Konečným cílem analýzy ACS je vyřešit (pokud je to možné) nebo studovat diferenciální rovnici systému jako celku. Obvykle jsou známy rovnice jednotlivých článků, které tvoří ACS, a vyvstává meziúkol získat diferenciální rovnici systému ze známých DE jeho článků. V klasické formě reprezentace DE je tento úkol zatížen značnými obtížemi. Použití konceptu přenosové funkce to značně zjednodušuje.

Nechť je nějaký systém popsán diferenciální rovnicí tvaru.

Zavedením zápisu = p, kde p se nazývá operátor nebo symbol derivování, a nyní s tímto symbolem zacházíme jako s obyčejným algebraickým číslem, po vyjmutí x a x ze závorek dostaneme diferenciální rovnice tohoto systému ve formě operátora:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3,38)

Polynom v p na výstupní hodnotě je

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3,39)

se nazývá vlastní operátor a polynom na vstupní hodnotě se nazývá operátor vlivu

K(p) = b m p m + b m-1 p m-1 +…+b1 p+b0. (3,40)

Přenosová funkce je poměr operátoru vlivu k vlastního provozovatele:

W(p) = K(p)/D(p) = x ven / x dovnitř. (3,41)

V následujícím budeme téměř všude používat operátorovou formu zápisu diferenciálních rovnic.

Typy vazeb vazeb a algebra přenosových funkcí.

Získání přenosové funkce automatického řídicího systému vyžaduje znalost pravidel pro hledání přenosových funkcí skupin spojů, ve kterých jsou spoje určitým způsobem na sebe napojeny. Existují tři typy připojení.

1. Sekvenční, ve kterém je výstup předchozího odkazu vstupem pro další (obr. 3.12):

x ven

Rýže. 3.14. Back-to-back - paralelní připojení.

Podle toho, zda se zpětnovazební signál x přičítá ke vstupnímu signálu xin nebo od něj odečítá, se rozlišuje kladná a záporná zpětná vazba.

Stále na základě vlastnosti přenosové funkce můžeme psát

W1 (p) = x ven / (x v ± x); W2(p) = x/x out; W c =x ven /x dovnitř. (3,44)

Vyloučením vnitřní souřadnice x z prvních dvou rovnic získáme přenosovou funkci pro takové spojení:

Wc(p) = W1(p)/. (3,45)

Je třeba mít na paměti, že v posledním výrazu odpovídá znaménko plus negativní zpětná vazba.

V případě, že spoj má několik vstupů (jako je například řídicí objekt), je uvažováno několik přenosových funkcí tohoto spoje, které odpovídají každému ze vstupů, například pokud rovnice spoje má tvar

D(p)y = K x (p)x + Kz (p)z (3,46)

kde K x (p) a K z (p) jsou operátory vlivů na vstupech x a z, pak má tato vazba přenosové funkce na vstupech x a z:

Wx(p) = Kx(p)/D(p); Wz(p) = Kz(p)/D(p). (3,47)

V budoucnu, abychom omezili počet položek ve výrazech přenosových funkcí a odpovídajících operátorů, vynecháme argument „p“.

Ze společné úvahy o výrazech (3.46) a (3.47) vyplývá, že

y = š x x + š z z, (3,48)

tedy v obecný případ výstupní hodnota jakéhokoli spojení s několika vstupy se rovná součtu součinů vstupních hodnot a přenosových funkcí pro odpovídající vstupy.

Přenosová funkce SAR na rozhořčení.

Obvyklá forma struktury ACS, pracující na odchylce regulované veličiny, je následující:

W o z =K z /D objekt W o x =K x /D

W p y

z

y

-X

Obr.3.15. Uzavřené ATS.

Věnujme pozornost tomu, že regulační vliv je aplikován na objekt se změněným znakem. Spojení mezi výstupem objektu a jeho vstupem přes regulátor se nazývá hlavní zpětná vazba(na rozdíl od případné dodatečné zpětné vazby v samotném regulátoru). Podle samotného filozofického smyslu regulace je činnost regulátoru zaměřena snížení odchylkyřízená proměnná, a proto hlavní zpětná vazba je vždy negativní. Na Obr. 3.15:

W o z - přenosová funkce objektu narušením;

W o x - přenosová funkce objektu podle regulačního vlivu;

W p y - přenosová funkce regulátoru podle odchylky y.

Diferenciální rovnice zařízení a regulátoru vypadají takto:

y=W o x x + W o z z

x = - W p y y. (3,49)

Dosazením x z druhé rovnice do první a provedením seskupení získáme rovnici ATS:

(1+W o x W p y)y = W o zz. (3,50)

Odtud přenosová funkce ACS pro rušení

Wcz = y/z =Woz/(1+WoxWpy). (3,51)

Podobným způsobem můžete získat přenosovou funkci ACS pro řídicí akci:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y), (3,52)

kde W p u je přenosová funkce regulátoru podle regulační akce.

3.4 Nucené oscilace a frekvenční charakteristiky ACS.

V reálných provozních podmínkách je ACS často vystaven periodickým rušivým silám, což je doprovázeno periodickými změnami řízených veličin a regulačními vlivy. Jsou to například vibrace lodi při plavbě na rozbouřeném moři, kolísání rychlosti otáčení lodního šroubu a další veličiny. V některých případech mohou amplitudy kmitů výstupních veličin soustavy dosahovat nepřijatelně velkých hodnot a tomu odpovídá jev rezonance. Důsledky rezonance jsou pro systém, který ji prožívá, často katastrofální, například převrácení lodi, zničení motoru. V řídicích systémech jsou takové jevy možné, když se vlastnosti prvků změní v důsledku opotřebení, výměny, rekonfigurace nebo poruch. Pak je potřeba buď určit bezpečné rozsahy provozních podmínek nebo správně nakonfigurovat ACS. Tyto problémy zde budou zvažovány, protože se vztahují na lineární systémy.

Nechť má nějaký systém níže uvedenou strukturu:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Obr.3.16. ACS v režimu nucené oscilace.

Pokud je systém vystaven periodickému vlivu x s ​​amplitudou A x a kruhovou frekvencí w, pak po skončení procesu přechodu budou oscilace stejné frekvence s amplitudou A y a posunuté vůči vstupním oscilacím o fázový úhel j. být usazen na výstupu. Parametry výstupního kmitání (amplituda a fázový posun) závisí na frekvenci hnací síly. Úkolem je určit parametry výstupních kmitů ze známých parametrů kmitání na vstupu.

V souladu s přenosovou funkcí ACS znázorněnou na obr. 3.14 má její diferenciální rovnice tvar

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3,53)

Dosadíme do (3.53) výrazy pro x a y znázorněné na Obr. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3,54)

Uvažujeme-li oscilační vzor posunutý o čtvrtinu periody, pak v rovnici (3.54) budou funkce sinus nahrazeny funkcemi kosinus:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3,55)

Vynásobme rovnici (3.54) i = a výsledek sečteme s (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3,56)

Pomocí Eulerova vzorce

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Zredukujeme rovnici (3.56) do tvaru

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3,57)

Proveďme operaci derivace s ohledem na čas poskytnutou operátorem p=d/dt:

A y exp=

A x exp(iwt). (3,58)

Po jednoduchých transformacích souvisejících s redukcí o exp(iwt) dostáváme

Pravá část výraz (3.59) je podobný výrazu přenosové funkce ACS a lze jej z ní získat nahrazením p=iw. Analogicky se nazývá komplexní přenosová funkce W(iw) nebo amplitudově-fázová charakteristika (APC). Často se také používá termín frekvenční odezva. Je jasné, že tento zlomek je funkcí komplexního argumentu a může být také reprezentován v této podobě:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3,60)

kde M(w) a N(w) jsou skutečné a imaginární frekvenční charakteristiky.

