Jednotlivé typy lineárních diferenciálních rovnic 2. řádu. Diferenciální rovnice druhého a vyšších řádů

Základy řešení lineárních nehomogenních diferenciální rovnice druhého řádu (LNDU-2) s konstantní koeficienty(PC)

LDDE 2. řádu s konstantními koeficienty $p$ a $q$ má tvar $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kde $f\left(x \right)$ je spojitá funkce.

Pokud jde o LNDU 2 s PC, platí následující dvě tvrzení.

Předpokládejme, že nějaká funkce $U$ je libovolné parciální řešení nehomogenní diferenciální rovnice. Předpokládejme také, že nějaká funkce $Y$ je obecným řešením (GS) odpovídající lineární homogenní diferenciální rovnice (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. LHDE-2 se rovná součtu uvedených soukromých a obecných řešení, tedy $y=U+Y$.

Li pravá část LPDE 2. řádu je součet funkcí, to znamená $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, pak nejprve najdeme PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$, které odpovídají každé z funkcí $f_ (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a poté zapište CR LNDU-2 do tvar $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Řešení LPDE 2. řádu s PC

Je zřejmé, že typ toho či onoho PD $U$ daného LNDU-2 závisí na konkrétním tvaru jeho pravé strany $f\left(x\right)$. Nejjednodušší případy vyhledávání PD LNDU-2 jsou formulovány formou následujících čtyř pravidel.

Pravidlo č. 1.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, to znamená, že se nazývá polynom stupně $n$. Pak se hledá jeho PD $U$ ve tvaru $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kde $Q_(n) \left(x\right)$ je jiný polynom stejného stupně jako $P_(n) \left(x\right)$ a $r$ je počet kořenů charakteristická rovnice odpovídající LOD-2, rovna nule. Koeficienty polynomu $Q_(n) \left(x\right)$ se najdou pomocí metody nejisté koeficienty(NK).

Pravidlo č. 2.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kde $P_(n) \left( x\right)$ je polynom stupně $n$. Pak se hledá jeho PD $U$ ve tvaru $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kde $Q_(n ) \ left(x\right)$ je další polynom stejného stupně jako $P_(n) \left(x\right)$ a $r$ je počet kořenů charakteristické rovnice odpovídajícího LODE-2 rovno $\alpha $. Koeficienty polynomu $Q_(n) \left(x\right)$ se zjišťují NC metodou.

Pravidlo č. 3.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kde jsou $a$, $b$ a $\beta$ známá čísla. Pak se hledá jeho PD $U$ ve tvaru $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kde $A$ a $B$ jsou neznámé koeficienty a $r$ je počet kořenů charakteristické rovnice odpovídajícího LODE-2, rovný $i\cdot \beta $. Koeficienty $A$ a $B$ se zjišťují pomocí nedestruktivní metody.

Pravidlo č. 4.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kde $P_(n) \left(x\right)$ je polynom stupně $ n$ a $P_(m) \left(x\right)$ je polynom stupně $m$. Pak se hledá jeho PD $U$ ve tvaru $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kde $Q_(s) \left(x\right)$ a $ R_(s) \left(x\right)$ jsou polynomy stupně $s$, číslo $s$ je maximum ze dvou čísel $n$ a $m$ a $r$ je počet kořenů charakteristické rovnice odpovídající LODE-2, rovné $\alpha +i\cdot \beta $. Koeficienty polynomů $Q_(s) \left(x\right)$ a $R_(s) \left(x\right)$ se zjišťují NC metodou.

Metoda NK spočívá v aplikaci následujícího pravidla. Abychom našli neznámé koeficienty polynomu, které jsou součástí parciálního řešení nehomogenní diferenciální rovnice LNDU-2, je nutné:

• nahraďte zapsaným PD $U$ obecný pohled, V levá strana LNDU-2;
• na levé straně LNDU-2 proveďte zjednodušení a skupinové výrazy se stejnými mocninami $x$;
• ve výsledné identitě srovnejte koeficienty členů se stejnými mocninami $x$ levé a pravé strany;
• řešit výslednou soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficienty.

Příklad 1

Úkol: najděte OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Najděte také PD , splňující počáteční podmínky $y=6$ pro $x=0$ a $y"=1$ pro $x=0$.

