Účel služby. Online kalkulačka je navržena tak, aby nalezla netriviální a zásadní řešení SLAE. Výsledné řešení se uloží do souboru aplikace Word (viz příklad řešení).
Instrukce. Vyberte rozměr matice:
Vlastnosti soustav lineárních homogenních rovnic
Aby systém měl netriviální řešení, je nutné a postačující, aby hodnost jeho matice byla menší než počet neznámých.Teorém. Systém v případě m=n má netriviální řešení právě tehdy, když je determinant tohoto systému roven nule.
Teorém. Jakákoli lineární kombinace řešení systému je také řešením tohoto systému.
Definice. Množina řešení soustavy lineárních homogenních rovnic se nazývá základní systém řešení, pokud se tato množina skládá z lineárně nezávislých řešení a jakékoli řešení soustavy je lineární kombinací těchto řešení.
Teorém. Pokud je hodnost r systémové matice menší než počet n neznámých, pak existuje základní systém řešení sestávající z (n-r) řešení.
Algoritmus pro řešení soustav lineárních homogenních rovnic
- Zjištění hodnosti matice.
- Vybíráme základní moll. Rozlišujeme závislé (základní) a volné neznámé.
- Ty rovnice soustavy, jejichž koeficienty nejsou zahrnuty do báze minor, škrtneme, protože jsou důsledkem ostatních (podle věty o bázi minor).
- Členy rovnic obsahujících volné neznámé přeneseme do pravá strana. Výsledkem je soustava r rovnic s r neznámými, ekvivalentní dané dané, jejíž determinant je nenulový.
- Výsledný systém řešíme eliminací neznámých. Nacházíme vztahy vyjadřující závislé proměnné prostřednictvím volných.
- Pokud se hodnost matice nerovná počtu proměnných, najdeme základní řešení systému.
- V případě rang = n máme triviální řešení.
Příklad. Najděte základ systému vektorů (a 1, a 2,...,a m), seřaďte a vyjádřete vektory na základě báze. Pokud a 1 =(0,0,1,-1) a 2 =(1,1,2,0) a 3 =(1,1,1,1) a 4 =(3,2,1 ,4) a 5 = (2,1,0,3).
Zapišme si hlavní matici systému:
Vynásobte 3. řádek číslem (-3). Přidejme 4. řádek ke 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Vynásobte 4. řádek číslem (-2). Vynásobme 5. řádek (3). Přidejme pátý řádek ke čtvrtému:
Přidejme 2. řádek k 1.:
Pojďme najít hodnost matice.
Systém s koeficienty této matice je ekvivalentní původnímu systému a má tvar:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Pomocí metody eliminace neznámých najdeme netriviální řešení:
Získali jsme vztahy vyjadřující závislé proměnné x 1 , x 2 , x 3 přes volné x 4 , tj. společné rozhodnutí:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Gaussova metoda má řadu nevýhod: je nemožné zjistit, zda je systém konzistentní nebo ne, dokud nejsou provedeny všechny transformace nutné v Gaussově metodě; Gaussova metoda není vhodná pro systémy s písmenovými koeficienty.
Zvažme další metody řešení soustav lineárních rovnic. Tyto metody využívají koncept matice rank a redukují řešení jakéhokoli konzistentního systému na řešení systému, na který se vztahuje Cramerovo pravidlo.
Příklad 1. Najděte obecné řešení další systém lineární rovnice využívající fundamentální systém řešení redukovaného homogenního systému a partikulárního řešení nehomogenního systému.
1. Tvorba matice A a rozšířená matice systému (1)
2. Prozkoumejte systém (1) pro pospolitost. K tomu najdeme řady matic A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Pokud se ukáže, že , pak systém (1) nekompatibilní. Pokud to dostaneme , pak je tento systém konzistentní a vyřešíme ho. (Studie kompatibility je založena na Kronecker-Capelliho teorému).
A. Shledáváme rA.
Najít rA, budeme uvažovat postupně nenulové nezletilé prvního, druhého atd. řádu matice A a nezletilí kolem nich.
M1=1≠0 (vezmeme 1 z levého horního rohu matice A).
Hraničíme M1 druhý řádek a druhý sloupec této matice. 