Poměr Ay/Ax je modul AFC a je funkcí frekvence:

A y / A x = R (w)

a nazývá se amplitudově-frekvenční odezva (AFC). Fáze

posun j =j (w) je také funkcí frekvence a nazývá se fázová frekvenční odezva (PFC). Výpočtem R(w) a j(w) pro frekvenční rozsah (0…¥) je možné sestavit AFC graf na komplexní rovině v souřadnicích M(w) a iN(w) (obr. 3.17).

ω

R(ω)

ω cp

ω res

Obr.3.18. Amplitudo-frekvenční charakteristiky.

Frekvenční odezva systému 1 vykazuje rezonanční vrchol odpovídající největší amplitudě vynucených kmitů. Práce v oblasti v blízkosti rezonanční frekvence může být katastrofální a je často zcela nepřijatelná provozním řádem konkrétního regulovaného objektu. Frekvenční odezva typu 2 nemá rezonanční vrchol a je vhodnější pro mechanické systémy. Je také vidět, že s rostoucí frekvencí klesá amplituda výstupních oscilací. Fyzikálně se to dá snadno vysvětlit: každý systém je díky svým inherentním inerciálním vlastnostem snáze vystaven kolísání nízkými frekvencemi než vysokými frekvencemi. Počínaje určitou frekvencí se výstupní oscilace stává zanedbatelnou a tato frekvence se nazývá mezní frekvence a rozsah frekvencí pod mezní frekvencí se nazývá šířka pásma. V teorii automatického řízení je mezní frekvence brána jako taková, při které je hodnota frekvenční odezvy 10krát menší než při nulové frekvenci. Vlastnost systému tlumit vysokofrekvenční vibrace se nazývá vlastnost dolnopropustného filtru.

Uvažujme způsob výpočtu frekvenční charakteristiky na příkladu spoje druhého řádu, jehož diferenciální rovnice

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3,62)

V problémech s nucenou oscilací se často používá vizuálnější forma rovnice

(p 2 +2xš 0 p + š 0 2)y = kw 0 2 x, (3,63)

kde se nazývá vlastní frekvence kmitů při absenci tlumení, x =T 1 w 0 /2 je koeficient tlumení.

Funkce přenosu vypadá takto:

Nahrazením p = iw získáme amplitudově-fázovou charakteristiku

Pomocí pravidla pro dělení komplexních čísel získáme výraz pro frekvenční charakteristiku:

Určíme rezonanční frekvenci, při které má frekvenční charakteristika maximum. To odpovídá minimálnímu jmenovateli výrazu (3.66). Přirovnáním derivace jmenovatele vzhledem k frekvenci w k nule máme:

2(š 0 2 - š 2) (-2 š) +4x 2 š 0 2 *2 š = 0, (3,67)

odkud získáme hodnotu rezonanční frekvence, která se nerovná nule:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3,68)

Pojďme analyzovat tento výraz, pro který uvažujeme jednotlivé případy, které odpovídají různým hodnotám koeficientu útlumu.

1. x = 0. Rezonanční frekvence je rovna vlastní frekvenci a velikost frekvenční charakteristiky se mění do nekonečna. Jde o případ tzv. matematické rezonance.

2. Protože frekvence je vyjádřena kladným číslem a z (68) je pro tento případ získána buď nula nebo imaginární číslo, vyplývá, že při takových hodnotách koeficientu útlumu nemá frekvenční odezva rezonanční vrchol (křivku 2 na obr. 3.18).

3. Frekvenční odezva má rezonanční vrchol a s poklesem koeficientu útlumu se rezonanční kmitočet přibližuje svému vlastnímu a rezonanční vrchol je vyšší a ostřejší.

Typické odkazy lineární systémy lze určit různými ekvivalentními způsoby, zejména pomocí tzv. přenosové funkce, která má zpravidla zlomkově-racionální formu, tzn. což je poměr dvou polynomů:

kde b i a a j jsou koeficienty polynomů. Jedná se o tzv parametry přenosové funkce nebo spoje.

Přenosová funkce spojuje obraz Y(p) výstupního signálu y(t) spoje s obrazem X(p) jeho vstupního signálu x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1,2)

těch. umožňuje najít výstup y(t) z libovolného známého vstupního signálu x(t). To znamená, že z hlediska TAU přenosová funkce zcela charakterizuje řídicí systém nebo jeho vazbu. Totéž lze říci o množině koeficientů polynomů v čitateli a jmenovateli přenosové funkce.

Funkce přenosu odkazuW(p) je poměr Laplaceovy transformace výstupní veličiny k Laplaceově transformaci vstupní veličiny

2. Stručné informace o pozičních vazbách

Poziční odkazy zahrnují následující typické dynamické odkazy:

Bez setrvačnosti spoj,

Aperiodický spoj prvního řádu,

Aperiodický spoj druhého řádu,

Oscilační spojení

Konzervativní odkaz.

Časové charakteristiky polohových spojů jsou shrnuty v tabulce. 1. Zde jsou také uvedeny přenosové funkce odkazů.

A).Bez setrvačnosti spoj.

Tato vazba je popsána nejen ve statice, ale i v dynamice algebraickou rovnicí

X ven = k X vstup (2.1)

Přenosová funkce spoje je rovna konstantní hodnotě

W(p) = x ven (p)/x vstup (p) = k (2.2)

Příkladem takového spojení je: mechanická převodovka (bez zohlednění jevu kroucení a vůle), elektronický zesilovač bez setrvačnosti (širokopásmový), dělič napětí atd. Za spoje bez setrvačnosti lze považovat i řadu snímačů signálu, jako jsou potenciometrické snímače, indukční snímače, rotační transformátory a synchronizátory, fotobuňky atd.

Obecně platí, že spoj bez setrvačnosti je určitou idealizací skutečných vazeb. Ve skutečnosti se všechny spoje vyznačují určitou setrvačností, takže ani jeden spoj není schopen rovnoměrně procházet všemi frekvencemi od 0 do . Obvykle je na tento typ vazby redukováno jedno ze skutečných vazeb diskutovaných níže, například aperiodické nebo oscilační, pokud lze zanedbat vliv dynamických procesů v tomto spojení (tj. časové konstanty).

b)Aperiodický spoj 1. řádu

Tato vazba je popsána diferenciální rovnicí

, (2.3)

Kde T- časová konstanta, s,

k- koeficient přenosu spoje.

Funkce přenosu odkazu má tvar

(2.4)

Aperiodický spoj je nejjednodušší z těch spojů, které mají setrvačnost. Tento odkaz totiž nereaguje okamžitě, nejprve rychle, a pak stále více a více postupně na postupné ovlivňování. Děje se tak proto, že ve fyzickém originálu aperiodického spoje je jeden akumulační prvek (stejně jako jeden nebo více prvků spotřebovávajících energii), energie v něm uložená se nemůže v čase náhle měnit – to by vyžadovalo nekonečnou sílu.