Zapíšeme si odpovídající LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Charakteristická rovnice: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Kořeny charakteristické rovnice jsou: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Tyto kořeny jsou platné a odlišné. OR odpovídajícího LODE-2 má tedy tvar: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Pravá strana tohoto LNDU-2 má tvar $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Je nutné uvažovat koeficient exponentu $\alpha =3$. Tento koeficient se neshoduje s žádným z kořenů charakteristické rovnice. Proto má PD tohoto LNDU-2 tvar $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Koeficienty $A$, $B$ budeme hledat pomocí NC metody.

Najdeme první český derivát:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Najdeme druhý derivát Česka:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Do daného NLDE-2 $y""-3\cdot y" dosadíme funkce $U""$, $U"$ a $U$ místo $y""$, $y"$ a $y$ -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Navíc, protože exponent $e^(3\cdot x)$ je zahrnut jako faktor ve všech komponentách, pak jej lze vynechat. Dostaneme:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Provádíme akce na levé straně výsledné rovnosti:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Používáme metodu NDT. Získáme soustavu lineárních rovnic se dvěma neznámými:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12,$

Řešení tohoto systému je: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pro náš problém vypadá takto: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ pro náš problém vypadá takto: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Abychom našli PD, která splňuje dané počáteční podmínky, najdeme derivaci $y"$ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Do $y$ a $y"$ dosadíme počáteční podmínky $y=6$ pro $x=0$ a $y"=1$ pro $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2)-1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5,$

Dostali jsme soustavu rovnic:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Pojďme to vyřešit. Najdeme $C_(1) $ pomocí Cramerova vzorce a $C_(2) $ určíme z první rovnice:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(pole)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(pole)\right|)(\left|\ begin(pole)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(pole)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2)=7-C_(1)=7-4=3,$

PD této diferenciální rovnice má tedy tvar: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Zde použijeme metodu variace Lagrangeových konstant k řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic druhého řádu. Detailní popis tato metoda pro řešení rovnic libovolného řádu je popsána na stránce
Řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic vyšších řádů Lagrangeovou metodou >>>.

Příklad 1

Vyřešte diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty pomocí metody variace Lagrangeových konstant:
(1)

Řešení

Nejprve vyřešíme homogenní diferenciální rovnici:
(2)

Toto je rovnice druhého řádu.

Řešení kvadratické rovnice:
.
Více kořenů: . Základní systém řešení rovnice (2) má tvar:
(3) .
Odtud dostaneme obecné řešení homogenní rovnice (2):
(4) .

Změna konstant C 1 a C 2 . To znamená, že konstanty v (4) nahradíme funkcemi:
.
Hledáte řešení původní rovnice(1) jako:
(5) .

Hledání derivátu:
.
Propojme funkce a rovnici:
(6) .
Pak
.

Najdeme druhou derivaci:
.
Dosaďte do původní rovnice (1):
(1) ;



.
Protože a splňují homogenní rovnici (2), součet členů v každém sloupci posledních tří řádků dává nulu a předchozí rovnice má tvar:
(7) .
Tady .

Spolu s rovnicí (6) získáme soustavu rovnic pro určení funkcí a:
(6) :
(7) .

Řešení soustavy rovnic

Řešíme soustavu rovnic (6-7). Zapišme si výrazy pro funkce a:
.
Najdeme jejich deriváty:
;
.

Soustavu rovnic (6-7) řešíme Cramerovou metodou. Vypočítáme determinant matice systému:

.
Pomocí Cramerových vzorců zjistíme:
;
.

Našli jsme tedy derivace funkcí:
;
.
Pojďme integrovat (viz Metody integrace kořenů). Provádění substituce
; ; ; .

.
.

;
.

Odpovědět

Příklad 2

Řešte diferenciální rovnici metodou variace Lagrangeových konstant:
(8)

Řešení

Krok 1. Řešení homogenní rovnice

Řešíme homogenní diferenciální rovnici:

(9)
Hledáme řešení ve formě . Sestavíme charakteristickou rovnici:

Tato rovnice má složité kořeny:
.
Základní systém řešení odpovídající těmto kořenům má tvar:
(10) .
Obecné řešení homogenní rovnice (9):
(11) .

