Nejprve si promluvme trochu o prohlášení o problému v obecný pohled a poté přejděte k příkladům integrace substitucí. Řekněme, že máme určitý integrál $\int g(x) \; dx$. Tabulka integrálů však neobsahuje požadovaný vzorec a není možné daný integrál rozdělit na více tabulkových (tj. odpadá přímá integrace). Problém však bude vyřešen, pokud se nám podaří najít určitou substituci $u=\varphi(x)$, která sníží náš integrál $\int g(x) \; dx$ do nějakého tabulkového integrálu $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Po použití vzorce $\int f(u)\; du=F(u)+C$ vše, co musíme udělat, je vrátit proměnnou $x$ zpět. Formálně to lze napsat takto:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Problém je, jak takovou substituci vybrat $u$. K tomu budete potřebovat znalost za prvé tabulky derivací a schopnost ji používat k derivování komplexních funkcí a za druhé tabulku neurčitých integrálů. Navíc budeme nutně potřebovat vzorec, který sepíšu níže. Pokud $y=f(x)$, pak:

\begin(equation)dy=y"dx\end(equation)

Tito. diferenciál nějaké funkce je roven derivaci této funkce vynásobené diferenciálem nezávisle proměnné. Toto pravidlo je velmi důležité a právě toto pravidlo vám umožní používat substituční metodu. Zde uvedeme několik speciálních případů, které jsou získány ze vzorce (1). Nechť $y=x+C$, kde $C$ je určitá konstanta (jednoduše řečeno číslo). Potom dosazením výrazu $x+C$ do vzorce (1) místo $y$ získáme následující:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Protože $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, výše uvedený vzorec bude:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Získaný výsledek zapišme samostatně, tzn.

\začátek(rovnice)dx=d(x+C)\konec(rovnice)

Výsledný vzorec znamená, že přidáním konstanty pod diferenciál se tento diferenciál nezmění, tzn. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ a tak dále.

Podívejme se ještě na jednu speciální případ pro vzorec (1). Nechť $y=Cx$, kde $C$ je opět nějaká konstanta. Pojďme najít diferenciál této funkce dosazením výrazu $Cx$ místo $y$ do vzorce (1):

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Protože $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, pak výše uvedený vzorec $d(Cx)=(Cx)"dx$ bude: $d(Cx)=Cdx $ . Pokud obě strany tohoto vzorce vydělíme $C$ (za předpokladu $C\neq 0$), dostaneme $\frac(d(Cx))(C)=dx$. Tento výsledek lze přepsat trochu jiným formulář:

\begin(rovnice)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(equation)

Výsledný vzorec naznačuje, že násobení výrazu pod diferenciálem nějakou nenulovou konstantou vyžaduje zavedení odpovídajícího násobiče, který takové násobení kompenzuje. Například $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

V příkladech č. 1 a č. 2 budou podrobně zvažovány vzorce (2) a (3).

Poznámka o vzorcích

V tomto tématu budou použity jak vzorce 1-3, tak vzorce z tabulky neurčitých integrálů, které mají také svá vlastní čísla. Aby nedošlo k záměně, shodneme se na následujícím: pokud se v tématu objeví text „použij vzorec č. 1“, znamená to doslova toto: „použij vzorec č. 1, umístěný na této stránce". Pokud potřebujeme vzorec z tabulky integrálů, uvedeme to pokaždé zvlášť. Například takto: "použijeme vzorec č. 1 z tabulky integrálů."

A ještě malá poznámka

Před zahájením práce s příklady se doporučuje seznámit se s materiálem uvedeným v předchozích tématech věnovaných pojmu neurčitý integrál a. Prezentace materiálu v tomto tématu vychází z informací uvedených v uvedených tématech.

Příklad č. 1

Najděte $\int \frac(dx)(x+4)$.