Příklady aperiodických spojů 1. řádu zahrnují: motor jakéhokoli typu (elektrický, hydraulický, pneumatický), stejnosměrný generátor, el. R.C.- A LR- obvody, magnetický zesilovač, plynová nádrž, topná pec. Pracovní procesy v těchto jednotkách popisuje obecná rovnice (2.3).

PROTI)Aperiodický spoj 2. řádu

Diferenciální rovnice vazby má tvar:

(2.5)

V tomto případě kořeny charakteristické rovnice

p 2 + T 1  p+1=0 (2.6)

musí být skutečné, což bude za podmínky splněno

T 1  2  T 2 (2.7)

Budeme předpokládat, že procesy probíhající v ACS jsou popsány lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty. Omezíme se tedy na uvažování lineárního ACS s konstantními parametry, tzn. parametry, které nezávisí ani na čase, ani na stavu systému.

Nechť pro dynamický systém (viz obrázek)

diferenciální rovnice je zapsána ve formě operátora

kde D(P) a M(P) jsou polynomy v P.

P – operátor diferenciace;

x(t) – výstupní souřadnice systému;

g(t) – vliv vstupu.

Transformujme (1) podle Laplacea za předpokladu nulových počátečních podmínek.

Představme si notaci

;
,

dostaneme, když to vezmeme v úvahu

Používáme notaci

, (5)

pak rovnice (3) bude mít tvar:

. (6)

Rovnice (6) spojuje obraz X (S) výstupní souřadnice systému s obrazem G(S) vstupní akce. Funkce Ф(S) charakterizuje dynamické vlastnosti systému. Jak vyplývá z (4) a (5), tato funkce nezávisí na dopadu působícím na systém, ale závisí pouze na parametrech systému. S přihlédnutím k (6) funkci F(S) lze napsat následovně

Funkce Ф(S) se nazývá přenosová funkce systému. Z (7) je zřejmé, že přenosová funkce je poměrem Laplaceova obrazu vstupní souřadnice systému k Laplaceovu obrazu vstupní akce za nulových počátečních podmínek.

Znalost přenosové funkce systému Ф(S) Po určení obrazu G(S) vlivu g(t) aplikovaného na systém lze z (6) najít obraz X(S) výstupní souřadnice systému x (t), poté se přesuneme od obrázek X(S) na původní x(t) získá proces změny výstupní souřadnice systému, když je na tento systém aplikován vstupní vliv.

Polynom ve jmenovateli přenosové funkce se nazývá charakteristický polynom a rovnice

charakteristická rovnice.

Pro systém popsaný rovnicí n-tého řádu, charakteristická rovnice je algebraická rovnice n-tého stupně a má n kořenů, S 1 S 2... S n, mezi nimiž může být reálná i komplexní konjugovaná.

Kořen polynomu ve jmenovateli přenosové funkce se nazývá póly této přenosové funkce a v čitateli - nuly.

Představme si polynomy ve tvaru:

Proto ta přenosová funkce

. (11)

Z toho vyplývá, že určení nul a pólů určuje přenosovou funkci až do konstantního faktoru .

V případě, kdy jsou reálné části všech pólů přenosové funkce záporné, tzn.

, k=1,2…n, systém se nazývá stabilní. V něm přechodová složka výstupní veličiny (správný pohyb) časem slábne.

Frekvenční charakteristiky systému

Převod harmonického vstupního signálu lineárním systémem

Přenosová funkce automatického systému vzhledem k regulační akci g(t) je

(1)

Nechte dopad

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

A je potřeba určit změnu X(t) v ustáleném procesu, tzn. Najděte konkrétní řešení rovnice (1), o níž jsme hovořili dříve.

Všimněte si, že v důsledku aplikace vlivu dochází v systému k přechodnému procesu, který má časem tendenci k 0, protože předpokládá se, že systém je stabilní. Neuvažujeme o tom. Takový přechod nám umožňuje uvažovat akci g(t) zadanou na celé časové ose (neuvažuje se počáteční moment aplikace řídicí akce do systému) a použít dříve získaný výraz pro spektrální charakteristiku sinusoidy. .

Pro určení x(t) v ustáleném stavu transformujeme obě strany diferenciální rovnice (1) podle Fouriera. Tím myslíme to

;

,

všimněte si, že

přenosová funkce, ve které S

kromě

Poté se z (3) ve formuláři určí spektrální charakteristika vynucených kmitů regulované veličiny

V (4) funkční multiplikátor Ф(jω) zohledňuje změnu spektrální charakteristiky při průchodu vlivu g(t) lineárním dynamickým systémem.

Pojďme si to představit komplexní funkce Ф(jω) v demonstrativní podobě

a najděte x(t) pomocí vzorce inverzní Fourierovy transformace:

pomocí filtračních vlastností funkce delta as přihlédnutím k (5) budeme mít

Protože
,,

(6)

Z toho vyplývá, že v ustáleném stavu je odezva x(t) lineárního automatického systému na sinusové vlivy rovněž sinusoidou. Úhlové frekvence vstupních a výstupních signálů jsou stejné. Amplituda na výstupu systému je A 1 │ Ф(jω)│, a počáteční fáze je arg Ф(jω).

Pokud vstup lineárního systému dostává periodický vliv ve tvaru

,

pak pomocí principu superpozice, který platí pro lineární systém, zjistíme, že v tomto případě je nucený ustálený pohyb systému

(7)

Navíc by zde hodnota ω měla být dána diskrétními hodnotami, tzn. předpokládejme ω=kω 1

Znáte-li frekvenční spektra vstupního signálu, můžete snadno určit frekvenční spektra signálu na systémovém vstupu. Pokud je známo například amplitudové frekvenční spektrum A k vstupního signálu g(t), pak amplitudové frekvenční spektrum výstupního signálu je A k │ Ф(jkω 1 ) │.

V uvažovaných výrazech funkce Ф(jω) charakterizuje dynamické vlastnosti samotného automatického systému a nezávisí na povaze vlivů aplikovaných na systém. Lze jej snadno získat z přenosové funkce formálním nahrazením S za jω

Funkce Ф(jω) ze spojitého argumentu ω se nazývá amplitudově-fázová charakteristika systému AFC ve vztahu k řídicí akci g(t) aplikované na systém.

Na základě (3) lze AFC definovat také jako poměr spektrálních charakteristik signálu na jeho vstupu. AF modul  Ф(j )  charakterizuje změnu amplitudy harmonického signálu při jeho průchodu systémem a jeho argumentem je fázový posun signálu.

Funkce  Ф(j ) obdržel název amplitudově-frekvenční odezva (AFC) a funkci arg Ф(j ) – fázově-frekvenční odezva (PFC).

Nechť vliv g(t) aplikovaný na automatický systém je komplexní harmonická s frekvencí  1, tzn.

Reakce systému na takový dopad v ustáleném stavu je určena rovností

Nebo pomocí Eulerova vzorce

a také to

;

Integrál najdeme na pravé straně rovnosti pomocí filtračních vlastností delta funkce.

definuje v komplexní forma ustálená odezva systému na vliv ve formě komplexní harmonické s frekvencí 1.