Krok 2. Variace konstant - nahrazení konstant funkcemi

Nyní změníme konstanty C 1 a C 2 . To znamená, že konstanty v (11) nahradíme funkcemi:
.
Hledáme řešení původní rovnice (8) ve tvaru:
(12) .

Dále je postup řešení stejný jako v příkladu 1. Dostáváme se k další systém rovnice pro určování funkcí a:
(13) :
(14) .
Tady .

Řešení soustavy rovnic

Pojďme vyřešit tento systém. Zapišme si výrazy pro funkce a :
.
Z tabulky derivátů najdeme:
;
.

Soustavu rovnic (13-14) řešíme Cramerovou metodou. Determinant matice systému:

.
Pomocí Cramerových vzorců zjistíme:
;
.

.
Od , lze znaménko modulu pod logaritmickým znaménkem vynechat. Vynásobte čitatele a jmenovatele:
.
Pak
.

Obecné řešení původní rovnice:


.

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu nazývá rovnice tvaru

y"" + p(X)y" + q(X)y = F(X) ,

Kde y je funkce, kterou lze nalézt, a p(X) , q(X) A F(X) - spojité funkce na určitém intervalu ( a, b) .

Pokud je pravá strana rovnice nulová ( F(X) = 0), pak se rovnice nazývá lineární homogenní rovnice . Právě takovým rovnicím bude věnována praktická část této lekce. Pokud se pravá strana rovnice nerovná nule ( F(X) ≠ 0), pak se rovnice nazývá .

V úlohách jsme povinni vyřešit rovnici pro y"" :

y"" = −p(X)y" − q(X)y + F(X) .

Lineární diferenciální rovnice druhého řádu mají jedinečné řešení Cauchy problémy .

Lineární homogenní diferenciální rovnice 2. řádu a její řešení

Uvažujme lineární homogenní diferenciální rovnici druhého řádu:

y"" + p(X)y" + q(X)y = 0 .

Li y1 (X) A y2 (X) jsou konkrétní řešení této rovnice, pak platí následující tvrzení:

1) y1 (X) + y 2 (X) - je také řešením této rovnice;

2) Cy1 (X) , Kde C- libovolná konstanta (konstanta), je také řešením této rovnice.

Z těchto dvou tvrzení vyplývá, že funkce

C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X)

je také řešením této rovnice.

Nabízí se spravedlivá otázka: je toto řešení obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice 2. řádu , tedy takové řešení, ve kterém pro různé hodnoty C1 A C2 Je možné získat všechna možná řešení rovnice?

Odpověď na tuto otázku zní: možná, ale za určitých podmínek. Tento to, jaké vlastnosti by měla mít konkrétní řešení y1 (X) A y2 (X) .

A tento stav se nazývá stav lineární nezávislost soukromá řešení.

Teorém. Funkce C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) je obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu, pokud funkce y1 (X) A y2 (X) lineárně nezávislé.

Definice. Funkce y1 (X) A y2 (X) se nazývají lineárně nezávislé, pokud je jejich poměr konstantní nenulový:

y1 (X)/y 2 (X) = k ; k = konst ; k ≠ 0 .

Určit podle definice, zda jsou tyto funkce lineárně nezávislé, je však často velmi pracné. Existuje způsob, jak stanovit lineární nezávislost pomocí Wronského determinantu W(X) :

Pokud Wronského determinant není roven nule, pak jsou řešení lineárně nezávislá . Pokud je Wronského determinant nula, pak jsou řešení lineárně závislá.

Příklad 1. Najděte obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice.

Řešení. Integrujeme dvakrát, a jak je snadno vidět, aby rozdíl mezi druhou derivací funkce a funkcí samotnou byl roven nule, musí být řešení spojena s exponenciálou, jejíž derivace je rovna sama sobě. Čili dílčí řešení jsou a .

Od Wronského determinantu

se nerovná nule, pak jsou tato řešení lineárně nezávislá. Proto lze obecné řešení této rovnice zapsat jako

.

Lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty: teorie a praxe

Lineární homogenní diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty nazývá rovnice tvaru

y"" + py" + qy = 0 ,

Kde p A q- konstantní hodnoty.

