formu v maticovém tvaru.

K tomu najdeme matici kvadratického tvaru. Jeho diagonální prvky se rovnají koeficientům druhých mocnin proměnných a zbývající prvky se rovnají polovinám odpovídajících koeficientů kvadratické formy. Proto

Maticový sloupec proměnných X nechť získáme nedegenerovanou lineární transformací maticového sloupce Y, tzn. X = CY, kde C je nesingulární matice n-tého řádu. Pak kvadratická forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (CT AC)Y.

Při nedegenerované lineární transformaci C tedy matice kvadratického tvaru nabývá tvaru: A * = CT AC.

Nalezněme například kvadratickou formu f(y 1, y 2), získanou z kvadratické formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineární transformací.

Kvadratická forma se nazývá kanonický(Má to kanonický pohled), jestliže všechny jeho koeficienty a ij = 0 pro i ≠ j, tzn.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Jeho matrice je diagonální.

Teorém(zde není uveden důkaz). Libovolná kvadratická forma může být redukována na kanonickou formu pomocí nedegenerované lineární transformace.

Například zredukujme kvadratickou formu na kanonickou formu
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

K tomu nejprve vybereme dokonalý čtverec s proměnnou x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nyní vybereme úplný čtverec s proměnnou x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) + (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Potom nedegenerovaná lineární transformace y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 a y 3 = x 3 přivede tuto kvadratickou formu do kanonické formy f(y 1, y 2 , y3) = 2y12 - 5y22 + (1/20)y32.

Všimněte si, že kanonická forma kvadratické formy je určena nejednoznačně (stejná kvadratická forma může být redukována na kanonickou formu různé způsoby). Nicméně přijaté různé způsoby kanonické formy mají řadu obecných vlastností. Zejména počet členů s kladnými (zápornými) koeficienty kvadratické formy nezávisí na způsobu redukce tvaru na tento tvar (např. v uvažovaném příkladu budou vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Tato vlastnost se nazývá zákon setrvačnosti kvadratických forem.

Ověřte si to tím, že převedeme stejnou kvadratickou formu do kanonické formy jiným způsobem. Začněme transformaci s proměnnou x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, kde y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 a y3 = x 1. Zde je záporný koeficient -3 pro y 1 a dva kladné koeficienty 3 a 2 pro y 2 a y 3 (a jinou metodou jsme dostali záporný koeficient (-5) pro y 2 a dva kladné: 2 pro y 1 a 1/20 v y 3).

Je třeba také poznamenat, že hodnost matice kvadratické formy, tzv hodnost kvadratické formy, je roven počtu nenulových koeficientů kanonické formy a při lineárních transformacích se nemění.

Nazývá se kvadratická forma f(X). pozitivně (negativní) určitý, je-li pro všechny hodnoty proměnných, které se současně nerovnají nule, kladné, tzn. f(X) > 0 (negativní, tj.
f(X)< 0).

Například kvadratická forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je kladně definitní, protože je součet čtverců a kvadratická forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporně definitní, protože představuje to může být reprezentováno jako f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Ve většině praktických situací je poněkud obtížnější stanovit určité znaménko kvadratické formy, proto k tomu použijeme jednu z následujících vět (formulujeme je bez důkazu).

Teorém. Kvadratická forma je kladně (záporná) definitní tehdy a jen tehdy, když jsou všechna vlastní čísla její matice kladná (záporná).

Teorém(Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je pozitivně definitní tehdy a jen tehdy, když jsou všechny vedoucí minority matice této formy kladné.

Hlavní (rohová) vedlejší Matice k-tého řádu A n-tého řádu se nazývá determinant matice, složený z prvních k řádků a sloupců matice A ().

Všimněte si, že u záporných určitých kvadratických forem se střídají znaménka hlavních minoritních skupin a minoritní skupina prvního řádu musí být záporná.

Prozkoumejme například kvadratickou formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pro určení znaménka.

= (2 - l)*
*(3 - 1) - 4 = (6 - 2 1 - 3 1 + 1 2) - 4 = 1 2 - 5 1 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Proto je kvadratická forma pozitivně definitní.