. Pokračujeme k hranici M1 druhý řádek a třetí sloupec..gif" width="37" height="20 src=">. Nyní ohraničíme nenulovou moll M2′ druhá objednávka.
My máme: 
(protože první dva sloupce jsou stejné)
(protože druhý a třetí řádek jsou proporcionální).
To vidíme rA=2, a je menší základ matice A.
b. Shledáváme.
Docela základní vedlejší M2′ matrice A ohraničení sloupcem volných výrazů a všemi řádky (máme jen poslední řádek).
. Z toho vyplývá, že M3′′ zůstává základní moll matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Protože M2′- menší základ matice A systémy (2) , pak je tento systém ekvivalentní systému (3) , skládající se z prvních dvou rovnic soustavy (2) (pro M2′ je v prvních dvou řádcích matice A).
(3)
Od základního moll https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
V tomto systému jsou dvě volné neznámé ( x2 A x4 ). Proto FSR systémy (4) se skládá ze dvou řešení. Abychom je našli, přiřadíme volné neznámé (4) hodnoty jako první x2=1 , x4=0 , a pak - x2=0 , x4=1 .
Na x2=1 , x4=0 dostaneme:
.
Tento systém již má jediná věc řešení (lze jej nalézt pomocí Cramerova pravidla nebo jakékoli jiné metody). Odečtením první od druhé rovnice dostaneme:
Její řešení bude x1= -1 , x3=0 . Vzhledem k hodnotám x2 A x4 , který jsme přidali, získáme první zásadní řešení systému (2) : .
Nyní věříme (4) x2=0 , x4=1 . Dostaneme:
.
Tento systém řešíme pomocí Cramerovy věty:
.
Získáme druhé základní řešení systému (2) : .
Řešení β1 , β2 a make up FSR systémy (2) . Pak bude jeho obecné řešení
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Tady C1 , C2 – libovolné konstanty.
4. Pojďme nějakou najít soukromé řešení heterogenní systém(1) . Jako v odstavci 3 , místo systému (1) Uvažujme ekvivalentní systém (5) , skládající se z prvních dvou rovnic soustavy (1) .
(5)
Posuňme volné neznámé na správné strany x2 A x4.
(6)
Dejme zdarma neznámé x2 A x4 libovolné hodnoty, např. x2=2 , x4=1 a vložte je dovnitř (6) . Pojďme na systém
Tento systém má jedinečné řešení (protože je jeho determinantem M2'0). Jeho vyřešením (pomocí Cramerovy věty nebo Gaussovy metody) získáme x1=3 , x3=3 . Vzhledem k hodnotám volných neznámých x2 A x4 , dostaneme konkrétní řešení nehomogenního systému(1)a1=(3,2,3,1).
5. Teď už zbývá jen zapsat obecné řešení α nehomogenní soustavy(1) : rovná se součtu soukromé řešení tento systém a obecné řešení jeho redukovaného homogenního systému (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
To znamená: 
(7)
6. Zkouška. Chcete-li zkontrolovat, zda jste systém vyřešili správně (1) , potřebujeme obecné řešení (7) nahradit v (1) . Pokud se každá rovnice změní v identitu ( C1 A C2 musí být zničen), pak je řešení nalezeno správně.
Nahradíme (7) například pouze poslední rovnice soustavy (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Dostaneme: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Kde –1=–1. Máme identitu. Děláme to se všemi ostatními rovnicemi systému (1) .
Komentář. Kontrola je většinou dost těžkopádná. Lze doporučit následující „dílčí kontrolu“: v obecném řešení systému (1) přiřadit nějaké hodnoty libovolným konstantám a výsledné dílčí řešení dosadit pouze do vyřazených rovnic (tj. (1) , které nebyly zahrnuty (5) ). Pokud získáte identity, pak spíše, systémové řešení (1) nalezen správně (taková kontrola však neposkytuje úplnou záruku správnosti!). Například pokud v (7) dát C2=- 1 , C1=1, pak dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosazením do poslední rovnice soustavy (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Máme identitu.
Příklad 2 Najděte obecné řešení soustavy lineárních rovnic (1) , vyjadřující základní neznámé z hlediska volných.