Skutečnost, že se jedná o rovnici druhého řádu, je označena přítomností druhé derivace požadované funkce a její homogenita je označena nulou na pravé straně. Výše uvedené hodnoty se nazývají konstantní koeficienty.

Na řešit lineární homogenní diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty , musíte nejprve vyřešit tzv. charakteristickou rovnici formuláře

k² + pq + q = 0 ,

což, jak je vidět, je obyčejná kvadratická rovnice.

V závislosti na řešení charakteristické rovnice jsou možné tři různé možnosti řešení lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty , kterou nyní budeme analyzovat. Pro úplnou jednoznačnost budeme předpokládat, že všechna konkrétní řešení byla testována Wronského determinantem a ten se ve všech případech nerovná nule. Pochybovači si to však mohou ověřit sami.

Kořeny charakteristické rovnice jsou skutečné a zřetelné

Jinými slovy, . V tomto případě má řešení lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty tvar

.

Příklad 2. Řešte lineární homogenní diferenciální rovnici

.

Příklad 3. Řešte lineární homogenní diferenciální rovnici

.

Řešení. Charakteristická rovnice má tvar , své kořeny a jsou skutečné a zřetelné. Odpovídající parciální řešení rovnice jsou: a . Obecné řešení této diferenciální rovnice má tvar

.

Kořeny charakteristické rovnice jsou reálné a rovné

To znamená, . V tomto případě má řešení lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty tvar

.

Příklad 4. Řešte lineární homogenní diferenciální rovnici

.

Řešení. Charakteristická rovnice má stejné kořeny. Odpovídající parciální řešení rovnice jsou: a . Obecné řešení této diferenciální rovnice má tvar

Příklad 5. Řešte lineární homogenní diferenciální rovnici

.

Řešení. Charakteristická rovnice má stejné kořeny. Odpovídající parciální řešení rovnice jsou: a . Obecné řešení této diferenciální rovnice má tvar

Vzdělávací instituce „Běloruský stát

zemědělská akademie"

Katedra vyšší matematiky

Směrnice

nastudovat téma „Lineární diferenciální rovnice 2. řádu“ studenty účetní fakulty korespondenčního vzdělávání (NISPO)

Gorki, 2013

Lineární diferenciální rovnice

druhého řádu s konstantamikoeficienty

Lineární homogenní diferenciální rovnice

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty nazývá rovnice tvaru

těch. rovnice, která obsahuje požadovanou funkci a její derivace pouze do prvního stupně a neobsahuje jejich součiny. V této rovnici A
- nějaká čísla a funkce
podávané v určitém intervalu
.

Li
na intervalu
, pak rovnice (1) bude mít tvar

, (2)

a nazývá se lineárně homogenní . Jinak se nazývá rovnice (1). lineární nehomogenní .

Zvažte komplexní funkci

, (3)

Kde
A
- skutečné funkce. Je-li funkce (3) komplexním řešením rovnice (2), pak reálná část
a ta imaginární část
řešení
odděleně jsou řešení stejné homogenní rovnice. Tedy všechno komplexní řešení rovnice (2) generuje dvě skutečná řešení této rovnice.

Řešení homogenní lineární rovnice mají vlastnosti:

Li je řešení rovnice (2), pak funkce
, Kde S– libovolná konstanta bude také řešením rovnice (2);

Li A existují řešení rovnice (2), pak funkce
bude také řešením rovnice (2);

Li A existují řešení rovnice (2), pak jejich lineární kombinace
bude také řešením rovnice (2), kde A
– libovolné konstanty.

Funkce
A
jsou nazývány lineárně závislé na intervalu
, pokud taková čísla existují A
, nerovno nule zároveň, že na tomto intervalu je rovnost

Jestliže rovnost (4) nastane pouze tehdy, když
A
, pak funkce
A
jsou nazývány lineárně nezávislé na intervalu
.

Příklad 1 . Funkce
A
jsou lineárně závislé, protože
na celé číselné řadě. V tomto příkladu
.

Příklad 2 . Funkce
A
jsou lineárně nezávislé na libovolném intervalu, protože rovnost
je možné pouze v případě, kdy
, A
.