AFC lze použít nejen k analýze ustálených oscilací na výstupu automatického systému, ale také k určení regulačního procesu jako celku. V druhém případě je vhodné uvažovat časový okamžik t 0 aplikace do řídicího systému jako nulový časový okamžik a použít vzorce jednostranné Fourierovy transformace. Po určení spektrální charakteristiky
a nalezení spektrální charakteristiky řízené proměnné pomocí vzorce

Změna řízené proměnné x(t) po aplikaci vlivu g(t) se zjistí pomocí vzorce inverzní Fourierovy transformace.

1. Přenosové funkce a frekvenční charakteristiky. Analogová komunikační zařízení

1. Přenosové funkce a frekvenční charakteristiky

Elektrický obvod jakékoli složitosti, který má dva páry svorek pro připojení ke zdroji a přijímači elektrické energie, se nazývá v komunikační technice. čtyřpól. Volají se svorky, ke kterým je zdroj připojen vstup, a svorky, ke kterým je připojen přijímač (zátěž). výstupní svorky (póly).

V obecný pohledČtyřpól je znázorněn tak, jak je znázorněno na obr. 1.1. Na vstup čtyřsvorkové sítě 1–1" je připojen zdroj elektrické energie s komplexní efektivní hodnotou napětí a vnitřním odporem". Na výstupní svorky 2–2" je připojena zátěž s odporem. Na vstupní svorky je přivedeno napětí s komplexní efektivní hodnotou a na výstupní svorky napětí s komplexní efektivní hodnotou. Vstupními svorkami protéká proud s komplexní efektivní hodnotou a výstupními svorkami proud s komplexní efektivní hodnotou. Všimněte si, že jiné sítě se čtyřmi terminály mohou fungovat jako zdroj a přijímač elektrické energie.

Na Obr. 1.1 se používají symbolická označení pro napětí a proudy. To znamená, že analýza elektrického obvodu se provádí na harmonické kmitání určité frekvence. Pro dané harmonické kmitání lze určit přenosová funkce zatížené čtyřportové sítě, což bude poměr komplexní efektivní hodnoty výstupní elektrické veličiny ke komplexní efektivní hodnotě vstupní elektrické veličiny.

Pokud za vstupní vliv považujeme napětí generátoru s komplexní efektivní hodnotou a odezvou dvousvorkové sítě na tento vliv je napětí s komplexní efektivní hodnotou nebo proud s komplexní efektivní hodnotou, získáme komplexní přenosové funkce obecného tvaru:

, (1.1)

. (1.2)

V konkrétních případech, kdy jsou specifikovanými vlivy napětí na vstupních svorkách čtyřpólu nebo proud procházející těmito svorkami, jsou získány následující čtyři typy přenosových funkcí:

– komplexní koeficient přenosu napětí (u aktivních dvoukoncových sítí, např. zesilovačů, se nazývá napěťový zisk);

– komplexní koeficient přenosu proudu (u aktivních obvodů – proudové zesílení);

– komplexní přenosový odpor;

– komplexní přenosová vodivost.

Často se používá v teorii obvodů normalizovaná nebo pracovní přenosová funkcečtyřpól:

, (1.3)

který se získá normalizací (1.1) faktorem .

Jako každá komplexní veličina N lze znázornit v demonstrativní formě:

, (1.4)

kde je modul komplexní přenosové funkce a j je její argument.

Zvažte komplexní funkci přenosu napětí

Dosazení do (1.5) zápisu komplexních efektivních hodnot

.

Z porovnání tohoto výrazu s (1.4) je zřejmé, že

,

modul funkce komplexního přenosu napětí (nebo komplexního napěťového zesílení) ukazuje, kolikrát se změní efektivní hodnota (amplituda) kmitání harmonického napětí na výstupu obvodu ve srovnání se stejnou hodnotou na vstupu obvodu, a argument této funkce určuje fázový posun mezi oscilacemi harmonického napětí na vstupu a výstupu.

Stejným způsobem můžete najít:

.

Vše, co bylo řečeno výše o koeficientu přenosu napětí, platí také pro koeficient přenosu proudu.

Pokud změníme frekvenci harmonického kmitání, pak výraz (1.4) zapíšeme ve tvaru:

. (1.6)

Volá se frekvenční funkce amplitudově-frekvenční charakteristika obvodu(AFC). Ukazuje, jaké změny obvod dělá v amplitudách harmonických kmitů při každé frekvenci.

Volá se frekvenční funkce fázově-frekvenční charakteristika obvodu(FCHH). V souladu s tím tato charakteristika ukazuje, jaký fázový posun nabývá harmonické kmitání každé frekvence, když se šíří obvodem.

Komplexní přenosovou funkci lze také reprezentovat v algebraické formě:

kde Re a Im označují skutečné a imaginární části komplexní veličiny.

Z teorie komplexních veličin je známo, že

Příklad 1.1

Určete koeficient přenosu napětí, frekvenční odezvu a fázovou odezvu obvodu znázorněného na Obr. 1,2, A.

Podle (1.5) píšeme

Pojďme najít komplexní funkci na výstupu obvodu:

Dosazením do vzorce pro získáme komplexní přenosovou funkci:

;

Změnou frekvence w z 0 na Ґ můžeme zobrazit grafy frekvenční charakteristiky a fázové odezvy obvodu (obr. 1.2, Obr. b A PROTI).

Frekvenční charakteristiku a fázovou charakteristiku obvodu lze znázornit jediným grafem, pokud vyneseme závislost komplexní přenosové funkce na frekvenci w na komplexní rovině. V tomto případě bude konec vektoru popisovat určitou křivku, která se nazývá hodograf komplexní přenosová funkce (obr. 1.3).

Odborníci tento koncept často používají logaritmická amplitudově-frekvenční charakteristika(LAH):

.

Hodnoty NA se měří v decibelech (dB). V aktivních obvodech obsahujících zesilovače hodnota NA také zvaný logaritmický zisk. U pasivních obvodů je místo faktoru zesílení zaveden koncept uvolnění řetězu:

, (1.7)

který se také měří v decibelech.

Příklad 1.2

Je známo, že modul koeficientu přenosu napětí obvodu nabývá následujících hodnot:

F= 0 kHz N(F) = 1

F= 1 kHz N(F) = 0,3

F= 2 kHz N(F) = 0,01

F= 4 kHz N(F) = 0,001

F= 8 kHz N(F) = 0,0001

Nakreslete graf zeslabení obvodu.

Hodnoty zeslabení řetězu vypočtené podle (1.7) jsou uvedeny v tabulce:

F, kHz
A(F), dB

Plán A(F) je znázorněn na Obr. 1.4.

Pokud se místo komplexních odporů kapacity a indukčnosti budeme zabývat operátorovými odpory kapacity a indukčnosti pL, pak ho ve výrazu musíte nahradit R.

Operátorovou přenosovou funkci řetězce lze zapsat v obecné podobě jako zlomkově-racionální funkci s reálnými koeficienty:

nebo ve formě

Kde – nuly; – póly přenosové funkce; .