Pokud se obrátíme na , nemůžeme najít vzorec, který by přesně odpovídal integrálu $\int \frac(dx)(x+4)$. Tomuto integrálu se nejvíce blíží vzorec č. 2 tabulky integrálů, tzn. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Problém je tento: vzorec $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ předpokládá, že v integrálu $\int \frac(du)(u)$ jsou výrazy ve jmenovateli a pod diferenciálem musí být stejné (oba mají stejné písmeno $u$). V našem případě je v $\int \frac(dx)(x+4)$ pod diferenciálem písmeno $x$ a ve jmenovateli výraz $x+4$, tzn. Je zde jasný rozpor s tabulkovým vzorcem. Zkusme "napasovat" náš integrál do tabulkového. Co se stane, když za diferenciál místo $x$ dosadíme $x+4$? Chcete-li odpovědět na tuto otázku, použijte , nahraďte výraz $x+4$ místo $y$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Protože $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, pak rovnost $ d(x+4)=(x+4)"dx $ bude:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Takže $dx=d(x+4)$. Abych byl upřímný, stejného výsledku by bylo možné získat pouhým dosazením čísla $4$ místo konstanty $C$. V budoucnu to uděláme, ale poprvé jsme podrobně prozkoumali postup pro získání rovnosti $dx=d(x+4)$. Ale co nám dává rovnost $dx=d(x+4)$?

A dává nám následující závěr: pokud $dx=d(x+4)$, pak v integrálu $\int \frac(dx)(x+4)$ místo $dx$ můžeme dosadit $d(x +4)$ a integrál se v důsledku toho nezmění:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Tuto transformaci jsme provedli pouze proto, aby výsledný integrál plně odpovídal tabulkovému vzorci $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Aby tato korespondence byla zcela jasná, nahraďme výraz $x+4$ písmenem $u$ (tj. substituce$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Ve skutečnosti je problém již vyřešen. Nezbývá než vrátit proměnnou $x$. Když si zapamatujeme, že $u=x+4$, dostaneme: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Kompletní řešení bez vysvětlení to vypadá takto:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Odpovědět: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Příklad č. 2

Najděte $\int e^(3x) dx$.

Pokud se podíváme na tabulku neurčitých integrálů, nenajdeme vzorec, který by přesně odpovídal integrálu $\int e^(3x) dx$. Tomuto integrálu se nejvíce blíží vzorec č. 4 z tabulky integrálů, tzn. $\int e^u du=e^u+C$. Problém je tento: vzorec $\int e^u du=e^u+C$ předpokládá, že v integrálu $\int e^u du$ musí být výrazy v mocnině $e$ a pod diferenciálem stejné (oba je jedno písmeno $u$). V našem případě v $\int e^(3x) dx$ je pod diferenciálem písmeno $x$ a v mocnině $e$ je výraz $3x$, tzn. Je zde jasný rozpor s tabulkovým vzorcem. Zkusme "napasovat" náš integrál do tabulkového. Co se stane, když nahradíte rozdíl $3x$ místo $x$? Chcete-li odpovědět na tuto otázku, použijte , nahraďte výraz $3x$ místo $y$:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Protože $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, pak rovnost $d(3x)=(3x)"dx$ bude:

$$ d(3x)=3dx $$

Vydělením obou stran výsledné rovnosti $3$ dostaneme: $\frac(d(3x))(3)=dx$, tzn. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Ve skutečnosti by rovnost $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ mohla být získána jednoduchým dosazením čísla $3$ místo konstanty $C$. V budoucnu to uděláme, ale poprvé jsme podrobně prozkoumali postup pro získání rovnosti $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$.

Co nám dala výsledná rovnost $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$? To znamená, že místo $dx$ lze do integrálu $\int e^(3x) dx$ dosadit $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ a integrál se nezmění:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Vyjmeme konstantu $\frac(1)(3)$ ze znaménka integrálu a nahradíme výraz $3x$ písmenem $u$ (tj. substituce$u=3x$), načež použijeme tabulkový vzorec $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Stejně jako v předchozím příkladu musíme vrátit původní proměnnou $x$ zpět. Protože $u=3x$, pak $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Kompletní řešení bez komentářů vypadá takto:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Odpovědět: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Příklad č. 3

Najděte $\int (3x+2)^2 dx$.

K nalezení tohoto integrálu použijeme dvě metody. Prvním způsobem je otevřít držáky a přímo integrovat. Druhou metodou je použití substituční metody.