Metoda 2. Hlavní moll 1. řádu matice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavní moll 2. řádu D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Podle Sylvesterova kritéria je tedy kvadratická forma pozitivní definitivní.

Zkoumáme další kvadratickou formu na definitivnost znaménka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Sestrojme matici kvadratického tvaru A = . Charakteristická rovnice bude mít tvar = (-2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (6 + 21 + 31 + 1 2) - 4 = 12 + 51 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Proto je kvadratická forma negativně definitní.

Metoda 2. Hlavní moll 1. řádu matice A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. V důsledku toho je podle Sylvesterova kritéria kvadratická forma negativně definitní (znaky hlavních vedlejších se střídají, počínaje mínusem).

A jako další příklad zkoumáme znaménkový kvadratický tvar f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Sestrojme matici kvadratického tvaru A = . Charakteristická rovnice bude mít tvar = (2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (-6 - 21 + 31 + 1 2) - 4 = 12 + 1 - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Jedno z těchto čísel je záporné a druhé kladné. Znaky vlastních hodnot jsou různé. V důsledku toho nemůže být kvadratická forma ani záporně, ani pozitivně definitní, tzn. tato kvadratická forma není znaménková (může nabývat hodnot jakéhokoli znaménka).

Metoda 2. Hlavní moll 1. řádu matice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavní moll 2. řádu D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

SYSTÉM HOMOGENNÍCH LINEÁRNÍCH ROVNIC

Systém homogenní lineární rovnice nazývaný systém formuláře

Je jasné, že v tomto případě , protože všechny prvky jednoho ze sloupců v těchto determinantech jsou rovny nule.

Protože neznámé se nalézají podle vzorců , pak v případě, kdy Δ ≠ 0, má systém jedinečné nulové řešení X = y = z= 0. V mnoha problémech je však zajímavá otázka, zda homogenní systém jiná řešení než nula.

Teorém. Aby byl lineární systém homogenní rovnice měl nenulové řešení, je nutné a postačující, aby Δ ≠ 0.

Pokud je tedy determinant Δ ≠ 0, pak má systém jedinečné řešení. Je-li Δ ≠ 0, pak má soustava lineárních homogenních rovnic nekonečný počet řešení.

Příklady.

Vlastní vektory a vlastní hodnoty matice

Nechť je dána čtvercová matice , X– nějaký maticový sloupec, jehož výška se shoduje s řádem matice A. .

V mnoha úlohách musíme uvažovat rovnici pro X

kde λ je určité číslo. Je jasné, že pro libovolné λ má tato rovnice nulové řešení.

Číslo λ, pro které má tato rovnice nenulová řešení, se nazývá vlastní hodnota matrice A, A X neboť takové λ se říká vlastní vektor matrice A.

Pojďme najít vlastní vektor matice A. Protože E∙X = X, pak lze maticovou rovnici přepsat jako nebo . V rozšířené podobě lze tuto rovnici přepsat jako systém lineárních rovnic. Opravdu .

A proto

Získali jsme tedy systém homogenních lineárních rovnic pro určení souřadnic x 1, x 2, x 3 vektor X. Aby systém měl nenulová řešení, je nutné a postačující, aby determinant systému byl roven nule, tzn.

Toto je rovnice 3. stupně pro λ. Jmenuje se to charakteristická rovnice matrice A a slouží k určení vlastních hodnot λ.

Každé vlastní číslo λ odpovídá vlastnímu vektoru X, jehož souřadnice jsou určeny ze systému při odpovídající hodnotě λ.

Příklady.

VEKTOROVÁ ALGEBRA. KONCEPCE VEKTORU

Při studiu různých odvětví fyziky existují veličiny, které jsou zcela určeny uvedením jejich číselných hodnot, například délka, plocha, hmotnost, teplota atd. Takové veličiny se nazývají skalární. Kromě nich však existují ještě veličiny, k jejichž určení je kromě číselné hodnoty nutné znát i jejich směr v prostoru, například sílu působící na těleso, rychlost a zrychlení kulovnice. tělo, když se pohybuje v prostoru, napětí magnetické pole v daném bodě prostoru atd. Takové veličiny se nazývají vektorové veličiny.