Výměna operátora v (1.8) R na jw, opět získáme komplexní přenosovou funkci obvodu

,

kde je frekvenční odezva obvodu

Vzhledem k tomu, co je iracionální funkce, obvykle se při analýze a syntéze obvodů zabýváme druhou mocninou frekvenční odezvy:

kde koeficienty jsou získány kombinací koeficientů se stejnými mocninami proměnné w.

Příklad 1.3

Najděte koeficient přenosu napětí a druhou mocninu frekvenční charakteristiky obvodu znázorněného na Obr. 1,5, A.

Koeficient přenosu napětí tohoto obvodu je roven

Kde N = 1, , .

Kořeny čitatele tohoto racionálního zlomku, tj. nuly přenosové funkce,

.

Kořeny jmenovatele nebo póly přenosové funkce,

.

Na Obr. 1,5, b ukazuje umístění nul a pólů funkce at .

Podle Vietovy věty

.

Amplituda-frekvenční odezva se určí z nahrazením R na a výpočet modulu výsledné funkce

.

Druhá mocnina frekvenční charakteristiky bude zapsána ve tvaru

Kde ; ;

.

Frekvenční charakteristika obvodu je znázorněna na Obr. 1,5, PROTI.

Uveďme hlavní vlastnosti operátorských přenosových funkcí a druhou mocninu frekvenční odezvy pasivních obvodů:

1. Přenosová funkce je zlomkově-racionální funkce s reálnými koeficienty. Významnost koeficientů se vysvětluje tím, že jsou určeny prvky obvodu.

2. Póly přenosové funkce jsou umístěny v levé polorovině komplexní proměnné R. Neexistují žádná omezení pro umístění nul. Dokažme tuto vlastnost pomocí přenosové funkce jako příkladu. Zvolme vstupní akci nebo ve formě operátoru. Obraz výstupního napětí je v tomto případě číselně stejný, tzn.

kde je polynom v čitateli přenosové funkce; – koeficienty rozšíření zlomkové racionální funkce na součet jednoduchých zlomků.

Pojďme od obrázku k originálu:

kde v obecném případě .

U pasivních a stabilních aktivních čtyřpólů by měly mít kmity na výstupu čtyřpólu po ukončení vlivu tlumený charakter. To znamená, že v (1.13) musí být reálné části pólů záporné, tj. póly musí být v levé polorovině proměnné R.

3. Stupně polynomů čitatelů přenosové funkce a druhé mocniny frekvenční charakteristiky nepřesahují stupně polynomů jmenovatelů, tzn. n F m. Pokud by tato vlastnost nebyla splněna, pak by při nekonečně vysokých frekvencích frekvenční odezva trvala nekonečně velká důležitost(protože čitatel by rostl s rostoucí frekvencí rychleji než jmenovatel), tj. obvod by měl nekonečný zisk, což je v rozporu s fyzikálním významem.

4. Kvadrát frekvenční odezvy je sudá racionální funkce proměnné w s reálnými koeficienty. Tato vlastnost jasně vyplývá ze způsobu získání druhé mocniny frekvenční odezvy z přenosové funkce.

5. Druhá mocnina frekvenční odezvy nemůže nabývat záporných a nekonečně velkých hodnot pro w > 0. Nezápornost vyplývá z vlastností kvadrátu modulu komplexní veličiny. Konečnost hodnot frekvenční odezvy na skutečných frekvencích je vysvětlena stejným způsobem jako ve vlastnosti 3.

Většina závislých zdrojových obvodů má alespoň dvě signálové cesty: dopřednou (ze vstupu na výstup) a zpětnou (z výstupu na vstup). Zpětná signálová cesta je realizována pomocí speciálního obvodu zpětná vazba(OS). Takových cest, a tedy obvodů OS, může být několik. Přítomnost OS v obvodech se závislými zdroji jim dává nové cenné vlastnosti, které obvody bez OS nemají. Například pomocí obvodů OS je možné dosáhnout teplotní stabilizace provozního režimu obvodu, snížit nelineární zkreslení, která se vyskytují v obvodech s nelineárními prvky atd.

Libovolný obvod se zpětnou vazbou lze znázornit jako složený ze dvou čtyřsvorkových sítí (obr. 1.6).

Aktivní lineární dvouportová síť s funkcí přenosu napětí je zesilovač. Někdy se nazývá hlavní prvek obvodu a říká se, že tvoří přímý zesilovací kanál.

Pasivní čtyřsvorková síť s funkcí přenosu napětí se nazývá zpětnovazební obvod. Na vstupu obvodu se sečte vstupní napětí a zpětnovazební napětí.

Odvoďme vzorec pro přenosovou funkci pro napětí obvodu znázorněného na Obr. 1.6. Nechte na vstup přivést napětí. Obraz jeho kamery. Na výstupu obvodu se objeví napětí. Podle Obr. 1.6 jeho obraz z kamery

Obraz operátora lze zapsat pomocí přenosové funkce zpětnovazebního obvodu

Potom lze výraz (1.14) přepsat jako

Funkce přenosu operátora pro napětí obvodu s OS (viz obr. 1.6).

. (1.16)

Příklad 1.4

Na Obr. Obrázek 1.7 ukazuje obvod operačního zesilovače (OPA) určený pro škálování napětí. Najděte přenosovou funkci tohoto obvodu.

Získejte přenosovou funkci tohoto obvodu jako zpětnovazebního obvodu pomocí vzorce (1.16).

Zpětnovazební obvod ve schématu na Obr. 1.7 slouží jako dělič napětí ve tvaru L, složený z odporových odporů a. Výstupní napětí zesilovače je přiváděno na vstup obvodu OS; Napětí OS je odstraněno z rezistoru. Přenosová funkce pro napětí obvodu OS

Použijme vzorec (1.16) a vezměme v úvahu, že vstupní napětí a zpětnovazební napětí se nesčítají, ale odečítají. Potom získáme přenosovou funkci zesilovače stupnice:

.

Vzhledem k tomu, že ve skutečných operačních zesilovačích je hodnota >> 1, nakonec máme:

Příklad 1.5

Spojení na operačním zesilovači s frekvenčně závislou zpětnou vazbou je znázorněno na Obr. 1.8. Najděte přenosovou funkci tohoto odkazu.

Pro analýzu přímé signálové cesty a signálové cesty OS je nutné použít metodu superpozice. Chcete-li to provést, měli byste střídavě odstranit zdroje vstupního napětí a zpětnovazebního napětí a nahradit je vnitřním odporem. V případě ideálních zdrojů napětí je jejich vnitřní odpor nulový. Napětí aplikované na spoj je zeslabeno vstupním obvodem, což je dělič napětí ve tvaru L s odpory v ramenech. Funkce přenosu napětí takového děliče je rovna

Zpětnovazební obvod je rovněž čtyřportová síť ve tvaru L s přenosovou funkcí.

Zisk operačního zesilovače.

Podle vzorce (1.16) získáme funkci přenosu odkazu:

Vzhledem k tomu, že >> 1, dostaneme:

.

Tento spoj může plnit různé funkce v závislosti na typu odporu a. At a spoj se změní v invertující zesilovač stupnice; u a – integrátorovi; at a – do diferenciátoru.

Příklad 1.6

Spojení druhého řádu s nastavitelným zesílením je znázorněno na Obr. 1,9, A. Najděte přenosovou funkci tohoto odkazu.