Řešení. Jako v příklad 1, skládat matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> těchto matic. Nyní ponecháme pouze ty rovnice systému (1) , jehož koeficienty jsou zahrnuty v této základní moll (tj. máme první dvě rovnice) a uvažujeme systém z nich složený, ekvivalentní systému (1).
Převeďme volné neznámé na pravou stranu těchto rovnic.
Systém (9) Řešíme Gaussovou metodou, přičemž pravé strany považujeme za volné členy.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Možnost 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Možnost 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Možnost 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Možnost 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Homogenní systém lineárních rovnic nad polem
DEFINICE. Fundamentální soustava řešení soustavy rovnic (1) je neprázdná lineárně nezávislá soustava jejích řešení, jejíž lineární rozpětí se shoduje s množinou všech řešení soustavy (1).
Všimněte si, že homogenní systém lineárních rovnic, který má pouze nulové řešení, nemá fundamentální systém řešení.
NÁVRH 3.11. Jakékoli dva základní systémy řešení homogenního systému lineárních rovnic se skládají ze stejného počtu řešení.
Důkaz. Ve skutečnosti jsou jakékoli dva základní systémy řešení homogenního systému rovnic (1) ekvivalentní a lineárně nezávislé. Proto podle výroku 1.12 jsou jejich pozice stejné. V důsledku toho se počet řešení zahrnutých v jednom základním systému rovná počtu řešení zahrnutých v jakémkoli jiném základním systému řešení.
Je-li hlavní matice A homogenní soustavy rovnic (1) nulová, pak libovolný vektor z je řešením soustavy (1); v tomto případě je jakákoli kolekce lineární nezávislé vektory of je základním systémem řešení. Pokud je pořadí sloupců matice A rovno , pak má systém (1) pouze jedno řešení - nulu; proto v tomto případě systém rovnic (1) nemá fundamentální systém řešení.
VĚTA 3.12. Pokud je hodnost hlavní matice homogenní soustavy lineárních rovnic (1) menší než počet proměnných , pak soustava (1) má fundamentální soustavu řešení skládající se z řešení.
Důkaz. Pokud je hodnost hlavní matice A homogenního systému (1) rovna nule nebo , pak bylo výše ukázáno, že věta je pravdivá. Níže se tedy předpokládá, že Za předpokladu , budeme předpokládat, že první sloupce matice A jsou lineárně nezávislé. V tomto případě je matice A po řádcích ekvivalentní redukované stupňovité matici a systém (1) je ekvivalentní následujícímu redukovanému stupňovitému systému rovnic:
Je snadné zkontrolovat, že jakýkoli systém volných hodnot systémové proměnné(2) odpovídá jednomu a jedinému řešení systému (2), a tedy systému (1). Zejména pouze nulové řešení soustavy (2) a soustavy (1) odpovídá soustavě nulových hodnot.
V systému (2) přiřadíme jeden z volných hodnota proměnných, rovno 1 a zbývající proměnné mají nulové hodnoty. Výsledkem je řešení soustavy rovnic (2), které zapíšeme ve tvaru řádků následující matice C:
Řádkový systém této matice je lineárně nezávislý. Opravdu, pro všechny skaláry z rovnosti
následuje rovnost
a tedy rovnost
Dokažme, že lineární rozpětí soustavy řádků matice C se shoduje s množinou všech řešení soustavy (1).
Libovolné řešení systému (1). Potom vektor
je také řešením systému (1), a
Nechat M 0 – množina řešení homogenní soustavy (4) lineárních rovnic.
Definice 6.12. vektory S 1 ,S 2 , …, s p, což jsou řešení homogenní soustavy lineárních rovnic se nazývají základní soubor řešení(zkráceně FNR), pokud
1) vektory S 1 ,S 2 , …, s p lineárně nezávislý (to znamená, že žádný z nich nelze vyjádřit v termínech ostatních);
2) jakékoli jiné řešení homogenního systému lineárních rovnic lze vyjádřit pomocí řešení S 1 ,S 2 , …, s p.
Všimněte si, že pokud S 1 ,S 2 , …, s p– libovolný f.n.r., pak výraz k 1× S 1 + k 2× S 2 + … + k p× s p můžete popsat celou sadu M 0 řešení systému (4), tak se nazývá celkový pohled na systémové řešení (4).