Uveďme striktní definici.

Režie segmentu Nazvěme segment, podle jehož konců je známo, který z nich je první a který druhý.

Vektor nazývaný směrovaný segment mající určitou délku, tzn. Jedná se o úsek určité délky, ve kterém je jeden z bodů, který jej omezuje, považován za začátek a druhý za konec. Li A- začátek vektoru, B je jeho konec, pak se vektor značí symbolem navíc se vektor často značí jedním písmenem. Na obrázku je vektor označen segmentem a jeho směr šipkou.

Modul nebo délka Vektor se nazývá délka směrovaného segmentu, který jej definuje. Označeno || nebo ||.

Jako vektory zařadíme i tzv. nulový vektor, jehož začátek a konec se shodují. Je určeno. Nulový vektor nemá konkrétní směr a jeho modul je nula ||=0.

Vektory se nazývají kolineární, pokud jsou umístěny na stejné linii nebo na rovnoběžných liniích. Navíc, pokud jsou vektory a ve stejném směru, napíšeme opak.

Nazývají se vektory umístěné na přímkách rovnoběžných se stejnou rovinou koplanární.

Tyto dva vektory se nazývají rovnat se, pokud jsou kolineární, mají stejný směr a jsou stejně dlouhé. V tomto případě píšou.

Z definice rovnosti vektorů vyplývá, že vektor může být transportován rovnoběžně sám se sebou, přičemž jeho počátek je umístěn v libovolném bodě prostoru.

Například.

LINEÁRNÍ OPERACE S VEKTORY

1. Násobení vektoru číslem.

   Součin vektoru a čísla λ je nový vektor takový, že:

   Součin vektoru a čísla λ se značí .

   

   Například, existuje vektor nasměrovaný stejným směrem jako vektor a má poloviční délku než vektor.

   Uvedená operace má následující vlastnosti:

2. Vektorové sčítání.

   Nechť a být dva libovolné vektory. Vezměme si libovolný bod Ó a zkonstruovat vektor. Poté od bodu A vektor necháme stranou. Zavolá se vektor spojující začátek prvního vektoru s koncem druhého množství těchto vektorů a je označen .

   

   Formulovaná definice sčítání vektorů se nazývá pravidlo rovnoběžníku, protože stejný součet vektorů lze získat následovně. Odložme od věci Ó vektory a . Na těchto vektorech sestrojme rovnoběžník OABC. Protože vektory, pak vektor, což je úhlopříčka rovnoběžníku nakresleného z vrcholu Ó, bude zjevně součtem vektorů.

   

   Je snadné zkontrolovat následující vlastnosti sčítání vektorů.

3. Vektorový rozdíl.

   Nazývá se vektor kolineární k danému vektoru, stejně dlouhý a opačně orientovaný naproti vektor pro vektor a je označeno . Opačný vektor lze považovat za výsledek vynásobení vektoru číslem λ = –1: .

Vlastní čísla(čísla) a vlastní vektory.
Příklady řešení

Buď sám sebou

Z obou rovnic vyplývá, že .

Tak si to řekněme: .

Jako výsledek: – druhý vlastní vektor.

zopakujme důležité bodyřešení:

– výsledný systém určitě má společné rozhodnutí(rovnice jsou lineárně závislé);

– „y“ vybereme tak, aby bylo celé číslo a první souřadnice „x“ byla celá, kladná a co nejmenší.

– zkontrolujeme, zda konkrétní řešení vyhovuje každé rovnici soustavy.

Odpovědět .

Středně pokročilí " kontrolní body“ byl zcela dostačující, takže kontrola rovnosti je v zásadě zbytečná.

V různých zdrojích informací jsou souřadnice vlastních vektorů často zapsány nikoli ve sloupcích, ale v řádcích, například: (a abych byl upřímný, sám jsem zvyklý je zapisovat do řádků). Tato možnost je přijatelná, ale ve světle tématu lineární transformace technicky pohodlnější použití sloupcové vektory.

Možná se vám řešení zdálo velmi dlouhé, ale to jen proto, že jsem velmi podrobně komentoval první příklad.