Analýza průchodu vstupního signálu a signálu v obvodu OS ukazuje, že linka má vstupní obvod znázorněný na Obr. 1,9, b a obvod OS znázorněný na Obr. 1,9, PROTI. Přenosové funkce těchto obvodů lze získat maticová metoda například uvažovat každý obvod jako kaskádové spojení odpovídajících čtyřpólů ve tvaru L.

Pro vstupní obvod

Pro obvod OS

. (1.18)

Vezmeme-li v úvahu (1.16), získáme funkci přenosu odkazu

. (1.19)

Zisk zesilovače. Potom dosazením (1.17) a (1.18) do (1.19) po transformaci máme

.

Přechod na (1.16) od operátora R operátorovi získáme komplexní přenosovou funkci

. (1.20)

Produktem je komplexní přenosová funkce zesilovače a zpětnovazebního obvodu za předpokladu porušení zpětné vazby (obr. 1.10). Funkce se nazývá přenosová funkce smyčky OS resp zisk smyčky. Pojďme si představit pojmy pozitivní a negativní zpětná vazba. Tyto koncepty hrají významnou roli v teorii zpětnovazebních obvodů.

Předpokládejme nejprve, že přenosové funkce , , nezávisí na frekvenci a jsou reálnými čísly. Tato situace je možná, když neexistují žádné L.C.-Prvky. To může být jak pozitivní, tak záporné číslo. V prvním případě je fázový posun mezi vstupním a výstupním napětím nebo jinými slovy fázový posun podél zpětnovazební smyčky nulový nebo . k= 0, 1, 2, ... Ve druhém případě, kdy , je fázový posun podél této smyčky roven nebo .

Pokud je v obvodu se zpětnou vazbou fázový posun podél smyčky nulový, pak je zpětná vazba volána pozitivní, pokud je fázový posun roven , pak se taková zpětná vazba nazývá negativní.

Přenosová funkce může být reprezentována jako vektory a zobrazena v komplexní rovině. Při kladné zpětné vazbě je vektor na kladné reálné poloose a při záporné zpětné vazbě na záporné reálné poloose.

Křivka, kterou konec vektoru popisuje jako změny frekvence w (obr. 1.11), se, jak známo, nazývá hodograf.

Znázornění ve formě hodografu umožňuje určit typ zpětné vazby v případě frekvenčně závislé zpětné vazby.

Představme si pojmy stabilní a nestabilní řetězce. Řetěz se nazývá udržitelného, pokud mají volné oscilace časem tendenci k nule. Jinak se říká řetěz nestabilní. Z teorie přechodných procesů vyplývá, že řetězec je stabilní, pokud kořeny charakteristické rovnice leží v levé polorovině komplexní proměnné p. Pokud kořeny takové rovnice leží v pravé polorovině, pak je obvod nestabilní, to znamená, že je v režimu samobuzení. K určení podmínek stability řetězce tedy stačí najít charakteristickou rovnici a její kořeny. Jak vidíme, podmínky stability lze určit bez zavedení konceptu zpětné vazby. Zde však nastává řada problémů. Faktem je, že odvození charakteristické rovnice a určení jejích kořenů je těžkopádný postup, zejména u obvodů vysoký řád. Zavedení konceptu zpětné vazby usnadňuje získání charakteristické rovnice nebo dokonce umožňuje obejít se bez ní. Je také nesmírně důležité, aby koncept zpětné vazby byl adekvátní fyzikálním procesům probíhajícím v obvodu, aby byly jasnější. Hluboké porozumění fyzikálním procesům usnadňuje vytváření samooscilátorů, zesilovačů atd.

Uvažujme obvod (viz obr. 1.6) a odvodíme jeho charakteristickou rovnici. Nechat a proto . Potom z (1.15) vyplývá:

. (1.22)

Zapíšeme-li přenosovou funkci hlavního obvodu ve tvaru a obvody OS jsou , pak rovnice (1.22) bude přepsána následovně:

Tato rovnost platí, když

Výraz na levé straně této rovnosti je polynom, proto (1.23) lze zapsat v obecném tvaru:

Toto je charakteristická rovnice obvodu.

Kořeny rovnice (1.24) jsou v obecném případě komplexní veličiny

Kde . Když známe kořeny charakteristické rovnice, můžeme napsat výstupní napětí:

Aby se napětí neomezeně nezvyšovalo, všechny kořeny Charakteristická rovnice musí mít záporné reálné části, to znamená, že kořeny musí být umístěny v levé polorovině komplexní proměnné. Obvod s operačním systémem, který má takové vlastnosti, se nazývá absolutně stabilní.

Při studiu obvodů s uzavřenou smyčkou mohou nastat dva problémy. Pokud musí být navržený obvod stabilní, pak je nutné mít kritérium, které by na základě typu funkcí umožnilo posoudit absenci kořenů charakteristické rovnice v pravé polorovině. R. Pokud je zpětná vazba použita k vytvoření nestabilního samooscilačního obvodu, pak byste měli dbát na to, aby kořeny rovnice (1.24) byly umístěny naopak v pravé polorovině. V tomto případě je nutné mít takové uspořádání kořenů, ve kterém by docházelo k samobuzení na požadované frekvenci.

Uvažujme kritérium stability obvodu, tzv. Nyquistovo kritérium, které nám umožňuje posuzovat stabilitu obvodu se zpětnou vazbou na základě vlastností otevřeného obvodu (obr. 1.10).

Přenosová funkce otevřeného obvodu neboli zisk smyčky je zahrnuta v charakteristické rovnici (1.22):

, (1.26)

Pokud existuje frekvence w, pro kterou konec vektoru spadá do bodu se souřadnicemi (1, j 0), pak to bude znamenat, že podmínka (1.26) je splněna, tj. v obvodu na této frekvenci dojde k samobuzení. To znamená, že hodograf lze použít k určení, zda je řetěz stabilní nebo ne. Pro tento účel se používá Nyquistovo kritérium, které je formulováno takto: pokud hodograf funkce přenosu naprázdno nepokrývá bod souřadnicemi(1, j 0), pak s uzavřeným zpětnovazebním obvodem je obvod stabilní. V případě, že hodograf pokrývá bod (1, j X 1 lze zapsat ve formě dvou podmínek: ve stacionárním režimu. NA= 2, křivka 1) a nestabilní ( NA= 3, křivka 2; NA= 4, křivka 3) řetězu.

Otázky a úkoly pro autotest

1. Co je komplexní přenosová funkce? Jaké typy komplexních přenosových funkcí kvadripólové sítě známe?

2. Určete koeficient přenosu napětí, frekvenční odezvu a fázovou odezvu obvodu znázorněného na Obr. 1,2, A, pokud je výstupní napětí napětí na rezistoru R. Sestrojte grafy frekvenční odezvy a fázové odezvy.

Odpovědět: ; ; 90° – arctan w R.C..

3. Určete koeficient přenosu napětí naprázdno a koeficient přenosu proudu při zkratu pro čtyřbranovou síť ve tvaru U, ve které je indukčnost zahrnuta v podélné větvi. L, a v příčných větvích - kapacita S. Odpovědět: .