První způsob

Protože $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, pak $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Znázorněním integrálu $\int (9x^2+12x+4)dx$ jako součtu tří integrálů a odebráním konstant ze znamének odpovídajících integrálů dostaneme:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

Abychom našli $\int x^2 dx$, dosadíme $u=x$ a $\alpha=2$ do vzorce č. 1 tabulky integrálů: $\int x^2 dx=\frac(x^(2) +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Podobně, když dosadíme $u=x$ a $\alpha=1$ do stejného vzorce z tabulky, získáme: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. Protože $\int 1 dx=x+C$, pak:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Druhý způsob

Nebudeme otevírat závorky. Zkusme, aby se pod rozdílem místo $x$ objevil výraz $3x+2$. To vám umožní zadat novou proměnnou a použít vzorec tabulky. Potřebujeme, aby se pod diferenciálem objevil faktor $3$, takže dosazením $C=3$ do hodnoty dostaneme $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$. Navíc pod diferenciálem chybí výraz $2$. Podle přičtení konstanty pod diferenciální znaménko se tento diferenciál nemění, tzn. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. Z podmínek $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ a $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ máme: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Dovolte mi poznamenat, že rovnost $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ lze získat také jiným způsobem:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Použijeme výslednou rovnost $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$, přičemž do integrálu $\int (3x+2) dosadíme výraz $\frac(1)(3)d(3x). )^2 dx$ +2)$ místo $dx$. Vezměme konstantu $\frac(1)(3)$ jako znaménko výsledného integrálu:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Dalším řešením je provést substituci $u=3x+2$ a použít vzorec č. 1 z tabulky integrálů:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

Vrátíme-li výraz $3x+2$ místo $u$, dostaneme:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Kompletní řešení bez vysvětlení je:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Předvídám několik otázek, takže se je pokusím formulovat a dát odpovědi.

Otázka č. 1

Něco tady nesedí. Když jsme vyřešili prvním způsobem, dostali jsme $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. Při řešení druhého způsobu byla odpověď: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Nelze však přejít od druhé odpovědi k první! Pokud otevřeme závorky, dostaneme následující:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Odpovědi se neshodují! Odkud se vzal zlomek $\frac(8)(9)$ navíc?

Tato otázka naznačuje, že byste se měli obrátit na předchozí témata. Přečtěte si téma o pojmu neurčitého integrálu (věnujte pozornost Speciální pozornost otázka č. 2 na konci stránky) a přímá integrace (za pozornost stojí otázka č. 4). Tato témata podrobně pokrývají tuto problematiku. Stručně řečeno, integrální konstanta $C$ může být reprezentována v různé formy. Například v našem případě přejmenováním $C_1=C+\frac(8)(9)$ dostaneme:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Neexistuje tedy žádný rozpor, odpověď lze napsat buď ve tvaru $3x^3+6x^2+4x+C$, nebo ve tvaru $\frac((3x+2)^3)(9)+ C$.

Otázka č. 2

Proč bylo nutné rozhodnout druhým způsobem? To je zbytečná komplikace! Proč používat spoustu zbytečných vzorců k nalezení odpovědi, která je získána v několika krocích pomocí první metody? Vše, co bylo potřeba, bylo otevřít závorky pomocí školního vzorce.

No, za prvé to není taková komplikace. Když pochopíte substituční metodu, začnete řešit podobné příklady na jednom řádku: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Podívejme se však na tento příklad jinak. Představte si, že potřebujete vypočítat nikoli $\int (3x+2)^2 dx$, ale $\int (3x+2)^(200) dx$. Při řešení druhým způsobem stačí mírně upravit stupně a odpověď bude hotová:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Nyní si představte, že stejný integrál $\int (3x+2)^(200) dx$ je třeba vzít prvním způsobem. Nejprve budete muset otevřít závorku $(3x+2)^(200)$, čímž získáte součet dvě stě jedna výrazů! A pak bude muset být také integrován každý termín. Závěr je tedy tento: pro velké mocnosti není metoda přímé integrace vhodná. Druhý způsob je i přes zdánlivou složitost praktičtější.

Příklad č. 4

Najděte $\int \sin2x dx$.

Tento příklad vyřešíme třemi různými způsoby.