Příklad 2

Matice

Pojďme trénovat sami! Přibližná ukázka závěrečného úkolu na konci lekce.

Někdy musíte udělat dodatečný úkol, jmenovitě:

napsat kanonický maticový rozklad

co to je?

Pokud vlastní vektory matice tvoří základ, pak to může být reprezentováno jako:

Kde je matice složená ze souřadnic vlastních vektorů, – úhlopříčka matice s odpovídajícími vlastními hodnotami.

Tento rozklad matice se nazývá kanonický nebo úhlopříčka.

Podívejme se na matici prvního příkladu. Jeho vlastní vektory lineárně nezávislé(nekolineární) a tvoří základ. Vytvořme matici jejich souřadnic:

Na hlavní úhlopříčka matrice v příslušném pořadí jsou umístěny vlastní hodnoty a zbývající prvky se rovnají nule:
– Ještě jednou zdůrazňuji důležitost pořadí: „dva“ odpovídá 1. vektoru a nachází se tedy v 1. sloupci, „tři“ – 2. vektoru.

Podle na obvyklý algoritmus nález inverzní matice nebo Gauss-Jordanova metoda shledáváme . Ne, to není překlep! - před vámi je vzácná událost, jako je zatmění Slunce, kdy se opak shodoval s původní maticí.

Zbývá zapsat kanonický rozklad matice:

Systém lze řešit pomocí elementárních transformací ak nim se uchýlíme v následujících příkladech tato metoda. Ale zde „školní“ metoda funguje mnohem rychleji. Z 3. rovnice vyjádříme: – dosadíme do druhé rovnice:

Protože první souřadnice je nulová, získáme systém, z jehož každé rovnice vyplývá, že .

A znovu věnujte pozornost povinné přítomnosti lineárního vztahu. Pokud se získá jen triviální řešení , pak buď bylo nesprávně nalezeno vlastní číslo, nebo byl systém zkompilován/vyřešen s chybou.

Kompaktní souřadnice udávají hodnotu

Vlastní vektor:

A ještě jednou zkontrolujeme, že řešení bylo nalezeno splňuje každou rovnici systému. V dalších odstavcích a v navazujících úkolech doporučuji toto přání brát jako povinné pravidlo.

2) Pro vlastní hodnotu pomocí stejného principu získáme následující systém:

Z 2. rovnice soustavy vyjádříme: – dosadíme do třetí rovnice:

Protože „zeta“ souřadnice je rovna nule, získáme z každé rovnice systém, který následuje lineární závislost.

Nechat

Kontrola, že řešení splňuje každou rovnici systému.

Vlastní vektor je tedy: .

3) A konečně, systém odpovídá vlastní hodnotě:

Druhá rovnice vypadá nejjednodušší, tak ji vyjádřeme a dosaďte do 1. a 3. rovnice:

Vše je v pořádku – vznikla lineární závislost, kterou dosadíme do výrazu:

V důsledku toho byly „x“ a „y“ vyjádřeny prostřednictvím „z“: . V praxi není nutné dosahovat přesně takových vztahů, v některých případech je vhodnější vyjádřit jak prostřednictvím, tak i prostřednictvím . Nebo dokonce „vlak“ - například „X“ přes „I“ a „I“ přes „Z“

Tak si to řekněme:

Zkontrolujeme, zda bylo nalezeno řešení splňuje každou rovnici systému a zapisuje třetí vlastní vektor

Odpovědět: vlastní vektory:

Geometricky tyto vektory definují tři různé prostorové směry ("Tam a zase zpátky"), podle kterého lineární transformace transformuje nenulové vektory (vlastní vektory) na kolineární vektory.

Pokud podmínka vyžadovala nalezení kanonické expanze , pak je to možné zde, protože různá vlastní čísla odpovídají různým lineárně nezávislým vlastním vektorům. Vytvoření matrice z jejich souřadnic, diagonální matice z relevantní vlastní hodnoty a najít inverzní matice .

Pokud podle podmínky potřebujete napsat lineární transformační matice na bázi vlastních vektorů, pak uvedeme odpověď ve tvaru . Je v tom rozdíl a ten rozdíl je podstatný! Protože tato matice je maticí „de“.