4. Určete útlum zavedený obvodem Obr. 1,2, A, na R= 31,8 kOhm a = 10 kOhm.

Odpovědět: 12 dB.

5. Co je funkce přenosu operátora? Jak to souvisí s komplexní přenosovou funkcí? Jak určit nuly a póly funkce operátorského přenosu?

6. Určete operátorovou přenosovou funkci, komplexní koeficient přenosu napětí, frekvenční charakteristiku a druhou mocninu frekvenční charakteristiky sériového oscilačního obvodu znázorněného na Obr. 1,5, A, pokud je výstupní napětí napětí na kondenzátoru S. Nakreslete graf frekvenční charakteristiky obvodu.

Odpovědět: ; .

7. Vyjmenujte hlavní vlastnosti operátorských přenosových funkcí pasivních obvodů.

8. Jak se vypočítá přenosová funkce obvodu s uzavřenou smyčkou?

9. Dokažte, že operátorská přenosová funkce derivátoru na operačním zesilovači je rovna (– pRC). Sestrojte graf frekvenční charakteristiky takového derivátoru.

11. Určete přenosovou funkci filtru znázorněného na Obr. 1.13.

Odpovědět: .

12. Co je to hodograf zesílení smyčky? Jak určit typ zpětné vazby pomocí hodografu?

13. Jak je formulováno Nyquistovo kritérium stability? Pro jaké obvody se používá?

14. Určete komplexní přenosovou funkci otevřeného obvodu znázorněného na Obr. 1.13. Prozkoumejte závislost stability obvodu na hodnotě zesílení NA.

LINEÁRNÍ SYSTÉMY

AUTOMATICKÉ OVLÁDÁNÍ

Nakladatelství Omská státní technická univerzita

Ministerstvo školství a vědy Ruská Federace

Stát vzdělávací instituce

vyšší odborné vzdělání

"Omská státní technická univerzita"

LINEÁRNÍ SYSTÉMY

AUTOMATICKÉ OVLÁDÁNÍ

Pokyny pro praktickou práci

Nakladatelství Omská státní technická univerzita

Zkompilovaný E. V. Shendaleva, Ph.D. tech. vědy

Publikace obsahuje pokyny provádět praktickou práci na teorii automatického řízení.

Určeno pro studenty specializace 200503 „Standardizace a certifikace“, studující obor „Základy automatického řízení“.

Vychází rozhodnutím redakční a vydavatelské rady

Státní technická univerzita v Omsku

© GOU VPO "Stát Omsk

Technická univerzita“, 2011

Potřeba použít metodologii teorie řízení pro specialisty na standardizaci a certifikaci vzniká při určování:

1) kvantitativní a (nebo) kvalitativní charakteristiky vlastností zkušebního objektu v důsledku vlivu na něj během jeho provozu, při modelování objektu a (nebo) vlivů, jejichž zákonitost změny musí být zajištěna pomocí automatického kontrolní systém;

2) dynamické vlastnosti měřeného a zkušebního objektu;

3) vliv dynamických vlastností měřicích přístrojů na výsledky měření a zkoušek objektu.

Metody studia objektů jsou diskutovány v praktických pracích.

Praktická práce 1

Dynamické funkce

Cvičení 1.1

Najděte funkci vážení w(t) podle známé přechodové funkce

h(t) = 2(1–e –0,2 t).

Řešení

w(t)=h¢( t), tedy při odlišení původního výrazu

w(t)=0,4e –0,2 t .

Cvičení 1.2

Najděte přenosovou funkci systému pomocí diferenciální rovnice 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5X(t). Počáteční podmínky jsou nulové.

Řešení

Diferenciální rovnice se převede do standardního tvaru dělením koeficientem členu y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5X(t).

Výsledná rovnice je transformována podle Laplacea

0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5X(s)

a poté zapsán jako přenosová funkce:

Kde s= a + i w je Laplaceův operátor.

Cvičení 1.3

Najděte přenosovou funkci W(s) systémy využívající známou váhovou funkci w(t)=5–t.

Řešení

Laplaceova transformace

. (1.1)

Použití vztahu mezi přenosovou funkcí a váhovou funkcí W(s) = w(s), dostaneme

.

Laplaceovu transformaci lze získat výpočtem (1.1), pomocí tabulek Laplaceovy transformace nebo pomocí balíčku software Matlab. Program v Matlabu je uveden níže.

s t

x = 5-t funkce % času

y=laplace(x)% Laplaceova transformovaná funkce.

Cvičení 1.4

Pomocí přenosové funkce systému najděte jeho reakci na jednokrokovou akci (přechodová funkce)

.

Řešení

Inverzní Laplaceova transformace

, (1.2)

kde c je úsečka konvergence X(s).

Podle principu superpozice, platného pro lineární systémy

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

Kde h(t) – přechodová funkce celého systému;

h 1 (t) – přechodová funkce integračního článku

;

h 2 (t) – přechodná funkce zesilovací sekce

.

Je známo že h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2 ×δ( t), Pak h(t)=k 1× t+k 2 ×δ( t).

Inverzní Laplaceovu transformaci lze získat výpočtem (1.2), pomocí tabulek Laplaceovy transformace nebo pomocí softwarového balíku Matlab. Program v Matlabu je uveden níže.

syms s k1 k2% označení symbolické proměnné

y=k1/s+k2% Laplaceova transformovaná funkce

x=ilaplace(y) funkce % času.

Cvičení 1.5

Najděte amplitudově-frekvenční a fázově-frekvenční charakteristiky pomocí známé přenosové funkce systému

.

Řešení

Pro určení amplitudově-frekvenční (AFC) a fázově-frekvenční charakteristiky (PFC) je nutné přejít od přenosové funkce k amplitudově-fázové charakteristice W(i w), proč měnit argument s → i w

.

Poté reprezentujte AFC ve formuláři W(i w)= P(w)+ iQ(w), kde P(w) – reálná část, Q(w) je pomyslná část AFC. Pro získání skutečné a imaginární části AFC je nutné vynásobit čitatel a jmenovatel komplexní číslo, konjugujte s výrazem ve jmenovateli:

Frekvenční odezva a fázová odezva se určují podle vzorců

, ;

,

Amplitudo-fázová charakteristika W(j w) mohou být zastoupeny ve formě

.

Cvičení 1.6

Definujte signál y(t) na výstupu systému na základě známého vstupního signálu a přenosové funkce systému

X(t)=2sin10 t; .

Je známo, že při vystavení vstupnímu signálu X(t)=B sinw t výstupní signál do systému y(t) bude také harmonický, ale bude se lišit od vstupní amplitudy a fáze

y(t) = B× A(w) hřích

Kde A(w) – frekvenční odezva systému; j(w) – fázová odezva systému.

Pomocí přenosové funkce určíme frekvenční charakteristiku a fázovou charakteristiku

j(w)=–arctg0,1w.

Při frekvenci w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 a j(10) = –arctg1=–0,25 p.

Pak y(t) = 2×2 hřích(10 t–0,25p) = 4 hříchy(10 t–0,25 p).

Kontrolní otázky :

1. Definujte pojem váhové funkce.

2. Definujte pojem přechodové funkce.

3. K jakému účelu se používá Laplaceova transformace při popisu dynamických vazeb?

4. Jaké rovnice se nazývají lineární diferenciál?

5. Za jakým účelem se při přechodu na rovnici ve tvaru operátora původní diferenciální rovnice převádí do standardního tvaru?