První způsob

Podívejme se na tabulku integrálů. Vzorec č. 5 z této tabulky je nejblíže našemu příkladu, tzn. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Abychom integrál $\int \sin2x dx$ vešli do tvaru $\int \sin u du$, použijeme , přičemž pod diferenciální znaménko zavedeme faktor $2$. Ve skutečnosti jsme to již udělali v příkladu č. 2, takže se obejdeme bez podrobných komentářů:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Odpovědět: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Druhý způsob

K vyřešení druhé metody použijeme jednoduchou trigonometrický vzorec: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Dosadíme výraz $2 \sin x \cos x$ místo $\sin 2x$ a vyjmeme konstantu $2$ ze znaménka integrálu:

Jaký je účel takové transformace? V tabulce není integrál $\int \sin x\cos x dx$, ale můžeme $\int \sin x\cos x dx$ trochu transformovat, aby vypadal více jako tabulkový. Chcete-li to provést, najděte $d(\cos x)$ pomocí . Do uvedeného vzorce dosadíme $\cos x$ místo $y$:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Protože $d(\cos x)=-\sin x dx$, pak $\sin x dx=-d(\cos x)$. Protože $\sin x dx=-d(\cos x)$, můžeme místo $\sin x dx$ dosadit $-d(\cos x)$ v $\int \sin x\cos x dx$. Hodnota integrálu se nezmění:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Jinými slovy, my přidán pod diferenciál$\cos x$. Nyní, když jsme provedli substituci $u=\cos x$, můžeme použít vzorec č. 1 z tabulky integrálů:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Odpověď byla přijata. Obecně platí, že nemusíte zadávat písmeno $u$. Když získáte dostatečné dovednosti v řešení tohoto druhu integrálů, zmizí potřeba dalšího zápisu. Kompletní řešení bez vysvětlení je:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Odpovědět: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Třetí způsob

Pro řešení třetím způsobem použijeme stejný goniometrický vzorec: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Dosadíme výraz $2 \sin x \cos x$ místo $\sin 2x$ a vyjmeme konstantu $2$ ze znaménka integrálu:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Pojďme najít $d(\sin x)$ pomocí . Do uvedeného vzorce dosadíme $\sin x$ místo $y$:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Takže $d(\sin x)=\cos x dx$. Z výsledné rovnosti vyplývá, že do $\int \sin x\cos x dx$ můžeme dosadit $d(\sin x)$ místo $\cos x dx$. Hodnota integrálu se nezmění:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Jinými slovy, my přidán pod diferenciál$\sin x$. Nyní, když jsme provedli substituci $u=\sin x$, můžeme použít vzorec č. 1 z tabulky integrálů:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Odpověď byla přijata. Kompletní řešení bez vysvětlení je:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Odpovědět: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Je možné, že po přečtení tohoto příkladu, zejména tří různých (na první pohled) odpovědí, vyvstane otázka. Zvažme to.

Otázka č. 3

Počkejte. Odpovědi by měly být stejné, ale jsou různé! V příkladu č. 3 byl rozdíl pouze v konstantě $\frac(8)(9)$, ale zde si odpovědi nejsou podobné ani na pohled: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Je to opravdu všechno opět o integrální konstantě $C$?

Ano, přesně na této konstantě záleží. Zredukujme všechny odpovědi na jeden tvar, po kterém se tento rozdíl v konstantách zcela vyjasní. Začněme $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$. Použijeme jednoduchou goniometrickou rovnost: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Potom výraz $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ bude:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Nyní pracujme s druhou odpovědí, tzn. $-\cos^2x+C$. Protože $\cos^2 x=1-\sin^2x$, pak:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Tři odpovědi, které jsme obdrželi v příkladu č. 4, byly: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$ . Myslím, že už je jasné, že se od sebe liší jen v určitém počtu. Tito. záležitost se opět ukázala jako integrální konstanta. Jak vidíte, malý rozdíl v integrální konstantě se může v zásadě velmi změnit vzhled odpověď - ale to nebrání tomu, aby odpověď byla správná. Na co narážím: pokud ve sbírce problémů vidíte odpověď, která se neshoduje s vašimi, vůbec to neznamená, že vaše odpověď je nesprávná. Je možné, že jste prostě k odpovědi dospěli jinak, než autor problému zamýšlel. A kontrola na základě definice neurčitého integrálu vám pomůže ověřit správnost odpovědi. Pokud je například integrál $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ nalezen správně, pak rovnost $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Pojďme tedy zkontrolovat, zda je pravda, že derivace $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ je rovna integrandu z $\sin 2x $:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