Problém s více jednoduché výpočty Pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 5

Najděte vlastní vektory lineární transformace dané maticí

Při hledání vlastních čísel se snažte nezajít až k polynomu 3. stupně. Vaše systémová řešení se navíc mohou lišit od mých řešení – zde není jistota; a vektory, které najdete, se mohou lišit od vzorových vektorů až do proporcionality jejich příslušných souřadnic. Například a. Je estetičtější prezentovat odpověď ve formuláři, ale je v pořádku, když se zastavíte u druhé možnosti. Všechno však má rozumné meze, verze už nevypadá moc dobře.

Přibližná závěrečná ukázka zadání na konci lekce.

Jak vyřešit problém v případě více vlastních čísel?

Obecný algoritmus zůstává stejný, ale má své vlastní charakteristiky a je vhodné ponechat některé části řešení v přísnějším akademickém stylu:

Příklad 6

Najděte vlastní čísla a vlastní vektory

Řešení

Samozřejmě, pojďme psát velkými písmeny báječný první sloupec:

A po faktorizaci kvadratického trinomu:

V důsledku toho jsou získány vlastní hodnoty, z nichž dvě jsou násobky.

Pojďme najít vlastní vektory:

1) Pojďme se vypořádat s osamělým vojákem podle „zjednodušeného“ schématu:

Z posledních dvou rovnic je jasně patrná rovnost, která by se samozřejmě měla dosadit do 1. rovnice soustavy:

Lepší kombinaci nenajdete:
Vlastní vektor:

2-3) Nyní odstraníme několik strážců. V v tomto případě mohlo by to vyjít buď dva nebo jeden vlastní vektor. Bez ohledu na násobnost kořenů dosadíme hodnotu do determinantu která nám přináší další homogenní soustava lineárních rovnic:

Vlastní vektory jsou přesně vektory
základní systém řešení

Vlastně jsme během celé lekce nedělali nic jiného, ​​než nacházeli vektory základního systému. Jen tento termín nebyl prozatím nijak zvlášť vyžadován. Mimochodem ti šikovní studenti, kterým uniklo téma v maskáčích homogenní rovnice, bude nucen ji nyní kouřit.

Jedinou akcí bylo odstranění dalších řádků. Výsledkem je matice jedna po třech s formálním „krokem“ uprostřed.
– základní proměnná, – volné proměnné. Existují tedy dvě volné proměnné, existují také dva vektory základního systému.

Vyjádřeme základní proměnnou pomocí volných proměnných: . Nulový multiplikátor před „X“ mu umožňuje nabývat absolutně jakýchkoli hodnot (což je jasně viditelné ze systému rovnic).

V kontextu tohoto problému je vhodnější napsat obecné řešení nikoli do řádku, ale do sloupce:

Pár odpovídá vlastnímu vektoru:
Pár odpovídá vlastnímu vektoru:

Poznámka : sofistikovaní čtenáři mohou tyto vektory vybrat ústně – jednoduše analýzou systému , ale jsou zde potřeba určité znalosti: existují tři proměnné, system matrix rank- jeden, což znamená základní rozhodovací systém sestává ze 3 – 1 = 2 vektorů. Nalezené vektory jsou však dobře viditelné i bez této znalosti, čistě na intuitivní úrovni. V tomto případě bude třetí vektor zapsán ještě „krásněji“: . Upozorňuji vás však, že v jiném příkladu nemusí být jednoduchý výběr možný, a proto je doložka určena zkušeným lidem. Navíc, proč nevzít, řekněme, jako třetí vektor? Koneckonců, jeho souřadnice také splňují každou rovnici systému a vektory lineárně nezávislý. Tato možnost je v zásadě vhodná, ale „křivá“, protože „jiný“ vektor je lineární kombinací vektorů základního systému.

Odpovědět: vlastní čísla: , vlastní vektory:

Podobný příklad pro nezávislé řešení:

Příklad 7

Najděte vlastní čísla a vlastní vektory

Přibližná ukázka finálního návrhu na konci lekce.