6. Jak se ze jmenovatele amplitudově-fázové charakteristiky vyloučí výraz s imaginárním číslem?

7. V softwarovém balíku Matlab zadejte přímý příkaz Laplaceovy transformace.

8. Zadejte příkaz inverzní Laplaceovy transformace v softwarovém balíku Matlab.

Praktická práce 2

Přenosové funkce

Cvičení 2.1

Najděte přenosovou funkci systému na základě jeho strukturálního diagramu.

Řešení

Hlavní způsoby spojování spojů v blokových schématech jsou: paralelní, sériové a spojovací spoje se zpětnou vazbou (typické úseky spojů).

Přenosová funkce systému paralelně spojených spojů je rovna součtu přenosových funkcí jednotlivých spojů (obr. 2.1)

. (2.1)

Rýže. 2.1. Paralelní spojení odkazů

Přenosová funkce soustavy sériově zapojených spojů je rovna součinu přenosových funkcí jednotlivých spojů (obr. 2.2)

(2.2)

Rýže. 2.2. Sériové zapojení odkazů

Zpětná vazba je přenos signálu z výstupu spoje na jeho vstup, kde je zpětnovazební signál algebraicky sečten s externím signálem (obr. 2.3).

Rýže. 2.3 Souvislost se zpětnou vazbou: a) pozitivní, b) negativní

Přenosová funkce kladné zpětné vazby

, (2.3)

přenosová funkce záporného zpětnovazebního spojení

. (2.4)

Definice přenosové funkce komplexní systémřízení probíhá po etapách. K tomu jsou identifikovány sekce obsahující sériová, paralelní připojení a připojení se zpětnou vazbou (typické sekce spojů) (obr. 2.4).

W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); .

Rýže. 2.4. Blokové schéma řídicího systému

Poté je vybraný typický úsek spojů nahrazen jedním spojem s vypočtenou přenosovou funkcí a postup výpočtu se opakuje (obr. 2.5 - 2.7).

Rýže. 2.5. Nahrazení paralelních a uzavřených spojení jedním spojem

Rýže. 2.6. Nahrazení zpětné vazby jedním odkazem

Rýže. 2.7. Nahrazení sériového připojení jedním spojem

(2.5)

Cvičení 2.2

Určete přenosovou funkci, jsou-li přenosové funkce jejích součástí:

Řešení

Při dosazení do (2.5) přenosové funkce vazeb

Transformaci blokového diagramu vzhledem k akci řízení vstupu (obr. 2.7, 2.11) lze získat výpočtem (2.5) nebo pomocí softwarového balíku Matlab. Program v Matlabu je uveden níže.

W1=tf(,)% Funkce přenosu W 1

W2=tf(,)% Funkce přenosu W 2

W3=tf(,)% Funkce přenosu W 3

W4=tf(,)% Funkce přenosu W 4

W5=tf(,)% Funkce přenosu W 5

W34=paralelní(W3,W4)% paralelního připojení ( W 3 + W 4)

W25=zpětná vazba(W2,W5)

W134=zpětná vazba(W1,W34)% negativní zpětná vazba

W12345=řada(W134,W25)% sériového připojení ( W 134× W 25)

W=feedback(W12345,1)

Cvičení 2.3.

Najděte přenosovou funkci systému s uzavřenou smyčkou na základě poruchy

Řešení

Abychom mohli určit přenosovou funkci komplexního systému z rušivého vlivu, je nutné ji zjednodušit a uvažovat relativně k rušivému vstupnímu vlivu (obr. 2.8 - 2.12).

Obr.2.8. Počáteční blokové schéma automatického systému

Rýže. 2.9. Zjednodušení blokového schématu

Rýže. 2.10. Zjednodušené blokové schéma

Rýže. 2.11. Blokové schéma vzhledem k akci řízení vstupu

Rýže. 2.12. Blokové schéma systému vzhledem k rušivému vlivu

Po převedení strukturního diagramu na jednookruhový, funkce přenosu rušivého vlivu F(t)

(2.6)

Transformaci strukturního diagramu s ohledem na rušivý vliv (obr. 2.12) lze získat výpočtem (2.6) nebo pomocí softwarového balíku Matlab.

W1=tf(,)% Funkce přenosu W 1

W2=tf(,)% Funkce přenosu W 2

W3=tf(,)% Funkce přenosu W 3

W4=tf(,)% Funkce přenosu W 4

W5=tf(,)% Funkce přenosu W 5

W34=paralelní(W3,W4)% paralelní připojení

W25=zpětná vazba(W2,W5)% negativní zpětná vazba

W134=zpětná vazba(W1,W34)% negativní zpětná vazba

Wf=feedback(W25,W134)% negativní zpětná vazba.

Cvičení 2. 4

Určete přenosovou funkci systému s uzavřenou smyčkou pro chybu.

Řešení

Blokové schéma pro určení přenosové funkce systému s uzavřenou smyčkou pro chybu řízení je na Obr. 2.13.

Rýže. 2.13. Blokové schéma systému týkající se chyby řízení

Funkce přenosu v uzavřené smyčce pro chybu

(2.7)

Při střídání číselné hodnoty

Transformaci blokového diagramu vzhledem k signálu chyby řízení (obr. 2.13) lze získat výpočtem (2.7) nebo pomocí softwarového balíku Matlab.

W1=tf(,)% Funkce přenosu W 1

W2=tf(,)% Funkce přenosu W 2

W3=tf(,)% Funkce přenosu W 3

W4=tf(,)% Funkce přenosu W 4

W5=tf(,)% Funkce přenosu W 5

W34=paralelní(W3,W4)% paralelního připojení)

W25=zpětná vazba(W2,W5)% negativní zpětná vazba

W134=zpětná vazba(W1,W34)% negativní zpětná vazba

We=feedback(1,W134*W25)% negativní zpětná vazba

Kontrolní otázky:

1. Uveďte hlavní způsoby připojení vazeb v blokových diagramech.

2. Určete přenosovou funkci systému paralelně spojených spojů.

3. Určete přenosovou funkci soustavy sériově zapojených článků.

4. Definujte přenosovou funkci kladné zpětné vazby.

5. Definujte přenosovou funkci záporné zpětné vazby.

6. Určete přenosovou funkci komunikační linky.

7. Který příkaz Matlabu se používá k určení přenosové funkce dvou paralelně propojených spojů?

8. Který příkaz Matlabu se používá k určení přenosové funkce dvou sériově zapojených spojů?

9. Který příkaz Matlabu se používá k určení přenosové funkce spoje pokrytého zpětnou vazbou?

10. Nakreslete blokové schéma systému pro určení přenosové funkce pro řídicí akci.

11. Napište přenosovou funkci pro řídicí akci.

12. Nakreslete blokové schéma systému pro určení přenosové funkce na základě rušivého parametru.

13. Napište přenosovou funkci pro rušivý parametr.

14. Nakreslete blokové schéma systému pro určení přenosové funkce pro chybu řízení.

15. Napište přenosovou funkci pro chybu řízení.

Praktická práce 3

Rozklad komplexní přenosové funkce