Kontrola byla úspěšně dokončena. Rovnost $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ je splněna, takže vzorec $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ je správné. V příkladu č. 5 také zkontrolujeme výsledek, abychom se ujistili, že je správný. Přítomnost kontroly není povinná, i když v některých typických výpočtech testy aha, požadavek na kontrolu výsledku je přítomen.

Přičtení čitatele pod diferenciální znaménko

Toto je závěrečná část lekce, nicméně integrály tohoto typu jsou zcela běžné! Pokud jste unavení, možná bude lepší číst zítra? ;)

Integrály, které budeme uvažovat, jsou podobné integrálům z předchozího odstavce, mají tvar: nebo (koeficienty a nejsou rovny nule).

To znamená, že v našem čitateli máme lineární funkce. Jak takové integrály řešit?

Příklad 14

Buďte prosím opatrní, nyní se podíváme na typický algoritmus.

1) Při zadání integrálu tvaru resp (koeficienty a nejsou rovny nule), pak první věc, kterou uděláme, je... udělat návrh. Faktem je, že nyní musíme provést malý výběr.

2) Výraz, který je ve jmenovateli (je jedno - pod odmocninou nebo bez odmocniny) uzavřeme pod diferenciálním znaménkem, v tomto příkladu:

3) Otevřete diferenciál:

Podívejme se na čitatel našeho integrálu:

Věci se vyvinuly trochu jinak... A teď musíme vybrat násobič pro diferenciál, takový, že když se otevře, dostaneme alespoň . V v tomto případě vhodný multiplikátor je:

4) Pro sebekontrolu znovu otevřeme náš diferenciál:

Podívejme se znovu na čitatel našeho integrálu: .
Je to blíž, ale máme špatný termín:

5) K našemu diferenciálu:
– přiřadíme termín, který jsme původně měli v integrandu:

– odečíst ( v tomto případě odečteme, někdy naopak musíme přidat) náš „špatný“ termín:
– Obě konstanty dáme do závorek a vpravo přiřadíme diferenciální symbol:

– Odečíst (v některých příkladech je třeba přidat) konstanty:

6) Kontrolujeme:

Dostali jsme přesně čitatel integrandu, což znamená, že výběr byl úspěšný.

Konečný návrh řešení vypadá asi takto:

(1) Čitatele na návrhu vybereme podle výše uvedeného algoritmu. Dbáme na to, abychom zkontrolovali, zda byl výběr proveden správně. S určitými zkušenostmi s řešením integrálů není výběr obtížné provést v hlavě.

(2) Vydělte čitatele jmenovatelem člen po členu. Při praktickém řešení problémů lze tento krok vynechat

(3) Pomocí vlastnosti linearity oddělíme integrály. Je vhodné přesunout všechny konstanty mimo znaménka integrálu.

(4) První integrál je vlastně tabulkový, použijeme vzorec (konstantu doplníme později, když vezmeme druhý integrál). Ve druhém integrálu vybereme úplný čtverec (tento typ integrálů jsme zkoumali v předchozím odstavci).

Zbytek je otázkou techniky.

A pro začátek pár příkladů nezávislé rozhodnutí– jedno je jednodušší, druhé obtížnější.

Příklad 15

Najděte neurčitý integrál:

Příklad 16

Najděte neurčitý integrál:

K vyřešení těchto příkladů bude užitečný speciální případ integrace výkonová funkce který není v mé tabulce:

Jak vidíte, integrace zlomků je náročný úkol, často musíte používat umělé techniky a výběry. Ale co dělat…

Existují další typy zlomků, tzv. zlomkově-racionální funkce, řeší se metodou nejisté koeficienty. Ale to už je téma lekce Integrace zlomkově racionálních funkcí.

§ 5. Integrály a jejich aplikace

.