Je třeba poznamenat, že v 6. i 7. příkladu se získá trojice lineárně nezávislých vlastních vektorů, a proto je původní matice reprezentovatelná v kanonickém rozkladu. Ale takové maliny se nestávají ve všech případech:

Příklad 8

Řešení: Vytvořme a vyřešme charakteristickou rovnici:

Rozšiřme determinant v prvním sloupci:

Provádíme další zjednodušení podle uvažované metody, vyhýbáme se polynomu třetího stupně:

– vlastní hodnoty.

Pojďme najít vlastní vektory:

1) S kořenem nejsou žádné potíže:

Nedivte se, kromě stavebnice se používají také proměnné - zde není žádný rozdíl.

Z 3. rovnice ji vyjádříme a dosadíme do 1. a 2. rovnice:

Z obou rovnic vyplývá:

Nechte tedy:

2-3) Pro více hodnot dostaneme systém .

Zapišme si matici systému a pomocí elementárních transformací ji uveďme do stupňovité podoby:

Vlastní vektor čtvercové matice je ten, který po vynásobení danou maticí vede ke kolineárnímu vektoru. Jednoduše řečeno, při vynásobení matice vlastním vektorem zůstane tento stejný, ale vynásobený určitým číslem.

Definice

Vlastní vektor je nenulový vektor V, který se po vynásobení čtvercovou maticí M sám zvětší o nějaké číslo λ. V algebraickém zápisu to vypadá takto:

M × V = λ × V,

kde λ je vlastní hodnota matice M.

Uvažujme číselný příklad. Pro usnadnění záznamu budou čísla v matici oddělena středníkem. Mějme matici:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Vynásobme to sloupcovým vektorem:

• V = -2;

Když vynásobíme matici sloupcovým vektorem, dostaneme také sloupcový vektor. Přísný matematický jazyk Vzorec pro násobení matice 2 × 2 sloupcovým vektorem by vypadal takto:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 znamená prvek matice M umístěný v prvním řádku a prvním sloupci a M22 znamená prvek umístěný v druhém řádku a druhém sloupci. Pro naši matici se tyto prvky rovnají M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Pro sloupcový vektor se tyto hodnoty rovnají V11 = –2, V21 = 1. Podle tohoto vzorce dostaneme následující výsledek součinu čtvercové matice vektorem:

• M x V = 0 x (-2) + (4) x (1) = 4;
• 6 x (-2) + 10 x (1) = -2.

Pro usnadnění zapišme sloupcový vektor do řádku. Čtvercovou matici jsme tedy vynásobili vektorem (-2; 1), čímž jsme získali vektor (4; -2). Je zřejmé, že se jedná o stejný vektor vynásobený λ = -2. Lambda v tomto případě označuje vlastní hodnotu matice.

Vlastní vektor matice je kolineární vektor, tedy objekt, který po vynásobení maticí nemění svou polohu v prostoru. Pojem kolinearity ve vektorové algebře je podobný termínu rovnoběžnosti v geometrii. V geometrické interpretaci jsou kolineární vektory rovnoběžné směrované segmenty různých délek. Od dob Euklida víme, že jedna přímka má nekonečně mnoho rovnoběžných přímek, takže je logické předpokládat, že každá matice má nekonečný počet vlastních vektorů.

Z předchozího příkladu je zřejmé, že vlastní vektory mohou být (-8; 4) a (16; -8) a (32, -16). To vše jsou kolineární vektory odpovídající vlastní hodnotě λ = -2. Při vynásobení původní matice těmito vektory stejně skončíme s vektorem, který se od originálu liší 2x. Proto je při řešení úloh hledání vlastního vektoru nutné hledat pouze lineárně nezávislé vektorové objekty. Nejčastěji pro matici n × n existuje n počet vlastních vektorů. Naše kalkulačka je určena pro analýzu čtvercových matic druhého řádu, takže téměř vždy výsledek najde dva vlastní vektory, kromě případů, kdy se shodují.

Ve výše uvedeném příkladu jsme předem znali vlastní vektor původní matice a jasně určili číslo lambda. V praxi se však vše děje naopak: nejprve se najdou vlastní čísla a teprve potom vlastní vektory.