Konstrukce obecné řešení lineárně homogenní

rovnic

Abyste našli obecné řešení rovnice (2), musíte najít dvě její lineárně nezávislá řešení A . Lineární kombinace těchto řešení
, Kde A
jsou libovolné konstanty a poskytují obecné řešení lineární homogenní rovnice.

Budeme hledat lineárně nezávislá řešení rovnice (2) ve tvaru

, (5)

Kde – určitý počet. Pak
,
. Dosadíme tyto výrazy do rovnice (2):

nebo
.

Protože
, Že
. Takže funkce
bude řešením rovnice (2), jestliže splní rovnici

. (6)

Rovnice (6) se nazývá charakteristická rovnice pro rovnici (2). Tato rovnice je algebraická kvadratická rovnice.

Nechat A existují kořeny této rovnice. Mohou být buď skutečné a odlišné, nebo složité, nebo skutečné a rovnocenné. Podívejme se na tyto případy.

Nechte kořeny A charakteristické rovnice jsou skutečné a zřetelné. Pak řešením rovnice (2) budou funkce
A
. Tato řešení jsou lineárně nezávislá, protože rovnost
lze provést pouze tehdy
, A
. Obecné řešení rovnice (2) má tedy tvar

,

Kde A
- libovolné konstanty.

Příklad 3
.

Řešení . Charakteristická rovnice pro tento diferenciál bude
. Po vyřešení této kvadratické rovnice najdeme její kořeny
A
. Funkce
A
jsou řešení diferenciální rovnice. Obecné řešení této rovnice je
.

Komplexní číslo nazvaný výraz formy
, Kde A jsou reálná čísla a
nazývaná pomyslná jednotka. Li
, pak číslo
se nazývá čistě imaginární. Li
, pak číslo
je identifikován skutečným číslem .

Číslo se nazývá reálná část komplexního čísla a - imaginární část. Pokud se dvě komplexní čísla od sebe liší pouze znaménkem imaginární části, pak se nazývají konjugované:
,
.

Příklad 4 . Řešte kvadratickou rovnici
.

Řešení . Diskriminační rovnice
. Pak. Rovněž,
. Tato kvadratická rovnice má tedy konjugované komplexní kořeny.

Nechť jsou kořeny charakteristické rovnice složité, tzn.
,
, Kde
. Řešení rovnice (2) lze zapsat ve tvaru
,
nebo
,
. Podle Eulerových vzorců

,
.

Pak ,. Jak známo, je-li komplexní funkce řešením lineární homogenní rovnice, pak řešení této rovnice jsou jak reálnou, tak imaginární částí této funkce. Řešením rovnice (2) tedy budou funkce
A
. Od rovnosti

lze provést pouze tehdy, pokud
A
, pak jsou tato řešení lineárně nezávislá. Obecné řešení rovnice (2) má tedy tvar

Kde A
- libovolné konstanty.

Příklad 5 . Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
.

Řešení . Rovnice
je charakteristický pro daný diferenciál. Pojďme to vyřešit a získat složité kořeny
,
. Funkce
A
jsou lineárně nezávislá řešení diferenciální rovnice. Obecné řešení této rovnice je:

Nechť jsou kořeny charakteristické rovnice reálné a rovné, tzn.
. Pak řešením rovnice (2) jsou funkce
A
. Tato řešení jsou lineárně nezávislá, protože výraz může být shodně roven nule pouze tehdy, když
A
. Obecné řešení rovnice (2) má tedy tvar
.

Příklad 6 . Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
.

Řešení . Charakteristická rovnice
má stejné kořeny
. V tomto případě jsou lineárně nezávislá řešení diferenciální rovnice funkcemi
A
. Obecné řešení má formu
.

Nehomogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty

a speciální pravá strana

Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice (1) se rovná součtu obecného řešení
odpovídající homogenní rovnici a libovolné konkrétní řešení
nehomogenní rovnice:
.

V některých případech lze konkrétní řešení nehomogenní rovnice nalézt zcela jednoduše pomocí tvaru pravé strany
rovnice (1). Podívejme se na případy, kdy je to možné.

těch. pravá strana nehomogenní rovnice je polynom stupně m. Li
není kořenem charakteristické rovnice, pak je třeba hledat konkrétní řešení nehomogenní rovnice ve formě polynomu stupně m, tj.