Věta 6.6. Jakýkoli neurčitý homogenní systém lineárních rovnic má základní soubor řešení.
Způsob, jak najít základní sadu řešení, je následující:
Najít obecné řešení homogenní soustavy lineárních rovnic;
Stavět ( n – r) dílčí řešení tohoto systému, přičemž hodnoty volných neznámých musí tvořit matici identity;
Vypracovat obecná formařešení obsažená v M 0 .
Příklad 6.5. Najděte základní sadu řešení pro následující systém:
Řešení. Pojďme najít obecné řešení tohoto systému.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
V tomto systému je pět neznámých ( n= 5), z nichž jsou dvě hlavní neznámé ( r= 2), existují tři volné neznámé ( n – r), to znamená, že základní množina řešení obsahuje tři vektory řešení. Pojďme je postavit. My máme X 1 a X 3 – hlavní neznámé, X 2 , X 4 , X 5 – volné neznámé
Hodnoty volných neznámých X 2 , X 4 , X 5 tvoří matici identity E třetí řád. Mám ty vektory S 1 ,S 2 , S 3 formulář f.n.r. tohoto systému. Pak bude množina řešení tohoto homogenního systému M 0 = {k 1× S 1 + k 2× S 2 + k 3× S 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Zjistěme nyní podmínky pro existenci nenulových řešení homogenní soustavy lineárních rovnic, jinými slovy podmínky pro existenci fundamentální množiny řešení.
Homogenní systém lineárních rovnic má nenulová řešení, to znamená, že je neurčitý, jestliže
1) hodnost hlavní matice systému je menší než počet neznámých;
2) v homogenní soustavě lineárních rovnic je počet rovnic menší než počet neznámých;
3) pokud v homogenním systému lineárních rovnic je počet rovnic roven počtu neznámých a determinant hlavní matice je roven nule (tj. A| = 0).
Příklad 6.6. Při jaké hodnotě parametru A homogenní soustava lineárních rovnic 
má nenulová řešení?
Řešení. Sestavme hlavní matici tohoto systému a najdeme její determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinant této matice je roven nule at A = –4.
Odpovědět: –4.
7. Aritmetika n-rozměrný vektorový prostor
Základní pojmy
V předchozích částech jsme se již setkali s pojmem množina reálných čísel uspořádaných v určitém pořadí. Toto je řádková matice (nebo sloupcová matice) a řešení systému lineárních rovnic s n neznámý. Tyto informace lze shrnout.
Definice 7.1. n-rozměrový aritmetický vektor volal objednanou sadu n reálná čísla.
Prostředek A= (a 1, a 2, …, a n), kde iО R, i = 1, 2, …, n– celkový pohled na vektor. Číslo n volal dimenze vektory a čísla a i se nazývají jeho souřadnice.
Například: A= (1, –8, 7, 4, ) – pětirozměrný vektor.
Vše připraveno n-rozměrné vektory se obvykle označují jako Rn.
Definice 7.2. Dva vektory A= (a 1, a 2, …, a n) A b= (b1, b2, …, b n) stejného rozměru rovnat se právě tehdy, když jsou jejich odpovídající souřadnice stejné, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definice 7.3.Množství dva n-rozměrné vektory A= (a 1, a 2, …, a n) A b= (b1, b2, …, b n) se nazývá vektor A + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).
Definice 7.4. Práce reálné číslo k do vektoru A= (a 1, a 2, …, a n) se nazývá vektor k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)
Definice 7.5. Vektor Ó= (0, 0, …, 0) se nazývá nula(nebo nulový vektor).
Je snadné ověřit, že akce (operace) sčítání vektorů a jejich násobení reálným číslem mají následující vlastnosti: " A, b, C Î Rn, " k, lО R:
1) A + b = b + A;
2) A + (b+ C) = (A + b) + C;
3) A + Ó = A;
4) A+ (–A) = Ó;
5) 1× A = A, 1 О R;
6) k×( l× A) = l×( k× A) = (l× k)× A;
7) (k + l)× A = k× A + l× A;
8) k×( A + b) = k× A + k× b.
Definice 7.6. hromada Rn se nazývá operace sčítání vektorů a jejich násobení reálným číslem na něm uvedeným aritmetický n-rozměrný vektorový prostor.