5.1. Základní definice a vzorce. Funkce F(X) je primitivní funkce F(X), pokud na nějaké sestavě X platí rovnost F (X)= F(X). Množina všech primitiv pro F(X) volal neurčitý integrál a je určeno. Zároveň, pokud F(X) - některý z primitivů F(X), Že
, konstantní C prochází celou množinou reálných čísel. Tabulka 2 ukazuje základní vzorce, ve kterých u= u(X).

tabulka 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Je zřejmé, že vzorce 10), 12) A 14) jsou speciální případy vzorců 11), 13) A 15) respektive.

Li F(X) – funkce spojitá na segmentu [ A; b], pak existuje určitý integrál z této funkce, kterou lze vypočítat pomocí Newtonův-Leibnizův vzorec:

, (5.1)

Kde F(X) - jakýkoli primitivní prvek pro F(X). Na rozdíl od neurčitého integrálu (který je souborem funkcí) je určitý integrál určité číslo.

Vlastnost má jak neurčitý, tak určitý integrál linearita(integrál součtu funkcí rovnající se součtu integrály a konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka integrálu):

.

Příklad 5.1. Najdi)
; b)
.

Řešení. Na úkolu A) Nejprve zjednodušíme integrand tím, že člen po člen vydělíme každý člen z čitatele jmenovatelem, pak použijeme vlastnost linearita a „tabulkové“ vzorce 1)-3):

Na úkolu b), kromě linearita a „tabulkové“ vzorce 3), 9), 1), používáme Newtonův-Leibnizův vzorec (5.1):

5.2. Zadání pod diferenciální znaménko a nahrazení proměnné. Můžete si všimnout, že někdy část integrandu tvoří diferenciál nějakého výrazu, což umožňuje použití tabulkových vzorců.

Příklad 5.2 Najdi)
; b)
.

Řešení. V příkladu A) můžete si toho všimnout
a poté použijte vzorec 5) na u=ln X:

Když b)
, a proto kvůli 11) na
dostaneme:

Poznámka 1. Při zadávání diferenciálního znaménka je užitečné, spolu s výše použitými, vzít v úvahu následující vztahy:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Poznámka 2 Integrály z příklad 5.2. lze také nalézt pomocí změny proměnné. Zároveň v určitý integrál meze integrace by se také měly změnit. Konverze na 5.2.b) vypadalo by to například takto:

V obecný případ výběr náhrady je určen typem integrandu. V některých případech se doporučují speciální výměny. Například pokud výraz obsahuje iracionalitu formy
, pak můžeme dát
nebo
.

Příklad 5.3 Najdi)
; b)
.

Řešení. Když A) my máme

(po nahrazení jsme použili tabulkový vzorec 11 )).

Při rozhodování b) Dbáme na to, abychom nahradili limity integrace.

5.3. Integrace po částech. V některých případech pomáhá „vzorec integrace podle částí“. Pro neurčitý integrál má tvar

, (5.2)

za jistý

, (5.3)

Je důležité vzít v úvahu následující.

1) Pokud integrand obsahuje součin polynomu z X na funkcích
, pak jako u je vybrán polynom a výraz zbývající pod znaménkem integrálu odkazuje dv.

2) Pokud integrand obsahuje inverzní trigonometrické ( ) nebo logaritmické (
) funkce, pak jako u je vybrán jeden z nich.

Příklad 5.4. Najdi)
; b)
.

Řešení. Když A) aplikovat vzorec (5.2) A druhé pravidlo. Přesně tak, věříme
. Pak
. Dále,
, a proto
. Proto, . Ve výsledném integrálu vybereme celou část integrandu (to se děje, když stupeň čitatele není menší než stupeň jmenovatele):

.

Konečné řešení vypadá takto:

V příkladu b) používáme (5.3) A první z pravidel.

5.4. Integrace výrazů obsahujících kvadratický trinom. Hlavní myšlenky jsou vyzdvihnout kvadratický trinomúplný čtverec a při provádění lineární substituce, která umožňuje redukovat původní integrál do tabulkové formy 10 )-16 ).

Příklad 5.5. Najdi)
; b)
; PROTI)
.