Kurzy
jsou určeny v procesu hledání konkrétního řešení.

Li
je kořenem charakteristické rovnice, pak je třeba hledat konkrétní řešení nehomogenní rovnice ve tvaru

Příklad 7 . Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
.

Řešení . Odpovídající homogenní rovnice pro tuto rovnici je
. Jeho charakteristická rovnice
má kořeny
A
. Obecné řešení homogenní rovnice má tvar
.

Protože
není kořenem charakteristické rovnice, pak budeme hledat konkrétní řešení nehomogenní rovnice ve tvaru funkce
. Pojďme najít derivace této funkce
,
a dosaďte je do této rovnice:

nebo . Srovnejme koeficienty pro a volní členové:
Po rozhodnutí tento systém, dostaneme
,
. Pak má partikulární řešení nehomogenní rovnice tvar
a obecné řešení dané nehomogenní rovnice bude součtem obecného řešení odpovídající homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice:
.

Nechť má nehomogenní rovnice tvar

Li
není kořenem charakteristické rovnice, pak je třeba hledat konkrétní řešení nehomogenní rovnice ve tvaru. Li
je kořenem charakteristické rovnice násobnosti k (k=1 nebo k=2), pak v tomto případě bude mít konkrétní řešení nehomogenní rovnice tvar .

Příklad 8 . Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
.

Řešení . Charakteristická rovnice pro odpovídající homogenní rovnici má tvar
. Jeho kořeny
,
. V tomto případě je obecné řešení příslušné homogenní rovnice zapsáno ve tvaru
.

Protože číslo 3 není kořenem charakteristické rovnice, je třeba hledat konkrétní řešení nehomogenní rovnice ve tvaru
. Pojďme najít deriváty prvního a druhého řádu:

Dosadíme do diferenciální rovnice:
+ +,
+,.

Srovnejme koeficienty pro a volní členové:

Odtud
,
. Pak má konkrétní řešení této rovnice tvar
a obecné řešení

.

Lagrangeova metoda variace libovolných konstant

Metodu měnících se libovolných konstant lze aplikovat na jakoukoliv nehomogenní lineární rovnici s konstantními koeficienty, bez ohledu na typ pravé strany. Tato metoda umožňuje vždy najít obecné řešení nehomogenní rovnice, pokud je známé obecné řešení odpovídající homogenní rovnice.

Nechat
A
jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (2). Pak je obecné řešení této rovnice
, Kde A
- libovolné konstanty. Podstatou metody variování libovolných konstant je, že obecné řešení rovnice (1) se hledá ve tvaru

Kde
A
- nové neznámé funkce, které je třeba najít. Protože existují dvě neznámé funkce, k jejich nalezení jsou potřeba dvě rovnice obsahující tyto funkce. Tyto dvě rovnice tvoří systém

což je lineární algebraický systém rovnic s ohledem na
A
. Při řešení tohoto systému najdeme
A
. Integrací obou stran získaných rovností najdeme

A
.

Dosazením těchto výrazů do (9) získáme obecné řešení nehomogenní lineární rovnice (1).

Příklad 9 . Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
.

Řešení. Charakteristická rovnice pro homogenní rovnici odpovídající dané diferenciální rovnici je
. Jeho kořeny jsou složité
,
. Protože
A
, Že
,
, a obecné řešení homogenní rovnice má tvar. Poté budeme hledat obecné řešení této nehomogenní rovnice ve tvaru kde
A
- neznámé funkce.

Systém rovnic pro nalezení těchto neznámých funkcí má tvar

Po vyřešení tohoto systému najdeme
,
. Pak

,
. Dosadíme výsledné výrazy do vzorce pro obecné řešení:

Toto je obecné řešení této diferenciální rovnice získané pomocí Lagrangeovy metody.

Otázky pro sebeovládání znalostí

Která diferenciální rovnice se nazývá lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty?

Která lineární diferenciální rovnice se nazývá homogenní a která nehomogenní?

Jaké vlastnosti má lineární homogenní rovnice?

Která rovnice se nazývá charakteristická pro lineární diferenciální rovnici a jak se získává?

V jaké podobě je zapsáno obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty v případě různých kořenů charakteristické rovnice?