Algoritmus řešení

Podívejme se znovu na původní matici M a zkusme najít oba její vlastní vektory. Matrix tedy vypadá takto:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Nejprve musíme určit vlastní hodnotu λ, což vyžaduje výpočet determinantu následující matice:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

Tato matice se získá odečtením neznámého λ od prvků na hlavní diagonále. Determinant se určí pomocí standardního vzorce:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Protože náš vektor musí být nenulový, přijmeme výslednou rovnici jako lineárně závislou a srovnáme náš determinant detA s nulou.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otevřeme závorky a získáme charakteristickou rovnici matice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

To je standardní kvadratická rovnice, kterou je potřeba řešit přes diskriminant.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Kořen diskriminantu je sqrt(D) = 14, tedy λ1 = -2, λ2 = 12. Nyní pro každou hodnotu lambda potřebujeme najít vlastní vektor. Vyjádřeme systémové koeficienty pro λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

V tomto vzorci je E matice identity. Na základě výsledné matice vytvoříme soustavu lineárních rovnic:

2x + 4 roky = 6x + 12 let,

kde x a y jsou prvky vlastního vektoru.

Sesbírejme všechna X nalevo a všechna Y napravo. Pochopitelně - 4x = 8 let. Vydělte výraz -4 a dostanete x = –2y. Nyní můžeme určit první vlastní vektor matice s libovolnými hodnotami neznámých (pamatujte na nekonečno lineárně závislých vlastních vektorů). Vezměme y = 1, pak x = –2. Proto první vlastní vektor vypadá jako V1 = (–2; 1). Vraťte se na začátek článku. Byl to tento vektorový objekt, kterým jsme vynásobili matici, abychom demonstrovali koncept vlastního vektoru.

Nyní najdeme vlastní vektor pro λ = 12.

• M - X x E = -12; 4
• 6; -2.

Vytvořme stejný systém lineárních rovnic;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6 let
• 3x = y.

Nyní vezmeme x = 1, tedy y = 3. Druhý vlastní vektor tedy vypadá jako V2 = (1; 3). Při vynásobení původní matice daným vektorem bude výsledkem vždy stejný vektor vynásobený 12. Zde algoritmus řešení končí. Nyní víte, jak ručně určit vlastní vektor matice.

• determinant;
• stopa, tedy součet prvků na hlavní diagonále;
• rank, tedy maximální počet lineárně nezávislých řádků/sloupců.

Program pracuje podle výše uvedeného algoritmu a maximálně zkracuje proces řešení. Je důležité upozornit, že v programu je lambda označena písmenem „c“. Podívejme se na číselný příklad.

Příklad, jak program funguje

Zkusme určit vlastní vektory pro následující matici:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Zadejme tyto hodnoty do buněk kalkulačky a získáme odpověď v následujícím tvaru:

• Pořadí matice: 2;
• Maticový determinant: 18;
• Maticová stopa: 19;
• Výpočet vlastního vektoru: c 2 − 19,00c + 18,00 (charakteristická rovnice);
• Výpočet vlastního vektoru: 18 (první hodnota lambda);
• Výpočet vlastního vektoru: 1 (druhá hodnota lambda);
• Soustava rovnic pro vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Soustava rovnic pro vektor 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastní vektor 1: (1; 1);
• Vlastní vektor 2: (-3,25; 1).

Tak jsme získali dva lineárně nezávislé vlastní vektory.

Závěr

Lineární algebra a analytická geometrie jsou standardními předměty pro každého prváka v oboru strojírenství. Velké množství vektorů a matic je děsivé a v tak těžkopádných výpočtech je snadné udělat chybu. Náš program umožní studentům zkontrolovat své výpočty nebo automaticky vyřešit problém s nalezením vlastního vektoru. V našem katalogu jsou další kalkulačky lineární algebry, použijte je při studiu nebo práci.

Definice 9.3. Vektor X volal vlastní vektor matrice A, pokud takové číslo existuje λ, že platí rovnost: A X= λ X, tedy výsledek přihlášky do X lineární transformace určená maticí A, je násobení tohoto vektoru číslem λ . Samotné číslo λ volal vlastní hodnota matrice A.