Řešení. Když A) postupujte následovně:

proto (s přihlédnutím 13) )

Při řešení příkladu b) budou vyžadovány další transformace související s přítomností proměnné v čitateli integrandu. Výběrem dokonalého čtverce ve jmenovateli () získáme:

U druhého z integrálů kvůli 11) (Tabulka 2) máme:
. V prvním integrálu zadáme pod diferenciální znaménko:

Takže, dát vše dohromady a vrátit se k proměnné X, dostaneme:

V příkladu PROTI) Nejprve také vybereme celý čtverec:

5.5. Integrace jednoduchých goniometrických funkcí. Při integraci výrazů formuláře
(Kde m A n – celá čísla) doporučuje se vzít v úvahu následující pravidla.

1) Jsou-li oba stupně sudé, použijí se vzorce pro „snížení stupně“: ; .

2) Předpokládejme, že některé z čísel m A n- zvláštní. Například, n=2 k+1. V tomto případě jeden ze stupňů funkce cosx „odštěpit“, aby se dostal pod znaménko diferenciálu (od ). Ve zbývajícím výrazu
pomocí základní goniometrické identity
vyjádřeno prostřednictvím
(). Po transformaci integrandu (a zohlednění vlastnosti linearity) získáme algebraický součet integrálů tvaru
, z nichž každý lze najít pomocí vzorce 2) z tabulky 2:
.

Kromě toho jsou v některých případech také užitečné vzorce

Příklad 5.6. Najdi)
; b)
; PROTI)
.

Řešení. A) Integrand zahrnuje lichý (5.) stupeň sinx, proto jednáme podle toho druhé pravidlo, vezmeme-li v úvahu, že .

V příkladu b) použijme vzorec (5.4 ), linearita neurčitý integrál, rovnost
a tabulkový vzorec 4):

Když PROTI) postupně snížit stupeň, bereme v úvahu linearitu, možnost zavedení konstanty pod diferenciální znaménko a potřebné tabulkové vzorce:

5.6. Aplikace určitého integrálu. Jak je známo, křivočarý lichoběžník odpovídá nezápornému a spojitému segmentu [ A; b] funkcí F(X), nazýváme oblast ohraničenou grafem funkce y= F(X), osa VŮL a dvě svislé čáry X= A, X= b. Stručně se to dá napsat takto: (viz. Obr.3). a kde

Při řešení některých typů integrálů se provádí, jak se říká, transformace vstupující pod diferenciální znaménko. To se provádí za účelem získání tabulkového integrálu a usnadnění jeho převzetí. Chcete-li to provést, použijte vzorec: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

To bych rád poznamenal důležitá nuance o kterých studenti přemýšlí. Jak se tato metoda liší od metody nahrazení proměnné (substituce)? Je to to samé, jen to na nahrávkách vypadá jinak. Obojí je pravda.

Vzorec

Pokud integrand ukazuje součin dvou funkcí, z nichž jedna je diferenciálem druhé, zadejte požadovanou funkci pod znaménko diferenciálu. Vypadá to takto:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Shrnutí hlavních funkcí

Pro úspěšné použití této metody řešení potřebujete znát derivační a integrační tabulky. Z nich plynou následující vzorce:

$ dx = d(x+c), c=konst $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) F(kx+b) + C$$

Příklady řešení

Příklad 1

Najděte integrál $$ \int \sin x \cos x dx $$

Řešení

V tomto příkladu můžete pod diferenciální znaménko umístit kteroukoli z navrhovaných funkcí, dokonce i sinus nebo kosinus. Aby nedošlo k záměně se změnou znamének, je pohodlnější zadat $ \cos x $. Pomocí vzorců máme: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ Pokud nemůžete svůj problém vyřešit, pošlete nám jej. Poskytneme podrobné řešení. Budete moci sledovat průběh výpočtu a získávat informace. To vám pomůže získat známku od učitele včas!

Odpovědět

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

V článku jsme se tedy podívali na to, jak se řeší některé typy integrálů jejich zadáním pod diferenciální znaménko. Vzpomněli jsme si na diferenciály často běžných elementární funkce. Pokud nemůžete nebo nemáte dostatek času na vyřešení testovacích úloh sami, poskytneme vám naši pomoc. co nejdříve. Stačí vyplnit objednávkový formulář a my se vám ozveme.