V jaké podobě je zapsáno obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty v případě stejných kořenů charakteristické rovnice?

V jaké podobě je zapsáno obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice?

Jak se zapisuje obecné řešení lineární nehomogenní rovnice?

V jaké formě se hledá konkrétní řešení lineární nehomogenní rovnice, jestliže kořeny charakteristické rovnice jsou různé a nerovnají se nule a pravá strana rovnice je polynom stupně m?

V jaké formě se hledá konkrétní řešení lineární nehomogenní rovnice, pokud je mezi kořeny charakteristické rovnice jedna nula a pravá strana rovnice je polynom stupně m?

Co je podstatou Lagrangeovy metody?

Tento odstavec bude diskutovat speciální případ lineární rovnice druhého řádu, kdy koeficienty rovnice jsou konstantní, tedy jsou to čísla. Takové rovnice se nazývají rovnice s konstantními koeficienty. Tento typ rovnic nachází zvláště široké uplatnění.

1. Lineární homogenní diferenciální rovnice

druhého řádu s konstantními koeficienty

Zvažte rovnici

ve kterém jsou koeficienty konstantní. Za předpokladu, že dělení všech členů rovnice a označující

Zapišme tuto rovnici do tvaru

Jak známo, k nalezení obecného řešení lineární homogenní rovnice druhého řádu stačí znát ji základní systém soukromá řešení. Ukažme si, jak najít fundamentální systém parciálních řešení pro homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Budeme hledat konkrétní řešení této rovnice ve tvaru

Dvojím derivováním této funkce a dosazením výrazů do rovnice (59) dostaneme

Od , tedy zmenšením o dostaneme rovnici

Z této rovnice se určí ty hodnoty k, pro které bude funkce řešením rovnice (59).

Algebraická rovnice (61) pro určení koeficientu k se nazývá charakteristická rovnice této diferenciální rovnice (59).

Charakteristická rovnice je rovnicí druhého stupně a má tedy dva kořeny. Tyto kořeny mohou být buď skutečně odlišné, skutečné a rovné, nebo mohou být komplexně konjugované.

Podívejme se, jakou podobu má základní systém jednotlivých řešení v každém z těchto případů.

1. Kořeny charakteristické rovnice jsou reálné a různé: . V tomto případě pomocí vzorce (60) najdeme dvě dílčí řešení:

Tato dvě konkrétní řešení tvoří základní systém řešení na celé číselné ose, protože Wronského determinant nikde nemizí:

V důsledku toho má obecné řešení rovnice podle vzorce (48) tvar

2. Kořeny charakteristické rovnice se rovnají: . V tomto případě budou oba kořeny skutečné. Pomocí vzorce (60) získáme pouze jedno konkrétní řešení

Ukažme, že druhé partikulární řešení, které spolu s prvním tvoří fundamentální systém, má formu

Nejprve ověříme, že funkce je řešením rovnice (59). Opravdu,

Ale protože existuje kořen charakteristické rovnice (61). Navíc podle Vietovy věty Proto . V důsledku toho, tj. funkce je skutečně řešením rovnice (59).

Ukažme nyní, že nalezená dílčí řešení tvoří fundamentální systém řešení. Opravdu,

V tomto případě má tedy obecné řešení homogenní lineární rovnice tvar

3. Kořeny charakteristické rovnice jsou složité. Jak známo, složité kořeny kvadratická rovnice s reálnými koeficienty jsou konjugované komplexní čísla, tj. vypadají takto: . V tomto případě budou mít dílčí řešení rovnice (59) podle vzorce (60) tvar:

Pomocí Eulerových vzorců (viz kapitola XI, § 5, odstavec 3) lze výrazy zapsat jako:

Tato řešení jsou komplexní. Chcete-li získat platná řešení, zvažte nové funkce

Jsou to lineární kombinace řešení, a proto jsou samy řešením rovnice (59) (viz § 3, bod 2, věta 1).

Je snadné ukázat, že Wronského determinant pro tato řešení je nenulový, a proto řešení tvoří základní systém řešení.

Obecné řešení homogenní lineární diferenciální rovnice v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice má tedy tvar

Na závěr uvádíme tabulku vzorců pro obecné řešení rovnice (59) v závislosti na typu kořenů charakteristické rovnice.