Dosazování do vzorců (9.3) x`j = λxj, získáme soustavu rovnic pro určení souřadnic vlastního vektoru:

. (9.5)

Tento lineární homogenní systém bude mít netriviální řešení pouze v případě, že jeho hlavní determinant je 0 (Cramerovo pravidlo). Zapsáním této podmínky do formuláře:

získáme rovnici pro určení vlastních hodnot λ , volal charakteristická rovnice. Stručně to lze znázornit takto:

| A - λE | = 0, (9.6)

protože jeho levá strana obsahuje determinant matice A-λE. Polynomiální relativní λ | A - λE| volal charakteristický polynom matrice A.

Vlastnosti charakteristického polynomu:

1) Charakteristický polynom lineární transformace nezávisí na volbě báze. Důkaz. (viz (9.4)), ale proto,. Nezáleží tedy na volbě základu. To znamená, že | A-λE| se při přechodu na nový základ nemění.

2) Je-li matice A lineární transformace je symetrický(ti. a ij =a ji), pak všechny kořeny charakteristické rovnice (9.6) jsou reálná čísla.

Vlastnosti vlastních čísel a vlastních vektorů:

1) Pokud zvolíte základ z vlastních vektorů x 1, x 2, x 3 , odpovídající vlastním číslům λ 1, λ 2, λ 3 matrice A, pak na tomto základě má lineární transformace A matici diagonálního tvaru:

(9.7) Důkaz této vlastnosti vyplývá z definice vlastních vektorů.

2) Pokud jsou vlastní čísla transformace A jsou různé, pak jsou jejich odpovídající vlastní vektory lineárně nezávislé.

3) Je-li charakteristický polynom matice A má tři různé kořeny, pak v nějakém základu matice A má diagonální vzhled.

Pojďme najít vlastní čísla a vlastní vektory matice Vytvořme charakteristickou rovnici: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Pojďme najít souřadnice vlastních vektorů odpovídajících každé nalezené hodnotě λ. Z (9.5) vyplývá, že pokud X (1) ={x 1, x 2, x 3) – odpovídající vlastní vektor λ 1 = -2, tedy

- kooperativní, ale nejistý systém. Jeho řešení lze zapsat ve tvaru X (1) ={A,0,-A), kde a je libovolné číslo. Zejména pokud požadujeme, že | X (1) |=1, X (1) =

Nahrazení do systému (9.5) λ 2 =3 získáme systém pro určení souřadnic druhého vlastního vektoru - X (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, kde X (2) ={b,-b,b) nebo za předpokladu | X (2) |=1, X (2) =

Pro λ 3 = 6 najděte vlastní vektor X (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, X (3) ={C,2c,c) nebo v normalizované verzi

x (3) = Lze si toho všimnout X (1) X (2) = ab–ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = před naším letopočtem- 2bc + bc= 0. Vlastní vektory této matice jsou tedy párově ortogonální.

Přednáška 10.

Kvadratické formy a jejich spojení se symetrickými maticemi. Vlastnosti vlastních vektorů a vlastních hodnot symetrické matice. Redukce kvadratické formy na kanonickou formu.

Definice 10.1.Kvadratický tvar reálné proměnné x 1, x 2,…, x n se v těchto proměnných nazývá polynom druhého stupně, který neobsahuje volný člen a členy prvního stupně.

Příklady kvadratických forem:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Připomeňme si definici symetrické matice uvedenou v minulé přednášce:

Definice 10.2.Čtvercová matice se nazývá symetrický, if , to znamená, pokud jsou prvky matice symetrické kolem hlavní diagonály stejné.

Vlastnosti vlastních čísel a vlastních vektorů symetrické matice:

1) Všechny vlastní hodnoty symetrické matice jsou reálné.

Důkaz (pro n = 2).

Nechte matici A má tvar: . Vytvořme charakteristickou rovnici:

(10.2) Pojďme najít diskriminant:

Rovnice má proto pouze skutečné kořeny.

2) Vlastní vektory symetrické matice jsou ortogonální.

Důkaz (pro n= 2).

Souřadnice vlastních vektorů a musí splňovat rovnice.